INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY ESCUELA DE GRADUADOS
ANÁLISIS DE FLUJO DE CARGA EN SISTEMAS DE POTENCIA MEDIANTE EL MÉTODO DE NEWTON
T E S I S
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR AL GRADO ACADÉMICO DE
MAESTRO EN CIENCIAS ESPECIALIDAD EN POTENCIA
P O R
MARIO ALFONSO RIAÑO MEDINA 1971
A MIS HIJOS
AGRADECIMIENTO
E l autor agradece l a magnífica asesoría y v a l i o s a cooperación d e l Dr. Carlos Treviño y - d e l Dr, A l b e r t o M. Sasson en l a realización de este t r a b a j o . Igualmente a l Centro Electróni- co de Cálculo d e l I.T.E.S.M. por l a prestación de sus s e r v i c i o s .
RESUMEN. I
NOMENCLATURA. I I I
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN. 1
CAPÍTULO 2
CARACTERÍSTICAS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON. 4 2.1. - Descripción general d e l método para una dimen-
sión. 4
2.2. - Prueba de convergencia d e l método de Newton. 5 2.3. - Razón de convergencia d e l método de Newton. 9
2.4. - Generalización d e l método. 10
REFERENCIAS.
CAPÍTULO 3
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE FLUJO DE CARGAS EN SISTE
MAS DE POTENCIA. 14
3.1. - Introducción. 14
3.2. - Suposiciones en e l e s t u d i o de f l u j o de carga. 14 3.3. - Construcción de l a s ecuaciones de nodos. 15
3.4. - Ecuaciones de Potencia. 18
3.5. - Solución de l a s ecuaciones. 20
REFERENCIAS.
CAPIÍULO 4
CUATRO VERSIONES PARA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE FLUJO
DE CARGA POR EL METODO DE NEWTON. 23
4.1. - Consideraciones generales. 23
4.2. - Versión estándar. 23
PÁGINA
4.3.- Versión de c o r r i e n t e s . 29
4.4.- Versión combinada Jacobi-Newton, 35
4.5.- Versión de v o l t a j e s . 43
REFERENCIAS.
CAPÍTULO 5
PROGRAMAS. 52
5.1. - Generalidades, 52
5.2. - Características de l o s Programas, 52 5.3. - V a r i a b l e s en l o s programas. 55 5.4. - Otras v a r i a b l e s en l a versión de v o l t a j e s . 57 5.5. - Otras v a r i a b l e s en l a versión combinada
Jacobi-Newton. 57
5.6. - Diagramas de f l u j o . 58
CAPÍTULO 6
PRUEBAS Y RESULTADOS. 62
6.1. - Selección de pruebas, 62
6.2. - Tabla de Datos. Casos A y B. 64
6.3. - Tabla de datos para e l caso A con carga f u e r t e . 65 6.4. - Tabla de datos para e l sistema de prueba de l a
AEP, 14 nodos. 65
6.5. - Resultados numéricos. 66
CONCLUSIONES. 72
método de Newton para l a solución de sistemas de ecuaciones no li—
n e a l e s , que describen e l comportamiento de redes de p o t e n c i a . Así mismo se hace un análisis en una dimensión de l a s características y e l t i p o de convergencia que presenta e l método en cuestión. Se ana_
l i z a l a formación de l a s ecuaciones de nodos que r i g e n e l comporta- miento de un sistema eléctrico de potencia y se presentan a c o n t i — nuación cuatro versiones d e l método de Newton para su solución, ba- sadas en e l planteamiento de estas como ecuaciones de p o t e n c i a , co- r r i e n t e y v o l t a j e , de acuerdo con l a s r e f e r e n c i a s {1, 2 y 5; 3; 6, Capítulo 4.}respectivamente.
Se efectúa un análisis de l a s características de c o n v e r — gencia de cada una de l a s cuatro versiones tomando como caracterís- t i c a p r i n c i p a l para cada una de e l l a s e l número de i t e r a c i o n e s nece_
s a r i o para p r o d u c i r una solución partiendo de d i f e r e n t e s puntos i n i c i a l e s . Para l o g r a r este o b j e t i v o se e s c r i b i e r o n programas de com- putadora de t i p o experimental para c/u de l a s d i f e r e n t e s versiones y se probaron v a r i o s sistemas en condiciones de carga l i v i a n a , car- ga pesada y con r e a c t a n c i a s negativas a f i n de examinarlas con c a — sos condicionados y de difícil convergencia habiendo obtenido r e — sultados de carácter p o s i t i v o e i n t e r e s a n t e en l a s versiones con — ecuaciones de v o l t a j e y c o r r i e n t e . Como r e s u l t a d o d e l e s t u d i o se - presentan observaciones i n t e r e s a n t e s acerca de l a s versiones y como conclusión se recomiendan algunas de e l l a s como de gran u t i l i d a d pa
r a estudios de e s t a b i l i d a d , despacho económico y estado estable sistemas de potencia.
p Parte r e a l de potencia.
Q Parte imaginaria de potencia.
E Magnitud de v o l t a j e . e parte r e a l de v o l t a j e .
f parte imaginaria de v o l t a j e . I magnitud de c o r r i e n t e .
a parte r e a l de c o r r i e n t e .
b parte imaginaria de c o r r i e n t e . Y magnitud de admitancia.
G parte r e a l de admitancia.
B parte imaginaria de admitancia.
s Potencia compleja.
E v o l t a j e complejo.
I corriente compleja.
Y admitancia compleja.
6 ángulo de v o l t a j e . e ángulo de admitancia.
k y m sub-índices de matrices.
conjugado de cantidad compleja.
NOTA: A menos que se indique o t r a cosa, ésta es l a nomenclatura que se usará en todo e l t r a b a j o .
C A P I T U L O I INTRODUCCION
Con e l advenimiento de l a computadora d i g i t a l se abrió un campo muy grande en l a investigación d e l comportamiento de l o s siste_
mas de p o t e n c i a en l o referente a estudios de estado e s t a b l e y t r a n - s i t o r i o , y así durante l a década de l o s cincuentas se reportaron en v a r i o s t r a b a j o s d i f e r e n t e s métodos i t e r a t i v o s para a f r o n t a r e l p r o — blema de l a solución d e l conjunto de ecuaciones no l i n e a l e s que r i — gen e l comportamiento de un sistema eléctrico de p o t e n c i a . Entre —
los métodos más importantes reportados hasta ese entonces se pueden c i t a r l o s de Gauss, Gauss S e i d e l .
En l a década de l o s sesentas e l incremento en l a investiga_
ción sobre e l problema de solución de l a s ecuaciones de f l u j o de car_
ga en sistemas de p o t e n c i a por medio de l a computadora d i g i t a l tuvo un r e s u l t a d o bastante s a t i s f a c t o r i o , por cuanto l o s t r a b a j o s que se reportaron t i e n e n un carácter muy v a l i o s o dentro d e l campo de l a I n - geniería Eléctrica de Potencia.
En 1961 James E. Van Ness y John H. G r i f f i n p u b l i c a r o n e l artículo " E l i m i n a t i o n Methods f o r Load Flow S t u d i e s " presentando en él l a aplicación d e l método de Newton a l a solución de l a s e c u a c i o — nes no l i n e a l e s que r i g e n en e l comportamiento de un sistema eléctri co de p o t e n c i a , método que presentaba características muy i n t e r e s a n - tes desde e l punto de v i s t a técnico pero que se hacía demasiado difí c i l en su aplicación práctica, debido a l a cantidad de memoria y - -
tiempo de computador que requería para estudios en sistemas de tamaño mediano y grande y que hasta ese momento se contaba con computadores de capacidad l i m i t a d a de memoria. En noviembre de 1967 W i l l i a m F. — Tinney y C l i f f o r E. Hart, p u b l i c a r o n e l artículo "Power Flow s o l u - — t i o n s by Newton's Method", en e l c u a l h i c i e r o n e f e c t i v o e l empleo d e l método de Newton (expuesto en 1961), en l a solución de l a s ecuaciones de f l u j o de carga, mediante una eliminación Gaussiana óptimamente o r - denada y técnicas e s p e c i a l e s de programación, paso éste que revolucio_
na l a técnica de solución de l a s ecuaciones de f l u j o de carga pues — abrió l a s puertas a l a investigación en l a aplicación de este método.
En general e l método de Newton presenta características más v e n t a j o — sas que l o s métodos i t e r a t i v o s expuestos i n i c i a l m e n t e (Gauss-Seidel y s i m i l a r e s ) por cuanto s u característica de convergencia es de t i p o e s t a b l e , es d e c i r que no se a l t e r a apreciablemente por l a magnitud — d e l sistema en e s t u d i o , siempre y cuando l a s condiciones i n i c i a l e s -- sean l o suficientemente cercanas a l a solución. S i n embargo, hay a l gunos casos condicionados, (líneas de r e a c t a n c i a n e g a t i v a , puntos i n i cíales alejados de l a solución, e t c . ) para l o s cuales e l método p r e — senta características de difícil convergencia o de d i v e r g e n c i a .
Para o b v i a r estas d i f i c u l t a d e s se han presentado en l o s úl- timos años (1969 y 1970), dos versiones d i f e r e n t e s de l a s ecuaciones de f l u j o de carga a l a s cuales se l e s puede a p l i c a r , en l a misma f o r - ma que a l a primera (ecuaciones de p o t e n c i a ) , e l método de Newton pa- r a su solución y también se presentó una versión combinada entre l o s métodos de Jacobi y Newton, en l a c u a l se usa l a formulación de l a s -
3
ecuaciones en su forma i n i c i a l .
Con e l t r a b a j o que se expone a continuación se propone efe£
t u a r un estudio comparativo entre estas cuatro versiones a f i n de de- terminar l a s características especiales que exhibe cada una de e l l a s y e m i t i r un j u i c i o l o más acertado p o s i b l e sobre su utilización en — estudios de e s t a b i l i d a d , despacho económico y estado e s t a b l e en siste_
mas de potencia.
(2-4)
o l o que es l o mismo f' (Xi AX = - f (X i) (2-5)
donde AX = Xi+1 - X i . í + l i
La ecuación 2-5 es l a clásica del método iterativo de New 2.1.- DESCRIPCION GENERAL DEL METODO PARA UNA DIMENSION.
Se supone que se t i e n e un e s t i m a t i v o X_^ de una raíz r e a l - de l a ecuación no l i n e a l ( v e r F i g . 1 ) .
fr(X) = 0 (2-1)
La ecuación de l a línea tangente a f ( X ) cuando x = X¿ se puede expresar como un polimonio l i n e a l de Taylor
Y (X) = (X.) + f'(X.) (X-X.). i i i (2-2)
sean (X^.^ 0) l a s coordenadas de l a intersección de e s t a tangente con e l e j e de l a s x, este punto se encuentra haciendo Y (X) = 0 cuando - X = en l a ecuación (2-2):
0 = f (X.) + f (X.) (X. , - X.) i i í+l i (2-3)
s i se resuelve e s t a ecuación para X, se obtiene:
í + l
5
ton (también llamado Newton- Raphson). En e f e c t o se está obtenien- do un v a l o r r e f i n a d o X^+ ^ de una raíz a de f ( x ) - 0 por aproxima ción a l a t r a y e c t o r i a de f (x) de l a línea tangente a f ( x ) en e l - punto X = X_..
La prueba de convergencia d e l método de Newton y l a fórmu l a para determinar l a razón de convergencia se f a c i l i t a n introducien_
do una función a u x i l i a r
que se llama FUNCION DE ITERACION DEL METODO DE NEWTON. Nótese que F (X^) = X^ ^ ^ Esta función de iteración t i e n e dos propiedades - importantes: s i a es una raíz de F (x) = 0 y s i f' (a) ^ 0 entonces estas dos propiedades son:
F (a) =a (2-7)
F'(ct) = 0 (2-8)
La propiedad 2-7 se prueba simplemente evaluando l a f u n - ción F ( x ) (2-6) en x = a; mientras que l a propiedad 2-8 se prueba evaluando de derivada de F ( x ) , F' (x) cuando x =a (2-6).
2.2.- PRUEBA DE CONVERGENCIA DEL METODO DE NEWTON.1
Para probar que bajo condiciones e s p e c i f i c a d a s l a fórmula ITERATIVA DE NEWTON RAPHSON.
f (X.) ( X . + i - X.) = - f (X.) (2-9)
7
genera (desde un e s t i m a t i v o i n i c i a l Xq) una secuencia convergente - X^, X^, de aproximaciones sucesivas de l a raíz de a l a ecuación f ( x ) = 0, se examinará l a función de Iteración.
F ( x ) = x
y s u derivada
para l a c u a l F ( X j = X¿ + •1 > F (a) =<x y F1 (a) = 0.
La u t i l i d a d de e s t a función a u x i l i a r F ( x ) se i l u s t r a en l a prueba d e l s i g u i e n t e teorema:
TEOREMA: Sea K l a magnitud más grande de F1 ( x ) en e l i n — t e r v a l o que contiene a XQ, X^, X2 > ... , y a-. S i K < 1, entonces l a secuencia x¿ + i = ^ - ¡ ^ converge a a donde a es una raíz de - l a ecuación F (x) = 0 y F ( x ) = x - f ( x ) / f1 ( x )
PRUEBA: Usando l a fórmula de iteración de Newton X. „ í + l F (X^.) se c a l c u l a :
X¿ = F ( XQ) (2-10)
entonces;
X. - a = F(X ) - F (i o a) (2-11)
porque F (a) =a
F (X ) - F (a) = (X - «0 F'(X ) o o o (2-12)
por e l teorema d e l v a l o r medio, donde X e (X a ). Por l o t a n t o ,
r o o,
igualando ecuaciones 2-11 y 2-12 da
X. - ot= (X - a) F'(X ). l o o (2-13)
Si se toman valores absolutos se consigue:
|X1 - a|= | Xq - „|| F' (x0) i< |XQ-a|.K (2-14)
por hipótesis. En l a misma forma se encuentra que
X2 - a| = |X1 - a|| F'(X1)|< \x± - a| . K (2-15)
< ¡X - al «K
— ' o 1 continuando se obtiene
X .+ 1 - a|=|x. - «II F'(X.)|< |xi - a| • K
< X - a K
— 1 o 1
(2-16)
ahora, de l a relación
X i +1 - * l l l X 0 ~ a l ( 2"1 7 )
donde K< 1, se ve que
(2-18)
ésto es que
Límite Xi + 1 =a
(2-19)
Entonces l a secuencia ÍX_^+^} converge a una raíz a~ de - -
9
f (x) = Opuestoque e l algoritmo d e f i n i d o por %í + í =F genera - lina secuencia convergente {^+^} de aproximaciones sucesivas que — convergen a l a raíz
2.3.- RAZON DE CONVERGENCIA DEL METODO DE NEWTON . 1
La razón de convergencia de un método i t e r a t i v o se puede determinar por comparación de valores sucesivos d e l término de - - e r r o r :
6. = X. - «'. i i (2-20)
S i se encuentra l a relación entre <5^+^ y 6^ se puede d e — terminar que t a n rápido o despacio converge e l algoritmo a una raíz
« de l a ecuación f (x) = 0, previendo que e l algoritmo converja.
T a l relación puede determinarse expandiendo l a función de iteración F (x) en una s e r i e de Taylor alrededor d e l punto x = a.
(2-21)
Para e l algoritmo de Newton l a función de iteración y sus dos primeras derivadas son:
(2-22)
(2-23)
S i se substituyen l o s valores de l a s ecuaciones 2-23 en - l a ecuación 2-21, cortando l a s e r i e en l o s términos de t e r c e r orden para a r r i b a y evaluando en X = X_. se obtiene:
(2-24)
usando l a relación X ^+ 1 = F (x^) y l a definición 2-20 se encuentra que:
(2-25)
de e s t a relación se deduce que l a razón de convergencia es Cuadráti_
ca.
Todas l a s deducciones a n t e r i o r e s se han d e s a r r o l l a d o para e l caso de una dimensión. Ahora se pasa a a p l i c a r l o s mismos p r i n - c i p i o s para e l caso de N dimensiones.
2.4.- GENERALIZACION DEL METODO.
Se t i e n e un conjunto de ecuaciones no l i n e a l e s de l a f o r - ma:
f l ( X1> X2
V
= Y lf2 ( X1 ,X2 V = Y2 ( 2"2 6 )
fn ( X1 ,X2 ,
V
= Yny unos estimativos i n i c i a l e s d e l vector solución X ^ ° \ X ^ ° \
11
. S i se asume que AX^, A X2, A Xr son l a s correcciones que se requieren para X ° X ° , X ° , para que l a s ecuaciones 2-26 - — sean r e s u e l t a s , entonces se tendrá:
fl (x ° + A X1 S X ° X2 + A X2 .. + X ) n = Y l f2( x ° + X °
x2
+ A X2 .. . , , AX° n + X ) n = Y2 +
A X1 , X ° X2 + A X2 .. AX° n + X ) n = Y n
(2-27)
Cada una de l a s ecuaciones d e l conjunto 2-27 se puede ex- pandir p o r e l teorema de Taylor para dos o más v a r i a b l e s . Se anota como ejemplo l a expansión de l a primera ecuación:
f ^ x " + A X1 } X ° + A X2 > X ° + A XR) = f ^ X ® , X ° , ....
+ térmi-
nos con derivadas de orden superior. (2-28)
S i se desprecian l o s términos en l a s derivadas de orden - s u p e r i o r a l primero, e l conjunto de ecuaciones que r e s u l t a es:
(2-29)
Este conjunto de ecuaciones es s i m i l a r a l de l a ecuación 1^-1 d e s c r i t a para una dimensión; ahora s i se e s c r i b e este conjunto en forma de matrices se t i e n e :
(2-30)
[ D ] . [ , ] [ c ]
en l a c u a l [ j j es e l jacobiano de l a s funciones f.. y [c] es e l Vec- t o r de incrementos.
Las ecuaciones d e s c r i t a s en 2-30 son de l a misma forma de l a ecuación 2-5, que es l a clásica d e l método i t e r a t i v o de Newton.
La forma de e f e c t u a r cada iteración es l a s i g u i e n t e :
a) Se evalúan l o s elementos de l a s matrices £ü] y
b) Se obtiene., mediante l a aplicación de algún método de solución de ecuaciones l i n e a l e s , un nuevo AX..
c) Se c a l c u l a n l o s nuevos valores de x /k^ en l a s i g u i e n - te forma:
(2-31)
13
Se han adelantado discusiones matemáticas de interés s o — bre l a convergencia d e l método de Newton a p l i c a d a a l a solución de un sistema de ecuaciones no l i n e a l e s . En l a r e f e r e n c i a (3) de este capítulo se encuentra una discusión d e t a l l a d a de e s t o .
REFERENCIAS:
1) Thomas Richard Me C a l l a . "Introduction t o Numerical Me—
thods and F o r t r a n Programming" - John Wiley 6 Sons I n c . — 1967. pp. 82-87.
2) Glenn W. Stagg, Ahmed H. E l Abiad "Computer Methods i n Po wer System A n a l y s i s " Me Graw H i l l , 1968.
3) E". Isaacson and H.B. K e l l e r "Analysis o f Numerical Methods", New York. John Wiley, 1963.
EN SISTEMAS DE POTENCIA
3.1. - INTRODUCCION.
F l u j o de carga o de potencia es un término p e c u l i a r en l a - i n d u s t r i a de l a potencia eléctrica. Los métodos para e s t u d i a r f l u j o s de carga se pueden d e f i n i r como análisis de c i r c u i t o s , en l o s cuales - se conocen impedancias de l a s ramas y l a s potencias en l o s nodos, y se desea conocer l o s v o l t a j e s en l o s nodos y l a s potencias en l a s ramas, Los estudios de f l u j o s proveen l a información de v o l t a j e s , c o r r i e n t e s y f l u j o s de p o t e n c i a r e a l y r e a c t i v a en cada nodo y en cada línea d e l sistema} y por l o tanto con estos datos se puede determinar e l compor- tamiento de un sistema bajo condiciones normales o de estado e s t a b l e .
La formulación de l a técnica de solución se puede c o n s i d e - r a r en t r e s etapas, l a primera es l a selección d e l cuerpo de r e f e r e n - c i a , ya sea nodal o de m a l l a s , y l a selección de l a base de impedancia o admitancia. La segunda es l a implementación d e l método de análisis numérico y l a t e r c e r a es l a modificación de l a técnica de solución bá- s i c a para p e r m i t i r l a simulación de transformadores con cambios de de- rivación bajo carga y c o n t r o l en e l intercambio de potencia entre d i - ferentes áreas.
3.2, - SUPOSICIONES EN EL ESTUDIO DE FLUJO DE CARGA.
a) En e l estudio de f l u j o de carga se a n a l i z a solamente l a
15
r e d de secuencia p o s i t i v a , puesto que e l acoplamiento mutuo entre l a s redes de secuencia p o s i t i v a y negativa o cero es muy pequeña para sis_
temas de potencia prácticos, y se asume que l a carga es balanceada.
b) Puesto que e l acoplamiento mutuo dentro de l a r e d de se_
cuencia p o s i t i v a es usualmente muy pequeño, no se considera e l e f e c t o mutuo en e l e s t u d i o de f l u j o de carga.
Para este análisis se s e l e c c i o n a como cuerpo de r e f e r e n c i a usualmente e l de nodos.
3,3.- CONSTRUCCION DE LAS ECUACIONES DE NODOS.
La formulación sistemática de l a s ecuaciones determinadas en l o s nodos d e l c i r c u i t o aplicando l a s leyes de c o r r i e n t e de K i r c h h o f f son l a base para l a solución de problemas de sistemas de potencia por medio de l a computadora d i g i t a l . Con e l objeto de e s t u d i a r estas e — cuaciones de nodos, se examinará e l c i r c u i t o de l a F i g u r a 3-1 en e l - c u a l se i n d i c a n l a s admitancias a neutro o t i e r r a de cada nodo, y l a s fuentes de f u e r z a e l e c t r o m o t r i z y sus r e a c t a n c i a s en s e r i e se conside_
ran como fuentes de c o r r i e n t e con admitancias en p a r a l e l o (equivalen- t e Norton). Cada uno de l o s nodos se i n d i c a con un número. Se usa - además un sub-índice simple para designar e l v o l t a j e de cada uno de - l o s nodos a neutro, tomando éste como nodo de r e f e r e n c i a .
Aplicando l a s leyes de K i r c h h o f f de c o r r i e n t e a l nodo uno se t i e n e :
17
(3-1)
y para e l nodo dos
(3-2)
para l o s nodos 3 y 4 se pueden formar unas ecuaciones s i m i l a r e s y l a s 4 ecuaciones se pueden r e s o l v e r para l o s v o l t a j e s 1, 2, 3, y 4 y todas l a s c o r r i e n t e s de rama se pueden c a l c u l a r una vez conocidos estos volta_
j e s . Así, e l número requerido de ecuaciones de nodos es e l número de - nodos en l a r e d menos uno. La ecuación de nodo formada por e l quinto - nodo no nos da más información a l respecto, En otras palabras e l núme- ro de ecuaciones nodales independientes es una menor que e l número de - nodos.
Una vez arregladas l a s ecuaciones toman l a s i g u i e n t e forma:
(3-3)
Las admitancias Y ^ , Y ^ j Y,^ Y ^ se llaman admitancias - propias de l o s nodos y cada una es i g u a l a l a suma de todas l a s a d m i - t a n c i a s que terminan en e l nodo; se i d e n t i f i c a n por e l subíndice repe- t i d o .
Las otras admitancias son l a s admitancias mutuas de l o s no-
dos y cada una es i g u a l a l negativo de l a suma de todas l a s admitan- - c i a s conectadas directamente entre l o s nodos, se i d e n t i f i c a n por e l dc_
b l e subíndice. S i se e s c r i b e l a ecuación 3-3 en forma m a t r i c i a l r e — s u l t a :
(3-4)
en l a c u a l se t i e n e : íl^} es e l vector de c o r r i e n t e s que entran a l no- do K; {Y., } es l a matriz de admitancias de nodos comunmente llamada Y bus en sistemas de p o t e n c i a , ÍE^} es e l vector de v o l t a j e s de nodos r e f e r i d o s a neutro o t i e r r a .
Esta ecuación también se puede e s c r i b i r en l a s i g u i e n t e f o r - ma para e l uso de l o s nodos d e l c i r c u i t o :
(3-5)
Por cada nodo d i f e r e n t e a l de r e f e r e n c i a se tendrá una ecua- ción.
3.4.- ECUACIONES DE POTENCIA.
En l o s problemas prácticos de sistemas de p o t e n c i a l a carga y generación no se representa por fuentes de c o r r i e n t e , pero s i por —
19
fuentes de potencia compleja. La potencia, l a c o r r i e n t e y e l v o l t a j e en l o s nodos se r e l a c i o n a n como sigue:
(3-6)
S i se reemplaza l a ecuación 3-5 en l a ecuación 3-6 se obtie_
ne:
(3-7)
La ecuación 3-7 es e l conjunto de ecuaciones que describen e l comportamiento de un sistema eléctrico de potencia. Este es un - - conjunto de ecuaciones algebraicas no l i n e a l e s , Se presentan a c o n t i - nuación l a s ecuaciones de potencia en su forma p o l a r y r e c t a n g u l a r :
a) Forma p o l a r :
n
S", = P +jQ =E, k k J xk k .«V-fl km m Y, E e3 k~ekm~m
donde 6, es e l ángulo d e l v o l t a j e E, y 8 e l ángulo de Y. . K k km «n
La ecuación a n t e r i o r se puede desdoblar en dos ecuaciones
r e a l e s así:
(3-9)
'(3-10)
En l a s a n t e r i o r e s ecuaciones se observa que sí se conocen para cada nodo v a r i a b l e s , por ejemplo P y Q, e l conjunto se puede r e - s o l v e r pues hay dos ecuaciones y dos incógnitas. Ahora, s i se c o n o — cen P y magnitud E, se puede también r e s o l v e r por cuanto con l a s o l a ecuación 3-9 se obtienen l o s v a l o r e s de 6 y después se usa 3-10 para
K
determinar Q. . k
b) Forma r e c t a n g u l a r ;
\ - V i V K ^ V
n l l ( Gkm" ( em ^fm) ( 3- " > aA l d e s a r r o l l a r estas ecuaciones en parte r e a l y parte ima- g i n a r i a de S y tentativamente t r a t a r de r e s o l v e r l a s se ve que s i l a s v a r i a b l e s conocidas son P y Q, se pueden p l a n t e a r para encontrar l a
k k
componente r e a l e i m a g i n a r i a de v o l t a j e ; por e l c o n t r a r i o s i l a s v a — r i a b l e s conocidas son P^ y E^ en magnitud, es necesario p l a n t e a r una t e r c e r a ecuación que es;
Ek = ek + fk ( 3~1 1 ) b
para que e l sistema se pueda r e s o l v e r ,
3,5,- SOLUCION DE LAS ECUACIONES:
Se han planteado v a r i o s métodos de solución de l a s ecuacip_
nes de p o t e n c i a en estudios de f l u j o de carga. Todas e l l a s , debido a l a no l i n e a l i d a d de l a s ecuaciones, son procesos i t e r a t i v o s , Les - "
p r i n c i p a l e s son:
21
a) Método I t e r a t i v o de Gauss 1.
b) Método I t e r a t i v o de Gauss-Seidel 2.
c) Método de Impedancias cuadrático 3.
d) Método de admitancias cuadrático 4.
e) Método de Newton 6-7.
De l o s métodos anteriormente enumerados e l que ha dado r e — sultados más s a t i s f a c t o r i o s es e l de Newton.
En l o s capítulos s i g u i e n t e s se describen 4- versiones de e s - te método y se a n a l i z a n l o s r e s u l t a d o s obtenidos a l a vez que se p r e — sentan algunas conclusiones a l respecto.
REFERENCIAS,
1) B. Ward, H. W. Hale " D i g i t a l computer s o l u t i o n o f po-—
wer f l o w problems" Trans AIEE PAS v o l . 75 pp, 398,404, - June 1956,
2) A. F. Glim and G. W. Stagg "Automatic C a l c u l a t i o n o f - - Load f l o w s " Trans AIEE PAS, V o l . 77 pp, 1433-1438, 1958,
3) Brameller A. and Demmead J . K. "Some improved methods f o r d i g i t a l Network A n a l y s i s " Proc. IEE 1962 109 A pp — 109-116,
4) L, L, F e r r i s and A, M, Sasson; "Iviestigation o f the l o a d flow Problem" Proce IEE V o l , 115 pp, 1459-1470 Oct, 1968,
5) W. D. Stevenson J r . "Elements of power system Análisis"
Me Graw H i l l 1962 pp. 194-199.
6) James E. Van Ness, John H. G r i f f i n " E l i m i n a t i o n Methods f o r load flow Studies" Trans AIEE PAS pp. 299-304 June 1961.
7) W. F. Tinney and C. E. Hart "Power f l o w S o l u t i o n by - - Newton's Method" Trans. IEEE PAS V o l . 86 Sep. 1967 pp, 1449-1460.
8) MO-Shing Chen "Matrix Representation and Computer Solu- t i o n s i n Power System Engineering" 1968 (Notas),
C A P I T U L O 4
CUATRO VERSIONES PARA SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJO DE CARGA POR EL METODO DE NEWTON
4.1, - CONSIDERACIONES GENERALES.
En un estudio de f l u j o s se consideran t r e s t i p o s de nodos.
En cada uno de e l l o s hay cuatro v a r i a b l e s P Q E y Á de l a s — K) k , K K
cuales se deben conocer dos y desconocer l a s otras dos, Uno de l o s nodos, denominado comúnmente compensador o "SLACK", t i e n e como varia_
b l e s conocidas l a magnitud de v o l t a j e y e l ángulo (E, £ ) y no se
k, K ,
e s p e c i f i c a n n i l a potencia r e a l n i l a r e a c t i v a . Este nodo es e l que asume l a s pérdidas causadas en e l sistema, E l r e s t o de l o s nodos — d e l sistema se c l a s i f i c a en nodos de carga y nodos generadores y de v o l t a j e controlado, en l o s cuales se e s p e c i f i c a P^ y y P^ y E^ -- respectivamente y se t i e n e como v a r i a b l e s desconocidas l a magnitud - de v o l t a j e E^ y e l ángulo e^ para nodos de carga y l a potencia reac- t i v a y e l ángulo e^ para nodos generadores o de v o l t a j e controlado.
En l o s estudios de f l u j o de carga es necesario r e s o l v e r e l conjunto de ecuaciones simultáneas no l i n e a l e s que representa e l sistema. Se describen a continuación cuatro planteamientos d i f e r e n t e s .
4.2. - VERSION STANDARD.
Consiste en l a solución de l a s ecuaciones de f l u j o de c a r - ga por e l método de Newton, usando l a s ecuaciones de Potencia.
En e l estudio de f l u j o de carga en forma p o l a r es necesario r e s o l v e r un sistema de ecuaciones de l a forma de 3-7 con c i e r t a s condi^
ciones a d i c i o n a l e s . Puesto que l a s ecuaciones son no l i n e a l e s se debe emplear un esquema i t e r a t i v o . E l Método de Newton es a p l i c a b l e a s i s - tema de ecuaciones no l i n e a l e s s i se puede evaluar l a m a t r i z jacobiana y s i es p o s i b l e una aproximación suficientemente buena para e l punto - de p a r t i d a . Estas dos condiciones l a s posee generalmente e l problema de f l u j o de carga.
En l a versión que se describe se usan l a s s i g u i e n t e s e c u a — ciones en su forma p o l a r :
(4-1)
(4-2)
en l a s cuales
neta k Qk Lk
Qneta k = V " QL k ^
donde e l subíndice G corresponde a generación y L a carga.
S i se usa l a notación P^ (E,ó) y (E,ó) para e l lado i z - quierdo de l a s ecuaciones 4-1 y 4-2, éstas se pueden e s c r i b i r como un conjunto de 2N ecuaciones r e a l e s así:
Pk ( E'Ó ) -P n e t a k= 0 k = 1'n <^5>
2¿S
% C E'6 ) ' Qn e t a k = ° k = 1>n ^
Las ecuaciones 4-5 y 4-6 son d e l t i p o de l a ecuación 2-26 y por l o tanto se l e puede a p l i c a r e l método de Newton. De acuerdo con l a s v a r i a b l e s que se conocen para cada uno de l o s 3 t i p o s de nodos y - l a s que se desea conocer (E,ó) se puede plantear e l conjunto de ecua>—
ciones simultáneas de l a s i g u i e n t e manera:
a) Nodos de carga:
Ecuaciones 4-5 y 4-6
b) Nodos generadores o de v o l t a j e controlado Ecuación 4-5
c) Para e l nodo de r e f e r e n c i a (normalmente sólo uno) no en- t r a ecuación pues para él se conoce ya l a magnitud de E y e l ángulo 6 ; l a s potencias a c t i v a y r e a c t i v a se c a l ^ culan una vez haya concluido e l e s t u d i o , pero su efecto se t i e n e en cuenta a través de l o s elementos d e l Jacobia_
no.
Con éstas ecuaciones ya seleccionadas según e l t i p o de nodo, se p l a n t e a e l problema en l a s i g u i e n t e forma:
en l a ecuación 4-7 se d e f i n e :
(4-7)
(4-8)
(4-9)
A Pk = Pn e t a k " Pk <E?6> (4-10)a
A Qk = ^neta k " % <V> (4-10)b
Aó y AE son l a s incógnitas que se deben encontrar a l r e s o l v e r e l con- junto de ecuaciones, Una vez r e s u e l t o e l conjunto de ecuaciones 4-7 - se c o r r i g e n l o s v a l o r e s de l a s v a r i a b l e s E y<5 en l a s i g u i e n t e formas
(4-10)c
(4-10)d
En l a Tabla 1 se describen l a s v a r i a b l e s y l o s elementos — que constituyen l a ecuación 4-7.
27
VERSION STANDARD CONSTITUCION DE ECUACIONES Y ELEMENTOS DEL JACOBIANO
Algoritmo I t e r a t i v o :
Los d e t a l l e s d e l programa se i n d i c a n en e l capítulo 5, Por ahora se describe e l algoritmo i t e r a t i v o básico para l a solución de •—
un problema de f l u j o de carga por e l método de Newton.
a) Se asume una solución i n i c i a l de magnitudes de v o l t a j e s y sus ángulos, una forma es dejar l a s magnitudes cuando és- tas se conocen y darles a l a s otras un v a l o r que puede — ser l a magnitud d e l v o l t a j e d e l nodo " s l a c k " o compensa- dor. Los ángulos se pueden i n i c i a r i g u a l e s a l d e l nodo - compensador,
b) Se evalúa e l vector de d i f e r e n c i a s AP y AQ.
c) Se c o n t r o l a e l vector a n t e r i o r con una t o l e r a n c i a p r e v i a - mente determinada. S i todo e l vector es i g u a l o menor que e l l a , l o s v o l t a j e s y ángulos obtenidos son l a solución d e l problema. S i algún o algunos elementos d e l vector son ma- yores que l a t o l e r a n c i a , se sigue e l procedimiento.
d) Se resuelve l a ecuación (4-7) por algún método ( e l i m i n a - - ción, inversión, e t c . ) a f i n de encontrar l a s correcciones de l a magnitud y e l ángulo de l o s v o l t a j e s de l o s nodos,
e) Se a p l i c a n l a s correcciones y se vuelve a e j e c u t a r e l paso b.
4.3.- VERSION DE CORRIENTES.
Se basa en l a solución de l a s ecuaciones d e l f l u j o de carga -
29
en un sistema de Potencia elécgrica por e l método de Newton usando - - ecuaciones de c o r r i e n t e en forma r e c t a n g u l a r y p o l a r .
E l p r i n c i p i o d e l método de Newton para r e s o l v e r e l problema d e l f l u j o de carga se ve mejor en e l caso de una dimensión. Sea una - fuente de continua con un v o l t a j e E^ = 1.0 p.u. que alimenta una car- ga en e l nodo 2 a través de una línea s e n c i l l a (véase F i g u r a 4.1). Pa_
r a este caso e l sistema de ecuaciones de l a forma de l a ecuación 5 de- penderá a una ecuación e s c a l a r
E 2 G " V E 1 G " Pn e t a 2 = 0 - (4-11)
l a c u a l se debe r e s o l v e r para E^i esta ecuación es una parábola en E^
(Referencia Ver F i g u r a 2 ) ,
P neta 2 = - 10 p.u.
V base = 400 kv
F i g u r a 4-1 Problema s e n c i l l o de F l u j o de Carga.
La ecuación e s c a l a r correspondiente a l a ecuación 4-7 es l a ecuación de l a tangente a l a parábola. La tangente es un caso de una dimensión corresponde a l a m a t r i z jacobiana para e l caso de n dimen-- siones.
E l procedimiento i t e r a t i v o es e l s i g u i e n t e ; con un v a l o r es_
timado i n i c i a l de E^ se usa l a ecuación de l a primera tangente pa_
^ ( 1
r a encontrar E^' t este v a l o r mejorado da una segunda ecuación de l a (2)
tangente l a c u a l a su vez da E^ y así sucesivamente hasta que se — l l e g a a l v a l o r f i n a l de E^, De l a f i g u r a 2 se puede a p r e c i a r que un - e s t i m a t i v o i n i c i a l menor que 0.5 conduce a una solución físicamente — indeseable pero matemáticamente c o r r e c t a . Es i n t e r e s a n t e notar que l a ecuación 4-11 se puede r e e s c r i b i r en l a forma de l a ecuación de corrien_
t e , en l a que P ^ 2 si g u e siendo e s p e c i f i c a d a .
(4-12)
l a c u a l describe una hipérbola (Véase l a F i g u r a 4-3), aún cuando e l — punto de solución es e l mismo que para l a f i g u r a 4-2, l o s puntos inter_
(1) (2)
medios E^ , E^ , d e l procedimiento i t e r a t i v o serán d i f e r e n t e s y — también e l r a d i o de convergencia es mayor puesto que l a solución desea_
b l e se alcanzará para todos l o s valores de E^ >, 25. Los r e s u l t a - dos de este f l u j o de potencia simple no se pueden fácilmente g e n e r a l i - zar para sistemas grandes de c o r r i e n t e a l t e r n a . Esto nos muestra s i n embargo, que es p o s i b l e p l a n t e a r d i f e r e n t e s versiones d e l método y que puede e x i s t i r más de una solución matemática.
Generalización,
Ya d e s a r r o l l a d o e l p r i n c i p i o d e l estudio de f l u j o de carga - con ecuaciones de c o r r i e n t e para un sistema s e n c i l l o , se pasa a rees — c r i b i r l a s ecuaciones que r i g e n e l comportamiento de un sistema eléc- t r i c o de p o t e n c i a , ecuaciones 3-8, 4-1, 4-2, en su forma de c o r r i e n t e s
31
FIG. 4.2.- Representación gráfica de l a ecuación de f l u j o de carga en forma de potencia.
FIGj. H.3.- Representación gráfica de l a ecuación de f l u j o de carga en su forma de c o r r i e n t e .
33 obteniendo l a s que a continuación se d e t a l l a n :
(4-14)
Estas ecuaciones están en l a forma de l a ecuación 2-26, y por l o t a n t o en su solución se puede a p l i c a r e l método de Newton. En l a mis_
ma forma que para l a versión Standard se consideran l o s 3 t i p o s de no-—
dos, pero con l a salvedad de que l a s ecuaciones se plantean en su forma r e c t a n g u l a r , por l o c u a l , para obviar e l uso de otras ecuaciones adicio_
n a l e s , se usan en e l planteo de l a s ecuaciones para nodos de carga (P,Q), l a s ecuaciones 4-13 y 4-14 con l a s v a r i a b l e s Af^ y Ae^ respectivamente y para l o s nodos generadores, l a ecuación 5-1 en forma p o l a r . Con l a - v a r i a b l e A ó, .
k
Una vez seleccionadas l a s ecuaciones de acuerdo con e l t i p o - de nodo, l a ecuación a r e s o l v e r en e l proceso i t e r a t i v o es l a s i g u i e n - t e :
(4-15)
A continuación se i n d i c a n en l a t a b l a 4-2, l a s v a r i a b l e s , l a s ecuaciones y l o s elementos d e l jacobiano para esta versión de c o r r i e n t e ,
CONSTITUCION DE ECUACIONES Y ELEMENTOS DEL JACOBIANO
35
En l a Tabla 4-2 se usan l a s s i g u i e n t e s expresiones:
a + jbm = (e j f ) (G, .B ) m m+J m km+j km (4-16)
at o t + + + j b ^t o t m=l m m + = 2. (e + j f ) (G, + .B, ) km ] km (4-17)
(4-18)
(4-19)
E l algoritmo de solución es en líneas generales e l mismo que se describió para e l método Standard, Para una mejor información véase r e f e r e n c i a , 3
4,4.- VERSION COMBINADA JACOBI NEWTON.
Consiste en l a solución de l a s ecuaciones de f l u j o de carga - por e l método combinado J a c o b i Newton),
Las ecuaciones de f l u j o de carga se d i v i d e n en dos grupos y se d e s a r r o l l a un algoritmo donde e l primer grupo se maneja por e l m é — todo P o i n t J a c o b i y e l segundo grupo por e l método de Newton. Se ano- t a a continuación una breve explicación d e l método Point J a c o b i para - l a solución de un conjunto de N ecuaciones a l g e b r a i c a s l i n e a l e s :
Sea F(X) un v e c t o r de funciones de N dimensiones d e f i n i - das y continuas en X sobre una región de interés.
[F ( X ) ] = [ A ] [ X ] (4-20)
en e l c u a l [A] es una m a t r i z constante no s i n g u l a r de (N x N) y £X] es un Vector de N dimensiones de cantidades desconocidas sea
[X] j f x j 2 aproximaciones sucesivas a ^ X 3W generadas por un esquema i t e r a t i v o . E l método de POINT JACOBI define l a s a p r o x i m a c i o - nes sucesivas £X^~) , \^^^\ Po r el sistema de ecuaciones
(4-21)
Este sistema de ecuaciones es l i n e a l en X , „ y un a l g o — ritmo obvio para e l cálculo r e c u r s i v o de X „ es: n+1
F n+1
(4-22)
A l procedimiento de obtener e l vector r ^n +^ ] ^e ^a ecuación 4-22 se l e llama algoritmo p o i n t - J a c o b i ,
En l a r e f e r e n c i a 5 de este capítulo, se i n d i c a de l a s i - guiente forma e l algoritmo combinado J a c o b i Newton: se considera un — conjunto de N ecuaciones a l g e b r a i c a s no l i n e a l e s formuladas de l a s i - - guíente forma;
(4^22)a-l
(4-22)a-2 en donde
37
fx'] yfx"] son vectores de incógnitas de M y N-M dimensiones - respectivamente, [F^] y[F^ son vectores de funciones de M y N-M d i m e n — siones respectivamente y[A]es una matriz constante no s i n g u l a r de - -
(M x M) dimensiones, S i se supone que(X|], t * ^ " ^ - ! s e §e n e r a n Po r e l algoritmo P o i n t - J a c o b i y[X^],[xjj] jk'^ m ) ] s e generan por e l a l g o r i t _ mo Newton, l a s r e l a c i o n e s d e f i n i d a s para JX^+^"] y [x"n + j Js o n :
(4-22)b
en donde es e l Jacobiano compuesto de:
(4-22 )c
E l sistema de ecuaciones d e f i n i d o en 4,22 b se resuelve r e - cursivamente usando triangularización y substitución r e g r e s i v a , r e f e - r e n c i a 7 de este capítulo .
Formulación de l a s ecuaciones de f l u j o de carga para e l a l - goritmo combinado:
Con e l objeto de a p l i c a r este algoritmo en l a solución d e l
problema general de f l u j o de carga es necesario que l a s ecuaciones pa- r a nodos de carga estén en l a forma de l a ecuación 4-22 a-1 y l a s de - los nodos generadores en l a forma de l a ecuación 4-22 a-2 esto se l o — gra ordenando primero l o s nodos de carga de 1 a M y luego l o s nodos ge_
neradores de Mtl-aN, después de esto se e s c r i b e n l a s ecuaciones de — f l u j o de carga como sigue:
(4-22)d
(4-22)e
i = m+1, N
E l autor a l e f e c t u a r e l d e s a r r o l l o d e l presente algoritmo - a p l i c a d o a l a s ecuaciones de f l u j o de carga encontró que se obtenían r e s u l t a d o s c o r r e c t o s pero con un numero excesivo de i t e r a c i o n e s , d e l orden de 44 para e l sistema de 14 nodos de l a AEP, y en un tiempo bas_
tante l a r g o , que no concuerda en ninguna forma con e l anotado en l a - r e f e r e n c i a 5 de este capítulo, por l o c u a l después de i n v e s t i g a r l a s causas y p e d i r r e f e r e n c i a s a l respecto se encontró que e l planteamien_
to d e l problema de f l u j o de carga es d i f e r e n t e a l expuesto en d i c h a - r e f e r e n c i a . A continuación se describe l a verdadera aplicacón d e l -
39
algoritmo combinado Jacobi-Newton en l a solución de l a s ecuaciones de f l u j o de carga, l a c u a l se encuentra d e s c r i t a en l a r e f e r e n c i a 4 de - este capítulo (discusión d e l t r a b a j o de Ref. 5).
Algoritmo Combinado.
Considérese un conjunto de N ecuaciones a l g e b r a i c a s no linea_
l e s formuladas en l a s i g u i e n t e manera
(4-23)a
(4-23)b
en donde;
j X ' j y j X " ] son vectores de incógnitas de M y N-M dimensiones r e s p e c t i v a - mente tp'jjyp'j"]s o n v e c t o r e s de funciones de M y N dimensiones r e s p e c t i valúente y ¡_AJ es una matriz constante no s i n g u l a r de (M x M). Supón- gase quefX'^J, [_X'^J, £ X'3"j-- va n a s e r generadas por e l algoritmo B o i n t - J a c o b i y X"^, X"^-, por e l algoritmo Newton, entonces l a s r e l a c i o n e s
que definen X' . y X" „ son: n+1 J n+1
(4-24)
(4-25)
(4-26)
en d o n d e [ Jnj e s e l jacobiano compuesto de
('4-27)
Descripción d e l algoritmo combinado Jacobi-Newton para l a — solución de l a s ecuaciones de f l u j o de carga.
Con e l objeto de a p l i c a r e l algoritmo combinado a l problema general de f l u j o de carga es n e c e s a r i o , para l o s nodos de carga, que sus ecuaciones estén en l a forma de l a ecuación 4-23 a y para l o s no_
dos generadores o de v o l t a j e regulado, que sus ecuaciones estén en l a forma de l a ecuación 4-23 b. S i en e l sistema en e s t u d i o numeramos - l o s nodos de carga de 1 a M y l o s nodos generadores de M a N se l o g r a obtener e l conjunto ordenado de ecuaciones a l c u a l se l e a p l i c a e l a l - goritmo combinado.
Con e l s i g u i e n t e conjunto de ecuaciones se obtiene e l compoí?
tamiento d e l sistema:
(4T-28)
a) S i sobre l a m a t r i z Y se efectúan l a s operaciones de p i - vote que se r e q u i e r e n para d e j a r l a en l a forma que i n d i c a l a f i g u r a 4-4 y luego se efectúan estas mismas operaciones sobre e l v e c t o r de co- — r r i e n t e s d e l lado derecho de l a s ecuaciones 4-28,
* N o t a : La es l a p o t e n c i a r e a c t i v a neta (dada) para l o s nodos de carga y es La potencia reactiva neta calculada, Q(V,6), para l o s nodos generadores.
41
Figura 4-4 Operaciones de p i v o t e sobre l a l a matriz Y. La zona sombreada
i n d i c a que se ha convertido en ceros.
se r e f l e j a n sobre e l vector de c o r r i e n t e s l a s modificaciones hechas - sobre e l c i r c u i t o a l e l i m i n a r l o s elementos en l a matriz Y
b) Una vez efectuadas l a s operaciones de p i v o t e sobre e l — v e c t o r de c o r r i e n t e s , se c a l c u l a una nueva potencia neta e s p e c i f i c a d a para l o s nodos generadores y de v o l t a j e s controlado con l a ecuación:
S'k = V k T* (4.29)
k = m+l,n
en donde 1'^ es l a c o r r i e n t e d e l nodo K después de haber efectuado so_
bre e l l a l a s operaciones de p i v o t e .
c) Se c a l c u l a con l a Y1'' ( F i g u r a 4-4) y v o l t a j e s supuestos para l o s nodos generadores y de v o l t a j e controlado una nueva potencia P' (E,6) con l a s i g u i e n t e ecuación:
P» (E,6) = Re {E, 2 „ E * Y'" * } k k m=m+l m km (4-30)
d) Obtenida l a P' . y l a P1 (E,6) nuevas se resuelve por
e l método de Newton e l sistema de ecuaciones de l o s nodos generadores i / o de v o l t a j e controlado planteado en l a s i g u i e n t e forma:
[AP] = [ J ] [ A6 ] (4-31)
Ú P , = PT-. . P'. (E,6) k neta k k (4-32)
) J j = [ H J C+-33)
Los elementos d e l jacobiano son:
Para k = m
(4-34)
para k 4 m
(4-35)
e) Una vez r e s u e l t a s l a s ecuaciones para nodos generadores e incrementados l o s ángulos, de l o s v o l t a j e s se procede a a p l i c a r e l mé- todo de J a c o b i para r e s o l v e r l a s ecuaciones de l o s nodos de c a r g a , pa- sando l o s términos de m+1 hasta N de l a m a t r i z m u l t i p l i c a d a s - por su r e s p e c t i v o v o l t a j e , a l lado derecho de l a ecuación 4-2 b o b t e - niendo como r e s u l t a d o l a s i g u i e n t e :
[ Y ' J C E ]
= [ T
] - tY"] [E'J (4-36)
La ecuación 4-36 se r e s u e l v e p o r substitución r e g r e s i v a pues_
43
t o que está y a t r i a n g u l a r i z a d a .
f ) Con l o s v o l t a j e s obtenidos se c a l c u l a n de nuevo l a s (E,ó) y se c o n t r o l a l a convergencia, sobre l a s AP y AQ, s i cumplen con e l l a , se termina e l t r a b a j o , s i no, se c a l c u l a un nuevo v e c t o r - de c o r r i e n t e s y se continua e l t r a b a j o como se describe en e l i n c i s o b después de l a s operaciones de p i v o t e sobre .
4,5,- VERSION DE VOLTAJES,
Se basa en l a solución de l a s ecuaciones de f l u j o de carga en un sistema de p o t e n c i a eléctrico por e l método de Newton usando *•
v a r i a b l e s de v o l t a j e en forma r e c t a n g u l a r y ecuaciones de p o t e n c i a - en forma p o l a r .
De l a misma forma que se analizó l a versión de c o r r i e n t e s presentada en l a sección 3, para e f e c t u a r e l análisis y dar un funda mentó básico y s e n c i l l o a e s t a versión es p r e c i s o a n a l i z a r qué ocu<-r r r e con l a ecuación e s c a l a r d e l c i r c u i t o s e n c i l l o 4-11, cuando se p l a n t e a desde e l punto de v i s t a de v o l t a j e s , S i se d i v i d e l a e c u a - ción 4-11 por E 6 se obtiene o t r a ecuación así:
(4-37)
En e s t a ecuación 4-37, aún cuando para e l caso a n a l i z a d o en l a sección 4-3 presenta l o s mismos puntos de solución, su repre
FIG. 4-5.- Representación gráfica de l a ecuación de f l u j o de carga en su forma de v o l t a j e .
45
sentación es l a de una hipérbola, como se i n d i c a en l a f i g u r a 4-5, en l a c u a l se l l e g a a l a convergencia deseada (0.9) teniendo como punto - de p a r t i d a un v o l t a j e mayor o i g u a l a .25 p.u. Como en e l caso de l a versión de c o r r i e n t e s en comparación con l a Versión Standard, e l r a d i o de convergencia es mucho más amplio y esto se puede a p r e c i a r de una — comparación entre l a s f i g u r a s 4-2 y 4-5.
Generalización:
Ya d e s a r r o l l a d o e l p r i n c i p i o d e l e s t u d i o de f l u j o de carga - con ecuaciones de v o l t a j e para un sistema s e n c i l l o se presenta a c o n - tinuación l a generalización para un sistema de N nodos de c o r r i e n t e al_
t e r n a ,
En l a misma forma que para todas l a s versiones se consideran l o s t r e s t i p o s de nodos: P,E; P,Q; E, ó , y l a s v a r i a b l e s a determinar son E y 6.
S i se r e e s c r i b e n l a s ecuaciones generales de p o t e n c i a comple_
j a de un sistema ( ees. 3-7 ) en l a misma forma que l a ecuación 4-37 - se t i e n e :
(4-38) e - B. f + B. . (B, e + 6, f ) = 0 m km m kk km m km m
k = 2,n
(4.39) + B.. (G, e - B. f ) kk km ID km m
k = 2,n
En l a s ecuaciones 4-38 y 4-39 se encuentran l o s términos a^ y estos no son más que parte r e a l e imaginaria de c o r r i e n t e y se d e f i - nen así:
( PK ek • Q, FK> ( . - . 0 )
(Pk F K - Q k V (4-41)
S i a l a s ecuaciones 4-38 y 4-39 se l e s llama U y V respectó^
vamentej se puede d e c i r que l o s términos de U y V, representan f u n c i o - nes de 2 (N-l) v a r i a b l e s en e„. e„. e, e y f „} f„, f, f . En l a
2' 3 4 n ^ 2 3 4 n
r e f e r e n c i a 6 de este capítulo se hace alución a l empleo de o t r a ecua- - ción W que se define también como una función de E y 6 y que se plantea en l a s i g u i e n t e forma:
W ] < = Uk - Vk tang (*k k - 6k) (4-42)
en l a c u a l
&k = t a n g- 1 ( fk / ek) (4-43)
47
*k k = tang -1 (Bkk/Gk ] <) (4-44)
En l a misma r e f e r e n c i a se anota que l a s ecuaciones 4«-38, y - 4-39 y 4-42 se resuelven simultáneamente por e l método de Newton, t o — mando l a s dos primeras 4-38 y 4-39 para p l a n t e a r l a s en l o s nodos - - de carga y l a última 4-42 para p l a n t e a r l a en l o s nodos generadores y de v o l t a j e controlado.
En e s t a última ecuación se l o g r a desaparecer l a Qk de l o s -- nodos generadores, por l o c u a l no es necesario haer uso de o t r a e c u a - ción a d i c i o n a l debido a l planteo en forma r e c t a n g u l a r de l a s mismas.
E l autor encontró, a l d e s a r r o l l a r e l presente t r a b a j o con l a ecuación W, que ésta aún cuando l l e g a a una solución c o r r e c t a l o hace en una forma l e n t a y a veces causa problemas de d i v e r g e n c i a . Por esto se involucró para reemplazar l a ecuación W, l a ecuación 4-1, d e s c r i t a en su forma p o l a r , para t r a t a r con e l l a s l o s nodos generadores, A con tinuación se i n d i c a e l planteo de l a s ecuaciones a r e s o l v e r por e l mé- todo de Newton en esta versión;
a) Para nodos de carga;
Ecuaciones; 4-38 y 4-39,
b) Para nodos generadores o de v o l t a j e controlado Ecuaciones 4-1.
con estas ecuaciones ya s e l e c c i o n a d a s , de acuerdo con e l t i p o de nodo, se p l a n t e a e l problema como sigue;
(4-45)
En l a Tabla No. 4-3 se indican todos los elementos constitu- tivos de l a ecuación 4<-45 y también en que forma se construye e l jaco- biano de estas ecuaciones.
En l a misma tabla figuran las siguientes constantes:
(4-46)
(4-47)
(4-48)
(4-49) TC„ = B. . . G. - 6. . • B.
1 kk km kk km
TC = - G. . • G, + B.. • B.
2 kk km kk km
Algoritmo interativo.
En líneas generales e l algoritmo iterativo es e l mismo que se describió para l a versión estandard con l a salvedad de que en vez <- de calcular un vector de AP y AQ solamente, calcula un vector compues- to de u,v y AP,
49
TABLA 4-3 VERSION DE VOLTAJES
CONSTITUCION DE ECUACIONES Y ELEMENTOS DEL JACOBIANO
Una vez terminado un paso de l a iteracción, se incrementan - los v o l t a j e s y l o s ángulos en l a s i g u i e n t e forma:
e . = e - Ae n+1 n (4-50)
f n+1 = f - Af n (4-51)
_ . .(4-52)
6 , „ = o + Ao n+1 n
donde n = número de iteración.
8
Otras i n v e s t i g a c i o n e s sobre e l método de Newton a p l i c a d o a l a solución de l a s ecuaciones de f l u j o de carga han presentado técni- cas con l a s cuales e l método converge a una solución en casos donde l a versión standard d i v e r g e , estas técnicas podrían a p l i c a r s e también a - l a s v e r s i o n e s de c o r r i e n t e y v o l t a j e a f i n de mejorar sus c a r a c t e r i s t i _ cas.
REFERENCIAS:
1) J.E. Van Ness and J,H. G r i f f i n " E l i m i n a t i o n methods f o r load f l o w s t u d i e s " Trans. AIEE PAS pp. 299-304, June — 1961.
2) W.F. Tinney and C,E, Hart "Power flow s o l u t i o n s by New- ton' s Method" t r a n s : IEEE pas V o l . 86 pp. 149-1460, Sep, 1967,
51
3) W. H. Dommel, W,F, Tinney, W.L. Powell "Further Develop- ments i n Newton's method f o r Power System A p p l i c a t i o n s "
paper No. 70 C P . 161-PWR IEEE Winter Meeting New York - N.Y. Jan 1970.
4) Don Bree J r . Discussion on Paper 70 T.P, 686 PWR "Load - Flow Using a combination o f Point J a c o b i and Newton's — Methods".
5) Y. P, Dusonchet, S,N. Talukdar H.E. Sinnott A.H, E l - - Abiad "Load flows using a combination o f Boint J a c o b i -- and Newton's methods" paper No. 70 TP 686 PWR - Summer - Power Meeting, 1970,
6) C, Treviño. "Cases o f d i f i c u l t convergence i n load flow problems" .
7) W,F, Tinney and L.W, Walker "Direct s o l u t i o n o f sparce - network equations by o p t i m a l l y ordered t r i a n g u l a r f a c - t o r i z a t i o n " , Proc. IEEE v o l , 55 pp, 1801-1809 - 1967.
8) A.M. Sasson C, Treviño and F. Aboytes "Improved Newton's load flow throw a minimization technique" Reporte i n t e r n o de I n v e s t i g a c i o n e s , número uno Serie de Ingeniería Eléc- t r i c a I.T.E.S.M., Febrero 1970.
5.1.- GENERALIDADES.
Para l a solución de l a s 4 versiones d e l e s t u d i o de f l u j o s de carga se e s c r i b i e r o n 4 programas independientes en l a Versión — FORTRAN (3.2)/MASTER de l a computadora C D C - 3,300 d e l Centro — Electrónico de Cálculo d e l I.T.E.S.M.
5.2.- CARACTERISTICAS DE LOS PROGRAMAS.
a) Información:
Los datos necesarios para cada programa son:
l o . Número t o t a l de elementos d e l c i r c u i t o . 2o. Número t o t a l de nodos en e l c i r c u i t o .
3o. R e s i s t e n c i a y r e a c t a n c i a de cada uno de l o s elementos.
4o. Especificación d e l t i p o de Nodo.
5o. Potencia a c t i v a y r e a c t i v a neta para c/u de nodos s e - según s u condición.
6o. Magnitud de v o l t a j e y ángulos de l o s mismos.
7o. Admitancia a t i e r r a de cada uno de l o s elementos.
b) M a t r i z Y Bus.
Con l o s datos de R e s i s t e n c i a , r e a c t a n c i a y admitancia a - t i e r r a para cada uno de l o s elementos construye l a m a t r i z
53
de admitancias de nodos, Y Bus, d e l c i r c u i t o , haciendo — uso de l a sub r u t i n a s r e p o l para efectuar cambios de l a s coordenadas rectangulares a polares y r e p o l para e f e c t u a r e l cambio inverso.
c) Cálculo de Potencias.
Con l o s datos de l a matriz de Admitancias de Nodos, Y Bus los v o l t a j e s supuestos en l o s nodos se pasa a e f e c t u a r — e l cálculo de potencias a c t i v a y r e a c t i v a P^ (E,6) y - (E,6) mediante e l d e s a r r o l l o de l a formula 3-7.
d) Una vez calculadas l a s potencias P^ (E,6) se pasa a efec- t u a r e l cálculo d e l vector de d i f e r e n c i a s AP y AQ, con e l c u a l se c o n t r o l a l a s convergencias d e l método a l comparar éstas con una t o l e r a n c i a de 10
e) Seguidamente para l a s versiones uno, dos y cuatro se f o r - ma e l jacobiano con l a s ecuaciones d e s c r i t a s en l a s t a - - b l a s 4-1, 4-2 y 4-3.
f ) Una vez construido e l jacobiano se llama l a s s u b r u t i n a — SEINL a f i n de r e s o l v e r por triangularización y s u b s t i t u - ción r e g r e s i v a l a s ecuaciones en l a s cuales i n t e r v i e n e e l jacobiano.
g) Con l a solución d e l jacobiano se encuentran l o s valores - de l a s v a r i a b l e s E y 6k y aumenta e l contador de I t e r a —
ciones NIT en 1.
h) Una vez efectuada l a corrección de l a s v a r i a b l e s E y 6 se regresa a c a l c u l a r Potencias (Paso C) y c o n t r o l a r t o l e r a n c i a s , s i cumple con e s t a s , l o s programas imprimen l o s vol_
t a j e s y l a s potencias Netas de cada nodo y e l número de - Iteraciones y termina.
i ) Para l a Versión 3 una vez formada l a m a t r i z de admitancia de nodo y Bus almacena e s t a matriz en o t r a denominada G3, B3 y por intermedio de l a s u b r u t i n a TRIANG, efectúa l a s operaciones de p i v o t e que se i n d i c a n en l a f i g u r a 4-4 y - luego c a l c u l a l a s Potencias y c o n t r o l a convergencias.
j ) S i no cumple con l a convergencia, pasa a c a l c u l a r e l Vec- t o r de c o r r i e n t e s que se i n d i c a con l a ecuación 4-28.
k) Se efectúan l a s operaciones de p i v o t e que se efectuaron - en l a m a t r i z de admitancia de nodos sobre e l Vector de co_
r r i e n t e s .
1) Se c a l c u l a con l a s c o r r i e n t e s para l o s nodos generadores y l o s v o l t a j e s de estos mismos nodos, una nueva Potencia neta e s p e c i f i c a d a mediante l a ecuación 4-29.
11) Con l o s Valores nuevos de l a matriz de admitancias de no- do para nodos generadores y l o s v a l o r e s de v o l t a j e s , se - c a l c u l a mediante l a ecuación 4-30 una nueva p o t e n c i a P' - (E, 6 ) .
55
m) Se c a l c u l a e l v e c t o r de l a s d i f e r e n c i a s AP para nodos genera dores con l a ecuación 4-31.
n) Se construye en Jacobiano reducido para nodos generadores, y se revuelve mediante l a s u b r u t i n a SEINL.
o) Se incrementan l o s ángulos de l o s o l v t a j e s de l o s nodos gene_
radores con l o s resultados obtenidos.
p) Con estos valores obtenidos de v o l t a j e se pasa a e f e c t u a r — l a s operaciones indicadas con l a ecuación 4-36 para obtener los resultados f i n a l e s de v o l t a j e s en nodos de carga y se i n crementa NIT.
q) Después de esto se c a l c u l a n de nuevo potencias y se c o n t r o - l a n t o l e r a n c i a s .
r ) S i cumple con t o l e r a n c i a s se imprimen l o s resultados de v o l - tajes» y ángulos en c/u de l o s nodos y potencias r e a l y reac- t i v a en l o s mismos.
5.3.- VARIABLES EN LOS PROGRAMAS:
Se anotan primero l a s V a r i a b l e s que son comunes a l o s 4 pro- gramas y luego a q u e l l a s independientes para c/u de e l l o s ;
N = Numero de elementos d e l sistema Nl= Númerototal de nodos d e l sistema
B2= Parte imaginaria de l a admitancia a t i e r r a por nodos R = r e s i s t e n c i a de cada elemento
X = Reactancia de cada elemento N2= Indicador d e l t i p o de Nodo
P = Parte r e a l de l a potencia neta dato
I P , IQ= Nodos entre l o s cuales está conectado un elemento G = Parte r e a l de l a matriz de admitancias de nodo V = Magnitud de v o l t a j e de nodo
AV= Angulo de v o l t a j e de nodo
pi= Parte r e a l de l a potencia c a l c u l a d a
Ql= Parte imaginaria de l a potencia c a l c u l a d a
Y = Magnitud de elemento de l a matriz de admitancia DIFP= D i f e r e n c i a s entre potencias r e a l y r e a c t i v a , que se
compara con l a t o l e r a n c i a .
Z = Vector de d i f e r e n c i a s AP y AQ para e l planteo de l a s ecua ciones d e l jacobiano, en l a versión de c o r r i e n t e s este - vector es Aa, Ab, Ap; en l a Versión de V o l t a j e s es: U, V, AP.
JR= Sub-indice de renglones en e l Jacobiano JC= Sub-indice de columnas en e l Jacobiano AJ= M a t r i z d e l Jacobiano
Xl= Vector solución de l a s ecuaciones d e l jacobiano EK= Parte r e a l de v o l t a j e
FK= Parte imaginaria de v o l t a j e
