FECHA NUMERO RAE INGENIERÍA AERONÁUTICA

FECHA

NUMERO RAE

PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA

AUTORES CORPUS SJOGREEN, Fidel; LUNA ZAPATA, Francisco y SÁNCHEZ LEÓN, Francisco

TITULO DESARROLLO DE UN PROGRAMA PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS EN AERONAVES DE ESTRUCTURA TUBULAR. PALABRAS CLAVES Elemento Finito. Marcos y Vigas. Principio D’Alembert. Fuerzas de Inercia. Restricciones. Diagrama de flujo Esfuerzo Maniobras en vuelo

Interfaz Grafica de Usuario Pratt truss Warren truss Matriz de rigidez Matriz de desplazamientos Algoritmo de programación Tuberías Funciones. API 1

DESCRIPCIÓN

En Colombia no se han desarrollado aplicaciones para análisis de estructuras por el método de elementos finitos, enfocado a la Ingeniería Aeronáutica, específicamente para aeronaves con estructura tubular.

Es de vital importancia el desarrollo de este tipo de programa, fortaleciendo así el campo de estructuras de aeronaves en la carrera de Ingeniería Aeronáutica de la Universidad San Buenaventura. Esta iniciativa servirá como herramienta para los estudiantes de la Universidad de San Buenaventura, estimulando y fortaleciendo el aprendizaje en estructuras aeronáuticas.

Finalmente, el implementar un programa que analice las estructuras de aeronaves fabricadas en Colombia, daría confiabilidad a los productos aeronáuticos colombianos, impulsado así la industria aeronáutica, específicamente en la aviación deportiva que presenta un crecimiento significativo durante los últimos años, y de esta manera apoyando la certificación de este tipo de partes por la Unidad Administrativa Especial de Aeronáutica Civil.

FUENTES BIBLIOGRÁFICAS

Libros

• CHANDRUPATLA T.R, y BELENGUNDU A.D., “Introducción al estudio del Elemento Finito en Ingeniería,”.1999

• HUERTA Antonio, SARRATE Josep, RODRIGUEZ-FERRAN

Antonio, Métodos numéricos. Introducción, aplicaciones y

programación, Ediciones UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA 1998.

• MOAVENI S. “Finite Element Analysis. Theory and application with ANSYS”. Ed. New Jersey: Pretince Hall. 1999

• PARAMONOV Yuri M. Aeroplane Construction and Strength Analysis, Part 1, Bogota D.C., Editorial Bonaventuriana. 2004

• RAYMER. Daniel P. Aircraft design: a conceptual approach. Washington: American Institute of Aeronautics and Astronautics. 2003.

• ZIENKIEWICZ O.C. y TAYLOR, R.L. “El Método de los Elementos Finitos Volumen I: Formulación Básica y Problemas lineales”;

CIMNE, Ed. Barcelona: McGraw-Hill, 2001, pp. 123–135.

• WILKINSON R, Aircraft structures and Systems, England, Editorial: Addison Wesley Longman Limited. 1996

Documentos PDF

• SAOUMA, Victor E. MATRIX STRUCTURAL ANALYSIS with an Introduction to Finite Elements CVEN4525/5525 Fall 1999.

• RUSTENBURG John W, SKINN Donald, and TIPPS, Daniel O. An evaluation of methods to separate maneuver and gust Load factors from measured acceleration time histories. April 1999. This report is available at the Federal Aviation Administration William J. Hughes Technical Center’s Full-Text Technical Reports page:

www.tc.faa.gov/its/act141/reportpage.html in Adobe Acrobat portable

document format (PDF). Disponible en: http://www.tc.faa.gov/its/worldpac/techrpt/ar99-14.pdf Páginas WEB www.java.sun.com www.flightlab.net http://www.acrolite.ca/acrolite1b.htm http://www.criquetaviation.com/criquet%20esp/index.htm 3

NUMERO RAE

PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA CONTENIDO

El objetivo general de la investigación fue: Desarrollar un programa para el cálculo de esfuerzos en estructuras de aeronaves de tipo tubular sometido a cargas en vuelo.

Los objetivos específicos de la investigación fueron:

• Recopilar información de estructuras de aeronaves de tipo ultraliviano.

• Recopilar información acerca de las propiedades geométricas y de área de diferentes materiales y secciones empleadas en construcción aeronáutica.

• Desarrollar un diagrama de flujo que permita visualizar el modo de operación de la aplicación.

• Desarrollar el código de programación, con su respectivo programa de ejecución.

• Realizar el cálculo analítico de la estructura tubular del avión seleccionado.

• Comparar el cálculo analítico, con el programa desarrollado, y con el programa de elementos finitos ANSYS.

• Hacer el diagnostico de errores, comparando los tres métodos, para el cálculo de la estructura.

• Hacer las pruebas de funcionamiento, del programa con estudiantes de octavo semestre.

• Realizar análisis de costos del proyecto. • Hacer un manual de usuario.

• Realizar tutoriales para facilitar el uso del programa.

NÚMERO RAE

PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA

CONTENIDOS

DESARROLLO INGENIERIL

GENETRALIDADES DE SOBRE ESTRUCTURAS AERONAUTICAS

Los miembros estructurales de una aeronave son diseñados para soportar las cargas en vuelo, y resistir los esfuerzos. En la mayoría de los casos los miembros estructurales se diseñan no solo con el fin de soportar cargas, sino también para estar sometidas a tensión o compresión más que a flexión.

Los principales componentes estructurales en una aeronave son el fuselaje y las alas. El ala y el fuselaje consisten en un grupo de elementos estructurales básicos que actúan en conjunto como una viga o un miembro a torsión.

CARGAS EN ESTRUCTURAS AERONAUTICAS

La estructura de una aeronave debe soportar dos tipos diferentes de carga; las primeras, llamadas cargas en tierra, incluye todas aquellas cargas que se transmiten a la aeronave cuando esta se está moviendo sobre el terreno como durante algún recorrido, el aterrizaje y también el remolcado, mientras que las segundas son las cargas de vuelo, comprende aquellas cargas que aparecen en maniobra o por ráfagas de viento.

Estas fuerzas a su vez se dividen en cargas superficiales, que actúan sobre la superficie de la estructura, como lo son las cargas aerodinámicas; y por otra parte están las fuerzas estructurales que actúan sobre el cuerpo de la estructura y se producen a causa de la gravedad y de la inercia.

Básicamente todas las cargas de vuelo son resultado de la distribución de presiones sobre toda la superficie de la aeronave producidas en vuelo nivelado, maniobra o por ráfagas. Como resultado de estas cargas, se transmiten sobre la estructura cargas de tensión, compresión, cortantes y torsión.

FUERZAS EN MANIOBRA

Son las fuerzas de origen aerodinámico (sustentación y resistencia) que aparecen en cualquier maniobra como pull-up, banqueo, cabeceo, etc. Estas cargas pueden ser simétricas o asimétricas.

La mayoría de las fuerzas en la aeronave durante el vuelo, se originan por la generación de sustentación en maniobras de alto número de gravedades. Por otra parte, el fuselaje esta dimensionado para soportar las fuerzas de sustentación en lugar de la presión del aire que actúa directamente sobre el fuselaje.

VIGAS Y MARCOS

Las vigas son miembros usados para soportar cargas transversales, los miembros horizontales largos usados en estructuras, ya sean de edificios puentes o vehículos como también las flechas apoyadas en cojinetes son algunos ejemplos de vigas.

A las estructuras complejas con miembros rígidamente conectados se les llama marcos y pueden encontrarse en estructuras de automóviles y aeronaves, así como en mecanismos o maquinas transmisores de fuerza y movimiento.

MARCOS TRIDIMENSIONALES

Los marcos tridimensionales o también llamados espaciales, suelen encontrarse en el análisis de edificios de múltiples niveles. También los encontramos en la modelación del chasis de los carros y marcos de bicicletas, en la figura abajo se muestra un marco tridimensional típico, cada nodo tiene seis grados de libertad en lugar de tres típicos en marcos planos.

METODO PARA EL ANALISIS DE ESTRUCTURAS AERONAUTICAS EN VUELO

Antecedentes. Para empezar, durante el transcurso de esta investigación, se

han encontrado pocos métodos que permitan analizar la estructura de una aeronave en vuelo, para ser más precisos, del fuselaje. Se puede distinguir claramente dos métodos que permiten llevar a cabo el estudio de las estructuras. El primero de ellos, que llamamos aquí el tradicional, consiste en seccionar el fuselaje, en tres partes o más, e ir empotrando en sus extremos y ver el comportamiento de esa sección analizando sus reacciones según las cargas aplicadas, (desplazamientos, esfuerzos, etc.).

El segundo método, el de simetría, consiste en realizar un corte de la aeronave a lo largo del center line de ésta, creando una simetría, en la cual se empotra la estructura de la aeronave a cualquiera de las dos mitades. Sin embargo, también a menudo, este método presenta sus limitantes y una de ellas es que solo se podría aplicar para vuelo recto y nivelado, en las cuales subyace condiciones de cargas simétricas que están afectando la aeronave. De acuerdo con lo expuesto, en el anterior literal, se infiere que cualquiera de los métodos utilizados en la actualidad es adecuado, pero presentan desventajas como el tiempo de análisis y lo dispendioso de analizar varias secciones del fuselaje, o por otra parte tener el análisis limitado a determinadas condiciones de vuelo.

JUSTIFICACION

De estas circunstancias nace el hecho de proponer un nuevo método para el estudio estructural de aeronaves con fuselaje tubular, en el cual no se tenga que recurrir a dividir en varias secciones o limitar el análisis a ciertas condiciones de vuelo. En este proyecto además de elaborar una herramienta para el cálculo de estructuras aeronáuticas empleando MEF, se propone un nuevo método que permite analizar la estructura completa sin necesidad de recurrir a las condiciones expuestas en los métodos mencionados párrafos atrás.

METODO ASAT

Al aplicar este método para el cálculo de esfuerzos en una aeronave de estructura tubular en vuelo se deben tener en cuenta dos condiciones: primero el uso del principio de D’Alembert, y segundo restringir la estructura lo menos posible

PROCESO BASICOS DEL PROGRAMA

El programa consta de tres procesos básicos que se encuentran codificados en el diagrama de flujo del programa (ver figura 44) y los cuales son: el primero de ellos es la selección del tipo de estructura, el segundo es la entrada de datos, y por último el proceso matemático del cálculo de la estructura

Inicialmente el usuario debe hacer, es ingresar los datos de la estructura que desea calcular para lo cual se hace necesario que este tenga claro que tipo de análisis va a realizar.

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PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA METODOLOGÍA

1. Enfoque de la investigación: el enfoque de este trabajo de investigación

es de tipo empírico-analítico

2 Línea de investigación de la institución: tecnológicas actuales y

sociedad. Perteneciente a la Sublínea de investigación de la facultad: instrumentos y control de procesos. Perteneciente al Campo de

investigación: diseño y construcción de aeronaves.

3. Recolección de información. Se realizo una fase de investigación

documental empleado fuentes escritas tales como los libros existentes en la biblioteca, documentos encontrados en la red. Para la elaboración de la base de datos se consultaron manuales de materiales aeronáuticos, proveedores de tuberías de aluminio y acero estructural aeronáutico disponibles en el mercado. Para la evaluación por parte de los usuarios del GUI del programa se empleo un formato de encuesta disponible en los anexos de la investigación.

4. POBLACIÓN Y MUESTRA. No aplica.

5. HIPOTESIS

Las hipótesis planteadas para este proyecto fueron:

• El programa de cálculo de esfuerzos para aeronaves de estructura tubular con el método de Truss Element, agiliza el tiempo para calcular una estructura con el mismo método utilizando ANSYS.

• Los resultados obtenidos con el programa son iguales a los obtenidos de manera analítica y en ANSYS.

6. VARIABLES

VARIABLES DEPENDIENTES

Las variables dependientes consideradas para este proyecto fueron esfuerzos y deformaciones sobre la estructura.

VARIABLES INDEPENDIENTES

Las variables independientes para este proyecto fueron: Modulo de elasticidad, Longitud, Área transversal, Posición del elemento con respecto a la fuerza, Grados de libertad de la estructura y Restricciones de la estructura.

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PROGRAMA INGENIERÍA AERONÁUTICA

CONCLUSIONES

En el momento de aplicar el método de elementos finitos utilizando, el elemento tipo viga (beam) para calcular los esfuerzos y deformaciones en una aeronave en vuelo se observo que para este método, como para cualquier otro método de cálculo estructural, es necesario tener unas condiciones de frontera que para el caso de este proyecto serian los grados de libertad que se suponen que no se están desplazando o rotando.

Primero se pensó que el punto obvio, que se debe restringir en un fuselaje seria la unión ala-fuselaje; pero para nuestro caso no es posible dado que por esta unión es por donde precisamente se transmiten del ala las fuerzas de sustentación y de resistencia al fuselaje.

Por lo tanto, al ver este inconveniente se recurrió a revisar los antecedentes de cálculos de estructuras de aeronaves realizadas por el método de elementos finitos y se encontró que estos realizan el cálculo por secciones de la aeronave y no de la aeronave completa. En otros casos el cálculo lo realizan durante un aterrizaje, en el cual el punto de restricción es el tren de aterrizaje, por donde pasan la fuerza producidas por el impacto.

Para cumplir los objetivos de este proyecto estas soluciones no son las más adecuadas por lo que se está procediendo a indagar por otro método para atacar este problema o plantear una alternativa diferente para su análisis. En un análisis estructural de elementos finitos se debe empotrar en la dirección paralela a la dirección de la fuerza. En una aeronave existen

fuerzas en los tres ejes, la sustentación y el peso en la direcciónY , el empuje y la resistencia al avance en la dirección Z ; y por último las componentes laterales del peso y de la fuerza centrifuga, cuando la aeronave tiene un ángulo de banqueo en la dirección X . Por este motivo se debe empotrar la aeronave en estas direcciones. Ahora bien, es necesario saber en qué puntos de la aeronave se debe restringir. Se concluyo que los puntos a restringir son aquellos en los cuales se generan las fuerzas de sustentación y empuje, en las mismas direcciones de las componentes de estas fuerzas en el lugar que se generan.

Al momento de elaborar el método que utiliza el programa ASAT llegamos a las siguientes conclusiones después de analizar el método de elementos finitos y la teoría de D’Alembert:

¾ Al restringir la aeronave en los puntos recomendados, unión ala- fuselaje y bancada - fuselaje, la aeronave queda lo suficientemente restringida como para que la estructura sea lo suficientemente rígida.

¾ Las restricciones propuestas son las más adecuadas, si tenemos en cuenta que es en estos puntos es donde se generan las fuerzas que contrarrestan las fuerzas de inercia y resistencia al avance.

¾ Con el método propuesto no es necesario seccionar el fuselaje para el análisis.

Con respecto al programa se puede concluir que este agiliza el cálculo de las fuerzas que se aplican en la aeronave, especialmente las fuerzas del ala y las de inercia, esto gracias a que el programa calcula automáticamente estas fuerzas según la maniobra.

DESARROLLO DE UN PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE ESFUERZO EN AERONAVES DE ESTRUCTURA TUBULAR

FIDEL ANTONIO CORPUS SJOGREEN FRANCISCO MANUEL LUNA ZAPATA FRANCISCO ANTONIO SANCHEZ LEON

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE INGENIERÍA AERONAUTICA BOGOTÁ D.C.

2007

DESARROLLO DE UN PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE ESFUERZO EN AERONAVES DE ESTRUCTURA TUBULAR

FIDEL ANTONIO CORPUS SJOGREEN FRANCISCO MANUEL LUNA ZAPATA

FRANCISCO ANTONIO SANCHEZ

Trabajo presentado como proyecto de grado para optar al título de Ingeniero Aeronáutico

Asesor

CARLOS ARTURO BOHORQUEZ Ingeniero Mecánico

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA BOGOTÁ D.C.

2007

Nota de aceptación ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ _____________________________ Firma del jurado

_____________________________ Firma del jurado

_____________________________ Firma del Asesor Metodológico

Bogotá D.C. 30 de Noviembre de 2007

Dedicado a mi padres Fidel y Nijosta y a mis hermanas Ani y Alda por su apoyo.

A Dios por acompañarme e iluminarme.

A mis amigos y compañeros: Kiko y Francisco por su esfuerzo para sacar este proyecto adelante. De igual forma se lo dedico este trabajo a mis amigos y amigas que me han acompañado en este proceso.

Muchas gracias, Fidel Antonio

Este trabajo quiero dedicarlo a mis padres Olga y Francisco, por su apoyo, esfuerzo, dedicación y sus sabios consejos forjaron el hombre que soy. A mis hermanos Carlos, Juan y Olga, por su apoyo incondicional. Gracias Familia Luna Zapata por hacer realidad mi sueño de ser Ingeniero Aeronáutico.

A Dios por iluminarme en todos los momentos y llenarme de tranquilidad. A mis amigos: Fidel y Francisco, por su constancia y esfuerzo para sacar adelante este proyecto. También por aguantar mi cantaleta.

Finalmente a todas las personas, profesores amigos, amigas y que de alguna u otra manera dejaron huella en mí ayudándome a ser un mejor ser humano.

Gracias,

Francisco Manuel Luna Zapata 2007-10-26

A mis padres en su memoria. A Dios por la oportunidad.

A Liliana, Fabio y Betty, mis tias Lulu y Gaby, Alvaro mi hermano, Patricia y Olga mis hermanas, Camila, Alejandra, Ricardo, Julian y Jose Antonio mis sobrinos por la fuerza, las ganas y la inspiracion.

A Rodrigo por todo. A Gabriel por el apoyo.

A mis dos amigos y companeros de este trabajo de grado, Fidel y Francisco por su constancia y dedicación.

Y a todos los que me han acompañado, no solo en la universidad, sino en mi vida, mis amigos. Francisco Antonio Sánchez León.

AGRADECIMIENTOS

Los autores expresamos nuestros más sinceros agradecimientos a: A nuestras familias por su apoyo incondicional y económico.

Al Ingeniero Carlos Arturo Bohórquez por su guía, confianza y compromiso para con el proyecto.

Al Ingeniero Carlos Lozano y a Carlos Mauricio Galvis por sus asesorías en programación.

A los Ingenieros José Patiblanco y Armando Lega por su colaboración técnica. A los Ingenieros Jairo Gutiérrez e Iván Hassig por sus aportes para el desarrollo de este proyecto.

Al Ingeniero Juan Felipe Cortés por su colaboración en la resolución de dudas para el desarrollo de la interfaz grafica de usuario.

Al Ingeniero Juan Carlos Naranjo por sus asesorías en la metodología de evaluación de interfaz gráfica de usuario.

CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN 28

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 30

1.1 ANTECEDENTES 30

1.2 DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 30

1.3 JUSTIFICACIÓN 31

1.4 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 31

1.4.1 Objetivo General 31

1.4.2 Objetivos específicos 31

1.5 ALCANCES Y LIMITACIONES DEL PROYECTO 32

1.5.1 Alcances 32

1.5.2 Limitaciones 32

2. MARCO DE REFERENCIA 33

2.1 MARCO CONCEPTUAL 33

2.2 MARCO LEGAL O NORMATIVO 34

2.3 MARCO TEÓRICO 35

2.3.1 Armaduras 35

2.3.1.1 Coordenadas locales 36

2.3.1.2 Coordenadas globales 36

2.3.2 Vigas y marcos 38

2.3.3 Generalidades sobre estructuras aeronáuticas 58

2.3.4 Estructura tubular 60

2.3.5 Metales para la construcción de estructuras aeronáuticas 61

2.3.6 Materiales empleados en estructuras tubulares 62

2.3.7 Aeronaves de estructura tubular 65

2.3.8 Propiedades geométricas y de área de secciones tubulares 70

utilizadas en estructuras aeronáuticas 2.3.9 Propiedades geométricas 73

2.3.10 Estructura Acrolite 74

2.3.11 Cargas en estructuras aeronáuticas 76

2.3.12 Fuerzas en maniobra 77

2.3.13 Metodología de desarrollo de software 81

2.3.14 Tipos de errores en cálculo numérico 86

3. METODOLOGÍA 92

3.1 ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN 92

3.2 LÍNEA DE INVESTIGACIÓN USB/SUBLÍNEA DE FACULTAD/ 92

CAMPO TEMÁTICO DEL PROGRAMA 3.3 HIPÓTESIS 92

4. VARIABLES 93

4.1 VARIABLES DEPENDIENTES 93

4.2 VARIABLES INDEPENDIENTES 93

5. DESARROLLO INGENIERIL 94

5.1 MÉTODO PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS 94

AERONÁUTICAS EN VUELO 5.1.1 Antecedentes 94

5.2 JUSTIFICACIÓN PARA UN MÉTODO NUEVO 94

5.3 PRINCIPIO D’ALEMBERT 96

5.4 DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS 98

5.5 METODO PROPUESTO 99

5.6 ANALISIS EN ANSYS 100

5.7 CONCLUSIONES DE LA PRUEBA 103

5.8 METODO ASAT PARA EL CALCULO DE ESTRUCTURAS 104

EN VUELO EMPLEANDO ELEMENTOS FINITOS 5.8.1 Introducción 104

5.8.2 Giro (Turn) 105

5.8.3 Pull up 105

5.8.4 Empuje 105

5.8.5 Asignación de cargas 105

5.9 PROCESOS BÁSICOS DE OPERACIÓN DEL PROGRAMA 106

5.10 DESCRIPCIÓN DE FUNCIONES PRINCIPALES 110

5.10.1 Función para armar la matriz de rigidez local 110

5.10.2 Función para armar la matriz de transformación 112

5.10.3 Función para armar la matriz global de toda la estructura 113

5.10.4 Función para armar la matriz de rigidez global restringida 115

5.10.5 Función Gauss Jordan 115

5.10.6 Función de fuerzas nodales 117

5.10.7 Función de esfuerzos 118

5.11 ORDEN DE USO DE LAS FUNCIONES 120

5.12 FUNCIONES ESPECIALES 121

5.12.1 Función de fuerzas en los planos 121

5.12.2 Función de fuerza centrifuga 123

5.13 LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN 124

5.13.1 Lenguajes tenidos en cuenta 124

5.13.2 Selección del lenguaje 125

5.14 BASE DE DATOS DE PROPIEDADES DE MATERIALES 125

TUBULARES UTILIZADOS EN AERONAUTICA 6. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 126

6.1 COMPROBACIÓN DE HIPÓTESIS 126

6.2 PRUEBA CON ESTUDIANTES 129

6.2.1 Amigabilidad 129 6.2.2 Consistencia 129 6.2.3 Eficiencia 130 6.2.4 Efectividad 130 6.2.5 Usabilidad 131 6.2.6 Capacidad de aprendizaje 131 6.3 DIAGNÓSTICO DE ERRORES 132

6.3.1 Conclusiones diagnóstico de errores 136

7. ANÁLISIS DE COSTOS DEL PROYECTO 137

8. CONCLUSIONES 141

9. RECOMENDACIONES 143

BIBLIOGRAFIA 144

ANEXOS. 146

LISTA DE FIGURAS

pág.

Figura 1. Un miembro con dos fuerzas 35 Figura 2. Elemento armadura bidimensional 36 Figura 3. Armadura bidimensional 37

Figura 4.Carga en la viga y deformación del eje neutro 39 Figura 5. Sección transversal de la viga y distribución de esfuerzo 39

Figura 6. Discretización del elemento finito 42 Figura 7. Carga distribuida sobre un elemento 47 Figura 8. Condiciones de frontera para una viga 48 Figura 9. Soporte elástico 49 Figura 10. Elemento marco 51 Figura 11. Carga distribuida sobre un elemento de marco 53 Figura 12. Numeración de los grados de libertad en un marco 54 tridimensional.

Figura 13. Elemento tridimensional de marco en sistemas coordenado 55 Local y global

Figura 14. Estructura de un ala 58

Figura 15. Componentes principales de un ala 59 Figura 16. Estructura fuselaje monocasco de helicóptero 60

Figura 17. Estructura tubular 61 Figura 18. Gavilán G-358 65 Figura 19. Criquet storch Fi-156 66 Figura 20. Fuselaje Criquet Storch Fi-156 67 Figura 21. Estructura alar del Criquet Storch 68 Figura 22. Estructura tren de aterrizaje 68 Figura 23. Aeronave Acrolite 1B 69 Figura 24. Construcción fuselaje Acrolite 1B 69 Figura 25. Unidad de cola Acrolite 1B 70

Figura 26. Construcción estructura del ala Acrolite 1B 70 Figura 27. Fuselaje de acero con soldadura típica 71 Figura 28. Pratt Truss 72 Figura 29. Fuselaje de tubos de acero tipo Warren Truss 72 Figura 30. Warren Truss 73 Figura 31. Inversión de carga en la estructura 73 Figura 32. Propiedades geométricas sección tubular 74 Figura 33. Estructura Acrolite 75 Figura 34. Mamparos, miembros de refuerzo y largueros del Acrolite 75 Figura 35. Esfuerzos a tensión y compresión 76 Figura 36. Esfuerzo cortante 77 Figura 37. Cargas de inercia en maniobra de giro 80 Figura 38. Cargas de inercia en Pull Up 81 Figura 39. Diagrama de metodología MPR 83 Figura 40. Propagación del error en un algoritmo numérico 91 Figura 41. Fuerzas actuantes en un viraje coordinado 96 Figura 42. Estructura con restricciones, fuerzas y momentos 100 Figura 43. Fuerzas, momentos empleando desplazamientos prescritos 102 Figura 44. Descripción del error 104 Figura 45. Diagrama de flujo del programa 107

LISTA DE TABLAS

pág Tabla 1. Condiciones para funciones de Hermite 42 Tabla 2. Composición acero 4130N en tubos 63 Tabla 3. Composición química de aleaciones de aluminio aeronáutico 64 Tabla 4. Propiedades mecánicas aleaciones de aluminio aeronáutico 64 Tabla 5. Desplazamientos nodales empotramiento plano derecho 101 Tabla 6. Desplazamientos nodales empleando desplazamientos 102 Prescritos

Tabla 7. Datos de material 126 Tabla 8. Coordenadas de los nodos 126 Tabla 9. Conectividad de elementos 126 Tabla 10. Resultados obtenidos en el ejemplo del libro 127 Por MEF

Tabla 11. Resultados programa ASAT 127 Tabla 12. Comparativo desplazamientos 128 Tabla 13. Comparativo esfuerzos programa Ansys y ASAT 128 Tabla 14. Momentos producidos por el ala 132 Tabla 15. Comparativo desplazamiento Matlab y ASAT 133 Tabla 16. Porcentaje de diferencia 134 Tabla 17. Desplazamientos ejemplo 10.6.1 135 Tabla 18. Porcentaje diferencia ejemplo 10.6.1 135

Tabla 19. Costos totales del proyecto 137

Tabla 20. Costos desarrollo programa ASAT en Java 138 Tabla 21. Costos licencias software 138 Tabla 22. Costos varios 139 Tabla 23. Costo análisis Ansys 139 Tabla 24.Costos análisis en Matlab 140

INTRODUCCIÓN

En Ingeniería aeronáutica, particularmente en las áreas de diseño y construcción de aeronaves, el diseño alcanza uno de sus desarrollos más importantes. Debido a los factores de seguridad que se deben considerar, las aeronaves son máquinas altamente críticas, sus estructuras no pueden ser sobredimensionadas debido al requerimiento de peso mínimo inherente en el diseño aeronáutico.

El fuselaje reticular, o fuselaje tubular como se conoce a veces, se fabrica de tubos de acero soldados, dispuestos en forma de tirantes sobre cuadernas o “cuadros” que conforman y dan rigidez a la estructura. Esta estructura se cubre luego con planchas de madera o planchas metálicas, o más frecuentemente con lona, de manera que adquieren una forma uniforme y contorneada y transmitan cargas.

Es importante señalar que el material externo o de cubrimiento de estas estructuras si añade resistencia al conjunto. Las cargas son soportadas por los tirantes, las diagonales y los cuadros que constituyen la estructura.

Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del complejo mundo que lo rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de proceder de ingenieros, científicos e incluso economistas, consiste en separar los sistemas en componentes individuales o “elementos”, cuyo comportamiento pueda conocerse sin dificultad, para luego reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de dichos componentes. En el campo de la mecánica de sólidos, demostraron al comienzo de la década de 19401_{, que pueden obtenerse soluciones razonablemente buenas de un problema}

continuo sustituyendo pequeñas porciones del continuo por una distribución de barras elásticas simples.

Mas tarde y en el mismo contexto, otros demostraron que se pueden sustituir, las propiedades del continuo de un modo más directo, asumiendo que las pequeñas porciones del mismo o “elementos” se comportan de una cierta forma simplificada. Fue de la posición de analogía directa, adoptada por los ingenieros, de donde nació la expresión “elemento finito”.

El siguiente paso importante fue la utilización del método de elementos finitos, por Boeing en los años 50 cuando Boeing, seguido por otros, usó elementos triangulares a tensión para modelar alas de aeronaves.

1_{En un paper publicado en 1940, Courant uso trozos de un polinomio de interpolación sobre} subregiones triangulares para investigar problemas sobre torsión.

Por ejemplo Cessna emplea el MEF (Método de Elementos Finitos) para generar modelos de sus empenajes que le permiten analizar su comportamiento de acuerdo a la orientación que tenga la carga.

No sólo esta herramienta es aplicada por los grandes constructores de aeronaves del mundo, sino también para la validación de aeronaves ultralivianas, que como particularidad especial, proveen una estructura tipo tubular, que en el Método de elemento finito, es posible analizar como una armadura (Truss Element).

El propósito de este proyecto es presentar el método del elemento finito, para el análisis de estructuras tubulares en aeronaves ultralivianas, como herramienta de validación de estas.

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 ANTECEDENTES

Existen en el mercado gran variedad de programas de elementos finitos, que tienen aplicación en varias ramas de la ingeniería, tales como Ansys, Cosmos Algor y, visual Nastran, entre otros.

En el sector aeronáutico existen en el momento ciertos software que permiten realizar varios análisis como vibraciones, esfuerzos cortantes en láminas unidas con remaches. Por otra parte, se encuentran software especializados en realizar simulaciones de sistemas en aeronaves, como el ADAMS AIRCRAFT, el cual se emplea en el análisis de trenes de aterrizaje. Al mismo tiempo, existe un software llamado AIRCRAFT DESIGN (ADI), en el cual se analiza las vibraciones que pueden ocurrir en vuelo y de igual manera hacer un análisis de Flutter.

Por otra parte, en el curso de esta búsqueda se encuentran software básico, diseñados y desarrollados por constructores de aeronaves privadas que permiten realizar cálculos de cargas de vuelo y esfuerzos en vigas alares, como los que presenta en su libro el diseñador Martín Hollman.

En industria local se han desarrollado aplicaciones para análisis de estructuras por elementos finitos; enfocados a la ingeniería civil, como el SAAP2000. Es oportuno entonces recalcar que en el país no existe un software que permita el estudio de estructuras aeronáuticas. Esto lleva a la necesidad de desarrollar un estudio para la elaboración de un programa que supla esta falencia.

1.2 DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

En Colombia no se han desarrollado aplicaciones para análisis de estructuras por el método de elementos finitos, enfocado a la Ingeniería Aeronáutica, específicamente para aeronaves con estructura tubular. Lo cual lleva a la necesidad de formular el siguiente problema; ¿cómo se pueden calcular los esfuerzos producidos por cargas de vuelo en fase de despegue, en una aeronave de estructura tubular de forma rápida y confiable?

1.3 JUSTIFICACIÓN

En la actualidad, la mayoría de las compañías de manufactura de aeronaves, sus desarrollos de diseño, construcción y producción de aeronaves, se realizan bajo las teorías de diseño aplicadas en software, Advanced Aircraft Analysis (AAA), es un ejemplo de software de aplicación de la teoría de construcción y diseño de aeronaves de Dr. Jan Roskam.

Este proyecto busca mediante la teoría de elementos finitos (cálculo matricial), y como herramienta de aplicación un lenguaje de programación (Visual Basic, Matlab, Visual C++), la integración de estos, para el cálculo de las estructuras tubulares en ultralivianos.

Es de vital importancia el desarrollo de este tipo de programa, fortaleciendo así el campo de estructuras de aeronaves en la carrera de Ingeniería Aeronáutica de la Universidad San Buenaventura. Esta iniciativa servirá como herramienta para los estudiantes de la Universidad de San Buenaventura, estimulando y fortaleciendo el aprendizaje en estructuras aeronáuticas.

Finalmente, el implementar un programa que analice las estructuras de aeronaves fabricadas en Colombia, daría confiabilidad a los productos aeronáuticos colombianos, impulsado así la industria aeronáutica, específicamente en la aviación deportiva que presenta un crecimiento significativo durante los últimos años, y de esta manera apoyando la certificación de este tipo de partes por parte de la Unidad Administrativa Especial de Aeronáutica Civil.

1.4 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN

1.4.1 Objetivo general. Desarrollar un programa para el cálculo de esfuerzos en

estructuras de aeronaves de tipo tubular sometido a cargas en vuelo.

1.4.2 Objetivos específicos

• Recopilar información de estructuras de aeronaves de tipo ultraliviano. • Recopilar información acerca de las propiedades geométricas y de área de

diferentes materiales y secciones empleadas en construcción aeronáutica. • Desarrollar un diagrama de flujo que permita visualizar el modo de

operación de la aplicación.

• Desarrollar el código de programación, con su respectivo programa de ejecución.

• Calcular analíticamente la estructura tubular del avión seleccionado.

• Comparar el cálculo analítico, con el programa desarrollado, y con el programa de elementos finitos ANSYS.

• Hacer el diagnostico de errores, comparando los tres métodos, para el cálculo de la estructura.

• Hacer las pruebas de funcionamiento, del programa con estudiantes de octavo semestre.

• Realizar análisis de costos del proyecto. • Elaborar un manual de usuario.

• Construir tutoriales para facilitar el uso del programa.

1.5 ALCANCES Y LIMITACIONES DEL PROYECTO

1.5.1 Alcances. Se realizará el análisis, por Método del Elemento Finito para

aeronaves ultralivianas de estructura tubular. Se analizaran sólo dos tipos de elemento, uniones sin fricción y soldadura. Se analizaran cargas de tipo estática de acuerdo a las normas establecidas para este tipo de aeronaves. Podrá resolver estructuras en tres dimensiones. Se realizará el estudio del ala por separado de la estructura. No se evaluará el ala por elemento finito.

1.5.2 Limitaciones. Para el desarrollo de este tipo de análisis, se debe tener en

cuenta que una estructura tubular o cualquier tipo de estructura, están sujeta a dos cargas, tomando cada elemento de la armadura, se analizará que esta se encuentra a tensión o compresión directa. Para una armadura se requiere que todas las cargas y reacciones estén aplicadas en los nodos y que todos los miembros entre sí, estén conectados en sus extremos por medio de articulaciones sin fricción.

El usuario en el momento de calcular en el programa, deberá poseer los datos con base en su estructura. Tales como, plano(s), dimensiones, elementos y nodos numerados.

2. MARCO DE REFERENCIA

2.1 MARCO CONCEPTUAL

Cargas de vuelo, son aquellas fuerzas externas que actúan sobre la aeronave,

las cuales se deben a la aerodinámica propia de esta, estas son: lift, drag, momento de pitch, ráfagas y factor de carga (gravedades).

Estructura, este término en ingeniería se puede referir a cualquier objeto que

tiene la capacidad de soportar y ejercer cargas. En este anteproyecto consideraremos estructuras compuestas de partes interconectadas o miembros (o barras, o elementos)

Armadura es un tipo de estructura la cual solo consta de miembros sujetos a

dos fuerzas, es decir, cada elemento de la armadura esta a tensión o compresión directa. Para una armadura se requiere que todas las cargas y reacciones estén aplicadas en los nodos y que todos los miembros entre si, estén conectados en sus extremos por medio de articulaciones sin fricción.

El Método de Elementos Finitos (M.E.F.) es un método numérico, por lo que se hace referencia al cálculo estructural, puede ser entendido como una generalización de estructuras al análisis de sistemas continuos. El principio del método consiste la reducción del problema con infinitos grados de libertad, en un problema finito en el que intervenga un número finito de variables asociadas a ciertos puntos característicos (nodos).

Las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas del problema cuando, para pasar a ser los valores de dichas funciones en un número infinito de puntos. En realidad no se trata de nada nuevo. El cálculo de estructuras se efectúa también restringiendo el análisis corrimientos de los nudos de unión. La diferencia estriba en que el análisis del continuo, la segmentación en elementos y la correcta posición de los nodos.

El Método del Elemento Finito proporciona también las deflexiones de los nodos, mediante el ensamble de la matriz de rigidez estructural para así obtener los desplazamientos y posteriormente los esfuerzos a los cuales esta sometida la estructura.

Un lenguaje de programación es una técnica estándar de comunicación que permite expresar las instrucciones que han de ser ejecutadas en una computadora. Consiste en un conjunto de reglas sintácticas y semánticas que definen un programa informático.

Aunque muchas veces se usa lenguaje de programación y lenguaje informático como si fuesen sinónimos, no tiene por qué ser así, ya que los lenguajes informáticos engloban a los lenguajes de programación y a otros más, como, por ejemplo, el HTML.

Un lenguaje de programación permite a un programador especificar de manera precisa: sobre qué datos una computadora debe operar, cómo deben ser estos almacenados y transmitidos y qué acciones debe tomar bajo una variada gama de circunstancias. Todo esto, a través de un lenguaje que intenta estar relativamente próximo al lenguaje humano o natural, tal como sucede con el lenguaje léxico. Un programa escrito en un lenguaje de programación necesita pasar por un proceso de compilación, es decir, ser traducido al lenguaje de máquina, o ser interpretado para que pueda ser ejecutado por el ordenador.

Es por esto necesario emplear un lenguaje de programación (Visual Basic, Visual C++,) para elaborar un programa que nos permita la integración de los conceptos mencionados anteriormente para el cálculo de las estructuras tubulares empleadas en la construcción de aeronaves, teniendo en cuenta las normatividades de diseño y construcción.

2.2 MARCO LEGAL O NORMATIVO

Las normatividades de diseño y construcción, la cual en nuestro país se rige bajo UAEAC (Unidad Administrativa Especial de Aeronáutica Civil) RAC (Reglamento Aeronáutico Colombiano) Partes novena para fabricación de aeronaves y parte cuarta del RAC. De acuerdo con las normas para las actividades aéreas deportivas y recreativas, subparte 4.25.5.2

4.25.5.2 Construcción y ensamblaje de Ultralivianos

Las aeronaves ultralivianas pueden ser construidas por constructores u operadores aficionados bajo su responsabilidad y su utilización se restringe a fines recreativos o deportivos y al entrenamiento de vuelo con el mismo propósito en este tipo de aeronave. Cuando se trata de Vehículos Aéreos Ultralivianos (Clase II), el constructor podrá acogerse a las normas ASTM F2245-04, F2279-03 y F2295-03, ajustándose a lo prescrito en el apéndice “A” de éste Capítulo y en este caso, tales Vehículos Aéreos Ultralivianos (Clase II) se denominarán “Aeronaves Recreativas Livianas ARL.

Y el APENDICE A

APÉNDICE A CAPITULO XXV

REQUISITOS ESPECIALES PARA LA FABRICACIÓN, ENSAMBLE, PRODUCCIÓN, REGISTRO Y AERONAVEGABILIDAD CONTINUADA PARA VEHÍCULOS AÉREOS ULTRALIVIANOS (CLASE II) VAU O DE AERONAVES RECREATIVAS LIVIANAS ARL.

Se exige:

3.1 Documentación Técnica

El fabricante de Vehículos Aéreos Ultralivianos (Clase II) VAU, de Aeronaves Recreativas Livianas ARL o sus partes, como aplique, deberá disponer de la siguiente información para:

a)El Diseño,

1. Planos en tres vistas de la aeronave que incluya la siguiente información • geometría general de la aeronave:

• perfiles aerodinámicos, • dimensiones generales,

• recorridos de las superficies de control, • radio de giro mínimo en tierra

2. Planos de perfiles y piezas detalladas

3. Sistema para la administración de la documentación de ingeniería

NOTA: Se deberá emplear un sistema de dibujo estándar de acuerdo a normas reconocidas (SAE, DIN o ISO). Esto aplica para los planos de conjunto como para los planos de despiece 4. Cálculos estructurales • Análisis Dinámico • Análisis Estático 5. Especificaciones técnicas • aerodinámica, • estabilidad y control

Por otra parte se tienen en cuenta las normatividades de la FAR-103 de la autoridad Estadounidense FAA (Federal Aviation Administration).

2.3 MARCO TEORICO

2.3.1. Armaduras. Una armadura estructural sólo consta de miembros sujetos a

dos fuerzas, es decir, cada elemento de la armadura está en tensión o compresión directa (figura 1). Para una armadura se requiere que todas las cargas y reacciones estén aplicadas sólo en los nodos y que todos los miembros entre sí, estén conectados en sus extremos por medio de articulaciones sin fricción

Figura 1. Un miembro con dos fuerzas.

Todo estudiante de Ingeniería ha analizado armaduras en el curso de estática, empleando el método de los nodos y el método de las secciones. Los anteriores métodos se vuelven tediosos cuando se aplican a grandes armaduras estructurales estáticamente indeterminadas. Sumándole, que los desplazamientos de los nodos no se obtienen fácilmente.

Es en este punto donde, el método del elementos finitos es aplicable tanto a estructuras estáticamente determinadas como indeterminadas. El método de elemento finito proporciona también las deflexiones de los nodos. La diferencia principal entre las estructuras unidimensionales y las armaduras es que los elementos de una armadura tienen varias orientaciones. Para tener en cuenta esas orientaciones, se introducen sistemas de coordenadas LOCALES Y GLOBALES.

2.3.1.1 Coordenadas locales. Los dos nodos del elemento se numeran 1 y 2 el

sistema local de coordenadas consiste en el eje x’ que esta alineado a lo largo del elemento, del nodo 1 hacia el nodo 2. Todas las cantidades en el sistema local se denominan por medio de primas (’). Figura 2

Figura 2. Elemento armadura bidimensional en (a) un sistema de coordenadas locales y en (b) un sistema de coordenadas globales.

2.3.1.2 Coordenadas Globales. El sistema global de coordenadas x e y está fijo

y no depende de la orientación del elemento. En el sistema coordenada global, cada nodo tiene dos grados de libertad (DOF), por sus siglas en inglés (Degree Of

Freedom). En este sistema se adopta; un sistema de numeración sistemático: un

nodo cuyo número global es j, tiene asociado a él los grados de libertad 2j-1 y 2j.

Además, los desplazamientos globales asociados al nodo j son:

j j

Q

_{2 −1 y}

2

Como se muestra en la figura 3.

Figura 3. Armadura bidimensional.

En el sistema de coordenadas local

q

₁

′

q

y

₂

′

son lo

en el sistema de coordenadas local se denota entonces como:

s desplazamientos del elemento

[

]

T

q q

q′= ₁′ ₂′ (1)

El vector de desplazamiento del elemento en el sistema coordenado global es un vector de (4x1) de notado por:

[

q q q q

]

q= 1 2 3 4 T

(2)

a relación entre q y ′ q se explica a continuación, en la figura 5b vemos que q′₁

L es

igual a la suma de las proyecciones q₁y q₂ bre el eje x’ entonces: so

cos ₂ 1 1 q θ q senθ q′ = + e forma similar (3a) D cos ₄ 3 2 q θ q senθ q ′ = + (3b)

hora introducimos los cósenos directores l y m, como l =cos θ, y m=senθ. A

Esos cósenos directores son los cósenos de los ángulos que el eje local x’ forma con los ejes globales x y y respectivamente.

Las ecuaciones 3(a) y 3(b) pueden escribirse de forma matricial como:

Lq

q′= (4) Donde la matriz L de transformación está dada por:

0 0 0 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = m l m l L (5)

2.3.2 Vigas y marcos Las vigas son miembros usados para soportar cargas

transversales, los miembros horizontales larg

edificios puentes o vehículos como también las flechas apoyadas en cojinetes son lgunos ejemplos de vigas.

las estructuras complejas con miembros rígidamente conectados se les llama marcos y pueden encontrarse en estructu

como en mecanismos o máquinas transmiso id

c n

os usados en estructuras, ya sean de a

A

ras de automóviles y aeronaves, así res de fuerza y movimiento.

Se cons eran vigas con secciones transversales simétricas respecto al plano de carga, en la figura se muestra una viga común, también muestra la se ció transversal y la distribución de esfuerzo por flexión, para deflexiones pequeñas recordaremos de la teoría elemental de vigas las siguientes ecuaciones:

y I M − = σ (1) E σ ∈= (2) EI M dx v d = 2 2 (3)

Siendo σ el esfuerzo normal, ∈ la deformación unitaria normal, M el momento en la posición

flexiónante en la sección, v es la deflexión del eje centroidal x e I

es el momento de inercia de la s cción respecto al eje neutro (el eje e z pasa por el

centroide).

Figura 4. Carga en la viga y deformación del eje neutro. y x P k Pm 0 L Mk m x v v' v' v

Figura 5. Sección transversal de la viga y distribución de esfuerzo.

Eje y _y Neut y M y x ro V dA z

¾ Método de la energía potencial La energía de deformación unitaria

en un elemento de longitud es:

dU dx

∫

∈ = dAdx dU 1 σ = ⎜⎛M

∫

y2dA⎟⎞dx 2 1 A 2 2⎜_⎝EI2 _A ⎟_⎠ es el momento de inercia dA y A

∫

2 I

Notando que , tenemos:

dx EI M dU 2 2 1 = 38

uando se emplea la ecuación 3 la energía de deformación unitaria en la viga está r: C dada po dx dx v d EI U L 2 0 2 2 2 1

∫

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = l de la viga ∏

Quedando la energía potencia como:

∫

−

∑

−

∑

− ⎟⎟ ⎞ L Mkvk Pmvm pvdx dx v d 0 ' 0 2 Siendo

∫

⎜⎜_⎝⎛ _⎠ = Π m k L dx EI 2 2 1

p la carga distribuid por unidad de longitud, Pm la carga puntual en el

punto m, Mk el momento del par aplicado en el punto

'

a

es la deflexión en el unto es la pendiente en el punto .

¾ Método de Galerkin Para la formulación de Galerkin, se parte del

k, vm

m y vk k

p

equilibrio de una longitud elemental recordando que:

p dx dV = (4) V dx dM = (5)

Cuando combinamos las ecuaciones 3, 4 y 5, la ecuación de equilibrio está dada por: 0 2 2 2 2 = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ p dx v d EI dx d da construida con base en las funciones de forma del elemento finito tal que:

Para una solución aproximada por este método, se busca la solución aproxima

v 0 0 2 2 2 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫

p dx dx v d EI dx d L φ (6) iendo

S φ una función arbitraria que usa las mismas funciones base que . otamos que

v N φ es cero donde tiene un valor específico, integremos por partes

l primer término de la ecuación 6, dicha integral se subdivide en intervalos de 0 a

v

e

xm, de xm a xk y de xk a . L

Por consiguiente se obtiene: 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 ⎜⎜ ⎝ + ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ + −

_∫

∫

xm E x d dx v d EI dx d dx p dx dx d dx v d EI φ φ φ 2 0 2 0 2 = − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ L xk xk L xm L dx d dx v d EI dx d dx v d EI dx v d I φ φ φ Se observa que L d

(

2

)

dx 2 v d

EI es igual al momento flexionante M de la ecuación 3 y

( )

[

( 2)

]

2 dx v d EI dx

d _{es igual a la fuerza cortante V de la ecuación 5. Además, φ y} M son cero en los apoyos. En xm el salto de la fuerza cortante es Pm y en xk, el

salto en el momento flexionante es −Mk, entonces se obtiene:

∫

∑

∑

∫

− − − = L L 2 2 m k k Mk m Pm dx p dx dx d dx v d EI 0 2 0 2 φ φ φ ' 0 φ (7)

Para la formulación de elementos finitos basada en el método de Galerkin, y v φ se construyen usando las mismas funciones de forma, la ecuación 7 es el

divide en elementos como se uestra en la figura, cada nodo tiene dos grados de libertad, típicamente los

rados de ertad el nodo son y rtad es un

desplazamiento transversal y es una pendiente o una rotación, el vector re resen al vec de de lazam tos glo les.

enunciado principal del trabajo virtual.

¾ Formulación del elemento finito La viga se

m

g lib d i Q_2i−1 Q_2i. El grado de libe Q_2i−1 i Q₂ Q p ta tor sp ien ba

[

]

T Q Q Q Q= 1, 2,... 10

Para un solo elemento, los grados de libertad locales están representados por:

[

]

T q q q q q= ₁, ₂, ₃, ₄ 40

Figura 6. Discretización del elemento finito. 1 ₁ 2 ₂ 3 ₃ 4 ₄ 5 Q1 Q3 Q5 Q7 Q9 Q2 Q4 Q6 Q8 Q10 Q2i-1 Q2i i q2 q3 q4 v'1 v'2 e 1 2

Las funciones de forma para interpolar sobre un elemento están dadas en términos de

q1

v1 v2

v

ξ de -1 a +1, como se muestra en la figura. Las funciones de forma difieren de los analizados con anterioridad. Al implicar alores nodales y pendientes nodales, de orma de Hermite, que satisfacen los valores nodales y re s de continuidad de pendiente, cada

den cúbico y están representadas por: para elementos de viga

v finimos funciones de f

quisito una de estas funciones de forma son de or

3 2 ξ ξ ξ i i i i i a b c d H = + + + 4 , 3 , 2 , 1 = i

Se deben satisfacer las condiciones que se dan en la siguiente tabla:

Tabla 1. Condiciones para funciones de Hermite.

1 H H 1 H2 ' ' 2 H H 3 ' 3 H H4 ' 4 H 1 − = ξ 1 0 0 1 0 0 0 0 1 + = ξ 0 0 0 0 1 0 0 1 41

fácilmente imponiendo las ondiciones anteriores, tal que:

Los coeficientes a_i,b_i,c_i,d_i pueden obtenerse c ) 2 ( ) 1 ( 4 1 2 1 = −ξ +ξ H ) 1 ( ) 1 ( 4 1 2 2 = −ξ ξ + H (7a) ) 2 ( ) 1 ( 4 1 2 3 = +ξ −ξ H ) 1 ( ) 1 ( 4 1 2 4 = +ξ ξ − H

Las ecuaciones de forma de Hermite pueden usarse para escribir en la for a: v m

2 4 2 3 1 2 1 1 ) ( _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ξ ξ ξ d dv H v H d dv H v H v

Las coordenadas se transforman por la relación:

ξ 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 x x x=1−ξ +1+ξ = x +x + x +x omo l_e =x₂ −x₁ es la longitud del elemento, ent

C onces:

ξ

d dx=le

2

or la regla de la cadena dv/dξ =(dv/dx)(dx/dξ) se obtiene que: P dx d e 2 = ξ ( dv l dv 8)

otando que evaluada en los nodos 1 y 2 es y , respectivamente, se tiene que:

dx

dv / q2 q4

N

4 4 3 3 2 2 1 1 2 2 ) ( H q l H q H q l H q v ξ = + e + + e onde: H= Que puede notarse por:

v =Hq D ⎥⎦ ⎤ ⎡ le le ⎢⎣ 1 2 3 4 2 , , 2 , H H H H (8a) n la energía potencial total del sistema consideramos las integrales como

ación E

sumatorias sobre las integrales sobre los elementos, la energía de deform nitaria del elemento está dada por:

u dx dx v d EI U e e

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2₂ 2 1 (9) e la ecuación 8 se obtiene: D 2 2 2 2 2 4 ξ ξ d l dx e dv dv ₌ 2 y d l dx _e

Luego, sustituyendo v =Hq, se tiene como resultado: v d v d = q d H d d H d l q dx v d T e T ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 2 4 2 2 2 16 ξ ξ _⎠ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2 3 1 , 2 3 , 2 3 1 , 2 3 2 2 e l d H d _ξ ξ _ξ ξ ξ l sustituir dx=(l_e/2)dξ

A y lo anterior en la ecuación 9, se obtiene la siguiente xpresión:

e

q d l le e ξ ξ ξ − + _⎥⎥ + 2 2 9 1 ) 3 l l simetrica e e e ξ ξ ξ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ + + − 2 2 4 3 1 ) 3 1 ( 8 3 9 l l l l EI q U e e e T e ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

∫

−+ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + − + − = 1 1 2 2 2 3 4 16 1 ( 3 4 3 1 ) 3 1 ( 8 4 ) 3 1 ( 8 2 1 n n ía ξ ξ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 2 9 3 8 3 4 9 8

Cada término de la matriz debe integrarse. Esto co duce a la e erg de deformación unitaria del elemento dada por:

q k qT e 1 = U e (10)

onde la matriz de rigidez del elemento k , que es simétrica es:

2 e D ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = 2 2 2 2 3 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 e e e e e e e e e e e e e e l l l l l l l l l l l l l EI k (10a)

En el desarrollo basado en el método de Galerkin (Ecuación 7) se obtiene que:

q d H d H d v d d EI T ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2 2 2 2 2 16 φ d l EI dx dx e T ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ = _{4 2 2} 2 ψ ξ ξ (11) Donde:

[

]

T 4 3 2 1ψ ψ ψ ψ ψ = 44

Es el conjunto de desplazamientos virtuales generalizados sobre el elemento, =Hq, y

v φ =Hψ . La ecuación 11 da la misma rigidez del elemento que al integrar la ecuación 10, en que ψTkeq es el trabajo virtual interno en un elemento.

carga de la arga distribuida

¾ Vector de carga Primero se consideran las contribuciones de

p

c en el elemento. Se asume que la carga es uniforme sobre el elemento: q Hd pl pvdx e l e

∫

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 1 1 2 ξ

l sustituir el valor de H en las ecuaciones 7a y 8a e integ

A rando obtenemos: onde:

∫

= e l eT q f pvdx D T e e e e e pl pl pl pl F _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 12 , 2 , 12 , 2 2 2

Esta carga equivalente sobre un elemento se muestra en la figura. El mismo resultado se obtiene considerando el segundo término de la ecuación 7, para la formulación de Galerkin. Las cargas puntuales P y _m M se toman en cuenta _k fácilmente introduciendo nodos en el punto de aplicación, al introducir la correspondencia local-global, del método de la energía potencial, obteniendo:

F Q KQ QT − T =

∏

1₂ (12) 45

Figura 7. Carga distribuida sobre un elemento.

Le

P

1

2

1

2

PLe/2 PLe/2

PLe^2/12

P

Le^2/12

Y del método de Galerkin se obtiene, donde ψ = vector de desplazamientos virtuales arbitrarios admisibles globales.

0 = − F KQ T T ψ ψ (13)

¾ Consideraciones de frontera Cuando especificamos el valor del

desplazamiento generalizado como a para el grado de libertad (gdl) r, seguimos el 1/2C(Q_r −a)2 a π y ψ_jC(Q_r −a)

método de penalización y agregamos al lado

ción de Galerkin y no imponemos restricciones sobre los rados de libertad. QK=F s e iz g quierdo de la formula

El número C representa rigidez y es grande en comparación con los términos de rigidez de la viga. Esto nos lleva a agregar rigidez C a K_rr y la carga Ca a F_r ver

figura las ecuaciones 12 y 13 dan independientemente:

Esa cuaciones se resuelven ahora para obtener los desplazamientos nodales.

Figura 8. Condiciones de frontera para una viga. Ca

i

C

i C

Grado de libertad = 2i-1 Ca

Grado de Libertad= 2j

a= desplazamiento generalizado conocido

¾ Fuerza cortante y momento flexionante Usando las fuerzas de momento

flexionante y fuerza cortante:

2 2 dx v d EI M = dx dM V = y = Hq

Se obtiene el momento flexiónate y la fuerza cortante del elemento:

v

[

1 2 3 4

]

2 6 q (3 1)l q 6 q (3 1)l q l EI M _{e e} e + + − − + = ξ ξ ξ ξ ) 2 2 ( 6 4 3 2 1 3 q l q q l q l EI V _{e e} e + − + =

Los valores del momento flexionante y la fuerza cortante son para las cargas odeladas usando cargas puntuales equivalentes. Denotando las cargas de m

equilibrio en los extremos del elemento como R₁,R₂,R₃ y R4, se observa que:

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧− ⎪ ⎫ ⎪ ⎧ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎪ ⎫ ⎪ ⎧ 1 2 2 1 12 6e 12 6 e /2 e pl q l l R ⎨−− + ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ 12 / 2 2 4 3 2 2 2 3 4 3 2 2 / 12 / 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 e e e e e e e e e e e e e e pl pl pl q q q l l l l l l l l l l EI R R R

r término a la derecha es . Notamos también ue el segundo término tiene que agregarse sólo en elementos con carga distribuida. En los libros de análisis tural, las ecuaciones anteriores se escriben directamente a partir del equilibrio del elemento.

e l

Se ve fácilmente que el prime Keq

q

estruc

El último vector al lado derecho de la ecuación consta de términos que se llaman reacciones de extremo fijo. Las fuerzas cortantes en los dos extremos del elemento son V₁ =R₁ y V₂ =−R₃ y los momentos flexionantes son M₁ =−R₂ y

.

¾ Vigas sobre soportes elásticos aciones de la ingeniería

s vigas se apoyan sobre miembros elásticos. Las flechas o ejes son soportadas

n cada posición donde hay un cojinete, y se agrega la rigidez de apoyo a la posición diagonal del grado de libertad vertical. La rigidez

momento) tiene que ser considerada en cojinetes de rodillos.

por nidad de longitud, 4 2 R M = En muchas aplic la

por chumaceras o rodamientos, como a su vez las vigas de gran tamaño son soportadas por muros elásticos. Las vigas sobre el suelo forman una clase de aplicaciones conocidas como cimentaciones de Winkler.

e puede considerar que los cojinetes de bolas de una sola hilera tienen un nodo S

B

K

e

rotacional (por

En cojinetes anchos y en las cimentaciones de Winkler, se emplea rigidez u s, del medio que soporta (figura 9). Sobre la longitud del

soporte, esto agrega el siguiente término a la energía potencial total.

∫

l dx sv 0 2 2 1

igura 9. Soporte Elástico. F Soporte elastico ls P Chumacera P Kb tituimos =Hq para el modelo discretizado, el término anterior se convierte en:

s= rigidez por longitud unitaria

En el método de Galerkin, este término es

∫

lsvφdx.cuando sus

0 v

∑ ∫

e e T T Hdxq H s q 2 1

Se reconoce el término de rigidez en la sumatoria anterior:

∫

=

∫

−+ = e T e T e s H Hd sl Hdx H s K 1 1 2 ξ Al integrar, se obtiene: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = 2 2 2 2 4 22 3 13 22 156 13l 54 3 13 4 22 13 54 22 156 420 e e e e e e e e e e e e e s e l l l l l l l l l l l sl K

Para elementos soportados sobre cimentaciones elásticas, esta rigidez tiene que triz es la atriz de rigidez consistente para la cimentación elástica.

s eran estructuras planas como miembros onectados rígidamente. Dichos miembros serán similares a las vigas solo que

a figura abajo nos muestra el elemento de un marco el cual tendrá en cada nodo dos desplazamientos y una deformaci cional, el vector de desplazamiento

odal esta dado por:

e s K agregarse a la rigidez del elemento dada por la ecuación 10a. La ma m

¾ Marcos planos Se con id

c

tendrán presentes cargas axiales y deformaciones axiales. L ón rota n Q=

[

]

T q q q q q q1, 2, 3, 4, 5, 6 49

Figura 10. Elemento de marco. x' q'4 q4 q'5 2 q6 (q'6) y' y q1 q2 1 q'2 q'1 x q3 (q'3)

También se define un sistema coordenado local o de cuerpo x’, y’ tal que x’ este orientada a lo largo de 1-2, con cósenos directores l, m (donde l= cos θ, m

stos se evalúan usando las relaciones dadas para el elemento armadura, el = senθ). E

vector de desplazamientos nodales en el sistema local es:

[

]

T q q q q q q q'= '₁, '₂, '₃, ´₄, '₅, '₆

Reconociendo que q'₃=q₃ y q'₆= , son rotaciones con respecto al cuerpo, q₆ obteniendo la transformación local-global:

q’=Lq ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l m m l l m m l L 50