Tema I Estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región elástica

Tema I

Estudios de los

esfuerzos y

deformaciones en la

Fuerzas Internas

Las fuerzas internas, se pueden considerar como fuerzas de interacción entre las partículas de los materiales . Además se puede imaginar que estas fuerzas quedan expuestas al pasar diferentes planos cortantes a través del cuerpo.

Fuerzo resultante y momento

resultante

Esfuerzo

Las fuerzas internas que actúan en diferentes puntos de un plano cortante se describen en función de una cantidad llamada “esfuerzo” que representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área.

Fuerzas que actúan sobre un punto o

una porción de área referido al plano

de corte

P

Esfuerzo Promedio

 Sea “F” la fuerza resultante del sistema de fuerzas

interiores anteriormente mostrado, se define “esfuerzo promedio” sobre la sección, al cociente de la fuerza F sobre la sección A. Asimismo se debe considerar una porción ΔA sobre la cual actúa la fuerza ΔF siendo el esfuerzo promedio el cociente de ΔF entre ΔA

A

F

A

F

m m



















Esfuerzo en un punto de la sección

ΔA

 Si P es un punto perteneciente al área ΔA, se

define el esfuerzo en este punto como el límite del cociente de ΔF entre ΔA cuando ΔA tiende a cero.

dA

F

d

A

F

A s







_







 

lim

0



Esfuerzo Normal

 La componente vectorial de F sobre la normal a la

sección trazada por el centroide se representa por el vector N. A partir de ella se define el esfuerzo promedio sobre toda la superficie como el cociente de N y A, igualmente se hace para una porción de área ΔA donde actúa la fuerza ΔN que es la componente vectorial de ΔF sobre la normal al plano.

A

N

A

N

n n

















_



Esfuerzo normal en un punto

 Sea P un punto perteneciente al área ΔA, el

esfuerzo normal en dicho punto se define como:

dA

N

d

A

N

A n







_







 

lim

0



Dirección normal al plano que pasa

por el punto P

Y n    z X

 

 

 

 

 

 

k

n

j

m

i

l

n

k

j

i

n

k

z

n

j

y

n

i

x

n

n

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

cos

ˆ

cos

ˆ

cos

ˆ

ˆ

,

cos

ˆ

,

cos

ˆ

,

cos

ˆ

























k

n

j

m

i

l

n

ˆ



ˆ



ˆ



ˆ









_n





_s

n

ˆ



_s

cos

Como se vio anteriormente, la dirección normal al plano se representa de la siguiente manera:

La componente escalar del esfuerzo normal medio sobre toda la superficie se define como:

La componente escalar del esfuerzo normal en un punto se define como:

n

m

m



ˆ







Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

esfuerzo normal

La componente vectorial del esfuerzo normal se haya por medio del teorema de Cauchy



 

n

n



n

n

_{s s}

n

n





ˆ





cos



ˆ







ˆ



ˆ







El esfuerzo normal es a tensión si tiene el mismo sentido de la normal (se considera positivo).

El esfuerzo normal es a compresión si tiene sentido contrario al de la normal (se considera negativo).

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Esfuerzo Tangencial

La componente vectorial de la fuerza F en dirección de la recta t a la sección trazada por el centroide se representa con el vector T. El esfuerzo tangencial promedio sobre la sección A se define como:

A

T

tm





_



El esfuerzo tangencial promedio sobre la porción de área ΔA

A

T

tm













Esfuerzo Tangencial en un punto

Sea P un punto perteneciente a la porción de área ΔA, se define el esfuerzo tangencial sobre dicho punto como:

dA

T

d

A

T

A t







_







 

lim

0



La dirección tangente viene dada por:

La componente escalar del esfuerzo tangencial viene dada por:







sen

n

x

s

x

n

t

ˆ



ˆ

ˆ

ˆ

t

s t



ˆ









t



t



n



n

t

_{s s} t t







ˆ







ˆ



ˆ



ˆ







ˆ









La componente vectorial del esfuerzo tangencial

en dirección de la recta t se define como:

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Componentes vectoriales del

esfuerzo resultante

Ángulo entre el vector esfuerzo

resultante y el vector esfuerzo normal

s

n









arccos



_

Componentes normal y tangencial del

esfuerzo σ

s

El vector esfuerzo referido a la sección A, a la porción de área ΔA o al punto P tiene dos componentes escalares, una componente normal y otra tangencial. Como las direcciones normal y tangencial son perpendiculares entre si,

podemos decir que:



_s2





_n2





_t2

Componentes escalares del esfuerzo

σ

s

si la sección es un plano

coordenado

Para determinar las componentes cartesianas del esfuerzo σs, es necesario definir un sistema de

ejes cartesianos. De manera que el plano π corresponde a un plano coordenado, la normal a este plano que pasa por el origen es un eje coordenado;

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Cortes del elemento de volumen

paralelos a los planos coordenados

Componentes escalares de σ para los

diferentes planos coordenados

Plano π Ox Oy Oz Identificación

Oyz σ_xx _xy _xz La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X

Oxz _yx σ_yy _yz La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje Y

Oxy _zx _xy σ_xx La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X

     yx yz y 

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Componentes escalares de σ para los

diferentes planos coordenados

Para establecer el estado de esfuerzo en un punto se ha de definir nueve cantidades, sin embargo es posible cierta simplificación, para esto se busca una relación entre los esfuerzos tangenciales que actúan en planos perpendiculares entre si colocados en un cuerpo en equilibrio el cual es un paralelepípedo con aristas Δx, Δy, Δz en dirección de cada eje con las caras respectivas paralelas a los planos coordenados. A continuación se hace un ejemplo para los esfuerzos cortantes



zy y



yz,

para los demas se sigue el mismo procedimiento

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Las fuerzas asociadas con los esfuerzos



zy y



yz ejercen su acción sobre las caras

correspondientes del paralelepípedo, sus valores corresponden al producto del esfuerzo por el área de la cara.

F1 =



zyΔxΔy F2 =



yzΔxΔz igualmente para F3 y F4 yz zy zy yz F1 F2 F3 F4 Y X Z

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

El paralelepípedo es una porción del cuerpo en equilibrio, por lo que la sumatoria de fuerzas verticales y la sumatoria de fuerzas horizontales debe ser cero.

F

1

+ F

3

= 0 F

1

= -F

3

F

2

+ F

4

= 0 F

2

= - F

4

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Las fuerzas F1 y F3 forman un par,

igualmente las fuerzas F2 y F4, para que el

paralelepípedo esté en equilibrio los dos pares deben producir momentos iguales y de signo contrario, la suma de ambos debe ser nula:



zy

ΔxΔyΔz -



yz

ΔxΔyΔz = 0

de donde



zy

=



yz

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Se sigue el mismo procedimiento para los demás esfuerzos cortantes, entonces se afirma lo siguiente



xy

=



yx



xz

=



zx



yz

=



zy

El estado de esfuerzos para un punto cualquiera de un sólido sometido a cargas se define entonces con seis componentes

σ

x

, σ

y

, σ

z

,



xy

,



xz

,



yz

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Convención de signos

Planos: Se considera que un plano coordenado es positivo si su normal (saliente del elemento de volumen) apunta en la dirección positiva de un eje coordenado. En caso contrario el plano será considerado negativo.

Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal se considera positivo si es de tracción y negativo si es de compresión.

Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangencial es positivo si, actuando en un plano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva (o negativa) de un eje coordenado. Por el contrario un esfuerzo tangencial será negativo si, actuando en un plano positivo ( o negativo), apunta en la dirección negativa (o positiva) de un eje coordenado.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Estado de esfuerzo en el punto P

Conocidos los esfuerzos en planos paralelos a los planos coordenados que pasan por un punto interior P en un cuerpo en equilibrio se desea conocer el vector esfuerzo que actúa en ese punto, referido a un plano que es perpendicular a la dirección definida por el vector y que pasa por dicho punto: 2 2 2

ˆ

ˆ

ˆ

z y x s s z y x s

S

S

S

k

S

j

S

i

S

























Esfuerzo vectorial resultante en el

punto P

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

ABC BOC BOA AOC A _{A1 A2 A3}

Cosenos directores que definen la

línea de acción del esfuerzo

resultante sobre el punto P





s x s s

S

l

x





,





_

cos





s z s s

S

n

z





,





_

cos





s y s s

S

m

y





,





_

cos

Si las dimensiones del tetraedro fueran constantes y finitas, además de las fuerzas sobre las caras habría que considerar el peso del material encerrado en su volumen, sin embargo, en el límite, el peso del material es despreciable, por eso no aparece en el siguiente sistema de fuerzas equivalentes

0

0

0

0

0

0

3 2 1 3 2 1 3 2 1





































A

A

A

A

S

F

A

A

A

A

S

F

A

A

A

A

S

F

z yz xz z z y y xy y y zx yx x x x



















A

A

n

A

A

m

A

A

l

3 2 1

cos

cos

cos



















Y n    z X R R X

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

a b c o e o a e α α β β A1 A2 A n

Componentes cartesianas del

esfuerzo resultante en el punto P

n

m

l

S

n

m

l

S

n

m

l

S

zz yz xz z zy yy xy y zx yx xx x



































































































n

m

l

S

S

S

zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x



















Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Esfuerzos y fuerzas en las caras del

tetraedro elemental

ABC BOC BOA AOC _Dirección A A₁ A₂ A₃ Sx σ_xx

_

yx



zx Ox Sy



xy σ_yy



zy Oy Sz



xz



yz σ_zz Oz SxA - σ_xxA₁ -



_yxA₂ -



_zxA₃ Ox SyA -



_xyA₁ - σyyA2 -



_zyA₃ Oy SzA -



_xzA₁ -



_yzA₂ - σzzA3 Oz Cara Área Componentes de esfuerzo Componentes de fuerza

Tensor de esfuerzos de Cauchy

(estado de esfuerzo en el punto P)

z

zy

zx

yz

y

yx

xz

xy

x

ij























Esfuerzo normal sobre el punto P

referido al plano en cuestión



 



n

S

m

S

l

S

k

n

j

m

i

l

k

S

j

S

i

S

n

z y x n z y x s n































ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ



lm

l

n

mn



n

m

l

_{y z xy xz yz} x n

















2



2



2



2





Si en la ecuación anterior sustituimos los valores de:

n

m

l

S

n

m

l

S

n

m

l

S

zz yz xz z zy yy xy y zx yx xx x





































Obtendríamos:

Esfuerzo tangencial en el punto P

referido al plano en cuestión

(vectorial)





































k

j

i

k

n

n

m

l

m

m

n

m

l

i

l

n

m

l

k

n

S

j

m

S

i

l

S

tz ty tx t n z yz xz n zy y xy n zx yx x t n z n y n x t

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ





























































































Esfuerzo tangencial en el punto P

referido al plano en cuestión (escalar)

2 2 2 2 2 n s t tz ty tx t t































Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación



 

 









_{2 2 2}



2 2 2 2

2

ml

l

n

nm

n

m

l

n

m

l

n

m

l

n

m

l

yz xz xy z y x z zy zx yz y yx xz xy x t































































Esfuerzos Principales

 Para cualquier estado de esfuerzos en un punto P

de un cuerpo, existen tres planos que pasan por ese punto sobre los cuales los esfuerzos tangenciales o cortantes son nulos y los únicos esfuerzos que actúan sobre ellos son esfuerzos normales. Estos planos son los “planos principales” y los esfuerzos normales a esos planos se les llama “esfuerzos principales”

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

El procedimiento es maximizar la ecuación del esfuerzo normal, haciendo uso del método de Lagrange donde la condición es:

Solamente l y m pueden ser consideradas como variables independientes de tal manera que:

1

2 2 2







n

m

l

2 2

1

l

m

S

m

S

l

S

_{x y z} n













Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Los valores extremos sobre los ejes principales se designan como una condición estacionaria y esta dada por:

0

0





















n

m

S

n

S

m

n

l

S

n

S

l

z y n z x n





Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

De lo anterior se obtiene la siguiente relación entre las componentes del esfuerzo resultante y los cosenos directores

n

S

m

S

l

S

_x



y



_z

La proporcionalidad de la ecuación anterior genera el siguiente postulado: “cuando sobre un plano se tiene un valor extremo o principal del esfuerzo normal, sobre este plano (Plano Principal) el esfuerzo cortante es nulo”.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

De la proporcionalidad anterior salen las siguientes ecuaciones

n

S

m

S

l

S

_x





_i

;

_y





_i

;

_z





_i

La condición para que este sistema de ecuaciones lineales homogéneas no presente soluciones triviales, es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero













0





























i z zy zx yz i y xy xz xy i x

























Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

0

3

2

2

1

3









I

I

I

_i

_i

i







El desarrollo del determinante proporciona una ecuación característica de tercer grado

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Como los esfuerzos principales son independientes de la orientación del sistema de referencia, los coeficientes de la expresión anterior tienen que ser también independientes de la orientación del sistema de referencia; las expresiones de éste tipo se denominan invariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, se

denominan invariantes de los esfuerzos.





2 2 2 3 2 2 2 2 1

2

_{xy xz yz x yz y xz z xy} z y x yz xz xy z x z y y x z y x

I

I

I















































































Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Invariantes de esfuerzo

El término I₃ es el resultado de resolver el determinante del tensor de esfuerzos

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación























z zy zx yz y yx xz xy x

I



















3

Según el teorema fundamental del álgebra la ecuación característica se puede escribir como el producto de las diferencias entre la incógnita y las raíces de la ecuación





_i





₁





_i





₂





_i





₃





0

De lo anterior tendríamos que los invariantes de esfuerzos pueden escribirse de la siguiente forma





3 2 1 3 1 3 3 2 2 1 2 3 2 1 1









































I

I

I

Es sumamente importante ordenar los esfuerzos principales de manera que:

σ

₁

> σ

₂

> σ

₃

algebraicamente

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Orden de los esfuerzos

principales

Direcciones Principales

Una vez determinados los esfuerzos principales se deben determinar los cosenos directores de los ejes principales (1), (2), (3), con respecto a los ejes de referencia X, Y, Z. Para este estudio, las tres direcciones principales se definen por medio de los vectores n1, n2, n3, dirigidos según la

normal a cada unos de los planos principales. De esta forma se tiene:

Cosenos directores para el eje (1)

 

 

 

 

 

 

k

N

j

M

i

L

n

k

j

i

n

k

z

j

y

i

x

n

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

cos

ˆ

cos

ˆ

cos

ˆ

ˆ

,

1

cos

ˆ

,

1

cos

ˆ

,

1

cos

ˆ

1 1 1 1 1 1 1 1 1

























Cosenos directores para el eje (2)

 

 

 

 

 

 

k

N

j

M

i

L

n

k

j

i

n

k

z

j

y

i

x

n

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

cos

ˆ

cos

ˆ

cos

ˆ

ˆ

,

2

cos

ˆ

,

2

cos

ˆ

,

2

cos

ˆ

2 2 2 2 2 2 2 2 2

























Cosenos directores para el eje (3)

 

 

 

 

 

 

k

N

j

M

i

L

n

k

j

i

n

k

z

j

y

i

x

n

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

cos

ˆ

cos

ˆ

cos

ˆ

ˆ

,

3

cos

ˆ

,

3

cos

ˆ

,

3

cos

ˆ

3 3 3 3 3 3 3 3 3

























En resumen tendríamos:

VECTOR EJE X Y Z

n

1 1 L1 M1 N1

n

2 2 L2 M2 N2

n

3 3 L3 M3 N3

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Z

X

Cálculo de las direcciones principales







 







i yz xz i y xy i xz i z xy zy i i z yz zy i y i

K

N

M

L



























































































1

2 2 2







i i i

M

N

L









_

_































































yz yz i y xy i xz i z xy zy i i z yz zy i y i

C

B

A

































Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

2 2 2

1

i i i i i i i i i i i i i

C

B

A

K

donde

K

C

N

K

B

M

K

A

L













Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i

C

B

A

C

N

C

B

A

B

M

C

B

A

A

L



















Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

i

j

si

N

N

M

M

L

L

_{i j}



_{i j}



_{i j}



0



Se demuestra asimismo que para dos planos principales cualesquiera :

lo cual significa que estos planos son perpendiculares entre si .

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Direcciones principales referidas al

sistema coordenado ortogonal 1,2,3

 

 

 

 

 

n

 

n

n

N

n

n

n

M

n

n

n

L

ˆ

ˆ

cos

3

,

cos

ˆ

ˆ

cos

2

,

cos

ˆ

ˆ

cos

1

,

cos

3 2 1































Esfuerzo resultante (vectorial y

escalar) en el punto P en función de

los esfuerzos principales

k

N

j

M

i

L

k

S

j

S

i

S

s s

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

3 2 1 3 2 1



























2 2 3 2 2 2 2 2 1

L

M

N

s s





















Esfuerzo normal (vectorial y escalar)

en el punto P en función de los

esfuerzos principales

2 3 2 2 2 1

ˆ

ˆ

ˆ

N

M

L

k

N

j

M

i

L

n n n n n n





































Esfuerzo cortante (vectorial y

escalar) en el punto P en función de

los esfuerzos principales





























2 2 2 3 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1

ˆ

ˆ

ˆ

N

L

N

M

M

L

N

M

L

N

M

L

k

N

j

M

i

L

t n n n t t

















































































Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico

y esférico

 Si

σ

₁,

σ

₂,

σ

₃ son distintos, por lo tanto n1, n2, y n3

son únicos y mutuamente perpendiculares (estado triaxial).

 Si

σ

₁ =

σ

₂ ≠

σ

₃, por lo tanto n₃ es único y cada

dirección perpendicular a n₃ es una dirección principal asociado con

σ

1 =

σ

2 (estado de

esfuerzos cilíndrico).

 Si

σ

₁=

σ

₂ =

σ

₃, por lo tanto cada dirección es una

dirección principal (estado esférico).

Estados de esfuerzos triaxial,

cilíndrico y esférico

Valores extremos del esfuerzo

cortante o esfuerzos cortantes

principales



₂



2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2

N

M

L

N

M

L

t



























Poniendo la ecuación anterior en función de L y M solamente se obtiene:





















2 3 3 2 2 3 1 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 1 2 2           _t  L   M    L  M  

El objetivo es maximizar la ecuación anterior, esto se hace diferenciando con respecto a L y M e igualando a cero





_

_

_

_{ }

_





_

_

_

_{ }

_

0 2 1 2 0 2 1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 3 2 3 1 3 2 2 3 1 2 3 1      _{    }           _{    }                          M L M M M L L L t t t t

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Posibles soluciones del sistema

anterior



Caso 1: L=±1 M=0 N=0



Caso 2: L=0 M= ±1 N=0



Caso 3: L=0 M=0 N= ±1



Caso 4: L= ±√2/2 M= ±√2/2 N=0



Caso 5: L= ±√2/2 M=0 N= ±√2/2



Caso 6: L=0 M= ±√2/2 N= ±√2/2

Esfuerzos cortantes máximos para los

casos anteriores

2

:

6

2

:

5

2

:

4

0

:

3

0

:

2

0

:

1

3 1 3 2 2 1

















































Caso

Caso

Caso

Caso

Caso

Caso

Esfuerzos cortantes principales

2

2

2

2 1 3 3 1 2 3 2 1





































Si los cosenos directores de los tres últimos casos son sustituidos por turno en la ecuación



₂



2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2

N

M

L

N

M

L

t



























Se obtienen los valores máximos del esfuerzo de corte

Si los valores de los cosenos directores para los planos sobre los cuales actúan los esfuerzos de corte principales son sustituidos en la ecuación del esfuerzo normal, se obtendrían los valores del esfuerzo normal sobre esos planos:













2

2

2

2 1 3 3 1 2 3 2 1















_



_





N

N

N

La ecuación que se presenta a continuación es muy importante en las teorías de falla, ya que esta muestra que cuando se alcanza la fluencia, el proceso de deformación plástica que prosigue es netamente de cizallamiento.



 

 



2 1 2 2 2 3

2

LM

LN

MN

t

















Forma general de las componentes

escalares del esfuerzo resultante en

un punto P sobre un plano cualquiera

La normal en el punto P a la superficie plana de la sección y los dos ejes perpendiculares entre sí trazados en el plano π, forman un sistema de ejes cartesianos ortogonales PX1, PY1, PZ1. Estos

ejes cambian con la posición del punto P y con la inclinación del plano π.

La dirección y sentido de cada eje con relación a los ejes de referencia Ox, Oy, Oz están determinados respectivamente por los vectores unitarios



























z

x



i



z

y



j



z

z



k

n

k

z

y

j

y

y

i

x

y

t

k

z

x

j

y

x

i

x

x

t

ˆ

,

cos

ˆ

,

cos

ˆ

,

cos

ˆ

ˆ

,

cos

ˆ

,

cos

ˆ

,

cos

ˆ

ˆ

,

cos

ˆ

,

cos

ˆ

,

cos

ˆ

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1



















Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Componentes del esfuerzo

cortante

O también

k

n

j

m

i

l

n

k

n

j

m

i

l

t

k

n

j

m

i

l

t

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1 2 2 2 2 1 1 1 1



















Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Componentes del esfuerzo cortante

El vector esfuerzo resultante tiene dos conjuntos de componentes escalares (Sx, Sy, Sz) son las componentes con relación al sistema coordenado de referencia (fijo) Oxyz; (



₁,



2, σn) son las

componentes con relación al sistema variable Px₁y₁z₁. Estas últimas se calculan usando las igualdades siguientes:

n

t

t

_{s n s} s

ˆ

1 2

ˆ

2

ˆ

1

























Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

En función de los elementos del tensor se tendría



























lm ln mn



n m l n m m n n l l n m l l m n n m m l l n m m n n l l n m l l m n n m m l l yz xz xy z y x n yz xz yx z y x yz xz yx z y x                                              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1







_t





Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Escribiéndolo de forma matricial se

tendría

:



















































































n

m

l

n

m

l

n

m

l

n

m

l

z yz xz zy y xy zx yx x n

























1 1 1 1 1 1 2 1

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Transformación de ejes

 

 

 

 

 

 

 

'

 

'

 

'

'

'

'

'

'

'

zz

Cos

yz

Cos

xz

Cos

zy

Cos

yy

Cos

xy

Cos

zx

Cos

yx

Cos

xx

Cos

A



t t n n T ij ij s s

A

A

A

A

n

A

n

A

















ˆ

'

ˆ

ˆ

'

ˆ

'

ˆ

'

ˆ

ˆ

'

ˆ











transformación de ejes



















































































3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1

'

'

'

'

'

'

'

'

'

n

n

n

m

m

m

l

l

l

n

m

l

n

m

l

n

m

l

z zy zx yz y yx xz xy x z zy zx yz y yx xz xy x





































Esfuerzos normales después de la

transformación de ejes

Resolviendo lo anterior podemos encontrar los elementos del tensor para la nueva ubicación de los ejes:











3 3 3 3 3 3



2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1

2

'

2

'

2

'

n

m

n

l

m

l

n

m

l

n

m

n

l

m

l

n

m

l

n

m

n

l

m

l

n

m

l

yz xz xy z y x z yz xz xy z y x y yz xz xy z y x x















































































Esfuerzos cortantes después de la

transformación de ejes





































' ' ' ' ' ' 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zx xz yz xy z y x xz zy xz yz xy z y x yz yx xz yz xy z y x xy n l l n m n n m l m m l n n m m l l n l l n m n n m l m m l n n m m l l n l l n m n n m l m m l n n m m l l                                                      

Esfuerzo normal octaédrico y

esfuerzo de corte octaédrico



 

 



2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 3 2 1

3

2

3

1

3





























































oct oct m oct

Desviador de esfuerzos y esfuerzo

hidrostático

El estado de esfuerzo en un punto interior de un cuerpo, se puede dividir en dos componentes, un estado de esfuerzo que produce distorsión o cambio de forma (desviador de esfuerzo) y un estado de esfuerzo que produce variación de volumen (esfuerzo esférico o hidrostático).



















































































m m m m m m

























3 2 1 3 2 1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Componentes del desviador de

esfuerzos

3

2

3

2

3

2

2 1 3 3 '' 3 3 1 2 2 '' 2 3 2 1 1 '' 1



































































m m m

La dirección del esfuerzo principal del desviador

de esfuerzos es la misma que la del esfuerzo

principal del esfuerzo total, es decir, σ

₁

’’ tiene la

misma dirección de σ

1

. Puesto que un cuerpo

isotrópico incompresible no se deforma por la

presión hidrostática, la deformación depende

solamente del desviador de esfuerzo, sin la

contribución del componente esférico

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Dirección del desviador de

esfuerzos

Desviadores de esfuerzo principal

 

 







1 2 3



3 1 '' 3 2 2 1 '' 2 '' 3 '' '' 2 3 ''

27

9

21

27

1

3

3

1

0

I

I

I

I

I

I

I

I

donde

I

I





















Circulos de Mohr

2 3 2 2 2 3 2

2

2



_



























_

_







_





n

La ecuación del que representa al círculo de Mohr es la ecuación de una circunferencia del tipo:

Centros y radios de los círculos de

Mohr

2

2

2

2 1 3 3 1 2 3 2 1

























C

C

C

2

2

2

2 1 3 3 1 2 3 2 1















_









R

R

R

Observando las ecuaciones de centros y radios dadas anteriormente podemos afirmar que los centros de los círculos de Mohr equivalen a los esfuerzos normales, y los radios de dichos círculos equivalen a los esfuerzo cortantes.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Relación entre radios y centros

de Mohr y el estado de esfuerzo



     R1 



R3 R2

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Pasos para conseguir σ

_n

,

σ

_s

, y



t

 Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los

centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.

 Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una

vertical trazada por σ₁ y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.

 Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3 Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

 Se mide el ángulo



=arc cos(N) a partir de una

vertical trazada por

σ

3 y hacia la derecha, se

traza una recta con este ángulo que corta a las círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

 Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dos

arcos se interceptan en el punto “A” cuyas componentes son los esfuerzos buscados.

 Como un chequeo de la precisión en el trabajo,

se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por

σ

2, se cortan los círculos

C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio

C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es

preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto común (A).

Solución gráfica



  



Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Q₂ Q3 S₁ S₂ A _n t _s  

Ecuaciones de equilibrio

En esta parte se van a obtener las ecuaciones que deben verificar las fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen en el interior de un cuerpo, de manera que este se encuentre en equilibrio. Para hacer este estudio se deben tomar un punto P y un punto Q ubicados en vértices opuestos del paralelepípedo elemental, como se muestra en la figura.

A B C D E F P Q

Esfuerzos sobre las caras que

concurren en el punto P

Esfuerzos que concurren en el punto

Q

mz my mx z z zy zy zx zx yz yx y y yx yx xz yx xy xy x x z zx yz y yx yz y zy yz F F F dxdy dz z dxdy dz z dxdy dz z ODAB dxdz dy y dxdz dy y dxdz dy y QDFE dydz dx x dydz dx x dydz dx x OBCE dxdy dxdy PCHF dxdz dxdz dxdz PADF dxdz dxdz dxdy dxdz PABC OZ OY OX CARA                                                                                                                     