Código DIANA Diseño e implementación de un código de cálculo de núcleo analítico por difusión a dos grupos y dos zonas

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(1)TRABAJO ESPECIAL CARRERA DE INGENIERÍA NUCLEAR. Código DIANA Diseño e Implementación de un Código de Cálculo de Núcleo Analítico por Difusión a Dos Grupos y Dos Zonas Ignacio Mochi. Director Dr. Pablo Florido Codirector Ing. Daniel Brasnarof. Instituto Balseiro Comisión Nacional de Energía Atómica Universidad Nacional de Cuyo Junio 2005.

(2) A Valeria, la persona que completa mi vida y hace que el lugar donde simplemente transcurre la espera de lo inevitable se convierta en un mundo donde los sueños se hacen realidad.

(3) Resumen En la fase de diseño conceptual de reactores nucleares se determinan los principales parámetros. Para ello es necesario contar con herramientas de cálculo versátiles que representen las principales interdependencias entre dichos parámetros. En el diseño de reactores nucleares innovativos este punto es de principal importancia. Con el objeto de contar con una herramienta que asista al diseño conceptual de reactores innovativos se desarrolló e implementó un código de calculo neutrónico de núcleo analítico: DIANA (Diffusion Integral Analytic Neutron Analysis). Dicho código genera sus secciones eficaces para efectuar los cálculos requeridos mediante un esquema analítico de difusión a dos grupos y dos zonas a partir de un conjunto mínimo de datos (como ser las secciones eficaces microscópicas puntuales a 2200 m/s y pesadas con espectro de fisión, factores de Wescott e Integrales Efectivas de Resonancia). Tanto para calcular las secciones eficaces o parámetros de los núcleos, DIANA tiene en cuenta efectos de heterogeneidad que son incluidos a la hora de evaluar cada zona. Entre tales, podemos mencionar el factor de desventaja de cada grupo de energía. DIANA fue implementado íntegramente con Programación Orientada a Objetos utilizando el lenguaje C++, lo que permite una rápida expansión de capacidades (de ser necesario) y facilita la comprensión del código fuente. El producto obtenido es un código versátil y fácil de utilizar, que permite realizar cálculos de núcleo con una cantidad mínima de datos. A su vez contiene las herramientas necesarias para la realización de diversos cálculos variacionales como la parametrización de factores de multiplicación efectivos en función del radio del núcleo. La simplicidad del esquema de difusión facilita el seguimiento de los fenómenos involucrados, haciéndolo más favorable para el análisis y diseño de reactores cuya física no se encuentra dentro de los parámetros regulares de los reactores existentes. Estos motivos hacen de DIANA un buen candidato para el futuro análisis de reactores innovativos..

(4) Abstract The principal parameters of nuclear reactors are determined in the conceptual design stage. For that purpose, it is necessary to have flexible calculation tools that represent the principal dependencies of such parameters. This capability is of critical importance in the design of innovative nuclear reactors. In order to have a proper tool that could assist the conceptual design of innovative nuclear reactors, we developed and implemented a neutronic core calculus code: DIANA (Diffusion Integral Analytic Neutron Analysis). To calculate the required parameters, this code generates its own cross sections using an analytic two group, two zones diffusion scheme based only on a minimal set of data (i.e. 2200 m/s and fission averaged microscopic cross sections, Wescott factors and Effective Resonance Integrals). Both to calculate cross sections and core parameters, DIANA takes into account heterogeneity effects that are included when it evaluates each zone. Among them lays the disadvantage factor of each energy group. DIANA was totally implemented through Object Oriented Programming using C++ language. This eases source code understanding and would allow a quick expansion of its capabilities if needed. The final product is a versatile and easy-to-use code that allows core calculations with a minimal amount of data. It also contains the required tools needed to perform many variational calculations such as the parameterisation of effective multiplication factors for different radii of the core. The diffusion scheme’s simplicity allows an easy following of the involved phenomena, making DIANA the most suitable tool to design reactors whose physics lays beyond the parameters of present reactors. All this reasons make DIANA a good candidate for future innovative reactor analysis..

(5) Agradecimientos A la luz de mis ojos, Valeria, Valeria por el apoyo incondicional permanente en todas mis decisiones A mis directores, Ingeniero Daniel Brasnarof, Brasnarof y Doctor Pablo Florido por los conocimientos transmitidos y la apertura de las puertas de la investigación y el desarrollo Al personal de la Biblioteca Leo Falicov por su colaboración, sin la cual no habría sido posible el presente desarrollo A mi prima, Verónica, Verónica por ayudarme a dar los primeros pasos hacia la ingeniería Y especialmente a mis padres, Raúl y Rosa, Rosa por el impulso impartido y la constante motivación proporcionada.

(6) Índice Introducción ................................................................................... 1 Capítulo 1 Método de cálculo..................................................... 3. 1.1 Radio crítico ..................................................................................................... 3 1.1.1 Cálculo radial............................................................................................ 6 1.1.2 Cálculo axial ........................................................................................... 10 1.2 Flujos neutrónicos espaciales ......................................................................... 12 1.3 Flujos neutrónicos medios .............................................................................. 14 1.4 Factores de multiplicación.............................................................................. 14 1.4.1 Factor de multiplicación infinito ............................................................ 14 1.4.2 Factor de multiplicación infinito térmico ............................................... 14 1.4.3 Factor de multiplicación infinito rápido ................................................. 15 1.4.4 Factor de multiplicación efectivo ........................................................... 15 1.5 Probabilidad de escape rápida ........................................................................ 15 1.6 Probabilidades de no-escape........................................................................... 16 1.7 Factor de fisión rápida .................................................................................... 16. Capítulo 2. Determinación de las constantes multi-grupo ........ 19. Capítulo 3. Código DIANA....................................................... 31. 2.1 2.2 2.3. Constantes del grupo térmico ......................................................................... 21 Constantes del grupo rápido ........................................................................... 25 Correcciones por heterogeneidad ................................................................... 28. 3.1 Descripción general ........................................................................................ 31 3.2 Introducción a la estructura de objetos ........................................................... 34 3.3 Interfaz e interacción de los objetos ............................................................... 35 3.3.1 Análisis del archivo Help.h .................................................................... 36 3.3.2 Análisis del archivo Error.h.................................................................... 37 3.3.3 Análisis del archivo Cross_Sections.h ................................................... 38 3.3.4 Análisis del archivo CS_Data.h.............................................................. 40 3.3.5 Análisis del archivo Calculo.h................................................................ 44 3.3.6 Análisis del archivo C_REsferico.h........................................................ 46 3.3.7 Análisis del archivo C_RCilindrico.h..................................................... 47 3.4 Confección del archivo de entrada ................................................................. 48 3.4.1 Comandos ............................................................................................... 48 3.5 Recomendaciones y tratamiento de errores .................................................... 58. Capítulo 4 4.1.1 4.1.2 4.1.3. Verificación de funcionamiento de DIANA........... 60. Cálculo de un núcleo de MTR................................................................ 60 Cálculo de factor de multiplicación infinito ........................................... 69 Cálculo de Masas Críticas de Uranio 93% con distintos moderadores .. 71. Capítulo 5 Evaluación económica del desarrollo ..................... 76 Capítulo 6 Conclusiones ........................................................... 81 Índice de Figuras .......................................................................... 83 Índice de Tablas ........................................................................... 85 Referencias ................................................................................... 86.

(7) Introducción El cálculo de reactores por métodos numéricos a dos grupos o más suele requerir una extensa base de datos conteniendo las secciones eficaces de cada grupo. Un claro ejemplo de dicha metodología es el código WIMS. Este código de cálculo de celda incluye una biblioteca de secciones eficaces a 69 grupos. La misma posee datos de los materiales comúnmente utilizados en el desarrollo de reactores PWR, BWR, GCR y PHWR. Esta biblioteca está ajustada para que los cálculos del código representen los conocimientos físicos adquiridos de dichos reactores como producto de más de 50 años de experiencia. De esta manera se obtienen diferencias de menos de 1000 pcm en coeficientes de multiplicación efectivos. Códigos de cálculo de este estilo presentan dos inconvenientes principales para el análisis en tempranas etapas de diseño de reactores avanzados: • Cuando el núcleo que se desea calcular se aleja de los parámetros típicos de los reactores térmicos convencionales, estos códigos no suelen responder adecuadamente, llegando en algunos casos a generar parámetros que no representan la realidad física del problema, obteniendo en algunos casos flujos neutrónicos negativos. • Al estar basados en esquemas multi-grupo grandes, no puede pedírsele al código que realice ningún cálculo a menos que todos los materiales a utilizar estén incluidos en la biblioteca de secciones eficaces o bien, se le ingrese la información necesaria (en el caso del WIMS, las secciones eficaces para cada uno de los 69 grupos, sus integrales de resonancia y sus leyes de scattering térmico). Este factor hace que estas herramientas sean poco versátiles para evaluar materiales poco comunes, dado que si no son muy conocidas sus secciones eficaces en función de la energía de los neutrones, no pueden obtenerse fácilmente la información necesaria para realizar un simple cálculo de factibilidad. Los reactores avanzados emplean actualmente materiales que se utilizan desde hace más de 50 años en la industria nuclear. Por ello, sus secciones eficaces y comportamiento se encuentra medido y calculado con bastante precisión. Un excelente ejemplo de estos materiales es el agua liviana. ¿Pero qué hacer si se quiere considerar la utilización de moderadores que no se han empleado en aplicaciones nucleares? La respuesta clásica a ésta pregunta es: Se condensan las secciones eficaces microscópicas puntuales de los isótopos que componen los materiales involucrados a la cantidad de grupos solicitados por medio de cálculos de moderación y luego se crean las bibliotecas necesarias. Típicamente procedimientos como éste pueden llevar una semana, lo cual puede parecer poco para todo el procesamiento que esto requiere. El problema surge cuando se están probando distintos materiales para seleccionar cuales vale la pena considerar (cálculo a primer orden). En estos casos se puede efectuar el procedimiento de condensación y efectuar los cálculos correspondientes para clasificar el material. Si el material no cumple los requisitos deseados (típicamente relación costo - beneficio), éste debe ser descartado u probar con otro. Esto hace que las bibliotecas en las cuales se invirtió una semana de cálculo por ciclos iterativos con mediciones de secciones eficaces y de espectro se vuelvan obsoletas rápidamente. Por estas razones se optó por la creación de un código de cálculo neutrónico de núcleo que utilizara un esquema analítico a dos zonas y dos grupos y medio que permitiera, a base de pocos datos (conocidos para la mayoría de los materiales y extraíbles de sencillas mediciones para los demás), evaluar los parámetros principales 1 Código DIANA Ignacio Mochi.

(8) de una determinada configuración de núcleo. Al ser un modelo analítico, facilita el seguimiento de los fenómenos físicos involucrados, teniendo, de esta manera, una más profunda comprensión de la situación analizada. Este código se llama DIANA (Diffusion Integral Analytic Neutron Analysis) y está programado íntegramente en C++ con estructura de objetos. Su presentación actual es en un cómodo paquete de instalación bajo la distribución Debian Sarge del sistema operativo Linux. Esta forma de instalación permite que los datos importantes del programa no puedan ser modificados por usuarios regulares al instalarse en directorios cuya modificación está restringida por el administrador (root) del sistema. Además la instalación permite que el código esté disponible para todos los usuarios del sistema. El paquete incluye tres ejemplos de archivos de entrada (Intput) junto con sus salidas (Output) correspondientes, archivos con datos precargados de diversos isótopos y materiales y una guía rápida para construir los archivos de entrada que explica todos los comandos disponibles, sus modos de operación y correcta sintaxis.. Código DIANA. Ignacio Mochi. 2.

(9) Capítulo. DIANA. 1.

(10) Capítulo 1. Método de cálculo. En función de los resultados que se busca obtener, es decir, poder realizar un análisis de sensibilidad de diversas variables de manera aproximada y veloz, se optó por un esquema analítico de difusión a dos zonas y dos grupos energéticos. Si analizamos la ecuación de difusión de neutrones para este caso 1, tendremos: Para el núcleo: D1∆Φ1 − Σ rem1Φ1 + νχ1Σ f 1Φ1 + νχ1Σ f 2Φ 2 = 0 D2 ∆Φ 2 − Σ rem 2Φ 2 + νχ 2Σ f 2Φ 2 + νχ 2Σ f 1Φ1 + Σ s12 Φ1 = 0. Para el reflector: D1∆Φ1 − Σ rem1Φ1 = 0. Ecuación 1-2. Ecuación 1-3. D2 ∆Φ 2 − Σ rem 2Φ 2 + Σ s12Φ1 = 0 Donde:. Ecuación 1-1. Ecuación 1-4. Di es el coeficiente de difusión para neutrones del grupo i Φ i es el flujo de neutrones del grupo i. Σ remi es la sección eficaz de remoción para neutrones del grupo i ν es la cantidad promedio de neutrones que se obtienen como resultado de una fisión χ i es la fracción de neutrones de fisión que nacen con energías dentro del grupo i Σ fi es la sección eficaz de fisión para neutrones del grupo i Σ sij es la sección eficaz de scattering que transfiere neutrones del grupo i. al j. ∆ es el Operador de Laplace.. Estas ecuaciones son simplemente balances de neutrones y deben aplicarse a cada volumen diferencial, es decir, que en general, todos los parámetros descritos anteriormente dependen de la posición analizada (a través del material que la compone y su temperatura) y del tiempo si consideramos quemado (es decir transmutación de elementos y fisión).. 1.1 Radio crítico En nuestro caso particular, la geometría que se desea calcular es un cilindro homogéneo finito, es decir, que los flujos dependerán de la posición (expresada en coordenadas cilíndricas r-ϕ-z). Por lo tanto: ∆ = ∆ ( r ;ϕ ;z ) = ∇ 2 ( r ;ϕ ;z ) Φ = Φ ( r ;ϕ ;z ). Código DIANA. Ignacio Mochi. 3.

(11) Si asumimos que el problema posee simetría angular (es decir, que nada depende de ϕ) y que las variables pueden ser separadas de la siguiente manera 2: ∆(r ; z ) = ∇2(r ; z ) =. ∂2 1 ∂ ∂2 + + ∂r 2 r ∂r ∂z 2 Ecuación 1-5. Φ ( r ;z ) = Φ ( r )Φ ( z ) 2. ∇ Φ = Φ(z). ∂ 2Φ ( r ) ∂r 2. ∂ 2Φ ( z ) 1 ∂Φ ( r ) + Φ(z) + Φ(r ) r ∂r ∂z 2. 2 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 1 ∂ Φ( z) ∇ 2Φ = + + Φ Φ ( r ) ∂r 2 Φ ( r ) r ∂r Φ ( z ) ∂z 2. Ecuación 1-6. y definimos a cantidad denominada Buckling geométrico como: 2. Bg =. − ∆Φ 2 o bien ∆Φ + Bg Φ = 0 Φ. Ecuación 1-7. Se ve de esta expresión, que –Bg2 es el auto-valor asociado a la auto-función Φ del Laplaciano. por lo tanto: Bg Bg. Bg. 2. 2. 2. 2  1 ∂ 2Φ ( r ) − ∆Φ 1 1 ∂Φ ( r ) 1 ∂ Φ ( z )   = =− + + 2 Φ Φ Φ ( r ) r ∂r Φ ( z ) ∂z 2   ( r ) ∂r 2  1 ∂ 2Φ ( r ) 1 1 ∂Φ ( r )   1 ∂ Φ ( z )   =− + − 2 Φ Φ ( r ) r ∂r   Φ ( z ) ∂z 2   ( r ) ∂r 2 2 Ecuación 1-8 = Bg ( r ) + Bg ( z ). De esta forma, suponiendo que el reactor está crítico y sabiendo que la fracción de neutrones de fisión que nacen con energías dentro del grupo térmico es despreciable (χ1=1; χ2=0), las ecuaciones 1-1 y 1-2 quedan: Φ 2 − D1Bg − Σ rem1 + νΣ f 1 + νΣ f 2 2 = 0 Ecuación 1-9 Φ1 Φ 2 − D2 Bg − Σ rem 2 + Σ s12 1 = 0 Ecuación 1-10 Φ2 Antes que nada hay que aclarar que la aproximación 1-5 es estrictamente válida únicamente cuando uno de los dos términos de la ecuación 1-6 se reemplaza por su Buckling correspondiente (ecuación 1-8). Los efectos de suponer que las variables son separables en todo el rango de variación de ambas variables se verán en la sección 4.1.1. Hecha esa aclaración, continuemos. A diferencia del caso de reactor desnudo, en el reflejado, no es constante la relación entre los flujos térmicos y rápidos en función de la posición. Código DIANA. Ignacio Mochi. 4.

(12) Por lo tanto, para hallar la nueva cantidad involucrada (Bg) para el núcleo definimos tres nuevas cantidades: D1 D2 2 2 Ln = L2 = Σ rem1 −νΣ f 1 Σ rem 2 νΣ f 2 Σ s12 kn = Σ rem1 − νΣ f 1 Σ rem 2 Estas se denominan respectivamente: Longitud de difusión rápida modificada, Longitud de difusión térmica y Factor de multiplicación infinito modificado. Ahora, operando matemáticamente las ecuaciones 1-9 y1-10:. (1 + L. 2. (1 + L. 2. n. 2. 2. ). νΣ f 2 Φ2 Σ rem1 −νΣ f 1. 2. ). Σ s12 Φ1 Σ rem 2. Bg × Φ1 = Bg × Φ 2 =. eliminando los flujos de neutrones Φ1 y Φ2:. (1 + L B )× (1 + L B ) = Σ νΣ−νΣ (1 + L B )× (1 + L B ) = k (B ) +  L1 + L1  B − Lk −L 1 = 0 2. n. 2. 2. 2. g. 2. f2. g. rem1. 2. n. 2. 2. 2. g. 2. g. 2 2. g. n. 2. . 2. n. 2. 2. . f1. Σ s12 Σ rem 2. g. n 2 n. 2. 2. las raíces de Bg para esta ecuación son: 2    1 1  1 1  1  k −1  µ =  −  2 + 2  +  2 + 2  + 4 n2 2  2   Ln L2  L2  Ln L2   Ln   2    1 1  1 1  1  kn − 1  2     −υ =  −  2 + 2  −  2 + 2  + 4 2 2  2   Ln L2  L2  Ln L2   Ln   2. Ecuación 1-11. Ecuación 1-12. Como ambos valores son los auto valores de la ecuación 1-7, tendremos: 2 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 1 ∂ Φ( z) + + + µ2 = 0 Φ ( r ) ∂r 2 Φ ( r ) r ∂r Φ ( z ) ∂z 2. Ecuación 1-13. 2 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 1 ∂ Φ( z) + + −υ 2 = 0 2 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r Φ ( z ) ∂z. Ecuación 1-14. Ahora debemos escoger una de las dos dimensiones y calcular la otra, dado que hay infinitas combinaciones de radios y alturas que producen un reactor crítico (o con el mismo factor de multiplicación efectivo). En el caso más general, se fija la altura del Código DIANA. Ignacio Mochi. 5.

(13) reactor y se calcula la cantidad de elementos combustibles que son necesarios para que el reactor alcance la criticidad o un determinado factor de multiplicación efectivo. Esto se da así ya que es más sencillo agregar elementos combustibles que modificar la longitud de los mismos. Por lo tanto supondremos que conocemos la longitud de los elementos combustibles y calcularemos el radio del arreglo crítico. Para esto calcularemos el radio crítico para un reactor de altura fija por dos caminos. El primero consiste en considerar un cilindro infinito con las fugas modificadas a través del Buckling para dar cuenta de que no es infinito, agregándole a su vez lo que le quitamos por estar reflejado, y calcular el radio con las ecuaciones correspondientes a la dimensión radial. El segundo consiste en calcular la altura del slab infinito corrigiendo nuevamente por fugas a través del Buckling, modificando el radio hasta que la altura calculada sea la de nuestros elementos combustibles.. 1.1.1 Cálculo radial En el caso de tener el reactor desnudo en la dirección axial podemos proceder como lo haríamos con un slab y la auto función de la ecuación 1-7 para un slab (con el sistema de coordenadas centrado en el origen) es: Φ ( z ) = A cos(γ 0 z ) ;. con γ 0 = π / H 0. H 0 = H + 2δ Donde H es la altura de dicho slab y δ es el ahorro por reflector, es decir, lo que no es necesario agregar de núcleo para obtener criticidad gracias al reflector (este valor lo calculamos con el reactor esférico crítico análogo). Por lo tanto, las ecuaciones 1-13 y 1-14 se resumen a: 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 2 + −γ0 + µ2 = 0 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 2 + − γ 0 −υ 2 = 0 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r. O bien: 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) + +µ2 = 0 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) + −υ 2 = 0 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r. Con:. µ 2 = µ 2 − γ 02 υ 2 = υ 2 + γ 02 Código DIANA. Ignacio Mochi. 6.

(14) Para el reflector kn=0 porque Σf2=0, entonces: 2. 2. 2. 2. 2. 2.  1 1  k −1  1   1  2 4  2 + 2  + 4 n2 2 =  2  +  2  + 2 2 − 2 2 L      L2  Ln L2 Ln L2  n  Ln   Ln  Ln L2  1 1  k −1  1   1  2  2 + 2  + 4 n2 2 =  2  +  2  − 2 2 L      L2  Ln L2  n  Ln   Ln  Ln L2 2.  1 k −1  1 1  1   2 + 2  + 4 n2 2 =  − 2 + 2  L   L2  Ln L2 L2   n  Ln. 2. Por lo tanto, los auto valores de la ecuación 1-7 para el reflector son:  1  1 1  − κ1 =  −  2 + 2  + 2   Ln L2   1 2 − κ1 = − 2 Ln 1 κ1 = Ln. 2   1 1   − 2 + 2    L L2    n .  1  1 1  − κ 2 =  −  2 + 2  − 2   Ln L2   1 2 − κ2 = − 2 L2 1 κ2 = L2. 2   1 1   − 2 + 2    L L2    n . 2. 2. Ecuación 1-15. Ecuación 1-16. Por lo tanto, en el reflector, debemos resolver las siguientes ecuaciones de onda: 2. ∆Φ1 − κ1 Φ1 = 0. Ecuación 1-17. 2. ∆Φ 2 − κ 2 Φ 2 = 0. Ecuación 1-18. Procediendo de forma análoga al desarrollo anterior: 2 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 1 ∂ Φ( z) 2 + + − κ1 = 0 2 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r Φ ( z ) ∂z 2 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 1 ∂ Φ(z) 2 + + − κ2 = 0 Φ ( r ) ∂r 2 Φ ( r ) r ∂r Φ ( z ) ∂z 2 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 2 2 + − γ 0 − κ1 = 0 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r. Código DIANA. Ignacio Mochi. 7.

(15) 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 2 2 + − γ 0 − κ2 = 0 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 2 + − κ1 = 0 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r. Ecuación 1-19. 2 1 ∂ Φ(r ) 1 1 ∂Φ ( r ) 2 + − κ2 = 0 2 Φ ( r ) ∂r Φ ( r ) r ∂r. Ecuación 1-20. Con:. κ12 = κ12 + γ 0 2 κ 22 = κ 22 + γ 02 En este caso, las soluciones radiales del flujo neutrónico son: Para el núcleo: Φ1( r ) = AJ 0( µr ) + CI 0 (υ r ) Φ 2( r ) = S1 AJ 0( µr ) + S 2CI 0(υ r ). Para el reflector:   K ′ Φ1( r ) = F  K 0(κ1r ) − 0[κ1 ( R +T ) ] I 0(κ1r )  I 0[κ1 ( R+T ′) ]       K 0[κ1 ( R +T ′) ] K 0[κ 2 ( R+T ′) ] Φ 2( r ) = S 3 F  K 0(κ1r ) − I 0(κ1r )  + G  K 0(κ 2r ) − I 0 (κ 2 r )  I 0[κ1 ( R +T ′) ] I 0[κ 2 ( R +T ′) ]    . Con: Σ rem1 − Σ a1 Σ a 2 + D2 µ 2 Σ − Σ a1 S 2 = rem1 Σ a 2 − D2υ 2 Σ rem1 − Σ a1 S3 =  1 1  D2  2 − 2  L1   L2 S1 =. Ecuación 1-21. Ecuación 1-22. Ecuación 1-23. Donde S1, S2 y S3 son los coeficientes de acoplamiento de la solución principal y la secundaria para el núcleo y la principal para el reflector respectivamente. Por lo tanto, el cálculo de S1 y S2 debe realizarse con las constantes del núcleo, pero el cálculo de S3 con las del reflector. R es el radio del núcleo y T´ es el espesor del reflector más la longitud de extrapolación (que a su vez puede ser aproximada como 0.71 por la longitud de transporte).. Código DIANA. Ignacio Mochi. 8.

(16) Si ahora aplicamos las condiciones de contorno, es decir, continuidad de corriente y flujo a través de la interfaz entre el núcleo y el reflector y flujo nulo fuera del reflector, nos queda el siguiente determinante: 1 S1. 1 S2. α S1α. β S2 β. −1 − S3 − ρ1γ − ρ 2 S3γ. 0 −1 =0 0 − ρ 2δ. Donde:. ρ1 =. D1 (reflector ) D1 (nucleo). Ecuación 1-24. ρ2 =. D2 (reflector ) D2 (nucleo). Ecuación 1-25. ∂J 0( µR ). α=. ∂R J 0( µR ). = −µ. ∂I 0(υ R ). β=. ∂R I 0(υ R ). =υ. J1( µR ) J 0( µR ). I1(υ R ). Ecuación 1-26. Ecuación 1-27. I 0 (υ R ).   K 0[κ1 ( R+T ′) ] ∂  K 0(κ1r ) − I 0(κ1r )  I 0[κ1 ( R +T ′) ]   ∂R γ =   K 0[κ1 ( R +T ′) ] I 0 (κ1r )   K 0(κ1r ) − I 0[κ1 ( R+T ′) ]  .   K 0[κ1 ( R+T ′) ] I1(κ1r )   K1(κ1r ) + I 0[κ1 ( R +T ′) ]   γ = κ1    K 0[κ1 ( R+T ′) ] I 0(κ1r )   K 0(κ1r ) − I 0[κ1 ( R+T ′) ]  . Ecuación 1-28.   K 0[κ2 ( R+T ′) ] ∂  K 0 ( κ 2r ) − I 0 ( κ 2r )  I 0[κ 2 ( R+T ′) ]   ∂R δ=   K 0[κ 2 ( R+T ′) ] I 0 (κ 2 r )   K 0 (κ 2 r ) − I 0[κ2 ( R+T ′) ]  . Código DIANA. Ignacio Mochi. 9.

(17)   K 0[κ 2 ( R+T ′) ] I1(κ 2r )   K1(κ 2r ) + I 0[κ 2 ( R+T ′) ]   δ = κ2    K 0[κ 2 ( R+T ′) ] I 0 ( κ 2r )   K 0 (κ 2 r ) − I 0[κ 2 ( R +T ′) ]  . Ecuación 1-29. Este determinante es nulo únicamente para:. α=. ρ 2δS1 ( ρ1γ − β ) + ρ1γS 2 ( β − ρ 2δ ) + ρ 2 βS3 (δ − γ ) S1 ( ρ1γ − β ) + S 2 ( β − ρ 2δ ) + ρ 2 S3 (δ − γ ). Ecuación 1-30. Esta última es la ecuación de criticidad a dos grupos y dos zonas y expresa la relación entre el radio crítico del reactor y las propiedades de los materiales que lo componen. Es decir que es la ecuación a través de la cual estableceremos el radio crítico del núcleo y, por medio del reactor crítico asociado en k, también el factor de multiplicación efectivo. Para el cilindro, la ecuación es trascendente, por lo tanto, hay que resolverla encontrando la intersección entre el miembro derecho e izquierdo numéricamente sabiendo donde buscar. Es decir que debemos conocer aproximadamente el radio para no dar con una solución indeseada. En nuestro caso el valor inicial de la búsqueda será sin duda cercano al radio del reactor crítico cilíndrico desnudo.. 1.1.2 Cálculo axial En el caso de tener el reactor desnudo en la dirección radial podemos proceder como lo haríamos con un cilindro infinito y la auto función de la ecuación 1-7 para esta geometría (con el sistema de coordenadas centrado en el origen) es: Φ ( r ) = AJ 0 (α 0 r ) ;. con α 0 = j0 / R0. R0 = R + δ. Donde R es el radio de dicho cilindro y δ es el ahorro por reflector. Por lo tanto, las ecuaciones 1-13 y 1-14 se resumen a: 2 1 ∂ Φ( z) +µ2 = 0 2 Φ ( z ) ∂z 2 1 ∂ Φ( z) −υ 2 = 0 Φ ( z ) ∂z 2. Con los Bucklings redefinidos:. µ 2 = µ 2 − α 02 υ 2 = υ 2 + α02 Código DIANA. Ignacio Mochi. 10.

(18) De forma análoga, para el reflector: 2 1 ∂ Φ( z) 2 + κ1 = 0 2 Φ ( z ) ∂z 2 1 ∂ Φ( z) 2 + κ2 = 0 Φ ( z ) ∂z 2. Donde:. κ 12 = κ 12 + α 0 2 κ 22 = κ 22 + α 02 Con κ1 y κ2 definidos en las ecuaciones 1-15 y 1-16 respectivamente. Las soluciones axiales del flujo neutrónico son: Para el núcleo: Φ1( z ) = A cos( µ z ) + C cosh(υ z ) Φ 2( z ) = S1 A cos( µ z ) + S 2C cosh(υ z ). Para el reflector:  H  Φ1( z ) = F sinh  κ1  + T ′ − z     2  H  H   Φ 2( z ) = S3 F sinh κ1  + T ′ − z   + G sinh κ 2  + T ′ − z      2  2. A continuación aplicamos la ecuación 1-30 (de criticidad) y encontramos el valor de radio del núcleo para el cual la altura del mismo es de los elementos combustibles. Con este procedimiento obtenemos dos radios: un máximo y un mínimo para el radio crítico. Esto nos brinda un valor medio y un error, que es exclusivamente del método utilizado para encontrar el radio que surge de un análisis del reactor por el método de difusión. El método de difusión posee hipótesis de aplicación que al no cumplirse rigurosamente nos agregará un error de cálculo que no es tan fácilmente calculable. La manera de estimar este error es, como en todos los códigos de cálculo, haciendo validaciones con casos experimentales similares al cual que uno desea aplicar el código. Una vez encontrado el radio crítico se puede proceder al cálculo de los parámetros adicionales como probabilidad de escape a las resonancias; factores de multiplicación infinito, efectivo térmico, efectivo rápido y efectivo total; factor de fisión rápida; flujos térmico y rápido medios; relación de flujos medios térmico y rápido; probabilidades de no-escape rápida y térmica.. Código DIANA. Ignacio Mochi. 11.

(19) 1.2 Flujos neutrónicos espaciales Ahora debemos saber como calcular los flujos neutrónicos en el núcleo a partir de los cálculos hechos en la sección 1.1. De la sección 1.1.1 podemos calcular el flujo radial y de la sección 1.1.2 podemos obtener el flujo neutrónico axial, pero lo que necesitamos calcular es el flujo del reactor completamente reflejado en función de ambas variables (r y z). Las respectivas auto funciones para las ecuaciones 1-7, 1-17 y 1-18 pueden extraerse de la bibliografía para cada geometría en particular. Para nuestro caso, con origen del sistema de coordenadas en el centro del cilindro y condiciones de contorno de igualdad de flujo y su derivada en la interfaz entre núcleo y reflector y flujo nulo fuera del reflector, son (para el núcleo): Φ ( r ) = AJ 0( µr ) + CI 0(υ r ) Φ ( z ) = A′ cos( µ ′z ) + C ′ cosh(υ ′z ). Donde las primadas son constantes axiales y las otras radiales. Por lo tanto, teniendo en cuenta la ecuación 1-5: Φ1( r ;z ) = (AJ 0 ( µr ) + CI 0 (υ r ) )× ( A′ cos( µ ′z ) + C ′ cosh(υ ′z ) ). Ecuación 1-31. Φ 2( r ;z ) = (S1 AJ 0( µr ) + S 2CI 0(υ r ) )× (S1 A′ cos( µ ′z ) + S 2C ′ cosh(υ ′z ) ) Ecuación 1-32. Como el reactor desnudo es un caso particular del reactor reflejado, podemos comprobar que estas ecuaciones sean adecuadas. En el caso desnudo, las constantes C y C´ son nulas, dado que el flujo en la frontera debe ser nulo. Por lo tanto: Φ1( r ;z ) = AA′J 0( µr ) cos( µ ′z ) 2. Φ 2( r ;z ) = S1 AA′J 0( µr ) cos( µ ′z ). Con lo cual, queda que: 2. Φ 2( r ;z ) = S1 Φ1( r ;z ). Lo que es erróneo, dado que la definición dada en la sección 1.1 del coeficiente de acoplamiento es: Φ 2( r ;z ) = S1Φ1( r ;z ). Para eliminar esta aparente paradoja, podemos modificar los dos sets de constantes arbitrarias que introdujimos en la ecuación de la siguiente manera: Conservemos la ecuación 1-31, Φ1( r ;z ) = (AJ 0 ( µr ) + CI 0 (υ r ) )× ( A′ cos( µ ′z ) + C ′ cosh(υ ′z ) ). Código DIANA. Ignacio Mochi. Ecuación 1-33. 12.

(20) pero modifiquemos las constantes de la ecuación 1-32 así:.   S Φ 2( r ;z ) = (S1 AJ 0( µr ) + S 2CI 0(υ r ) )×  A′ cos( µ ′z ) + 2 C ′ cosh(υ ′z )  S1   Ecuación 1-34. Con esta corrección tenemos las expresiones del flujo neutrónico en el núcleo en función de las dos coordenadas a menos de las constantes A, C, A´ y C´ sin inconsistencias. Como sabemos, no podemos encontrar un valor de flujo en ningún lugar del reactor sin fijar un nivel, el valor en un punto, o la potencia global del reactor dado que con cualquier nivel de flujo las ecuaciones de criticidad serían satisfechas. Entonces, para hallar los valores de estas constantes fijamos una potencia global de referencia (en este caso, 1 Watt). Hallamos los valores de las cuatro constantes de las ecuaciones 1-33 y 1-34 en función de una constante que utilizaremos para fijar la potencia. A=. ( β − ρ1γ ) A0 J 0 ( µR ). A′ =. C=. ( ρ1γ − α ) A0 I 0(υ R ). C′ =. A0 A0′ =. 1  PC f    4πR  εΣ f 2 . ( β ′ − ρ1γ ′) A0′  ′H cos µ   2 ( ρ1γ ′ − α ′) A0′  ′H  cosh υ   2. 1. [S Λ 1. x.   S + S 2 Λ y × Λ′x + 2 Λ′y  S1  . ]. Donde: P es la potencia total del reactor Cf es la cantidad de fisiones necesarias para obtener 1 Joule de energía ε es el factor de fisión rápida que será definido más adelante Con:. α (β − ρ1γ ) µ2 α Λ y = − 2 (ρ1γ − α ) υ Λx = −. Código DIANA. α′ (β ′ − ρ1γ ′) µ ′2 α′ Λ′y = − 2 (ρ1γ ′ − α ′) υ′. Λ′x = −. Ignacio Mochi. 13.

(21) 1.3 Flujos neutrónicos medios Para hallar los flujos medios aplicamos las siguientes expresiones (basadas en el análisis de la sección 1.2): 4 A0 A0′ Λ x + Λ y × Λ′x + Λ′y RH   4 A A′ S Φ 2 = 0 0 S1Λ x + S 2 Λ y × Λ′x + 2 Λ′y  RH S1  . [. Φ1 =. [. ][. ]. ]. Ecuación 1-35. Ecuación 1-36. Y con estos valores obtenemos también la relación entre los flujos medios en el núcleo del reactor.. 1.4. Factores de multiplicación. Estos factores nos brindan información acerca del crecimiento de la población neutrónica con el tiempo. En general se definen como la relación entre la población neutrónica de una generación y la anterior.. 1.4.1 Factor de multiplicación infinito Éste es únicamente una propiedad de la composición de los materiales del núcleo, y no de la geometría del reactor. Hay varias formas de calcular este parámetro, pero todas son análogas. En nuestro caso, la forma elegida fue la siguiente:. k inf = pε. νΣ f 2. Ecuación 1-37. Σ a2. Donde: p es la probabilidad de escape rápida(ver sección 1.5) ε es el factor de fisión rápida (ver sección 1.7). 1.4.2 Factor de multiplicación infinito térmico En este caso se mide el aporte de las fisiones producidas por neutrones que poseen energías acotadas dentro del grupo térmico. Se calcula así: k th = p. Código DIANA. νΣ f 2. Ecuación 1-38. Σ a2 Ignacio Mochi. 14.

(22) Esta definición fue extraída de la Referencia 1.. 1.4.3 Factor de multiplicación infinito rápido Para el caso del aporte de los neutrones rápidos a la reacción en cadena tenemos: kf =. νΣ f 1. Ecuación 1-39. Σ rem1. Esta definición fue a su vez, también extraída de la Referencia 1.. 1.4.4 Factor de multiplicación efectivo En nuestro caso, el cálculo de este factor se realiza de manera diferente a simplemente una cuenta. La metodología de cálculo de ésta cantidad es análoga a la descrita en la sección 1.1. Para dicho factor utilizamos el reactor crítico asociado en k. El método implica realizar el cálculo de dimensión crítica modificando las secciones eficaces hasta que el radio del reactor crítico sea el que el reactor efectivamente tiene. Simplemente se divide la sección eficaz de fisión del núcleo por el factor de multiplicación efectivo (keff) y se calcula el radio del reactor crítico. Si el radio es más grande que el que el reactor real tiene, implica que el keff propuesto es demasiado chico y es necesario agrandarlo y realizar otro cálculo. De ser el radio, mayor que el real, implica que el keff es grande y hay que achicarlo. Al igual que con el caso del radio crítico, tendremos un valor medio del keff calculado y un error únicamente de la aproximación del ahorro por reflector. Para obtener un error real es necesario acotar el error que se produce al calcular el reactor con un esquema de difusión a dos grupos y al utilizar el reactor crítico asociado en k. Lo que sabemos es que para reactores neutrónicamente pequeños (es decir, cuyas dimensiones sean comparables con las longitudes de transporte) el método de difusión se aleja de la realidad física del problema porque sus hipótesis no se cumplen. Y para factores de multiplicación efectivos muy grandes (keff >>1) la aproximación del reactor crítico asociado en k deja de ser fiel ya que estamos corrigiendo mucho las secciones eficaces sin considerar el cambio en el espectro de condensación. Por estos motivos, el cálculo será más confiable cuanto más grande neutrónicamente sea el reactor y cuanto más pequeño sea el exceso de reactividad.. 1.5 Probabilidad de escape rápida También llamada probabilidad de escape a las resonancias, es la fracción de neutrones con energías comprendidas dentro del grupo rápido que logra evitar ser absorbido por el núcleo. Es decir que son los neutrones que, o bien escapan del núcleo o pasan a tener energías dentro del grupo térmico (por debajo de la energía de corte). Código DIANA. Ignacio Mochi. 15.

(23) Por lo tanto, este parámetro se calcula de la siguiente manera: p=. Σ rem1 − Σ a1 Σ rem1. Ecuación 1-40. 1.6 Probabilidades de no-escape Al ser ambas probabilidades de no-escape (la rápida y la térmica) un número representativo de las fracciones de neutrones que no se fugan del núcleo, podría parecer que deberían estar comprendidos entre 0 y 1 como toda probabilidad. En el caso particular de un reactor reflejado, la probabilidad de no-escape térmica puede (y en la mayoría de los casos sucede) ser mayor que 1. Esto se debe a que hay un flujo neto de neutrones térmicos que ingresa desde el reflector al núcleo. Estos neutrones provienen de dos fuentes: • Algunos son neutrones que salen térmicos interactúan con el reflector con scattering y regresan al núcleo térmicos. • Otros salen del núcleo con energías altas (grupo rápido), se moderan en el reflector y reingresan térmicos al núcleo. Estas probabilidades se calculan del siguiente modo:. £f =. (Λ 2. x. +Λy) 2. 2. 2. [(1 + L µ )Λ + (1 − L υ )Λ ] 1. 1. x. y.  Λy  Λx 1 £ th =  + 2 2 2 2  1 − L2 υ  (Λ x + Λ y )  1 + L2 µ. ) (. (. Ecuación 1-41. ). Ecuación 1-42. 1.7 Factor de fisión rápida Podemos dividir en dos partes el cálculo de dicho factor. La primera (y quizá la que contribuye mayormente) es la que representa las fisiones que producen los neutrones con energías comprendidas en el grupo rápido. Esta contribución se calcula de la siguiente forma:. ε epi = 1 +. Σ f1. Ecuación 1-43. S1Σ f 2. Donde ν1 y ν2 fueron simplificados por ser aproximadamente iguales. La segunda parte es una corrección que tiene en cuenta las fisiones producidas por neutrones con espectro de fisión, es decir, neutrones que producen fisiones antes de moderarse (antes de salir de la barra). Es, en realidad una corrección por heterogeneidad del núcleo.. Código DIANA. Ignacio Mochi. 16.

(24) Esta segunda contribución puede calcularse de la siguiente manera:. ε f = 1+. (νσ. f. − σ f − σ c )P. σ − (νσ f + σ e )P. Ecuación 1-44. Donde: • Las secciones eficaces microscópicas involucradas son las del combustible en el núcleo pero pesadas con el espectro de fisión (fission averaged) en vez de 1/v como es usual. Las secciones necesarias son, la de fisión (σf), captura radiactiva (σcr), scattering elástico (σs), total (σ) y el número medio de neutrones emitidos por fisión rápida (ν). • P es la probabilidad de que un neutrón de fisión interactúe con los átomos de la barra combustible antes de salir.. CI L IN DR ES OS FE RA S. PL AC AS. P es un factor que depende tanto de la distribución de los neutrones térmicos (es decir de κ0=1/L2) como del camino libre medio 1/Σ, donde Σ es la sección eficaz macroscópica total pesada con el espectro de fisión. Sin embargo, estas expresiones son bastante complicadas 3, por lo que directamente mostramos su comportamiento en la figura 1-1.. Figura 1-1: Probabilidad de que un neutrón de fisión tenga una colisión de primer vuelo dentro de la barra combustible en función de r0Σ para varios valores de κ0/Σ Σ en distintas geometrías. Código DIANA. Ignacio Mochi. 17.

(25) Para el caso particular en que κ0/Σ=0, P se puede calcular con las siguientes expresiones 4: ∞  1 1 1  ( −2 Σr0 ) e− x PSLAB = 1 − +  − e + Σr0 ∫ dx Ecuación 1-45 4Σr0  4Σr0 2  x 2 Σr0 ∞. PBARRA = 1 − 2Σr0 ∫ Σr0. PPEBBLE = 1 −. I1( x ) K1( x ) x2. dx. 3  (Σr0 )2 − 1 +  1 + Σr0 e(−2Σr0 )  3  2 2 4(Σr0 )   . Ecuación 1-46. Ecuación 1-47. Donde r0 es el radio de las barras combustibles. Dado que ambos factores de fisión representan una relación entre los neutrones producidos por cada una de las dos fuentes por cada neutrón de fisión producido, para obtener el factor de fisión rápida total operamos con los anteriormente calculados de la siguiente forma: Ecuación 1-48. ε = ε epiε f. Código DIANA. Ignacio Mochi. 18.


(27) Capítulo 2. Determinación de las constantes multigrupo. Las secciones eficaces microscópicas (σ) dan una idea de la probabilidad de interacción entre la partícula proyectil (en nuestro caso neutrones) y el blanco (un núcleo). Éstas están tabuladas para cada isótopo en función de la energía relativa entre proyectil y blanco (como vemos para el Plutonio 239 en la figura 2-1), que en el caso de núcleos en reposo, es la energía del neutrón incidente. Por supuesto, para cada tipo de reacción posible (scattering elástico, scattering inelástico, captura radiactiva, fisión inducida, etc.) existe una sección eficaz asociada.. Sección eficaz (barns). TOTAL ELÁSTICA CAPTURA INELÁSTICA FISIÓN. Energia de los neutrones (eV) Figura 2-1: Secciones Eficaces microscópicas del Plutonio 239 (ver Referencia 5). Las ecuaciones descritas en el Capítulo 1 están expresadas en función de parámetros conocidos como constantes multi-grupo. Éstos son definidos formalmente como valores medios pesados con los flujos (dependientes de la energía) de cada grupo. Para obtener una condensación a grupos discretos de energía está claro que debemos conservar los ritmos de reacción, dado que son los sumandos de las ecuaciones 1-1 a 1-4. Por lo tanto, si discretizámos la energía en G grupos como muestra la figura 2-2. Código DIANA. Ignacio Mochi. 19.

(28) Grupo g E EG. EG-1. Eg. E g-1. E2. E1. E0. Figura 2-2: Discretización de la energía para un esquema a G grupos. y analizamos el grupo g comprendido entre las energías Eg y Eg-1, los ritmos de reacción quedan de la siguiente forma: Eg. ∫ Σ(. ΣgΦg =. Φ ( E )dE. E). E g −1. Donde Σ es una sección eficaz macroscópica (Σ = σ.densidad) y Φ es el flujo de neutrones. Si utilizamos la siguiente definición lógica para el flujo del grupo g: Eg. Φg =. ∫ Φ(. E). dE. Ecuación 2-1. E g −1. Nos queda una definición única para la sección eficaz de modo que se conserve el ritmo de reacción: Eg. ∫ Σ( Σg =. Φ ( E )dE. E). E g −1. Ecuación 2-2. Eg. ∫ Φ(. dE. E). E g −1. De la expresión anterior, vemos que debemos conocer el espectro neutrónico (función de peso), es decir, la dependencia energética del flujo neutrónico. Como el flujo neutrónico no lo conocemos y para calcularlo debemos conocer las secciones eficaces, debemos efectuar una aproximación y suponer un espectro de peso. Este espectro podemos obtenerlo de mediciones para cada grupo. Es evidente que la distribución energética de neutrones en un reactor depende fuertemente de su composición y disposición geométrica. Por ello esta suposición limita el cálculo a sistemas que se comporten de manera similar, es decir, si calculamos las secciones eficaces con un espectro de un reactor térmico podemos utilizarlas solamente para calcular reactores térmicos. Como el objetivo del código de cálculo son los reactores térmicos veremos como hallar estas constantes para espectros bien termalizados.. Código DIANA. Ignacio Mochi. 20.

(29) 2.1 Constantes del grupo térmico Supongamos que tenemos un material homogéneo compuesto solamente por moléculas formadas por un átomo cada una. Adicionalmente digamos que todo los átomos son iguales. Es decir, que tenemos únicamente un tipo de núcleo involucrado. Podemos obtener de tablas 5 los valores de secciones eficaces pesadas con distintos espectros o bien los valores puntuales a una energía (los valores a 2200 m/s están tabulados y los demás pueden extraerse de los gráficos como la figura 2-1. Por confiabilidad (por poseer una diversidad de fuentes mayor) elegiremos calcular las secciones eficaces a partir de valores a 2200 m/s. Entonces extraemos de alguna tabla los valores correspondientes a las secciones eficaces de absorción, fisión y scattering (por ejemplo las que se presentan el la Referencia 5). Luego tenemos que elegir una aproximación de espectro en el rango del grupo de baja energía que sea adecuada para los reactores que queremos calcular (térmicos). Como hipótesis proponemos que el flujo está bien termalizado a bajas energías (menores que 0.125 eV). En este caso no podemos despreciar el movimiento de los átomos, y decir que está bien termalizado es decir que los neutrones están en equilibrio térmico con el medio. Por lo tanto los mismos tendrán una distribución en energía comparable a la de los átomos del material en el que se encuentran. Entonces el espectro de peso depende de la temperatura del medio, pues la distribución de energías (velocidades) de sus átomos lo hace. En particular, la distribución de MaxwellBoltzmann es la que caracteriza la energía de las partículas en un gas ideal (ecuación 2-3).. M (E ).  2π = 3   (πkT )2.  −E E e kT  . Ecuación 2-3. Por lo tanto el flujo de neutrones en función de la energía tiene la siguiente forma 6: −E. Φ ( E ) = Φ M ( E ,Tn ) = n0. 8kTn E e kTn 2 πm (kTn ). Donde n0 es la densidad numérica de neutrones en el medio y m es el peso molecular del gas (en el presente caso vale 1 pues el flujo analizado es el de neutrones). Si no consideramos las absorciones y si la sección eficaz, en el rango analizado, cambia como la inversa de la raíz de la energía, la ecuación 2-2 para el grupo térmico queda: Σ=. π 2. T0 Σ(E ) Tn 0. Donde E0 es 0.025 eV y T0 es 20.46 ºC: Temperatura correspondiente a una energía de 0.025 eV (energía de los neutrones de velocidad = 2200 m/s). Si la sección eficaz analizada no tiene una dependencia energética como la propuesta se utiliza un factor de corrección (g) que está tabulado en función de la temperatura como muestra la tabla 2-1. Éste se denomina factor de Wescott. Código DIANA. Ignacio Mochi. 21.

(30) Tabla 2-1: Ejemplo de factores de Wescott para diversos isótopos en función de la temperatura. Temperatura ºC. Elemento. Interpolación lineal. Fuente: Referencia 1. La expresión con éste factor queda: Σ=. π 2. g (Tn ). T0 Σ(E ) Tn 0. Ecuación 2-4. A su vez se debe utilizar una corrección por absorciones, es decir que el espectro energético no es exactamente Maxwelliano cuando hay absorciones de neutrones en el sistema por parte de los átomos, dado que la sección eficaz de absorción no es constante en función de la energía, por lo que absorbe más neutrones de algunas energías que de otras. Este efecto se conoce como endurecimiento por absorción. Dicha corrección se efectúa a través del reemplazo de la temperatura Tn por una modificada. Por lo que el espectro de peso se desplaza como lo muestra la figura 2-3. La corrección no se encuentra actualmente implementada en el cálculo. Para hacerla hay dos caminos: • •. Conseguir una teoría adecuada a la cantidad de datos disponibles Obtener parámetros medidos en el reactor real. Venos que la segunda opción claramente no es posible para nosotros pues el objetivo de nuestro código es el análisis conceptual de reactores innovativos. Ahora tenemos las secciones eficaces a la temperatura del medio que modera los neutrones. En el caso de un reactor heterogéneo, para calcular las secciones eficaces térmicas del combustible tendríamos que utilizar la temperatura a la que se encuentra el moderador, y no la del combustible, pues el que fija el espectro térmico es el moderador. Código DIANA. Ignacio Mochi. 22.

(31) Figura 2-3: Endurecimiento por absorción del espectro térmico Maxwelliano. Es evidente que en el caso general no tendremos un reactor compuesto de un solo isótopo, por lo que debemos combinar las secciones eficaces de los distintos isótopos de modo de obtener una sección eficaz macroscópica que represente a la mezcla de los distintos componentes. Si la mezcla es homogénea simplemente efectuaremos una sumatoria pesada por las cantidades relativas de cada isótopo. Es decir, si tenemos N isótopos, cada uno con su sección eficaz macroscópica (Σi) calculada de acuerdo a la ecuación 2-4 y su fracción isotópica correspondiente (fi), la sección eficaz macroscópica de la mezcla se calcula como: i= N. Σ = ∑ fi Σi. Ecuación 2-5. i =1. Ahora, si lo que tenemos es una mezcla homogénea de M materiales, cada uno con su sección eficaz macroscópica (Σj) formada a través de la ecuación 2-5 y con su respectiva fracción de volumen (vj), la sección eficaz macroscópica de la nueva mezcla se calcula como: j=M. Σ=. ∑v Σ j. Ecuación 2-6. j. j =1. Esta última expresión es válida únicamente si se puede despreciar los cambios de flujo en cada región. De no ser así habría que efectuar una sumatoria pesada tanto con los flujos como con las fracciones de volumen correspondientes. Las secciones eficaces que podemos calcular con las expresiones anteriores son las de scattering, absorción, captura radiactiva, fisión, nufisión, total y remoción. Siendo esta última igual a la sección eficaz de absorción cuando la probabilidad de que un neutrón pase por scattering al grupo de alta energía es muy baja (es decir cuando no hay up-scattering). Con ellas podemos obtener otros parámetros como el coeficiente de Código DIANA. Ignacio Mochi. 23.

(32) difusión del grupo térmico y la longitud de difusión térmica con las siguientes expresiones: 1 3Σtr 2 = Σ a 2 + Σ s 2 1 − µ0 2. D2 = Σtr 2. L2 =. (. Ecuación 2-7. ). Ecuación 2-8. D2 Σ rem 2. Ecuación 2-9. Donde Σtr2 es la sección eficaz de transporte térmica, µ0 2 es el coseno medio de scattering de la mezcla. Representa el coseno del ángulo medio de salida (Ψ) de un neutrón que sufre una colisión elástica con un núcleo de la mezcla como se muestra en la figura 2-4.. Neutrón desviado. Neutrón incidente. Núcleo blanco Figura 2-4: Colisión elástica de un neutrón con un núcleo atómico. Para un isótopo, éste vale 2/3A y para mezclas de isótopos puede determinarse por medio de una sumatoria pesada con la sección eficaz de scattering macroscópica de cada componente como lo muestra la ecuación 2-10 para una mezcla de N isótopos distintos. Debemos observar en ésta expresión que las secciones eficaces macroscópicas presentadas son obtenidas con la densidad de cada isótopo en la mezcla y no con la total de la misma. i=N. ∑µ. µ0 = 2. i =1 i=N. 0i. ∑Σ i =1. Σ s 2i Ecuación 2-10 s 2i. Otro parámetro que puede resultar de utilidad es el decremento logarítmico medio, que representa al cambio medio de energía que experimenta un neutrón en una colisión elástica con una partícula del medio. Para el caso de un isótopo único podemos obtener este parámetro de su número másico con la siguiente expresión: Código DIANA. Ignacio Mochi. 24.

(33) 2 ( A − 1)  A − 1  ξ = 1+ ln. 2A.    A + 1. Ecuación 2-11. Al igual que con el coseno medio, el decremento logarítmico medio puede obtenerse para una mezcla de isótopos efectuando una sumatoria pesada con la sección eficaz de scattering macroscópica de cada componente (como se muestra en la ecuación 2-12). i=N. ∑ξ Σ i. ξ2 =. i =1 i=N. ∑Σ i =1. s 2i. Ecuación 2-12 s 2i. Con las expresiones desarrolladas en esta sección podemos describir la zona de baja energía de cualquier mezcla homogénea de isótopos en cuanto a su interacción con los neutrones.. 2.2 Constantes del grupo rápido Para completar el grupo de constantes requeridas para efectuar el cálculo descrito en el Capítulo 1 , debemos obtener las expresiones para los parámetros que describen el comportamiento de los neutrones en el grupo de energías altas (>0.125 eV). Si consideramos una fuente de neutrones mono-energética y analizamos el pasaje de los neutrones por las distintas energías en el proceso de moderación vemos que, si las fugas no son preponderantes (medio muy grande) y si no hay absorciones, la dependencia energética del flujo de neutrones es inversamente proporcional a la energía de los mismos (es decir: Φ = 1/E). Esto se cumple independientemente del material que componga el medio porque sólo depende de que la sección eficaz de scattering sea constante en el rango de energías analizado y esto se cumple para casi todos los isótopos. Con es espectro 1/E podemos determinar la ecuación 2-1: E fisión. Φ1 =. ∫ Φ( E corte. E fisión. dE =. E). E  dE = ln fisión  E  Ecorte  E corte. ∫. Ecuación 2-13. Con esta última expresión tenemos el espectro de peso en función de las energías de fisión (~2 MeV) y de corte (es decir la de separación entre el grupo rápido y el térmico: ~0.125 eV) para evaluar la ecuación 2-2. El numerador de dicha expresión puede calcularse a partir de una magnitud denominada Integral de Resonancia como lo indica la ecuación 2-14. Esta magnitud se encuentra tabulada (para absorción y fisión) en función de un parámetro (σpot) que caracteriza la mezcla como se muestra en la tabla 2-2.. Código DIANA. Ignacio Mochi. 25.

(34) E fisión. ∫Σ. Σ1 =. Φ ( E )dE. (E ) E corte E fisión. ∫ Φ(. = dE. E). E corte. NI E  ln fisión   Ecorte . Ecuación 2-14. Tabla 2-2: Integral de Resonancia para mezclas homogéneas de U238 y moderador en función de σp. Notar que σp = Sección eficaz de scattering potencial por átomo de U238= Σp/NU238. Las Integrales de Resonancia están condensando la información de todas las resonancias que tiene la sección eficaz en cuestión (absorción o fisión) dentro de la ventana energética que abarca el grupo analizado durante el proceso de moderación. Si estas integrales no se encuentran disponibles en la bibliografía se necesita efectuar un cálculo de moderación con secciones eficaces a muchos grupos conociendo la dependencia de cada grupo con la σpot del sistema 7. Con la ecuación 2-14 y las tabulaciones de Integral de Resonancia de absorción y fisión podemos calcular las respectivas secciones eficaces y deducir la de captura radiactiva como diferencia de las mismas. Para obtener la sección eficaz macroscópica de scattering (Σs1) no necesitamos realizar un procedimiento similar al comentado dado que como dijimos anteriormente, dicha sección eficaz no depende de la energía en éste rango para la mayor parte de los casos. Por lo que, para mezclas de isótopos que podemos considerar como gas libre simplemente podemos hacer la sumatoria pesada por las fracciones isotópicas y de volumen como se muestra en las ecuaciones 2-5 y 2-6. Como la información acerca de prácticamente todo el proceso de moderación de los neutrones se encuentra en esta sección eficaz, en general se busca caracterizarla con mayor precisión. Un modo de cálculo más apropiado para estos sistemas es a través de la Edad de Fermi (τ). Es decir, que con una medición de dicho parámetro en el sistema en cuestión se puede calcular dicha sección eficaz con la ecuación 2-15.. τ=. D1 D1 = Σ rem1 Σ s12 + Σ a1. Ecuación 2-15. Donde D1 puede calcularse con:. D1 =. Código DIANA. 1 3 Σ a1 + Σ s1 1 − µ01. [. (. )] Ignacio Mochi. Ecuación 2-16. 26.

(35) y Σs12 es la sección eficaz de scattering que envía neutrones del grupo rápido al térmico y se obtiene de la de scattering del grupo rápido a través de la siguiente expresión:. Σ s12 =. ξ1Σ s1. Ecuación 2-17. E  ln fisión   Ecorte . Con (análogamente a las ecuaciones 2-10 y 2-12): i= N. ∑µ i =1 i=N. µ0 = 1. 0i. ∑Σ i =1. Σ s1i s1i. i=N. ∑ξ Σ i. ξ1 =. i =1 i= N. ∑Σ i =1. s1i. Ecuación 2-18 s1i. Empleando, para cada isótopo, µ0 como fué explicado en la sección 2.1 (2/3A) y ξ como lo indica la ecuación 2-11. Introduciendo las definiciones 2-16 y 2-17 en 2-15 y reorganizando, obtenemos:.   E  2 0 = Σ s1 ξ1 1 − µ01 + Σ s1 Σ a1  ξ + ln fisión  1 − µ01    Ecorte . [ (. )]. (. . ) +  Σ . . 2 a1.  1  E −  ln fisión  τ   Ecorte  Ecuación 2-19. De esta ecuación cuadrática podemos hallar la sección eficaz de scattering del grupo rápido sólo si tenemos la Edad de Fermi para la mezcla. De no contar con mediciónes, se puede recurrir a la Fórmula de Galanin 8 (ecuación 2-20), que nos permite obtenerla a partir de las de los isótopos componentes de la mezcla. 1. τ. =∑ i.    f f +∑  i i′  τ i i > i ′  τ iτ i ′    fi. 2.  1 − µ 0 i′   1 − µ0 i .  ξi  1 − µ0 i  +   ξi ′  1 − µ0 i′  .  ξi ′      ξi     Ecuación 2-20. Donde fi es la relación entre la densidad atómica presente en la mezcla homogénea utilizada y la densidad atómica con la que fue calculada (o medida) la Edad de Fermi del componente i (τi).. Código DIANA. Ignacio Mochi. 27.

(36) 2.3 Correcciones por heterogeneidad. Moderador. Combustible. Moderador. Combustible. Combustible. Si tenemos el combustible concentrado en un volumen definido en vez de diluido en el moderador, entonces tendremos que considerar que todos los neutrones de fisión nacen en pequeños volúmenes localizados en el núcleo. Por lo tanto, hasta que escapen de las barras no verán los efectos del proceso de moderación en el que se basa nuestro cálculo, por lo que habrá que efectuar una corrección. Esto se realiza por medio de la consideración de las fisiones producidas por neutrones de fisión dentro de las barras antes de que escapen al moderador. Dicha corrección se introduce al cálculo mediante una actualización del factor de fisión rápida explicada en la sección 1.7. Otro efecto de la concentración del material físil es el de apantallamiento de los neutrones moderados por parte de la capa periférica del combustible como se muestra en la figura 2-5 para un reactor heterogéneo de barras combustibles introducidas en un medio moderador (PWR, BWR, RBMK, etc.).. Figura 2-5: Apantallamiento dentro del combustible en reactores heterogéneos. Este efecto se conoce como auto-apantallamiento y su influencia en el cálculo es análogo a una disminución de las secciones eficaces efectivas del combustible por depresión del flujo neutrónico local. Es decir, que en vez de deprimir el flujo, disminuimos las secciones eficaces de las zonas afectadas (combustible). Dicha corrección de efectúa calculando un parámetro conocido como factor de desventaja, que es simplemente la relación entre los flujos neutrónicos medios fuera y dentro del combustible se calcula para cada grupo de energía como lo indica la siguiente ecuación:. Φm Σ υ = F + ac c (E − 1) Φc Σ amυ m Donde el subíndice m se refiere al moderador y el c al combustible, υ es la fracción de volumen de cada uno y las funciones F y E para las tres geometrías más usuales de combustibles valen:. Código DIANA. Ignacio Mochi. 28.

(37) •. En geometría Placa F = κ combtcomb coth (κ combtcomb ) E = κ mod tmod coth (κ mod tmod ). moderador. •. Ecuación 2-21 Ecuación 2-22. Donde tcomb es el semi-espesor de la placa combustible y tmod del En geometría Cilindro. F=. E=. κ comb rcomb I 0(κ 2. combrcomb. ). Ecuación 2-23. I1(κcombrcomb ). Vmod κ mod rcomb M 0(κ mod rcomb ) Vcomb 2 M 1(κ mod rcomb ). Ecuación 2-24. Donde:. K1(κ modrmod ). M 0(κ mod r ) = K 0(κ modr ) +. M 1(κ modr ) = K1(κ mod r ) −. equivalente. •. I1(κ mod rmod ). K1(κ modrmod ) I1(κ modrmod ). I 0(κ modr ). I1(κ modr ). Donde rcomb es el radio de la barra combustible y rmod el radio de la celda En geometría Esfera F=. E=. κ comb 2 rcomb 2 3. tanh (κ comb rcomb ) κ comb rcomb − tanh (κ comb rcomb ). Ecuación 2-25. 2 2  Vmod κ mod rcomb  1 − κ mod rmod tanh (κ mod (rmod − rcomb ))   2 Vcomb 3 1 − κ mod rmod rcomb − κ mod (rmod − rcomb ) tanh (κ mod (rmod − rcomb )). Ecuación 2-26. equivalente.. Donde rcomb es el radio de la esfera combustible y rmod el radio de la celda. Para obtener las secciones eficaces de absorción y fisión efectivas (corregidas) del combustible simplemente multiplicamos las obtenidas por los procesos detallados en las secciones 2.1 y 2.2 por el factor de desventaja térmico y rápido respectivamente como lo indican las siguientes expresiones:. Σ a1eff = Σ a1. Código DIANA. Φ1m Φ1c. Σ f 1eff = Σ f 1. Ignacio Mochi. Φ1m Φ1c 29.

(38) Σ a 2 eff = Σ a 2. Φ2 m Φ2 c. Σ f 2 eff = Σ f 2. Φ2 m Φ2 c. Ahora, utilizando la Ecuación 2-6, homogeneizamos las secciones eficaces del combustible (recién calculadas) con las del moderador para obtener las secciones eficaces homogeneizadas del núcleo. Con estas últimas correcciones finalizamos la generación de constantes para la resolución del sistema difusivo planteado por las ecuaciones 1-1, 1-2, 1-3 y 1-4. Podemos ahora calcular todos los parámetros detallados en el Capítulo 1 sin inconvenientes para cualquier sistema térmico en el cual sea válida la aplicación del método de difusión.. Código DIANA. Ignacio Mochi. 30.


(40) Capítulo 3. Código DIANA. Para llevar a cabo el desarrollo del código de núcleo se eligió el método de programación por objetos utilizando el lenguaje C++ 9. Éste es versátil y poderoso, permitiendo una clara implementación de los objetos y haciendo posible un seguimiento rápido de la estructura de herencia que éstos presentan y la interacción entre los mismos. Como plataforma inicial de desarrollo se utilizó el KDE 2.3 bajo la distribución Debian Sarge de Linux. Aunque se pretende hacerlo independiente del sistema operativo haciendo un pasaje a MS-DOS / MS-Windows en un futuro no muy lejano.. 3.1 Descripción general El código completo consta de una serie de archivos ejecutables que se detallan a continuación:. • • • • • • • • • • • •. diana dianaPlot dianagnuPlot dianagnuPlotCylinder dianagnuPlotCylinderThermal dianagnuPlotCylinderFast dianagnuPlotSphere dianagnuPlotSphereThermal dianagnuPlotSphereFast dianagnuPlotkeff dianagnuPlotCriticalMass dianagnuPlotCriticalRadius. El primero de estos es el programa propiamente dicho, que realiza todos los cálculos requeridos. El resto son comandos para graficar los resultados de la última corrida realizada. Los flujos en el núcleo se grafican en función del radio y la altura analizados para una potencia de 1 Watt con un programa llamado xd3d para el caso de los reactores cilíndricos calculados (dianaPlot). De desearlo se pueden graficar con el programa gnuplot (dianagnuPlotCylinder...). Para el caso de los reactores esféricos se grafican únicamente con el gnuplot dado que no es necesario un soporte 3D. En este caso los flujos dentro y fuera del núcleo son graficados en función del radio analizado. A su vez hay tres archivos para graficar en caso de un análisis variacional. Es decir que si se le instruye al programa que calcule las variables del reactor para distintos parámetros se puede levantar rápidamente una curva de factor de multiplicación efectivo, radio crítico y masa crítica (de un material seleccionado) en función del valor de dicho parámetro. Esta última capacidad del programa permite un primer cálculo de sensibilidad para cualquier geometría analizada. Además de los archivos ejecutables hay una serie de archivos de datos que permiten la correcta operación del mismo y se detallan a continuación:. Código DIANA. Ignacio Mochi. 31.