USANDO MUESTREADOR DE GIBBS PARA ESTIMAR LA ALTURA MÁXIMA QUE PUEDE ALCANZAR LA SUBCUENCA MEDIA DEL RÍO GARAGOA
JESÚS ENRIQUE BARRERA LADINO CRISTIHAM ISAAC CARVAJAL JARAMILLO
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA CATASTRAL Y GEODESIA BOGOTÁ, D.C.
USANDO MUESTREADOR DE GIBBS PARA ESTIMAR LA ALTURA MÁXIMA QUE PUEDE ALCANZAR LA SUBCUENCA MEDIA DEL RÍO GARAGOA
PROYECTO DE MONOGRAFÍA JESÚS ENRIQUE BARRERA LADINO
Código: 20071025018
CRISTIAM ISAAC CARVAJAL JARAMILLO Código: 20062025023
Msc. LUIS EDUARDO CASTILLO MENDEZ
MATEMÁTICO Y MAGISTER EN CIENCIAS ESTADÍSTICA DIRECTOR DE MONOGRAFÍA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA CATASTRAL Y GEODESIA BOGOTÁ, D.C
Nota de aceptación:
____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________
____________________________________ Firma del profesor Luis Castillo Mendez
____________________________________ Firma del jurado Profesor Rubén Medina
____________________________________ Firma del jurado Profesor Fernando Santa
A mis padres
La preocupación por el hombre y su destino siempre debe ser el interés primordial de todo esfuerzo técnico. Nunca olvides esto entre tus diagramas y ecuaciones.
AGRADECIMIENTOS
La vida se encuentra llena de retos, y uno de ellos es la universidad. Tras vernos dentro de ella, nos hemos dado cuenta que más allá de ser un reto, es una base no solo para nuestro entendimiento del campo en el que nos hemos visto inmersos, sino para lo que concierne a la vida y nuestro futuro.
Destacamos también en estas cortas líneas la especial dirección y apoyo de nuestro director Luis Eduardo Castillo, que depósito su total confianza y compartió sus conocimientos y experiencias profesionales para el desarrollo del presente proyecto de grado.
De igual manera agradecemos a las personas que participaron en nuestra formación y colaboración para la realización de este documento, el profesor Luis Fernando Santa y el profesor Rubén Medina.
RESUMEN
El objetivo principal de esta monografía es la implementación de un sistema para el ajuste del modelo hidrológico, utilizando para ello series temporales, aplicados a un modelo hidrológico, que permitan el aprendizaje y ajuste de parámetros para la obtención de modelos que realicen predicciones optimas de las alturas del rıo Garagoa, en perıodos críticos de inundaciones.
Se realiza un análisis con series temporales que permite establecer las variables y factores que determinan las alturas hidrométricas, en perıodos críticos de inundación en la localidad de Corrientes. Posteriormente se presenta un pronóstico a corto plazo en periodos de crecidas, que predice las alturas hidrométricas. Se finaliza con un pronóstico a mediano plazo, para periodos de inundación, de alturas hidrométricas.
El interés de este proyecto radica en su aplicación para el pronóstico de crecidas de Corrientes, que actualmente no dispone de ningún sistema de pronóstico de crecidas del Rio Garagoa en organismos oficiales, por lo cual el desarrollo del mencionado trabajo sería de gran importancia para el municipio para una mejor predicción de las crecidas del Rio, que ocasionan perdidas de gran importancia en la economía de la región.
Así mismo, el problema planteado es común a otras muchas situaciones, donde se podrían aplicar los resultados obtenidos en la realización de esta monografía, como son los demás municipios que se encuentran en las márgenes del Rio Garagoa.
ABSTRAC
The main objective of this paper is to implement a system for adjusting the hydrological model, using time series applied to a hydrological model, allowing learning and adjusting parameters to obtain optimal models that make predictions of River Heights Garagoa in critical periods of flooding.
Time series analysis that allows for the variables and factors that determine the hydrometric heights at critical periods of flooding in the city of currents is performed. Subsequently it presents a forecast short-term periods of flooding, which predicts hydrometric heights. It ends with a medium-term forecast for periods of flooding, of hydrometric heights.
The interest of this project lies in its application to flood forecasting currents, which currently does not have a flood forecasting system of Garagoa river in government agencies, whereby the application of that work would be of great importance for the city for better flood forecasting river, causing losses of great importance in the economy of the region.
Also, the underlying problem is common to many other situations where you could apply the results of the realization of this report, as are the other municipalities located on the banks of the Garagoa river.
CONTENIDO
pág.
INTRODUCCIÓN ... 16
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ... 18
OBJETIVOS ... 23
General ... 23
Específicos ... 23
1. CAPÍTULO I - Marco teórico ... 24
1.2. Características morfométricas... 24
1.3. Estaciones Meteorológicas ... 26
1.4. Meteorología ... 27
1.5. De la probabilidad y Estadística ... 29
1.5.1 Variable aleatoria ... 29
1.5.2 Cadenas de Markov ... 30
1.5.3 Método de Monte Carlo ... 31
1.5.4 Muestreador de Gibbs ... 32
1.5.5 Análisis de intervención en series de tiempo ... 34
1.5.6 Método de interpolación de Stineman ... 35
1.5.7 Modelo (SRM) -Deshielo de escorrentía... 36
1.6 ESTRUCTURA DEL MODELO... 39
1.6.1 SARMA – Modelos no estacionarios estacionales. ... 40
2. CAPÍTULO II - Metodología. ... 43
2.2. Área de estudio subcuenca media del río Garagoa. ... 43
2.3.1 Datos de precipitación. ... 46
2.3.2 MDT ... 46
2.3.3 Zonas de inundación ... 47
2.3.4 Software ... 48
2.2.4.1 Quantum GIS ... 48
2.2.4.2 R Project ... 48
2.3.5 Propuesta Metodológica ... 49
2.3.6 Relación matemática entre variables. ... 51
3. CAPÍTULO III - Resultados ... 54
3.1 Análisis de datos. ... 54
3.2 Completar de datos faltantes ... 57
3.3 Estimación de Precipitaciones Medias Areales aplicando Polígonos de Thiessen. ... 61
3.4 Análisis de homogeneidad de los datos. ... 63
3.5 Análisis de la estacionariedad de las series ... 66
3.6 Identificación de la estructura estacionaria de una serie ... 71
3.7 ANALSIS TENDENCIAL ... 74
3.8 Análisis de Cointegración. ... 76
3.9 Análisis de los datos de precipitación respecto a los fenómenos del niño y la niña. ... 78
3.9.1 Cálculo del índice de estandarización de la precipitación. ... 79
3.10 Análisis de Intervención – Valores Atípicos de la series de tiempo ... 82
3.11 Determinación del Caudal de escorrentía. ... 84
3.12 MODELO DE REGRESION LINEAL CON ERRORES-ESTACIONALES – ARMA . 85 3.13 Estimación de los parámetros del modelo ... 87
3.14 Validación de los residuales del modelo de regresión estimado. ... 88
3.15 Estimación de alturas del cauce del río Garagoa. ... 95
3.15.1 Áreas de sección transversal. ... 95
3.15.2 Cálculo a alturas del río respecto a sección transversal. ... 97
4. Aplicación del muestreador de Gibbs para estimar la altura máxima del río Garagoa ... 107
4. CAPÍTULO IV - Análisis de Resultados ... 113
4.1 Conclusiones ... 114
4.2 Recomendaciones ... 115
ANEXOS ... 116
HISTOGRAMAS DE CAUDAL: ... 122
LISTA DE TABLAS
Tabla 1 Estaciones ... 46
Tabla 2 Estaciones estudio. ... 55
Tabla 3 Calculo Estadísticos... 56
Tabla 4 CálculoEstadísticos resultados. ... 56
Tabla 5 Análisis general de los datos – software R Statistic. ... 58
Tabla 6 Método empleado para completar datos de caudal perdidos ... 59
Tabla 7 Clasificación de los ciclos mensuales según la relación entre los histogramas de Precipitación y Caudal. ... 66
Tabla 8 Categorías de las anomalías de precipitación de acuerdo a los valores de IPE. ... 82
Tabla 9 Características morfométricas de la subcuenca del Río Garagoa. ... 97
Tabla 10 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 1-6. ... 105
Tabla 11 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 7-12. ... 105
Tabla 12 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 13-18. ... 105
Tabla 13 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 19-21. ... 106
Tabla 14 Variación de la base de la lámina de agua de 10-15mts. ... 106
Tabla 15 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones de base 10mts. ... 106
Tabla 16 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones de base de 10 a 15mts. ... 107
Tabla 17 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones de base de 10 a 15mts. ... 107
Tabla 18 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones de base de 16 a 21mts. ... 107
Tabla 19 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de agua. ... 111
Tabla 20 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de agua. ... 111
Tabla 21 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de agua. ... 111
Tabla 22Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de agua. ... 112
Tabla 23 Secciones Transversales. ... 113
Tabla 24 Datos generales de la estación el caracol – medición: Caudal. ... 117
Tabla 25 Datos generales – Estación Chinavita. ... 117
Tabla 27 Datos de CAUDAL estación “El Caracol”. ... 118
Tabla 28 Datos de Precipitación (m.m) – Estación Chinavita. ... 119
Tabla 29 Datos de Precipitación (m.m) – Estación de Garagoa. ... 120
Tabla 30 Datos de Precipitación (m.m) – Estación de Pachavita. ... 121
Tabla 31 Calculo de las alturas para las secciones de la lámina de agua mes de Julio – Modelo dinámico con variables retardadas. ... 128
Tabla 32 calculo de las alturas para las secciones de la lámina de agua para el mes de Julio – Modelo de regresión lineal. ... 129
Tabla 33Alturas del río Garagoa – Estación “Caracol”. ... 130
ÍNDICE DE GRÁFICAS
Gráfica 1 Serie Temporal de Caudal, estación Caracol. ... 55
Gráfica 2 Análisis de descomposición de valores Mensuales de Promedios Multianuales de caudal (m3/s.) ... 56
Gráfica 3 Valores Mensuales de Promedios Multianuales de Precipitación (m.m.) –Estaciones de la zona de estudio. ... 60
Gráfica 4 Relación del caudal y precipitación Promedio Multianual- la precipitación representada por el color rojo y el caudal con color azul. ... 63
Gráfica 5 Valor Mensual del Promedio Multianual de Caudal –Estación “El Caracol”. ... 64
Gráfica 6 Comportamiento de los datos Mensuales Multianuales de la Precipitación areal, de la subcuenca del río Garagoa. ... 65
Gráfica 7 Comportamiento de los datos Mensuales Multianuales de Caudales –Estación “El Caracol”... 65
Gráfica 8Comportamiento de la precipitación mensual multianual... 67
Gráfica 9 Correlogramas series de precipitación y caudal ... 68
Gráfica 10Modelo lineal de las series caudal y precipitación. ... 69
Gráfica 11 correlograma. Residuos del modelo lineal. ... 70
Gráfica 12Diagrama o representación gráfica del proceso de análisis de series de tiempo ... 71
Gráfica 13Modelo lineal de las series estandarizadas caudal y precipitación (Transformación Box-Cox) ... 72
Gráfica 14Análisis de los residuos del modelo lineal con transformación Box-Cox ... 73
Gráfica 15 Correlograma. Residuos del modelo lineal (Transformación Box-Cox) ... 74
Gráfica 16Diferenciación de los residuos de la serie modelada ... 75
Gráfica 17 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Humedo”. ... 77
Gráfica 18 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Húmedo”. ... 77
Gráfica 19 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Húmedo”. ... 78
Gráfica 21 Cálculo del índice precipitación estandarizada mensual (SPI). ... 80
Gráfica 22 Cálculo del índice precipitación estandarizada trimestral (SPI). ... 80
Gráfica 23 Cálculo del índice precipitación estandarizada semestral (SPI). ... 81
Gráfica 24 Cálculo del índice precipitación estandarizada anual (SPI). ... 81
Gráfica 25 Valores atípicos de precipitación (Según índice Atípico aditivo y cambio transitorio) .... 84
Gráfica 26 Análisis de Homocedasticidad de los residuos del modelo lineal con errores SARMA ... 89
Gráfica 27 Cuantil Cuantil (Q-Q plots) - Análisis de Normalidad de los residuos del modelo lineal con errores SARMA ... 90
Gráfica 28 Histograma de distribución de frecuencias de los residuos del modelo lineal con errores SARMA ... 91
Gráfica 29 Correlograma de los residuos del modelo lineal con errores SARMA. ... 92
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Proceso de la meteorología. ... 27
Figura 2 Una variable aleatoria. ... 29
Figura 3 La estructura de la SRM. ... 36
Figura 4 Diagrama del proceso de identificación de parámetros para modelos SARMA... ¡Error! Marcador no definido. Figura 5 Localización del área de estudio. DEM - ASTER (MODELO DIGITAL DE ELEVACION 30 MTS). ... 44
Figura 6 Cuenca hidrográfica del río Garagoa. ... 45
Figura 7 Esquema conceptual de la metodología propuesta para la estimación de la cota máxima de inundación. ... 49
Figura 8 Análisis del Proceso hidrológico – Escorrentía superficial. ... 50
Figura 9Hidrogramas de curvas de caudal y altura o nivel del cauce versus el tiempo. ... 52
Figura 10 Sección transversal de la superficie por encima del cauce de un cuerpo de agua. ... 53
Figura 11 Polígonos de Thiessen para las estaciones Chinavita, Garagoa y Pachavita de la subcuenca del río Garagoa. ... 62
Figura 12 Subcuenca Río Garagoo. ... 98
Figura 13 Río Garagoa. ... 98
Figura 14 Sección transversal de un canal natura en épocas secas o con caudales mínimos. ... 99
Figura 15 Análisis de sección transversal de un canal natural. ... 101
Figura 16 Analisis geometrico del trapecio escaleno. ... 102
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INTRODUCCIÓN
El agua es la sustancia que más abunda en nuestro planeta, hace parte del factor fundamental para la existencia del ser humano, el progreso y desarrollo económico y social de las naciones. Por tanto, cada día se siente la necesidad de encontrar o generar técnicas de análisis por medio de estimaciones que permitan inferir su comportamiento y cohabitar con los fenómenos originados en la naturaleza.
Para ello se han implementado diferentes estudios, trabajos, investigaciones y fuentes de información, que responden a técnicas que buscan tratar con este tipo de amenaza a nivel mundial; existen diversas clases de modelos que contribuyen en la representación que forma parte del ciclo hidrológico como lo son los modelos de escorrentía, “donde su mayor aporte radica en entender el proceso de escurrimiento y pronosticarlo con el propósito de regularizar el uso del agua y controlar las inundaciones”1.
“Incluso, han desarrollado propuestas metodológicas con el fin de determinar la cota de inundación en zonas costeras2. El procedimiento para su cálculo fue propuesto en España por Medina y por Castillo3 en estudios que parten de los trabajos de Pugh y Vassie4, cuyos resultados se recogen en el Atlas de Inundación del Litoral Español (GIOC, 2001)”5.
Así, en el presente trabajo de investigación, tras una revisión de estadísticas de desastres por inundación en el territorio Colombiano, según el DANE, IGAC6 e IDEAM entre el año 2010 - 2011 y la evaluación de las propuestas clásicas de la
1 J.Boonstra (1994) Estimating peak runoff rates, Chapter 4 in: H.P.Ritzema (Ed.), Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement, Wageningen, The Netherlands, ISBN: 90 70754 3 39
2 Smith, T.(1982). The Sefton Coast Database, Universidad de Liverpool and the Borough Engineer and Surveyor of Sefton Metropolitan Borough Council, Part 1. pp. 1- 9, 38-40.
3 Medina, R., F.J. Méndez y M.C. Castillo.(1997).Determinación de la cota máximade inundación en una playa. Jornadas Españolas de Puertos y Costas, Cádiz. pp. 789-801.
4 Pugh, D.T. and J.M. Vassie. (1978). Extreme sea level from tide and surge probability. Proc. 16th Coastal Eng. Conference, Hamburg. ASCE, Vol. 1, pp. 911-930.
5 Martínez Gallo Juan Camilo (2010), Propuesta metodológica para la estimación de la cota de inundación en la zona costera del Caribe Colombiano, Medellín, 2010, Maestría en ingeniería en Recursos Hidráulicos, Universidad Nacional de Colombia.
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ingeniería; como la metodología planteada por el Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM)7, basada en el “análisis de la zonificación de susceptibilidad y amenazas por inundación siguiendo el esquema de entorno geomorfológico y cobertura de la tierra para una escala 1:100.000 en aquellas zonas donde se cuenta con información geomorfológica de este nivel de detalle. Incluso se plantea la utilización de metodologías para hallar el cálculo de los diferentes niveles de inundación, como lo son el método racional, hidrogramas sintéticos, entre otros”8.
De aquí, la propuesta planteada en la investigación que busca contar con elementos verídicos como los que brindan las variables que arrojan las estaciones Limnigráficas. Lo cual permitirán estimar los valores de los distintos niveles de crecida que puede alcanzar el río Garagoa, donde generalmente dichos fenómenos ocasionen desbordamiento e inundación del lecho del río a los terrenos adyacentes a su cauce, pues el relieve, la geomorfología, la actividad humana (ya sea la tala excesiva, la agricultura, construcción de infraestructura como viviendas, vías, etc.), la precipitación; son algunos de los factores que intervienen para que se presenten este tipo de desastres.
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DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
Cada año, las fuertes temporadas de lluvias, según el Sistema para la Gestión de Información para Prevención y Atención de Desastres, contribuyen a ocasionar daños a la propiedad y con frecuencia a la pérdida de vidas humanas. Este tipo de amenazas constituyen restricciones al uso del territorio, ya que son fenómenos naturales, que por su origen y magnitud pueden escapar del control del hombre y generar desastres. Por tanto, dichas circunstancias condicionan el proceso de planificación e inducen al análisis de alternativas que permitan mitigar los impactos negativos que estos pueden ocasionar. Base necesaria para una apropiada gestión integral del riesgo, donde el gobierno Colombiano expidió la Ley 1523 del 24 de abril de 2012, que plantea como obligatoriedad a todos los municipios del país a implementar el estudio de la gestión del riesgo9.
Para el caso del territorio colombiano el IDEAM quien es el ente encargado de emitir los criterios para identificar y delimitar las zonas inundables contando con un documento que a la fecha es utilizado como base para que las Corporaciones Autónomas Regionales y demás entes ambientales realicen los estudios de riesgo10.
El IDEAM cuenta actualmente con más de 40 estaciones diseñadas para cubrir las grandes cuencas a nivel nacional; además, en las cinco vertientes hidrográficas del territorio poseen 834 estaciones hidrológicas (389 limnimétrica y 445 limnigráficas) para suministrar datos sobre el régimen hidrológico de los cauces y cuerpos de agua principales11.
Bajo estas condiciones, la mayoría de los fenómenos naturales no se les es posible medir, cuantificar, ni modelar con precisión su impacto de acuerdo a los desastres potenciales. Así mismo, dentro de su contenido se emplean como principios o pautas unas series de técnicas y procedimientos. Logrando de forma combinada llegar a una aproximación de lo que es la identificación de las zonas en riesgo por inundación, que parten de la obtención de un producto topográfico preciso, de un
9 COLOMBIA, LEY 1523 DE 2012 - Gestión Del Riesgo de desastres y se establece el Sistema Nacional de Gestión del Riesgo de Desastres, [en línea]. «http://www.alcaldiabogota.gov.co/sisjur/normas/Norma1.jsp?i=47141 [citado en agosto 29 de 2012]. ».
10 IDEAM, (2011): “CRITERIOS PARA IDENTIFICAR Y DELIMITAR LAS ZONAS INUNDABLES A ESCALA 1:25.000” [en línea]. «http://www.igac.gov.co/wps/wcm/connect/7e75e80046e1b1e891e5d9357ce34f5a/Resumen.pdf?MOD=AJPERES [citado en septiembre 9 de 2012]. ».
11 (IDEAM) - Informe Hidrológico Diario [en línea].
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largo tiempo para su ejecución y además sumamente costoso para las administraciones públicas.
Debido a esta necesidad, surge la idea de indagar acerca de los métodos y modelos hidrológicos, pues dentro de los criterios expuestos no se implementa una metodología específica, por el contrario, indican algunos modelos que se pueden utilizar para aplicarlos a la estimación de la cota máxima de inundación.
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JUSTIFICACIÓN
El motivo de esta investigación partió de la importancia del desarrollo territorial, buscando estructurar de manera adecuada el crecimiento de las dimensiones
económica, social y ambiental. Enfocando que “los fenómenos solamente adquieren
significado en referencia a una sociedad en particular. De allí la importancia de la investigación social sobre desastres y la necesidad de conjugar las ciencias naturales y el conocimiento que proporcionan las ciencias sociales.”12.
En Colombia, debido a la problemática social, económica, político-ambiental y a los recurrentes períodos de invierno, que a medida que transcurre el tiempo son más fuertes, pues el calentamiento global, la falta de prevención y planeación, afecta a las poblaciones que se ubican en las zonas adyacentes a los cursos de los ríos; razón por la cual surge la necesidad de generar y proponer nuevas metodologías que contribuyan al desarrollo, pues cada uno de los territorios son distintos geográficamente hablando, e incluso ayudaría a las autoridades o administraciones de planeación a tener varias alternativas en cuanto a metodologías y criterios para prevenir y mitigar del riesgo.
Por ello, el gobierno del presidente Juan Manuel Santos tiempo atrás declaró la "Emergencia Económica, Social y Ecológica" y la "situación de Desastre", para afrontar la grave emergencia por las inundaciones y los deslizamientos que ocasionaron las lluvias en Colombia13. Actualmente, en Colombia se estableció la Ley 1523 del 24 de Abril del 201214 indica que se debe desarrollar y ejecutar los procesos de gestión del riesgo, entiéndase por gestión del riesgo, el conocimiento, reducción y manejo de desastres. Donde uno de sus objetivos establece la identificación de los factores del riesgo, la importancia del origen, las causas y la transformación del fenómeno con el tiempo.
Para ello existen diferentes modelos y métodos estadísticos que buscan describir y acercarse al hecho que pretenden dar explicación; como los modelos Bayesianos jerárquicos espaciotemporales, que han sido usados en el mapeo de enfermedades, estudios de contaminación ambiental, contaminación industrial, entre muchos otros.
12 Gentile, Elvira. (1994),”EL NIÑO NO TIENE LA CULPA: VULNERABILIDAD EN EL NORESTE ARGENTINO”, Universidad de Buenos Aires, Desastres y Sociedad, publicación No. 3, «http://65.182.2.242/docum/crid/Febrero2004/pdf/spa/doc6575/doc6575.pdf».
13IDEAM. Noticia, [en línea]. «Gobierno declara Emergencia Económica, Social y Ecológica [citado en
21
Bajo esta metodología, los datos están asociados con un punto en una localidad E y con un instante de tiempo t.
Estos métodos solo se habían usado en otro tipo de investigaciones, enfocándose en estudios relacionados con finanzas, economía, redes de telecomunicaciones, estadística y ecuaciones; en casos referidos a modelos ambientales se utilizan otro tipo de metodologías comúnmente conocidas, señalando metodologías como 15“métodos hidrológicos que se basan en funciones de conversión de variables meteorológicas (fundamentalmente precipitación, radiación, evapotranspiración, y rocío) a escorrentía superficial (caudales). Algunos de estos métodos que se podrían utilizar son el Método Racional, Hidrogramas Sintéticos, William y Hann, Snyder, S.C.S, Avenida Máxima Probable (PMF), Modelación Hidrológica Distribuida (Modelo TETIS, Modelo de Tanques).”
La investigación propuesta en el presente documento, busca estimar la cota máxima de inundación a partir de un análisis del fenómeno con las variables que intervienen del ciclo hidrológico y del cual se posee información, con el fin de generar un fortalecimiento en la capacidad de acción y respuesta efectiva en materia de aquellas áreas como es el caso de la zona de estudio en particular que probablemente no cuente con un estudio donde se establezca la cota de inundación. Con el propósito de implementar herramientas necesarias para comprender el comportamiento y desarrollo del fenómeno de inundación desde el proceso del ciclo hidrológico a través del análisis de series de tiempo de los datos necesarios y disponibles. La idea en este trabajo consiste en suponer una vez calculada la altura máxima de inundación, en consonancia con el paradigma bayesiano, la aleatoriedad de la variable en toda circunstancia, con las consecuencias de una mayor sofisticación en el tratamiento de todas las distribuciones a posteríori, se presenta una generalización de la forma funcional de esta distribución, útil en su tratamiento en aplicaciones. Concretamente, se utiliza un método de Monte Carlo para extraer muestras de la distribución a posteríori, a través del muestreo de Gibbs donde regularmente se utiliza la distribución Normal en los modelos estadísticos, tanto bayesianos como clásicos, como modelo de distribución para el termino de error, e igualmente ocurre con frecuencia para modelizar simplemente la distribución de una variable aleatoria.
Destacando además la aplicabilidad de modelos de regresión lineal con errores estacionales autorregresivos de media móvil (SARMA) para modelar el caudal de la
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microcuenca a partir de las variables explicativas como es el caso de la precipitación; y posteriormente, por medio de muestreador de Gibbs, estimar la cota máxima de inundación del cauce del río expresado en términos de las variables por parte de estaciones hidrológicas utilizadas y la eficacia de estos métodos se verá comprobada a través de todo el trabajo.
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OBJETIVOS
General
Generar una metodología para estimar la altura máxima de inundación que puede alcanzar la subcuenca media del río Garagoa.
Específicos
Generar un análisis estadístico de la variable precipitación, fenómeno del niño, fenómeno de la niña expresadas dentro de la propuesta para la estimación de la altura máxima.
Identificar las variables necesarias dadas por estaciones limnigráficas y climatológicas, que ayuden a considerar la función que permita calcular la altura máxima del río.
24 inferir o deducir ciertos comportamientos en relación con las crecientes de caudal que se presenten.
Factor forma (Ff):
Indica qué tan circular es una cuenca. Permite inferir lo súbitas que pueden ser las crecientes. Cuencas muy alargadas tienen menos posibilidad de presentar crecientes súbitas16.
Se calcula como se señala a continuación:
𝐹𝑓 = 𝐴
𝐿𝑎2 Donde, A es el área de la cuenca, La es la longitud axial. (1-1)
Coeficiente de compacidad (KC): Este coeficiente determina que tan grande es la superficie de captación de la cuenca en relación con su forma. Así por ejemplo, entre más cercano a 1 se encuentre su valor, más se asemeja a una circunferencia, su superficie de captación es relativamente menor y las crecientes tienden a ser súbitas. Para valores mayores de 3, se considera que la cuenca es alargada, su superficie de captación es relativamente mayor lo que generaría crecientes lentas17. Es una expresión muy cercana a la anteríor. Se calcula de la siguiente forma:
𝐾𝑐 = 0,28𝑃
√𝐴 (1-2)
Donde, P es el perímetro de la cuenca y A la superficie de la cuenca.
Índice de alargamiento (Ia): Este índice determina que tan rápida es la reacción de la corriente principal ante precipitaciones en la cuenca. Valores cercanos a 1
16 UNAL, Pomca, 2005, Componente Hidrológico, Plan de ordenación y manejo ambiental de la cuenca del rio Garagoa Corpochivor - Corpoboyaca – CAR, universidad Nacional de Colombia – Instituto de Estudios Ambientales pag 7.
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indican una forma cuadrada y valores mayores a 2 indican una forma alargada18.
Se calcula de la siguiente forma:
𝐼𝑎 = 𝐿
𝐼 (1-3) Donde, L es la longitud máxima de la cuenca, I el ancho máximo (perpendicular a L).
Elevación media de la cuenca (Hm): La elevación media de la cuenca se determina como el promedio ponderado de las alturas que se encuentran dentro del área considerada19. Es uno de los indicadores que determina que tan cercana está la cuenca a una zona de condensación.
La elevación media Hm se calcula por la fórmula:
𝐻𝑚 =( aguacero uniforme, se alcance el estado estacionarío; es decir, el tiempo necesarío para que todo el sistema (toda la cuenca) contribuya eficazmente a la generación de flujo en el desagüe. Es útil, al relacionarlo con el índice de alargamiento y el área de la cuenca, para conocer qué tan rápido llegan las precipitaciones a la corriente principal20.
18 Francisco Carrasco Cantos (1993), Geología de la Cueva de Nerja, Número 3 de Trabajos sobre la Cueva de Nerja.
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COEFICIENTE DE ESCORRENTÍA.
Se define como coeficiente de escorrentía, C, de una superficie, S, al cociente del caudal que discurre por dicha superficie, QE, en relación con el caudal total precipitado, 𝑄𝑇.
𝐶 =𝑄𝐸
𝑄𝑇 (1-8) El coeficiente de escorrentía varía a lo largo del tiempo y es función de las características del terreno (naturaleza, vegetación, permeabilidad, inclinación, humedad inicial del suelo) y de la zona (temperatura, intensidad y duración de la precipitación, humedad relativa, velocidad del viento, horas de soleamiento, dimensiones de la cuenca vertiente).21
Se puede considerar el área total de la cuenca o dividir la misma en diferentes subcuencas con diferentes características. En cualquier caso, cuando se trata de una zona uniforme (sea el área total o la de una subcuenca) será necesario determinar un valor del coeficiente de escorrentía medio para la misma. Dado que puede estar formado por terreno de diferente tipo, diferentes densidades de edificación, etc.
Se calcula el coeficiente de escorrentía medio realizando una media ponderada de los diferentes coeficientes de escorrentía de cada una de las subzonas en las que se puede dividir el área considerada. De esta forma se llega a la expresión del coeficiente de escorrentía medio C para una zona formada por diferentes sub-áreas
𝐴𝚤con diferentes coeficientes de escorrentía 𝐶𝑖.
𝐶 = ∑ 𝐴𝑖𝐶𝑖
𝐴𝑖 (1-9)
1.3.
Estaciones Meteorológicas
Una estación meteorológica es un lugar escogido adecuadamente para colocar los diferentes instrumentos que permiten medir las distintas variables que afectan al estado de la atmósfera en un momento y lugar determinado22. Es decir, es un lugar
21 Rodríguez Estrella Tomás (1979), Geologia e hidrogeologia del sector de Alcaraz-Lietor-Yeste (prov. de Albacete): sintesis geologica de la Zona Prebetica, Instituto Geológico y Minero de España, ISBN
847474069X, 9788474740691
27
que nos permite la observación de los fenómenos atmosféricos y donde hay unos aparatos (termómetro, barómetro, higrómetro, pluviómetro, etc.) que miden las
variables atmosféricas, (temperatura, presión, humedad, lluvia, etc.
respectivamente).
1.4.
Meteorología
Las observaciones meteorológicas, consisten en la medición y determinación de todos los elementos que en su conjunto representan las condiciones del estado de la atmósfera en un momento dado y en un determinado lugar utilizando instrumental adecuado23.
Estas observaciones permiten conocer las características y variaciones de los elementos atmosféricos, los cuales constituyen los datos básicos que utilizan los servicios meteorológicos, tanto en tiempo real como diferido.
Figura 1 Proceso de la meteorología.
Fuente: Introducción a la meteorología la ciencia del tiempo.
La veracidad y exactitud de las observaciones es imprescindible, ya que de no darse esas condiciones se lesionan los intereses, no solo de la meteorología, sino de
23 Puente Carlos y Úbeda (2014), Meteorología popular ó Refranero meteorológico de la Península Ibérica: ordenadamente expuesto, a título de ensayo. climatología, Volumen 1, Editorial MAXTOR, ISBN
28
todas las actividades humanas que se sirven de ella24. En este sentido, la responsabilidad del observador es mayor de lo que generalmente él mismo supone. Mientras que las observaciones climatológicas se efectúan para estudiar el clima, es decir, el conjunto oscilante de las condiciones atmosféricas, caracterizados por los estados y las evaluaciones del tiempo en una porción determinada del espacio25. Estas observaciones difieren muy poco de las sinópticas en su contenido y se complementan con registros continuos diarios o semanales, mediante instrumentos registradores.
1. Factores que determinan el clima
La existencia de varios climas diferentes en la Tierra es posible debido a una serie de factores que van a afectar a las condiciones de temperatura, humedad, presión, viento, precipitación, etc. Más conocidos como factores geográficos, descritos brevemente a continuación:
2. Factores geográficos.
La geografía de una zona, su posición respecto al mar o la latitud, va a definir en parte la existencia de un determinado tipo de clima. La latitud, la altura y la ubicación son factores preponderantes en la zonificación climática26.
Todos ellos son factores intrínsecos de cada zona, por ejemplo puede variar el tipo de lluvias o cambiar el grado de humedad, pero no se puede variar la latitud donde está situada una zona geográfica.
3. Factores ambientales.
Además de los factores que dependen de la geografía de cada zona, existen los factores ambientales, más variables, que van a contribuir a determinar el tipo de clima de la zona. Estos factores deben ser medidos cuidadosamente a lo largo de los años, para determinar cuál es la tendencia general del clima, evitando variaciones puntuales que pudieran hacer que los datos obtenidos fueran engañosos27. Por ello, se recogen a lo largo de no menos de 30 años en las
24 CLIMATOLOGIA, 2008 – Practico 2 OBSERVASION METEOROLOGICA INSTRUMENTOS, Facultad de Ciencias – Instituto de Física – Unidad de Ciencias de la Atmósfera
25 Armin Schoklitsch (1968), Construcciones hidráulicas. 1, Metereología, hidráulica, abastecimiento de aguas, saneamiento de poblaciones, Editor Gustavo Gili.
26 Centro Interamericano de Desarrollo Integral de Aguas y Tierras (2010), Plan nacional de ordenamiento de los recursos hidraúlicos República del Perú: bases metrodológicas
29
estaciones meteorológicas, los datos de los diferentes factores climáticos: temperatura, humedad, presión atmosférica, vientos y precipitaciones.
1.5.
De la probabilidad y Estadística
1.5.1 Variable aleatoria
En cualquier experimento, hay numerosas características que se pueden observar o medir, pero en la mayor parte de los casos un experimentador se centra en algún aspecto específico o aspectos de una muestra.
En general, cada resultado de un experimento se puede asociar con un número si se especifica una regla de asociación (p. ej., la cantidad entre la muestra de diez componentes que no duran 1000 horas, o el peso total de equipaje de una muestra de 25 pasajeros de una aerolínea).Esta regla de asociación se llama variable aleatoria, una variable porque son posibles diferentes valores numéricos, y aleatoria porque el valor observado depende de cuál de los resultados experimentales posibles resulte (figura 2).
Figura 2 Una variable aleatoria.
Fuente: (Tomado de: Ja y L. Devore, Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias.).
Para un determinado espacio muestral ȿ de algún experimento, una variable aleatoria (va) es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en S. En el lenguaje matemático, una variable aleatoria es una cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo recorrido es el conjunto de los números reales28.
30
1.5.2 Cadenas de Markov
Sea𝐸 = {1, 2, . . . , 𝑟} un espacio de estados finito. Una matriz de transición en E es
una matriz P, de dimensión r × r, con coeficientes todos ≥ 0, y donde la suma de
cada fila vale 129:
𝑃 = (𝑝𝑖𝑗) 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑟, ∀𝑖, 𝑗∈𝐸, 𝑝𝑖𝑗 ≥ 0 y ∀𝑖, ∈ E, ∑j ∈ E pij = 1
P también se llama matriz estocástica: cada fila de P es una distribución de probabilidad sobre E.
Una cadena de Markov sobre E con matriz de transición P es una sucesión 𝑋 = (𝑋0, 𝑋1, 𝑋2, … ) de variables aleatorias con índices en N y con valores en E tal que ∀n ≥ 0, se verifica:
𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑖𝑛+1| 𝑋𝑙= 𝑖𝑙, 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛) = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑖𝑛+1| 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛) (1-14)
𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗 |𝑋𝑛 = 𝑖) = 𝑝𝑖𝑗
La primera igualdad expresa la propiedad de Markov: la ley de 𝑋𝑛+1 condicional al pasado (𝑋𝑛, 𝑋𝑛−1, … , 𝑋1, 𝑋0) depende únicamente del estado del último instante 𝑋𝑛 =
𝑖𝑛: la i-ésima fila de P no es otra que la ley (𝑋𝑛+1|𝑋𝑛 = 𝑖). La segunda igualdad nos dice que estas transiciones son independientes de 𝑛; se dice que la cadena es
homogénea. Igualmente se habla de cadenas de Markov30 no-homogéneas, en las
cuales la transición 𝑃𝑛 en el tiempo 𝑛 depende de 𝑛.
La fórmula de las probabilidades totales muestra que la ley de 𝑋 está completamente caracterizada por P y por la ley inicial 𝜇0 de 𝑋0 (denotada 𝑋0 ∼ 𝜇𝑜), las leyes finito-dimensionales están dadas por:
𝑃(𝑋0 = 𝑖0, 𝑋1 = 𝑖1, … , 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛) = 𝜇0(𝑖𝑜)𝑝𝑖0𝑖0 𝑝𝑖1𝑖2… 𝑝𝑖𝑛−1 𝑖𝑛 (1-15)
29 J. Evans Michael, Jeffrey S. Rosenthal (2005), Probabilidad y estadística, Traducido por Xavier Tomàs Morer, Editor Reverte, 2005, ISBN 842915034X, 9788429150346.
30Sarabia Viejo Ángel (1996), La investigación operativa: una herramienta para la adopción de decisiones,
31
Recíprocamente, es fácil verificar si la ley de 𝑋 es de esta forma, 𝑋 verifica la propiedad de Markov y es una cadena homogénea de matriz de transición P. Por convención, se denota una probabilidad sobre E por un vector fila 1 × r. Si 𝜇𝑛 es la generación de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cual se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias:
Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas(F)
Generar un número aleatorio
uniforme ∈ (0,1).
Determinar el valor de la V.A. para el número aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos.
Calcular media, desviación estándar error y realizar el histograma.
Analizar resultados para distintos tamaños de muestra.
Otra opción para trabajar con Monte Carlo, cuando la variable aleatoria no es directamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre variables es la siguiente:
Diseñar el modelo lógico de decisión
Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes.
Incluir posibles dependencias entre variables.
Muestrear valores de las variables aleatorias.
Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo (iteración) y registrar el resultado
Repetir el proceso hasta tener una muestra estadísticamente representativa
Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones
Calcular media, desvío.
Analizar los resultados
El problema al que se enfrenta es cuando se quiere calcular
32
𝑓(𝜃 |𝑥) = 𝐿(𝑥 |𝜃) 𝜋(𝜃)
∑ 𝐿(𝑥 𝜃 |𝜃) 𝜋(𝜃) (1-16) El denominador no adopta una forma funcional conocida y se hace necesario el tratamiento numérico. Si se pudiera generar directamente muestras independientes de 𝑓(𝜃 |𝑥) por medio de métodos de simulación conduciría a la obtención de la cantidad a posteriori de interés; pero en ocasiones no es posible, sin embargo, se puede simular muestras con algún tipo de dependencias que converjan a la distribución 𝑓(𝜃 |𝑥).
Para efectos de estimación por el método de Montecarlo se usa los algoritmos MCMC (método de Monte Carlo con cadenas de Markov) y los más usados son Metrópolis-Hastings y el de Gibbs32.
1.5.4 Muestreador de Gibbs
Desde un punto de vista general, hacer inferencia Bayesiana es ver a los parámetros como variables aleatorias a las que, antes de la evidencia muestral, se les ha asignado una distribución de probabilidad llamada a príori, con base en la creencia del comportamiento probabilístico del parámetro aleatorio.
Si 𝜃 = (𝜃1, . . . , 𝜃𝑘) es el vector de parámetros aleatorios, entonces se denota la distribución de probabilidad a príori como 𝜋(𝜃). Cuando se tiene evidencia muestral, la distribución a príori es ajustada obteniendo una distribución denominada a posteriori. En forma explícita, si se considera a 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 como la evidencia
muestral y haciendo 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), se tiene que la función de probabilidad a
posteriori es
𝑓(𝜃 |𝑥) = 𝐿(𝑥 |𝜃) 𝜋(𝜃)
∫ 𝐿(𝑥 𝜃. |𝜃) 𝜋(𝜃) 𝑑𝜃 ′ (1-17) Si 𝜃 es de tipo discreto. Si 𝜃 es de tipo continuo; donde 𝐿(𝑥 | 𝜃) es la función de verosimilitud, o en forma explicita
(𝑥 | 𝜃) ∶= 𝐿(𝑥 ; 𝜃) (1-18)
33
Bajo este enfoque, la distribución a posteriori33 es la que se emplea para hacer la estimación de los parámetros por medio de 𝐸[𝑥 |𝜃].
El muestreador de Gibbs es un método MCMC (Markov Chain Monte Carlo) y se define como sigue:
Al suponer que 𝜃 = (𝜃1, . . . , 𝜃𝑘), donde cada i es un bloque de parámetros al que se le asigna la distribución 𝑓(𝜃𝑖|𝑥, 𝜃𝑗≠𝑖), denominada distribución de probabilidad condicional completa, con
𝜃𝑗≠𝑖 = {𝜃1, … , 𝜃𝑖−1, 𝜃𝑖+1, … , 𝜃𝑘}. (1-19)
Al suponer que 𝜃(0) = (𝜃(0), … , 𝜃𝑘(0)) es un valor inicial arbitrario34 de 𝜃, entonces la t-ésima iteración del algoritmo, con 𝑡 ≥ 1, se actualiza generando:
𝜃1(𝑡) de 𝑓(𝜃1| 𝑥, 𝜃2(𝑡−1), … , 𝜃𝑘(𝑡−1)) (1-20)
𝜃2(𝑡) de 𝑓(𝜃2| 𝑥, 𝜃1 (𝑡)
, 𝜃3(𝑡−1), … , 𝜃𝑘(𝑡−1)) (1-21)
𝜃3(𝑡) de 𝑓(𝜃3| 𝑥, 𝜃1(𝑡), 𝜃2(𝑡), 𝜃4(𝑡−1), … , 𝜃𝑘(𝑡−1)) (1-22) .
. .
𝜃𝑘(𝑡) de 𝑓(𝜃𝑘| 𝑥, 𝜃1(𝑡), 𝜃2(𝑡) , … , 𝜃𝑘−1(𝑡) ) (1-23)
Si 𝜃(𝑡)= ( 𝜃1(𝑡), … , 𝜃𝑘(𝑡)), la sucesión {𝜃(𝑡): 𝑡 = 1,2, … , 𝑇} es una realización de una cadena de Markov (Gamerman, 1997).
La anterior cadena de Markov tiene probabilidad de transición dada por
𝜋(𝜃(𝑡), 𝜃(𝑡+1)) = ∏𝑘 𝑓(𝜃𝑙𝑡+1| 𝜃𝑗𝑡, 𝑗 > 𝑙, 𝜃𝑗𝑡+1, 𝑗 < 𝑙, 𝑥)
𝑙=1 ; (1-24)
33Ríos Insua David , Sixto Ríos Insua, Antonio Jiménez Martín, Jacinto Ramón Martin Jiménez
(2008), Simulación. Métodos y aplicaciones (2a edición), RA-MA S.A. Editorial y Publicaciones, 2008, ISBN 847897895X.
34
Cuando t es suficientemente grande, la distribución de probabilidad de donde proviene 𝜃𝑡 converge a la distribución de probabilidad de 𝜃35.
Así, existe un T de tal forma que si t > T, la distribución de probabilidad de t se pueden aproximar a través de la distribución de probabilidad empírica dada por M valores simulados 𝜃(𝑡), con t=T+1, T+2,. . ., T+M 36.
Para hacer inferencia, y a manera de ejemplo, se puede obtener una aproximación de la media de la distribución marginal de cualquier 𝜃𝑖 a través de
Σ𝑡=𝑇+1 𝑇+𝑀 𝜃𝐼(𝑡)
𝑀 (1-25)
Su distribución marginal se puede aproximar por la distribución de probabilidad empírica obtenida de
(𝜃𝑖(𝑇+1), 𝜃𝑖(𝑇+2), … , 𝜃𝑖(𝑇+𝑀)) (1-26)
1.5.5 Análisis de intervención en series de tiempo
Un proceso estocástico puede ser definido como un conjunto de variables aleatorias que están ordenadas en el tiempo y definidas en un conjunto de puntos temporales que pueden ser continuos o discretos37. La variable aleatoria se denota en el tiempo
𝑡 como 𝑍(𝑡), si el tiempo es continuo (usualmente −∞ < 𝑡 < ∞) y como 𝑍𝑡, si el tiempo t es discreto (usualmente 𝑡 = 0, ±1, ±2, ±3, … ).
𝑍 = {𝑍(𝑡): 𝑡 ⊆ ℝ} (1-27) Donde 𝑍(𝑡) es la variable aleatoria y t el índice que representa el tiempo de captura. El objetivo es utilizar la teoría de procesos estocásticos para determinar el comportamiento de la serie y predecir su comportamiento a futuro.
35 Hills, SE, y SMITH AFM (1992), Parametrization issues in Bayesian inference (whit discussion). En,
Bernardo, J.M Berger, JO, David, AP, y A. Smith FM (eds): Bayesian Statics 4 Oxford University Press, pp 227-246.
36 Kim, C.J. y Nelson, C.R. (1999a). Friedman´s Plucking Model of Business Fluctuations: Tests and Estimates of Permanent and Transitory Components. Journal of Money, Credit, and Banking, 31(3), 317-334.
35
En un modelo de series temporales univariante, se descompone la serie 𝑍(𝑡) en dos partes, una que recoge el patrón de regularidad, o parte sistemática (𝑃𝑆), y otra parte puramente aleatoria, denominada también innovación (𝑎):
𝑍(𝑡) = 𝑃𝑆𝑡+ 𝑎𝑡 (1-28) La teoría de la predicción se basa en replicar las regularidades de su comportamiento en el pasado y proyectarla hacia el futuro. Por lo tanto, es preciso que los procesos estocásticos generadores de las series temporales tengan algún tipo de estabilidad. Si por el contrario, en cada momento presentan un comportamiento diferente e inestable, no se pueden utilizar para predecir. Estas condiciones se les imponen a los procesos estocásticos para que sean estables para predecir y se les conoce como estacionariedad38.
El procedimiento de recoger el patrón sistemático de un proceso estocástico se hace operativo mediante los Modelos Autorregresivos Integrados a Medias Móviles (ARIMA) que son una alternativa de aproximación a la estructura teórica general.
1.5.6 Método de interpolación de Stineman
El método se basa en la interpolación racional con funciones racionales. El método original sugerido por Stineman causa pendientes inferiores cerca de pasos abruptos o puntos en la secuencia de puntos, y por lo tanto una más pequeña tendencia para exceder.
Métodos basados en un polinomio de segundo grado ("la parábola") proporciona la mejor aproximación para alisar funciones, pero esto causa pendientes más altas cerca de pasos abruptos o puntos, y puede conducirlos a excederse, donde el método de Stineman no lo hace. Ambos métodos conducen a mucho menos tendencia para oscilaciones 'falsas' que métodos tradicionales de interpolación basados en polinomios.39.
El método determina automáticamente las pendientes usando la siguiente ecuación:
38 D. PEÑA (1992), “Estadística; Modelos y Métodos: 2.Modelos lineales y series temporales”, Alianza Universal Textos.
36
Dado los puntos 𝑥𝑗 e 𝑦𝑗, el 𝑦𝑝𝑗 (vector de la pendiente de la curva entre puntos) y un nuevo eje de abscisas vector 𝑥𝑗 la función que utiliza Stineman para calcular un
𝑦𝑗 vector correspondiente al 𝑥𝑗.es:
𝑦′𝑚 = 2𝑠 − 𝑦𝑝
Donde, la pendiente del segmento de línea que une los dos puntos es:
𝑠𝑗 = 𝑦𝑗+1− 𝑦𝑗 𝑥𝑗+1− 𝑥𝑗
𝑦𝑝 = (𝑦𝑖−𝑦𝑗)((𝑥𝑘−𝑥𝑖)
2+(𝑦
𝑘−𝑦𝑖)2)+(𝑦𝑘−𝑦𝑖)((𝑥𝑖−𝑥𝑗)2+(𝑦𝑖−𝑦𝑗)2)
(𝑥𝑖−𝑥𝑗)((𝑥𝑘−𝑥𝑖)2+(𝑦
𝑘−𝑦𝑖)2)+(𝑥𝑘−𝑥𝑖)((𝑥𝑖−𝑥𝑗)2+(𝑦𝑖−𝑦𝑗)2)
(1-29)
La ecuación (1-29) se encarga de evaluar de forma más precisa, si 𝑠𝑗 > 0 y 𝑠𝑗 > 𝑦𝑝
o si 𝑠𝑗 < 0 y 𝑠𝑗 < 𝑦𝑝.
1.5.7 Modelo (SRM) -Deshielo de escorrentía
La estructura básica del SRM (Modelo Snowmelt Runoff o Deshielo de escorrentía) se muestra esquemáticamente en la Figura 3 a continuación:
Figura 3 La estructura de la SRM.
37
La cuenca se subdivide en zonas de elevación, normalmente 3 o 4 zonas se utilizan, pero más en las cuencas de alto relieve40. No hay ninguna disposición para las subcuencas o tipos de cobertura del suelo. La escorrentía de todas las zonas de elevación se sumarán antes de encaminamiento, así que la ubicación no se tiene en cuenta en el modelo. Se utiliza un paso de tiempo diario. El deshielo en cada zona se predice a partir de la temperatura del aire, se añade que las precipitaciones en, y el agua de nuevo total se en rutan a través de un único almacén41.
El modelo SRM; es un modelo de escorrentía de la nieve disuelta. Está diseñado para simular y predecir el caudal diario en cuencas de montaña, donde la fusión de nieve tiene un papel importante. Recientemente también ha sido utilizado para evaluar el efecto del cambio climático sobre la cobertura de nieve y su escorrentía.
El modelo SRM fue desarrollado por Martinec42 y aplicado a pequeñas cuencas en
Europa. Gracias a los avances en teledetección de nieve mediante satélites el modelo SRM se ha ido aplicando a cuencas cada vez mayores, siendo la mayor donde se ha aplicado de 120.000 km2. Los cálculos de escorrentía del modelo suelen ser fácilmente asimilados. Hasta la fecha el modelo fué aplicado por varias agencias, institutos y universidades en unas 80 cuencas de 25 países distintos. Alrededor de un 25% de las aplicaciones fueron hechas por los autores del modelo y un 75% por usuarios independientes. El modelo SRM43 también superó varios ensayos de simulación de escorrentía realizados por World Meteorological Organization (WMO, 1986) así como simulaciones parciales de predicciones en tiempo real (WMO, 1992).
40 Kumar et al., 1991. In: Proceedings of the National Symposium on Freshwater Aquaculture, CIFA Bhubaneswar, India. Bhubaneswar, CIFA, pp. 89-91
41 Baumgartner, M. F. (1987) Schneesch melz-Abfluss simulation en basier end auf Schneeflächen best immungen mit digital en Landsat-MSS and NOAA-AVHRR Daten. (Snowmelt runoff simulations based on snow cover mapping using digital Landsat-MSS and NOAA-AVHRR data), German version: Remote Sensing Serie, 11, Department of Geography, Univ. of Zurich, Zurich, Switzerland. English summary: Tech. Report HL-16, USDA, Agricultural Research Service, Hydrol. Laboratory, Beltsville, MD, USA.
42 Martinec, J. & Rango, A. (1995) Seasonal runoff forecasts for hydropower based on remote sensing. Proc. Western Snow Conf., Reno/Sparks, Nevada, USA.
38 Dónde:
R2 = medida de la eficiencia del modelo
Qi = caudal diario medido
Q'i = caudal diario simulado
Q = caudal medio del período de simulación
n = número de valores de caudal diario
Dv = porcentaje de diferencia entre volumen medido y simulado (%)
VR = volumen de escorrentía medido
V'R = volumen de escorrentía simulado
Además de las variables de entrada es necesario disponer de la curva área-altura de la cuenca. Otras características de la cuenca (área de bosque, condiciones del suelo, datos históricos de precipitación y caudal) pueden ayudar a determinar los parámetros del modelo.
El modelo SRM se puede usar para los siguientes propósitos:
Simulación del caudal diario durante el período de fusión, para uno o varios años consecutivos. Los resultados pueden ser comparados con el caudal medido para evaluar la simulación y para verificarlos parámetros utilizados. Las simulaciones sirven también para evaluar patrones de caudal de cuencas sin mediciones, usando teledetección con satélites para la superficie de nieve y extrapolando temperaturas y precipitación de estaciones cercanas44.
Predicciones a corto plazo y estacionales. El programa para PC
(Micro-SRM) incluye la generación de las curvas de agotamiento modificadas (modified depletion curves) que relacionan el área cubierta de nieve con el espesor acumulado de nieve fundida según los cálculos del modelo. Esas curvas permiten al usuario extrapolar manualmente la cobertura de nieve varios días hacia el futuro usando predicciones de temperatura, de modo que la variable cobertura de nieve está disponible para realizar
39
predicciones de caudal. Las predicciones del modelo dependen a su vez de las predicciones de temperatura ambiente y precipitación pero se pueden reducir imprecisiones actualizando periódicamente estas últimas.
En los últimos años el modelo SRM fue aplicado a la nueva tarea de evaluar el efecto de un posible cambio climático sobre la cobertura de nieve y caudales estacionales. El programa para PC fue ampliado para esta tarea.
1.6 ESTRUCTURA DEL MODELO
El modelo calcula la cantidad diaria de agua procedente la lluvia. Esta cantidad se añade al caudal de recesión para obtener el caudal total diario según la siguiente ecuación:
𝑄𝑛+1= [𝐶𝑆𝑛𝐴𝑛(𝑇𝑛+ ∆𝑇𝑛)𝑆𝑛+ 𝐶𝑅𝑛𝑃𝑛]
𝐴∗10000
86400 (1 − 𝐾𝑛+1) + 𝑄𝑛Kn+1 (1-31) Donde:
Q= caudal medio diario [𝑚3⁄ ]𝑠
c= coeficiente de escorrentía, considera las pérdidas como un cociente (escorrentía/precipitación), con 𝑐𝑆 referido a fusión de nieve y 𝑐𝑅referido a lluvia. a= factor de grados-día [𝑐𝑚 𝑜 𝐶 − 1 𝑑 − 1], indica el espesor de nieve fundida debido a un grado-día.
T= número de grados-día [°𝐶𝑑].
ΔT = ajuste de grados-día mediante la razón de variación de temperatura (lapse rate), cuando se extrapolan temperaturas desde una estación de referencia a una zona de elevación [𝑜𝐶 𝑑].
S= cociente del área cubierta de nieve al área total.
P= aportación de la precipitación [𝑐𝑚]. La temperatura crítica 𝑇𝐶𝑅𝐼𝑇 determina cuando esta aportación es en forma de lluvia e inmediata. En caso de ser nieve nueva, se almacena hasta que se reúnan las condiciones de fusión.
A= área de la cuenca o zona 𝐾𝑚2.
40
𝑘 =
𝑄𝑛+1𝑄𝑚 (1-32)
(𝑚, 𝑚 + 1 Son días consecutivos de un período de recesión)
n = secuencia de días durante el período de cálculo de caudal. La ecuación (1-31) considera un tiempo de retraso (time lag) de 18 horas entre el ciclo diario de temperatura y el ciclo de caudal resultante, de modo que los grados-día registrados el día n se traducen en caudal del día 𝑛 + 1.
Se pueden introducir diferentes tiempos de retraso mediante una sub-rutina. 10000
86400= 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑚. 𝑘𝑚
2𝑑−1 𝑎 𝑚3s−1 (1-33)
Las variables T, S y P han de ser medidas o determinadas a diario. Los parámetros
𝐶𝑅, 𝐶𝑆 , la razón de variación (lapse rate) para hallar ∆𝑇, 𝑇𝐶𝑅𝐼𝑇, k y el tiempo de retraso
(lag time) son todos ellos característicos de una cuenca particular o, más en general, de un clima particular.
1.6.1 SARMA – Modelos no estacionarios estacionales.
Los modelos estacionales autorregresivos de media móvil – SARMA, tienen el mismo proceso que los modelos ARMA, lo que los diferencia es la incorporación del término estacional, dando paso a modelos ARMA estacionales no-estacionarios (SARMA). Estos modelos analizados por Box - Jenkins (1976), son usados frecuentemente por series de tiempo estacionales45.
Los modelos SARMA se diferencian de los ARMA en que46.
a) Los ARMA se aplican a series estacionarias, mientras que los SARMA admiten series no estacionarias, como sucede en este caso.
b) En los SARMA el desfase es coincidente con la frecuencia de los datos.
c) Los SARMA se aplican a series con estacionalidad, mientras que los ARMA no se pueden aplicar a este tipo de series.
45 Bowerman, O'Connell, & Koehle (2004) Forecasting, time series, and regression: An applied approach (4th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole.
41
d) En los SARMA además de estacionariedad las series son estacionales.
Se dice que una serie es estacional cuando su media no es constante en el tiempo y varia de forma periódica o cíclica, donde la estacionalidad es de “s” periodos47. Los modelos SARMA pueden tener un gran número de parámetros y combinaciones de ellos.
SARMA (𝑝, 𝑞⏟)
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
× (𝑃, 𝑄⏟ )
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑠=12 (1-34)
𝜙(𝐵)Φ(𝐵𝑠)𝑧
𝑡= 𝜃(𝐵)Θ(𝐵𝑠)𝑎𝑡 (1-35) Donde
B es el operador de retardos ( 𝐵𝑧𝑡 = 𝑧𝑡−1 ).
𝑠 Es el periodo estacional.
𝜙(𝐵) = (1 − 𝜙1𝐵 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐵𝑝), operador autorregresivo no estacional (AR). (1-36)
Φ(𝐵𝑠) = (1 − Φ
1𝐵𝑠− ⋯ − Φ𝑃𝐵𝑃𝑠), operador autorregresivo estacional (AR). (1-37)
𝜃(𝐵) = (1 − 𝜃1𝐵 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐵𝑞), operador de media móvil no estacional (MA). (1-38)
Θ(𝐵𝑠) = (1 − Θ
1𝐵𝑠+ ⋯ + Θ𝑄𝐵𝑄𝑠), operador estacional de media móvil (MA). (1-39) Este tipo de procesos tiene las siguientes características:
Contienen una componente ARMA (P, Q) que modeliza la dependencia estacional, asociada a observaciones separadas por 𝑠 periodos.
AR: Orden del autorregresivo regular p.
MA: Orden de la media móvil regular q.
SAR: Orden del autorregresivo estacional P.
SMA: Orden de la media móvil estacional Q.
42
2 Identificación de los modelos SARMA
En primer lugar se comienza por la identificación a priori del modelo, a partir de las observaciones de los gráficos de autocorrelación simple y parcial, se observa cuáles pueden ser los valores más aceptables para (p, q) (P, Q).
Figura 4 Diagrama del proceso de identificación de parámetros para modelos SARMA.
Fuente: Propia.
No Si
Serie Observada
Identificación del modelo SARMA estacional (p, q) (P, Q)
*Transformaciones
*Selección (p, q) (P, Q)
Validación del modelo
Análisis de la estructura.
¿Es adecuado el
43
2.
CAPÍTULO II - Metodología.
2.2. Área de estudio subcuenca media del río Garagoa.
El diagnóstico a continuación, busca a partir de datos e información básica generar conocimiento y caracterizar el territorio a estudiar en sus distintos aspectos biofísicos; que establecen el estado, las tendencias y las posibilidades del comportamiento del mismo.
El área de estudio está comprendida aproximadamente entre las longitudes 73° 26’ 42.00” O y 73° 17’ 26.44” O latitudes 5° 3’ 5.54” N y 5° 8’ 13.76” (subcuenca meda del río Garagoa) es mostrada en la Figura 5. El período de estudio comprende del año 1976 a 2011, Se usaron registros de 30 o más años continuos de precipitación y caudal distribuidos en toda el área48.
Los datos de caudal y precipitación de la subcuenca media del Río Garagoa en la jurisdicción de la corporación autónoma regional de chivor - CORPOCHIVOR, entre los municipios de Garagoa, Chinavita, Tenza y Pachavita.
Un segundo aspecto de interés es la torrencialidad y los riesgos asociados. Dadas las pendientes fuertes de la cuenca y los intensos eventos de precipitación propiciados por la altitud del área, sumado a la alteración de los taludes y rondas, hay problemas y fenómenos asociados a crecientes; esto puede afectar ciertas zonas alejadas de los ejes de drenaje, limitado por desbordamientos de duraciones muy cortas.
44
Figura 5 Localización del área de estudio. DEM - ASTER (MODELO DIGITAL DE ELEVACION 30 MTS).
Fuente: NASA - http://earthdata.nasa.gov/. Software usado para visualizar el producto – Qgis
El área presenta drenajes que aportan agua a su cauce en el tramo de estudio; con fuertes escorrentías superficiales que arrastran gran cantidad de material deleznable durante las épocas de lluvias, debido a la abrupta topografía; produciendo súbitas crecientes, socavando permanentemente los taludes y lechos o cauces de los ríos.
45
Figura 6 Cuenca hidrográfica del río Garagoa.
46
2.3.
Materiales
2.3.1 Datos de precipitación.
Los datos de precipitación fueron obtenidos a través de las estaciones pluviométricas del instituto de hidrología y meteorología y estudios ambientales (IDEAM), por medio de la Corporación Autónoma de Chivor Corpochivor, disponiendo de 4 de estas, distribuidas en la cuenca hidrográfica del rio Garagoa. Estos datos de precipitación tienen un rango de tiempo entre enero de 1976 y enero de 2011 con una frecuencia mensual.
Tabla 1 Estaciones
Años Código Nombre de Estación Tipo de estación (1955-2012) 3507 Chinavita Precipitación (mm) (1959-2012) 3508 Garagoa Precipitación (mm) (1976-2012) 3521 Pachavita Precipitación (mm) (1979-2000) 3520 El Caracol Caudal (m3/s)
Fuente propia
2.3.2 MDT
Uno de los elementos básicos de cualquier representación digital de la superficie terrestre son los Modelos Digitales de Terreno (MDT). Constituyen la base para un gran número de aplicaciones en ciencias de la Tierra, ambientales e ingenierías de diverso tipo. Se denomina MDT al conjunto de capas (generalmente raster) que representan distintas características de la superficie terrestre derivadas de una capa de elevaciones a la que se denomina Modelo Digital de Elevaciones (MDE). Aunque algunas definiciones incluyen dentro de los MDT prácticamente cualquier variable cuantitativa regionalizada, aquí se prefiere limitar el MDT al conjunto de capas derivadas del MDE.
Las variables incluidas en un MDT son factores de gran importancia en un gran número de procesos ambientales (precipitación, flujos hídricos, erosión, etc.) por tanto van a ser un elemento clave a la hora de estimar otras variables.
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que puede circular en un momento dado en un punto del terreno depende, entre otros factores, de la magnitud del área subsidiaria, de las precipitaciones sobre ella y de la pendiente de la zona, que permite la circulación con menor o mayor rapidez. En función de estos parámetros es posible simular el CMP en un modelo digital del terreno.
Otra información de gran interés hidrológico directamente extraíble de un MDT son las redes de drenaje. Para ello se parte de la hipótesis de que hay un valor umbral de área subsidiaria por encima del cual el cauce en cuestión puede considerarse como perteneciente a un cauce. Por tanto basta con reclasificar el mapa de áreas subsidiarias para asignar un valor 1 a aquellas celdillas con área subsidiaria mayor que dicho umbral y valor 0 o nulo a las restantes. Finalmente, si se quiere el mapa de redes de drenaje en formato vectorial se deberá realizar el correspondiente cambio de formato49.
2.3.3 Zonas de inundación
Por motivos de pérdidas humanas y económicas en el país debido a las temporadas invernales generadas por factores como el fenómeno del niño y de la niña, en CORPOCHIVOR mediante la modalidad de pasantía con estudiantes de Ingeniería Catastral y Geodesia, se actualizaron 10 coberturas relacionadas con: Uso del Suelo aplicando la metodología Corine Land Cover, Incendios Forestales, Inundaciones, Remoción en Masa, Calidad del Agua, Minería, Toponimia, Curvas de Nivel, Estaciones Climáticas y Zonas de Vida según metodología Holdreige descrito en el informe de gestión de primer semestre de 201150.
Así mismo, se reiteró a los municipios la invitación para que suscriban convenios interadministrativos con CORPOCHIVOR para la identificación del riesgo por fenómenos naturales por inundación, incendios, remoción en masa y sísmica para ser incorporados en los POT.
49 Felicísimo Angel M, Introducción y aplicaciones en las ciencias ambientales, Modelos Digitales del Terreno, cap. 7.
50 (Ver en línea), informe de gestión de primer semestre de 2011,
