Electricidad y Magnetismo Curso

(1)

J.L. Fernández Jambrina^2004/2005 EyM 2-23

Ecuaciones de Estado

• Incorporan en el modelo de Maxwell el efecto del medio.

• Los vectores y incluyen el efecto del medio y son función del medio y, en general, de los vectores y .

• En la mayor parte de los medios:

• En el vacío:

se acostumbra a expresar las ecuaciones de estado como:

Dr Br

Hr Er

(

^E ^H

)

^B ^B

(

^E ^H

)

D

Dr r r r r r r r

, , medio ,

,

medio =

=

(

^E

)

^B ^B

(

^H

)

D

Dr r r r r r

, medio ,

medio =

=

( )

(

^medio^medio^,^,

)

=^permitivid^permeabili^ad^dad^dielectric^magnetica^a µ

= µ µ

=

= ε

= ε ε

=

H H

B

E E

Dr r r

r r

r

( ) (

H m

)

10 1,257 10

4

m F 10 854 , 10 8 9 4

1

8 7

0 0

12 0 9

0

−

⋅

=

⋅ π

≈ µ µ

=

⋅

⋅ =

⋅

≈ π ε ε

= H B

E D

r r

( )

^m^s

10

1 3 8

0 0

⋅ µ ≈ ε

• Considerando un medio como una distribución de cargas en el vacío.

– En reposo estas cargas (ligadas) se cancelan.

– En presencia de un campo , se modifica su posición relativa, no se cancelan: El medio se polariza.

• Considerando un medio como una distribución de corrientes en el vacío.

– En reposo las corrientes (ligadas) se cancelan.

– En presencia de un campo , se modifican y no se cancelan: El medio se magnetiza.

Influencia de los campos sobre los materiales

E

r ≠ 0

- +

E

r = 0

- +

Er

B

r = 0 r

B

≠ 0

Hr

(2)

• En una región vacía existe un campo .

– Se verifica:

• Si la región se rellena con un material

que se polariza, , el campo ahora será .

– Se verifica:

– Definiendo el vector polarización, , como:

– Definiendo como:

– se relaciona con el campo a través de la susceptibilidad eléctrica:

– En general , aunque en los medios lineales

» permitividad o constante dieléctrica relativa.

Influencia sobre los materiales: Polarización

Pr

ligada

ρ

E Pr ^e r

ε0

χ

(

^E

)

=

e

e r

, medio χ

= χ

( )

Ê Ê Ê

E E P D

D _r

r e

e r r r

3 2 1 r r r r

r ε =εε =ε

εχ +

= ε χ + ε

= +

= 0 0 0 1 0 0

= ε_r

- +

Er

( )

ε =ρ

⋅

∇ ₀Er₀

( )

εE =ρ+ρligada

⋅

∇ r

0

(

^ε ⁺

)

⁼^ρ

⋅

∇

⇒ ρ

−

=

⋅

∇ Pr _ligada Er Pr

0

Pr

Dr

ρ

=

⋅

∇

⇒ + ε

= E P D

Dr r r r

0

El vector permite olvidar las cargas ligadas.Dr Er₀ Er0

Er

(

medio

)

e e=χ χ

• En una región vacía existe un campo .

– Se verifica:

• Si la región se rellena con un material que se magnetiza, , el campo ahora será:

– Definiendo el vector magnetización, , como:

– Definiendo como:

– está relacionado con el campo a través de la susceptibilidad magnética:

– En general , aunque para medios lineales:

– permeabilidad magnética relativa.

Influencia sobre los materiales: Magnetización

Mr

ligada

Jr

1+χ µ0

= χ χ

= B

H

M _m

m m

r r r

µ_r=

Br Br₀

t D J B µ = +∂ ∂

×

∇ 0 0 0

r r r

(

^B ^M

)

^J ^D ^t

J

M = _ligada⇒∇× µ − = +∂ ∂

×

∇ r r r r r r

0

Mr

Hr

t D J H M

B

Hr= rµ − r⇒∇× r= r+∂r ∂

0

El uso del vector permite olvidar las corrientes ligadas.Hr t

D J

J

Bµ = + _ligada+∂ ∂

×

∇ r r r r

0

(

^H

)

m

m r

, medio χ

=

χ

(

H M

) (

H H

) ( )

H H H

B _r

r m

m r r r

3 2 1 r r r r

r µ =µµ =µ

µχ +

= χ + µ

= + µ

= 0 0 1 0 0

Br

(

^medio

)

m m=χ χ Br0

(3)

Influencia sobre los Materiales: Resumen

• Un medio se puede representar de las siguientes formas:

– Por sus distribuciones ligadas, y :

– Por su polarización, , y su magnetización, :

– Por su permitividad, ε, y su permeabilidad, µ, junto con los campos auxiliares y :

esta es la opción preferida en esta asignatura.

ligada

Jr

ligada

ρ

ligada ligada J

J r r

, ,

, ₀

0

ρ ρ

µ ε

0 0,µ ε

( ) ( ) ( )

ligada D ligada

ligada J

t J E

J B

E₀ ₀¹ ⁰ ⁰ _,

0

r r r

r r

r +

∂ ε +∂ +

= µ

×

∇ ρ + ρ

= ε

⋅

∇ ⁻

M P

Jr r

r

, ,

, ₀

0

ρ µ ε

0 0,µ Mr ε

Pr

( ) ( ) ( )

t P J E

M B P

E ∂

ε µ ∂

ρ ε

r r r

r + = ∇× − = + +

⋅

∇ ₀ ₀ ₀⁻¹ ⁰ ⁰

Jr , , ρ µ

0 ε

0,µ ε t

J D H

D ∂

+∂

=

×

∇ ρ

=

⋅

∇

r r r r

Dr Hr

Clasificación de los medios

• Según su respuesta al campo electromagnético los medios se clasifican en:

– Homogéneos: todos los puntos tienen las mismas propiedades.

» ε y µ no dependen de la posición:

– No homogéneos: sus propiedades varían de punto a punto

» ε y µ son función de la posición:

– Isótropos: sus propiedades no dependen de la dirección del campo.

» ε y µ son escalares:

– Anisótropos: sus propiedades dependen de la dirección del campo.

» ε y µ son tensores (matrices)

– Lineales: sus propiedades no dependen del valor del campo.

– No lineales: sus propiedades dependen del valor del campo.

»

H B E

Dr r r r µ

= ε

=

( )

r E B

( )

r H Dr r r r r r

µ

= ε

=

H B E

Dr r r r µ

= ε

=

H B E

Dr r r r µ

= ε

=

(

^E ^E ^t

)

^E ^B

(

^H ^H ^t

)

^H

D r

r L r r Lr r r

r=ε ,∂ ∂, =µ ,∂ ∂ , H

B E

Dr r r r µ

= ε

=

(4)

Ley de Ohm generalizada.

• Existe una relación adicional similar a las ecuaciones de estado:

La Ley de Ohm generalizada:

• σ= Conductividad (mho · m) = 1/ρ

– mho = Ohm al revés

• Es coherente con la definición clásica de resistencia:

• Equivale a decir que la velocidad media de los portadores de carga es proporcional al campo eléctrico;

E J r r σ

=

S L S n E

L n E I R V L

n E l d E V

S n E S n J S d J I S

=σ

⋅ σ

= ⋅

=

⎪⎭⇒

⎪⎬

⎫

⋅

=

⋅

−

=

⋅ σ

=

⋅

=

⋅

=

∫

∫∫

+

−

1 ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ r

r r

r r r

r

E Jr r σ

= nˆ S

L

+ -

1mho=1S=1Siemens=1 =1 1Ω

E v E J

v

J r r

r r r r

ρ

=σ

⎭⇒

⎬⎫ σ

= ρ

=

Constante de relajación

• La constante de relajación permite caracterizar un medio como conductor o dieléctrico (aislante):

– Si en el interior de un medio existe en el instante t=0:

– Si el medio es homogéneo, lineal e isótropo:

– La carga desaparece (emigra a la superficie) a una velocidad controlada por la constante de relajación:

• Si τ es mucho mayor que el tiempo de observación el medio es dieléctrico. Si es mucho menor el medio es conductor.

( )

⁰

0 =

∂ +∂ρ σ

⋅

∇

⎪⎭⇒

⎪⎬

⎫ σ

=

∂ = +∂ρ

⋅

∇

E t E

J

J t r

r r r

( )

=ρ

( ) ( )

− σε =ρ

( )

⁻ ^τ

ρ

⇒

= ερ +σ

∂

⇒∂ρ

⎪⎭

⎪⎬

⎫ ρ

=

⋅

∇ ε

=

⋅

∇

∂ = +∂ρ

⋅

∇

σ t

e t r e r t t r

E D

E t r r r

r r

r

0

, 0

0 0

( )

rr ρ0

σ

= ε τ

ρ ρ_S

(5)

Ejemplos de medios

Material ε

^r

µ

^r

σ (S/m) τ (s)

Agua destilada 80 1 2,0E-04 3,5E-06

Agua Dulce 80 1 1,00E-03 7,1E-07

Agua de Mar 72 1 4 1,6E-10

Vidrio 6 1 1,00E-12 53,1

Porcelana 5,7 1 2,00E-13 252,3

Cuarzo 3,8 1

Cuarzo Fundido 3,8 1 1,00E-17 3364520,0

Mica 6 1 1,00E-15 53124,0

Cobre 1 0,99999 5,80E+07 1,5E-19

Plata 1 0,99998 6,17E+07 1,4E-19

Oro 1 0,99996 4,10E+07 2,2E-19

Aluminio 1 1,000021 3,54E+07 2,5E-19

Hierro 1 4 1,03E+07 8,6E-19

Mumetal 100

• La constante de relajación del cuarzo equivale a 38.9 días y la de la mica a 14,8 horas

• Algunos de estos datos presentan diferencias de hasta un orden de magnitud entre las diferentes referencias consultadas

Condiciones de contorno en las interfases

• Las ecuaciones diferenciales no son válidas en las interfases entre medios diferentes.

– Es necesario obtener y aplicar condiciones de contorno que permitan el salto de un medio a otro.

• El procedimiento general consiste en suponer que la transición entre medios se produce de forma suave en un intervalo , aplicar la ecuación integral y después hacer tender

∆n

→0

∆n

(1) (2)

∆n ε µ σ₂, ₂, ₂

ε µ σ₁, ₁, ₁

Medio 1 Medio 2

2 2 2 2

2 2 2

, , ,

, ,

B H D Er µr σr r ε

1 1 1 1

1 1 1

, , ,

, ,

B H D Er µrσr r ε

$n

Atención a la definición de nˆ

S

JrS,ρ

(6)

Condición de interfase para

• Aplicando la Ley de Gauss a la superficie cerrada de la figura:

– Si , entonces y ...

– La integral desaparece porque la elección de S es arbitraria.

D r

∫∫

∫∫∫ ∫∫

∫∫

⋅ +

⋅

=

⋅

ρ + ρ

=

⋅

SC lat

V S S

SC

sD dS s D dS

s D dS S

d D

dS dV

q q S d D

r r r r r r r r

r r

2 2 1

1

n n n n S

S S S

S₁→ ₂→ _LAT→0 ˆ₁→−ˆ ˆ₂→ˆ

( )

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

ρ

=→

⎪⎭⇒

⎪⎬

⎫ ρ

→ ρ

−

⋅

=

⋅

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

→

⋅

→

⋅

−

→

⋅

∫∫ ∫∫

∫∫∫ ∫∫

∫∫

S S S S

S S V

SC

lat

dS dS q

dS dV

sn D D dS S

d D sD dS

sn DdS sD dS

sn DdS s D dS

0

ˆ 0

ˆ ˆ

1 2 2

2

1 1 1

r r r

r r

r

r r

r

r r

r

( )

S

D D

nˆ⋅ r2− r1 =ρ

→0

∆n

LAT

SC S S S

S = 1+ 2+

$n $n₂

$n1

S

∆n

(2) (1) ε µ σ₂ ₂ ₂

ε µ σ₁ ₁ ₁ S₂

S₁ S_LAT

Condición de interfase para

• Aplicando la ley de Ampère en el contorno de la figura:

– Si entonces:

H r

∫

∫∫ ∫ ∫

∫

∫∫

∫

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

⋅

∂ ⋅ + ∂

=

⋅

L S S

Lat L

L C

S C

dl m J dS m J I

l d H l d H l d H l d H

S t d I D l d H

ˆ ˆ

21

1 1 2

r r

r r r r r r r r

r r r

r

( )

L

r r r r

r

r r r

r r

r

r r r r r

⇒

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

→

⋅

→

⎪⎭⇒

⎪⎬

⎫

⋅

→

⋅

→

⋅

−

⋅

→

⋅

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

→

⋅

=

⋅

→

⋅

−

=

⋅

−

→

⋅

∫∫

∫ ∫

∫ ∫∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

S

L S L S

L S S

L C

Lat

L L

L

L L

L

dS t m D

dl m J dl I

m J dl m J

dS m J

dl H H l l d H l

d H

dl l H l d H l d H

dl l H l d H l

d H

0 0

0

1 2 2

2 2

1 1

1

21 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

∂

$n

∆n

(2) (1)

ε µ σ₂ ₂ ₂ ε µ σ₁ ₁ ₁ $l

$m

∆l

L₁ L₂

L Lat

2

1 L

L Lat C= + +

→0

∆n

0

0 ₁→ ₂→ →

→ L L L L S

Lat

(7)

• De la transparencia anterior y como la elección de L es arbitraria:

• Considerando que:

• Y como la orientación de L es arbitraria:

Condición de interfase para (2) r H

$n

(2) (1)

ε µ σ₂ ₂ ₂ ε µ σ₁ ₁ ₁ $l

$m

∆l L

( )

( ) ( )

^J ^m

H S H l dl m J dl H H l dS

t m D

dl m J I

dl H H l l d H

L S S L

S

L S L C

ˆ ˆ ˆ ˆ

0 ˆ

ˆ ˆ

1 2 1

2 1

2

⋅

=

−

⋅

⇒

⋅

=

−

⋅

⇒

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

→

∂ ⋅

∂

⋅

→

−

⋅

→

⋅

∫

∫∫

∫ ∫

∫

_r _r _r _r _r _r

r

r r r r

r

n m lˆ= ˆ×ˆ

( ) ( ) ( )

( )

(

ⁿ ^H ^H

)

^m

H H n m H H l m J

S S S S

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

1 2

1 2 1

2

⋅

−

×

=

−

⋅

×

=

−

⋅

=

⋅

r r

r r r

r r

(

H H

)

S JS

n r r r

=

−

× ₂ ₁

ˆ

Condiciones de interfase para , y

• Siguiendo procesos análogos al seguido para se obtiene:

• Siguiendo un proceso análogo al seguido para se obtiene:

B r r E

Hr Dr

( )

⁰

ˆ× ₂− ₁ =

S

E E n r r

( )

⁰

ˆ⋅ ₂− ₁ =

S

B B n r r

( )

dt J d

J

n ^S

S

− ρ

=

−

⋅ ₂ ₁

ˆ r r

(

D D

)

S S

nˆ⋅ r₂− r₁ =ρ

(

H H

)

S JS

n r r r

=

−

× ₂ ₁

ˆ q

S d

SD⋅ =

∫∫

^r ^r

=0

∫∫

SBr⋅dSr

dt S dq d J

S ⋅ =−

∫∫

^r ^r

∫∫

∫

C ^⋅ ⁼ ⁺ S^∂_∂ ^⋅dS t I D l d

Hr r r r

∫∫

∫

C ^⋅ ⁼⁻ S^∂_∂ ^⋅dS t l B d

Er r r r

J r

(8)

Linealidad de las ecuaciones de Maxwell Principio de Superposición

• En el caso de medios lineales, ε, µ y σ independientes del valor de los campos, las ecuaciones de Maxwell son lineales:

– Todas las operaciones implicadas son lineales: sumas, productos y derivadas.

– Esto quiere decir que si:

» dan lugar a unos campos

– Entonces, dan lugar a

• Este hecho recibe el nombre de principio de superposición.

– Permite descomponer una situación en varias más simples.

1 1, Jr ρ

2 2, Jr

ρ ¹ ¹

, B Er r

2 2, B Er r

2 1 2

1 ,Jr Jr Jr

β + α

= βρ + αρ

= ρ

2 1 2

1 E,B B B

E

Er r r r r r

β + α

= β + α

=

• En una región existe un campo electromagnético:

• Si en ella se mueve una carga q con una velocidad , sobre ella aparecerá una fuerza de origen electromagnético:

• Puesto que la carga se mueve, esta fuerza desarrolla un trabajo:

– Considerando un desplazamiento infinitesimal:

– La potencia asociada:

• Este trabajo se hace a costa de la energía almacenada en forma electromagnética por el sistema:

vr

Energía: Introducción.

B Er r ,

(

^E ^v ^B

)

q

Fr_EM = r+r×r

( )

_F _d_l _q_E _d_l

l d B v l d v

l d B v E q l d F

EM

EM r r r r

r r r r r

r r r r r r

⋅

=

⋅

⎭⇒

⎬⎫

⊥

×

⇒

⋅

× +

=

⋅

||

( ) ( )

^q^E ^v

dt l E d q l d E dt q l d d dt F

d

EM

r r r r

r r r

r ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

v E dt q

dW_EM r r

⋅

−

=

vr Er

qEr Br

qvr×Br

q dlr

(9)

Energía: Introducción. (2)

• Si se tratase de una distribución volumétrica de carga (y de

corriente), la cantidad de energía electromagnética que en un dV se

transforma en otro tipo de energía es:

• Y en un volumen V:

• Conclusiones:

– La expresión es el incremento de energía en forma

electromagnética del sistema por unidad de tiempo y volumen debido a conversión de tipo de energía.

» Si , entonces el sistema pierde energía en forma electromagnética: se transformará en otro tipo de energía, por ejemplo energía mecánica o térmica.

» Si , entonces el sistema gana energía en forma

electromagnética: algún tipo de energía se transformará en energía electromagnética. Es el caso de los generadores.

v E dt q

dW_EM r r

⋅

−

=

dV J E dV v E dq v E dtdV dV

dW_EM r r r r r r

⋅

−

= ρ

⋅

−

=

⋅

−

=

>0

⋅ E Jr r

<0

⋅ E Jr r

E Jr r

⋅

−

∫∫∫

^⋅

−

= V

EM E JdV

dt

dW r r

• En un conductor:

• La variación de energía por unidad de tiempo y volumen:

• Puesto que esta energía se transforma en calor, la potencia disipada por unidad de volumen será:

• Adelantando un poco,

– si se tratase de una corriente estacionaria:

– Y si el conductor tuviese dos electrodos a potenciales constantes y sólo circula corriente a través de ellos:

» Resultado conocido.

Energía: Introducción (3) Efecto Joule

2

E J dtdV E

dW_EM r r r σ

−

=

⋅

−

=

J dtdV E

dW_EM _C r r

⋅

=

→

σ σ= 0

Φ =VA Φ = VB

I_A_→_B

SA

SB

(

V V

)

I dS

J dV

J dt E

dW

B S A

V C

EM^→ =

∫∫∫

^r⋅^r =−

∫∫

Φ^r⋅ = −

E Jr r σ

=

( ) ( )

^J ^E ^J

J E

J J

J r r r

r r

r r r

⋅

−

= Φ

⋅

∇

⎭⇒

⎬⎫

=

⋅

∇ Φ

−∇

=

⋅

∇ Φ +

⋅ Φ

∇

= Φ

⋅

∇

0

(10)

Energía: Teorema de Poynting

• Manipulando ecuaciones:

• Si el medio es lineal:

• Entonces:

• Integrando a un volumen V constante en el tiempo:

( ) ( ) ( )

( )

t E D J t E H B H E t

J D t H

E B

H E E H H E

∂

⋅∂

−

⋅

∂ −

⋅∂

−

=

×

⋅

∇

⎪⎭⇒

⎪⎬

⎫

∂ +∂

=

×

∂ ∇

−∂

=

×

∇

×

∇

⋅

−

×

∇

⋅

=

×

⋅

∇ r r r r r r r r r

r r r

r

r r r r r r

t E D D tE t H B t H H B

tH ∂

⋅∂

=

∂ ⋅

∂

⋅∂

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

⋅∂ µ

=

∂ ⋅

∂ r r r r r r r r r r

2

; 2

2

( )

^E ^D ^E ^J

B t tH H

Er r r r r r r r

⋅ +

∂ ⋅ + ∂

×

⋅

∇

= 2

1 2

0 1

( ) _∫∫∫ _∫∫∫ _∫∫∫

∫∫

^× ^⋅ ⁺_∂^∂ ^⋅ ⁺_∂^∂ ^⋅ ⁺ ^⋅

= S V V E DdV VJ EdV

dV t B t H

S d H

Er r r r r r r r r

2 1 2

0 1

Energía: T. de Poynting. Interpretación

• Puesto que la potencia disipada es

todos los términos de la expresión pueden ser interpretados como potencias (variación de energía en la unidad de tiempo) y teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía:

∫∫∫

^⋅

=

→ V C

EM J EdV

dt

dW r r

( ) _∫∫∫ _∫∫∫ _∫∫∫

∫∫

^× ^⋅ ⁺_∂^∂ ^⋅ ⁺_∂^∂ ^⋅ ⁺ ^⋅

dV t B t H

S d H

Er r r r r r r r r

2 1 2

0 1

• Sólo depende del campo magnético:

⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo magnético.

∫∫∫

^⋅

∂

V H BdV

t

r r 2 1

• Sólo depende del campo eléctrico:

⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo eléctrico.

dV D t

∫∫∫

^V E^⋅

∂

∂ r r

2 1

• Es un flujo a través de la superficie que limita el volumen:

⇒ Es la cantidad de energía que sale del volumen por unidad de tiempo en forma electromagnética.

( )

∫∫

S Er^×Hr ^⋅dSr

(11)

Energía: Teorema de Poynting. Resumen

• Esta expresión recibe el nombre de Teorema de Poynting:

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪ +

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

⋅ +

⋅

×

=

⋅

−

⋅

−

=

−

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫

energia de tipo otro

en da transforma

EM Potencia

superficie la de

traves a saliente

EM Potencia

= magnetica

energia de

n Disminucio +

electrica energia de

n Disminucio

=

2 1 2

1

t W

dV E J S

d H E dV

B t H

dV D t E

t W

EM

V S

V V

EM

∂

∂ r r r r r r r r r

D dV E

dW_E r r

⋅

=2

1 es la densidad volumétrica de energía asociada al campo eléctrico.

B dV H

dW_B r r

⋅

=2

1 es la densidad volumétrica de energía asociada al campo magnético.

E Jr r

⋅ es la densidad volumétrica de potencia transformada en otro tipo.

H E S Pr r r r

×

=

= Es el vector de Poynting.

Su componente en una dirección representa la densidad de flujo de energía electromagnética por unidad de área en esa dirección.

Su dirección y sentido coinciden con los del transporte de energía electromagnética.

( ) _∫∫∫ _∫∫∫ _∫∫∫

∫∫

^× ^⋅ ⁺_∂^∂ ^⋅ ⁺_∂^∂ ^⋅ ⁺ ^⋅

dV t B t H

S d H

Er r r r r r r r r

2 1 2

0 1