Estadistica Experimental

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ESTADÍSTICA EXPERIMENTAL

Aplicada a ciencia e ingeniería © PALACIOS C. Severo

CEO Proceso SEVERO [email protected] [email protected] (+511) 996696214, Lima – Perú (+5152) 952672846, Tacna – Perú (+505) 84566216 – Centro América Primera edición: ISBN:

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° © PALACIOS C. Severo – CONCYTEC en la presente edición Tiraje: 1000 ejemplares

Subvención CONCYTEC N°

Consejo Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación Tecnológica-CONCYTEC

Presidente: Dr. Augusto Mellano Méndez Av. Del Aire 485, San Borja, Lima – Perú Telefax: (51) 01-2251150

www.concytec.gob.pe Impreso por:

Derechos Reservados. Prohibida la reproducción de esta publicación por cualquier sistema conocido sin la autorización escrita del autor; y del editor en la presente edición.

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La presente obra esta dedicada a la Memoria de: Juan de la Cruz Palacios Avendaño

Adelaida Calisaya Flores Luz Lucila Zeballos Argandoña

Camila Palacios Zeballos Ceferina Chambilla Chambilla

Gustavo Vallenas Casaverde

“Con mucho amor a quienes amor nos dio, que Dios lo tenga en su gloria y nosotros en nuestro corazón”

Un reconocimiento muy especial al Rector de la Universidad Nacional Micaela Bastidas de Abancay

CONTENIDO

Cuestionario como fuente de datos Presentación de datos

Análisis de datos

Distribución de frecuencia

Criterios de distribución de frecuencia Medias de tendencia central

Medidas de disepersión Problemas

Estimación de parámetros Diferencias significativas

Dispersión de los datos problemas Problemas Distribuciones Intervalos de confianza Muestreo Métodos de muestreo Toma de decisiones

Principios para la toma de decisión Planificación

Problemas

Análisis de regresión Introducción

Métodos de mínimos cuadrados Modelos de regresión

Modelo de regresión lineal con k variables Regresión lineal simple

Regresión lineal múltiple Regresión polinomial

Regresión polinomial cuadrática Regresión no lineal

Coeficiente de correlación múltiple R² Prueba de significancía 9 11 13 13 14 15 15 16 17 19 19 26 29 39 39 40 43 50 54 55 55 59 62 62 64 67 67 67 70 70 71 73 74 75 76 77 77

§3 I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII. XIV. §4 I. II. III. IV. a) b) c) V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. §5 I. II. Problemas

Principios de diseño experimental Introducción

Tipo de experimentos

Unidades experimentales y muéstrales Fuente de variación

Control de la variación del no tratamiento Propiedades del diseño estadístico

Replicación Aleatorización Control local

Clasificación de los diseños Estrategia del diseño Diseño de tratamientos Diseño de muestreo Estudio experimental Problemas

Diseño experimental aplicado a ciencias Introducción

Limitaciones Predicción

Diseño experimental Diseño aleatorizado

Diseño unifactorial con n niveles Diseño de parcelas divididas Problemas

Diseño totalmente aleatorizado Problemas

Diseño de bloques aleatorizados Problemas

Diseño cuadrado latino Problemas

Diseño cuadrado greco – latino Problemas

Prueba de intervalos múltiples de Duncan Diseño doble reverso

Problemas

Estimación de parámetros del modelo Polinomio ortogonal Métodos de análisis Introducción Métodos no paramétricos 81 83 83 84 86 87 90 92 96 97 99 101 103 104 105 106 110 111 111 111 112 113 113 114 118 121 129 131 134 141 143 147 151 153 154 154 157 158 159 161 161 162

III. IV. V. VI. §6 I. II. III. IV. V. VI. VII VIII. IX. X. XI. XII. XIII. XIV. XV. XVI. XVII. XVIII. XIX. XX. XXI. XXII. A. B. C. D.

Prueba U de Mann – Whitney Prueba H de Kruskal – Wallis Métodos multivariables Correlación de Spearman Problemas

Diseños experimentales aplicado a ingeniería Introducción Problemas Diseños bifactoriales Comparación múltiple Diseño anidado Problemas Diseños factoriales Diseño factorial 2n Diseño factorial 2² Problemas Diseño factorial 2³ Problemas

Diseño factorial 2k_replicado Problemas

Diseño 2k_{con pruebas centrales} Diseño confundido

Diseño factorial 2k_{con dos bloques} Diseño factorial 2k_{con cuatro bloques} Diseño factorial 2k_{con bloques replicados} Algoritmo de Yates

Problemas

Diseño factorial fraccionado Medio fraccionado del diseño 2k Cuarto fraccionado del diseño 2k Problemas

Diseño Plackett – Burman Problemas

Diseños factoriales 3n Problemas

Diseños rotables

Diseños rotables con dos factores Diseño trigonal Diseño pentagonal Diseño hexagonal Problemas Diseño octogonal 162 165 166 168 171 173 173 176 177 180 182 184 186 188 189 195 205 221 225 228 231 233 233 235 236 237 239 244 245 247 250 258 263 266 270 275 275 275 276 276 280 281

E. F. G. §7 I. II. III. IV. V. VI: VII: VIII: IX. X. XI. XII. XIII.

Diseño compuesto centrado Problemas

Diseño experimental comercial – EXCO Diseño Severo

Diseño factorial centrado de dos factores Diseño Factorial centrado de tres factores Diseño rotable centrado de n factores Problemas

Superficie respuesta Introducción Superficie respuesta Polinomio de primer orden Prueba de significancia Prueba de falta de ajuste Máxima pendiente ascendente Polinomio de segundo orden

Caracterización de la superficie respuesta Diseño de superficie respuesta cuadrático Superficie de respuesta cuadrática Exploración de superficie respuesta Punto estacionario

Criterio de formas cuadráticas Anexo Referencias 282 291 295 298 300 305 308 311 323 323 323 324 325 326 328 331 333 340 350 354 367 368 387 393

PRÓLOGO

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El libro es el resultado de conferencias ofrecidas en diferentes centros académicos latinoamericanos. Se ha intentado resaltar los conceptos técnicos y afirmando sin duda y sin excusas que la presentación es exactamente fidedigna. Se presentan los conceptos que considero pue-den contribuir más a la comprensión de los principios, con referencia a los que pueden realizarse con los conocimientos básicos y las posibi-lidades e instrumentos de la tecnología actual.

Se ha intentado presentar un marco conceptual que estimule la habili-dad del lector de las diversas ramas del saber (Biología, Medicina, Ciencias Sociales, Economía, Administración, Ingenierías y áreas Téc-nicas) para entender la manera en que los factores (variables) interac-túan en un sistema real de trabajo.

La orientación del libro, no esta matemáticamente sofisticado. Los conocimientos previos necesarios como el cálculo, probabilidades y estadística descriptiva. En algunas secciones se realiza el uso de ope-raciones elementales de matrices.

El libro está diseñado como un manual dividido en partes con capítu-los para su mejor comprensión. Se propone servir como fuente de refe-rencia para tratar casos específic0s de los lectores.

Los ejemplos resueltos (fueron desarrollados aplicando los programas estadísticos Statgraphics Centurion y ESPC elaborado para el presen-te libro), sirven para ilustrar y ampliar las presen-teorías, sin lo cual el lector sentiría un vació. Las demostraciones de procesos industriales se

in-cluyen en ello. Los problemas suplementarios completan la revisión del material tratado en cada tema.

El material cubre un curso habitual con el fin de flexibilizar, ampliar y mejorar los sistemas curriculares, siendo este un libro de consulta para interés de otros temas.

No deseo finalizar sin agradecer a mi amigo Luis Solórzano Espinola por la revisión minuciosa y detallada de la presente edición del pre-sente libro, su tiempo y esfuerzo es un aporte a la ciencia y tecnolgía como él siempre viene desarrollando en las aulas con los estudiantes de pre grado.

Finalmente deseo agradecer a CONCYTEC por tan importante aporte a la educación a nivel de nuestro país, así mismo estoy en deuda con muchas universidades latinoamericanas gubernamentales como pri-vadas por la cooperación para la elaboración del presente, de igual manera con prestigiosos colegas por su colaboración para la culmina-ción de tan importante tema.

Palacios C. Severo CEO Proceso SEVERO Móvil: (+511) 996696214 [email protected]

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INTRODUCCIÓN

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La palabra estadística se origina, en las técnicas de recolección, orga-nización, conservación, y tratamiento de las diversas bases de datos propios, con que los antiguos gobernantes controlaban sus súbditos y dominios económicos. Estas técnicas evolucionaron a la par con el desarrollo de las matemáticas utilizando sus herramientas en el pro-ceso del análisis e interpretación de la información.

Estadística Experimental aplicada a ciencia e Ingeniería, el libro que en esta ocasión presento a los lectores de habla hispana, es un impor-tante aporte. Por lo útil y por la novedad de su enfoque, a la falta de bibliografía. Para comprender los beneficios que pueden derivarse de la utilización de los conceptos (fundamentos) presentados, conviene tener presente la complejidad creciente de nuestras industrias (auto-matización), impuesta por los diferentes factores que están incidiendo en el cambio vertiginoso que caracteriza a nuestra época (competitivi-dad) y que, en mayor o menor grado, con mayor o menor velocidad, llega a todas las regiones y países del mundo. Veamos algunos de los factores de complejidad en operaciones industriales. La planta recibe órdenes de producción que deban ser procesados y cumplidos en un

lapso determinado, utilizando recursos internos y externos casi siem-pre escasos.

La importancia de los resultados, anticipado en la toma de decisiones, empieza a buscar respuestas a otro tipo de preguntas ¿Qué es lo me-jor? ¿Cómo optimizar un determinado conjunto de variables para alcanzar un fin específico? Que significan nuestros datos y que grado de confianza podemos tener en ello visto una predicción.

El mundo actual requiere otras herramientas analíticas, aquellas que nos permitan crear modelos (lenguaje de comunicación) y definir re-laciones entre diversos factores (interacciones). Esto requiere entre otras cosas que podamos guardar conjuntos particulares de datos aparte de las rutinas de análisis (numérico y sostenible) que se reali-cen en base a ella.

El presente texto no pretende teorizar el saber estadístico, desde luego, no es un libro para estadísticos, ya que, adrede se obvia el rigor cientí-fico de lo expuesto en beneficio de la sencillez necesaria para el neófi-to; con un lenguaje coloquial se conduce al lector a través del conteni-do, a partir de dos o tres ejemplos que ilustran la aplicabilidad de los temas tratados.

El avance tecnológico en la informática ha contribuido enormemente al desarrollo de la estadística, sobre todo en la manipulación de la información, pues en el mercado existen paquetes estadísticos de exce-lente calidad, como el SAS, SPSS, SCA, Statgraphics, amén de otros, que corren en un ordenador sin mayores exigencias técnicas, permi-tiendo el manejo de grandes volúmenes de información y de variables.

§1

ESTADÍSTICA BÁSICA

(...) Conseguimos obtener así la fórmula estadística para conocer aproxima-damente la posición de un electrón en un instante determinado. Pero, perso-nalmente, no creo que Dios juegue a los dados.

Albert Einstein

I. INTRODUCCIÓN

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La estadística es una ciencia auxiliar para todas las ramas del saber humano; su utilidad se entiende mejor si tenemos en cuenta que los quehaceres y decisiones diarias embargan cierto grado de incerti-dumbre y la estadística ayuda en la incertiincerti-dumbre, trabaja con ella y nos orienta para tomar las decisiones con un determinado grado de confianza.

Los críticos de la estadística afirman que a través de ella es posible probar cualquier cosa que sucede en la naturaleza, lo cual es un con-cepto profano que se deriva de la ignorancia en este campo y de lo polifacético de los métodos estadísticos. Sin embargo muchos investi-gadores tendenciosos han cometido abusos con la estadística, elabo-rando investigaciones de intención, teniendo previamente los resulta-dos que les interesan mostrar a personas ingenuas y desconocedoras de los hechos. Otros, por ignorancia o negligencia, abusan de la esta-dística utilizando modelos inapropiados o razonamientos ilógicos y erróneos que conducen al rotundo fracaso de sus investigaciones. A veces nuestras vidas parecen estar controladas por estadísticas. De informes sobre el tiempo, lectura de las presiones sanguíneas, todos tenemos que ver rutinariamente con una amplia variedad de medidas estadísticas.

El análisis estadístico es útil para la investigación (tecnológica y cien-tífica), pues ayuda a resumir e interpretar el gran volumen de cifras que resultan aún en la encuesta más pequeña. Los principios estadísti-cos que se usan en la investigación provienen en gran escala de las ciencias sociales, economía e ingeniería.

Como resultado hay gran cantidad de libros enteros sobre estadística, probablemente más que sobre cualquier otro aspecto de la investiga-ción.

El propósito de la presente obra es darle a usted una visión panorámi-ca de los tipos de medidas estadístipanorámi-cas más importantes que se usan. Si usted requiere información más detallada, consulte algunos de los muchos libros buenos en estadística que están disponibles1_.

Aunque existen centenares de medidas y pruebas estadísticas que pue-den utilizar los investigadores, nosotros estudiaremos los de amplia aplicación para desarrollar los trabajos prácticos.

II. RECOPILACIÓN DE DATOS

El primer paso para describir un fenómeno natural es reunir los datos estadísticos necesarios. La fuente de los datos puede clasificarse como internas o externas.

Los datos internos incluyen estadísticas sobre las operaciones de la empresa, tales como estadísticas de producción, comercialización, transformación, etc.

Los datos estadísticos no vinculados con el funcionamiento de la em-presa propiamente dicha se llaman datos externos.

La gerencia de producción de una fábrica de fundición puede necesitar información sobre la cantidad de cierto metal en el mercado nacional, con el propósito de estimar las ventas a 10 años plazo.

Hay enormes cantidades de datos comerciales, empresariales, farma-céuticos, que pueden consultarse en las bibliotecas públicas y en las universidades.

El gobierno es el mayor editor de estadísticas anuales, mensuales, semanales, diarias. Una publicación anual del Instituto Nacional de

Estadística contiene más de mil páginas de datos sobre precios, educa-ción, producción y otros puntos, que son de utilidad para los que pro-cesan datos: economistas, analistas y demás profesionales.

III. CUESTIONARIO COMO FUENTE DE DATOS

Los datos estadísticos relativos a la opinión corriente de los consumi-dores sobre determinados programas de televisión, nuevos productos, candidatos políticos y otros, no pueden hallarse en publicaciones. Por ello, este tipo de información debe reunirse a través de la entrevista personal, por cuestionarios o algún otro medio. La ventaja de ello es el alto porcentaje de respuestas posibles. Sin embargo, es por regla ge-neral más costosa que enviar cuestionarios por correo.

Las firmas de analistas y consultores saben que es inconveniente el formulario postal como instrumento para recopilar datos por ser rela-tivamente bajo el porcentaje de respuestas a ciertos cuestionarios. La conveniencia principal del cuestionario como técnica de recopila-ción de datos es sus costos relativamente bajo.

IV. PRESENTACIÓN DE DATOS

Gráfica de líneas simples y de barras simples. Cualquiera de estos dos tipos de gráfico puede utilizarse ventajosamente para repre-sentar la tendencia general de la producción.

El cúmulo de datos estadísticos dentro de una empresa, de fuentes publicadas, o recopilados por entrevistas personales, no está usual-mente apta para un análisis. Los datos deben organizarse y presen-tarse en una tabla o gráfico, antes de efectuar ningún análisis ni in-terpretación. Si se necesitan cifras exactas de un informe convendría presentar los datos en una tabla. En caso contrario, es preferible un gráfico para atraer la atención del lector.

Gráfico de líneas múltiples y de barras múltiples. La tendencia o movimiento de las exportaciones de dos comercializadoras se pueden representar gráficamente.

Gráfico de barras de componentes. El gerente de ventas de una embotelladora desea graficar el total de ventas en tres años y también la variedad de los productos en relación con el total. Podría utilizar un gráfico de líneas o un gráfico de barras.

Gráfico de barras bi direccionales. Para indicar los cambios porcentuales puede utilizarse un gráfico bi direccional, que también es útil para ilustrar ganancias y pérdidas, producción o ventas cobre lo normal o bajo lo normal de un período a otro. Por ejemplo, se repre-sentan los cambios porcentuales de ventas correspondientes a cinco años de ventas:

Sucursales ₂₀₀₅ Ventas _{2010 Porcentual}Cambio

Mercado Central 10 8 -20 Mercado Sur 5 7 +40 Mercado Norte 2 4 +100 Mercado Este 6 3 -50 Mercado Oeste 10 11 +10 V. ANÁLISIS DE DATOS

Un análisis de datos suele seguir los siguientes pasos:

Análisis exploratorio de datos: Estadística descriptiva de cada variable por separado. Se obtienen medidas de tendencia central, riabilidad, representación gráfica, etc. Se pretende conocer cada va-riable así como detectar errores, valores extremos.

Estadística Bivariable: Estudia las relaciones entre pares de va-riables, utilizando estadísticos como el coeficiente de correlación Chi– cuadrado, t de Student, etc. y representaciones gráficas diversas. Análisis Multivariante: Analiza simultáneamente dos o más va-riables. Los métodos pueden ser predictivos cuando existe una varia-ble criterio o independiente que se explica o identifica por un conjunto de variables independientes, predoctoras o explicativas (Regresión lineal, Regresión cuadrática, análisis discriminante, análisis de va-rianza) o reductivos cuando se estudian las relaciones entre un con-junto de variables o casos sin que exista una variable a identificar (componentes principales, análisis factorial, correspondencia binaria, correspondencia múltiple).

Usos de variables en el análisis

Las variables pueden ser definidas para medir una determinada sali-da o respuesta o bien para explicar por que se obtiene una determina-da salidetermina-da. Por ejemplo en el estudio de una enfermedetermina-dad, las variables edad, antecedentes, severidad del estado, tratamiento son variables

explicativas o independientes. Las variables discretas sana/no sana es la variable dependiente.

En ciertos análisis exploratorios todas las variables se usan como un único conjunto, sin distinción entre independientes y dependientes. Análisis apropiado de datos

Son dos motivos por lo que resulta difícil la elección de la técnica esta-dística adecuada para un investigador con datos reales.

El primero es que los libros de estadística y los cursos curriculares se presentan en un orden lógico desde el punto de vista de la enseñanza de las materias, pero desde el punto de vista del proceso del análisis de datos.

La segunda es que los datos reales contienen mezcla de tipos de datos que hacen la elección del análisis arbitrario.

Una buena estrategia consiste en aplicar diferentes análisis al mismo conjunto de datos, lo que nos proporcionará información variada sobre el fenómeno en estudio.

Para decidir el análisis apropiado se clasifican las variables como:

 Independiente frente a dependientes

 Nominal u ordinaria frente intervalos VI. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

Los problemas industriales abarcan una gran masa de datos cuantita-tivos a los que deben darse ciertas formas significativas antes de po-der efectuar ningún análisis e interpretación. Una forma de uso co-rriente es la distribución de frecuencia. Existen dos tipos de variables, a saber: discretas y continuas. El análisis de la distribución de fre-cuencia se refiere a datos continuos.

Ordenamiento

Los datos que se haya sin agrupar son difíciles de analizar. Sea, por ejemplo, determinar los ingresos bajos y los elevados y un punto cen-tral de concentración, si lo hubiere.

Por lo tanto es esencial, para analizar las entradas, organizar los da-tos que están sin agrupar en una forma agrupada llamada distribu-ción de frecuencia.

Según la naturaleza de la variable estudiada las distribuciones de frecuencias pueden ser:

Datos no agrupados: se presentan cuando el número de valores que puede presentar la variable no es muy elevado, y en ese caso po-demos observar todos los valores de esa variable. Este caso se presen-ta cuando la variable es discrepresen-ta y continua no presenpresen-ta excesivos valores.

Datos en intervalos: se presenta cuando la variable es continua o cuando es discreta pero con elevado número de valores. En esta situa-ción se agrupan dichos valores en intervalos o clases. Los intervalos se notan:

e



e

Se llama amplitud del intervalo a la distancia que existe entre los ex-tremos. 1 





e

e

a

Se llama marca de clase al punto medio de un intervalo. Este punto es importante porque es el representante del intervalo.

2 1 1     i i i e e x

Se llama densidad de frecuencia de un intervalo a la frecuencia co-rrespondiente a cada unidad de la variable en dicho intervalo.

i i

i

_a

n

d



Los intervalos se suelen tomar abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha, salvo el primero que se toma cerrado por los dos lados. En este tipo de distribuciones se pierde parte de la información al

agruparlas en intervalos, ya no se puede hablar de valores concretos sino de intervalos.

Cuanto mayor sea la amplitud de los intervalos menos intervalos ha-brá, y por tanto menos precisión tendremos. En cambio, cuanto menor sea la amplitud de los intervalos menos intervalos habrá, y mayor será la precisión, sin embargo la distribución será mas grande y más difícil de manejar.

Intervalo de clase

Con el propósito de preparar una distribución de frecuencia a partir del ordenamiento y el apuntado, los ingresos podrían agruparse arbi-trariamente en clases con un intervalo digamos 250 dólares. Este va-lor se denomina amplitud de clase. El intervalo de clase es, sencillo, la amplitud de los ingresos mensuales para cada clase. Una manera conveniente de determinarlo es encontrar la diferencia entre los lími-tes inferiores de dos clases adyacenlími-tes o la diferencia entre las marcas de clase adyacente.

VII. CRITERIOS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA En la práctica, la cantidad total de clases varía usualmente de un mí-nimo de 5 a un máximo de 20. El hecho de que sean muy pocas o mu-chas clases no nos aclara la característica esencial de los datos. Por ejemplo, si organizamos los ingresos de los operadores de computado-ras solamente en dos clases:

Ingreso Mensual (US$) Cantidad de operarios De 250 a 400

De 400 a 600 2523

Un análisis de distribución de frecuencia no revelaría mucho acerca de la estructura de los ingresos de los operarios.

Siempre que sea posible, el intervalo entre todas las clases se la distri-bución de frecuencia deberá ser igual. Los intervalos desiguales origi-nan problemas al graficar y al calcular promedios y otras medias estadística.

VIII. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Una medida de tendencia central es un número que representa el valor central de un conjunto de valores. Habitualmente, estas medidas se

llaman promedios. He aquí algunos ejemplos: el ingreso promedio de una familia, es de US$ 1500 por año; para el peso promedio de 60 fardos de fibra de llama utilizados para el tejido de alfombras y un diámetro promedio de pistones maquinados durante un jornal.

En el presente se consideran las herramientas estadísticas que más comúnmente se usan:

Media aritmética

Generalmente se le llama media o promedio. La media es simplemente la suma de una serie de datos numéricos dividida por el número total de ellos.

Es apropiado usar la media cuando los resultados son simétricos y tienen una distribución normal. Pero existen casos que estudiaremos a continuación:

Datos no agrupados: Si los datos no están agrupados la media aritmética se calcula tomando todas las mediciones y dividiendo la suma por el número de éstos.

Datos agrupados: La resistencia a la tracción de varios filamentos son 6, 6, 7, 7, 8, 8, y 9,4. Estos valores se agrupan en una distribución de frecuencia.

El punto medio de cada clase se usa para representar la clase. El pun-to medio de la clase se multiplica enpun-tonces por el número de frecuencia en esa clase. La suma de estos productos se divide por la cantidad total de datos para obtener la media aritmética.

Ejemplo 1.1

La tabla 1.1 muestra los puntajes de tres artículos en una prueba de degustación, usando preguntas cualitativas de escalas, a fin de cuanti-ficar los valores.

Todos los productos probados tienen la misma media. La media de 20 es esta escala es bastante descriptiva de la distribución normal del producto 1, pero sería engañoso si se usara para describir el producto 2 ó el producto 3. La mayoría de los resultados en una investigación tienen una distribución normal (es decir, en forma de campana alre-dedor de un punto medio) pero otras distribuciones son lo bastante

comunes como para que se deba verificar siempre, antes de usar la media, si ésta es en realidad descriptiva.

n X

X _ i _{i ,12,...n}

La media tiene otra debilidad sobre la que se debe estar alerta: se ve afectada por las observaciones extremas.

Tabla 1.1 Puntaje de tres productos en preguntas de degustación Nivel de degustación 1 Producto2 3 5 4 3 2 1 10 5 70 5 10 20 20 20 20 20 0 50 50 0 0 Media 20 20 20 Ejemplo 1.2

Si los ingresos de dos profesionales se promedian con los ingresos de diez peones, el ingreso para todos los doce será de más de US$ 250, que obviamente es una cifra engañosa, si se evita usar la media para datos que no tengan una distribución normal o para datos que inclu-yan observaciones extremas, ésta es la medida estadística más útil para describir el promedio.

Tabla 1.2 Mano de obra por día para cada producto Personal Jornal (US$) Producto 1 Producto 2 Calificado Semi calificado No calificado 20 10 5 8 5 3 8 5 2

Media aritmética ponderada

Permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia o el factor que tiene cada valor sobre el total. Todas las medias aritméticas son ponderadas. Si no se dan factores específicos a todos y cada uno de los valores de la serie.

   i i i m m X X Ejemplo 1.3

Una empresa desea contratar tres tipos de personal: calificado, semi calificado y no calificado, para la producción de ciertos artefactos. La

gerencia desea conocer el costo promedio de mano de obra por día para cada producto.

El promedio aritmético simple es:

2 1 0,0160 661 ,1 644 , 0 X X Y  

El costo de mano de obra promedio del producto 1 es,





,

11    US

Y para una unidad del producto 2 es,

 _{ 2 } 2

2Ag Fe AgO Fe

El análisis de esta manera es incorrecto, ya que no se toma en cuenta que se trabaja con diferente personal.

Ejemplo 1.4

Se compra material de construcción a tres empresas comercializado-ras siendo sus costos: 80 kilo a 0,5 dólares por kilo, 20 kilo a 0,7 dóla-res y 10 kilos a 0,9 dóladóla-res.

Determine el precio promedio por kilos de alambrón.

Tabla 1,3 Precio por kilo de alambrón Precio por kilo (Xi) Kilo comprado (mi)

0,5 0,7 0,9 80 20 10 Total 110 Aplicando la fórmula    i i i m m X X

























Comparando con el promedio simple





1 X X

        





X 0,5 800,7 200,910 /1100,5727 $/

Media armónica

Es el inverso del valor medio, se la utiliza con frecuencia para la medi-ción y análisis de flujos volumétricos.

  i X n H 1 Ejemplo 1.5

Calcular el flujo volumétrico medio (FVM) de dos bombas que entre-gan combustible 10000 litros a razón de 500 litros por minuto y 10000 litros a razón de 100 litros por minuto, n = 2

min / 7 , 166 100 / 1 500 / 1 1 2 litros H       

El resultado también puede obtenerse calculando el tiempo necesario para bombear 10000 litros con los dos flujos volumétricos y dividien-do el resultadividien-do por el número total de litros bombeadividien-dos, es decir:

r1= 10000/500 = 20 min

r2= 10000/100 = 100 min

FVM = (10000 + 10000)/120 = 166,7 l/min

Obsérvese que el valor medio es de 300 litros por minuto, casi el doble de la media armónica.

Media geométrica

La media geométrica Xges la n-raíz de los productos de la n observa-ciones medidas, de amplia utilidad en economía.

n i g X X   En forma logarítmica    n nLogX X Log i g

Una aplicación importante es determinar el incremento porcentual promedio en ventas, producción u otras variables correspondientes a un lapso dado.

Una modificación de la fórmula es: 1 Pr 1 1 _               Lapso imer Lapso Último Log n X Log g Ejemplo 1.6

Supongamos que durante cinco años de una economía inflacionaria, las entidades crediticias pagan tasas altas de interés de 10, 20, 25, 30 y 40 por ciento.

Hallar la tasa de interés promedio anual de un depósito de 1000 dóla-res.

Tabla 1.4 Economía inflacionaria

Año Tasa de interés Factor de crecimiento Ahorro al final de año (US$) 1 2 3 4 5 10 20 25 30 40 2 3 3,5 4 5 1000*2 = 2000 2000*3 = 6000 6000*3,5 = 21000 21000*4 = 84000 84000*5 = 420000

El factor de crecimiento anual, será:





X 233,545/53,5

Pero 3,5 = 1 + 25/10

Corresponde a una tasa de interés promedio de 20% anual. Entonces, el depósito de 1000 dólares crecerá en cinco años:





 

columna

SC

Este es un valor excedente al real en más de US$ 10521 - 8,75 un error muy considerable.

Usando la media geométrica, el factor de crecimiento promedio Anual corresponde a una tasa de interés promedio de 235% anual o 3,35 = 1 + 235/100 entonces el depósito de 1000 dólares crecerá en cinco años a:





 

Siendo está la media más apropiada para el caso. Media cuadrática

De un conjunto de números Xnes denotado por la raíz cuadrada de la media cuadrática y es definida como:

n X Xq 

2

Ejemplo 1.7

Evalué los datos que se muestran a continuación 1, 5, 7 y 9

24 , 6  q X Mediana

Se llama mediana de una variable estadística a aquel valor de la va-riable tal que el número de observaciones menores que él es igual que el número de observaciones mayores. Se nota Me y se puede conside-rar como el punto de abscisas cuya ordenada en la curva vale ½.

i i i i e i i i i e _a n N N e M n a N N e M CC AC BB AB                    1 1 1 1 /2 2 / ´ ´ ´ ´

Datos no agrupados: La mediana es el valor correspondiente a un punto de una escala con respecto al cual la mitad superior agrupa igual cantidad de valores que la mitad inferior. Para determinar la mediana de datos no agrupados se ordenan, en primer lugar, de me-nor a mayor.

Datos agrupados: Ordenar algunas observaciones no agrupadas de menor a mayor y elegir el valor central representa poco trabajo. Sin embargo, si son muchas las observaciones siempre es un problema ordenarla y encontrar el punto medio. En cambio, en datos cuantitati-vos es posible clasificarla directamente en clases y hallar una aproxi-mación de la mediana en función de la distribución de frecuencia re-sultante.

La mediana se puede clasificar con la fórmula siguiente:

i f F n L Mediana _         /2 Donde:

L Límite inferior de la clase en que se ubica la mediana n Cantidad de datos

F Frecuencia acumulativa para la clase inmediata inferior f Frecuencia en la clase media

i Amplitud del intervalo de clase Ejemplo 1.8

Ordene los valores por su magnitud, obtenga la mediana. 92,3 92,6 92,5 92,8 92,4.

Resulta ser la mediana 92,5 Moda

La moda es la única medida que se puede definir para caracteres cua-litativos. Se define la moda de una distribución como aquel valor que se ha presentado más veces, es decir, es aquel que su frecuencia abso-luta es máxima.

Si la distribución es agrupada en intervalos se habla de intervalo mo-dal.

Una moda en una distribución no tiene por qué ser única, puede haber más de una en una misma distribución, y entonces se habla de distri-buciones bimodales, trimodales, o en general plurimodales.

Datos no agrupados: El modo se define como el valor de la obser-vación que aparece con mayor frecuencia. Cuando existe solo un

mo-do, la distribución se llama unimodal, si existen dos valores que apa-recen con frecuencia, la distribución recibe la denominación bimodal. Datos agrupados: El modo observado para datos agrupados en una distribución de frecuencia es el punto medio de la clase en donde se encuentra el mayor número de frecuencia.

IX. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión nos van a informar sobre el grado de es-parcimiento de la distribución, es decir, nos van a decir si los valores que aparecen están más o menos concentrados. Por tanto, nos van informar también sobre el grado de representatividad de la medida de posición, pues cuanto más concentrados estén los valores que toma la variable mejor representará un solo valor a toda la distribución. Varianza

La varianza es una medida de dispersión que mide el grado de espar-cimiento de una distribución alrededor de la media aritmética. Cuanto más grande sea la varianza más esparcidos estarán los valores de la variable. La varianza se suele notar σ2 _{y se calcula:}





_

_





Al igual que en la media aritmética los Xirepresentan a los valores de la variable si es una distribución no agrupada y a las marcas de clase si es una distribución agrupada en intervalos.

La varianza es la suma de las desviaciones de los valores de la varia-ble sobre la media aritmética ponderada por las frecuencias. Por lo tanto, cuanto menor sea la varianza más agrupada estará la distribu-ción en torno a su media aritmética.

La varianza viene expresada en las mismas unidades que la variable pero al cuadrado.

Desviación típica

La desviación típica se define para obtener una medida de dispersión que venga expresada en las mismas unidades que la variable. Se defi-ne como la raíz cuadrada de la varianza.

²







Coeficiente de variación

Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión absoluta, es decir, nos hablan de la dispersión de la variable que esta-mos estudiando, pero no nos permiten comparar la dispersión de dos distribuciones distintas.

El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa que nos va permitir comparar dos distribuciones distintas, se define como el cociente entre la desviación típica y la media aritmética.

X

CV





El coeficiente de variación es un coeficiente adimensional y solo se puede definir cuando la media aritmética es distinta de cero. Para comparar la dispersión de dos distribuciones basta con compa-rar sus coeficientes de variación, aquella que su coeficiente de varia-ción sea menor es la que esta más concentrada en torno a su media aritmética.

Problemas

(1) Un operario que trabaja a jornal gana por mes US$ 150, otro mes US$ 120 y otro mes US$ 140.

¿Cuánto gana en promedio mensualmente?

(2) Los ingresos sobre ventas en una tienda comercial se evalúan cada semestre. Los siguientes datos representan, los ingresos (en dólares) por cada mes: 300, 280, 350, 320, 290 y 325 Determine el ingreso medio de la muestra.

(3) Durante dos semanas se ha observado la temperatura en °C al medio día, siendo los resultados:

12 10 14 18 9 8 10

8 9 11 10 11 10 11

Determine la temperatura media de la muestra. (4) Calcular la media de los datos agrupados:

Y 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

n 3 4 6 2 2 3 1 1 2 2 4

(5) Un grupo de micro empresarios, trabajan con obreros eventua-les. Ciertos días trabajan con seis, ocho y cuatro.

En la mayoría de las veces trabajan con siete obreros, siendo en total ocho micro empresas.

Cuál es el promedio de obreros por micro empresa

(6) Supongamos que se han registrado 50 observaciones referentes a los pesos de 50 garrafas de gas licuado, la muestra fue obteni-da de la producción por hora y las uniobteni-dades están obteni-daobteni-das en ki-logramo 9.8 9.3 9,5 9,2 9,4 9,2 9,3 9,3 9,5 9,4 9,2 9,3 9,5 9,3 9,4 9,3 9,2 9,1 9,3 9,3 9,4 9,5 9,4 9,4 9,2 9,4 9,6, 9,6 9,3 9,1 9,4 9,2 9,5 9,3 9,2 9,3 9,2 9,3 9,4 9,6 9,4 9,3 9,4 9,3 9,4 9,3 9,3 9,4 9,2 9,4

Calcule el peso promedio de las garrafas

Si el peso estándar es de 10 kilos cuanto de gas falta en prome-dio

(7) La temperatura registrada en un vivero, a cierta hora de un día cualquiera, en grados centígrados, fueron 30, 32, 39, 32, 33, 31, 38, 37, 32 y 31.

Determine la media en grados Fahrenheit.

(8) Un proyecto económico muestra que el consumo de alimentos de un barrio marginal de 350 personas es en promedio de US$ 120 mensuales. Halle la media del gasto diario en alimentación. (9) El ingreso percapite mensual en un país es US$ 250. El sector

2/5 del ingreso total. Calcule el ingreso medio por habitante del sector.

(10) Una empresa A tiene 80 empleados con un sueldo promedio mensual de 180 dólares por empleado. La empresa B tiene 120 empleados con un sueldo promedio mensual por empleado de 200 dólares por empleado, calcular:

Cuál es el sueldo promedio mensual de las dos empresas en con-junto

Se agrega una tercera empresa con 40 empleados y un sueldo promedio mensual de 250 dólares por empleado.

¿Cuál es el sueldo promedio de las tres empresas en conjunto? (11) Se compran 100 kilos de carne de res a 2,3 dólares por kilo, 50

kilos de carne de cerdo a 2,8 dólares por kilo y 20 kilos de carne de cordero a 1,8 dólares por kilo. Un plato de Buffet tiene un cos-to de 8 dólares en donde se incluyen los tres tipos de carnes a ra-zón de 1:0,5:0,2 respectivamente.

¿Determine el promedio de platos Buffet que podrán prepararse y cuanto de carne sobra?

(12) Una empresa industrial fabrica azulejos a 60 dólares por metro cuadrado, jarrones a 20 dólares la unidad y floreros a 5 dólares por unidad. Un decorador desea adquirir dichos productos pero cuenta tan sólo con 500 dólares y tiene un ambiente de 20 me-tros cuadrados.

¿Determine el promedio de cada producto para la decoración del ambiente?

(13) Un proyecto minero posee cuatro ingenios auríferos. El ingenio A tiene una ley de cabeza de 8 gramos por tonelada y trabajan 20 mineros. El ingenio B tiene una ley de cabeza de 4 gramos por tonelada y trabajan 12 mineros. El ingenio C tiene una ley de cabeza de 12 gramos por tonelada y trabajan 25 mineros. El ingenio D tiene una ley 2 gramos por tonelada y trabajan 25 mineros.

¿Determine la media aritmética y la media geométrica de la ley de cabeza?

Si el costo real del oro es de 30,2 dólares por gramo.

¿Evalué el costo de mano de obra, siend0 la relación de produc-ción de A=2B, C=5D, A=3D en cada ingenio?

¿En que ingenio se trabaja a perdida?

(14) Se tiene sospecha de que en las aguas subterráneas las concen-traciones de nitritos superan las normas establecidas para la crianza de peces, dicha concentración es de 0,03 mg NO2/l. Para tratar de verificar la sospecha, se midieron los niveles de nitritos

en diez puntos aleatorios del acuífero y se obtuvieron los si-guientes datos.

0,02 0,05 0,03 0,05 0,04 0,06 0,07 0,03 0,04 0,03

Estime el nivel de confianza al 90% que las concentraciones de nitritos superan las normas establecidas para que sea factible la existencia de vida piscícola en la zona.

(15) Los datos obtenidos de una muestra aleatoria simple de tamaño 30 de la distribución X, porcentaje de incremento del contenido de alcohol en la sangre de una persona, después de ingerir cua-tro cervezas es.

2 , 41



X s21,

Calcular un intervalo de confianza del 90% para el porcentaje medio de alcohol en la sangre de una persona, después de tomar cuatro cervezas.

Si se calcula un intervalo de confianza del 95%, cual será el de mayor o menor amplitud.

(16) El 2000 se reforestaron más de 3 millones de acres con dos mil millones de plantas de viveros. Una grave sequía durante las si-guientes estaciones mató a muchas de estas plantas. Se obtuvo una muestra de 1000 plantas y se descubrió que 300 estaban muertas. Obtener un intervalo de confianza del 90% de la pro-porción de plantas del vivero muertas. Utilizar dicha informa-ción para estimar el número de plantas muertas en la poblainforma-ción. (17) La capacidad de los equipos de vidrio producido en una deter-minada empresa de vidrio tiene una distribución normal. Una muestra aleatoria de 7 de ellas dio como resultado un varianza de 62 mililitros. Dar una estimación, mediante un intervalo de confianza del 95% de la varianza de la capacidad del equipo de vidrio que fabrica dicha empresa.

(18) Se quiere estudiar la eficacia de un tratamiento para eliminar una bacteria de un pino. En una muestra aleatoria de 150 pinos sometidos al tratamiento, 118 resultaron sanos. En otra muestra aleatoria de 130 pinos no tratados, los pinos sanos fueron 91. Construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en la taza de pinos sanos entre los tratados y los no tratados. A que conclusión llega respecto a la efectividad del tratamiento. (19) Para estudiar el rendimiento de dos tipos de cereales se hacen

20 determinaciones en parcelas donde se ha sembrado cereal del tipo A y 18 determinaciones en parcelas con cereales tipo B con los resultados siguientes.

área Kg XA14,5 / sA3,23 Kg/área área Kg XB15,3 / sB  ,185 Kg/área

Son igualmente efectivos para el cultivo los cereales A y B al ni-vel de confianza del 90%

(20) Se realizó un estudio para comparar en lácteos el contenido de sodio en el plasma y en leche. Se obtuvieron las siguientes obser-vaciones sobre el contenido de sodio (mili moles por litro de le-che), en 10 envases aleatoriamente seleccionadas.

Envase 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Leche

Plasma 14793 104157 14295 14181 14295 14795 14876 14480 14479 14687

Hallar un intervalo de confianza del 95% de la diferencia media de los niveles de sodio en los fluidos del lácteo

(21) En el departamento de control de calidad de una empresa, se quiere determinar si ha habido un descenso significativo de la calidad de su producto entre las producciones de dos semanas consecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana. Deciden tomar una muestra de la producción de cada semana, si la calidad de cada artículo se mide en una esca-la de 100, obtienen los resultados siguientes:

Semana I 93 86 90 90 94 91 92 96

Semana II 93 87 97 90 88 87 84 93

Suponiendo que las varianzas de la puntuación en las dos pro-ducciones son iguales, construye un intervalo de confianza para la diferencia de medias al nivel de 95%.

Interpreta los resultados obtenidos.

(22) Sospechamos que nuestro cromatógrafo está estropeado, y que-remos determinar si los resultados que nos proporciona son lo suficientemente precisos. Para ello, realizamos una serie de 8 mediciones del contenido de una solución de referencia que, sa-bemos, contiene 90% de un determinado compuesto. Los resul-tados que obtenemos son:

93,3 86,8 90,4 90,1 94,9 91,6 92,3 96,5

Construir un intervalo de confianza al nivel de 95% para la va-rianza poblacional. ¿Qué conclusiones podemos realizar?

(23) Se ha hecho un estudio sobre la proporción de enfermos de cán-cer de pulmón detectados en hospital que fuman, obteniéndose que de 123 enfermos 41 de ellos eran fumadores. Obtener un in-tervalo de confianza para dicha proporción. Estudiar si dicha proporción puede considerarse igual a la proporción de fuma-dores en la población si ésta es de un 29%.

(24) Para estudiar la efectividad de un medicamento contra la diabe-tes se mide la cantidad de glucemia en sangre andiabe-tes y después de la administración de dicho medicamento, obteniéndose los resul-tados siguientes:

Antes 7,2 7,3 6,5 4,2 3,1 5,3 5,6 Después 5,2 5,4 5,3 4,7 4,1 5,4 4,9

Estimar la reducción producida por el medicamento.

(25) Eres el encargado de un departamento de producción en una fábrica y recibes un lote de 2000 piezas necesarias para la fa-bricación de un artículo. Tienes la responsabilidad de aceptar o rechazar el lote, si estimas que la calidad de éste no es suficiente. El fabricante te asegura que, en este lote, no hay más de 100 pie-zas defectuosas, pero decides tomar una muestra para estimar la proporción de las mismas.

a) ¿Cuántas piezas decides examinar para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que cometas en la estimación de la proporción poblacional de defectuosas no sea mayor que 0.05? b) Si decides tomar una muestra de 100 artículos escogidos al azar en el lote y realizas el recuento de piezas defectuosas en es-ta muestra, encontrado 4 artículos defectuosos.

Construye para la proporción de defectuosos en el lote, un inter-valo de confianza al nivel de 95% de confianza. ¿Se debe recha-zar el lote?

(26) Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes:

448 460 514 488 592 490 507 513 492 534 523 452 464 562 584 507 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmen-te, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

(27) Se considera una población representada por una variante ε, de suerte que la media poblacional es igual a 25 y la varianza po-blacional es igual a 240. Supuesto extraídas muestras de tama-ño 100, muestreo aleatorio simple, determinar la probabilidad de que el estadístico media muestral, Ax, este comprendido entre los valores 23; 55 y 28,1.

(28) La duración aleatoria de las unidades producidas de un artículo, se distribuye según la ley normal, con desviación típica igual a seis minutos. Elegidas al azar cien unidades, resulto ser la dura-ción media de 14,35 minutos. Elaborar el intervalo de confianza del 99% para la duración media de las unidades producidas. (29) Se estudiaron 40 muestras de aceite crudo de determinado

pro-veedor con el fin de detectar la presencia del níquel mediante una prueba que nunca da un resultado erróneo. Si en 5 de dichas muestras se observo la presencia de níquel ¿podemos creer al proveedor cuando asegura que a lo sumo el 8% de las muestras contienen níquel?

(30) La resistividad eléctrica de ciertas barras de aleación de Cromo-molibdeno es una variable N(12,5; 4,1).Un investigador acaba de calibrar un aparato que mide dicha resistividad y para com-probar que lo ha hecho bien utiliza el sistema consistente en me-dir cuatro barras y aceptar que el calibrado es bueno si encuen-tra al menos un valor inferior y otro superior a 12,5.

Determinar el nivel de significación del contraste que esta lle-vando a cabo. ¿Es sensible el contraste a una mayor o menor dispersión de la variable resistividad?

(31) En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el má-ximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual.

(32) En una muestra aleatoria de 90 pacientes se mide el nivel de glucosa en sangre en ayunas. Se obtiene X132mg/dl y s2=109.

Construir el intervalo de confianza al 95%.

(33) Para evaluar una vacuna para la gripe se selecciona un grupo de 200 individuos de riesgo. Se eligen 100 de ellos y se les sumi-nistra la vacuna; de ellos 10 pasan la gripe. Construir un inter-valo de confianza al 95% para la probabilidad de pasar la gripe si se esta vacunado. En los otros 100 pacientes sin vacunar la pasan 20. ¿Es eficaz la vacuna?

(34) Se analizan 9 zumos de fruta y se ha obtenido un contenido me-dio de fruta de 22 mg por 100 cc de zumo. La varianza poblacio-nal es desconocida, por lo que se ha calculado la desviación típi-ca de la muestra que ha resultado ser 6,3 mg de fruta por típi-cada 100 cc de zumo. Suponiendo que el contenido de fruta del zumo es normal, estimar el contenido medio de fruta de los zumos tan-to puntualmente como por intervalos al 95% de confianza. (35) Una firma comercial encuesta a 100 individuos para conocer sus

opiniones sobre la elección de dos productos alternativos A y B recientemente fabricados. El resultado de la encuesta arroja que el producto A lo han elegido 55 individuos y el producto B 45. Hallar un intervalo de confianza al 95% para la proporción de individuos que eligen cada producto.

(36) En un proceso de fabricación de pilas alcalinas se sabe que su duración media es de 1100 horas y que dicha duración sigue una distribución normal. El nuevo proceso busca reducir la