15.1 Energía potencial elástica
Hay cierto tipo de sólidos que no son rígidos, capaces, por tanto, de experimentar deformaciones. La deformación de un sólido rígido puede ser plástica, o elástica.
Deformación plástica es aquélla que experimenta el sólido cuando queda deformado permanentemente, des-pués de haber desaparecido la causa que la ha producido.
Deformación elástica es la deformación transitoria o temporal que desaparece cuando se anula la causa que la produce.
Ningún sólido es totalmente plástico o elástico.
Las deformaciones reales dependen de numerosos factores, que no analizaremos, pues nos vamos a limitar al estudio de un caso ideal en una dimensión, en el que:
La fuerza necesaria para producir la deformación, a la que llamaremos fuerza deformadora, aumenta propor-cionalmente a la deformación producida, siempre que ésta no sea demasiado grande.
El enunciado anterior es conocido como Ley de HOOKE y fue deducida experimentalmente por ROBERT HOOKE(1635-1703), y publicada en 1678.
El sólido que utilizaremos para estudiar esta propiedad de la materia es un muelle ideal, que supondremos carente de masa y de rozamiento interno, sometido a deformaciones pequeñas comparadas con su longitud, como establece la ley de Hooke.
Comenzaremos por estudiar un caso sencillo, en el que supondremos un muelle ideal, sin deformar, cuya longitud natural es l0, sujeto a la pared y a un pequelo bloque de masa m, que se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, como indica la figura [15-1(a)].
l0 l0 l0 x x F Fd Fr F N mg
Si desplazamos el bloque hacia la derecha una dis-tancia x, medida a partir de la posición de equilibrio ini-cial, aplicando una fuerza horizontal, y lo mantenemos en reposo en dicha posición, tanto el muelle como el blo-que se encuentran en equilibrio. Fig.[15-1(b)].
Consideremos por separado el bloque y el muelle, como dos sistemas distintos, y analicemos qué fuerzas actúan sobre cada uno de ellos. Fig.[15-1(c)]
Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: su peso, mg, la fuerza normal N, ejercida por la superficie hori-zontal de apoyo, la fuerza F que aplicamos al bloque y la fuerza Fr, que ejerce el muelle sobre el bloque.
Las fuerzas que actúan sobre el muelle son: la fuerza horizontal H que ejerce la pared sujetando al muelle y la fuerza Fd que ejerce el bloque sobre el muelle, tiran-do de él.
Las fuerzas Fd y Fr son fuerzas de acción y reacción.
Vamos a tomar como referencia la posición de equilibrio inicial, y adoptaremos el siguiente convenio de sig-nos:
Cualquier magnitud vectorial dirigida horizontalmente hacia la derecha, es decir, en el sentido en el que se han desplazado el bloque y el muelle a partir de la posición de equilibrio, la consideraremos como positiva, y en sentido contrario, hacia la izquierda, negativa.
Por tanto, el desplazamiento x es positivo en este caso.
Se observa, experimentalmente, que, en la situación de equilibrio descrita anteriormente, la fuerza aplica-da sobre el bloque cumple con la ley de Hooke:
F = kx
y, puesto que el bloque se encuentra en equilibrio, ΣFx = 0, y, por tanto,
Fr = – F es decir, Fr= –kx
siendo k una constante característica del muelle, llamada constante de elasticidad , o simplemente, constante del muelle.
La fuerza Frrecibe el nombre de fuerza recuperadora elástica, por ser la fuerza ejercida por el muelle sobre el bloque, intentando recuperar su forma inicial.
H
FIG. 15-1
(a)
(b)
Por ser las fuerzas Fr y Fd, fuerzas de acción y de reacción, se verifica que, Fd = – Fr y, por tanto, Fd = kx
Fdrecibe el nombre de fuerza deformadora elástica, por ser la fuerza que deforma al muelle.
Calculemos ahora el trabajo realizado para desplazar el bloque, desde una posición en la que la deforma-ción del muelle sea xi, hasta otra posición en la que la deformación sea xf, de forma que el desplazamiento realizado por el bloque es xf – xi.
Supondremos que el desplazamiento es extraordinariamente lento y se realiza de forma que la velocidad del bloque es muy pequeña y constante durante todo el desplazamiento. Por consiguiente, el bloque se encuen-tra en equilibrio en todo instante.
La energía cinética en cualquier instante es prácticamente nula y, por tanto, su incremento ΔEc es nulo, y el trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
W = x Fdx i xf
∫
= x kxdx i xf∫
=1 2kxf 2 −1 2kxi 2 [15.1]Y el trabajo realizado por la fuerza recuperadora elástica es: W = x Frdx i xf
∫
= x −kxdx i xf∫
= −1 2kxf 2 +1 2kxi 2Puesto que la fuerza recuperadora elástica depende solamente de la deformación x, que, en este caso, desempeña el papel de vector de posición unidimensional, es una fuerza conservativa, como puede comprobar-se, ya que: Fdr C
∫
= d − 1 2kx 2 C∫
= 0Se puede definir, pues, una energía potencial elástica del muelle, dada por: V(x) = − x Frdx 0 x
∫
= − x −kxdx = 0 x∫
12kx2−1 2kx0 2donde x0 representa la posición de un punto de referencia para el cual, V(x0) = 0, que, en este caso, corres-ponde a la posición, x0= 0, en la cual el muelle no está deformado. Con lo cual:
V(x) = 1
2kx
2
representa la energía potencial elástica del muelle cuando tiene una deformación x.
Consideremos ahora como sistema, el conjunto bloque + muelle. Supongamos que desplazamos el bloque a una cierta distancia a partir de su posición de equilibrio, y, una vez desplazado, lo abandonamos. Mientras el bloque pasa desde un punto en el que la deformación del muelle es xi, hasta otro en el que dicha deforma-ción es xf , la energía potencial elástica experimenta una variación dada por:
ΔV =V (xf)−V(xi) = 1 2kxf 2 −1 2kxi 2
y, en consecuencia, el trabajo realizado es: W = −ΔV = − V(x f)−V(xi) = −V (xf)+V(xi) y como W = Ec f − Eci se obtiene, Ec f − Eci = −Vf+Vi de donde, finalmente, Ecf +Vf = Eci+Vi= constante
donde nuevamente se pone de manifiesto que:
Cuando un sistema está sometido a fuerzas conservativas, la suma de las energías cinética y potencial es una constante durante la evolución del sistema, que depende únicamente de las condiciones iniciales.
La cantidad constante, Ti + Vi= Tf +Vf = E, se denomina energía mecánica del sistema.
[15.2]
[15.3]
[15.4]
15.2 Dinámica del movimiento vibratorio armónico
En el Capítulo I.1.08 - Movimiento vibratorio armónico, nos ocupamos solamente de las relaciones entre el desplazamiento, velocidad, aceleración y el tiempo de una partícula que efectúa un movimiento vibratorio armónico simple sin atender para nada a las causas que producen este tipo de movimiento.
Vamos a analizar ahora qué clase de fuerzas dan lugar a esta clase de de movimiento.
El bloque de la figura 15.1 cuando es desplazado una distancia x a partir de su posición de equilibrio queda sometido a la fuerza recuperadora elástica del muelle,
que, como hemos visto, es una fuerza conservativa y, por tanto, deriva de un potencial. Si aplicamos la segunda ley de Newton a la partícula
F = −kx [15.6] F = ma [15.7] [15.8] [15.9] [15.12] [15.11] igualando los segundos miembros de [15.6] y [15.7], y despejando a, se obtiene
a = − k mx y teniendo en cuenta que
a = dv dt se obtiene dv dt = − k mx [15.10]
Multiplicando y dividiendo el primer miembro por dx dv dt dx dx= − k mx y recordando que dx dt = v sustituyendo en la relación anterior
v dv dx = −
k mx de donde quitando denominadores
mv dv = −kx dx
Pasando el segundo miembro al primero e integrando en forma indefinida 1 2mv 2 +1 2kx 2 = C = Emec
siendo C una constante de integración que depende de las condiciones iniciales impuestas al bloque.
El primero y segundo términos del primer miembro son, respectivamente, la energía cinética del bloque y la energía potencial asociada al movimiento, debida esta última al carácter conservativo de la fuerza que actúa sobre el bloque.
De modo que la constante C representa la energía mecánica E del bloque en cualquier instante, y, a su vez representa, o bien, la energía cinética máxima del bloque, o bien, la energía potencial máxima asociada a su movimiento.
Cuando la velocidad del bloque es nula, la energía potencial es máxima, que es la correspondiente a x =± A.
y cuando el desplazamiento x del bloque es nulo, es decir cuando el bloque pasa por su posición de equili-brio, su energía cinética es máxima
Para v = 0 Emec = 1 2kA 2 x = 0 Emec=1 2mvO 2 [15.13]
[15.13] Si nos quedamos con la primera de las expresiones [15.13] de la energía mecánica Emec y la sustituimos en [15.12] 1 2mv 2 +1 2kx 2 =1 2kA 2 [15.16] [15.15] [15.14] de donde, simplificando y despejando v, se obtiene
v = ± km A
2
− x2 Por otra parte, v es
v = dx dt e igualando los segundos miembros de [15.14] y [15.15]
dx dt = ± k m A 2 − x2
expresión que, integrada en forma indefinida, da dx ± A2− x2 = k mdt y agrupando variables [15.17] [15.18] dx ± A2− x2
∫
= k mt +Csiendo C una constante de integración que se determina teniendo en cuenta las condiciones iniciales impues-tas al bloque.
La integral del primer miembro se puede escribir, multiplicando y dividiendo el radicando por A2, en la forma dx ± A2− x2
∫
= dx ± A2(1− x 2 A2)∫
= dx ± A 1 −x 2 A2∫
= dx A ± 1−x 2 A2∫
y haciendo el cambio de variable x/A = u, y diferenciando x A= u, dx A = du dx A ± 1−x 2 A2
∫
= du ± 1 − u2∫
Sustituyendo en [15.19] [15.19] [15.20] [15.21] [15.22] [15.23] y llevando a su vez esta expresión a [15.18]
du
± 1 − u2
∫
= kmt +C La integral del primer miembro admite dos soluciones:
du ± 1 − u2
∫
= arc sen u arc cos u de modo que las de [15.22] sonarc sen u = k mt +C
y arc cos u = k mt +C [15.24] [15.25] [15.26] que, a su vez, deshaciendo el cambio de variable, quedan en la forma
arc sen x A= k mt +C arc cos x A= k mt +C de las que se obtienen
x = A sen k mt +C x = A cos k mt +C La constante k
m tiene por ecuación de dimensiones
k m = Fuerza/Longitud Masa = Masa ⋅ Aceleración Masa ⋅ Longitud = Longitud ⋅ Tiempo−2 Longitud = Tiempo -1
que es la misma que la de la magnitud ωque se define en el movimiento armónico, como pulsación, por tanto
podemos sustituirla en las ecuaciones [15.25] y [15.26].
Las constantes que aparecen dentro del corchete del segundo miembro tienen el siguiente significado:
x = A sen (ωt +C) x = A cos (ωt +C)
Y la constante C, puesto que las ecuaciones en Física deben ser homogéneas en sus dimensiones, debe ser un ángulo ϕ medido en radianes, ya que ωt resulta medido en radianes.
Así que, las ecuaciones [15.25] y [15.26] quedan escritas finalmente en la forma
x = A sen (ωt + ϕ) x = A cos (ωt + ϕ)
[15.27] [15.28] La decisión de tomar una u otra, así como el valor de la constante ϕ, que recibe el nombre de corrección
de fase, dependen de las condiciones iniciales impuestas al oscilador.
15.3 Movimiento de un pequeño bloque suspendido de un muelle vertical
En el epígrafe 15.1 se ha estudiado el movimiento de un pequeño bloque de masa m, apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido un muelle ideal, sin deformar, cuya longitud natural es l0, sujeto a la pared.
Veamos qué sucede si el bloque está suspendido de un muelle que cuelga verticalmente, sujeto por su extre-mo superior a un soporte horizontal.
Si el bloque está en reposo, se encuentra en equilibrio bajo la acción de su peso mg y de la fuerza recupe-radora del muelle, Fr.
Hay que hacer notar que a diferencia de lo que ocurría en el caso estudiado en el epígrafe 15.1, en el que el muelle tenía su longitud natural estando el bloque en equilibrio, en este caso el muelle tiene una deforma-ción inicial x0 cuando el bloque se encuentra en reposo.
Esta situación suele plantear alguna dificultad acerca del criterio de signos que se debe seguir para plan-tear correctamente las ecuaciones del movimiento.
Es importante seguir la siguiente norma en todos los casos:
Tomando como referencia la longitud natural del muelle, tanto si éste se encuentra en posi-ción horizontal, como en posiposi-ción vertical, se toma como sentido positivo aquél en que se deforme, o se haya haya deformado el muelle.
Y la ecuación de equilibrio,ΣF = 0, o la ecuación de la dinámica, ΣF = ma, se escriben con-siderando el sumatorio de fuerzas como una suma algebráica.
x0 L0
Fd
Fr
mg
Vamos a ver cómo se deduce la ecuación del movimiento del bloque de la figura 15.2, que supondremos inicialmente en reposo.
Sobre el muelle actúan la fuerza deformadora Fd, ejercida por el bloque, y la fuerza ver-tical V ejercida por el soporte.
El muelle está en equilibrio, por consiguiente, V = Fd
Sobre el bloque actúan, su peso mg y la fuerza recuperadora elástica Fr ejercida por el muelle.
Ls fuerzas Fd y Fr son fuerzas de acción y reacción, por tanto, sus módulos son iguales Fd = Fr
Puesto que el bloque está en equilibrio, se verifica que ΣF = 0. En consecuencia, siguiendo el criterio establecido anteriormente,
V [15.29] Fr mg L0 x0 x Fd V −kx0+ mg = 0
Supongamos ahora que desplazamos el bloque una distancia x hacia abajo y lo abando-namos [Fig. 15-3].
La deformación del muelle en ese instante es x0+x, y los módulos de las fuerzas defor-madora y recuperadora son k(x0+x).
La ecuación de la dinámica aplicada ahora al bloque siguiendo el criterio establecido, es FIG. 15-2 −k(x0+ x)+ mg = ma [15.30] [15.31] [15.32] Efectuando operaciones −kx0− kx + mg = ma
y teniendo en cuenta [15.29], y despejando la aceleración, queda a = − k
mx
que es la misma ecuación que la [15.8], y por tanto, el movimiento se rige por las mismas ecuaciones.
Para concluir, es conveniente insistir en dos aspectos que, frecuentemente, dan lugar a dudas.
Uno es, la interpretación del signo negativo que aparece en la fuerza recuperadora elás-tica y en la aceleración del oscilador. En ambos casos representa, simplemente que dichas magnitudes son de sentido contrario a la elongación del oscilador.
El otro aspecto es el relacionado, precisamente, con el origen de referencia para medir la elongación o des -plazamiento del oscilador:
Cualquiera que sea el movimiento vibratorio u oscilatorio armónico, el origen de referencia es siempre su posición de equilibrio, entendiendo por tal, aquélla en la que la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el oscilador es nula.
Si el movimiento oscilatorio fuese circular, como ocurre con el péndulo simple y el péndulo físico, el signo negativo del momento recuperador y de la aceleración angular representa, igualmente, que dichas magnitudes son de sentido contrario a la elongación del oscilador.
Y ésta se mide, asimismo, a partir de su posición de equilibrio, siendo aquélla en la que la resultante de los momentos exteriores que actúan sobre el oscilador es nula.
