CALCULO DIFERENCIAL

(1)

MATEMATICA

PURA

Federico Villarreal

Facultad de Educación

Matemática - Física

CALCULO DIFERENCIAL

Toribio Córdova C.

TEMAS:



LÍMITES



CONTINUIDAD



DERIVADAS

(2)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 2

1. Definición de límite.

a)

𝑳𝒊𝒎

_𝒙⟶𝟏 𝐱_𝐱𝟐𝟐−𝟑𝐱+𝟐_{−𝟒𝐱+𝟑}

=

𝟏 𝟐

b)

𝑳𝒊𝒎

𝒙⟶𝟏

√𝐱 + 𝟑 = 𝟐

Resolución

a)

𝑳𝒊𝒎

𝒙⟶𝟏 𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟐 𝒙𝟐_{−𝟒𝒙+𝟑}

=

𝟏 𝟐 ∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ �𝑓(𝑥) −1₂� < 𝜀

Resolución

�𝑓(𝑥) −1₂� < 𝜀 �𝑥_𝑥2₂− 3𝑥 + 2_{− 4𝑥 + 3 −}1_{2� < 𝜺} �2𝑥2− 6𝑥 + 4 − 𝑥_2(𝑥₂ _{− 4𝑥 + 3)}2+ 4𝑥 − 3� < 𝜀 �_2(𝑥𝑥2₂− 2𝑥 + 1_{− 4𝑥 + 3)� < 𝜀} 1 2

�

(𝑥−1)2 (𝑥−1)(𝑥−3)

� < 𝜺

(3)

1

2

|𝑥 − 1| �

1

𝑥−3

� < 𝜀

Acotamos con la asíntota

𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 (Asíntota) �𝑎 – 𝑥𝑜�𝜖 < 0,1] |𝟑 − 𝟏| ∉< 0,1] ⟹ 𝛿1 = 1 −1 < 𝑥 − 1 < 1 0 < 𝑥 < 2 −3 < 𝑥 − 3 < −1

−

1 _{3 >}

_{𝑥 − 3 > −1}

1 �

1 𝑥−3

� = 1

1 2|𝑥 − 1| � 1 𝑥 − 3� < 𝜀 ⟹|𝑥 − 1| < 2𝜖 = 𝛿2

∴ 𝜹

𝒎𝒊𝒏

= {𝟏, 𝟐𝜺}

Rpta

b)

𝑳𝒊𝒎

𝒙⟶𝟏

√

𝒙 + 𝟑 = 𝟐 ∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀

Resolución

|𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀 �√𝑥 + 3 − 2� < 𝜺 � 𝑥 + 3 − 4 √𝑥 + 3 + 2� < 𝜺

(4)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 4 � 𝑥 − 1

√𝑥 + 3 + 2� < 𝜀 |𝑥 − 1| � 1

√𝑥 + 3 + 2� < 𝜺

Acotamos con el dominio 𝑥 + 3 >0 √𝑥 + 3 > 0 √𝑥 + 3 + 2 >2

�

_√𝑥+3+21

� <2

|𝑥 − 1| � 1 √𝑥 + 3 + 2� < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| < 𝜀 2 = 𝛿1

∴ 𝜹

𝒎𝒊𝒏

= {

𝛆_𝟐

}

Rpta

2. Calcular 𝑳𝒊𝒎

_𝒙⟶𝟏

𝒇(𝒙) si existe.

𝟒+∥

𝟏_𝒙

∥ �√𝒙−∥ 𝒙 ∥�+∥ ∥ −

𝟏_𝒙

∥ 𝒙 − 𝟑 ∥ ; 𝒙 < −𝟏

F(x)=

�𝟏 − (𝒙. 𝒔𝒈𝒏(𝒙))

𝟐

₋

𝟏 𝒙 ; 𝒙 ≥ −𝟏 , 𝒙 ≠ 𝟎

Resolución

(5)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 5 4+∥1_𝑥∥ �√𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ −1_𝑥∥ 𝑥 − 3 ∥ ; 𝑥 < −1 F(x)= �1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2₋ 1 𝑥 ; 𝑥 ≥ −1 , 𝑥 ≠ 0 𝑳𝒊𝒎 𝒙⟶−𝟏∃ ⟺ 𝑳𝒊𝒎𝒙⟶−𝟏−= 𝑳𝒊𝒎_{𝒙⟶−𝟏}+ i. 𝐿𝑖𝑚 𝑥⟶−1−4+∥ 1 𝑥∥ �√𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 1 𝑥∥ 𝑥 − 3 ∥ = 4 + (−1) ��𝑥 − (−2)� +∥ 0𝑥 − 3 ∥ = 4 − �√𝑥 + 2� − 3 = 4 − ��(−1) + 2� − 3 = 0 ii. 𝐿𝑖𝑚 𝑥⟶−1+�1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2− 1 𝑥 = �1 − �(−1)(−1)�2− 1 −1 =√0 + 1 = 1 𝑪𝒐𝒎𝒐 𝑳𝒊𝒎_{𝒙⟶−𝟏}₋≠ 𝑳𝒊𝒎 𝒙⟶−𝟏+

∴ 𝑳𝒊𝒎

_{𝒙⟶−𝟏}

= ∄

Rpta

𝒙 < −1 ∥ 𝒙 ∥ = −𝟐 ∥𝟏_{𝒙 ∥= −𝟏} ∥ −𝟏_{𝒙 ∥= 𝟎} ∴ 𝑺𝒈𝒏(𝒙) = −𝟏 𝑺𝒈𝒏(𝒙) < 0

(6)

3. Calcular :

𝑳𝒊𝒎

𝒙→−𝟏

√𝟓 + 𝒙 + √𝟐𝟔 − 𝒙

𝟑

+ √𝟏𝟓 − 𝒙

𝟒

+ √𝒙 + 𝟏

𝟒

_{− 𝟕}

√𝒙 + 𝟏𝟎√𝒙 + 𝟏

𝟒

+ √𝒙 + 𝟏 − 𝟑

𝑳𝒊𝒎 𝒙→−𝟏 √𝟓 + 𝒙 + √𝟐𝟔 − 𝒙𝟑 + √𝟏𝟓 − 𝒙𝟒 + √𝒙 + 𝟏𝟒 _{− 𝟕} √𝒙 + 𝟏𝟎√𝒙 + 𝟏𝟒 + √𝒙 + 𝟏 − 𝟑

Resolución

=�5+𝑥− 2+�26−𝑥 3 ₋₃₊4_�_15−𝑥₋₂₊4_�_𝑥+1₋₇₋₇ �_𝑥+10₋₃4�_𝑥+1₊�_𝑥+1−3₊₃ =�5+𝑥− 2+�26−𝑥 3 ₋₃₊4_�_15−𝑥₋₂₊4_�_𝑥+1₋₇₋₇ �_𝑥+10₋₃4�_𝑥+1₊�_𝑥+1−3₊₃

=

5+𝑥− 4 √5+𝑥+ 2

+

26−𝑥−27 � √26−𝑥3 2�+� √26−𝑥3 �(3)+(32₎

+

15−𝑥−16 � √15−𝑥4 2�+� √15−𝑥4 �(2)+(22₎

+ √𝑥 + 1

4 𝑥+10−9 √𝑥+10+3

+ √𝑥 + 1

4

+ √𝑥 + 1

= 𝑥+1 4

+

−(𝑥+1)27

+

−(𝑥+1)12 𝑥+1 6

=

27(𝑥+1)−4(𝑥+1)−9(𝑥+1)108 𝑥+1 6 Racionalización (𝒂𝒏_{− 𝒃}𝒏_{) = (𝒂 − 𝒃)(𝒂}𝒏−𝟏_+𝒂𝒏−𝟐_{𝒃 + 𝒂}𝒏−𝟑_𝒃𝟐_{+ … + 𝒃}𝒏−𝟏₎

(7)

=

14(𝑥+1) 108 𝑥+1 6

=

14(𝑥+1) 18(𝑥+1)

=

7 9

∴ 𝑳𝒊𝒎

𝒙→−𝟏 √𝟓+𝒙+ √𝟐𝟔−𝒙𝟑 + √𝟏𝟓−𝒙𝟒 + √𝒙+𝟏𝟒 −𝟕 √𝒙+𝟏𝟎 √𝒙+𝟏𝟒 +√𝒙+𝟏−𝟑

=

𝟕 𝟗

Rpta

4. Calcular:

a)

_𝑳𝒊𝒎

𝒙→𝝅∕𝟒

𝒕𝒈 (𝒙−𝝅_𝟒) 𝒙−𝝅_𝟒

b) 𝑳𝒊𝒎

_𝒙→𝟎

𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙)−𝒄𝒐𝒔( 𝒎𝒙)_𝒙_𝟐

, 𝒎 > 𝒐

Resolución

a)

𝐿𝑖𝑚

𝑥→𝜋∕4

𝑡𝑔 (𝑥−𝜋₄) 𝑥−𝜋₄

𝑥 −

𝜋₄

= 𝑢

⟹ 𝑥 = 𝑢 +

𝜋 4 . Si

𝑥 →

𝜋 4 , entonces

𝑢 → 0

𝐿𝑖𝑚

𝑢→0

𝑡𝑔 (𝑢 +

𝜋₄

−

𝜋₄

)

𝑢 +

𝜋₄

−

𝜋₄

∴ 𝐿𝑖𝑚

_𝑢→0

𝑡𝑔 (𝑢)_𝑢

= 1

Rpta

(8)

b)

𝐿𝑖𝑚

𝑥→0

cos(𝑛𝑥)−cos( 𝑚𝑥) 𝑥2

; 𝑚 > 𝑜

𝐿𝑖𝑚

𝑥→0

−2𝑠𝑒𝑛 �

𝑛𝑥+𝑚𝑥₂

� 𝑠𝑒𝑛 �

𝑛𝑥−𝑚𝑥₂

�

𝑥

2

𝐿𝑖𝑚

𝑥→0

2𝑠𝑒𝑛 �

𝑛𝑥+𝑚𝑥₂

� 𝑠𝑒𝑛 �

𝑚𝑥−𝑛𝑥₂

�

𝑥

2

𝐿𝑖𝑚

_𝑥→0

2𝑥(𝑚+𝑛)₂ 𝑠𝑒𝑛 𝑥�𝑚+𝑛₂ � 𝑥(𝑚+𝑛) 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 �𝑚−𝑛₂ �𝑥(𝑚−𝑛)₂ 𝑥(𝑚−𝑛) 2

𝑥

2

𝐿𝑖𝑚

_𝑥→0

2𝑥 �

𝑚+𝑛 2

� 𝑥 �

𝑚−𝑛 2

�

𝑥

2

∴ 𝑳𝒊𝒎

_𝒙→𝟎

𝒎𝟐_𝟐−𝒏𝟐

=

𝒎𝟐_𝟐−𝒏𝟐

Rpta

Propiedad

(9)

5. Usando límites calcule:

𝑳𝒊𝒎

𝜶→𝝅_𝟐

𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸

𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪

Resolución

Se pide: 2 Area lim Area BTQ L PBC π α→ ∆ = ∆ ………(1) Q P C T S B

α

N M 1 θ θ θ θ 1 1 secθ 45º−θ/2 tgθ cosθ cosθ cosθ 2 2 ₁ x +y = θ 1 O cos tg(45ºθ⋅ −θ/2)

(10)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 10 De la figura:

Cálculo de las áreas

Area 2 BQ TM BTQ= ⋅ ∗ ∆ ……….(2) Area 2 PC NB PBC= ⋅ ∗ ∆ ……….(3)

Se observa: 1 csc ; cos ; tg ; cos tg 45º 2 BQ= + θ TM= θ PC= θ NB= θ⋅  −θ

 

Reemplazando en (2) y (3):

(1 csc ) cos (1 sen ) cos Area 2 2sen BTQ + θ ⋅ θ + θ ⋅ θ ∆ = = ∗ θ 90º tg cos tg 45º tg cos tg 2 2 Area 2 2 PBC θ −θ     θ⋅ θ⋅  −  θ⋅ θ⋅    ₌  ∗ ∆ =  1 cos(90º ) tg cos tg cos (1 sen ) sen(90º ) Area 2 2cos PBC − −θ   θ⋅ _θ⋅ _ θ⋅ θ⋅ − θ −θ   ∆ = = θ Sustituyendo en (1): 2 2 (1 sen ) cos Area 2 lim lim Area BTQ L PBC π π α→ α→ + θ ⋅ θ ∆ = = ∆ sen tg cos θ θ⋅ θ (1 sen ) 2 ⋅ − θ cosθ 2 (1 sen ) cos sen lim sen (1 sen ) cos π α→ + θ ⋅ θ θ = _θ ⋅ − θ θ 2 2 2 2 2 2 2

(1 sen ) (1 sen ) (1 sen ) (1 sen ) cos (1 sen ) (1 sen )

lim lim lim

(1 sen )sen (1 sen )sen L π π π α→ α→ α→ + θ ⋅ + θ − θ + θ ⋅ θ + θ ⋅ − θ = = = − θ θ − θ θ (1 sen )− θ _{sen θ}2 2 2 2 (1 sen ) lim sen L π α→ + θ = θ Pero: θ=180º−α Entonces: [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 2 1 sen 1 sen(180º ) 1 sen ₂ 1 1 lim lim 2 4

sen (180º ) sen _sen 1 2 L _π _π α→ α→ π  ₊    + −α + α _ _ + = = = _π = = = −α α

∴ 𝑳𝒊𝒎

𝜶→𝝅_𝟐

𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸

𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪

= 𝟒

Rpta

(11)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 11 Racionalización (𝒂𝒏_−𝒃𝒏₎ (𝒂𝒏−𝟏_+𝒂𝒏−𝟐_{𝒃+⋯+𝒂𝒃}𝒏−𝟐_+𝒃𝒏−𝟏₎= (a-b) Factor Racionalizante

6. Calcular:

𝑳𝒊𝒎

𝒙→∞

��

𝒙𝟕−𝒙𝟓 𝒙𝟐_+𝟏 𝟓

− 𝒙�; si existe

= Lim_𝑥→∞ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x7−x5 x2+1 − x5 ��x_x72−x₊₁5 5 � 4 + ��x_x72−x₊₁5 5 � 3 𝑥+ ��x_x72−x₊₁5 5 � 2 𝑥2_{+ ��}x7−x5 x2₊₁ 5 � 𝑥3_{+ 𝑥}4 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫

Resolución

𝐿𝑖𝑚

𝑥→∞

��

𝑥

7

_{− 𝑥}

5

𝑥

2

_{+ 1}

5

− 𝑥�

= Lim

𝑥→∞

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

_��

x7_−x5 x2₊₁ 5

�

5

− (𝑥)

5

��

5 x_x7₂−x₊₁5

�

4 +

��

x7−x5 x2₊₁ 5

�

3 𝑥+

��

x7−x5 x2₊₁ 5

�

2 𝑥2 ₊

��

x7−x5 x2₊₁ 5

�

𝑥3 _{+ 𝑥}4

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

= 𝐿𝑖𝑚 𝑥→∞ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑥7−𝑥5−𝑥5(𝑥2+1) 𝑥2₊₁ ��5 𝑥_𝑥7₂−𝑥₊₁5� 4 + ��5 𝑥_𝑥7₂−𝑥₊₁5� 3 𝑥+ ��5 𝑥_𝑥7₂−𝑥₊₁5� 2 𝑥2_{+ ��}𝑥7−𝑥5 𝑥2₊₁ 5 � 𝑥3_{+ 𝑥}4 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ = 𝐿𝑖𝑚_𝑥→∞ 𝑥7− 𝑥5− 𝑥7 − 𝑥5 (𝑥2_{+ 1) ��}𝑥7−𝑥5 𝑥2₊₁ 5 � 4 + ��𝑥_𝑥72−𝑥₊₁5 5 � 3 𝑥+ ��𝑥_𝑥72−𝑥₊₁5 5 � 2 𝑥2_{+ ��}𝑥7−𝑥5 𝑥2₊₁ 5 � 𝑥3_{+ 𝑥}4_� 𝑨 ∞ = 𝟎 Recordar A ∃ 𝑅

(12)

= 𝐿𝑖𝑚

_𝑥→∞ −2𝑥5 𝑥5 (𝑥2₊₁₎ 𝑥1 �� 5 𝑥7−𝑥5_𝑥2+1� 4 +� �5 𝑥7−𝑥5_𝑥2+1� 3 𝑥+� �5 𝑥7−𝑥5_𝑥2+1� 2 𝑥2+ � �5 𝑥7−𝑥5_𝑥2+1�𝑥3+𝑥4� 𝑥4 = 𝐿𝑖𝑚 𝑥→∞ −2𝑥5 𝑥5 �𝑥_𝑥21+_𝑥11� ⎩ ⎨ ⎧ �� 𝑥7−𝑥5 𝑥2+1 𝑥5 5 � 4 + �� 𝑥7−𝑥5 𝑥2+1 𝑥5 5 � 3 𝑥 𝑥+ �� 𝑥7−𝑥5 𝑥2+1 𝑥5 5 � 2 𝑥2 𝑥2+ �� 𝑥7−𝑥5 𝑥2+1 𝑥5 5 �𝑥_𝑥33+𝑥 4 𝑥4 ⎭ ⎬ ⎫ = 𝐿𝑖𝑚_𝑥→∞ −2𝑥5 𝑥5 �𝑥_𝑥21+ 1 𝑥1� �� 𝑥7_−𝑥5 𝑥7_+𝑥5 5 � 4 + ��𝑥_𝑥77−𝑥_+𝑥55 5 � 3 𝑥 𝑥+ �� 𝑥7_−𝑥5 𝑥7_+𝑥5 5 � 2 𝑥2 𝑥2+ �� 𝑥7_−𝑥5 𝑥7_+𝑥5 5 �𝑥_𝑥33+ 𝑥4 𝑥4�

= 𝐿𝑖𝑚

𝑥→∞

−2

�𝑥 +

1_𝑥

� ��

𝑥7𝑥7−𝑥5𝑥7 𝑥7 𝑥7+ 𝑥5 𝑥7 5

�

4

+ ��

𝑥7𝑥7−𝑥5𝑥7 𝑥7 𝑥7+ 𝑥5 𝑥7 5

�

3

+ ��

𝑥7𝑥7−𝑥5𝑥7 𝑥7 𝑥7+ 𝑥5 𝑥7 5

�

2

+ ��

𝑥7𝑥7−𝑥5𝑥7 𝑥7 𝑥7+ 𝑥5 𝑥7 5

� + 1�

= 𝐿𝑖𝑚

𝑥→∞

−2

(𝑥)(5)

=

−2

_{5 𝐿𝑖𝑚}

𝑥→∞

1 𝑥 = 0

∴ 𝑳𝒊𝒎

_𝒙→∞

��

𝟓 𝒙_𝒙𝟕_𝟐−𝒙_+𝟏𝟓

− 𝒙� = 𝟎

Rpta

(13)

7. Usando la definición, probar que:

𝑳𝒊𝒎

_𝒙→𝟐

_{(𝒙 − 𝟐)}

𝟏 − 𝒙

_𝟐

= −∞

Se tiene que:

Resolución

{ }

Dom ( )f x = −¡ 2 ⇒ x=2es un punto de acumulación del dominio.

La definición del límite de 2

1 ( ) ( 2) x f x x − =

− cuando f(x) tiende a −∞, si x tiende a 2 es:

2 2 1 lim 0, 0/ Dom ( ) 0 2 ( ) ( 2) x x x f x si x f x M x → − _{=−∞ ⇔ ∀ε > ∃δ>} _∈ _∧ _{< − <δ ⇒} _<− − 2 1 ( ) ( 2) x f x M x − ⇒ = <− − ………..….(1) 1 1 1 1 1 3 Si 0 2 2 1 2 2 2 2 2 x x x < − <δ = ⇒ − < − < ⇒ < − <

Como: ₍_x₋₂₎2_>_{0; siendo}_x_{≠ ⇒}₂ _{multiplicamos la expresión anterior por:} 2 1 (x −2) 2 2 2 1 1 3 2( 2) ( 2) 2( 2) x x x x − ⇒ < < − − − 2 2 2 3 1 1 2( 2) ( 2) 2( 2) x x x x − ⇒ − < <− − − − ………...(2) De las ecuaciones (1) y (2): 2 2 1 1 2(x 2) M 2(x 2) M ⇒ − <− ⇒ > − − 2 1 2 1 1 2( 2) ( 2) 2 2 2 x x x M M M ⇒ − < ⇒ − < ⇒ − < 1 Si 0 2 se toma: 2 x M < − <δ δ=

(14)

∴ 𝜹 = {𝜹

𝟏

; 𝜹

𝟐

} = 𝒎í𝒏 �

𝟏_𝟐

; �

_𝟐𝑴𝟏

�

Rpta

8. Calcular:

𝑳𝒊𝒎

𝒙→𝟎

(𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙) + 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − (𝒔𝒊𝒏 𝒙)

𝟐

_{+ 𝟎. 𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙}

𝒙

𝟑

_{(𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙)}

Sea

Resolución

− + − + = − + 2 3

tg 2sen sen tg sen 0 5sen2 1 sen cos x x x x x x f x x x x ( ) . , ( ) ( ) Reduciendo la función:  ₋ ₊ ₋ ₊ _×     = − + 2 3 1 sen

sen 2 sen sen 0 5 2sen cos

cos cos 1 sen cos x x x x x x x x f x x x x . , . ( ) ( )  _{− +} ₋ ₊      = − + 3 1 sen

sen 2 sen cos

cos cos 1 sen cos x x x x x x f x x x x ( ) ( )  _{− +} _{− −} ₊      = − + 3 1 sen

sen 1 1 sen cos

cos cos 1 sen cos x x _x _x x x f x x x x ( ) ( )  ₋ ₊ _{− −} ₊      = − + 3 1 cos sen

sen _cos _cos _cos 1 sen cos 1 sen cos x x x _x _x _x x x f x x x x ( ) ( ) − +  _{− −} ₊      = − + 3 1 cos sen

sen _cos 1 cos sen

1 cos sen x x x _x x x f x x x x ( ) ( ) ( ) − +

= sen 1 cosx x senx

f x( ) ( )  ₋      − + 3 1 ₁ cos 1 cos sen x x ( x x)

(15)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 15 ( ) −   ₋ _⋅           = = = 2 3 3 3 1 cos sen

sen _{1 cos} tg 2sen

cos cos 2 x x x x _x _x x x f x x x x ( )                   = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅             2 2 2 2 2 2

sen sen sen

tg 2 tg 2 1 tg 2 2 2 2 4 2 2 x x x x x x f x x x x x x x ( ) Reemplazando en el límite:             = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅             2 2 2 2 x→0 x→0 x→0 x→0 sen sen 1 tg 2 1 tg 2 1

lim lim lim lim 1 1

2 2 2 2 2 x x x x f x x _x x _x ( )

∴ 𝑳𝒊𝒎

𝒙→𝟎

𝒇(𝒙) =

𝟏 𝟐

Rpta

9. Sea f la función definida por:

𝐟(𝐱) = |𝐱 + 𝟓| +

_{|𝐱| − 𝟒}

𝟓 Bosqueje el gráfico de

f

mostrando sus asíntotas.

Resolución

El dominio de la función f(x) será:

{

} {

}

{ } = ∈¡ − ≠4 0 = ∈¡ ≠4 = ∈¡ ≠4 ∨ ≠ −4 ( ) / / / Domf x x x x x x x x Redefiniendo la función: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −5, 𝑥 = 0 (𝑥 ≠ 0) Se tienen 3 intervalos:

(16)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 16 < − ⇒ = − ∗ x 5 x+5 (x+5 x) ∧ = −x ⇒ = − + + < − − − 1( ) ( 5) 5 ₄ ; 5 f x x x x − ≤ < ⇒ = ∧ − ∗ 5 x 0 x+5 x+5 x = x ⇒ = + − − ≤ < ≠ − + 2( ) 5 5₄; 5 0 , 4 f x x x x x > ⇒ = + ∧ = ∗ x 0 x+5 x 5 x x ⇒ = + + ≥ ≠ − 3( ) 5 5₄; 0 , 4 f x x x x x Luego:  ₋ _{+ +}  _{< −}     +    = + − − ≤ < ≠ − +   + + ≥ ≠  − 5 5 5 4 5 5 5 0 , 4 4 5 5 0 4 4 ; ( ) ; ; , x x x f x x x x x x _x x x Asíntotas verticales

Las posibles asíntotas verticales de la gráfica de f(x) serán en los puntos de acumulación del dominio (𝑥 = ±4).

: − − − →− →−   = _ + − _= − + − = + ∞ = +∞  + ∗  4 4 5 5 5 4 5 1 4 0 lim ( ) lim x f x x x x + + + →− →−   = _ + − _= − + − = − ∞ = −∞  + ∗  4 4 5 5 5 4 5 1 4 0 lim ( ) lim x f x x x x

∴ 𝒙 = −𝟒 es una Asíntota Vertical

− − − → →   = _ + + = + + = − ∞ = −∞ ∗ _  −  4 4 5 5 5 4 5 9 4 0 lim ( ) lim x f x x x x + + + → →   = _ + + = + + = + ∞ = +∞ ∗ _  −  4 4 5 5 5 4 5 9 4 0 lim ( ) lim x f x x x x

(17)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 17 Asíntotas horizontales →+∞ →+∞   = + + = +∞ + = +∞ ∉ ∗ _ 5 5_{− } 0 ¡ 4 lim ( ) lim x f x x x x : ( ) →−∞ →−∞   = − + + = − −∞ + = +∞ ∗ _ 5 5_{+ } 0 ∉¡ 4 lim ( ) lim x f x x x x

∴ No tiene Asíntota Horizontal

Asíntotas oblicuas  _A.O.D: : 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 →+∞ →+∞ →+∞ + +   − = = = _ + + _= −   5 5 ₅ ₅ 4 ₁ ₁ 4 ( )

lim lim lim

( ) x x x x f x _x m x x x x x →+∞ →+∞ →+∞     = _ − _= _ + + − _= _ + _= − −     5 5 5 5 5 4 4

lim ( ) lim lim

x x x b f x mx x x x x = + ∴ y x 5  _A.O.I: →−∞ →−∞ →−∞   −_ + + _{+ } _ _ = = = − _ + + _= − +   5 5 ₅ ₅ 4 ₁ ₁ 4 ( )

lim lim lim

( ) x x x x f x x m x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞        

=_xlim ( ) − =_xlim _−_ + +5 _{+ }5₄+ _=_xlim _− − −5 5₊₄+ _=_xlim _− −5 5₋₄_= −5

b f x mx x x x x

x x x

=

∴ y − −x 5 Gráfico:

(18)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 18 -5 y x 5 X=-4 X=4

10. Dada la función definida por:

𝑺𝒈𝒏(𝒙

𝟐

_{− 𝟖) − 𝟑; 𝒙 ≤ −𝟑}

𝒇(𝒙) = 𝒙 �

𝒙

_{𝟑� + 𝟓𝒔𝒈𝒏}

(𝒙 − 𝟓); −𝟑 < 𝑥 < 𝟎

𝒙 − 𝟑

𝒙

𝟐

_{− 𝒙 − 𝟔 ; 𝒙 ≥ 𝟎}

Determinar los puntos de discontinuidad. Determinar el

tipo de discontinuidad y si es posible redefinir la función

para evitar la discontinuidad.

Redefiniendo la función f(x). Para ello hallaremos:

Resolución

≤ − ⇒ ≥ ⇒

∗_Si:_x ₃ _x2 ₉ _x2− ≥ >_{8 1 0}⇒_sgn₍_x2− =_{8 1}₎

(19)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 19 − < < ⇒ − < − < − ⇒ − = − ∗ Si: 3 x 0 8 x 5 5 sgn(x 5) 1 − ₌ − ₌ _≥ _≠ − + + − − ∗ ₂ 3 3 1 0 3 3 2 2 6 ( )( ) ; , x x _x _x x x x x x Luego:   − ≤ −  = − + − − < <   ≥  + 1 3 3 1 5 1 3 0 1 0 2 ; ( ) ( ) ( ) ; ; x f x x x x x  − ≤ −  ⇔ = − − − < <   ≥ ≠  + 2 3 5 3 0 1 0 3 2 ; ( ) ; ; , x f x x x x x x Graficando f(x): -2 -5 1/2 y x -3 -2 3

Se observa que la función es discontinua en x=0. El

tipo de discontinuidad es inevitable. Lo que me indica

que no es posible redefinir la función para hacerla

continua en dicho punto.

(20)

11. Resolver:

a) Sea 𝒇(𝒙) =

�𝟔+ √𝒙𝟔

𝟑

−𝟐

𝒙−𝟔𝟒

; 𝒙 ≠ 𝟔𝟒; ¿Cómo debe ser definida

f(64), de modo que la función sea continua en x= 64?

b) Un automóvil viaja de noche por una carretera en

forma de parábola con vértice en el origen, el

vehículo parte de un punto a 100 m al oeste y a 100

m al norte del origen y viaja en dirección general

hacia el este. Hay una estatua a 100 m al este y 50

m al norte de origen ¿en qué punto de la carretera

los faros del automóvil la iluminaria?

Resolución

a) Debemos redefinir la función en x=64 a fin de hacerla continua en dicho punto. Aplicamos límite de una función cuando x tiende a 64:

→ → + − = = − 3 6 64 64 6 2 0 64 0 lim ( ) lim x x x f x x (Forma indeterminada) Levantando la indeterminación: → → → + + + + + − + − = = ⋅ − − ₊ ₊ ₊ ₊ 2 3 2 3 6 3 6 3 6 6 2 3 2 64 64 64 3 6 6 6 6 2 2 6 2 6 2 64 64 ₆ ₆ _{2 2} ( ) .

lim ( ) lim lim

( ) . x x x x x x x f x x x _x _x → → + − = ⋅ − ₊ ₊ ₊ ₊ 6 2 3 64 64 3 6 6 6 8 1 64 ₆ _{2 6} ₄ lim ( ) lim ( ) x x x f x x _x _x

(21)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 21 → → − + ⋅ + ⋅ + + = ⋅ ⋅ − ₊ _{⋅ +} _{⋅ + +} + + + + 6 6 5 6 4 3 2 5 6 6 6 5 6 4 3 2 5 2 3 64 643 6 6 1 2 2 2 2 64 ₂ ₂ ₂ 6 2 6 4 ... lim ( ) lim ... ( ) x x x x x x f x x _x _x _x x x → → − = ⋅ + 2 + 3 + + 64 643 6 6 1 64 6 2 6 4 lim ( ) lim ( ) x x x f x x x x−64 ⋅6 5 +6 4 ⋅ +6 3⋅ + +2 5 1 2 2 ... 2 x x x →64 = 3 ₊ 2 ₊ 3 _{+ +} ⋅ ⋅ 5 = ⋅ ⋅ ⋅ 5 1 1 1 1 3 4 6 2 6 2 6 2 2 6 2 4 lim ( ) ( ) x

f x

→64 = 1 2304 lim ( ) x

f x

La función redefinida será:

 ₊ ₋  ≠  ₋ =   ₌  3₆ 6 2 64 64 1 64 2304 ; ( ) ; x _x x f x x

Rpta

b) Graficando: y x 100 100 Partida Estatua 50 P(a,b) N S O E -100

Ecuación general de la parábola con vértice en el origen:

=

2

y ax

... (1)

(22)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 22 ⇒ = 1 2

100

y x _{... (2)}

Hallando la ecuación de la recta LT de la iluminación en el punto P:

Para ello consideramos el punto de paso (100; 50): (de la estatua) −50= ( −100)

y m x

⇒ y mx= +50 100− m... (3) Cálculo de la pendiente “m” con la ecuación de la parábola:

= = 2 ⇒ = 1 100 50 m y¢ x m x Reemplazando en (3): ⇒ = 1 2 −₂ +₅₀ 50 y x x ...(4)

Igualando las ecuaciones (2) y (4):

= − + 2 2 1 1 ₂ ₅₀ 100x 50x x = 2− + 0 x 200x 5000 Resolviendo: =200± 2002−4 1 5000 =200 100 2± 2 2 ( )( ) x =_{100 50 2}± ⇒ ₁=_{100 50 2}− ∨ ₂ =_{100 50 2}+ x x x En la ecuación (2): ⇒ y =₁₀₀1 (100 50 2− )2 =(10 5 2− )2 =150 100 2− Finalmente el punto P pedido es:

(23)

12. Hallar c y d para que f(x) sea continua:

(

)

− −   _{+ −} ₋ ₊     < −    _ ₋ ₊ ₋ ₋ _  = _ = −  − − −  > −  − − −  3 2 2 2 3 1 2 5 3 8 24 2 ₁ 7 5 4 1 31 6 8 1 26 5 8 ; ( ) ; ; x x x c x x x f x cd x d x x x x x Sea

Resolución

3 2 2 2 5 1( ) ₃ 8 24₂ 2 ; 1 2( ) ₃( 31 6 8) ; 1 26 5 8 7 5 4 x x x d x x f x c x f x x x x x x −  _{+ −} ₋ ₊  _{− −} ₋   = _ _ <− ∧ = >− − − − − + − −  

La función f(x) será continua en x = − ⇔0 1 se cumplen las tres condiciones siguientes:

i) _{∃ − =}_f_{( 1)} _cd−1 ii) ₁ ₂ 2 3 2 2 5₃ 2 3 1 1 1 1 8 24 2 ( 31 6 8)

lim ( ) lim ( ) lim lim

26 5 8 7 5 4 x x x x x x x d x x f x f x c x x x x − + − + − →− →− →− →−  _{+ −} ₋ ₊  _{− −} ₋   = ⇔ =  _{− +} ₋ ₋  _{− −} ₋   3 3 2 2 2 2 1 ₃ ₂ ₃ ₂ 1 1 1 8 24 2 ( 8 3) ( 24 2 3)

lim ( ) lim lim

7 5 4 ( 7 2) ( 5 2) x x x x x x x x x f x c c x x x x − − − →− →− →−  _{+ −} ₋ ₊  _{+ − −} ₋ _{+ −}   = _ _= − + − − − − + − −  ∗ 

Multiplicando cada término por sus factores racionalizantes:

3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 ₃ ₂ ₃ ₂ ₂ 1 1 2 3 2 3 2 2 3 8 3 ( 24 2) 3 24 2 3 ( 8 3) ( 24 2 3) 8 3 ( 24 2) 3 24 2 3 lim ( ) lim (7 ) 2 7 2 5 2 ( 7 2) ( 5 2) (7 ) 2 7 2 5 2 x x x x x x x x x x x x x x x f x c x x x x x x x x − − →− →− + + − + + − + + + − ⋅ − − + − ⋅ + + − + + − + + = − + − + − + − − ⋅ + − − ⋅ − + − + − + [ ] 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 2 2 3 8 9 24 2 27 8 3 ( 24 2) 3 24 2 3 lim ( ) lim 7 8 5 4 (7 ) 2 7 2 5 2 x x x x x x x x x x f x c x x x x x − − →− →− + − ₋ − + − + + − + + − + + = − − ₊ − − − + − + − +

(24)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 24 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 1 2 3 2 3 1 24 25 8 3 ( 24 2) 3 24 2 9 lim ( ) lim ( 1) ( 1) (7 ) 2 7 4 5 2 x x x x x x x x x x f x c x x x x x − − →− →− − ₋ − − + + − + + − + + = − + − − + − + − + − + 1 1 1 ( 1) lim ( ) lim x x x f x c − − →− →− + = 2 ( 1) ( 1) 8 3 x x x − + − + + 3 2 2 3 2 ( 25) ( 24 2) 3 24 2 9 ( 1) x x x x x x − − + + − + + − + 2 3 3 ( 1) (7 ) 2 7 4 x x x + − − + − + 2 ( 1) 5 2 x x − − + 3 2 3 2 2 2 1 1 1 2 3 2 3 1 25 8 3 ( 24 2) 3 24 2 9 lim ( ) lim ₁ ₁ (7 ) 2 7 4 5 2 x x x x x x x x x f x c _x x x x − − →− →− − ₋ − + + − + + − + + = ₋ ₋ − − + − + − + Evaluando el límite: 1 1 2 26 1 26 17 68 6 3(9) 3 27 27 lim ( ) 1 2 1 1 5 45 3(4) 2(2) 12 2 12 x_→−−f x c c c c − ₋− − + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = − ₋ − ₋ ₊ 5 5 2 2 2 ₃ ₃ 1 1 1 31 6 8 ( 31 2) 6( 1) lim ( ) lim lim

26 5 8 ( 26 3) 5( 1) x x x x x x x f x d d x x x x + + + − − →− →− →− − − − − − − + = = − − − − − − + ∗

Multiplicando por sus factores racionalizantes:

4 3 4 5 5 5 4 3 4 5 5 2 2 ₃ ₂ ₃ ₂ 1 1 3 2 2 3 3 (31 ) (31 ) .2 ... 2 ( 31 2) 6( 1) (31 ) (31 ) .2 ... 2 lim ( ) lim (26 ) 3 26 3 ( 26 3) 5( 1) (26 ) 3 26 3 x x x x x x x x f x d x x x x x x + + − →− →− − + − + + − − ⋅ − + − + − + + = − + − + − − ⋅ − + − + − + 4 3 4 5 5 2 2 1 1 2 2 3 3 31 32 6( 1) (31 ) (31 ) .2 ... 2 lim ( ) lim 26 27 ₅₍ ₁₎ (26 ) 3 26 3 x x x _x x x f x d x _x x x + + − →− →− − − ₋ ₊ − + − + + = _{− −} − + − + − +

(25)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 25 2 2 1 1 ( 1) lim ( ) lim x x x f x d + + − →− →− − + = 5 4 5 3 4 6 ( 1) (31 )−x + (31 ) .2 ... 2−x + + − x+ (x 1) − + 2 2 3₍₂₆₋_x₎ ₊_{3 26}3 _{− +}_x ₃ −5 (x+1) 4 3 4 5 5 2 2 1 1 2 2 3 3 1 6 (31 ) (31 ) .2 ... 2 lim ( ) lim ₁ 5 (26 ) 3 26 3 x x x x f x d x x + + − →− →− − ₋ − + − + + = ₋ − − + − + Evaluando el límite: 4 2 2 2 2 2 1 2 1 ₆ 1 ₆ 481 481 27 5 2 80 80 lim ( ) 1 ₅ 1 ₅ 136 80 136 27 27 3 3 x +f x d d d d − − − − →− − − − − _× ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − ₋ ₋ ₋ × ⋅ 2 1 2 1 1 1 68 481 27 lim ( ) lim ( ) lim ( )

45 80 136 x f x x −f x x +f x c d − →− →− →− × ⇒ = = ⇒ = ⋅ × iii) 1 2 1 1 68 481 27 lim ( ) 45 80 136 x f x cd c d cd − − − →− × = ⇒ = ⋅ = × Igualando: 68 45c ∗ =c 1 45 68 d− ⇒ d=

Rpta

∗ 𝑐𝑑

−1

_{= 𝑑}

−2

_.

481𝑥27 80𝑥136

⟹ 𝑐 =

1 𝑑

.

481𝑥27 80𝑥136

⟹ 𝑐 =

68 45

.

481𝑥27 80𝑥136

∴ 𝒄 =

𝟏𝟒𝟒𝟑_𝟖𝟎𝟎

Rpta

(26)

13. Halle el área de la región comprendida por la recta

tangente normal a la curva cuya ecuación es 𝒙

𝟐

_{+ 𝒙𝒚 +}

𝒚

𝟐

_{= 𝟕 en el punto (1;2) y la asíntota oblicua derecha a}

la gráfica de la función:

𝒇(𝒙) =

𝟐𝒙

_𝒙

𝟑_𝟐

+ 𝟑𝒙 + 𝟏

_{− 𝒙 − 𝟔 +}

�𝒙

𝟐

_{+ 𝟔}

Sean LT y LN rectas tangente y normal respectivamente a la curva

Resolución

2 2 ₇ x + + =xy y _{en el} punto (1;2). Entones: : 2 ( 1) 2 T L y− =m x− ⇒ y mx= + −m ……….. (1) 1 1 1 : 2 ( 1) 2 N L y x y x m m m − =− − ⇒ =− + + ……….. (2) Calculando “m”:

Derivando implícitamente la ecuación de la curva _x2_{+ + =}_{xy y}2 ₇

2x y xy+ + ¢+2yy¢=0 ⇒ (x+2 )y y¢= - (2x y+ ) 2 2 x y y m x y + ⇒ + ¢= = -En (1,2) la pendiente m será: m _{1 2(2)}2(1) 2+ =−4₅ + =

-Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2):

4 14 5 3

: :

5 5 4 4

T N

L y=− x+ ∧ L y= x+

(27)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 27 3 2 2 2 3 1 ( ) 6 6 x x f x x x x + + = + + − −

Sea la ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x): y ax b= + ………….(3) Hallando “a” y “b”: 3 2 3 2 2 2 2 3 1 ₆ ( ) ₆ 2 3 1 6

lim lim lim

( 6) x x x x x _x f x _x _x x x x a x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + + ₊ ₊ + + + − − ₌ ₊ − − ∗ = = 3 lim x x a →+∞ = 2 3 3 3 1 2 x x x  ₊ ₊      2 1 6 1 x x x +  _{− −}      2 6 1 x x + ₂ ₃ 2 2 3 1 2 ₆ lim _{1 6} 1 1 x x x x x x →+∞ + + = + + − − Evaluando: 2 0 0 _{1 0} ₃ 1 0 0 a= + + + + ⇒ =a − − [ ] 3 2 2 2 3 1 lim ( ) lim 6 3 6 x x x x b f x ax x x x x →+∞ →+∞  + +  = − = + + − − ∗ _ _ −  

(

)

(

)

3 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 3 1 2 15 1 6 lim 2 6 lim 6 6 6 ₆ x x x x x x x x b x x x x x x x x x _x _x →+∞ →+∞    + +   + + + + =  − + + − =  + + − ⋅  − − − −      + +  2 2 2 2 2 ₂ 2 15 1 6 lim lim 6 ₆ x x x x x x x b x x _x _x →+∞ →+∞  + + + −  = _ + _= − − _{+ +}   2 2 15 1 2 x x x  ₊ ₊      2 ₂ 6 1 6 ₆ 1 _x ₁ ₁ x x _x     +        _ _{− −} _ ₊ ₊     _ _ _ _  

Evaluando el límite se obtiene: 2 6 2 0 2

1 2

b= + = + ⇒ =b ∞⋅

En la ecuación (3): y=3x+2 (Ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x)) Con las rectas obtenidas, determinamos sus puntos de intersección:

4 14 5 3 : : A.O.D: 3 2 5 5 4 4 T N L y=− x+ ∧ L y= x+ ∧ y= +x Resolviendo se obtienen: (1;2), ;4 50 , ;5 1 19 19 7 7   _{− −}      _ _  

(28)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 28 B (1;2) 4 50_; 19 19       5 1_; 7 7 _{− −}      T L N L . . . A O D C A f x( ) y x

Finalmente el área sombreada:

2 AB AC Area= ⋅ ………(4) 2 2 2 2 4 ₁ 50 ₂ 15 12 3 41 19 19 19 19 19 AB= _ −  _{ }+ − _ = _  _{ }+ _ =         2 2 2 2 5 1 12 15 3 41 1 2 7 7 7 7 7 AC= _ +  _{ }+ + _ = _  _{ }+ _ =         En (1):

𝑨𝒓𝒆𝒂 =

𝟑√𝟒𝟏 𝟏𝟗 . 𝟑√𝟒𝟏𝟕 𝟐

⟹ ∴ 𝑨𝒓𝒆𝒂 =

𝟑𝟔𝟗 𝟐𝟔𝟔

Rpta

14. Sea

3 2

n

1 n

1 ( )

cos

sen

1 4 m

n

x

f x

x

π +













=

_

_

_

−

_

_

+

_

+

_

_

_

_

_

_

Hallar

_{n m}

2

_si:

lim ( )

1

24

x→+∞

f x

= −

(29)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 29 Transformando f(x):

Resolución

3 2 n 1 n 1 ( ) cos sen 1 4 m n n x x x f x x x x π + π +       = _ _ _− _ _+ _ +       3 2 n 1 n 1 ( ) cos sen 4 m n n x x x f x x x x π + π +     = _ _− _ _ +     2 n 1 sen n x x π +   + _ _   2 n 1 cos n x x  _ _{π +} _ +  _ _     3 2 n 1 n 1 ( ) cos cos 4 m n n x x x f x x x x π + π +      = _ _ _+ _ __ +      3 _n ₁ _n ₁ ( ) cos 1 cos 4 m n n x x x f x x x x π +  π +      = ⋅ _ __ + _ __ +     3 2 n 1 n 1 ( ) cos 2cos 4 m n 2n x x x f x x x x π + π +     = ⋅ _ _⋅ _ _ +     2 3 2 1 1 ( ) cos cos 4 _m n 2 2n x f x x x x x π       = ⋅ _π+ _⋅_ _ + __  ₊           2 2 2 1 1 ( ) ₄ cos sen n 2n m x f x x x x       = ⋅ −_ _ __{ }⋅ − _ __         + 2 2 2 2 1 sen 2 1 1 2 1 2n

( ) cos sen cos

4 _m n 2n 4 _m n 1 x x f x x x x x x x     −     −     = ⋅ _ _⋅ _ _= ⋅ _ _⋅       + + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sen sen 2 1 2n _2n 1 2n ( ) cos cos 4 _m n _4n 1 4 _m n 1 2n 4n x x f x x x x x x x       −      −      _  _ = ⋅ _ _⋅ = ⋅ _ _⋅         + ⋅_ _ + _ _

Luego, por condición: lim ( ) 1 24 x→+∞f x =− 2 2 1 1 _sen 1 2n 1 2n lim ₄ cos ₁ n 24 m 2n x x x x x →+∞    − _ _ _ _   ⇒ ⋅ _ _⋅ =−     + _ _

(30)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 30 ( ) 2 ₂ 1 1 2n (1) 1 m 24 − ⇒ ⋅ ⋅ = −

∴ 𝒏

𝟐

_{𝒎 = 𝟏𝟐}

_Rpta

15. Calcular:

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟏

𝒙

𝟐

_{√𝒙 + 𝟐}

𝟑

_{− �|𝒙 + 𝟓| − 𝒙}

�|𝒙

𝟐

_{+ 𝟔𝒙 + 𝟓|}

Dominio |𝑥2_{+ 6𝑥 + 5| > 0|𝑥}2_{+ 6𝑥 + 5| = 𝑥}2_{+ 6𝑥 + 5} lim 𝑥→−1+ 𝑥23_{√𝑥 + 2} − �|𝑥 + 5| − 𝑥 �|𝑥2_{+ 6𝑥 + 5|} = lim𝑥→−1+ 𝑥23_{√𝑥 + 2} − �|𝑥 + 5| − 𝑥 �|𝑥 + 5||𝑥 + 1| 𝑥 → −1+ _{→ 𝑥 > −1 ∴ 𝑥 + 5 > 4 |𝑥 + 5| = 𝑥 + 5} 𝑥 + 1 > 0 |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1 lim 𝑥→−1+ 𝑥23_{√𝑥 + 2} − �|𝑥 + 5| − 𝑥 �|𝑥2_{+ 6𝑥 + 5|} = lim𝑥→−1+ 𝑥2_{�√𝑥 + 2}3 − 1� − �√𝑥 + 5 − 2� − (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)

Resolución

Dividiendo entre 𝑥 + 1 = �(𝑥 + 1)2 lim x→−1+ x2_{�√x + 2}3 _{− 1�} �(x + 5)(x + 1)− limx→−1+ �√x + 5 − 2� �(x + 5)(x + 1)+ limx→−1+ (x − 2)(x + 1) �(x + 5)(x + 1)… . (∗) 𝑎3 _{− 𝑏}3 _{= (𝑎 − 𝑏)(𝑎}2_{+ 𝑎𝑏 + 𝑏}2 𝑎 = √𝑥 + 23 ∧ 𝑏 = 1 𝑥 + 2 − 1 = �√𝑥 + 23 − 1�(�(𝑥 + 2)3 2 _{+ √𝑥 + 2}3 _{+ 1)}

(31)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 31 √𝑥 + 2 3 − 1 = 𝑥 + 1 �(𝑥 + 2)2 3 + √𝑥 + 23 + 1 lim 𝑥→−1+ 𝑥2 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1). 𝑥 + 1 �(𝑥 + 2)2 3 _{+ √𝑥 + 2}3 _{+ 1}= lim_𝑥→−1+ 𝑥2_{�(𝑥 + 1)} �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 2)3 2 + √𝑥 + 23 + 1 = 0 lim 𝑥→−1+ �(𝑥 + 5) − 2 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1). �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1)= lim𝑥→−1+ �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1)𝑥 + 1 ��(𝑥 + 5) + 2� = lim_𝑥→−1₊ √𝑥 + 1 �(𝑥 + 5) ��(𝑥 + 5) + 2�= 0

lim

𝑥→−1+ (𝑥−2)(𝑥+1) �(𝑥+5)�(𝑥+1)

= lim

𝑥→−1+ (𝑥−2) √𝑥+5

= 0

En *

∴ 𝐥𝐢𝐦

_{𝒙→−𝟏}𝒙𝟐𝟑√𝒙+𝟐−�|𝒙+𝟓|−𝒙 ��𝒙𝟐_{+𝟔𝒙+𝟓�}

= 𝟎 − 𝟎 − 𝟎 = 𝟎

Rpta

16. Calcular.

Hallar la derivada de:

𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔

𝟑

_{(�𝟏 − 𝒙)}

𝟑

Resolución

(32)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 32 𝜃 =(√1 − 𝑥3 ) 𝑓´(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠2_{𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃) ´} 𝑓´(𝑥) = ( 3𝑐𝑜𝑠2_{𝜃)(−𝜃¨𝑠𝑒𝑛𝜃)} 𝑓´(𝑥) = − 3𝑐𝑜𝑠2_{𝜃. (�1 − 𝑥)}3 _{´. 𝑠𝑒𝑛𝜃} 𝑓´(𝑥) = −3𝑐𝑜𝑠2_𝜃(1 3). 𝑠𝑒𝑛𝜃 (√1 − 𝑥3 )2(−1). 𝑠𝑒𝑛𝜃

∴ 𝒇´(𝒙) =

𝒄𝒐𝒔𝟐( √𝟏−𝒙𝟑 ). 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 ( √𝟏−𝒙𝟑 )𝟐

Rpta

17. Sea f una función definida por la regla de

correspondencia

𝒙𝟐+ 𝒙+𝟏 𝒙+𝒂

; 𝒔𝒊 𝒙 < 1

F(x)=

𝒙

𝟑

_{+ 𝒃𝒙}

𝟐

_{− 𝟓𝒙 + 𝟑 ; 𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤}

𝟑

𝟐

F(x) =

lim

ℎ→0 𝑓(𝑥𝑜+ℎ)−𝑓(𝑥𝑜) ℎ

Resolución

X

0

= 1

(1° ∃ la derivada )

(33)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 33 𝑓(𝑥)lim_𝑥→1𝑓(𝑥) − 𝑓(1)_{𝑥 − 1} ∗ 𝑓(𝑥) lim_𝑥→1₊𝑓(𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 5𝑥 + 3) − 𝑓(1 + 𝑏 − 2)_{𝑥 − 1}

X > 1

𝑓(𝑥) = lim_𝑥→1₊𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 5𝑥 + 3 − 𝑏 + 1_{𝑥 − 1} 𝑓(𝑥) = lim_𝑥→1₊𝑥3 + 𝑏𝑥_{𝑥 − 1}2 5𝑥 + 4 − 𝑏

𝑓(𝑥) = lim

_𝑥→1₊(𝑥−1)�𝑥2+(𝑏+1)𝑥+(𝑏−4)�_𝑥−1 ⟹ 1 + b + 1 + b - 4 = 2b – 2 ………(1)

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1− 𝑥2+𝑥+1 𝑥+𝑎

−

3 𝑎+1

𝑥 − 1

X < 1

𝑓(𝑥) = lim_𝑥→1₋(𝑎 + 1)(𝑥_{(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑎)(𝑎 + 1)}2+ 𝑥 + 1) − 3(𝑥 + 𝑎) 1 b -5 4 - b 1 b + 1 b - 4 1 b + 1 b - 4 0 1

(34)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 34 𝑓(𝑥) = lim_𝑥→1₋(𝑎 + 1)𝑥2_{(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑎)(𝑎 + 1)}+ (𝑎 + 1)𝑥 + (𝑎 + 1) − 3𝑥 − 3𝑎

𝑓(𝑥) = lim_𝑥→1₋(𝑎 + 1)𝑥_{(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑎)(𝑎 + 1)}2+ (𝑎 − 2)𝑥 + (1 − 2𝑎)

𝑓(𝑥) = lim

_𝑥→1₋(𝑥−1)[(𝑎+1)𝑥+(2𝑎−1)]_{(𝑥−1)(𝑥+𝑎)(𝑎+1)}

⇒

𝑎+1+2𝑎−1_𝑎+1

=

_𝑎+13𝑎 ………..(2)

2° tiene que ser continua

• f(1) =1+b-5+3 = b-1 • 𝑓(𝑥) = lim_𝑥→1₊𝑥3 _{+ 𝑏𝑥}2_{− 5𝑥 + 3 = 1 + 𝑏 − 2 = 𝑏 − 1}

• 𝑓(𝑥) = lim

_𝑥→1₊𝑥2_𝑥+𝑎+𝑥+1

=

_𝑎+13 (𝟏) = (𝟐) 2b – 2 = 3 𝑎+1 ⇒ 2(b - 1)(a + 1) = 3a 2(ab + b – a + 1) = 3a 2ab + 2b - 2a + 1 = 3a 2ab + 2b + 1 = 5a ……….(𝛼) a + 1 a - 2 1-2a a + 1 2a - 1 a + 1 2a - 1 0 1 =

(35)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 35 ( 3 ) =( 4 ) b-1 = _𝑎+13

⟹

(b - 1)(a + 1) = 3 ab + b - a - 1 = 3 ab + b – a = 4 ab + b = 4 + a 2ab +2b = 8 +2a ………(𝛽

𝛃 en 𝛂

 _{(8 + 2a) + 1 = 5a} 9 = 3a

a = 3

Rpta

 _{6b +2b=8+6} 8b = 14

b =

𝟕_𝟒

Rpta

(36)

18. Calcular

𝑨𝒙

𝟐

+ 𝑩𝒙 + 𝑪 ; 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏

F(x)=

𝟏 − 𝒙

𝟐

𝟏 + 𝒙

𝟐

; 𝒔𝒊 𝒙 > 1 ∨ 𝑥 < −1

Hallar f”(x) suponiendo que f´(x) existe sobre el

dominio de f(x)

Resolución

Para x

0 = -

1

∗ 𝑓′_{_(−1) = lim} 𝑥→−1 𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝑥 + 1 = lim𝑥→−1+ 𝐴𝑥2_{+ 𝐵𝑥 + 𝐶 − (𝐴 − 𝐵 + 𝐶)} 𝑥 + 1 lim 𝑥→−1+ 𝐴𝑥2_{+ 𝐵𝑥 + 𝐶 − 𝐴 + 𝐵 − 𝐶)} 𝑥 + 1 lim 𝑥→−1+ 𝐴(𝑥2_{− 1) + 𝐵(𝑥 + 1)} 𝑥 + 1 lim 𝑥→−1+ 𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1) 𝑥 + 1 lim 𝑥→−1+ 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵 1 = 𝐴(−1 − 1) + 𝐵 = 𝐵 − 2𝐴 𝑓+`(−1) = 𝐵 − 2𝐴 ∗ 𝑓(−1) lim_𝑥→−1₋𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝑥 + 1 = lim𝑥→−1 1−𝑥2 −0 1+𝑥2 𝑥 + 1

(37)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 37 lim 𝑥→−1− 1 − 𝑥2 (1 + 𝑥2_{)(𝑥 + 1) = lim}_𝑥→−1− −(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (1 + 𝑥2_{)(𝑥 + 1) =} −(−1 − 1) 1 + 1 = 2 2 = 1 𝑓(−1) = 1 𝑓′ +(−1) = 𝑓′_(−1) B – 2A = 1 ……….(1)

Para x

0 =

1

∗ 𝑓′ +(−1) lim_𝑥→−1+ 𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝑥 + 1 = lim𝑥→−1+ 1−𝑥2₋₀ 1+𝑥2 𝑥 − 1 lim 𝑥→−1− −(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (1 + 𝑥2_{)(𝑥 − 1) =} −2 2 = −1 𝑓′ +(1) = −1 ∗ 𝑓′_{_(1) = lim} 𝑥→1− 𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝑥 − 1 = lim𝑥→1− 𝐴𝑥2_{+ 𝐵𝑥 + 𝐶 − (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)} 𝑥 − 1 lim 𝑥→1− 𝐴𝑥2 _{+ 𝐵𝑥 + 𝐶 − 𝐴 − 𝐵 − 𝐶)} 𝑥 − 1 lim 𝑥→1− 𝐴(𝑥2_{− 1)𝐵(𝑥 − 1)} 𝑥 − 1 lim 𝑥→1− 𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 − 1) 𝑥 − 1 lim 𝑥→1− 𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵 1 𝑓′_{_(1) = 2𝐴 + 𝐵} B +2A = -1 ……….(2)

DE (1) Y (2) se tiene:

B= 0 y A = -1/2

Rpta

(38)

19. Si:

3 3 2

(2

1)

2

6 16;

(

3);

3

3 f

¢

x

+ =

x

+

x

−

y f x

=

+

u

=

x

+

Halle:

_du

dy

en

x =

2

Se pide

Resolución

dy du Pero: dy dy dx du dx du= ⋅ ……….. (1) Calculando la derivada: dy_dx De: y f x= ( 3+3) Sea: g x( )=x3+3 ⇒ g x¢( ) 3= x D x2⋅ x +0 2 g x( ) 3x x 3x x x ⇒ ¢ = ⋅ = Luego: y f g x( ( )) dy f g x g x( ( )) ( ) dx = ⇒ = ¢ ⋅ ¢ ………… (2)

Por otro lado como ₍₂ ₁₎ 3₂ 2 ₆ _{16 ( )} ₃ 2 4 37

2 x x f¢ x+ = x + x− ⇒ f x¢ = + − Entonces:

(

) (

)

2 3 3 6 3 3 3 3 4 3 37 3 6 9 4 12 37 ( ( )) 2 2 x x x x x f g x¢ = + + + − = + + + + − 6 3 3 10 16 ( ( )) 2 x x f g x + − ⇒ ¢ = Reemplazando en (2): 6 3 3 10 16 ₃ 2 x x dy x x dx + − = ⋅ ………..… (3) Calculando la derivada: dx_du

(39)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 39 De 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 u dx u x u x x du − + = + ⇒ = ⇒ = = ……… (4) (3) y (4) en (1): 6 3 3 10 16 ₃ 2 3 3 2 3 x x dy x x x du + − + = ⋅ ⋅

Finalmente, evaluando para x=2:

6 3 3 2 10 2 16 _{3 2 2} 2 3 2 3 2 3 dy du + ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∴

𝒅𝒚_𝒅𝒖

= 𝟗𝟔

Rpta

20. Usando la definición de límite, probar que:

𝒍𝒊𝒎

𝒙→𝟎

𝒙

𝟐

_{𝒔𝒆𝒏 �}

𝒚 𝒙

�

�𝒙 +

𝟏_𝟐

� (𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)

= 𝟎

lim 𝑥 →𝑜 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 (1/2) (𝑥+1/2 ) (2+𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 0

↔ ∀∈> 0, ∃ 𝑓 > 0/𝑥 𝜖 𝐷𝑓, 0 < (𝑥 − 𝑜) < ∝

Resolución

𝑥 2_{𝑠𝑒𝑛 (1/𝑥)} (𝑥 +1/2) (2+𝑠𝑒𝑛𝑥)

– 0

/< 𝜖

i)

_{|𝑥+1/2||2+𝑠𝑒𝑛 𝑥|}|𝑥|2|𝑠𝑒𝑛(1/𝑥)|

< 𝜖

ii) ʆ1 = 1₂

�

1₂

− 0�

ʆ

1

=

1₄ … 𝜶 en i) lo reemplazamos: 1, 2, 3

(40)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 40 En 𝜶 tenemos: iii)

_{|𝑥| <}

1 4 |𝑥|2|𝑠𝑒𝑛(1/𝑥)| |𝑥+1/2||2+𝑠𝑒𝑛 𝑥|

< 𝜖

−1 4 < 𝑥 < 1 4 1 4< 𝑥 + 1 2 < 3 4 |𝑥|2_{. 1𝑠𝑒𝑛 (1/𝑥)} 1 . 1

.

�

1 𝑥+ 1₂

� . . �

1 2+𝑠𝑒𝑛𝑥

� < 𝜖

4 > 1 𝑥 + 1₂> 4 3 1 𝑥+ 1₂

< 4

… (1) (𝑥)2. 1.4.1 < 𝜖 𝑥2_{. 4 < 𝜖} • Sabemos /sen 𝜃< 1 →

_{�𝑠𝑒𝑛}

1 𝑥

�< 1 ….. (2)

𝑥 =

√𝜖 2

→ |𝑠𝑒𝑛 𝑥 |< 1

-1 <sen x < 1

1 <sen x + 2 < 3

�

_{𝑠𝑒𝑛 𝑥+2}1

� < 1

….. (3)

∴ ʆ = 𝒎𝒊𝒏 �

𝟏_𝟒

,

√𝝐_𝟐

�

Rpta

(41)

21. Para que valores de a y b se cumple:

𝒍𝒊𝒎

𝒙→−∞

��𝒙

𝟐

− 𝒙 − 𝟏 − 𝒂𝒙 − 𝒃� = 𝟎

= _{𝑥→−∞}

𝑙𝑖𝑚

��𝑥2_{− 𝑥 − 1 − (𝑎𝑥 − 𝑏� = 0}

Resolución

= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞ �√𝑥2_{−𝑥−1 −(𝑎𝑥+𝑏) (√𝑥}2_{−𝑥−1+(𝑎𝑥+𝑏�} √𝑥2_{−𝑥−1 +(𝑎𝑥+𝑏)}

= 0

= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞ 𝑥2 − 𝑥 − 1 − (𝑎𝑥 + 𝑏)2

√

𝑥2 _{− 𝑥 − 1 + (𝑎𝑥 + 𝑏)} = 0

= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞ 𝑥2 − 𝑥 − 1 − 𝑎2𝑥2− 2𝑎𝑏𝑥 − 𝑏2

√

𝑥2_{− 𝑥 − 1 + (𝑎𝑥 + 𝑏)} = 0

= 𝑙𝑖𝑚

_{𝑥→−∞}𝑥2

(

1 − 𝑎2

)

− 𝑥

(

1 + 2𝑎𝑏

)

− (1 + 𝑏2)

|

𝑥

|�

1 −1_𝑥−_𝑥1₂+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

x< 0

= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞ 𝑥2

₍

_{1 − 𝑎}2

₎

_{− 𝑥}

₍

_{1 + 2𝑎𝑏}

₎

_{− (1 + 𝑏}2₎ −𝑥

�

1 −1_𝑥−_𝑥1₂+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 Para que el

= 𝒍𝒊𝒎

𝒙→−∞𝑓(𝑥) = 0, el exponente deben ser igual del denominador con el numerador, entonces tenemos:

(42)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 42 1 − 𝑎2 _{= 0} 𝑎 = ±1

⟹ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞ [−𝑥

(

1 + 2𝑎𝑏

)

−

(

𝑏2+ 1

)

] −𝑥

�

1 −1_𝑥−_𝑥1₂ + 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 1 + 2𝑎𝑏 = 0, 𝑎 ≠ −1 1 + 2(1)𝑏 = 0

∴ 𝒂 = 𝟏 ∧ 𝒃 = −

𝟏_𝟐

Rpta

22. Calcule el

𝒍𝒊𝒎

𝒙→+∞

𝒔𝒆𝒏√𝒙 + 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏√𝒙

Resolución

Transformando la diferencia de senos a producto. Se tiene:

𝑠𝑒𝑛√𝑥 + 1 −𝑠𝑒𝑛√𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 �

√𝑥+1 + √𝑥₂

� 𝑠𝑒𝑛 �

√𝑥+1 + √𝑥₂

�



�𝑠𝑒𝑛√𝑥 + 1 − 𝑠𝑒𝑛 √𝑥 � = 2 �𝑠𝑒𝑛 (

𝑥+1− √𝑥 2

)� . �𝑐𝑜𝑠 (

𝑥+1− √𝑥 2

)�

Pero

|cos 𝑥| ≤ 1

→ 0 < �𝑠𝑒𝑛√𝑥 + 1 − √𝑥� = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

�

1 𝑥+1− √𝑥

� = 0

(43)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 43 

𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

�

√𝑥+1− √𝑥 2

� = 0



𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

�𝑠𝑒𝑛 �

√𝑥+1−√𝑥 2

�� = 0

….. (2)

De (1) y (2), por el teorema de “Sándwich” se sigue que:

𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

�

𝑠𝑒𝑛

√

𝑥 + 1 −

√

𝑠𝑒𝑛

√

𝑥

�

∴ 𝒍𝒊𝒎

_𝒙→+∞

�𝒔𝒆𝒏 √𝒙 + 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏√𝒙� = 𝟎

Rpta

23. Calcule los valores de “a”. Si:

_𝒍𝒊𝒎

𝒙→𝒂 �𝒙𝟑−𝒂𝟑�−�𝒙𝟐−𝒂𝟐� |𝒙−𝒂|

= 𝟐𝟓

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎

�

|𝑥 − 𝑎|𝑥

2

_{+ 𝑎𝑥 + 𝑎}

2

_{− |𝑥 − 𝑎||𝑥 + 𝑎|}

|𝑥 − 𝑎|

� = 25

Resolución

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎

(|

𝑥 2 _{+ 𝑎𝑥 + 𝑎}2

_|

₋

_|

_{𝑥 + 𝑎}

_|

_{) = 25} Sabemos 𝑥2 _{+ 𝑎𝑥 + 𝑎}2 _{≥ 0} Si 𝑥 + 𝑎 ≥ 0

(44)

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎𝑥 2_{+ 𝑎𝑥 + 𝑎}2₋

₍

_{𝑥 + 𝑎}

₎

_{= 25}

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎𝑥 2_{+ 𝑎𝑥 + 𝑎}2_{− 𝑥 − 𝑎 = 25} Reemplazando: 𝑎2_{+ 𝑎 . 𝑎 + 𝑎}2_{− 𝑎 − 𝑎 = 25} 3𝑎2_{− 2𝑎 − 25 = 0}

∴ 𝒂 =

𝟏±𝟐√𝟏𝟗_𝟑

Rpta

𝑆𝑖 𝑎 + 𝑥 < 0

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎𝑥 2_{+ 𝑎𝑥 + 𝑎}2_{+ 𝑥 + 𝑎 = 25} Reemplazando: 𝑎2_{+ 𝑎 . 𝑎 + 𝑎}2_{+ 𝑎 + 𝑎 = 25} 3𝑎2_{+ 2𝑎 − 25 = 0}

∴ 𝒂 =

−𝟏 ±𝟐 √𝟏𝟗_𝟑

Rpta

24. Usando asíntotas Esbozar la gráfica

𝟑𝒙

𝟑

_{+ 𝟑𝒙 + 𝟓}

𝒙

𝟐

_{− 𝒙 + 𝟔 +}

�𝒙

𝟐

+ 𝟒 ; 𝒙 > −1

𝑭(𝒙) =

−𝒙

𝟑

_{+ 𝒙}

𝟐

_{+ 𝟏}

(45)

Resolución

Asintota vertical (derecha)

𝑙𝑖𝑚

𝑥→−1+ 𝑥3+3𝑥+5 𝑥2_−𝑥+6 +

√

𝑥2 + 4 = 3(−1)−3+5 1+1 +6 +

√

1 + 4 = 1 8+

√

5 = ∄ 𝐴. 𝑉. (𝐷𝐸𝑅𝐸𝐶𝐻𝐴)

Asintota Vertical (izquierda)

𝑙𝑖𝑚

𝑥→−1− −𝑥3+𝑥2+1 𝑥2+1 +

√

𝑥2 + 9 = −(−1)+1+1 1+1 +6 +

√

1 + 9 = 3 2+

√

10 = ∄ 𝐴. 𝑉. (𝐼𝑍𝑄𝑈𝐼𝐸𝑅𝐷𝐴) Asintota Horizontal (Derecha)

𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞ 𝑥3+3𝑥+5 𝑥2_−𝑥+6 +

√

𝑥2 + 4 = _𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚

𝑥3+3𝑥+5 𝑥2_−𝑥+6 − 3𝑥 +

√

𝑥2+ 4 + 3𝑥

𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞ 3𝑥2− 15𝑥 + 5 𝑥2_{− 𝑥 + 6} +

�

𝑥2+ 4 + 3𝑥 = _𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚

3 − 15_𝑥 +_𝑥5₂ 1 − 1_𝑥+_𝑥6₂ + 𝑥

�

3𝑥

�

1 + 4 𝑥2

�

+ ∞  ∄ 𝐴. 𝐻. (DERECHA) Asintota Horizontal

𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞ 𝑥3 + 𝑥2+ 1 𝑥2 _{+ 1} +

�

𝑥2 + 9 = _{𝑥→−∞}

𝑙𝑖𝑚

−𝑥3 + 𝑥2 + 1 𝑥2_{+ 1} + 𝑥 +

�

𝑥2+ 9 − 𝑥

𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞ 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥2 _{+ 1} +

�

𝑥2 + 9 − 𝑥 =_{𝑥→−∞}

𝑙𝑖𝑚

1 + 1_𝑥+_𝑥1₂ 1 + +_𝑥1₂ + 9 𝑥

��

1 +_𝑥9₂ + 1

�

𝑥 + ∞

=

1 +

_{2 (∞)}9

= 1 + 0 = 1

 _{∄ 𝐴. 𝐻. (IZQUIERDA)}

(46)

ASINTOTA OBLICUA – DERECHA (

y = mx+ b

)

𝑚 =_𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚

�3𝑥_𝑥₂3_{− 𝑥 + 6 +}+ 3𝑥 + 5 �𝑥2 _{+ 4� =}

𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞� 3𝑥2 _{+ 3𝑥 + 5 𝑥}_� 𝑥2_{− 𝑥 + 6 +} √𝑥2 _{+ 4} 𝑥 � 𝑚 =_𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚

⎣ ⎢ ⎢ ⎡3 + 3 𝑥2+ 5 𝑥3 1 −1_𝑥 +_𝑥6₂ + �1 + 4 𝑥� 𝑥 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⟹ 𝒎 = 𝟒 𝑏 =_𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚

�3𝑥_𝑥₂3_{− 𝑥 + 6 +}+ 3𝑥 + 5 �𝑥2_{+ 4 − 4x� =}

𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞� 3𝑥3_{+ 3𝑥 + 5} 𝑥2_{− 𝑥 + 6 − 3x +}�𝑥2+ 4 − x� =_𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚

�3𝑥3+ 3𝑥 + 5 − 3𝑥_𝑥₂_{− 𝑥 + 6}3 + 3𝑥2 − 18𝑥+ �𝑥2 _{+ 4 − 𝑥�} =_𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚

�3𝑥_𝑥2₂− 15 + 5_{− 𝑥 + 6 +} 4 √𝑥2_{+ 4 + 𝑥}� =_𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚

⎣ ⎢ ⎢ ⎡3 − 15 𝑥 + 5 𝑥2 1 − 1_𝑥+_𝑥62 + 4 x�1 +_𝑥4₂+1_𝑥_⎦⎥ ⎥ ⎤ = 3 + 0 = 3

⟹ 𝒃 = 𝟑

∴ 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟑 𝑨. 𝑶 𝑫𝑬𝑹𝑬𝑪𝑯𝑨

(47)

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 47 ASINTOTA OBLICUA –IZQUIERDA (

y=mx+b

)

𝒎 =_{𝑥→−∞}

𝑙𝑖𝑚

1_𝑥�−𝑥3+ 𝑥2+ 1 𝑥2_{+ 1} + �𝑥2+ 9�=_{𝑥→−∞ �}

𝑙𝑖𝑚

−𝑥 2_{+ 𝑥 + 1 𝑥}_� 𝑥2_{+ 1} + �_𝑥2_{+ 9} 𝑥 �

= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞

�

−1+ 1_𝑥+_𝑥31 1+_𝑥21

+

−𝑥 �1+ 9 𝑥� 𝑥

� = −1 − 1 = −2

⇒ 𝒎 = −𝟐 𝑏 = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥→−∞}�−𝑥_𝑥3₂+ 𝑥_{+ 1}2+ 1+ �𝑥2_{+ 9 + 2x� = �}−𝑥3+ 𝑥2+ 1 𝑥2_{+ 1} + x + �𝑥2+ 9 + x � = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥→−∞}�−𝑥3+ 𝑥_𝑥2₂+ 1 + 𝑥_{+ 1} 3+ 𝑥+ �𝑥2_{+ 9 + x� = 𝑙𝑖𝑚} 𝑥→−∞� −𝑥2_{+ 𝑥 + 1} 𝑥2_{+ 1} + �𝑥2+ 9 + x � = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥→−∞}�+1+ 1 𝑥 +𝑥21 1 +_𝑥21 + x �1 + 9 𝑥+ 𝑥� = 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞�1 + 𝑥 �1 + 9 𝑥+ 1� = 1 − ∞ = −∞  _{∄ 𝐴. 𝑂. (IZQUIERDA)}