Desanclaje térmico de fluxones en anillos de uniones Josephson

(1)

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(2)

(3)

(4)

Esta oleión reoge las tesis presentadas en el

Departa-mento de Físia de laMateria Condensada de la Universidad

(5)

Desanlaje Térmio de Fluxones en Anillos

de Uniones Josephson

(6)

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solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a

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algún fragmento de esta obra.

© Fernando Naranjo Mayorga

©

De la presente edición, Prensas Universitarias de Zaragoza

1.ª edición, 2011

Prensas Universitarias de Zaragoza. Edificio de Ciencias Geológicas, c/ Pedro Cerbuna, 12,

50009 Zaragoza, España. Tel.: 976 761 330. Fax: 976 761 063

[email protected] http://puz.unizar.es

Impreso en España

Imprime: Servicio de Publicaciones. Universidad de Zaragoza

D.L.: Z-4135-2011

(7)

(8)

(9)

Prólogo xiii

1. Introduión 1

1.1. UniónJosephson . . . 1

1.1.1. Superondutividad . . . 1

1.1.2. EfetoJosephson . . . 2

1.1.3. Unionestúnelsuperondutoras. Euaionesde Josephson 4 1.1.4. ModeloRCSJ de unaunión . . . 6

1.1.5. JJyienia nolineal . . . 6

1.1.6. CurvaIV . . . 7

1.1.7. UnionesJosephsonlargas . . . 9

1.2. Efetode latemperatura . . . 10

1.2.1. Adiión deruido térmio. . . 10

1.2.2. Modelode saltode barrera yefeto delatemperatura . 10 1.2.3. El problema de Kramers yuniones Josephson . . . 12

1.3. Redesde uniones Josephson . . . 13

1.3.1. Redesen serie. . . 14

1.3.2. rf-SQUID . . . 15

1.3.3. d-SQUID . . . 16

1.3.4. Red deuniones Josephsonen paralelo . . . 17

1.3.5. La esalerade uniones Josephson . . . 18

1.3.6. Redesbidimensionales . . . 19

2. El anillo de uniones Josephson 21 2.1. Euaionesde ladinámia delsistema . . . 21

2.2. Energía delsistema . . . 25

2.2.1. Conguraiones demínima energía . . . 27

2.3. Anillode uniones Josephsonyfísiano lineal . . . 28

2.3.1. ModeloFrenkel-Kontorova (FK) . . . 28

2.3.2. La euaión desine-Gordon . . . 30

(10)

2.4. EfetoRathet enienia no-lineal . . . 34

2.4.1. Roking rathet . . . 36

2.4.2. Flashing rathet . . . 37

2.5. Dispositivosrathetpara uxones . . . 38

3. Fluxón omouna partíula 43 3.1. Redesregulares . . . 43

3.1.1. La barrera yelpotenial de Peierls-Nabarro . . . 45

3.1.2. Espetro demodos lineales . . . 48

3.1.3. La masaefetiva deluxón . . . 51

3.1.4. Un experimento numério . . . 53

3.1.5. Dependenia on

i

. . . 54

3.2. RedesRathet. . . 55

3.2.1. Red rathetde periodo 2. . . 56

3.2.2. Red rathetde periodo 3. . . 58

4. Desanlaje Térmio de Fluxones en Redes regulares 67 4.1. Introduión. . . 67

4.2. Red regularon 9uniones yun uxón . . . 71

4.2.1. Consideraiones sobrelarampa . . . 71

4.2.2. Curvas I-V a temperatura nula: Regímenes de Amorti-guamiento . . . 73

4.2.3. CurvasI-V:elefeto delatemperatura . . . 76

4.2.4. Desanlaje térmiodel uxón:

h

i

dep

(

T

)

i

. . . 78

4.2.5. Comparaióndelesapedeluxónonelesapetérmio de partíulaen unpotenial metaestable . . . 80

4.2.6. Difusióndel Fluxón . . . 86

4.2.7. Tasas de esape . . . 91

4.3. Red regularde30, 60,120 y300uniones . . . 93

4.3.1. CurvasI-V . . . 94

4.3.2. Estudio de

h

i

sw

(

T

)

i

parasistemas dediferentes tamaños 98 4.4. Red regularde9 uniones on 2y3 uxones . . . 101

4.4.1. 2uxones . . . 102

4.4.2. 3uxones . . . 104

4.4.3. Comparaión entre los sistemas de9 uniones Josephson on diferente número de uxones . . . 105

4.4.4. Resultados sobre

h

i

dep

(

T

)

i

,

h

i

sw

(

T

)

i

, y

σ

. . . 106

5. Desanlaje térmio de uxones en redes rathet 109 5.1. Introduión. . . 109

(11)

5.3.1. CurvasI-V . . . 112

5.3.2.

h

i

dep

(

T

)

i

. . . 116

5.4. Red ratheton 9 unionesydosuxones . . . 122

5.4.1. CurvasI-V . . . 122

5.4.2.

h

i

dep

(

T

)

i

. . . 125

6. Ativaión térmia en el régimen de amortiguamiento débil. 129 6.1. Teoría de Kramers estándar . . . 130

6.1.1. Teoría de Kramers paraamortiguamiento débil . . . 131

6.1.2. ExtensionesdelateoríadeKramersalrégimende amor-tiguamiento moderado-débil. . . 133

6.2. Correiones de barrera nita . . . 135

6.3. Tasade esape:resultados numérios . . . 139

6.4. El problemade las ondiionesiniiales. . . 143

6.5. Resultados sobrelaorriente deswithing . . . 145

6.6. Disusión . . . 147

Disusión y onlusiones 149

(12)

(13)

El trabajo realizado en esta tesis dotoral está entrado en el estudio

omputaionaldelefetodelatemperatura enlaspropiedadesdinámias,

fun-damentalmente enel desanlaje odepinning de uxones enuna seriede

dis-positivossuperondutoresbasadosenunionesJosephson.Desdeestepuntode

vista,podríadeirsequesetratade untrabajodefísiade estadosólido,ode

untrabajoenelampode lasuperondutividadapliadaoinlusopropiodel

mundo de laingeniería dedispositivossuperondutores.

Por otro lado, hemos de tener presente, que una unión Josephson supone

unaexelenterealizaiónexperimentalde unodelos sistemas-modelomás

im-portantesde lafísiano lineal: elpéndulo. Así,unaredde uniones Josephson

aopladasentresíorrespondeaunamodelizaióndeunonjuntode

osilado-resnolineales aoplados.Como veremos,elsistemaelegido, unanilloformado

por uniones onetadas en paralelo, se orresponde on un onjunto de

pén-dulos unidos por muelles de torsión. Entre otras osas, diho sistemaes muy

interesante por poseerun tipoespeial desoluión: los famosos solitones,uno

delosobjetosparadigmadelaienianolineal.Desdeunpuntodevistafísio

un solitónseorresponde onun uanto de ujomagnétio o uxónen el

sis-Figura1:Fotografíadeunhipenelquesehandiseñadomuhosanillos

superondu-toresonunionesJosephsonparalarealizaióndedistintosexperimentos(izquierda).

Fotografíadeunodelosanillos,formadopornueveuniones(entro).Ampliaión

mos-trando una de lasuniones Josephson (dereha).Cortesía del Dr. K. Segall, Colgate

(14)

tema superondutory laonguraiónen anilloes espeialmente interesante

porposibilitar queunavez reados dihosuxones o solitonesqueden

atrapa-dos en el sistema. Por tratarse de un sistemadisreto, nuestros solitones(los

llamaremoskinksenmuhasoasiones,yaquelapalabrasolitónsuele

reservar-seaestosobjetosen elontinuo) estánanlados a laredypor lotanto sufren

un proeso de desanlaje en presenia de ampos externos,proeso que omo

veremosseve afetadodemanera importantepor elefetodelatemperatura.

Desdeeste punto devista,podríadeirsequenuestro trabajoesuntrabajo de

ienia básia en el ampo de los sistemas dinámios no lineales, en este aso

perturbados por ruido, y las onlusiones obtenidas pueden tener interés en

ámbitos muylejanos alde lafísiade sistemassuperondutores.

Estas memoriassonpartedela experieniadevida, inmersoenuna nueva

ultura yon elapoyo e interaióndeformidables sereshumanosyexelentes

ientíos omenzando por Juanjo y los demás del Non Linear and

Statisti-al Physis Group, y los miembros del Departamento de Físia de la Materia

(15)

Introduión

Talyomohemos expuesto enel prólogode esta memoria,eltrabajo

rea-lizado puede serintroduido tanto desde laperspetiva de lafísia de los

dis-positivossuperondutores basados en unionesJosephsonomo desdela

pers-petivadesistemasdinámios nolineales,dosperspetivasomplementariasy

a las que nosreferiremos numerosas vees en lo quesigue. En ualquier aso,

dadoquelafísiaesunaieniaeminentementeexperimentalyquehasidoun

onjunto deexperimentosonretos laprimeramotivaión delarealizaiónde

este trabajo de tesis dotoral, omenzaré la introduión del mismo on este

apítulo queresume algunos delos aspetos más sobresalientes de lafísia de

una uniónJosephson desdelaperspetiva deltrabajo realizado ysu onexión

on lafísiade lossistemas dinámios no lineales.

1.1. Unión Josephson

1.1.1. Superondutividad

La superondutividadesunfenómeno naturalquesepresentaen

iruns-taniasespeialesdetemperaturaypresión.Muhosmaterialesnoexhibensus

propiedades superondutoras hasta que en ellos la temperatura se aproxima

al ero absoluto, por esta razón el desubrimiento de la superondutividad

tuvo que esperar hasta el desarrollo tenológio de la riogenia. Kamerlingh

Onnes [1, 2℄ investigó la resistenia elétria en metales a baja temperatura

enfriando las muestras on helio líquido a 4.2 K y 1 atmósfera de presión.

Despuésdeunaseriedeexperimentosrealizados porsuasistente,GillesHolst,

quien observó que laresistenia elétriadel merurio, aía en piada a ero,

(16)

deba-teniendo en uenta sus sorprendentes propiedadeselétrias, sedenominó,

es-tadosuperondutor. Atualmente seenuentran materialessuperondutores

atemperaturasporenimadelos90gradosKelvin,loquefailitayeonomiza

a la vez su observaión pues posibilita el enfriamiento on nitrógeno

líqui-do y permite ampliar las apliaiones de la superondutividad. Además de

ondutividadperfeta,lasuperondutividadestáaraterizada por elefeto

Meissner; esto es, la apaidad del material de expulsar el ampo magnétio

de su interior(diamagnetismo perfeto)[3, 4 ℄.

La superondutividad es un fenómeno inherentemente meano uántio

que se maniesta en si mismo a esala marosópia. Muhas de sus

propie-dadespueden serentendidasenelmarode unmodelouántio marosópio

(MQM). Esta desripión (MQM), no solo abara los resultados del

mode-lo lásio, sino también desribe autoonsistentemente otras propiedades de

los superondutores de relevante apliaión, por ejemplo, un aparato

ele-trónio superondutor onoido omo unión Josephson [5 , 6℄, el ual es el

alma de la mayoría de dispositivos superondutores de pequeña esala.

Es-tas uniones forman la base de magnetómetros sensibles, apaes de detetar

amposmagnétiosproduidosporelerebrohumano,losualessondelorden

de

10 −

₁₅

Tesla . Además, la respuesta de una unión Josephson a la radiaión

eletromagnétia forma la basedel estándar de voltaje atual [7, 8, 9℄. En la

atualidad, dispositivos basados en uniones Josephson se usan para

investi-garproblemasfundamentalesdelameániauántia yrealizar propuestasde

proesado uántio de la informaión y omputaión uántia, ver por

ejem-plo[10, 11,12 ,13, 14,15 ℄

1.1.2. Efeto Josephson

En su trabajo de 1962 [5℄ Brian Josephson estudió el túnel de pares de

Cooperentredosmetales superondutoresypredijoelrenombradoefeto

Jo-sephson. Desde entones se han realizado entenares de trabajos en los que

se estudia el omportamiento de uniones individuales, de redes de uniones

Josephson o de otros dispositivos más omplejos que ontienen uniones

Jo-sephson [3,4, 6,7,8,9℄.

Meree la pena deir no obstante que aunque el efeto Josephson fue

in-troduido y ha sido estudiado fundamentalmente en el ontexto de la

super-ondutividad, la físia onoida bajo el sobrenombre de efeto Josephson se

aplia a otros sistemas uántio marosópios débilmente aoplados[16℄.

Al-gunosejemplossonelefetoJosephsonentresuperuidosdébilmenteaoplados

(17)

on-00000000000000000000000000

00000000000000000000000000

11111111111111111111111111

n

₁

_e

iθ

1

1 Ψ

=

n

₂

_e

iθ

2

2 Ψ

=

Superconductor

(Nb, Al,...)

o

~10A (Al O ,...)

Insulating

_{2 x}

Figura1.1:EsquemadeunauniónJosephsondetipotúnel,formadapordosmetales

superondutoresseparadosporunanabarreradeaislante.

ConrespetoalefetoJosephsonensuperondutoresexistendiversostipos

de uniones y geometrías que lo presentan. Josephson estudió el aso de una

unión tipo túnel.En este asodos superondutores están separados por una

barrera de aislante y el transporte de orriente ourre mediante el túnel de

pares de Cooperentre losdos eletrodossuperondutores de launión (unión

superondutor-aislante-superondutor oSIS,gura1.1). Lasunionesdetipo

túnelsonlasmáshabituales ya ellasnosreferiremosen nuestro trabajo.Otra

opiónesunauniónformadapordossuperondutoresseparadosporunmetal

enestadonormal(uniónSNS).OtrodispositivoquepresentaefetoJosephson

es un miro-puente. El miro-puente está formado por un estrehamiento en

un superondutor. Si el estrehamiento es suientemente pequeño en esa

zonaserompelasuperondutividadylasdoszonassuperondutorasquedan

aopladas débilmente atravésdel miro-puente. Por últimonos referiremos a

losontatos puntuales. Seaporejemplounsuperondutor queaaba en una

puntaquea suvez toa aotrosuperondutor. Lasreduidasdimensionesdel

ontatoen lapunta haenqueen esazonaserompa lasuperondutividady

elaoplo entrelossuperondutores seadébil.

En elmarodelmodelouántiomarosópio(MQM)de la

superondu-tividad,elestado superondutorsedesribepor unafunióndeondameano

uántia

ψ

(

~r, t

) =

_|

ψ

(

~r, t

)

_|

e

iθ

(

~

r,t

)

(1.1)

donde ladensidad loalde pares deCooperestá dada por

n

s

(

~r, t

) =

|

ψ

(

~r, t

)

|

2

(1.2)

La fase

θ

(

~r, t

)

juega un papelesenial en ladesripiónde las propiedades de

transportedelsuperondutor.ApartirdelaeuaióndeShrödingerparauna

partíula argada en unampoeletromagnétio puede obtenerseladensidad

de orriente superondutora

J

_s

₌

_q

∗

Re

(

ψ

∗

_~

im

∗

∇ −

q

∗

m

∗

A

ψ

)

,

(1.3)

(18)

Figura 1.2: El solapamiento de las funiones de onda

ψ

1

y

ψ

2

a ambos lados de la

unióneslabasedelefetoJosephson.

quepodemos resribir omo

J

s

=

q

∗

n

∗

s

(

r

, t

)

~

m

∗

∇

θ

(

r

, t

)

−

q

∗

m

∗

A

(

r

, t

)

.

(1.4)

Puede verse que la orriente superondutora, un observable del sistema,

de-pendedelafasedelafunióndeondasmarosópiayelpotenialvetor,que

nopuedensermedidosexperimentalmente pordependerde laeleiónde

gau-ge.Resultaentones naturalintroduirelgradiente defaseinvariante gauge

ϕ

denido por

ϕ

=

∇

θ

−

q

∗

~

A

=

∇

θ

+

2 π

Φ

0 A

(1.5)

(laargadelpardeCooperes-2eyeloiente

~

/

2 e

sueleesribirseenfunión

deluanto de ujo magnétio

Φ

0 =

h/

2 e

,así

~

/

2 e

= Φ

0 /

2 π

).

El fundamento físio una uniónJosephson, se basaen el solapamiento de

lasfuniones deondasa ambosladosde launión(gura 1.2).

1.1.3. Unionestúnel superondutoras.Euaionesde

Joseph-son

Una uniónJosephsondetipotúnelesundispositivode lafísiadelestado

sólido formado por dos eletrodos superondutores (normalmente Niobio o

(19)

I/I (0)

_c

T/T

_c

1.0

0 _0.5

0.5

Figura1.3: Dependeniaonlatemperaturadelaorrienterítiadeunaunión.

Josephsonenontróqueelomportamientodelauniónestáontrolado por

elvalordeladifereniade faseinvariante gaugeentreloseletrodossup

eron-dutores

ϕ

=

θ

1 −

θ

2 −

2 e

~

Z

2

1 ~

A

(

~r, t

)

dl,

~

(1.6)

donde

θ

i

eslafasede lafunióndeondasmarosópiaeneleletrodo

i

(

ψ

i

=

p

|

ψ

i

|

e

iθ

i

)y

A

~

elpotenialvetor.

Las euaionesbásias delefetoJosephson son:

I

s

=

I

c

sin

ϕ

(1.7) y

V

=

~

2 e

dϕ

dt

.

(1.8)

A partir de ellas podemos ver que, efeto Josephson DC, es posible tener

unaorrientesuperondutoraatravésdelauniónonvoltaje0(entones

ϕ

es

onstante).Estaorriente tieneunvalormáximoposiblequeestádadopor

I

c

,

laorriente rítia de launión.Sinembargo, efeto Josephson AC, silaunión

essometidaaunvoltaje onstante, éstarespondeon unaorrientealternade

freueniadada por

2 eV /

~

(483.6 GHz/mV).

La energía potenial asoiada on las superorrientes a travésde launión

está dadapor

U

J

=

−

E

J

cos

ϕ,

(1.9)

on

E

J

=

~

I

c

/

2 e

.UnprimerrequisitoparaobservarelefetoJosephsonesque

laenergía Josephsonexeda laenergía térmia

E

J

≫

k

B

T

(

I

c

≫

2 ek

B

T /

~

).

La orriente rítia de la unión

I

c

depende de manera importante de la

temperatura(Fig.1.3).Dihadependenia esnormalmenteaproximadaporla

euaión de Ambegaokar-Barato[19 ℄

I

c

R

n

=

π

∆

(20)

Aquí

R

n

es la resistenia normal de la unión y

∆(

T

)

el gap de energía

su-perondutor. A

T

=

0

tenemos

I

c

R

n

=

π

∆(0)

/

2 e

on

∆(0) =

1.764

k

B

T

c

ypara

T

→

T

c

,

I

c

R

n

≃

(

2.34

πk

B

/e

)(

T

c

−

T

)

.

1.1.4. Modelo RCSJ de una unión

Paraestudiarlaurvaintensidad-voltaje,urvaIVourvaaraterístiade

launión, usamoselllamadomodeloRCSJ(resistively andapaitively shunted

juntion) [20, 21℄ (ver Fig. 1.4). En este modelo la orriente total a través

de la unión es la suma de tres ontribuiones: la orriente superondutora

Josephson(debidaaltúneldeparesdeCooper),unaorrienteresistivanormal

(debida altúnel de portadores normales) yun anal apaitivo (asoiadoon

la apaidad de la unión).

I

=

I

J

+

I

R

+

I

C

on

I

J

=

I

c

sin

ϕ

,

I

R

=

V /R

y

I

C

=

CdV /dt

.Entones

I

=

C

V

˙

+

1 R

V

+

I

c

sin

ϕ.

(1.11)

Si apliamos la segunda relaión de Josephson [

V

= (Φ

0 /

2 π

)(

dϕ/dt

)

℄ y

nor-malizamos la orriente on respeto la orriente rítia de la unión,

i

=

I/I

c

,

tiempo respeto a la freuenia de plasma de la unión

ω

p

=

p

2 πI

c

/

Φ

0 C

e

introduimoselparámetrodeamortiguamiento

Γ =

p

Φ

0 /

2 πI

c

CR

2

1 , obtene-mos

i

=

N

(

ϕ

) = ¨

ϕ

+ Γ ˙

ϕ

+ sin

ϕ.

(1.12) 1.1.5. JJ y ienia no lineal

La euaión1.12desribedeformaadimensionalladinámiade la

diferen-ia defase de launiónomo funióndelparámetro de amortiguamiento de la

misma yde la orriente normalizada que atraviesa launión. Esta euaión es

idéntiaalaeuaiónquedesribelasosilaiones(yrotaiones)deunpéndulo

nolinealforzadoyamortiguadoenunampogravitaionalytambiénes

idénti-aalaeuaiónquedesribeladinámiadeunapartíulaenunpotenial

sinu-soidalinlinado(the tilted washboard potential):

U

(

ϕ

) =

−

E

J

cos

ϕ

−

(

~

I/

2 e

)

ϕ

[masa

m

= (

~

/

2 e

)

2 _C

yamortiguamiento

γ

= (

~

/

2 e

)

2 ₍₁

_/R

₎

℄, verFig.1.4.

Am-bossistemassonanalogíasmeániassenillasdelaunióneilustranporquélos

dispositivos on uniones Josephson son sistemas experimentales ideales para

estudiaraspetosbásios delafísia nolineal.

1

Elamortiguamientoenoasionesesdenidoentérminosdelfatordealidaddelaunión

Q

= 1

/

Γ

odelparámetrodeStewart-MCumber

β

c

= 1

/

√

(21)

I

_c

sin

ϕ

I

R

V

+

−

ϕ

τ

app

C

mg

l

I

η

m

Figura 1.4:Ciruito parael modeloRCSJdelaunióny dosanalogíasmeánias:el

pénduloforzadoyamortiguadoylapartíulaenunpotenialsinusoidalinlinado.

-3

-2

-1

0

1

2

3 -3

-2

-1

0

1

2

3 ΓΓΓΓ

=5

-I

_C

I

_C

i=

I/

I

c

V/I

_c

R=

ΓΓΓΓ

<d

ϕϕϕϕ

/dt>

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-1

0

1 ΓΓΓΓ

=0.2

-I

_ret

I

_ret

-I

_C

I

_C

i=

I/

I

c

V/I

_c

R=

ΓΓΓΓ

<d

ϕϕϕϕ

/dt>

Figura1.5:CurvaIVdeunauniónJosephsonsegúnelmodeloRCSJhabitual,

R

=te.

(Eq. 1.12).Para

Γ =

0.2 oexisten dos soluionesdistintas en el rangode orrientes

entre la orriente rítia,

I

c

y la de reatrapamiento,

I

rep

(aso de amortiguamiento

bajo). Para

Γ =

5.0 (aso sobreamortiguado) el voltaje es una funión únia de la

orriente.

1.1.6. Curva IV

La gura 1.5 muestra una urva IV alulada numériamente para una

unión a dos valores distintos del amortiguamiento. Para amortiguamientos

grandes (gura on

Γ

=5) el voltaje es una funión únia de la orriente y

aumenta de manera ontinua desde ero en uanto

I > I

c

y se aproxima a

la relaión óhmia (

I

=

V /R

, o

i

= Γ

h

dϕ/dτ

i

en unidades normalizadas) a

orrientesaltas.ParavaloresmenoresdelamortiguamientolaurvaIV

presen-ta histéresis (ver gura on

Γ

=0.2). Al aumentar el valor de la orriente, en

I

=

I

C

launiónsaltadelestadodevoltajeeroalaramaresistiva

I

=

V /R

.Si

ahorasedereelaorriente, elvoltajederee ontinuamenteyseanulapara

I

=

I

ret

(orriente de reatrapamiento). Paravaloressuientemente pequeños

delamortiguamiento

I

ret

/I

c

≃

4Γ

/π

.

Lagura1.6muestraunaurvaexperimentalIVenunaunióndetipotúnel

Niobium-AluminumOxide-Niobium.Seobservaquea

I

c

elvoltajedelaunión

salta desde 0hasta elvalor delvoltaje de gap

V

g

= 2∆(

T

)

/e

(

V

g

/I

c

R

n

= 4

/π

(22)

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 I/I

_c

V/V

_g

Figura 1.6: Esquemade unaurvaIV experimentalde una uniónindividual. La

re-sistenia dela uniónpara valoresde voltaje inferioresal voltaje de gap (resistenia

subgap)esmaradamentediferentedelvalordelaresisteniaporenimadelvoltaje

degap(resistenianormal).

paresde Cooper.A valoresmayores delaorriente, elvoltaje seinrementa y

sigueunadependeniaóhmiaonresisteniadadaporlaresisteniaenestado

normal

R

n

.Sise deree laorriente, elvoltaje disminuye hastaalanzarse el

voltajedegapyluegoretornaaeroparavalorespequeñosdelaorriente.Esta

dependenia no-lineal de la urva muestra la existenia de dos regímenes de

disipaión muydiferentesen launión,uno para voltajesporenimadel gapy

otropara voltajesinferioresalgap.Laspropiedadesde transportepor enima

del gap están gobernadas por los eletrones en estado normal, mientras que

laspropiedades de transporte paravoltajes inferioresalgapestán usualmente

determinadas por la densidad de las uasi-partíulas (eletrones individuales

en unmar depares de Cooper).

Una aproximaión teória senilla para modelar este omportamiento es

utilizar el modelo RCSJ on una resistenia no lineal

R

(

V

)

tal que

R

=

R

n

si

V >V

g

y

R

=

R

sg

(

T

)

si

V <V

g

. En las uniones tipo túnel la resistenia

sub-gapnormalmenteexhibeunadependeniamuyimportanteonlatemperatura

dada por

R

sg

(

T

)

≃

R

n

e

∆

/k

B

T

.

Unaexpresióndeltúneldeuasi-partíulasválidapara

k

B

T

≪

∆

y

V < V

g

está dadapor [9℄

I

qp

=

2 eR

n

e

−

_∆

_/k

_B

_T

2∆

eV

+ 2∆

1 /

2 (

eV

+ ∆) sinh

eV

2 k

B

T

K

0 eV

2 k

B

T

.

(23)

ϕ

_(x)

2 π

ϕ

_x

_(x)

ϕ

(x,t)

00000000000000000

11111111111111111

x

Figura1.7:EsquemadeunauniónJosephsonlarga(izquierda)ydependeniaespaial

delafaseysuderivadapara unauniónonunsolitón(dereha).

Por otrolado, enalgunas investigaiones yapliaiones, esonveniente

in-troduireneliruitounapequeñaresisteniaparalelaalaunión.Enesteaso

la resistenia equivalente de la uniónes pequeña e independiente del voltaje.

Esto produe un valor grande de

Γ

, el límite sobreamortiguado del modelo

RCSJesapropiado ylaurvaIV nomuestra histéresis (Fig. 1.5on

Γ = 5

).

Por último, mereelapenamenionar queen algunos asos,

fundamental-menteuandosetrataonunionespequeñas,paradesribirelomportamiento

delsistemaesesenial onsiderar también laimpedania deliruito externo.

1.1.7. Uniones Josephson largas

UnauniónJosephsonlarga(longJosephsonjuntion)esunaunión(Fig.1.7)

en laualunadimensión (sea

x

)esgrandeon respeto alallamadalongitud

depenetraióndeJosephson[7℄.Enesteasoladifereniadefasenopuedeser

onsiderada onstante en toda la unión y depende también de la oordenada

espaial,por loqueseexpresaomo

ϕ

(

x, t

)

.

La eletrodinámia de la unión sedesribe en este aso por una euaión

nolinealenderivadasparialesque,despreiandoefetosdisipativos,puede ser

esrita omo

ϕ

xx

−

ϕ

tt

= sin

ϕ.

(1.14)

Diha euaión se orresponde a la llamada euaión de sine-Gordon,

popu-lar por soportar solitones, soluiones oherentes loalizada tipo partíula del

sistema. La variable

ϕ

(

x

)

se orresponde tanto on la difereniade fase omo

onelujodeampomagnétionormalizado.Entones,unsolitónenlaunión

orresponde aunasoluiónenlaquelafaseambiadeeroto

2 π

;oelujode

eroa

Φ

0

;estoes, unuanto de ujo magnétioo uxón.

Siinluimos disipaión yuna orrienteexterna, ladinámiadelsistemaes

desrita por una euaión desine-Gordon perturbada

(24)

(I)

ω

∆

U(I)

c

I

_ret

Fluctuations

I

V

Figura 1.8: El esape de una unión del estado superondutor en la presenia de

utuaionestérmiasesunproblemaanálogoalesapedeunapartíuladeunpozo

enunpotenialosenoinlinado.

En esta tesis no vamos a trabajar sobre modelos de uniones Josephson

largas.Sinembargo,unareddeunionesJosephsonenparalelopuedeser

onsi-deradaomo laversióndisreta de unauniónJosephson larga.Además,entre

otras osas, estas onguraiones son sistemaexperimentales ideales para

es-tudiar delaspropiedadesde solitones,porello hanreibidounaatenión muy

importante desde elampode lafísia nolineal. Paraaprender más sobre las

uniones largaspuede onsultarse ellibro de Barone yPaternó [7℄,el siguiente

artíulo de revisión de A. Ustinov [22℄ y las referenias inluidas en él o el

trabajode Wallrasobre vórtiesuántiosen uniones largas[23 ℄.

1.2. Efeto de la temperatura

1.2.1. Adiión de ruido térmio

Las utuaiones térmias pueden ser inluidas en el modelo mediante la

adiión de una fuente de orriente ruidosa

I

˜

(

t

)

on

h

I

˜

(

t

)

i

= 0

y

h

I

˜

(

t

) ˜

I

(

t

′

)

_i

=

(2

k

B

T /R

)

δ

(

t

−

t

′

)

.En este aso laorriente total, en unidades normalizadas,

está dadapor

i

=

N

(

ϕ

) = ¨

ϕ

+ Γ ˙

ϕ

+ sin

ϕ

+ ˜

i

(1.16)

on

h

˜

i

(

τ

)

i

= 0

y

h

˜

i

(

τ

)˜

i

(

τ

′

)

i

= (2Γ

k

B

T /E

J

)

δ

(

τ

−

τ

′

)

.

1.2.2. Modelo de salto de barrera y efeto de la temperatura

Enpreseniaderuidotérmio,erade

I

c

launiónpuedeesapardelestado

(25)

Un experimento típioes lamedida de laurva IV de una unión. En este

aso lo que sehae esimponer una rampa de ambio de la orriente ymedir

elvoltaje en launiónparadistintosvaloresde laorriente. La dinámiade la

uniónes tan rápida (dadapor

ω

p

≃

entenaresde GHz)que laeletrónia de

medida sólo es apaz de dar el valor medio de la señal del voltaje o voltaje

d de la unión. Busando el análogo on el problema de una partíula en

un potenial periódio inlinado se trata de ir inlinando el potenial poo

a poo, on una determinada veloidad y busar el momento en el ual la

partíula,porexitaióntérmiaesapazdesuperarlabarreradepotenial.Si

elamortiguamientodelsistemaessuientementepequeñounavezlapartíula

supere la barrera habrá adquirido la energía suiente para deslizarse por el

potenialsinser atrapada por ningunode los pozos metaestablesrestantes.

Esteproesodeesapetérmiodependedetresvariables

fundamentalmen-te:elamortiguamiento, latemperatura ylarampaapliada. Una rampalenta

posibilitaqueelesapeseobserve avaloresmenoresde laorriente.Dadoque

el proeso de esape térmio es estoástio diho experimento debe repetirse

muhas vees y al nal somos apaes de alular el valor medio de la

o-rriente de esape (o valor medio de la orriente de desanlaje, de depinning,

o de swithing), su desviaión uadrátia media yde heho la distribuiónde

probabilidad ompleta

P

(

I

)

.

Estadistribuióndeprobabilidadsepuederelaionar onlatasadeesape

de una partíula de un potenial metaestable

r

(

I

)

que básiamente mide el

tiempodevidamediadeunapartíulaenelpozometaestabledepotenial(su

inverso) o el ujo de partíulas fuera del pozo de potenial. En nuestro aso

esepotenialestá dado por

U

(

I

)

/E

J

=

−

cos

ϕ

−

(

I/I

c

)

ϕ

.

La distribuión de orrientes de esape

P

(

I

)

está relaionada on la tasa

de esape

r

(

I

)

a través del siguiente argumento [24 , 25 , 26℄. Sea la orriente

0 a tiempo

t

= 0

e inrementemos esta on una tasa onstante dada por

I

˙

.

La probabilidad

W

(

I

(

t

))

dequeelsistemapersista enelestado metaestablea

tiempo

t

vienedada por

W

(

I

(

t

)) = exp

−

Z

t

0 r

(

I

(

t

′

))

dt

′

(1.17)

Realizandoun ambio devariablede

t

′

a

I

(

t

′

)

tenemos

P

(

I

) =

₋

d

dI

W

(

I

) =

r

(

I

)

˙

I

exp

−

Z

I

0 r

(

I

′

)

˙

I

dI

′

(1.18)

(26)

Otra expresión útil e igualmente válida eslasiguiente[25 ℄

P

(

I

) =

r

(

I

)

˙

I

1 ₋

Z

I

0 P

(

u

)

du

(1.19)

1.2.3. El problema de Kramers y uniones Josephson

Bajo elsobrenombre de problema de Kramers (Kramers problem) se

o-noe elproblema de enontrar latasa de esapede una partíula fuera de un

potenialmetaestable. Dihoproblemajuega unpapelfundamentalenmuhas

áreasde lafísia inluyendo lafísiadebajastemperaturas,lafísianulear y

lafísio-químia. [27, 28,29 ℄

Como aabamos de ver, existe una relaión direta entre la medida de la

funión de distribuión de probabilidad

P

(

I

)

,probabilidad de que una unión

saltealestadoóhmio auniertovalordelaorrienteuandosesometeauna

rampauniformedeorrienteexterna,yelvalordelatasadeesape

r

(

I

)

,inverso

deltiempomediodepersisteniadelauniónenelestadosuperondutor.Esta

relaiónnosindiaporlotantoquelasuniones Josephsonsonunsistemaideal

dondemedirlatasadeesapedeunsistemayonfrontarlosresultadosonlos

resultados teórios existentes. La omprensión de diho fenómeno,tanto en el

asolásio omo en eluántio delmismo, para elaso de uniones pequeñas

donde elmeanismofundamentalde esapeespor efetotúnel hasido objeto

deltrabajodemuhosgruposdeinvestigaión[24,25,30 ,31 ,32,33,34,35,10 ℄.

Desde los trabajos de Martinis, Devoret yClarke fundamentalmente [34 ℄

seasumequelatasadeesape

r

esc

enelrégimenlásiopuedeseraproximada

por

r

esc

=

a

t

ω

2 π

exp

−

∆

U

k

B

T

,

(1.20)

donde

a

t

esun prefatorquedepende delvalordelamortiguamiento [28,29℄y

que en el régimen de amortiguamiento moderado-bajo puede ser aproximado

porel resultadode Büttiker,Harris yLandauer[36 ℄

a

t

= 4

α/

[(1 +

αk

B

T /

1 .

8Γ∆

U

)

1 /

2 + 1]

2

(1.21)

aquí

α

esunoeiente en tornoa launidad.

Diho resultadoesorretoparaun iertorangodevaloresdel

amortigua-miento.Elúltimoapítulodeestetrabajodetesisdotoralestádediado aun

estudionumériodetallado delvalorde latasade esape de unsistemaen un

ampliorango de valores deamortiguamiento. Dihosresultados numérios

(27)

Series

SQUIDs

Parallel

Ladder

2D array

Figura 1.9: Esquemasde diferentes tiposderedes de uniones Josephson. Cadaruz

representaunauniónJosephson.

1.3. Redes de uniones Josephson

Los sistemas hehos on superondutores interrumpidos por uniones

Jo-sephson son onoidos habitualmente omo redes de uniones Josephson. La

gura1.9muestraalgunosejemplosdetalesarreglos.Todosellossonfáilesde

fabriaryhan sido estudiados ampliamente. El primerdispositivo onsiste en

una reddeuniones Josephsonen serie. Estetipode redeshan sidoempleadas

paraestudiarfenómenosdesinronizaióndefaseydiseñarelestándar de

vol-taje [37℄.Losanillossuperondutores interrumpidosporunaodosunionesse

onoen omo SQUIDs(desuperonduting quantum interferene devie). Los

SQUIDsproporionan una medida muysensible de ujo magnétioy hoyson

utilizadosenmuhoslaboratoriosomoaparatosestándardemedidadeampo

magnétios[7,8 ,38,39,40 ℄.Lasredesonunionesaopladasenparalelosehan

diseñado para estudiar propiedades de transporte de uxones pero desde un

puntodevistamásfundamentalsoninteresantesporonstituirunarealizaión

experimental del modelo Frenkel-Kontorova (también onoido omo modelo

sine-Gordon disreto

2

) [41 , 42, 43 ,44, 45 ℄. Las redes en esalera (ladder) se

handiseñadoparaestudiarlatransiióndemodelosenunadimensióna

mode-losbidimensionales yhanpermitido llevara abolaobservaiónexperimental

delosmodosintrínseosloalizadosobreathers disretos[46 ,47 ,48 ,49 ,50 ℄.

Los arreglos bidimensionales de uniones son sistemas modelo ideales para

es-tudiar transiiones de fase en dimensión dos y los efetos de frustraión y

2

Segúnestaperspetiva,lasredesdeunionesJosephsonenparalelo,quesonlos

(28)

desorden,la dinámiade vórties,sinronizaión de faseyotros resultados de

dinámia nolineal [51℄.

Dado un arreglo de uniones Josephson, para deduir las euaiones de la

dinámia del sistematenemos que apliar las leyesde Kirho para orriente

yvoltaje ylauantizaión del uxoide.La uantizaión deluxoide establee

que para ualquier amino errado l en la red (on al menos una unión) la

suma deladiferenias defasea lolargo delamino estádada por

X

jǫl

ϕ

j

= 2

π

(

n

l

−

f

l

)

.

(1.22)

Elentero

n

l

eslavortiidaddelaminoysuorigenesquelafase

θ

delafunión

deondasenada islasuperondutora estámultivaluada.

f

l

desribe elujoa

través del amino debido al ampo magnétio total (externo más induido) y

medidoenunidadesde

Φ

0

(

f

l

= Φ

l

/

Φ

0

).Engeneral,paraalularelujototal

induido enuna eldadebemos teneren uenta lamatriztotal deinduiones

deliruito.Sinembargo,enmuhosasospodemosestudiarelsistemaenuna

aproximaiónmássenilla yonsiderar sólolaautoinduión

L

deada elda.

El parámetro

λ

= Φ

0 /

2 πI

c

L

mide laimportaniade losamposinduidos.

Podemos presindir delos términos

n

l

3

yesribir

X

jǫl

ϕ

j

=

−

2 π

(

f

l

ext

+

f

l

ind

) =

−

2 πf

l

ext

−

1 λ

I

loop

I

c

.

(1.23)

Dependiendo de la importania de los ampos induidos, los iruitos

Jo-sephsonpuedenserdivididosendostiposgenerales.Losiruitosdeunprimer

tipotienen

λ

≫

1

demodoquelosamposinduidosnosonimportantes(estos

iruitosnormalmentesonhehosonaluminio).Porotrolado,enlosiruitos

que perteneen al segundo tipo los ampos induidos por las orrientes que

irulan sonimportantes (estosiruitos sonnormalmente hehos deniobio).

Si los efetos indutivos pueden despreiarse, lauantizaión del uxoide

(Eq. 1.22) impone una serie de ligaduras a las euaiones yredue el número

de variablesindependientes delsistema.

1.3.1. Redes en serie

La gura 1.10 muestra una red de uniones Josephson aopladas en serie,

alimentadasporunaorrientealternayuniruitoexternodearga.Las

eua-3

EnelmodeloRCSJlaseuaionesdinámiasdependensólode

ϕ

¨

,

ϕ

˙

y

sin

ϕ

.Porlotanto

(29)

I

Load

Figura 1.10:Reddeuniones Josephsonen serie,onorriente externayiruito

ex-ternodearga.

I

c

L

Φ

Figura1.11:Dispositivorf-squid

iones de laredpueden esribirse omo[52 ℄

¨

ϕ

k

+ Γ ˙

ϕ

k

+ sin

ϕ

k

+

I

L

(

t

) =

I

(1.24)

V

(

t

) =

N

X

k

=1

˙

ϕ

k

=

F

(

I

L

(

t

))

.

(1.25)

Lasunionesenserieseomportanomoelementosindependientesalimentados

poruna misma orriente yaopladosa travésdel iruitoexterno.

1.3.2. rf-SQUID

Este dispositivo está formado por un anillo superondutor interrumpido

por una uniónJosephson (Fig. 1.11).Su omportamiento estágobernado por

el valor del ujo total a través del SQUID,

Φ

. A partir de la ondiión de

uantizaión deluxoide

ϕ

=

−

2 π

Φ

0

setiene,

Φ = Φ

ext

−

LI

c

sin 2

π

Φ

0

(1.26)

(30)

ϕ

2 ϕ

1 I

m

B

appl

ϕ

1 ϕ

2 I

ext

I

ext

I

_ext

_I

ext

τ

app

τ

app

λ

L

Figura 1.12: Dispositivo d-squid y equivalenia on un sistema formado por dos

péndulosaoplados.

ylaenergía potenialdel sistemaestá dada por

U

(Φ) =

−

E

J

cos 2

π

Φ

0 +

(Φ

−

Φ

ext

)

2

2 L

.

(1.27)

Yaqueenesteiruitonohayorrienteexterna,elSQUIDesoperadoaoplado

a uniruito de radio-freuenias(resonador).

Además deomo detetorde amposmagnétiolos rf-SQUIDsson

impor-tantes paraelestudio deproblemas fundamentalesde meánia uántia (ver

Ref.[53℄ ylasreferenias ontenidas allí).

1.3.3. d-SQUID

Estedispositivoonsisteenunanillosuperondutorinterrumpidopordos

uniones Josephson (Fig. 1.12). Para la orriente irulando por ada unión

tenemos:

i

1 =

ϕ

¨

1 + Γ ˙

ϕ

1 + sin

ϕ

1 =

i

mesh

+

i

ext

,

i

2 =

ϕ

¨

2 + Γ ˙

ϕ

2 + sin

ϕ

2 =

−

i

mesh

+

i

ext

;

(1.28)

ylauantizaión deluxoide:

(

ϕ

1 −

ϕ

2 ) =

−

2 π

Φ

0 B

appl

S

+

LI

mesh

.

(1.29) Normalizando, tenemos

i

mesh

=

₋

λ

(

ϕ

1 −

ϕ

2 + 2

πf

0 )

(1.30) (

f

0 =

B

appl

S/

Φ

0

).

Entones laseuaiones paraladinámia delarregloson

¨

ϕ

1 + Γ ˙

ϕ

1 + sin

ϕ

1 =

−

λ

(

ϕ

1 −

ϕ

2 + 2

πf

0 ) +

i

ext

¨

(31)

I

m

B

appl

I

m

B

appl

I

m

B

appl

I

m

B

appl

I

m

B

appl

I

m

B

appl

ϕ

_j−1

ϕ

_j

ϕ

_j+1

τ

app

ϕ

j−1

ϕ

j

ϕ

j+1

λ

Figura1.13:Reddeuniones Josephsonenparalelo

donde

I

ext

=

I

total

/

2

. Estas euaiones muestran que el problema de dos

unio-nes onetadas en paralelo por un elemento autoindutivo es equivalente al

problema dedospéndulos aopladospor un muelle detorsión (verFig.1.12).

Si los efetos indutivos pueden ser despreiados, la uantizaión del

u-xoide impone una ligadurasobre lasfases ytenemos

ϕ

1 −

ϕ

2 =

−

2 πf

0 .

(1.32)

En esteaso,

i

ext

=

i

1 +

i

2

2 = ¨

ϕ

1 + Γ ˙

ϕ

1 + cos(

πf

0 ) sin (

ϕ

1 +

πf

0 )

.

(1.33)

Dihosistemaseomportaomounaúniauniónuyaorrienterítia,

2 I

c

cos(

πf

0 )

,

está ontrolada por elampo magnétio externo.

1.3.4. Red de uniones Josephson en paralelo

Una red de uniones Josephson en paralelo está formada por un

onjun-to de uniones onetadas en paralelo mediante ables superondutores. La

analogíameánia de estesistemaesun onjunto depéndulos onetadospor

muelles de torsión (verFig 1.13). Una onseuenia importante de esta

inter-aión armóniaentreuniones esque todastienenel mismovoltaje d.

Laseuaionesdeladinámiadelaredpuedensergeneralizadasfáilmente

a partirdelas euaiones delSQUIDd. Para laredparalela de

N

uniones

¨

(32)

ext

i

ϕ

_j+1

v

ϕ

_j

t

ϕ

_j

b

I

_ch

I

_cv

ϕ

_j

v

Figura1.14:EsaleradeunionesJosephson

on

j

= 1

, ...N

. Las ondiiones de frontera están dadas por

ϕ

0 =

ϕ

1 −

2 πf

0

y

ϕ

N

+1

=

ϕ

N

+ 2

πf

0

para el aso de redes on fronteras abiertas

ϕ

N

+1

=

ϕ

1 + 2

πn

k

y

ϕ

0 =

ϕ

N

−

2 πn

k

para redes en anillo. En este aso elentero

n

k

uenta elnúmerode kinks ouxones atrapados en lared.

Laseuaiones(1.34)sontambiénlaseuaionesdeladinámiadelmodelo

Frenkel-Kontorova forzado y amortiguado o de la euaión de sine-Gordon

disreta.Eltrabajorealizadoenestatesisdotoralonsideraunareddeuniones

en paralelo on geometría de anillo lo que posibilita que los uxones queden

atrapados en su interior.

1.3.5. La esalera de uniones Josephson

UnaesaleradeunionesJosephson(Fig.1.14)esunareduasi-unidimensional

que se onsigue uando los ables horizontales de lared en paralelo son

sus-tituidos por uniones Josephson. Podemos pensar en este sistema en términos

deunonjuntode péndulos(las unionesvertiales)onetadasenparalelopor

muelles no onvexos (las uniones horizontales). Como onseuenia de las

in-teraionesnoonvexas,unadelasdifereniasmásimportantesonrespetoa

laredparalelaesqueahoralasunionesvertialesnoestánonstreñidasatener

un mismo voltaje d.Además los uantos de uxoide ahorapueden entrar en

laredo esapar dela reda través delas uniones horizontales.

Consideremos el aso de una esalera anisótropa. Entones las orriente

rítias de las uniones en la direión vertial son diferentes de las orrientes

rítiasdelasunionesenladireiónhorizontal.Estopuedehaersefáilmente

ambiandoeláreadelasuniones.Laorrienterítia,apaidadyondutania

(inversa de laresistenia)de launiónsondiretamente proporionales alárea

(33)

(i,j)

ϕ

_ij

x

ϕ

_ij

y

ext

x

i

ext

y

i

(i,j)

_(i,j+1)

Figura1.15:RedbidimensionaldeunionesJosephson

deluxoide, laseuaiones de laesalerason

N

(

ϕ

t

_j

) =

₋

λ

h

ξ

j

,

N

(

ϕ

v

_j

) =

λ

(

ξ

j

−

₁

−

ξ

_j

) +

i

_ext

,

N

(

ϕ

b

_j

) =

λ

h

ξ

j

.

(1.35)

Aquíhemos denido

ξ

j

=

−

2 πf

j

ind

=

ϕ

v

j

+

ϕ

j

t

−

ϕ

v

j

+1

−

ϕ

b

j

+ 2

πf

0 ,

(1.36)

donde

ξ

0 =

ξ

N

= 0

. Para una esalera on

N

uniones vertiales,

j

va de 1

to

N

para las uniones vertialesy de

1

a

N

−

1

paralas horizontales. Hemos

normalizado laseuaionesrespetoalosparámetrosdelasunionesvertiales.

Así,

h

=

I

ch

/I

cv

=

C

h

/C

v

=

R

v

/R

h

and

λ

=

λ

v

= Φ

0 /

2 πI

cv

L

(

λ/h

=

λ

h

=

Φ

0 /

2 πI

ch

L

).

1.3.6. Redes bidimensionales

La gura 1.15 muestra un diagramade un redbidimensional uadrada de

uniones Josephson. Siguiendo nuestra aproximaión al modelado de las

unio-nes, las uniones están aopladasmediante laondiión de lauantizaión del

(34)

a-dadaspor:

N

(

ϕ

x

_ij

) =

λ

h

(

ξ

ij

−

ξ

ij

−

1 ) +

i

ext

_x

h

,

N

(

ϕ

y

_ij

) =

λ

(

ξ

i

−

₁

_j

−

ξ

_ij

) +

i

ext

_y

(1.37)

ξ

ij

midelaintensidad delos amposinduidos

ξ

ij

=

−

2 πf

ij

ind

=

ϕ

y

ij

+

ϕ

ij

x

+1

−

ϕ

y

i

+1

j

−

ϕ

x

ij

+ 2

πf

0

(1.38)

yhemos normalizado on respeto a los parámetros de las uniones vertiales.

Así

h

=

I

cx

/I

cy

=

C

x

/C

y

=

R

y

/R

x

y

λ

=

λ

y

= Φ

0 /

2 πI

cy

L

(

λ/h

=

λ

x

=

Φ

0 /

2 πI

cx

L

).

Esteeselmodelodeunaredbidimensionaluandosólolasauto-induiones

setienenenuenta.Enfunióndelproblemaquesequieraestudiarenalgunas

oasionesesneesarioinluir lamatriztotal deinduiones,en otrosasos las

autoinduiones pueden despreiarse.

En general,en una reduadradabidimensional (N

×

N)tenemos que

resol-verlaseuaionesparaladinámiade

2 N

2 ₋

₂

_N

(paraondiionesdeontorno

libres) difereniasdefaseinvariantegauge,

ϕ

ij

.Sinembargo, uando los

am-posinduidospuedendespreiarse(límite

λ

≫

1

),laondiióndeuantizaión

deluxoide impone

(

N

−

1)

2

ligaduras sobre esasvariables.Entones, esmás

onveniente expresarlaseuaiones delsistemaenfunióndelasfasesenada

isla

θ

i

,que son

N

2 ₋

₁

variables independientes. Estose onsigueesribiendo

ϕ

ij

=

θ

i

−

θ

j

−

A

ij

[donde(para ungauge dado) los

A

ij

=

2 π

Φ

0 R

j

i

A

~

(

~r, t

)

dl

~

,

de-pendensólodelampomagnétioexterno℄ylaseuaionesdinámias resultan

de apliarlaonservaión dela orriente.

En el límite

E

J

≫

E

C

delsistemala energía Josephson total es la

ontri-buiónenergétia relevantedelsistema:

H

J

=

−

X

<ij>

E

J

cos (

θ

i

−

θ

j

−

A

ij

)

.

(1.39)

En este asouna redbidimensional de uniones Josephson onstituye una

rea-lizaión experimental del modelo XY (

A

ij

= 0

) o del modelo XY frustrado

(

A

ij

6 = 0

), por lo que onstituye un sistemaexperimental exepional para el

(35)

El anillo de uniones Josephson

El objetivofundamentaldeestetrabajodetesisdotoraleselestudiodela

dinámia deuxones en anillosde uniones Josephsonen lapreseniade ruido

térmio, y en partiular de las propiedades de desanlaje (depinning)y salto

a la rama óhmia (swithing) de los mismos. Nuestro sistema esun anillo de

unionesJosephsonalimentadoporuna orriente externa.Unanillodeuniones

Josephson esuna redformada por una serie deuniones aopladas en paralelo

y errada formando un anillo (FIg, 2.1). Debido a la uantizaión del ujo

magnétio, en el interior del anillo el ujo total es igual a un número entero

de uantos de ujo magnétio. Un experimento típio onsiste en enfriar en

presenia de un ampo magnétio el anillo superondutor por debajo de la

temperatura rítia del mismo. El ampo apliado rea un determinado ujo

enelinteriordelanillo.Aontinuaiónseproedeaeliminarelampoexterno.

Entones,elsuperondutorresponde induiendoorrientessuperondutoras

en el sistema que ompensan el ampo retirado. De este modo que el ujo

magnétio enel anilloqueda atrapadoa lapar queuantizado.

Enesteapítulopresentaremoslaseuaionesquedesribenladinámiade

un anillo de uniones Josephson. Veremos laonexión del sistemaon algunos

sistemas-modelo de interés para la físia no-lineal y la físia estadístia. Así