TEMA 4
ECUALIZADORES
Inmaculada Hernáez Rioja
TEMA 4 Ecualizadores ... 4-1
4.1 Demodulación óptima para IES y ruido gausiano blanco ... 4-1
4.2 Forzador de paso por cero... 4-2
4.3 Filtrado Adaptativo ... 4-5
4.3.1 Introducción... 4-5
4.3.2 Criterio del Error cuadrático medio mínimo ...4-6
4.3.3 Algoritmo LMS... 4-7
4.4 Ecualizador adaptativo basado en el criterio MSE... 4-8
4.5 Forzador de ceros adaptativo ... 4-9
4.6 Ecualizador con realimentación de decisiones...4-11
4.7 Ecualizadores fraccionales ...4-13
4.8 Ejercicios...4-14
4.8.1 Problema 1...4-14
4.8.2 Problema 2...4-14
4.8.3 Problema 3...4-15
4.9 Bibliografía...4-16
TEMA 4 ECUALIZADORES
4.1 DEMODULACIÓN ÓPTIMA PARA IES Y RUIDO GAUSIANO BLANCO En este apartado consideramos la transmisión de la señal por un canal afectado por los dos efectos perniciosos ya comentados: ruido blanco e interferencia entre símbolos, considerados de forma conjunta.
Consideremos la señal transmitida = ∑ −
n T
n
g t nT
a t
s ( ) ( ) y la señal recibida por el receptor
∑ − +
=
n
n
h t nT z t
a t
r ( ) ( ) ( ) en donde h(t) es la respuesta del canal a g
T(t) , y z(t) es ruido gausiano blanco.
Puede demostrarse que el demodulador óptimo puede obtenerse con un filtro adaptado a h(t) , seguido de un muestreo a 1/T y un algoritmo de procesamiento de las muestras obtenidas:
h*(-t) Algoritmo de
decisión r(t)
z(t)
t=nT {A k }
h*(-t) Algoritmo de
decisión r(t)
z(t)
t=nT {A k }
El demodulador óptimo de máxima probabilidad (ML, Maximum Likelihood)) minimiza la probabilidad de error en una secuencia de datos recibida. Así, considerando una secuencia de datos recibida
) ( ) (
)
( kT a h kT nT z kT
r r
n n
k
= = ∑ − + la secuencia A
nque minimiza la probabilidad de error es aquella que maximiza la expresión (sin demostración por el momento, se estudiará en el Tema 5):
∑∑
∑ ⎭ ⎬ ⎫ −
−⎩ ⎨
⎧ ⋅
ℜ
⋅
n m
m n m n n
n
n
y a a x
a ·
2
* *en donde y
n= y ( nT ) = ∫
−∞∞r ( t ) h
*( t − nT ) dt y x
n= x ( nT ) = ∫
−∞∞h
*( t )· h ( t + nT )· dt Como vemos x
nson las muestras tomadas a 1/T de la función de autocorrelación de h(t) .
Puede verse en la expresión a maximizar que la decisión sobre cuál ha sido la secuencia transmitida, se toma utilizando una secuencia de muestras recibida (en un receptor de máxima probabilidad).
Si la función de autocorrelación x(t) tiene la forma de un pulso de Nyquist (por tanto no habrá IES en las muestras x
n-m), las muestras tomadas a 1/T serán cero (salvo x
0) y la cantidad a maximizar será:
* 2
2 ∑ − ∑
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧ ⋅
ℜ
⋅
n n n
n
n
y a
a que equivale a encontrar la secuencia { A
k} que maximiza
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧ ⋅
ℜ ∑
n n
n
y
a
*. Si
los símbolos son independientes entre sí, y todas las secuencias son igualmente probables, entonces la
evaluación del máximo para toda la secuencia, es equivalente a la evaluación del máximo símbolo a símbolo.
Es decir, la evaluación de una secuencia completa utilizando una secuencia de datos recibida tiene sentido cuando no todas las secuencias tienen la misma probabilidad. El estimado clásico basado en máxima probabilidad (estimador ML o MAP) utiliza el valor de un único símbolo para decidir el valor de un único símbolo. Otros estimadores conocidos como MLS, utilizan una secuencia de símbolos recibidos y evalúan el valor de un único símbolo. Finalmente, sistemas con decodificación de Viterbi, evalúan la secuencia completa transmitida, decidiendo sobre una secuencia completa.
El empleo de ecualizadores es una forma de considerar un conjunto de símbolos recibidos para estimar el valor de uno de ellos.
Ejemplo:
Consideremos la secuencia de longitud 2 recibida {0.7, 0.6} en un sistema con código AMI (símbolos -1, +1, 0, con secuencias del tipo +1 +1 y -1 -1 prohibidas. El sistema de decisión no puede estar basado en un único símbolo. La siguiente tabla muestra los valores de ∑ ⋅
n n
n
y
a
*: 0,6 0,7
-1 0 -0.6
-1 +1 0,1
0 0 0
0 -1 -0,7
0 +1 +0,7
+1 0 +0.6 +1 -1 -0,1
4.2 FORZADOR DE PASO POR CERO
Un forzador de pasos por cero trata de conseguir a su salida una señal sin interferencia entre símbolos, haciendo que cumpla el primer criterio de Nyquist.
Considere el modelo discreto de la figura:
H(z) C(z)
nk
ak yk
H(z) C(z)
nk
ak yk
a
kson los símbolos transmitidos. H(z) representa el filtro de transmisión junto con los efectos del canal. n
kson las muestras del ruido, modelado como gausiano blanco. C(z) es el ecualizador. y
kson por lo tanto los símbolos ecualizados.
Tomando q
k= h
k∗ c
k∑ ∑ ∑ ∑
≠ − −
−
−
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅
=
∗ +
∗
=
n n k n
n k n n
k n k
n
n k n n
k n k
k k k
k
a q n c a q n c a q a q n c
y
0en donde el término ∑
≠
⋅
−k n
n k n
q
a representa la interferencia del resto de los símbolos sobre el símbolo a
k. La Distorsión de pico por interferencia entre símbolos se define como ∑
≠
=
0 n
q
nD
El objetivo del ecualizador es eliminar en la medida de los posible la interferencia entre símbolos. Si disponemos de un número infinito de coeficientes en el filtro, podemos elegirlos de forma que cumplan que:
) 0 (
n 1
0 n
0 n
q
n= δ
⎩ ⎨
⎧
=
= ≠
Es decir que Q ( z ) = 1 = H ( z ) ⋅ C ( z ) ; y por tanto
) ( ) 1 ( z H z
C = .
Como vemos, el filtro ecualiza la señal compensando los efectos del canal. Además de ecualizar la señal, también filtrará el ruido: si la señal es pequeña, el filtro la amplificará, y amplificará también el ruido. Por otro lado, si la respuesta H(z) tuviera algún cero en su respuesta frecuencial, el filtro C(z) no resultaría estable.
Implementaremos un filtro FIR con un número finito de coeficientes (2N+1):
∑
+−
= −
≠
= =
⋅
=
NN n
n k n
k
k
h k c
q 0 0
0 1
El número de ecuaciones resultantes dependerá de la longitud de h
k. Suponiendo h
k=0 k<0 y k>L-1 , podremos forzar valores de q
kpara − N ≤ k ≤ L − 1 + N , de forma que tenemos 2N+L ecuaciones.
Expresándolo en forma matricial:
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
⋅
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
=
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
− +
− +
+
−
−
−
N N
L L
N L
N
N N
c c
h h
h
h h
h
h h
h
...
...
...
...
...
0 ...
...
1 ...
0
1 2
2 1 2
1 2 0
1
2 1
0
Es decir, más ecuaciones que incógnitas, por lo que tenemos un sistema sobredeterminado, que por lo tanto no tiene una única solución, y todas las soluciones encontradas serán sub-óptimas.
Una forma de resolver el problema suele ser considerar únicamente 2N+1 puntos de q
k, y admitiendo la existencia de la interferencia entre símbolos distanciados más de +N o –N del símbolo actual. Se puede demostrar que ésta es la solución óptima si se cumple que:
1
|
| |
|
1
10 1
0
= ∑
−<
= L
n
h
nD h
Esta condición equivale a tener el ojo abierto antes de la ecualización, es decir que la IIS no es suficientemente severa como para cerrar completamente el ojo. Bajo estas condiciones, se minimiza la distorsión de pico eligiendo los coeficientes del ecualizador para que se cumpla la condición:
∑
+−
= −
≠
= =
⋅
=
NN n
n k n
k
k
h k c
q 0 0
0 1
en el rango kЄ[-N, N], y en general, con interferencia entre símbolos residual para N<k <N+L.
Por otro lado, el diseño de este filtro requiere conocer la respuesta al impulso del sistema.
Ejemplo
La transmisión de una señal de pulso con espectro de coseno alzado da como resultado la siguiente secuencia muestreada en el receptor:
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
=
−
=
resto 0
2 k 0.05
1 k 0.2 -
0 k 1
1 k 0.1
-2 k 5 . 0
x
ka) Determinar los coeficientes de un filtro ecualizador de 3 etapas forzador de pasos por cero.
b) Para los coeficientes calculados determinar la salida para un pulso aislado como el descrito y determinar la expansión de la ISI en el tiempo.
Solución:
a) Adoptamos la solución y [ n ] = c
−1x [ n + 1 ] + c
0x [ n ] + c
1x [ n − 1 ]
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
−0 1 0
x[0]
x[1]
x[2]
x[-1]
x[0]
] 1 [
x[-2]
x[-1]
] 0 [
1 0 1
c c c x
x
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
−0 1 0
1 0.2 0.05
0.1 1 0.2
0.5 - 0.1 1
1 0 1
c c c
Despejando los coeficientes obtenemos:
0.1961 c
0.9804, c
,
0
0 11
= = =
c
−b)
{ - 0.4902, 0, 1, 0, 0.0098, 0.0098 }
h[n]
* x[n]
y[n] = =
4.3 FILTRADO ADAPTATIVO
4.3.1 INTRODUCCIÓN
Existen numerosas aplicaciones en el procesado de la señal digital en las que los coeficientes de un filtro no pueden determinarse a priori. Esto se debe a que las características estadísticas de las señales a filtrar son desconocidas en principio o variantes con el tiempo.
Consideremos por ejemplo, un módem de alta velocidad que se diseña para la transmisión de datos por canales telefónicos con distintas respuestas frecuenciales. La única manera de compensar las distintas distorsiones de estos es disponer de un ecualizador con coeficientes ajustables que se optimizan para minimizar algún tipo de medida de la distorsión. De la misma forma que un filtro con parámetros ajustables es un filtro adaptativo, un ecualizador así, será un ecualizador adaptativo.
El estudio de este tipo de filtros ha cobrado un gran interés durante los últimos 15 o 20 años, debido a sus numerosas aplicaciones. Algunas de las más notables son:
1. Sistemas adaptativos de antena en los que los filtros adaptativos se utilizan para dirigir el haz y para generar nulos en el diagrama de radiación y eliminar interferencias indeseadas
2. Receptores de comunicación digitales en los que los filtros adaptativos se usan para la identificación del canal y ecualización de interferencia entre símbolos.
3. Técnicas canceladoras de ruido en las que el filtro adaptativo es usado para estimar y eliminar la componente ruidosa en la señal deseada.
4. Modelado de sistemas, en los que el filtro adaptativo es usado como modelo para estimar las características de un sistema desconocido.
Estas son tan sólo unas pocas de las muchas aplicaciones del uso de filtros adaptativos.
Aunque se pueden usar tanto filtros FIR como IIR en el filtrado adaptativo, es el filtro FIR el más comúnmente utilizado. El filtro FIR sólo tiene ceros ajustables y además no presenta algunos problemas de estabilidad que sí tienen los IIR además de polos y ceros ajustables. La estabilidad de un filtro adaptativo IIR depende del algoritmo usado para ajustar los coeficientes. El criterio de optimización más utilizado es el criterio MSE (Error Cuadrático Medio Mínimo).
Para la implementación de los filtros FIR, se utilizan sobre todo la forma directa y la estructura Lattice. A
continuación se presenta la implementación en forma directa de un FIR adaptativo con coeficientes ajustables.
Ajuste de coefs
Salida
h(0) h(1) h(2) h(3) h(4)
∑
−1 1 z
z− z−1 z−1
Entrada
4.3.2 CRITERIO DEL ERROR CUADRÁTICO MEDIO MÍNIMO
Considere el esquema siguiente, en el que tratamos de estimar una secuencia d(n) , utilizando un filtro FIR de M coeficientes.
FIR {ck}
d(n)
x(n) d`(n)
e(n)
El error cometido en la estimación valdrá:
∑
−=
−
−
=
10
) ( )
( ) (
M
k
k
x n k
c n
d n e
El criterio para el cálculo de los coeficientes, es minimizar la potencia del error cometido en la estimación:
⎪⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ − −
= ∑
−= 1 2
0
) ( )
(
M
k
k
x n k
c n
d E
E -> mínimo
Desarrollando E:
{ } ∑ { } ∑∑
−{ }
=
−
=
−
=
−
− +
−
−
=
10 1
0 1
0
2
2 ( ) ( ) ( ) ( )
) (
M
k
l M
k k M
k
k
E d n x n k c c E x n k x n l
c n
d E E
E resulta ser una función cuadrática de los coeficientes y la solución óptima para los coeficientes c
kes aquella para la que se cumple:
∑
−=
−
=
10
*
( )
) (
M
k xx k
dx
l c r k l
r , l=0…M-1
en donde donde r
xx(l ) es la función de autocorrelación de la secuencia x (n ) , y r
dx(l ) la correlación de la señal deseada d(n) y la entrada disponible. c
k∗son los coeficientes óptimos del filtro.
Además, de hacer mínima la expresión
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − ∑
−−
= 1
0
) ( )
( ) (
M
k
k
x n k
c n
d n e
E se obtiene que
{ e ( n ) x ( n − k ) } = 0
E de lo que se deduce que error y datos están incorrelados.
4.3.3 ALGORITMO LMS
Por medio de este método vamos a tratar de establecer de modo iterativo el valor de la potencia del error
MSE, E. La función { } ∑ { } ∑∑
−{ }
=
−
=
−
=
−
− +
−
−
=
10 1
0 1
0
2
2 ( ) ( ) ( ) ( )
) (
M
k
l M
k k M
k
k
E d n x n k c c E x n k x n l
c n
d E
E es una
función cuadrática de los coeficientes. En la siguiente figura se ha representado esta función para dos
coeficientes. El cálculo de los valores de los coeficientes, consistirá en encontrar el punto en el que la función
se hace mínima, E
min..
Para ello nos basaremos en el método de descenso por gradiente donde bajaremos hasta el punto E
min. Descendiendo por la cuadrática en la dirección contraria al gradiente. Aplicaremos la siguiente ley de recursividad:
[ ( ) ]
) ( ) ( ) 1
( n c n n g n
c
k+ =
k+ µ −
kk = 0…M-1
Si usamos notación matricial (y marcamos las matrices o vectores columna con negrita):
c (n + 1) = c (n) + µ ( )( n − g ) g = ∇E
c
n: es el vector de coeficientes del filtro en la n-ésima iteración. El vector inicial de coeficientes, c
o(M), se elige de manera arbitraria. M indica el número de coeficientes del filtro (orden M-1).
µ
n: constante de velocidad de convergencia o tamaño de paso. Se trata de un valor que puede ser variable y puede ir ajustándose en cada iteración (por ejemplo, podemos comenzar con pasos grandes, e ir reduciendo su valor a medida que nos aproximamos al mínimo.
g: vector de dirección en cada instante. Puesto que se calcula por medio de un gradiente, este descenso será el más abrupto. Además el signo negativo que incluye la expresión nos indica que vamos en dirección contraria al gradiente.
Se puede demostrar que mediante este algoritmo c
n(M) converge a la solución óptima cuando n → ∞ , debido a que la secuencia de tamaños de paso es absolutamente sumable. De esto se desprende que cuando n → ∞ ,
g → 0 .
g es desconocido, por lo que deberá ser estimado. Utilizaremos la estimación de Widrow, aproximando el estimando el valor de la potencia del error, por su valor instantáneo:
{ }
$
( )( ) ( )
( )( )
g = ∇
c ne n
2= ⋅ 2 e n ⋅ ∇
c ne n , donde e n ( ) = d n ( ) − d n $( ) y ∇
c(n)e ( n ) = x (n) . Con todas estas consideraciones el algoritmo nos queda finalmente de la forma:
) ( ) (
2 e n n
(n) 1) +
(n c x
c = + µ ⋅ ⋅
o también:
) ( )·
( )·
(
· 2 ) ( ) 1
( n c n n e n x n k
c k + = k − µ − k = 0…M-1
4.4 ECUALIZADOR ADAPTATIVO BASADO EN EL CRITERIO MSE
La siguiente figura muestra el esquema de un ecualizador adaptativo basado en el criterio MSE, y utilizando el
algoritmo LMS para el ajuste de los coeficientes del filtro:
4.5 FORZADOR DE CEROS ADAPTATIVO
En un sistema con IES, la distorsión introducida se evalúa mediante el valor de la Distorsión de pico D,
calculada como ∑ ∑ ∑ + −
≠ −
= = − −
− +
≠ −
=
⋅
=
= 1
0 1
0
|
|
|
|
L N
n N n
N N j
j n j L
N
n N n
h c q
D n , en donde h(n) es la respuesta al impulso del
canal a ecualizar, y L la longitud de h(n) . El cálculo del valor de los coeficientes que hacen mínimo el valor de D requiere el empleo de métodos numéricos.
Se puede demostrar, que si se cumple la condición:
1
|
| |
|
1
10 1
0
= ∑
−<
= L
n
h
nD h
la distorsión de pico se minimiza seleccionando los coeficientes del ecualizador al forzar:
1
|
| 1 0
0
=
≤
≤
⇐
= q
N n q
n.
La condición expresada implica que la interferencia entre símbolos a la entrada del ecualizador no es lo
suficientemente severa para cerrar el ojo.
Los valores de q n para n>N serán distintos de cero, y constituyen la interferencia entre símbolos (IES) residual a la salida del filtro ecualizador.
En este apartado demostraremos que la solución de forzado a cero cuando D 0 <1 se puede obtener mediante un algoritmo adaptativo consistente en hacer:
} { e ( n ) ⋅ a ˆ ( n − k ) = 0
E
en donde a ˆ n ( ) es la secuencia de datos deseados. Es decir, los coeficientes están adaptados óptimamente según el criterio forzador de ceros cuando el error es ortogonal a la secuencia de datos deseados (no se trata por lo tanto del criterio MSE, en el que el error es ortogonal a los datos).
Teniendo en cuenta que e ( n ) = a ( n ) − a ~ ( n ) , siendo = ∑ − + ∑ −
j j
j
n n j
c j
n q j a n
a ( ) ( )· ( ) · ( )
~ los datos
estimados (obtenidos a la salida del filtro), y suponiendo que las decisiones se están tomando correctamente de forma que a ˆ ( n ) = a ( n ) :
{ ( ) ~ ( ) } · ( ) ( ) ( )· ( ) · ( ) · ( ) )
ˆ ( )·
( n a n k a n a n a n k a n a j q n j c n n j a n k
e
j j
j
−
⎪⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧ − + −
−
=
−
−
=
− ∑ ∑
}
{ { }
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧ − − + − −
−
−
=
−
⋅ ∑ ∑
j j
j
n n j a n k
c j
n q k n a j a E k n a n a E k n a n e
E ( ) ˆ ( ) ( )· ( ) ( )· ( )· ( ) · ( )· ( )
Teniendo en cuenta que para símbolos incorrelados:
{ a ( l )· a ( m ) }
2· ( l m )
E = σ
aδ −
y que el ruido y los datos están incorrelados:
{ n ( l )· a ( m ) } = 0 E
}
{ ( ) ˆ ( )
2( )
2· ( )· ( ) =
2· ( ( ) − ( ) ) = 0
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧ − − −
−
=
−
⋅ a n k k E ∑ n k j q n j k q k
n e
E
aj a
a
δ σ δ σ δ
σ
Es decir, q ( k ) = δ ( k )
Por lo que podemos hacer un ajuste adaptativo de los coeficientes, utilizando los datos deseados a ˆ n ( ) , y cuando éstos alcancen su valor óptimo, el filtro se comportará como un forzador de ceros.
El algoritmo consistirá por tanto en ajustar los coeficientes según la siguiente ecuación:
) ˆ ( )·
(
· 2 ) ( ) 1
( n c n n a n k
c
k+ =
k− µ −
El esquema de la siguiente figura muestra la implementación del forzador de ceros adaptativo.
4.6 ECUALIZADOR CON REALIMENTACIÓN DE DECISIONES
El esquema general de este ecualizador no lineal se muestra en la siguiente figura:
Como vemos, incluye dos filtros: un filtro con alimentación hacia delante (feedforward) y un filtro de realimentación. La entrada al filtro feedforward es la secuencia de datos recibida { x k }, de forma similar a los ecualizadores lineales estudiados. La parte del filtro con realimentación, utiliza como entrada la secuencia de decisiones tomadas sobre los símbolos anteriores. Este filtro, eliminará la IES provocada sobre el símbolo actual por los símbolos anteriores, mientras que el filtro feedforward se encargará de la IES provocada por los símbolos siguientes al símbolo actual. Esto queda reflejado en la siguiente expresión:
∑ ∑
−
= =
− +
−
=
01
2
1
) ˆ (
· )
(
· )
~ (
M j
M
j j
j
x k j c a k j
c k
a
Para el cálculo iterativo de los coeficientes del filtro, puede aplicarse cualquiera de los dos criterios anteriormente vistos, el criterio MSE o el critero de Forzado de pasos por cero. En ambos casos, el segundo filtro actuará eliminando totalmente la parte de la IES causada por los símbolos ya detectados, siempre que las decisiones sean correctas ( a ˆ ( k ) = a ( k ) ).
La siguiente figura muestra el esquema para el ecualizador con realimentación de decisiones, basado en el
criterio MSE:
4.7 ECUALIZADORES FRACCIONALES
En las estructuras estudiadas, el filtro ecualizador trabaja a velocidad de símbolo r=1/T. Este espaciado es óptimo si el filtro va precedido de un filtro adaptado a la distorsión del canal introducida sobre el pulso transmitido. Pero cuando las características del canal son variantes o desconocidas, el filtro del receptor se adapta usualmente al pulso transmitido, y el instante de la recepción estará optimizado para este filtro subóptimo. Este hecho provoca por lo general que el comportamiento del ecualizador sea muy sensible a la elección del instante de muestreo.
Por otro lado, el espectro de la señal a la entrada del ecualizador tendrá por lo general un ancho de banda algo superior a r/2. Por tanto, la señal que “ve” el filtro a su entrada es una versión con solapamiento (aliasing) del espectro de la señal, y será esta versión la que el ecualizador tratará de compensar.
Estos problemas son los que trata de solucionar el ecualizador fraccional, en el que la velocidad de trabajo del ecualizador es superior a la velocidad de símbolo r.
Consideremos un canal con respuesta global h(t) . Si se produce un error en la elección del instante de
muestreo, podemos considerar que la respuesta del canal es h(t-t 0 ) , en donde t 0 es el error cometido. Al
muestrear a periodo de símbolo kT , obtendremos una respuesta frecuencial:
∑
∑ − = −
=
− − −k
t T j k ft
j k
t T f k j
T e f k H e
T e f k H f
Y ( ) ( )
2π( )0 2π 0· ( )
2π 0que en el rango de frecuencias de trabajo, y considerando sólo las frecuencias positivas, 0<f<1/2T :
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ + −
=
− 0 0 − 0 02 1 2
2 1
2
1 )· · ( ) 1 ·
( ) (
· )
(
j fte
j Tte
j ftH f e
j Ttf T H f H e
f
Y
π π πα
π0<f<1/2T
con ( )
1 ) (
f H
f T
H −
α = , y α < 1 generalmente, ya que H(f) decrece monótonamente. Así, vemos que el
espectro ha quedado afectado por el factor ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 1 + α · e
j2πT1t0, cuyo módulo puede escribirse como:
{ }
02
2 ·
·cos
· 2
1 t
T α π
α + ℜ +
Así, la respuesta que ve el filtro varía en función de t0. Son especialmente problemáticos los valores de t0 para los cuales se produzcan nulos o casi nulos, ya que el ecualizador tratará de compensarlos introduciendo mucha ganancia, y enfatizando el ruido. El peor valor para el error cometido es t0=T/2.
La solución viene dada con el empleo de un filtro que trabaje a velocidad superior, con una frecuencia de muestreo tal que no se produzca aliasing. Considerando un ancho de banda para la señal recibida
) 1 2 ( + ρ
= r
B , utilizaremos fs>2B=r(1+ ρ ). Un ecualizador que trabaja con un espaciado entre muestras de T se llama ecualizador T-espaciado. Así, por ejemplo, si ρ =1 y T es la velocidad de símbolo, deberíamos utilizar un ecualizador T/2-espaciado, si ρ =0.5, 2T/3-espaciado etc.. Los símbolos siguen calculándose cada T , por lo que en un filtro adaptativo, los coeficientes se seguirán actualizando cada T segundos.
Aunque un ecualizador T/2 espaciado tiene una longitud temporal mitad de la de un T-espaciado con el mismo número de coeficientes, el comportamiento del ecualizador fraccionalmente espaciado es al menos tan bueno como el del T-espaciado para cualquier tipo de canal, y es notablemente superior cuando el canal presenta distorsiones severas en los bordes de la banda.
4.8 EJERCICIOS
4.8.1 PROBLEMA 1
Explique la diferencia conceptual entre un ecualizador adaptativo forzador de pasos por cero, y uno basado en el criterio MSE. Explique también cual es la diferencia en la implementación del filtro adatativo. Dibuje los esquemas correspondientes.
4.8.2 PROBLEMA 2
¿Porqué un forzador de ceros no es adecuado para un canal con ceros en su respuesta frecuencial?
4.8.3 PROBLEMA 3
Considere la transmisión de símbolos {a
k} a través del siguiente canal discreto:
Z -1 a k
x k
2 1
2 1
Z -1 a k
x k
2 1
2 1
Los símbolos {a
k} están incorrelados, de forma que E { a
k⋅ a
k−n} = δ ( n ) .
1) Calcule la autocorrelación de la secuencia recibida {x
k}, r
xx( n ) = E { x
k⋅ x
k−n} .
Ecualizador MSE
Para ecualizar la secuencia {x
k} en recepción se utiliza un ecualizador basado en el criterio MSE.
2) Obtenga las ecuaciones generales que permiten obtener los M coeficientes del filtro C(z) según el criterio MSE aplicado sobre la secuencia e(n) de la figura
C(z) x k
d k
e k
C(z) x k
d k
e k
3) Considerando que la secuencia deseada es d
k=a
k-1, (es decir, el filtro introduce un retardo de una muestra) encuentre los valores de los coeficientes del ecualizador MSE de orden 2. Si no ha obtenido las ecuaciones en el apartado anterior, utilice la expresión · ( ) ( ), 0 ... 1
1
0
−
=
=
∑
−−
=
M n
n r k n r
c
dxM
k
xx
k
