212 LACOMPRENSIÓNDEUNCONCEPTOMATEMÁTICOYLOSREGISTROSDE REPRESENTACIÓNSEMIÓTICA EstelaRechimont,NoraFerreyra,NoraAndrada,CarlosParodi UniversidadNacionaldeLaPampa Argentina [email protected],[email protected]
Campodeinvestigación: Resolucióndeproblemas Nivel: Superior
Resumen.Elconceptodelugargeométricoresulta,aveces,complejoensudeterminacióny talvezsedebaalaposibilidadderepresentaciónendistintosregistrosqueimplicandiferentes niveles de abstracción y significados. Ante situaciones relacionadas a la temática de lugar geométrico,losalumnos,generalmente,resuelvenenregistrográficosolamente.Elloponede manifiesto la existencia dedificultades para expresar el problema en un registro algebraico quecaractericeelconjuntodepuntoscorrespondiente.
El presente trabajo analiza la respuesta de estudiantes de los primeros años de la carrera Profesorado en Matemática de la Universidad Nacional de La Pampa, Argentina, ante el problemadedeterminacióndelconjuntodepuntosqueverificanunacondicióndada. Palabrasclave:problema,lugargeométrico,representación,estudiantes Introducción Esevidentequeelanálisisyestudiodelosprocesosdeenseñanzayaprendizajedelas matemáticassedesarrollan,enmuchoscasos,alrededordelusodenocionessemióticasy derepresentación.
Las representaciones matemáticas se entienden como herramientas (signos o gráficos) que hacen presentes los conceptos y procedimientos matemáticos, con las cuales los sujetos registran y comunican su conocimiento. Las estructuras matemáticas adquieren significadoparaelsujetomedianteeltrabajoconlasrepresentaciones,ydeaquísurgesu interésdidáctico. Noesposibleestudiarlosfenómenosrelativosalconocimientosinrecurriralanociónde representaciónenMatemática(Duval,R.,1995). Dentrodelasformasconvencionalesderepresentaciónescomúndistinguirdosfamilias desistemas:representacionessimbólicasyrepresentacionesgráficas(Rico,2000).
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Como representaciones simbólicas se tienen las representaciones de carácter alfanumérico. Las representaciones gráficas incluyen las representaciones de tipo figurativo, de carácter analógico y su sintaxis viene dada por reglas de composición y conveniosdeinterpretación.
La representación pone en consideración el objeto representante (símbolo o representación) y el objeto representado (conceptos o contenidos conceptuales) que GodinoyBatanero(1994)denominan,respectivamente,significanteysignificado.
Duval (1995) establece que no se deben confundir los objetos matemáticos con su representación,ydefinelosregistrosderepresentacióncomounmediodeexpresiónque se caracteriza por signos propios y la forma en que estos se organizan. Estos registros constituyenlosgradosdelibertaddelosquepuededisponerunsujetoparaobjetivarseél mismounaideaaúnconfusa,unsentimientolatente,paraexplorarlasinformacioneso, simplemente, para comunicarlas a un interlocutor. Considera tres fenómenos estrechamente vinculados y que deben tenerse en cuenta en la relación de enseñanzaͲ aprendizaje: x Diversificacióndelosregistrosderepresentaciónsemiótica. x Diferenciaciónentrerepresentanteyrepresentado. x Coordinaciónentrelosdiferentesregistrosderepresentaciónsemiótica. Lacomprensióndeunconceptomatemáticoponedemanifiestodiferentesregistrosde representaciónyesnecesarialacoordinacióndelosmismos.Larepresentaciónenunsolo registrodifícilmentedalaposibilidaddeunacomprensiónintegraldelconcepto.
Para el análisis que realizaremos en un problema propuesto a alumnos de la carrera ProfesoradoenMatemáticatendremosencuentalassiguientesentidades:
x Lenguaje(términos,expresiones,notaciones,gráficos,tantooralcomoescrito). x Situaciones (problemas más o menos abiertos, aplicaciones extramatemáticas,
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x Conceptos: Definiciones o descripciones (operaciones, algoritmos, técnicas de
cálculo,.).
x Propiedades:Enunciadosoproposiciones.
Consideramos,enlasolucióndelproblema,elementosostensivos,extensivoseintensivos. Los elementos ostensivos son cualquier representación material usada en la actividad matemática (términos, expresiones, símbolos, tablas, gráficos) y las entidades lingüísticas/notacionales.Enlosextensivosincluimoslasentidadesfenomenológicascomo situacionesͲproblemas,aplicaciones.Loselementosintensivossonlasideasmatemáticas, abstracciones,generalizaciones(conceptos,proposiciones,teorías). Experiencia Engeneral,unproblemaesunasituaciónqueubicaaquienloresuelveantelanecesidad de desplegar su actividad cognitiva en una experiencia de búsqueda de estrategias, elaboracióndeconjeturasytomadedecisiones.Enunproblemapodemosidentificarlas siguientes características: existe un objetivo claramente definido; la solución no es inmediata ni alcanzable mediante procedimientos rutinarios sino que, por el contrario, requierereflexiónycoordinacióndeexperienciasyconocimientospreviosparaaccedera unresultadoy,finalmentedebeseraccesiblealsujetoqueestáintentandoresolverlo,es decirqueéstepuedaidentificarposiblessolucionesyelegirentreellaslamásadecuada. El concepto de lugar geométrico en matemática resulta, a veces, complejo en su determinación y ello tal vez se deba a la posibilidad de representación en distintos registrosquegenerandiferentesnivelesdeabstracciónysignificados.
EnsituacionesdeenseñanzaͲaprendizajey,considerandolatemáticadelugargeométrico, hemosobservadoquelosalumnos,generalmente,presentanlasituaciónpropuestaenun registro gráfico evidenciando dificultades para expresarla en un registro algebraico que permitajustificarlasconjeturaselaboradasapriori.
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Para abordar la investigación en torno a la comprensión de conceptos matemáticos a travésdelaresolucióndeproblemas,setrabajóconungrupodealumnosdelProfesorado enMatemáticaquecursanelsegundoañodelacarreraenlaFacultaddeCienciasExactas y Naturales de la UNLPam. Estos alumnos han aprobado asignaturas básicas por lo que tienenconocimientosdeÁlgebrayAnálisis. Sepresentóalosalumnos,unproblemadeLugarGeométrico. Problema: SeaCunacircunferenciadecentroOydiámetroAB.MunpuntosobrelacircunferenciayRlarecta tangenteaCporM.SeaM’elpuntodeinterseccióndeestatangenteconlarectaparalelaaAM quepasaporO.DeterminarellugargeométricodelospuntosM’cuandoMrecorreC. Resoluciónapriori: Enunregistrográfico,seutilizaronconstruccionesconreglaycompásyposteriormente seutilizóelsoftwareSketchpadquepermitevisualizarellugargeométricoatravésdela herramienta de animación. Se muestra a continuación, el gráfico en un instante determinadodelaanimación.
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En el registro algebraico, se confirma la solución hallada gráficamente, obteniendo una rectatangentealacircunferenciaporelpuntoB. SeaM
xm,ym
,
0 2 A r, AB r o yr2 xm2 ym2
SeaDelánguloAOM,entonces
m m x y tgD SeatlarectatangentealacircunferenciaporelpuntoM,entonceslaecuacióndetes:
m
m m m x x y x y y entonces m m m m m y x x y x y y 2 ,luego m m m m m y y x x y x y 2 m m m m m y y x x y x y 2 2 o ,dedonde: m m m y r x y x y 2 . SeallarectaquecontienelospuntosAyM,entonces r x x x y y y : l m m m m 0 entonces o m m m m y r x x x y y r x y x x r x y y y m m m m m m luego: r x ry x r x y y : l m m m m
217 Seal’larectaparalelaalporO,centrodelacircunferencia,entonceslaecuacióndel’es x r x y y m m LaintersecciónM’detyleslasolucióndelsistema: x r x y y y r x y x y m m m m m ° ° ¯ °° ® 2 x r x y y r x y x -m m m m m 2 entonces m m m m m y r x y x - r x y 2 ¸¸¹ · ¨¨© §
m
m m m m m y r x y - r x x r x y2 2 entonces 2 2 r x r x - r x r m m m
m x r r x - r x r 2 o Esdecirque r -r r x 2 ,luego: m m m m x r r y r x r y y Resultaentoncesque ¸¸¹ · ¨¨© § m m r - x r y r , ' M ,estoes,M’pertenecealarectaperpendiculara AB,quepasaporB. Sixm roM'estáenelinfinito Si ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § o 2m 2m m y , r r r y , r ' M r x ycomoenesecaso,y 0 M'
r,0 m o . Porlotanto,ellugargeométricodeM’eslarectax r 0,tangentealacircunferencia enelpuntoB. Análisisdidácticodelasolucióndelproblema
El enunciado del problema es el elemento extensivo y el correspondiente registro semióticoesunregistroverbal.
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Apartirdelenunciado,laimagenmentaldelasituaciónqueplantealarepresentamosen registro figural que da, en cierta forma, el punto de partida a los distintos registros de representacióninvolucradosenlasolución.
Enesteanálisisseexplicitandiversosregistrosyseponenenjuegoconversionesdeunoa otro, teniendo en cuenta la correspondiente coordinación. Ello implica, cada vez, posicionarseenundeterminadoregistrodelcualesnecesarioconocersusreglaslógicas. Esteanálisispermitiráidentificar: x Puntoscríticosimplícitosenlaresolución.Porejemplo,laubicacióndeldiámetro ABdelacircunferenciaenunsistemadecoordenadasortogonales. x Lanecesidaddeciertosconocimientosprevios.Porejemploconceptosbásicosde geometríaanalítica,solucióndesistemasdeecuaciones.
Además se pueden prever estrategias didácticas, que pueden presentar los alumnosparaafrontardichasolución.Tambiénpermitemostrarlacomplejatrama de entidades y relaciones entre los registros de representación en juego en una actividadmatemática. Produccióndelosalumnos Latareapropuestaseentregóa12(doce)alumnos.Losalumnosensumayoría resolvieronelproblemaenelregistrográficoͲgeométricoynolograronjustificarsu conjeturaenunregistroalgebraico.
Algunos alumnos intentan el cambio de registros de representación pero la conversión entrelosdosregistros(gráficoyalgebraico)noserealizademaneraadecuadaoserealiza de forma incompleta. Ello pone de manifiesto la falta de comprensión de algunos conceptos matemáticos involucrados en la resolución. Otros alumnos solamente efectuaroneldesarrolloenelregistrográficoyconcluyeronapartirdeéste.
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Es sabido que con la representación en un solo registro no se obtiene la comprensión integral de un concepto y, lamentablemente, no se manifiesta en la mayoría de los trabajosanalizadoslacoordinacióndealmenosdosregistrosderepresentación. Parecieraquelosalumnosnodescubrenlarelación,implícitaenelproblema,quepermite justificarlaconjeturaquesurgedelregistrográfico. Amododeejemplosemuestraeltrabajodeunodelosalumnos. Conclusiones Elanálisisapriorirealizadoparaelproblemapresentado,ponedemanifiestounasolución en un registro geométricoͲalgebraico utilizando representaciones de uso frecuente por partedelosalumnos.
220 Consideramosqueestetipodeanálisisesútilparadescribirlosprocesosdeinterpretación ycomunicacióndelsabermatemático,eidentificarlasrazonesquepuedencondicionarla actividaddeaprendizaje. Apriori,elequipodeinvestigaciónesperabaquelaresolucióndelproblemaplanteadose realizara en un marco geométricoͲalgebraico. Sin embargo, los alumnos no logran bosquejarundesarrolloalgebraicoyprácticamentenilointentan.
Resultó evidente que los estudiantes realizan las resoluciones de problemas fundamentalmenteenunregistrográficoͲgeométricoyquelautilizacióndeherramientas algebraicas no surge espontáneamente, aún cuando dichas herramientas hayan sido consideradasexplícitamenteenasignaturasanteriores.
Es importante trabajar con problemas que permitan que los alumnos adquieran habilidades en el tratamiento de distintos registros de representación y la correspondiente conversión entre ellos, como condición necesaria para resolver problemasyprocurareldesarrollodelpensamientomatemático.
Los alumnos identifican mayormente el registro gráfico pues resulta más intuitivo, esto implicaquelacomprensióndelasituaciónesaunnivelintuitivo,ycomonohaycorrecta coordinaciónentredistintosregistros,noselograunacomprensiónaunmayornivelde abstracción.
Referenciasbibliográficas
Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine, Registres sémiotiques et apprentissages
intellectuals.Berna:PeterLangS.A.,EditionsScientifiquesEuropéennes.
Puig, L. (1996). Elementos de resolución de problemas. Granada, España: Comares. ColecciónMATHEMA,Nº6.
González, F. (2001). Cómo desarrollar clases de matemática centradas en Resolución de
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Rico,L.(2000).Sobrelasnocionesderepresentaciónycomprensiónenlainvestigaciónen Educación Matemática. En L. Contreras et al. (Eds) Cuarto Simposio de la Sociedad
Española de Investigación en Educación Matemática (pp.219Ͳ231). Huelva, España:
PublicacionesUniversidaddeHuelva.
