Integrales dobles y triples

Integrales

dobles

y

triples

Con el programa Mathematica es posible calcular integrales indefinidas y defini-das de manera sencilla. Además se pueden calcular integrales dobles y triples, o enésimas para cualquier n, fácilmente.

Para calcular una integral, podemos desplegar las paletas que utilizaremos, en el caso en que no se activasen automáticamente al ingresar al programa. Para ello, nos dirigimos al menú File, situado en el extremo superior izquierdo de la pantalla, seleccionamos la opción Palettes y elegimos las paletas que usaremos, en nuestro caso, seleccionamos BasicInput. Esto hará desplegar una ventana en donde figuran varias funciones que se pueden realizar de manera sencilla con el

Mathematica. En particular, con los símbolos ك ⃠y Ù_ƒƒƒ ⃠se podrán

calcular integrales indefinidas y definidas respectivamente. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo I: integrales en una variable

Queremos calcular la siguiente integral Ù Ix2+ 1

2M âx .

Primero ubicamos el cursor en una celda. Las celdas son los espacios que que-dan delimitados por los corchetes azules en la parte derecha de la pantalla. Luego, en la paleta que desplegamos, clickeamos sobre el símbolo de la inte-gral indefinida y entonces nos apareceك âƒ, con el primer cuadradito en color negro, lo que indica que ese sitio esta seleccionado y ahí podemos escri-bir la expresión deseada. Nosotros queremos escriescri-bir Ix2+ 1₂M. Para ello, una vez que tenemos el símbolo de la integral, en el cuadradito negro, escribimos los paréntesis, después ubicamos el cursor dentro de ellos, nos dirigimos con el mouse a la paleta y hacemos click sobre el símbolo ƒƒ, así la integral nos queda Ù HƒƒL âƒ, con el primer cuadradito en negro. En él escribimos la letra x. Para activar el cuadradito superior, es decir ponerlo en color negro, clickeamos sobre él y escribimos el número 2, (Ù Ix2M âƒ). Posteriormente, escribimos, el símbolo de la suma y, para expresar la fracción, hacemos click sobre el sím-bolo ƒ_ƒ de la paleta; y con el mouse activamos los cuadraditos y escribimos los números deseados. Entonces la integral queda Ù Ix2 + 1₂M âƒ. Finalmente, debe-mos indicar respecto de qué variable queredebe-mos integrar, es decir, tenedebe-mos que activar el cuadradito que queda libre y en él escribir la letra x. Luego, la inte-gral queda como queríamos.

Ahora nos falta conocer el resultado. Entonces una vez escrita la integral, con el cursor en la misma celda, presionamos las teclas

Shift y Enter

Queremos calcular la siguiente integral _{Ù I}x2+ 1

2M âx .

Primero ubicamos el cursor en una celda. Las celdas son los espacios que que-dan delimitados por los corchetes azules en la parte derecha de la pantalla. Luego, en la paleta que desplegamos, clickeamos sobre el símbolo de la inte-gral indefinida y entonces nos apareceك âƒ, con el primer cuadradito en color negro, lo que indica que ese sitio esta seleccionado y ahí podemos escri-bir la expresión deseada. Nosotros queremos escriescri-bir Ix2+ 1₂M. Para ello, una vez que tenemos el símbolo de la integral, en el cuadradito negro, escribimos los paréntesis, después ubicamos el cursor dentro de ellos, nos dirigimos con el mouse a la paleta y hacemos click sobre el símbolo ƒƒ, así la integral nos queda Ù HƒƒL âƒ, con el primer cuadradito en negro. En él escribimos la letra x. Para activar el cuadradito superior, es decir ponerlo en color negro, clickeamos sobre él y escribimos el número 2, (_{Ù I}x2M âƒ). Posteriormente, escribimos, el símbolo de la suma y, para expresar la fracción, hacemos click sobre el sím-bolo ƒ_ƒ de la paleta; y con el mouse activamos los cuadraditos y escribimos los números deseados. Entonces la integral queda Ù Ix2 + 1₂M âƒ. Finalmente, debe-mos indicar respecto de qué variable queredebe-mos integrar, es decir, tenedebe-mos que activar el cuadradito que queda libre y en él escribir la letra x. Luego, la inte-gral queda como queríamos.

Ahora nos falta conocer el resultado. Entonces una vez escrita la integral, con el cursor en la misma celda, presionamos las teclas

Shift y Enter

In[1]:= à x2+ 1 2 âx Out[1]= x 2 +x 3 3

Ejemplo II: Integrales dobles

Calcular la siguiente integral doble Ù

-1 1

Ù0 1

Ix4 y + yM âx ây

Para calcular la integral doble, que en este caso es definida, buscamos en la paleta el símbolo Ù_ƒƒƒ ⃠y hacemos click sobre él. Este símbolo sirve para calcular integrales simples definidas, pero nosotros queremos calcular una inte-gral doble definida. Entonces, activamos el primer cuadradito de adentro de la integral y hacemos click de nuevo en la paleta en el símbolo de la integral definida. Así obtenemos la siguiente expresión Ù_ƒƒÙ_ƒƒƒ ⃠âƒ. Con el mouse, clickeamos sobre los cuadraditos situados en los extremos de la primera inte-gral y escribimos los números deseados (Ù

-1 1

Ù_ƒƒƒ ⃠âƒ), del mismo modo ponemos los límites de integración de la segunda integral (Ù

-1 1

Ù0 1

ƒ ⃠âƒ). Luego, en el primer cuadradito, una vez activado, y entre paréntesis, escribi-mos la función a integrar (Ù

-1 1

Ù0 1

Ix4 y+ yM ⃠âƒ). Después indicamos las vari-ables respecto de las cuales integramos, en nuestro caso, primero respecto de x y luego de y. Finalmente, para conocer el resultado presionamos Shift + Enter .

Calcular la siguiente integral doble _Ù -1 1 Ù0 1 Ix4 y + yM âx ây

Para calcular la integral doble, que en este caso es definida, buscamos en la paleta el símbolo Ù_ƒƒƒ ⃠y hacemos click sobre él. Este símbolo sirve para calcular integrales simples definidas, pero nosotros queremos calcular una inte-gral doble definida. Entonces, activamos el primer cuadradito de adentro de la integral y hacemos click de nuevo en la paleta en el símbolo de la integral definida. Así obtenemos la siguiente expresión Ù_ƒƒÙ_ƒƒƒ ⃠âƒ. Con el mouse, clickeamos sobre los cuadraditos situados en los extremos de la primera inte-gral y escribimos los números deseados (Ù

-1 1

Ù_ƒƒƒ ⃠âƒ), del mismo modo ponemos los límites de integración de la segunda integral (Ù

-1 1

Ù0 1

ƒ ⃠âƒ). Luego, en el primer cuadradito, una vez activado, y entre paréntesis, escribi-mos la función a integrar (Ù

-1 1

Ù0 1

Ix4 y+ yM ⃠âƒ). Después indicamos las vari-ables respecto de las cuales integramos, en nuestro caso, primero respecto de x y luego de y. Finalmente, para conocer el resultado presionamos Shift + Enter .

In[2]:= à -1 1 à 0 1 Ix4 y+yM âx ây Out[2]= 0

Ejemplo III: Integrales dobles en

regiones elementales de

R

2

Calcular la integral de la función f Hx , yL = xIy2 +1M en la región del plano determinada por las condiciones y ³ senHxL e y £ cosHxL para 0 £ x £ Π y.

Si nos interesa dibujar el dominio donde estamos integrando, podemos hacer los siguiente usando el comando RegionPlot para dibujar los puntos que

cumplen las desigualdades dadas):

In[3]:= RegionPlot@y³Sin@xD ìy£Cos@xD,8x, 0, Pi<,8y,-1, 1<D

Out[3]= 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Para saber donde se cortan el coseno y el seno resolvemos la igualdad: In[4]:= Solve@Sin@xDŠCos@xD, xD

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so

some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.‡

Out[4]= ::x® -3Π

4 >

,:x® Π

4>>

Si usamos Reduce, tal como se sugiere, podríamos obtener todas las

(infinitas) soluciones: In[5]:= Reduce@Sin@xDŠCos@xD, xD

Out[5]= C@1DÎIntegers &&JxŠ -2 ArcTanB1+ 2F+2ΠC@1D ÈÈxŠ -2 ArcTanB1- 2F+2ΠC@1DN

Miramos comos son estas soluciones haciendo una lista (moviendo la constante

C[1] que llamamos k):

In[6]:= Table@8-2 ArcTan@1+Sqrt@2DD+2Πk,-2 ArcTan@1-Sqrt@2DD+2Πk<,8k,-5, 5<D N

Out[6]= 88-33.7721,-30.6305<,8-27.4889,-24.3473<,8-21.2058, -18.0642<, 8-14.9226,-11.781<,8-8.63938,-5.49779<,8-2.35619, 0.785398<,83.92699, 7.06858<, 810.2102, 13.3518<,816.4934, 19.635<,822.7765, 25.9181<,829.0597, 32.2013<< Pero In[7]:= HPi4L N Out[7]= 0.785398

Como sabemos que el x debe verificar que 0£ x£ Π nos quedamos con la única solución que lo verifica: x = Π

4 @ 0.785398.

Como sabemos que el x debe verificar que 0£ x£ Π nos quedamos con la única solución que lo verifica: x = Π

4 @ 0.785398.

Igual que en el ejemplo anterior. Primero escribimos un símbolo de integral definida (Ù_ƒƒƒ âƒ), luego en el primer cuadradito de adentro de la integral pone-mos la segunda integral definida (_كƒ_كƒƒ ⃠âƒ). Finalmente llenamos con los datos obtenidos: In[8]:= à 0 А4 à Sin@xD Cos@xD xHy ^ 2+1L ây âx Out[8]= 1 216 J -272+69 2 ΠN

Ejemplo IV: integrales triples

Calcular la siguiente integral triple Ù

0 Π Ù0 Π 4Ù 0 secΘ senΘ â Ρ â Θ â j

Podemos escribir una integral triple de manera similar al ejemplo anterior. Prim-ero escribimos un símbolo de integral definida (Ù_ƒƒƒ âƒ), luego en el primer cuadradito de adentro de la integral ponemos la segunda integral definida (Ù_ƒƒÙ_ƒƒƒ ⃠âƒ), y finalmente escribimos la tercera (Ù_ƒƒÙ_ƒƒÙ_ƒƒƒ ⃠⃠âƒ). Para escribir la función a integrar: sen Θ, podemos desplegar otra paleta que contiene varias funciones elementales que posee el programa Mathematica. Esta paleta llamada BasicCalculations, al igual que BasicInput, se encuentra en

File\Pal-ettes. Cuando se despliega BasicCalculations, podemos observar que las

fun-ciones y comandos se hallan clasificadas bajo los siguientes títulos: Arithmetic

and Numbers, Algebra, Lists and Matrices, Trigonometric and Exponencial Functions, Calculus, Other Functions y Graphics. Dentro de Trigonometric and Exponencial Functions se encuentra Trigonometric, dentro de ésta, la

fun-ción seno que queremos: Sin[ƒ].

Entonces para expresar la integral triple, posicionamos el cursor en el primer cuadradito y hacemos click sobre Sin[ƒ], y para escribir la letra Θ, vamos a la paleta BasicInput y clikeamos sobre dicha letra. De este modo la intregal resulta _كƒ_كƒ_كƒSin@ΘD ⃠⃠âƒ. Los límites de integración se escriben de manera análoga a cómo se escribieron en el Ejemplo II. Las letras Π, Ρ y j estan en la paleta BasicInput y la función sec Θ se escribe Sec[Θ].Por último indicamos las variables de integración y obtenemos el resultado.

Calcular la siguiente integral triple Ù 0 Π Ù0 Π 4Ù 0 secΘ senΘ â Ρ â Θ â j

Podemos escribir una integral triple de manera similar al ejemplo anterior. Prim-ero escribimos un símbolo de integral definida (Ù_ƒƒƒ âƒ), luego en el primer cuadradito de adentro de la integral ponemos la segunda integral definida (Ù_ƒƒÙ_ƒƒƒ ⃠âƒ), y finalmente escribimos la tercera (Ù_ƒƒÙ_ƒƒÙ_ƒƒƒ ⃠⃠âƒ). Para escribir la función a integrar: sen Θ, podemos desplegar otra paleta que contiene varias funciones elementales que posee el programa Mathematica. Esta paleta llamada BasicCalculations, al igual que BasicInput, se encuentra en

File\Pal-ettes. Cuando se despliega BasicCalculations, podemos observar que las

fun-ciones y comandos se hallan clasificadas bajo los siguientes títulos: Arithmetic

and Numbers, Algebra, Lists and Matrices, Trigonometric and Exponencial Functions, Calculus, Other Functions y Graphics. Dentro de Trigonometric and Exponencial Functions se encuentra Trigonometric, dentro de ésta, la

fun-ción seno que queremos: Sin[ƒ].

Entonces para expresar la integral triple, posicionamos el cursor en el primer cuadradito y hacemos click sobre Sin[ƒ], y para escribir la letra Θ, vamos a la paleta BasicInput y clikeamos sobre dicha letra. De este modo la intregal resulta Ù_ƒƒÙ_ƒƒÙ_ƒƒSin@ΘD ⃠⃠âƒ. Los límites de integración se escriben de manera análoga a cómo se escribieron en el Ejemplo II. Las letras Π, Ρ y j estan en la paleta BasicInput y la función sec Θ se escribe Sec[Θ].Por último indicamos las variables de integración y obtenemos el resultado.

In[9]:= à 0 Π à 0 Π 4 à 0 Sec@ΘD Sin@ΘD âΡ âΘ âΡ Out[9]= 1 2 ΠLog@2D

Cabe aclarar que acá Log[2] es el logaritmo en base ã de 2, es decir es el logaritmo natural (o neperiano) de 2.

Notar que el resultado que el programa nos devuelve es un valor exacto, para obtener una aproximación decimal del número, lo que podemos hacer es usar el comando N[ƒ]. Este comando sirve para calcular el valor numérico de una expresión dada. En general, las cifras significativas que muestra son seis. En nuestro caso, la aproximación decimal del resultado del Ejemplo III es:

In[10]:= NB

1

2 Π Log@2DF

Out[10]= 1.08879

Si queremos aproximar el resultado con mayor precisión podemos hacerlo. El comando N[ƒ,ƒ] realiza esta tarea.

En el primer cuadradito debemos escribrir el número que queremos aproximar y en el otro, la cantidad de cifras significativas de deseamos. Por ejemplo, si necesitamos que la aproximación numérica del resultado de la integral del Ejem-plo III tenga veinte cifras significativas, escribimos

In[11]:= NB

1

2 Π Log@2D, 20F

Out[11]= 1.0887930451518010653

Otra manera de realizar una aproximación decimal, la misma que realiza N[ƒ],

es agregar a la expresión que queremos aproximar el comando //N. En nuestro ejemplo,

In[12]:= à 0 Π à 0 Π 4 à 0 Sec@ΘD Sin@ΘD âΡ âΘ âΡ  N Out[12]= 1.08879 Nota:

Observar que, una vez que se conocen las funciones, suele ser más rápido tipear-las en lugar de buscartipear-las con el mouse navegando en tipear-las paletas. Por ejemplo, para la función seno basta tipear Sin[x].

Gráficos

En esta sección vamos a realizar distintos tipos de gráficos en R3.

El programa Mathematica tiene varios comandos que permiten hacer diferentes tipos de gráficos. También puede superponer varios gráficos, se pueden repre-sentar en coordenadas explícitas, como así también en forma paramétrica. Además los comandos que grafican presentan varias opciones que permiten cambiar el aspecto del gráfico.

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo I: dibujo del gráfico de una

f : R

2

®

R

Queremos ver cómo es el gráfico de la función f(x,y) = 4 - x2- y2 en el rectán-gulo del plano dado por [- ₂2 , ₂2 ] ‰ [- ₂2 , ₂2 ].

Para realizar el gráfico de f, utilizamos un comando llamado Plot3D. Con este comando podemos representar gráficos en tres dimesiones de funciones de dos variables. Su sintaxis es: Plot3D[ƒ,{ƒ,ƒ,ƒ},{ƒ,ƒ,ƒ}] . En el primer cuadradito escribimos la función que queremos graficar y en los cuadraditos entre llaves especificamos el dominio en donde evaluaremos la función, siendo el primer par de llaves correspondiente a los valores que toma la primer vari-able de f y el segundo par correspondiente los de la segunda varivari-able. En nues-tro caso, la primer variable de f es x y la segunda es y; y ambas variables se mueven entre - ₂2 y ₂2 , por lo que la sintaxis para este caso queda:

Ejemplo I: dibujo del gráfico de una

f : R

2

®

R

Queremos ver cómo es el gráfico de la función f(x,y) = 4 - x2- y2 en el rectán-gulo del plano dado por [- ₂2 , ₂2 ] ‰ [- ₂2 , ₂2 ].

Para realizar el gráfico de f, utilizamos un comando llamado Plot3D. Con este comando podemos representar gráficos en tres dimesiones de funciones de dos variables. Su sintaxis es: Plot3D[ƒ,{ƒ,ƒ,ƒ},{ƒ,ƒ,ƒ}] . En el primer cuadradito escribimos la función que queremos graficar y en los cuadraditos entre llaves especificamos el dominio en donde evaluaremos la función, siendo el primer par de llaves correspondiente a los valores que toma la primer vari-able de f y el segundo par correspondiente los de la segunda varivari-able. En nues-tro caso, la primer variable de f es x y la segunda es y; y ambas variables se mueven entre - ₂2 y ₂2 , por lo que la sintaxis para este caso queda:

In[13]:= Plot3DB4-x 2 -y2, :x, - 2 2 , 2 2 > , :y, - 2 2 , 2 2 >F Out[13]= -0.5 0.0 0.5 -0.5 0.0 0.5 3.0 3.5 4.0 8 ApunteMathematica(ver6.0).nb

In[14]:=

Podemos observar que el programa muestra el gráfico de f de una determinada manera. Si queremos girarlo para verlo desde otra perspectiva, por ejemplo, basta apuntar el cursor hacia el gráfico y arrastrarlo sobre él (clickear y mover el mouse dejando apretado el botón derecho del mismo). El gráfico deberá girar de manera tal que cambia el punto de vista. Si queremos hacer un zoom debemos dejar apretada la tecla "Control" (Ctrl en el teclado) y mover el mouse dejando el botón derecho apretado. Estas dos herramientas (girar y zoom) se pueden usar en cualquier dibujo tridimensional.

Existen varias opciones del comando Plot3D que permiten modificar la vista del gráfico. Así, por ejemplo, si queremos saber a cuál eje corresponden los que se ven en el gráfico, lo que podemos hacer es agregar luego, de los argumen-tos obligatorios de Plot3D (o sea, después de la última llave) y separado por una coma, la opción AxesLabel, seguida de un guión alto (-) junto con el signo mayor (>), donde estos dos símbolos representan una flecha (®). Luego, entre llaves escribimos cómo queremos indentificar a los ejes ( {ƒ,ƒ,ƒ} ). Donde el primer cuadradito corresponde al eje x, el segundo al y y el último al

z, ya que la función f depende de x e y . Entonces, podemos llamar a los ejes, Eje x, Eje y y Eje z,

In[15]:= Plot3DB4-x 2 -y2, :x, - 2 2 , 2 2 >, :y, - 2 2 , 2

2 >, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje z<F

Out[15]= -0.5 0.0 0.5 Eje x -0.5 0.0 0.5 Eje y 3.0 3.5 4.0 Eje z

Si se busca dibujar los ejes en determinada posición, la opción AxesEdge (así

como está presentada acá) obliga a que los tres ejes arparezcan en el orden usual (aunque no necesariamente se crucen en el punto (0,0,0))

In[16]:= Plot3DB4-x2 -y2, :x, -2 2 , 2 2 >, :y, - 2 2 , 2

2 >, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje z<, AxesEdge ® 88-1, -1<, 8-1, -1<, 8-1, -1<<F Out[16]= -0.5 0.0 0.5 Eje y -0.5 0.0 0.5 Eje x 3.0 3.5 4.0 Eje z

Con la opción Boxed ® False sacamos la caja y solo sobreviven los ejes:

In[17]:= Plot3DB4-x2-y2,:x, -2 2 , 2 2 > ,:y, -2 2 , 2 2 >

, AxesLabel®8Eje x, Eje y, Eje z<, AxesEdge®88-1,-1<,8-1,-1<,8-1,-1<<, Boxed®FalseF

Out[17]= -0.5 0.0 0.5 Eje y -0.5 0.0 0.5 Eje x 3.0 3.5 4.0 Eje z

Ahora, si quisiéramos ver el gráfico entre determinados valores de x, y y z, sin modificar su dominio, la opción que debemos usar es: PlotRange, y su sin-taxis es: PlotRange ®{{xmin, xmax},{ymin, ymax},{zmin, zmax}}, donde {xmin, xmax} representan los valores mínimos y

máxi-mos que toma la variable x, y {ymin, ymax},{zmin, zmax} los que

toman las variables y y z. Ésta opción, al igual que toda opción de cualquier

comando de Mathematica, se escribe luego de los argumentos del comando y precedida de una coma. Por ejemplo, si queremos representar el gráfico de modo tal que los valores de z esten entre 0 y 4 y los de x e y entre [-1,1], escribimos In[18]:= Plot3DB4-x 2 -y2, :x, - 2 2 , 2 2 >, :y, - 2 2 , 2

2 >, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje z<, PlotRange ® 88-1, 1<, 8-1, 1<, 80, 4<<F

Out[18]= -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Eje x -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Eje y 0 1 2 3 4 Eje z

También podemos modificar el gráfico para que los ejes tengan determinadas escalas. La opción que cambia la escalas de los ejes es BoxRatios. La estruc-tura que tiene es: BoxRatios ®{ƒ,ƒ,ƒ},donde en cada cuadradito escribi-mos la longitud proporcional que quereescribi-mos que tengan cada eje respecto de los otros (el primero, en nuestro caso, corresponde al eje x, el siguiente al eje y y el último al eje z). Por ejemplo, queremos que el eje x tenga longitud proporcional 2, el eje y longitud proporcional 2 y el eje z longitud proporcional 4, entonces escribimos In[19]:= Plot3DB4-x 2 -y2, :x, - 2 2 , 2 2 > , :y, - 2 2 , 2 2 >

, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje z<, PlotRange ® 88-1, 1<, 8-1, 1<, 80, 4<<,

BoxRatios ® 82, 2, 4<F 12 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[19]= -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Eje x -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Eje y 0 1 2 3 4 Eje z

Con esta última opción lo que hicimos, en particular, además de cambiar la longitud de los ejes, fue unificar la escala de los mismos, ahora los tres ejes toman como unidad de medida al 1 (en otras palabras, en cada eje el 1 tiene igual longitud).

El comando Plot3D tiene varias opciones que permiten visualizar los gráficos de diferentes maneras. Nosotros sólo vimos algunas de ellas, en el menú Help, se pueden encontrar otras.

Ejemplo II: dibujo del gráfico de dos

fun-ciones de

R

2

®

R

Necesitamos dibujar la región delimitada por la función f(x,y) = 4 - x2- y2 y el plano z = x + 1₅y + 1. Para ello vamos a representar los gráficos de las dos

funciones en un mismo dibujo. Primero graficamos las función f(x,y) = 4 - x2 -y2 en un sistema. Como podemos observar esta función es la misma que la del ejemplo anterior, entonces para realizar su gráfico hacemos

Ejemplo II: dibujo del gráfico de dos

fun-ciones de

R

2

®

R

Necesitamos dibujar la región delimitada por la función f(x,y) = 4 - x2- y2 y el plano z = x + 1₅y + 1. Para ello vamos a representar los gráficos de las dos

funciones en un mismo dibujo. Primero graficamos las función f(x,y) = 4 - x2 -y2 en un sistema. Como podemos observar esta función es la misma que la del ejemplo anterior, entonces para realizar su gráfico hacemos

In[20]:= grafico1 = Plot3DA4-x2 -y2, 8x, -2.5, 2<, 8y, -2, 2<E

Out[20]= -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -5 0

Notar que, a diferencia del Ejemplo I, antes de escribir el comando Plot3D, escribimos grafico1=. De esta forma lo que estamos haciendo es asignarle

un nombre al gráfico realizado. Entonces en nuestro ejemplo el gráfico de la función f(x,y) = 4 - x2- y2 se llama grafico1. Además cambiamos el rango las variables.

Para representar el plano z = x + 1₅y + 1, que lo llamaremos grafico2, también

podemos utilizar el comando Plot3D, ya que este plano es una función que depende de las variables x e y. Luego escribimos

In[21]:= grafico2 = Plot3DBx+

y

5 +1, 8x, -3, 3<, 8y, -3, 3<F 14 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[21]= -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 4

Ahora queremos que ambos gráficos esten en un mismo sistema, entonces lo que hacemos es usar el comando Show. Este comando permite mostrar varios gráfiicos en un mismo sistema. También puede realizar gráficos de diferentes funciones mostrándolos en fila, en columna o en forma matricial, sin solapar-los. Pero, como nosotros estamos interesados en superponer gráficos, la sin-taxis que utilizamos es la siguiente: Show[ƒ,ƒ,...], donde en cada

cuadra-dito escribimos las gráficas que queremos que muestre. En nuestro caso,

quere-mos ver los gráficos de la función f(x,y) = 4 - x2_{- y}2 y el plano z = x + 1

5y + 1,

entonces planteamos

In[22]:= Show@grafico1, grafico2D

Out[22]= -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -5 0

Notemos que el rango del gráfico de la función f(x,y) = 4 - x2- y2 es distinto del rango del plano, sin embargo el comando Show los mostró sin ningún inconve-niente, es decir que no es necesario que los dominios de las funciones coinci-dan para que las muestre.

Además vemos que los gráficos se superponen y que delimitan una región. Para apreciar mejor dicha región, podemos modificar algunos de los atributos del gráfico. Por ejemplo, para que los ejes coordenados tengan la misma propor-ción usamos la oppropor-ción BoxRatios, la misma que utilizamos en el ejemplo anterior que, al igual que en tal ejemplo, la opción se escribe luego de los argu-mentos del comando, precedida de una coma y seguida de una flecha

Notemos que el rango del gráfico de la función f(x,y) = 4 - x2- y2 es distinto del rango del plano, sin embargo el comando Show los mostró sin ningún inconve-niente, es decir que no es necesario que los dominios de las funciones coinci-dan para que las muestre.

Además vemos que los gráficos se superponen y que delimitan una región. Para apreciar mejor dicha región, podemos modificar algunos de los atributos del gráfico. Por ejemplo, para que los ejes coordenados tengan la misma propor-ción usamos la oppropor-ción BoxRatios, la misma que utilizamos en el ejemplo anterior que, al igual que en tal ejemplo, la opción se escribe luego de los argu-mentos del comando, precedida de una coma y seguida de una flecha

In[23]:= Show@grafico1, grafico2, BoxRatios ® 83, 3, 4<,

AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje z<D

Out[23]= -2 -1 0 1 2 Eje x -2 -1 0 1 2 Eje y -5 0 Eje z

El comando Show tiene otras opciones que permiten cambiar las propiedades del gráfico. Por ejemplo, para que en el gráfico no aprezcan los ejes y la caja que encierra al mismo, usamos las opciones Axes y Boxed. La primera, cuya sintaxis es: Axes ® ƒ , permite mostrar o no los ejes, dependiendo del valor que le asignemos, es decir, si en el cuadradito escribimos False, los ejes no se mostrarán. El valor por defecto es True, por lo que los ejes siempre son mostrados. Una sintaxis similar tiene la segunda opción, Boxed ® ƒ, que dibuja o no una caja al gráfico. El valor de esta opción por defecto es True. Veamos nuestro gráfico sin los ejes y la caja, escribimos entonces,

El comando Show tiene otras opciones que permiten cambiar las propiedades del gráfico. Por ejemplo, para que en el gráfico no aprezcan los ejes y la caja que encierra al mismo, usamos las opciones Axes y Boxed. La primera, cuya sintaxis es: Axes ® ƒ , permite mostrar o no los ejes, dependiendo del valor que le asignemos, es decir, si en el cuadradito escribimos False, los ejes no se mostrarán. El valor por defecto es True, por lo que los ejes siempre son mostrados. Una sintaxis similar tiene la segunda opción, Boxed ® ƒ, que dibuja o no una caja al gráfico. El valor de esta opción por defecto es True. Veamos nuestro gráfico sin los ejes y la caja, escribimos entonces,

In[24]:= Show@grafico1, grafico2,

BoxRatios ® 83, 3, 4<, Axes ® False, Boxed ® FalseD

Out[24]=

En el siguiente par de comandos modificamos el dibujo grafico1 para que

tenga cierta trasparencia (opacidad) de manera que se pueda ver a través del paraboloide:

In[25]:=

grafico1 = Plot3DA4-x2 -y2, 8x, -2.5, 2<, 8y, -2, 2<, PlotStyle -> Opacity@0.5DE;

Show@grafico1, grafico2,

BoxRatios ® 83, 3, 4<, Axes ® False, Boxed ® FalseD

Out[26]=

En este nuevo gráfico podemos observar mejor la región entre ambas fun-ciones. Observar que el punto y coma al final de un comando hace que no se produzca impresión en la pantalla del resultado del mismo, como lo que sucede arriba con la nueva definición de grafico1, que en este caso lo hicimos para que solo aparezca lo que muestra Show.

Ahora, si modificaremos el dibujo de grafico2 para que el dominio usado en

el plano z = x+ y

5 +1 del mismo no sea el rectángulo [-2.5, 2]‰[-2, 2] sino el

lugar donde el paraboloide es mayor que el plano, es decir donde 4 - x2- y2³ x

+ 1₅y + 1 (esto se consigue mediante la opción RegionFunction ):

In[27]:= grafico2 = Plot3DBx+

y

5 +1, 8x, -3, 3<, 8y, -3, 3<, RegionFunction ®

FunctionA8x, y, z<, 4-x2 -y2 ³ x+15 y+1EF; Show@grafico1, grafico2, BoxRatios ® 83, 3, 4<,

Axes ® False, Boxed ® FalseD 18 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[28]=

También podemos también restringir el dominio en el gráfico del paraboloide en grafico1 (y aprovechamos para aumentar la trasparencia un poco con Opacity[0.2] en vez de Opacity[0.5] como estaba antes)

In[29]:= grafico1 = Plot3DA4-x2 -y2, 8x, -2.5, 2<,

8y, -2, 2<, PlotStyle -> Opacity@0.2D, RegionFunction ® FunctionA8x, y, z<,

4-x2 -y2 ³ x+15 y+1EE;

Show@grafico1, grafico2, BoxRatios ® 83, 3, 4<, Axes ® False, Boxed ® FalseD

Out[30]=

Muchas opciones del comando Plot3D pueden ser modificadas en el comando Show, aunque no todas. En el menú Help se pueden encontrar todas ellas.

Finalmente, ahora que sabemos que la región delimitada tiene al plano de ecuación z = x + 1

5 y + 1 abajo y al paraboloide de ecuación

z = 4 - x2 - y2 arriba, podemos usar un solo comando, el RegionPlot3D

(comando que dibuja regiones del espacio delimitadas por desigualdades): In[31]:= RegionPlot3DA4-x2 -y2 ³ z ³ x+15 y+1,

8x, -2.5, 2<, 8y, -2, 2<, 8z, -2, 4<, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje z< E 20 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[31]= -2 -1 0 1 2 Eje x -2 -1 0 1 2 Eje y -2 0 2 4 Eje z

Esta primera opción pudo salir con bordes irregulares. Una versión más suave de la misma región se puede conseguir poniendo la opción PlotPoints ®

que permite aumentar la cantidad de puntos para hacer el gráfico (¡Ojo! Esto puede tomar más tiempo y ocupar mucha memoria de la computadora). Acá hay un ejemplo con PlotPoints ® 40.

In[32]:= RegionPlot3DA4-x2 -y2 ³ z ³ x+15 y+1,

8x, -2.5, 2<, 8y, -2, 2<, 8z, -2, 4<, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje z<, PlotPoints ® 40 E

Out[32]= -2 -1 0 1 2 Eje x -2 -1 0 1 2 Eje y -2 0 2 4 Eje z

Ejemplo III: región representada en

coordenadas esféricas

Si nos interesase saber si los coeficientes entre los que se mueven determinadas coordenadas (esféricas, por ejemplo) describe correctamente la región que quisiéramos en las coordenadas catesianas x, y, z lamentablemente no hay un solo comando que pueda hacer dicho dibujo. Por ejemplo, si quisiéramos verificar si las condiciones 2£ Ρ £3, 0£ Θ £ Π

2, 0£ j £ Π

2, permiten

describir en coordenadas esféricas al dominio

W = 8Hx, y, zL: 2 £ x2_+y2+_z2_{£9, con x³0, y³0, z³0}< no se tiene un único comando para realizarlo. Sin embargo podemos realizar varias capas o superfi-cies que permitan imaginarse el sólido que cubren. Para ello se hace una tabla de gráficos con distintos valores de Ρ (más abajo tomamos Ρ de 2 a 3 con saltos de 0.2) con el comando ParametricPlot3D escribiendo a x, y, z en fun-ción de Ρ, Θ, j y poniendo los intervalos entre los que se moverían Θ y j

y después mediante el comando Show se muestran todos juntos: 22 ApunteMathematica(ver6.0).nb

In[33]:= tablagraficosconΡdistintos=Table@

ParametricPlot3D@8ΡCos@ΘD Sin@jD, ΡSin@ΘDSin@jD, ΡCos@jD<,

8j, 0, Pi2<, 8Θ, 0, Pi2<D, 8Ρ, 2, 3, .2<D dibu1 =Show@tablagraficosconΡdistintos,

PlotRange ® All, AxesLabel® 8Eje x, Eje y, Eje z<D

Out[33]= : 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 , 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 , , ApunteMathematica(ver6.0).nb 23

Out[33]= 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 , , 24 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[33]= 0 1 2 0 1 2 0 1 2 , 0 1 2 0 1 2 0 1 2 , 0 1 2 3 3 > ApunteMathematica(ver6.0).nb 25

Out[34]= 0 1 2 3 Eje x 0 1 2 3 Eje y 0 1 2 3 Eje z

Observar que podríamos haber elegido otra variable en vez de Ρ. Por ejemplo en el

siguiente comando elegimos deΘ 0 a Π₂ con saltos de a ₂₀Π :

In[35]:= tablagraficosconjdistintos=TableB

ParametricPlot3D@8ΡCos@ΘD Sin@jD, ΡSin@ΘDSin@jD, ΡCos@jD<,

8Ρ, 2, 3<, 8Θ, 0, Pi2<D, :j, 0, Π 2

, Π 20>F dibu2 =Show@tablagraficosconjdistintos,

PlotRange ® All, AxesLabel® 8Eje x, Eje y, Eje z<D

Out[35]=

Out[35]= : -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 2.0 2.5 3.0 , 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 2.0 2.5 , , , ApunteMathematica(ver6.0).nb 27

Out[35]= 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 , 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 , , , 28 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[35]= 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 , 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 1.4 1.6 1.8 2.0 , 0 1 2 0 1 2 1.2 1.4 1.6 , , , ApunteMathematica(ver6.0).nb 29

Out[35]= 0 1 2 0 1 2 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 , 0 1 2 0 1 2 0.7 0.8 0.9 , 0 1 2 3 0 1 2 3 0.35 0.40 0.45 , 0 1 2 1 2 3 1.4´10-16 1.6´10-16 1.8´10-16 > 30 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[36]= 0 1 2 3 Eje x 0 1 2 3 Eje y 0 1 2 3 Eje z In[37]:=

Y en el siguiente comando elegimosΘde 0 a Π

2 con saltos de a Π 20 :

In[38]:= tablagraficosconΘdistintos=TableB

ParametricPlot3D@8ΡCos@ΘD Sin@jD, ΡSin@ΘDSin@jD, ΡCos@jD<,

8Ρ, 2, 3<, 8j, 0, Pi2<D, :Θ, 0, Π 2

, Π 20>F dibu3 =Show@tablagraficosconΘdistintos,

PlotRange ® All, AxesLabel® 8Eje x, Eje y, Eje z<D

Out[38]=

Out[38]= : 0 1 2 3 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0 1 2 3 , 0 1 2 3 0.00.10.2 0.30.4 0 1 2 3 , , , 32 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[38]= 0 1 2 0.00.2 0.40.6 0.8 0 1 2 3 , 0 1 2 0.0 0.5 1.0 0 1 2 3 , , , ApunteMathematica(ver6.0).nb 33

Out[38]= 0 1 2 0.0 0.5 1.0 1.5 0 1 2 3 , 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 1 2 3 , , , 34 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[38]= 0.0 0.5 1.0 1.5 0 1 2 0 1 2 3 , , , ApunteMathematica(ver6.0).nb 35

Out[38]= 0.0 0.5 1.0 0 1 2 0 1 2 3 , , , 36 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[38]=

,

,

Out[38]=

,

,

Out[38]=

,

,

Out[38]=

,

,

Out[38]= 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 1 2 0 1 2 3 , 0 1 2 3 3 , > ApunteMathematica(ver6.0).nb 41

Out[39]= 0 1 2 3 Eje x 0 1 2 3 Eje y 0 1 2 3 Eje z

E inclusive podemos mostrar todos juntos para dar una idea mejor del sólido en cuestión :

In[40]:= Show@8dibu1, dibu2, dibu3<,

PlotRange ® All, AxesLabel® 8Eje x, Eje y, Eje z<D

Out[40]= 0 1 2 3 Eje x 0 1 2 3 Eje y 0 1 2 3 Eje z

Ejemplo IV: curvas de nivel

A continuación estudiaremos el gráfico de una función a través de sus curvas de nivel. Para ello definiremos nuestra función llamada f que dependerá de las variables x e y. Esto se hace así:

Ejemplo IV: curvas de nivel

A continuación estudiaremos el gráfico de una función a través de sus curvas de nivel. Para ello definiremos nuestra función llamada f que dependerá de las variables x e y. Esto se hace así:

In[41]:= f@x_, y_D := ExpA-x2 -y2ESin@xDCos@xD;

Ahora calculamos sus curvas de nivel usando el comando ContourPlot ( la traducción de Contours es "contornos" ), que muestra las curvas que se obtienen en el plano xy al intersecar el gráfico de funcion con los planos z =

constante, es decir son los puntos (x ,y) en los cuales la función es constante,

In[42]:= ContourPlot@f@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D Out[42]= -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

El sombreado más oscuro denota que esa región está debajo de la región som-breada más claramente. Por lo que se observa, aparentemente hay 2 montañas, una a la izquierda y otra a la derecha, la primera más abajo que la segunda. Si esta opción molesta (la de que aparezca el sombreado) se puede sacar con la opción ContourShading

In[43]:= ContourPlot@f@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<, ContourShading ® FalseD Out[43]= -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

Otra opción interesante es la que maneja la cantidad de cortes con planos que generan las curvas de nivel. Se escribe Contours® ƒ, y en el cuadradito hay que poner el número de cortes deseado.

In[44]:= ContourPlot@f@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<, Contours ® 4D

Out[44]= -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

A esta altura podemos ya graficar la función y esperamos obtener lo que había-mos imaginado con los datos previos.

In[45]:= Plot3D@f@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<,

PlotPoints ® 60, PlotRange ® All, BoxRatios ® 81, 1, 1<, ViewPoint ® 81.787`, -2.857`, 1.312`<D Out[45]= -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -0.2 0.0 0.2

Ejemplo V: curva en el plano

En los ejemplos anteriores vimos cómo realizar gráficos de superficies, en este ejemplo y los dos siguientes vamos a hacer gráficos, en el plano y en el espa-cio, de curvas expresadas en forma paramétrica.

Los comandos que permiten hacer estos tipos de representaciones son Para-metricPlot, que traza curvas en el plano, y ParametricPlot3D[{ƒ,ƒ

,ƒ},{ƒ,ƒ,ƒ}]que dibuja curvas en el espacio.

El primero de ellos, cuya expresión general es: ParametricPlot[{ƒ

,ƒ},{ƒ,ƒ,ƒ}], tiene como argumentos las funciones que representan a las

variables x e y, que se escriben dentro del primer par de llaves, una en cada cuadradito; y el rango en que se mueve la variable de la cual dependen tales funciones, que se escribe en el segundo par de llaves especificando el nombre de la variable.

Por ejemplo nos interesa graficar la curva llamada Epicicloide que esta dada por la siguiente parametrización Α(t) = (4 cos(t)- cos(4t), 4 sen(t)-sen(4t)) con 0

£ t £ 2Π , escribimos entonces,

Ejemplo V: curva en el plano

En los ejemplos anteriores vimos cómo realizar gráficos de superficies, en este ejemplo y los dos siguientes vamos a hacer gráficos, en el plano y en el espa-cio, de curvas expresadas en forma paramétrica.

Los comandos que permiten hacer estos tipos de representaciones son Para-metricPlot, que traza curvas en el plano, y ParametricPlot3D[{ƒ,ƒ

,ƒ},{ƒ,ƒ,ƒ}]que dibuja curvas en el espacio.

El primero de ellos, cuya expresión general es: ParametricPlot[{ƒ

,ƒ},{ƒ,ƒ,ƒ}], tiene como argumentos las funciones que representan a las

variables x e y, que se escriben dentro del primer par de llaves, una en cada cuadradito; y el rango en que se mueve la variable de la cual dependen tales funciones, que se escribe en el segundo par de llaves especificando el nombre de la variable.

Por ejemplo nos interesa graficar la curva llamada Epicicloide que esta dada por la siguiente parametrización Α(t) = (4 cos(t)- cos(4t), 4 sen(t)-sen(4t)) con 0

£ t £ 2Π , escribimos entonces, In[46]:= ParametricPlot@

84 Cos@tD-Cos@4 tD, 4 Sin@tD-Sin@4 tD<, 8t, 0, 2 Π<D

Out[46]= -4 -2 2 4 -4 -2 2 4

Podemos modificar la unidad de cada eje y hacer que en ambos sea la misma. Para ello existe una opción llamada AspectRatio, que por defecto tiene el valor _GoldenRatio1 (es decir 1

5+1 2

). Si a esta opción le asignamos el valor

Auto-matic, lo que hacemos considerar la misma unidad en los dos ejes. Luego, el gráfico de la Epicicloide con la misma unidad en los ejes resulta

In[47]:= ParametricPlot@84 Cos@tD-Cos@4 tD, 4 Sin@tD-Sin@4 tD<,

8t, 0, 2 Π<, AspectRatio ® AutomaticD 46 ApunteMathematica(ver6.0).nb

Out[47]= -4 -2 2 4 -4 -2 2 4

Ejemplo VI: varias curvas en el plano

Al igual que con las superficies, por medio del comando Show se pueden super-poner las gráficas de varias curvas. Por ejemplo si tenemos una curva con dos tramos, definida en el primer tramo por el arco x2 + y2= 1 situado en el

primer, tercer y cuarto cuadrante, recorrido de derecha a izquierda, y en el segundo por el segmento que une los puntos (-1,0) y (0,1) en ese orden, y pre-cisamos realizar la gráfica de la curva, lo que podemos hacer es superponer los gráficos de cada tramo de la curva.

Primero trazamos los gráficos de cada tramo del siguiente modo:

In[48]:= tramo1 = ParametricPlotB8Cos@ΘD, Sin@ΘD<, :Θ, -Π,

Π

2>F tramo2 = ParametricPlot@8t-1, t<, 8t, 0, 1<D

Out[48]= -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Out[49]= -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Donde el arco x2 + y2= 1 fue parametrizado por x = Cos[Θ], y = Sin[Θ] con -Π

£Θ£ Π₂, y el segmento de recta por x = t-1, y = t con 0£ t £1.

Y, una vez que dibujamos los dos tramos de la curva los superponemos con el comando Show,

In[50]:= Show@tramo1, tramo2D

Out[50]= -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0

De esta forma obtenemos la gráfica que buscábamos. Para que el gráfico resulte más atractivo cambiemos la escala de los ejes y usemos la misma en ambos. Para ello utilizamos la opción del ejemplo anterior: AspectRatio, que puede ser modificada desde el comando Show. Así,

In[51]:= Show@tramo1, tramo2, AspectRatio ® AutomaticD

Out[51]= -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0

De la misma forma podemos trazar el gráfico de una curva cualquiera definida por varios tramos.

El comando ParametricPlot tiene varias opciones que permiten modificar el aspecto de un gráfico, todas ellas se pueden encontrar en el menú Help.

De la misma forma podemos trazar el gráfico de una curva cualquiera definida por varios tramos.

El comando ParametricPlot tiene varias opciones que permiten modificar el aspecto de un gráfico, todas ellas se pueden encontrar en el menú Help.

Ejemplo VII: curvas en el espacio

Para trazar curvas en el espacio utilizamos ParametricPlot3D. Este comando es el mismo que usamos para representar superficies, pero ahora su argumento es distinto, puesto que las curvas dependen de un sólo parámetro mientras que las superficies de dos. En consecuencia la sintaxis del comando

ParametricPlot3D para trazar curvas es: ParametricPlot3D[{ƒ,ƒ

,ƒ},{ƒ,ƒ,ƒ}].Donde en el primer par de llaves especificamos las

fun-ciones que describen las coordenadas x, y, z; y en el segundo par la variable de

la que dependen tales funciones y el rango en donde se encuentra.

Grafiquemos en el espacio la curva dada por la siguiente parametrización Α(t)=

(cos(t), t, sen(t)), con 0£ t£ 4Π

In[52]:= ParametricPlot3D@8Cos@tD, t, Sin@tD<,

8t, 0, 4 Π<, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje Z<D

Out[52]= -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Eje x 0 5 10 Eje y -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Eje Z

Podemos observar que el gráfico es una hélice unitaria sobre el eje y, pero para apreciarla mejor modifique su punto de vista de la misma forma que lo hacía-mos en otros gráficos en 3 dimensiones (moviendo el mouse sobre la figura dejando apretado el botón derecho)

Podemos observar que el gráfico es una hélice unitaria sobre el eje y, pero para apreciarla mejor modifique su punto de vista de la misma forma que lo hacía-mos en otros gráficos en 3 dimensiones (moviendo el mouse sobre la figura dejando apretado el botón derecho)

También como en ejemplo anterior, con el comando Show es posible super-poner varias curvas en el espacio y modificar algunas características del gráf-ico. La sentencia es: Show[curva1, curva2] , donde curva1 y

curva2 son los gráficos de las curvas que deseamos superponer, y luego de los argumentos detallamos las opciones que queremos cambiar.

Ejemplo VIII: dibujos de superficies

Si tenemos una superficie determinada por ecuaciones, como por ejemplo

z3+y2-x4=0, se puede graficar usando ContourPlot3D:

In[53]:=

ContourPlot3D@z ^ 3+y ^ 2-x ^ 4 == 0,

8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<, 8z, -2, 2<, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje Z<D

Out[53]= -2 -1 0 1 2 Eje x -2 -1 0 1 2 Eje y -2 -1 0 1 2 Eje Z

Si a esta misma condición se le agrega, por ejemplo, la condición de estar den-tro de un cilindro x2+y2£1, se usar la opción RegionFunction,como más abajo (ya que ContourPlot3D grafica solo igualdades):

In[54]:=

ContourPlot3D@z ^ 3+y ^ 2-x ^ 4 == 0,

8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<, 8z, -2, 2<,

RegionFunction ® Function@8x, y, z<, x ^ 2+y ^ 2£ 1D, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje Z<D

Out[54]= -2 -1 0 1 2 Eje x -2 -1 0 1 2 Eje y -2 -1 0 1 2 Eje Z

También se puede agregar otra restricción a la opción Region-Function,como por ejemplo y³0:

In[55]:=

ContourPlot3D@z ^ 3+y ^ 2-x ^ 4 == 0, 8x, -2, 2<,

8y, -2, 2<, 8z, -2, 2<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, x ^ 2+y ^ 2 £ 1 ì y ³ 0D, AxesLabel ® 8Eje x, Eje y, Eje Z<D

Out[55]= -2 -1 0 1 2 Eje x -2 -1 0 1 2 Eje y -2 -1 0 1 2 Eje Z

Bibliografía

- Pérez César, Cálculo simbólico y numérico con MATHEMATICA, Editorial RA-MA, 1995.

- Castillo Enrique, Iglesias Andrés, Gutiérrez José Manuel, Elena Álvarez y Cobo Ángel, Mathematica, Editorial Paraninfo, 1995.