Tema 7. Funciones. Concepto de l´ımite. Continuidad

Tema 7. Funciones. Concepto de l´ımite. Continuidad

Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez [email protected]

IES ALPAJ´ ES

2 de febrero de 2015

Funci´on. Concepto de funci´on

funci´on

Es una relaci´on entre dos magnitudes, de tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un

´

unico valor de la segunda.

Ejemplo: Vamos a estudiar la relaci´on que existe entre el lado de un cuadro y su ´area Lado ´ Area

0 0

1 2

2 4

3 6

S(l) = l ²

Funci´on. Concepto de funci´on

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos A y B subconjuntos de R, se denomina producto cartesiano de A por B, A × B al conjunto de pares ordenados de elementos tales que el primer elemento del par pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B

A × B = {(x, y); x ∈ A, y ∈ B}

Ejemplo: Sea A = {−1, 0, 1, 3} y B = {4, 5, 6}

A × B = {(−1, 4), (−1, 5), (−1, 6), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3 4

−1

−2

b

(−1, 4)

b

(−1, 5)

b

(−1, 6)

b

(0, 4)

b

(0, 5)

b

(0, 6)

b

(1, 4)

b

(1, 5)

b

(1, 6)

b

(3, 4)

b

(3, 5)

b

(3, 6)

b

(−1, 4)

b

(−1, 5)

b

(−1, 6)

b

(0, 4)

b

(0, 5)

b

(0, 6)

b

(1, 4)

b

(1, 5)

b

(1, 6)

b

(3, 4)

b

(3, 5)

b

(3, 6)

Funci´on. Concepto de funci´on

Ejemplo A = [−2, 4] y B = [1, 4]

A × B = {(x, y) ∈ R ² ; −2 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 4}

1 2 3 4 5

− 1

− 2

1 2 3 4 5 6

− 1

− 2

− 3

Funci´on. Concepto

Funci´on real de variable real

Se denomina funci´on del conjunto D ⊂ R sobre R a un subconjunto de D × R de tal forma que para todo valor x de D existe un ´ unico valor y de R tal que (x, y) ∈ f. Se representa:

f : D ⊂ R −→ R x −→ f(x)

A cada valor x ∈ D le corresponde un ´unico valor y = f(x). La funci´on f es una funci´on real de

variable real.

Funci´on. Concepto

Ejemplo

Se considera la funci´on f ⊂ R × R; f = {(x, x ² + 1); x ∈ R}

f : R −→ R

x −→ f(x) = x ² + 1 Normalmente las funciones se suelen escribir

f (x) = x ² + 1 y = x ² + 1 Las funciones se pueden representar gr´aficamente

1 2 3 4

−1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Funci´on. Concepto.Dominio

Dominio de una funci´on

sea f : D ⊂ R −→ R una funci´on real de variable real, llamamos dominio al conjunto D.Tambi´en podemos definir el dominio de una funci´on como el conjunto de valores que toma la variable x.

Ejemplo

f : [0, ∞) ⊂ R −→ R

x −→ f(x) = √

x D = [0, ∞)

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

−3

Funci´on. Concepto.Dominio

Ejemplo f (x) = 1 x

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

El dominio de la funci´on D = R − 0

Funci´on. Concepto.Dominio

Ejemplo f (x) = ln x

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

El dominio de la funci´on D = (0, +∞)

Funci´on. Concepto.Dominio

Ejemplo f (x) = tg x

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

El dominio de la funci´on D = R − { π

2 + kπ; k ∈ Z}

Funci´on. Concepto.Dominio

f (x) = x x ² − 1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

D = R − {−1, 1}

Funci´on. Concepto.Dominio

f (x) = e ^x

1 2 3

−1

−2

1 2 3

−1

−2

−3

D = R

Funci´on. Concepto.Dominio

f (x) = e ^−x

1 2 3

−1

−2

1 2 3

−1

−2

−3

D = R

Funci´on. Concepto.Dominio

f (x) =

r x + 1 x ² + x − 2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

D = (−2, −1] ∪ (1, +∞)

Funci´on. Dominio.

x 0 ¹ ₂ ^√ ₂ ^{3 √} ₂ ² 1 arc sen(x) 0 ^π ₆ ^π ₃ ^π ₄ ^π ₂ arc cos(x) ^π ₂ ^π ₃ ^π ₆ ^π ₄ 0

x 0

√ 3 3

√ 3 1

arc tg(x) 0 ^π ₆ ^π ₃ ^π ₄

Funci´on. Dominio.

Ejemplo f (x) = arc sen(x)

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

D = [−1, 1]

Funci´on. Dominio.

Ejemplo f (x) = arc cos(x)

1 2 3 4

−1

1 2 3

−1

−2

D = [−1, 1]

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto

Ejemplo f (x) = arc tg(x)

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

D = R

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto

L´ımite de una funci´on en punto

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R y a ∈ R decimos que l ∈ R es el l´ımite cuando x se aproxima a las im´agenes de x, f (x), se aproximan a l

x l´ım →a f (x) = l ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε Ejemplo

x l´ım →1 x(4 − x) = 3

1 2 3 4 5 6

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

− 1

− 2

− 3

− 4

δ δ ε

ε

f (x) = x(4 − x)

b

ε = 0,45

b

bbb bb b

u u

×

b

buu

×

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto. L´ımites laterales

L´ımite de una funci´on en punto. L´ımites laterales

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R y a ∈ R decimos que

l 1 ∈ R es el l´ımite por la izquierda si cuando nos aproximamos a a con valores de x menores que a entonces las im´agenes de x, f (x) se aproximan a l 1

x l´ım →a x<a

f (x) = l 1

l 2 ∈ R es el l´ımite por la derecha si cuando nos aproximamos a a con valores de x menores que a entonces las im´agenes de x, f (x) se aproximan a l 2

x l´ım →a x>a

f (x) = l 2

Si los l´ımites laterales coinciden

x l´ım →a x<a

f (x) = l´ım

x →a x<a

f (x) = l Entonces la funci´on tiene l´ımite en a

x l´ım →a f (x) = l

Funci´on.L´ımite de una funci´on en un punto. L´ımites laterales

f (x) =







2 si x ≤ 1 x − 1 si 1 < x < 4 x − 3 si x ≥ 4

x l´ım →1 x<1

f (x) = 2 l´ım

x →1 x>1

f (x) = 1

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

b

bc

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto. L´ımites laterales

f (x) =

 x si x ≤ 0

x ² si x > 0 l´ım

x →0 x<0

f (x) = 0 l´ım

x →0 x>0

f (x) = 0

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

En este caso como los l´ımites laterales coinciden

x l´ım →0 x<0

f (x) = l´ım

x →0 x>0

f (x) = 0 , decimos

x l´ım →0 f (x) = 0

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto. L´ımites infinitos

L´ımite de una funci´on en punto. L´ımites infinitos

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R y a ∈ R decimos que el l´ımite cuando x tiende a a es +∞ si x se aproxima a las im´agenes de x, f (x), cada vez se hacen m´as grandes.

x l´ım →a f (x) = +∞ ⇔ ∀K > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > K

L´ımite de una funci´on en punto. L´ımites infinitos

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R y a ∈ R decimos que el l´ımite cuando x tiende a a es −∞ si x se aproxima a las im´agenes de x, f (x), cada vez se hacen m´as peque˜ nos.

x l´ım →a f (x) = −∞ ⇔ ∀K < 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < K

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto. L´ımites infinitos

1 2 3 4 5 6 7

−1

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

f (x) = 1

|x − 1|

x l´ım →1 f (x) = 1 0

Para calcular este l´ımite debemos calcular los l´ımites laterales

x l´ım →1 ⁺ f (x) = l´ım

x →1 ⁺

1

x − 1 = +∞ l´ım

x →1 ⁻ f (x) = l´ım

x →1 ⁻

−1

x − 1 = +∞

x l´ım →1 f (x) = ∞

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto. L´ımites infinitos

1 2 3 4 5 6 7 8

− 1

− 2

− 3

− 4

1 2 3 4 5 6

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

f (x) = ^3x+1 _x−1

3x + 1 3x + 1

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto. L´ımites infinitos

1 2

− 1

− 2

− 3

− 4

1 2 3 4 5

− 1

− 2

f (x) = ln |x − 2|

x→2 l´ım ln |x − 2| = −∞

Funci´on. L´ımite de una funci´on en un punto. L´ımites infinitos

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

f (x) = 1 x ² − 1

La funci´on no tiene l´ımite cuando x tiende a -1, pero si podemos calcular los l´ımites laterales.

x l´ım →−1 x< −1

f (x) = −∞ l´ım

x →−1 x> −1

f (x) = +∞

Funci´on. L´ımite de una funci´on en el infinito

L´ımite de una funci´on cuando x tiende a ∞

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R y a ∈ R decimos que l ∈ R es el l´ımite cuando x tiende ∞ si a medida que los valores de x se hacen m´as grandes, f (x), se aproximan a l

x l´ım →∞ f (x) = l ⇔ ∀ε > 0 ∃K > 0 / x > K ⇒ |f(x) − l| < ε

L´ımite de una funci´on cuando x tiende a −∞

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R y a ∈ R decimos que l ∈ R es el l´ımite cuando x tiende −∞ si a medida que los valores de x se hacen m´as peque˜ nos, f (x), se aproximan a l

x l´ım →∞ f (x) = l ⇔ ∀ε > 0 ∃K < 0 / x < K ⇒ |f(x) − l| < ε

Funci´on. L´ımite de una funci´on en el infinito

f (x) = x ² x ² − 1

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

x→∞ l´ım x ²

x ² − 1 = 1 l´ım

x→−∞

x ²

x ² − 1 = 1

Funci´on. L´ımite de una funci´on en el infinito. L´ımite infinito

L´ımite de una funci´on cuando x tiende a ∞. L´ımite ∞

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R decimos que la funci´on f(x) tiende a +∞ cuando x tiende ∞ si a medida que los valores de x se hacen m´as grandes, los valores de f (x) son cada vez m´as grandes

x l´ım →∞ f (x) = ∞ ⇔ ∀K ^′ > 0 ∃K > 0 / x > K ⇒ f(x) > K ^′

L´ımite de una funci´on cuando x tiende a ∞. L´ımite ∞

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R decimos que la funci´on f(x) tiende a −∞ cuando x tiende ∞ si a medida que los valores de x se hacen m´as grandes, los vlores f (x) son cada vez m´as peque˜ nos

x l´ım →∞ f (x) = −∞ ⇔ ∀K ^′ < 0 ∃K > 0 / x > K ⇒ f(x) < K ^′

Funci´on. L´ımite de una funci´on en el infinito. L´ımite infinito

f (x) = x ³ − 1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

l´ım x ³ − 1 = ∞ l´ım x ³ − 1 = −∞

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Indeterminaciones

C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto

Dada funci´on f (x) real de variable real y a ∈ R, el l´ımite se obtiene sustituyendo la variable x por a

x l´ım →a f (x) = f (a) Ejemplo f (x) = x ² − 5x + 6

1 2 3 4 5 6

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

x l´ım →1 x ² − 5x + 6 = 1 − 5 + 6 = 2

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Indeterminaciones

Ejemplo f (x) = ln x

1 2 3

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

x l´ım →e ln x = 1

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Operaciones

OPERACIONES PROPIEDAD

SUMA l´ım

x →a (f + g)(x) = l´ım

x →a f (x) + l´ım

x →a g(x)

OPUESTA l´ım

x →a (−f)(x) = − l´ım

x →a f (x)

DIFERENCIA l´ım

x →a (f − g)(x) = l´ım _{x →a} f (x) − l´ım _{x →a} g(x)

PRODUCTO l´ım

x →a (f · g)(x) = l´ım

x →a f (x) · l´ım

x →a g(x)

INVERSA l´ım

x →a

 1 f



(x) = _l´ım ¹

x→a f (x)

COCIENTE l´ım

x →a

 f g



(x) = ^{x→a l´ım} _l´ım ^{f (x)}

x→a g(x)

PRODUCTO POR UN N ´ UMERO l´ım

x →a (c · f)(x) = c · l´ım _x

→a f (x)

CONSTANTE l´ım

x →a c = c

COMPOSICI ´ ON l´ım

x →a (g ◦ f)(x) = g 

x l´ım →a f (x) 

siendo g =ra´ız, log, sen, cos, tg

POTENCIACI ´ ON l´ım

x →a f (x) ^g(x) = l´ım

x →a f (x) ^{x→a l´ım g(x)} INDETERMINACIONES

0 0

∞

∞ 0 · ∞ ∞ − ∞ 1 ^∞ ∞ ⁰ 0 ⁰

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Operaciones

Ejemplo

x l´ım →1

x ³ − 1

x − 1 = l´ım

x →1

1 − 1 1 − 1 = 0

0

1 es ra´ız del polinomio P (x) = x ³ − 1 por tanto P (x) es divisible por x − 1

1 0 0 − 1

1 1 1 1

1 1 1 0

C(x) = x ² + x + 1

x l´ım →1

x ³ − 1

x − 1 = l´ım

x →1

✘✘✘ ✘✘

(x − 1)(x ² + x + 1)

✘✘✘ ✘

x − 1 = 1 ² + 1 + 1 = 3 Ejemplo

x l´ım →0

x 1 − √

1 − x = 0 0 Multiplicamos y dividimos por el conjugado de 1 − √

1 − x ⇒ 1 + √ 1 − x

x l´ım →0

x 1 − √

1 − x = l´ım

x →0

x(1 + √

1 − x) (1 − √

1 − x)(1 + √

1 − x) = l´ım

x →0

x(1 + √

1 − x) 1 − ( √

1 − x) ² = l´ım

x →0

x(1 + √

1 − x)

✓ ✓ 1 − ^{✓ ✓} 1 + x

x l´ım →0

✚

✚ x(1 + √

1 − x)

✚

✚ x = l´ım

x →0 1 + √

1 − x = 1 + 1 = 2

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Operaciones

Ejemplo Los l´ımites del tipo l´ım

x →a f (x) ^g(x) = 1 ^∞ se resuelven:

x l´ım →a f (x) ^g(x) = e ^{x→a l´ım} (f (x)−1)·g(x) x l´ım →0 (1 + x) ^{2x 1} = e ^{x→0 l´ım (✁ 1+x−✁1)·}

1

2x = e ^{x→0 l´ım (✁ x )·}

1

2 ✁ ^x = e ^{1 2} = √

e

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Infinit´esimos equivalentes

Vamos a calcular los siguientes l´ımites l´ım x →0

sen x

x l´ım

x →0

tg x x y

x x

sen x cos x

tg x

b

A

b

B

b

B ^′

b

C

b

D

sen x < x < tg x

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Infinit´esimos equivalentes

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

x l´ım →0

sen x

x = 1

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Infinit´esimos equivalentes

0.5 1.0 1.5

−0.5

−1.0

−1.5

0.5 1.0 1.5

−0.5

−1.0

−1.5

l´ım x →0

tg x

x = 1

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Infinit´esimos equivalentes

Infinit´esimos equivalentes

Dos funciones son infinit´esimos equivalentes si

x l´ım →a

f (x) g(x) = 1

Cuando x se aproxima suficientemente a se puede sustituir en los l´ımites una funci´on por otra por ejemplo:

l´ım x →0

sen 5x

x = l´ım

x →0

5x x = 5 l´ım x →0

sen 8x

tg 4x = l´ım

x →0

8x

4x = 2

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on en un punto. Infinit´esimos equivalentes

Infinit´esimos equivalentes

x → 0

sen x x

tg x x

arc sen x x

arc tg x x

1 − cos x x ²

e ^x − 1 x 2

ln(1 + x) x

x → 1

ln x x − 1

sen(x − 1) x − 1

Funci´on. Continuidad. Ejemplos previos

Calcular

l´ım x →0

√ 1 + sen x − √

1 − sen x

x

Funci´on. Continuidad. Ejemplos previos

Calcular

l´ım x →0

√ 1 + sen x − √

1 − sen x x

x l´ım →0

√ 1 + sen x − √

1 − sen x
√

1 + sen x + √

1 − sen x
x √

1 + sen x + √

1 − sen x
=

l´ım x →0

1 + sen x − 1 + sen x x √

1 + sen x + √

1 − sen x
= l´ ım

x →0

2 sen x x √

1 + sen x + √

1 − sen x
=

x l´ım →0

sen x x l´ım

x →0

√ 2

1 + sen x + √

1 − sen x = 1 · 2

1 + 1 = 1

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on cuando x → ∞

OPERACIONES PROPIEDAD

SUMA l´ım

x→∞ (f + g)(x) = l´ım

x→∞ f (x) + l´ım

x→∞ g(x)

OPUESTA l´ım

x→∞ (−f )(x) = − l´ım _x→∞ f (x)

DIFERENCIA l´ım

x→∞ (f − g)(x) = l´ım _x→∞ f (x) − l´ım _x→∞ g(x)

PRODUCTO l´ım

x→∞ (f · g)(x) = l´ım _x→∞ f (x) · l´ım _x→∞ g(x)

INVERSA l´ım

x→∞

 1 f



(x) = _l´ım ¹

x→∞ f(x)

COCIENTE l´ım

x→∞

 f g



(x) = ^{x→∞ l´ım} _l´ım ^f(x)

x→∞ g(x)

PRODUCTO POR UN N ´ UMERO l´ım

x→∞ (c · f )(x) = c · l´ım _x→∞ f (x)

CONSTANTE l´ım

x→∞ c = c COMPOSICI ´ ON l´ım

x→∞ (g ◦ f )(x) = g 

x→∞ l´ım f (x) 

siendo g =ra´ız, log, sen, cos, tg

POTENCIACI ´ ON l´ım

x→∞ f (x) ^g(x) = l´ım

x→∞ f(x) ^{x→∞ l´ım g(x)} INDETERMINACIONES

0 0

∞

∞ 0 · ∞ ∞ − ∞ 1 ^∞ ∞ ⁰ 0 ⁰

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on cuando x → ∞

Ejemplo Funciones racionales.

x l´ım →∞

x ³ − 3x ² − 1

x ⁴ − 4x ³ + 2x − 6 = l´ım

x →∞

x ³

x ⁴ − ^3x _x ^{4 2} − _x ^{1 4}

x ⁴

x ⁴ − ^4x _x ^{4 3} + ^2x _x 4 − _x ^{6 4} = l´ım

x →∞

1

x ³ − _x ^{3 2} − _x ^{1 4}

1 − _x ⁴ + _x ² 3 − _x ^{6 4} = l´ım

x →∞

0 − 0 − 0

1 − 0 + 0 − 0 = 0

x →−∞ l´ım

3x ⁵ − 2x ³ + 3x ² − 1

2x ⁵ − 4x ⁴ − 3x + 2 = l´ım

x →−∞

3x ⁵

x ⁵ − ^2x x ^{5 3} + ^3x _x 5 ² − x ^{1 5} 2x ⁵

x ⁵ − ^4x x ^{5 4} − ^3x x ⁵ + _x ² 5

= 3 2 Funciones irracionales

x l´ım →∞

√ x − x = ∞ − ∞

x l´ım →∞

( √

x − x)( √

x + x)

√ x + x = l´ım

x →∞

x − x ²

√ x + x = l´ım

x →∞

x x ² − ^x _x ^{2 2}

√ x x ² + _x ^x 2

= l´ım

x →∞

1 x − 1 p _x

x ⁴ + _x ¹ = −1

0 = −∞

Funciones del tipo 1 ^∞

x l´ım →∞

 2x + 1 2x − 3

 x

= e

l´ım

x→∞

2x + 1 2x − 3 ⁻¹

! x

= e

x→∞ l´ım





✚ 2x + 1 − ✚ ^✚ 2x + 3 ^✚ 2x − 3



x

= e ^{x→∞ l´ım} 4x

2x − 3 = e ²

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on cuando x → ∞

Hallar el valor de a para que

x l´ım →∞

 4x + 5 4x + 3

 x

= l´ım

x →∞

 4x ² + 1 4x ² + π

 ^{ax 2}

Funci´on. C´alculo del l´ımite de una funci´on cuando x → ∞

Hallar el valor de a para que

x l´ım →∞

 4x + 5 4x + 3

 x

= l´ım

x →∞

 4x ² + 1 4x ² + π

 ^{ax 2}

x l´ım →∞

 4x + 5 4x + 3

 x

= e

l´ım

x→∞

4x + 5 4x + 3 ⁻¹

! x

= e

x→∞ l´ım





✚ 4x + 5 − ✚ ^✚ 4x − 3 ^✚ 4x + 3



x

= e ^{x→∞ l´ım} 2x

4x + 3 = e ^{1 2} Por otro lado

x l´ım →∞

 4x ² + 1 4x+ ^π

 ^{ax 2}

= e

x→∞ l´ım





4x ² + 1 4x ² + π ⁻¹



ax ²

= e

x→∞ l´ım





✟✟ ✟

4x ² + 1 − ^✟✟ 4x ^{✟ 2} − π 4x ² + π



ax ²

= e ^{x→∞ l´ım}

(1 − π)ax ²

4x ² + π = e ^{(1−π)a 4} Igualamos

e ^{1 2} = e ^{(1−π)a 4} ⇒ 1

2 = (1 − π)a 4 4

2 = (1 − π)a ⇒ a = 2

1 − π

Funci´on. Continuidad. Ejemplos previos

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

f (x) = 1

x ² − 4

Funci´on. Continuidad. Ejemplos previos

f (x) =  x ² − 2x si x 6= 1

3 si x = 1

1 2 3 4 5

−1

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

bcb

Funci´on. Continuidad. Ejemplos previos

f (x) =







−x − 1 si x < −π sen x si −π ≤ x < π x − π si x ≥ π

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

bbc

Funci´on. Continuidad. Ejemplos previos

f (x) = sen  1 x



1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

Funci´on. Continuidad. Definici´on

Funci´on continua

Dada una funci´on f : D ⊂ R −→ R es continua en un punto a de su dominio D si

x l´ım →a f (x) = f (a) Ejemplo

f (x) = x ³ − x ² Es continua el punto x = 0 porque

x l´ım →0 (x ³ − x ² ) = 0 = f (0)

1 2

−1

1 2

−1

−2

Funci´on. Continuidad.Definici´on

f (x) = e ^−x

1 2 3

−1

1 2 3

−1

−2

−3

La funci´on es continua en todo R

Funci´on. Continuidad.Definici´on

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

f (x) = 1 x ² −

Estudiamos la continuidad en x = −2

x l´ım →−2

1

x ² − 4 = 1 0 Calculamos los l´ımites laterales

x →−2 l´ım ⁻ 1

x ² − 4 = −∞ l´ım

x →−2 ⁺

1

x ² − 4 = +∞

La funci´on presenta una discontinuidad de tipo infinito

Funci´on. Continuidad. Definici´on

f (x) =







−x − 1 si x < −π sen x si −π ≤ x < π x − π si x ≥ π

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

bbc

Estudiamos la continuidad en x = −π, para ello calculamos l´ım _x

→π f (x) como la funci´on no vale lo mismo a la izquierda y derecha de π calculamos los l´ımites laterales.

x →−π l´ım ⁻ (−x − 1) = π − 1 l´ım

x →−π ⁺ sen x = 0

Los l´ımites laterales no coinciden por tanto la funci´on carece de l´ımite en x = −π. La funci´on f(x)

presenta una discontinuidad de salto en x = −π

Funci´on. Continuidad. Definici´on

f (x) =







−x − 1 si x < −π sen x si −π ≤ x < π x − π si x ≥ π

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

bbc

Estudiamos la continuidad en x = π, para ello calculamos l´ım

x →π f (x) como la funci´on no vale lo mismo a la izquierda y derecha de π calculamos los l´ımites laterales.

x l´ım →π ⁻ sen x = 0 l´ım

x →π ⁺ x − π = 0 f (π) = 0 Los l´ımites laterales coinciden por tanto l´ım

x →π f (x). La funci´on f (x) es continua en x = π

Funci´on. Continuidad. Ejemplos previos

f (x) =  x ² − 2x si x 6= 1

3 si x = 1

1 2 3 4 5

−1

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

bcb

Estudiamos la continuidad en x = 1.

x l´ım →1 (x ² − 2x) = −1 6= f(1) = 3

La funci´on es discontinua en x = 1. Presenta una discontinuidad evitable.

Funci´on. Continuidad. Definici´on

f (x) = sen  1 x



1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

Estudiamos la continuidad en 0 La funci´on f (x) carece de l´ım

x →0 f (x), adem´as x = 0 no pertenece al

dominio de f (x). En este caso se dice que la funci´on presenta un discontinuidad de tipo esencial.

Funci´on. Continuidad. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Continuidad en un intervalo [a, b]

Una funci´on es continua en un intervalo [a, b] si es continua en todos sus puntos y adem´as es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

Continuidad por la derecha l´ım

x →a ⁺ f (x) = f (a) Continuidad por la derecha l´ım

x →b ⁻ f (x) = f (b) Ejemplo

1 2 3 4

1 2 3 4

−1

f (x) = −x ² + 3x + 2

b b

+ +

La funci´on es continua en el intervalo (a, b) porque f (x) es un polinomio de grado 2. Adem´as

x l´ım →1 ⁺ (−x ² + 3x + 2) = −1 + 3 + 2 = 4 = f(1)

l´ım (−x ² + 3x + 2) = −9 + 9 + 2 = 2 = f(3)

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Teorema de la acotaci´on

Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua en el intervalo [a, b] entonces f est´a acotada superior e inferiormente.

∃K ¹ , K 2 ∈ R tales que K ¹ < f (x) < K 2 ∀x ∈ [a, b]

K 1

K 2

a

b

+ +

b b

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Ejemplo Teorema de la acotaci´on.

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

y = 4

y = −2

f (x) = x ² − 6x + 8

+

b

+

b

La funci´on f (x) = x ² − 6x + 8 definida en el intervalo [1, 5] est´a acotada por los valores y = 4 e y = −2, es decir,

∀x ∈ [1, 5] ⇒ −2 < f(x) < 5

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Ejemplo Teorema de la acotaci´on.

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

f (x) = 1 x − 2

+

bb

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Teorema de Weierstrass

Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua en el intervalo [a, b] entonces f alcanza en el intervalo [a, b]

un m´aximo absoluto y un m´ınimo absoluto.

∃x ¹ , x 2 ∈ [a, b] tales que f(x ¹ ) < f (x) < f (x 2 ) ∀x ∈ [a, b]

a

x 1 b

x 2

+

b

b

+

b

+

bb

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Ejemplo Teorema de Weierstrass

f (x) = 1

3 x ³ − 1

2 x ² − 2 x + 3

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

−3

+ +

b b

b b

∀x ∈ [−2, 3] f(2) ≤ f(x) ≤ f(−1)

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Ejemplo Teorema de Weierstrass

f (x) = x ² − x + 1

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

−2

+ +

b b

f (x) = x ² − x + 1∀ x ∈ [1, 3] f(1) ≤ f(x) ≤ f(3)

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Ejemplo Teorema de Weierstrass

1 2 3 4 5 6 7

− 1

1 2

− 1

− 2

− 3 1

2 +

b

+

b b

+

f (x) = x ² − x + 1∀ x ∈ [−2, 1] f  1 2



≤ f (x) ≤ f (−2)

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Teorema de Bolzano

Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua en el intervalo [a, b] tal que f(a) < 0 y f(b) > 0, (f(a) > 0 y f (b) < 0) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

a

c b f (a)

f (b)

b b

+ + +

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Demostrar que la funci´on x ³ − x ² + 1 = 0 tiene al menos una ra´ız y localizarla

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Demostrar que la funci´on x ³ − x ² + 1 = 0 tiene al menos una ra´ız y localizarla

Sea f (x) = x ³ − x ² + 1 = 0 por ser un polinomio es una funci´on continua en todo R. Vamos a buscar un intervalo que cumpla las condiciones del Teorema de Bolzano.

f (−1) = (−1) ³ − (−1) ² + 1 = −1 < 0 f (0) = 1 > 0 Por tanto existe un c ∈ (−1, 0) tal que f(c) = 0

1 2 3

−1

−2

1 2 3

−1

−2

−3

bb b

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Probar que las gr´aficas de las funciones f (x) = e ^−x y g(x) = ln x se cortan en alg´ un punto.

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Probar que las gr´aficas de las funciones f (x) = e ^−x y g(x) = ln x se cortan en alg´ un punto.

Sea h(x) = f (x) − g(x) la funci´on h(x) es continua puesto que es diferencia de dos funciones continuas en el dominio D = (0, +∞)

Buscamos un intervalo donde h(x) cumpla las condiciones del Teorema de Bolzano h(1) = e ⁻¹ − ln 1 = 1

e > 0 h(2) = e ⁻² − ln 2 = 1

e ² − ln 2 ≃ 0 ^′ 14 − 0 ^′ 69 = −0 ^′ 55 < 0

∃c ∈ (1, 2) tal que h(c) = 0 ⇒ f(c) − g(c) = 0 ⇒ f(c) = g(c)

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

f (x) = e ^−x

g(x) = ln x

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Consecuencia del teorema de Bolzano. Teorema de la conservaci´on de la conexi´on

Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua en el intervalo [a, b] y sea k tal que f(a) < k < f(b) o f (b) < k < f (a) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = k.

y = k

f (a)

f (b) f (c)

a c b

b b

+ +

b

+

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Demostrar que la ecuaci´on π ^x = e tiene una soluci´on en el intervalo [0,1].

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Demostrar que la ecuaci´on π ^x = e tiene una soluci´on en el intervalo [0,1].

Sea f (x) = π ^x una funci´on continua en todo R

f (0) = π ⁰ = 1 < e f (1) = π ¹ > e Por el teorema de la conexi´on.

∃c ∈ (0, 1) tal que f(c) = e ⇒ π ^c = e

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

f (x) = π ^x − e

Funci´on. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo [a, b]

Teorema de Darboux

Si una funci´on es continua en el intervalo (a, b), la funci´on toma en ese intervalo todos los valores comprendidos entre el m´aximo y el m´ınimo.

f (a)

f (b)

a b

b b

+ +

+

+