1.MATRICES

(1)

1

Matrices

ACTIVIDADES INICIALES

1.I. Señala el número de filas y columnas que componen las tablas de cada uno de los siguientes ejemplos. a) Un tablero de ajedrez.

b) Una quiniela de fútbol. c) El cuadro de un sudoku.

a) Ocho filas y ocho columnas. b) Quince filas y tres columnas. c) Nueve filas y nueve columnas.

1.II. Describe tres o cuatro situaciones de la vida cotidiana en las que manejemos tablas numéricas.

Respuesta abierta

1.III. Los cuadrados mágicos tienen la propiedad de que la suma de los elementos de sus filas, columnas o diagonales es siempre la misma.

Completa este cuadrado para que sea mágico.

Sumamos los términos de la diagonal que está completa. 4 + 6 + 11 + 13 = 34

Como el cuadrado debe ser mágico, todas las filas y columnas deben sumar 34. Con esta información hallamos los términos

desconocidos.

1.IV. Escribe el vector v1 

= (3, –2) como combinación lineal de los vectores v2 

= (1, 3) y v3 

= (–1, 0).

Hay que encontrar dos números reales, a y b, no simultáneamente nulos, tales que: v1 

= av2 bv3  

+

Sustituyendo los vectores v1 

, v2 

y v3 

en la expresión anterior, se obtiene: (3, –2) = a(1, 3) + b(–1, 0) = (a, 3a) + (–b, 0) = (a – b, 3a)

Igualando las componentes resulta:

3 11 3 3 2 3

2 3 3

2 3

2

3 _ ₌ − _ ₌ − ₋ _ ₌₋ ₋ ₌ −

  

=

−= −a a b b

b a

Por tanto, el vector v₁se puede escribir como combinación lineal del siguiente modo: v₁ = 3

2

−

2 v

3 11

− v3



EJERCICIOS PROPUESTOS

1.1. Escribe una matriz A de orden 3 × 2 tal que:

1 si

2 si

( 2) si

ij

i

i j

a i j i j

i j

−

 ₊ _> 

 

= ⋅ =



 ₋ _< 

Haciendo los cálculos correspondientes, la matriz A sería: A =

     

 

     

  ₋

2 3 2

2 2 3

(2)

1.2. Los pueblos A, B, C, D y E están unidos por carreteras de doble sentido tal y como muestra la figura. Escribe la correspondiente matriz de adyacencia.

B

A

E D

C

    

 

    

 

0 0 1 1 1

0 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 0 1

1 0 0 1 0

1.3. Dadas las matrices:

  

 

  

 

− − =

1 2 2

5 3 3

0 1 2

A

  

 

  

 

− =

2 2 0

3 1 0

0 0 1

B

Calcula:

a) 3A + 2B b) A 3B

2 1

−

a) =

  

 

  

 

− ⋅ +

  

 

  

 

− − ⋅ = +

2 2 0

3 1 0

0 0 1 2 1 2 2

5 3 3

0 1 2 3 2 3A B

6 3 0 2 0 0 4 3 0

9 9 15 0 2 6 9 7 21

6 6 3 0 4 4 6 2 7

− −

     

  ₊ ₋  ₌ 

     

 ₋     ₋ 

     

b) =

  

 

  

 

− ⋅ −

  

 

  

 

− − ⋅ = −

2 2 0

3 1 0

0 0 1 3 1 2 2

5 3 3

0 1 2 2 1 3 2 1_A _B

     

 

     

 

− −

=

  

 

  

 

− −

     

 

     

 

− −

2 11 7 1

2 13 2 9 2 3

0 2 1 4

6 6 0

9 3 0

0 0 3

2 1 1 1

2 5 2 3 2 3

0 2 1 1

1.4. Dadas las matrices siguientes, comprueba si se verifica la propiedad (A + B)t = At + Bt y calcula:

   

 

− −

= 3₁ ₂4 ₀2

A

  

 

  

 

− −

− =

1 3 1 3

2 0 2 1

B

a) −2A + 3B b) 4A –

2 1_B

At₌

  

 

  

 − −

0 2

2 4

1 3

, Bt₌

     

 

     

 

− −

−

1

2 3

1 0

3 2 1

A + B =

  

 

  

 

− −

−

1 3 7 4

0 4 2 5

 (A + B)t₌

     

 

     

 

− − −

1 0

3 7 4

4 2 5

= At₊_Bt

a) _

  

  

− − −

− − =

    

  

− −

− +

   

 

−− − =

+ −

3 3 7

10 8 2 15 3

1 9

6 0 2 3 0 4 2

4 8 6 3 2A B

b)

  

 

  

 

− − =

  

 

  

 

− −

   

 

− − = −

2 1 6 47 2 5

9 16 4 49

2 1 6 1 2 3

1 0 4 1 0 8 4

8 16 12 2

(3)

1.5. Dadas las matrices

A =

  

 

  

 

2 1 3 2

0 1 1 2

0 1 1 1

B =

  

 

  

 

1 0 1

0 2 3

0 1 2

.

Explica razonadamente si puedes realizar los productos AB y BA. En caso afirmativo halla los resultados.

La matriz A tiene dimensión 3 x 4 y la matriz B es de orden 3, es decir, tiene dimensión 3 x 3.

No se puede realizar el producto AB, pues no coincide el número de columnas de A con el de filas de B, pero sí se puede realizar el producto BA, pues coincide el número de columnas de B con el de filas de A, y el resultado es una matriz de dimensión 3 x 4.

BA =

  

 

  

 

1 0 1

0 2 3

0 1 2

  

 

  

 

2 1 3 2

0 1 1 2

0 1 1 1

=

  

 

  

 

2 2 4 3

0 5 5 7

0 3 3 4

1.6. Calcula A2_{– 3}_A_–_I_{, siendo}_A₌ _     

1 1

3

2 _{, e}_I_{, la matriz identidad de orden 2.}

A2_{– 3}_A_–_I₌ _     

1 1

3 2

     

1 1

3 2 _{– 3}

     

1 1

3 2 _–

     

1 0

0 1 ₌

     

4 3

9 7 _–

     

3 3

9 6 _–

     

1 0

0 1 ₌

     

0 0

1.7. Dada la matriz

A = 

  

 

−2 3

1 2 5 4

3 1

explica razonadamente si existe una matriz B tal que el producto AB sea una matriz de tres filas.

La matriz A tiene dimensión 2 x 4.

Para que pueda efectuarse el producto AB, la matriz B debe tener 4 filas, ya que el número de columnas de A

debe coincidir con el de filas de B. Así, si la dimensión de B es 4 x c, siendo c el número de columnas, la matriz producto AB tendrá dimensión 2 x c. Por tanto, la matriz producto AB tendrá 2 filas independientemente de qué valor tome c.

Luego no existe ninguna matriz B tal que AB sea una matriz de 3 filas.

1.8. Calcula las matrices inversas de:

     

−− = 1₁ ₂1

A

  

 

  

 

− =

1 0 0

1 1 0

1 0 1

B

     

= −

d c

b a

A1 _ 1 1 1 1 0

1 2 2 2 0 1

a b a c b d

AA

c d a c b d

− ₌−    ₌ − + − +  ₌ 

₋    _{− +} _{− +}   

       

Entonces:

     

− − =



= = − = − =

 

 

= + − = +

− + = − + =

− −

1 1

1 2 1

, 1 , 1 , 2 1

2 0

0 2

1 _a _c _b _d _A1

d b ; d b

c a ; c a

  

 

  

 

= −

i h g

f e d

c b a

B 1 _ 1

1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1

a b c

BB I d e f

g h i

− ₌ _ ₋      ₌ 

     

     

Entonces:

   

= ++ =

= +

0 0 1

i c

h b

g a

   

= −− =

= −

0 1

0

i f

h e

g d

   

== =

1 0 0

i h g

    

= =

= = =

= = =−

=

1 , 0 , 0

1 , 1 , 0

1 , 0 , 1

i h g

f e d

c b a



  

 

  



 −

= −

1 0 0

1 1 0

1 0 1

(4)

1.9. Calcula X de forma que AX + B = C, siendo: 

  

 

− − = 1₂ ₅3

A 

  

 

− − = ₂2 4₃

B 

    

−− = ₄0 2₆ C

     

= −

d c b a

A 1 _ 1 1 3 3 3 1 0

2 5 2 5 2 5 0 1

a b a c b d

A A

c d a c b d

− −    − + − +   

⋅ =_ _{ } _{ }= _{ }= _

− − −

       

     

=



= = = =

 

 

= − = +

− + = − =

− −

1 2

3 5 1

, 3 , 2 , 5 1 5 2 , 0 3

0 5 2 , 1

3 _a _c _b _d _A 1

d b d

b

c a c a

AX = C – BA−1_AX₌_A−1₍_C₋_B₎__X₌_A−1₍_C₋_B_{) =} 5 3 2 6 16 39

2 1 2 3 6 15

− −

    ₌     ₋   ₋ 

     

1.10. Obtén razonadamente el rango de la matriz A = _   

  

9 7 54 5 6

3 2 1

.

La fila tercera es la suma de la primera y la segunda. Las filas primera y segunda no son proporcionales, luego rg(A) = 2.

1.11. Comprueba que en la siguiente matriz coincide el número de filas y columnas linealmente independientes.

B=

 

 

 

0 1 3

0 3 9

5 5 15

Por columnas:

La columna tercera es igual al triple de la segunda. Las columnas primera y segunda no son proporcionales, luego rg(B) = 2.

Por filas:

La fila segunda es el triple de la primera. Las filas primera y tercera no son proporcionales, luego rg(B) = 2.

1.12. Calcula el rango de las siguientes matrices aplicando el método de Gauss.

A= _

  

  

9 8

7 5 6

4 2 3

1

B = _

  

  

−−12 6 4

6 3

21 1 0

A =

  

 

  

 

9 8 7

6 5 4

3 2 1

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯

− → − →

2 3 3

1 2 2

F F F F F

F _

 

  

 

3 3 3

3 2 1

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯

− → − →

2 3 3

1 2

2 3

F F F F F

F _

 

  

 

− −

0 0 0

6 3 0

3 2 1

El proceso de transformación ha terminado, ya que de la diagonal principal para abajo, todos los elementos son nulos.

El número de filas no nulas de la matriz final es 2; por tanto, rg(A) = 2.

B =

  

 

  

 

−−12 6 4

6 3 2

0 1 1

2 2 2F

F → 



 

  

 

− −

12 6 4

0 1 1

2 3 3

1 2

2 4

F F F

− →

−

→ _

 

  

 

−

0 0 0

12 2 0

0 1 1

El proceso de transformación ha terminado, ya que de la diagonal principal para abajo, todos los elementos son nulos.

(5)

1.13. Aplica el método de Gauss para calcular el rango de las matrices siguientes.

A =

          7 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 1 2 1 1

B =

          − − − − − − −− 8 1 3 4

1 5 5 0 11 2

1 1 2 1 3 5 2 1 3 0

A =

          7 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 1 2 1 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ − → − → 1 3 3 1 2 2 F F

F F F

F _

        − 4 0 0 0 0 2 1 1 0 0 3 1 2 1 1

El proceso de transformación ha terminado, ya que de la diagonal principal para abajo, todos los elementos son nulos. El número de filas no nulas de la matriz es 3; por tanto, rg(A) = 3.

B =

            − − − − − − −− 8 1 3 4 1 11 0 5 5 2 3 1 2 1 1 5 2 1 3 0 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ − → + → 2 3 3 2 4 4 2F F

F F F

F             − − − − − − − 5 2 1 3 0 5 2 1 3 0 3 1 2 1 1 5 2 1 3 0 ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ _↔ 1 2 F F             − − − − − − − 5 2 1 3 0 5 2 1 3 0 5 2 1 3 0 3 1 2 1 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ − → + → 2 3 3 2 4 4 F F

F F F

F             − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 2 1 3 0 3 1 2 1 1

El proceso de transformación ha terminado, ya que de la diagonal principal para abajo, todos los elementos son nulos. El número de filas no nulas de la matriz es 2; por tanto, rg(B) = 2.

1.14. Calcula las matrices inversas de:

      − = 2₁ ₂1

A B=_ ₋₁0 ₃2_ _

      − − = 0 0 1 5 3 0 2 1 1

C _

      − = 1 4 0 1 1 3

0 1 2

D

A =

            − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯             − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯         ₋ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯       − → − → → 5 2 5 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 2 1 0 2 1 2 5 0 2 1 1 1 0 0 2 1 2 1 2 1 1 1 0 0 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1

1 ₂1F F F F F ₅2F

F             − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ + → 5 2 5 1 5 1 5 2 1 0 0 1 2 1 1 F ₂1F

F  _

        − = − 5 2 5 1 5 1 5 2 1 A

B = _

      ₋ − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯       − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯       − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯      

− → − → + → ₂1 0

1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 0 1 1 3 1 1 1 1 0 0 1 3 1 2 0 2 2 1 2 2 2 1 1

21F

F F F F F F F             − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ _→ ₊ 0 2 1 1 2 3 1 0 0 1 2 1 1 F F

F            − = − 0 2 1 1 2 3 1 B

C =

          − − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           − − − −            − − − → − → 1 0 1 0 5 1 0 0 0 1 1 2 0 5 3 1 0 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 2 0 3 5 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 3 5 0 1 2 1 2 2 ₅1

1 3

3 F F F F

F             − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯                 − − − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ _→ ₊ _→₋ 5 2 5 0 5 1 0 0 0 1 1 0 0 5 3 1 0 1 2 1 1 5 2 1 0 5 1 0 0 0 1 5 1 0 0 5 3 1 0 1 2 1 3 3 2 3

3 F 2F F 5F

F           − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ + → + → 5 2 5 3 1 3 5 2 6 1 0 0 0 1 0 0 2 1 3 2 1 5 3 2 3 1 F F F F F

F _

        − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ _→ ₋ 5 2 5 3 1 3 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 F 2F

F  _

(6)

D =           − 1 0 0 1 4 0 0 1 0 3 1 1 0 0 1 0 1 2 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ _→ ₊ 2 1 1 F 2F

F _

        − 1 0 0 1 4 0 0 1 0 3 1 1 0 2 1 6 3 0 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ↔→−2 1

2 2

F

F F

F _

       − − − 1 0 0 1 4 0 0 2 1 6 3 0 0 1 0 3 1 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ → 2 2 ₃1F

F _

         − − − 1 0 0 1 4 0 0 3 2 3 1 2 1 0 0 1 0 3 1 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ _→ ₋ 2 3 3 F 4F F                 − − − − − − 1 3 8 3 4 7 0 0 0 3 2 3 1 2 1 0 0 1 0 3 1 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ − → + → 3 3 2 1 1 7 1_F F F F F                 − − − 7 1 21 8 21 4 1 0 0 0 3 2 3 1 2 1 0 0 3 1 3 1 1 0 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ − → + → 3 2 2 3 1 1 2F F F F F F                 − − − − 7 1 21 8 21 4 1 0 0 7 2 21 2 21 1 0 1 0 7 1 21 1 21 11 0 0 1 

D–1 =

                − − − − 7 1 21 8 21 4 7 2 21 2 21 1 7 1 21 1 21 11

1.15. Comprueba que el rango de

          − − = 3 2 1 2 1 0 1 1 1 A

es 2, y observa qué ocurre si se intenta calcular A−1_{por el método de Gauss.}

         − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯          − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           − − − → − → 0 0 0 2 1 0 1 1 1 2 1 0 2 1 0 1 1 1 3 2 1 2 1 0 1 1 1 2 3 3 1 3

3 F F F F F

F  rg(A) = 2

          − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           − − − → − → 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 1 0 2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 2 1 0 1 1 1 2 3 3 1 3

3 F F F F F

F

El hecho de que en la parte izquierda de la expresión aparezca una fila de todo ceros indica que la matriz no tiene inversa.

1.16. Calcula X de forma que XA−B = 2C, siendo:      

= ₀1 ₂1

A B=_−₃1 ₋ 1₃_ C=_₀0 ₋−4₃_

      = − d c b a

A 1 _ _

     =       + + =       ⋅       = ⋅ − 1 0 0 1 2 2 2 0 1 1 1 d c d b c a d c b a A A 1

1, 2 0 1 1

1, 0, ,

0, 2 1 2 2

a c c

a c b d A

b d d

− + = =  _ ₌ ₌ _{= −} ₌ _ ₌  _{+ =} ₌  1 1 2 1 0 2  ₋           

(7)

1.17. Una empresa monta ordenadores de dos tipos: de mesa y portátiles. Para cada clase de ordenador elabora tres calidades: alta, media y baja.

En un mes monta 100 ordenadores de cada tipo, de los cuales 20 son de calidad alta, 40 de media y 40 de baja para los de mesa, y 30 de calidad alta, 30 de media y 40 de baja para los portátiles.

Para los ordenadores de mesa se invierten cuatro horas de montaje y siete de instalación del software, y para los portátiles, seis y ocho horas, respectivamente.

a) Escribe la matriz A que determina el número de ordenadores montados atendiendo a su calidad (filas) y su tipo (columnas).

b) Escribe la matriz B que determina el número de horas utilizadas de montaje y de software (filas) para cada tipo de ordenador (columnas).

c) Calcula e interpreta la matriz ABt.

a)

Mesa Portátil Alta 20 30 :

Media 40 30 Baja 40 40

A 

  

 

  

 

=

40 40

30 40

30 20

A

b)

Mesa Portátil : Montaje 4 6

7 8

B

Software

 

    

= ₇4 ₈6

B

c)

Montaje 20 30

4 7 Alta 260 380

40 30 :

6 8 Media 340 520 40 40

Baja 400 600

t

Software AB

 

 

=_ _{ }⋅ 



 

 



260 380 340 520 400 600

t AB

 

 

=_ _

 

 

Esta última matriz representa el número de horas de cada tipo invertidas en ese mes para montar todos los ordenadores atendiendo a su calidad. Por ejemplo, el número de horas de instalación de software para todos los ordenadores de gama media es de 520.

1.18. Observa el siguiente grafo e indica:

a) Todos los caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D. b) Todos los caminos de longitud cuatro que se pueden seguir para ir de C a A.

La matriz de adyacencia y sus potencias segunda, tercera y cuarta son:

   

 

   

 

=

0 0 0 1

1 0 0 1

0 1 0 0

0 1 1 0

A

   

 

   

 

=

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 1 0 1

2 A

   

 

   

 

=

1 1 0 1

1 2 1 1

0 1 1 1

1 1 1 2

3 A



  

 

   

 

=

1 1 1 2

2 2 1 3

1 2 1 1

1 3 2 2

4 A

a) Dado que el elemento a34 de la matriz A3 vale 1, existe un único camino de longitud tres para ir de C a D: C →A→C→D

b) Dado que el elemento a31 de la matriz A4 vale 3, existen tres caminos diferentes de longitud cuatro para ir

de C a A:

C→D→A→C→A C→A→B→C→A C→A→C→D→A

A

D C

(8)

EJERCICIOS

Matrices. Grafos

1.19. Dada la matriz _

  

  

−

− − −

− − =

3 2 3 3 1 4

0 5 3 1 1 5

1 5 2 4 2 2

A :

a) Indica su dimensión.

b) Indica los elementos que forman su cuarta columna. c) Indica los elementos que forman su tercera fila. d) Indica el valor de los elementos a22, a32, a23, a45.

e) ¿Cómo designas la ubicación de los elementos cuyo valor es −5 y 0?

a) 3 × 6 d) a22 = –1, a32 = 1, a23 = –1, a45 no existe.

b)

  

 

  

 

−3 3 4

e) –5 = a12, 0 = a26

c) (–4 1 3 –3 2 3)

1.20. Escribe una matriz cuadrada B de orden 3 tal que todos sus elementos verifiquen que bij = 2i – 3j + 1.

  

 

  

 

− −

− =

2 1 4

4 1 2

6 3 0

B

1.21. Escribe una matriz cuadrada C de orden 4 tal que sus elementos verifiquen que:     

≥ +

< +

=

j i j i

j i j i c_ij

3 2 3 2

       

 

       

 

=

4 3 11 3 10 3

3 11 3 3 8 3

7 3

10 3 8 2 3 5

3 3 7 3 5 1

C

1.22. Escribe una matriz D de dimensión 2 × 4 tal que sus elementos verifiquen que:    

− >

++ = −

− < + =

2 2

2

j i j i

j i i

j j i j

i d_ij

   

 

= ₃2 ₄3 ₅7 ₁₀6

D

1.23. Calcula el valor de las letras a, b y c para que las matrices A y B sean iguales.

    

  

− + +

− +

++ + + + −

− + − +

=

a c b c a c b a

b a c c b c a

aa b a b a b

A

2 2 2 2

3 2

2

23 4 5

2

_

  

  

−

− −

− =

1 3

1 2 1

1 0 0 0

B

0 0

3 2

0

= =

 

 

= − =

+ _a _b

b a

1 1

2₊ ₊ ₌₋ _ ₌₋

−a a c c

Para los valores a = 0, b = 0 y c = –1 se verifican todas las igualdades:

2

0 1 1

a b

a a c

a b c

+ =



_{− + + = −}



 _{+ + = −}





2 3 0

2 2

2 3 3

a b

b c

a c

− =



 ₊ _{= −} 

 _{− +} _{= −} 

 2

2 2

4 5 0

2 1

1

a b

c a b

b c a

+ =



 ₊ _{− =}



 ₊ _{− =}



(9)

1.24. Escribe la matriz asociada a cada uno de los siguientes grafos.

a) b) c) d)

a) c)

b) d)

Operaciones con matrices

1.25. (TIC) Dadas las matrices:

  

 

  

 

−

− −

=

  

 

  

 

− −

− =

3 2 1

2 1 0

1 0 2 y

2 4 0

2 3 0

0 2 1

B A

Calcula:

a) A + B, A−B y 2A − 3B b) AB y BA c) ABA

a)

  

 

  

 

− −

− − = +

5 2 1

4 2 0

1 2 3

B

A ;

  

 

  

 

− − −

− − = −

1 6 1

0 4 0

1 2 1

B

A ;

  

 

  

 

− − −

− − = −

5 14 3

2 9 0

3 4 4 3 2A B

b)

  

 

  

 

− − − =

14 8 2

12 7 2

3 2 2

AB ;

  

 

  

 

− −

− =

2 8 1

2 5 0

2 0 2

BA

c)

( )

2 2 3 1 2 0 2 10 2

2 7 12 0 3 2 2 31 10

2 8 14 0 4 2 2 36 12

ABA AB A

− −

    

    

= = −_ − − _ − _{ }= − − _

  ₋   ₋ 

    

Hasta

A B C

A 1 1 1

B 1 0 0

Desde

C 0 1 1

Hasta

A B C D

A 0 0 1 1

B 1 0 0 0

C 0 1 0 0

Desde

D 0 1 1 0

Hasta

A B C D

A 1 0 1 0

B 0 1 1 0

C 0 1 1 0

Desde

D 1 0 0 0

Hasta

A B C D

A 0 0 0 1

B 1 0 1 1

C 0 0 1 0

Desde

D 0 0 1 0

A

B

C

A B

C

D

A

B

C

D

A B

C

(10)

1.26. Dadas las matrices:          − =           − − − − =           − −− = 0 3 3 0 2 2 0 0 1 y 0 1 0 1 1 3 2 2 1 3 1 2 3 0 1 1 1 2 C B A Calcula:

a) 2A + 3B, A − 2B − 3C y 2A −B + 4C b) ABC y BAB c) A2B3

a)           − − − − − = + 6 1 4 9 3 11 8 4 7 3

2A B ;

          − − − − − − = − − 3 6 7 1 8 11 3 5 3 3

2B C

A ;           − − − = + − 6 15 16 5 7 7 0 4 1 4 2A B C

b)           − −− − − − = 0 15 20 0 4 5 0 19 24 ABC ;           − − − − − − = 2 1 1 12 5 11 9 4 7 BAB c)           − − =           − − − − −           − − − − − = 24 17 7 24 18 8 14 7 27 7 4 6 8 9 6 12 8 11 4 1 1 8 2 4 2 1 3 3 2_B A

1.27. (PAU) Efectúa, si es posible, la siguiente operación matricial.

        − − −       − −−         − −− 6 5 5 40 3 2 3 21 1 3 8 4 2 3 0 1           − − − =           − − −           − − − − − =           − − −       − −−           − −− 128 60 61 32 26 19 6 5 5 4 3 0 28 20 20 12 7 8 3 1 1 6 5 5 4 3 0 2 3 2 3 1 1 8 4 3 2 0 1

1.28. (PAU) Dadas las matrices:

          − − = 3 1 0 0 2 0 1 0 2 1 3 2 A           − − = 4 0 3 0 2 0 1 1 2 1 1 1 B       − − −

= 2₁ 3₀ ₁4 ₁2 C

a) Calcula

(

_A₊_B

)

_Ct_. _{b) Comprueba que}

(

_A₊_B

)

_Ct ₌_ACt₊_BCt_.

a)

(

)

          − − − =             − −−           − − − = + 0 15 3 0 5 10 1 2 1 4 0 3 1 2 1 1 3 0 4 0 2 1 4 2 4 3 t C B A b)           − − − =           −− − − +           − − − =             − −−           − − +             − −−           − − = + 0 15 3 0 5 10 4 17 1 1 2 7 4 2 2 1 3 3 1 2 1 4 0 3 1 2 4 0 3 0 2 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 4 0 3 1 2 3 1 0 0 2 0 1 0 2 1 3 2 t t _BC AC

      − −

= 1₂ ₃3 2₁ ₁4 ₄0

A B=

(

−1 2 1 0 4

)

Calcula

( )

_ABt t ₊_BAt_.

( )

(

)

(

) (

)

1 2 3 3

2 2 1 2 1 0 4 2 1 2 9 19 18 38 4 1

0 4

t

t t t t t

AB BA BA BA BA

(11)

1.30. (TIC) Dadas las matrices:

  

 

  

 

− − =

1 2 1

1 1 1

1 0 1

A

  

 

  

 

− =

1 0 0

0 0 0

0 0 1

B

  

 

  

 

−

− −

− =

1 2 1

2 2 0

1 2 1

C

Calcula:

a) ABC b) CBA c) AB2C d) CB3A

a)

  

 

  



 −

=

0 0 2

2 4 0

ABC

b)

  

 

  

 

− − − =

2 2 0

2 4 2

0 2 2

CBA

c)

  

 

  

 

− − =

2 4 0

0 0 2

2_C AB

d)

  

 

  

 

− − − =

2 2 0

2 4 2

0 2 2

3_A CB

1.31. (TIC) Dadas las matrices siguientes:

  

 

  

 

− =

0 2 1

0 0 1

0 0 0

A

  

 

  

 

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Calcula:

a) A + I c) (A + I)3

b) (A + I)2 d) (A + I)4

a)

  

 

  

 

− = +

1 2 1

0 1 1

0 0 1

I

A

b)

(

)

  

 

  

 

− = +

1 4 0

0 1 2

0 0 1

2 I A

c)

(

)

  

 

  

 

− − = +

1 6 3

0 1 3

0 0 1

3 I A

d)

(

)

  

 

  

 

− − = +

1 8 8

0 1 4

0 0 1

4 I A

   

 

− −

= ₃2 ₂1 ₃0

A

y

  

 

  

 

− −

− − =

0 2 2 0

1 2 1 2

2 0 1 1

B

Calcula, si es posible, la expresión de la matriz AB. ¿Se puede calcular BA?

   

 

− −− −

= 4₇ ₁3 2₂ 5₈

AB

(12)

1.33. Se consideran las matrices:

  

 

  

 

−

− −

− =

7 7 1 0 0 1 3 0 3 0 3 0

3 4 2 9 6 3 2 2 1 0 0 8

4 0 1 1 1 9 2 0 2 1 0 0

7 1 2 4 5 7 1 0 1 3 4 1

A

(

−1 2 2 3 −4 2 1 −1 0 1 0 1

)

= B

a) Calcula el valor del elemento de la tercera fila y primera columna de la matriz C = ABt. b) Calcula el valor del elemento de la primera fila y tercera columna de la matriz D = BAt_.

a)

(

)

=

              

 

              

 

− − −

− − =

1 0 1 0 1 1 2 4 3 2 2 1

8 0 0 1 2 2 3 6 9 2 4 3

31

c 26

b) Como D = Ctd13 = c31 = 26

1.34. (PAU) Dadas las matrices:

  

 

  

 

− =

  

 

  

 

− − −

=

1 1 0

1 2 0

0 0 1 y

1 0 2

1 2 3

0 1 2

N M

a) Calcula M2 – N2. b) Calcula (M + N)(M−N).

c) Explica la razón de que M2_–_N2 _≠₍_M₊_N₎₍_M_–_N_).

a)

  

 

  

 

− −

=

  

 

  

 

− −

−

  

 

  

 

− −

= −

1 3 6

0 2 2

1 0 6 2 1 0

1 5 0

0 0 1 1 2 6

1 7 2

1 0 7

2 2 _N M

b)

(

)(

)

  

 

  

 

− −

=

  

 

  

 

−

− −

−

  

 

  

 − = − +

2 6 3

0 3 9

2 3 6 2 1 2

2 4 3

0 1 3 0 1 2

0 0 3

0 1 1

N M N M

c)

(

_M₊_N

)(

_M₋_N

)

₌_M2₋_MN₊_NM₋_N2_.

Como en general MN≠NM, se sigue que, en general, −MN+NM≠O.

1.35. (PAU)(TIC) Dadas las matrices      

= ₀1 0₁

I y 

    

−− = ₃1 2₄

A , calcula:

a) A2, A3 y A4

b) A2− 3A + 2I

a) 

  

 

−− =

   

 

−− =

   

 

−−

= ; 29₄₅ ₄₆30

22 21

14 13 ;

10 9

6

5 3 4

2 _A _A

A

b) 

  

 

−− =

     

+

   

 

−− −

   

 

−− = +

−3 2 5₉ ₁₀6 ₉3 ₁₂6 2₀ 0₂ ₁₈6 12₂₄

2 _A _I

(13)

1.36. Calcula la matriz X para que verifique la siguiente ecuación matricial:

  

 

  

 

− −

   



− −

=

   

 

   

 

− − −

      − −

2 1

6 3

2 0 4 3 0

1 5 2 1

3 0 1 3 3 2

1 2 3 2X

  

 

  

 

=

    

 

=

   

 − − +

   

 

=

    

 

=

   

 − − −

22 19

2 29 2 13 44

38 29 13 18 33

3 3 26 5

32 16 2 26 5

32 16 6 11

1 1 3

2X X X

1.37. (PAU) Resuelve el sistema:      

   

 

− − − = −

      − = +

22 4

14 15 4

3

8 3

2 7 3 2

B A

   

 

− − =

    

 

− − =

     

 −

=

    



 −

=



     

   



 −

= + −

    

 −

= +

2 0

2 1 4

0 4 2 2 4 1

2 3 68

17 34 51 17

44 8

28 30 8 6

24 9

6 21 9 6

A A

B B

B A

1.38. (PAU) Resuelve el sistema   

= + −X+ Y= B

A Y X

3 2 3

, siendo: 

  

 

− −

= ₂5 ₁₀4 ₁₂ 6

A 

  

 

− −

= ₃2 ₄5 ₄9 B

  

= + −X+ Y= B

A Y X

3 2

3 _

  

= +

− X+ Y= B

A Y X

3 9 3

2

3 _

11Y = A + 3B 11Y = 11 11 33 11 22 0

 

₋ 

  Y =   

 

−1 2 0

3 1 1

  

− =

+

B Y X

A Y X

2 6 2

3 6

9 _

11X = 3A – 2B = 11 22 0 0 22 44

−

 

 

  X =   

  −

4 2 0

0 2 1

1.39. (PAU) (TIC) Dada la matriz      

= ₀1 ₁2 A

Calcula: a) A2, A3 y A4

b) A23

a) 

    

= ₀1 ₁4

2

A ; 

    

= ₀1 ₁6

3

A ; 

    

= ₀1 8₁

4

A ; 

    

= ₀1 2₁n

An

b) 

    

= ₀1 46₁

23 A

Matriz inversa

1.40. Aplicando directamente la definición, calcula las matrices inversas de      

= ₂0 ₀2

A y =_₋ _

 

1 7 2 15

B .

     

= ₂0 ₀2

A ; 

    

= −

d c

b a

A 1 _ _

    

=

   

 

=

           

= ⋅ −

1 0

0 1 2 2

2 2 0

1

b a

d c d c

b a A

A

  

 

  

 

=



= = = =

 −

0 2 1 2

1 0 2

1 0 0 2

1 _d _a _b _A 1

c

1 7 2 15

B=_ _ −

 

1 a b

B

c d

− ₌ 

   

1 1 7 7 7 1 0

2 15 2 15 2 15 0 1

a b a c b d

B B

c d a c b d

−      + +   

⋅ =_ _{ }⋅ _{ }= _{ }= _

− − + − +

       

  

 

  

  − =



= = − = =

 

 

= + − = +

= + − =

+ ₋

29 1 29

2 29 7 29 15 29

1 29

2 29

7 29

15 1

15 2 0 7

0 15 2 1

7 ₁

B d

c b

a d b d

b

c a c

(14)

1.41. Comprueba que las matrices A y B son inversas.                 − − − = 3 1 2 1 0 2 1 2 4 1 2 2 1 A

                − − − − − = 30 24 36 4 3 10 3 16 1 3 4 3 4 B A B B A I

AB =  = =

          =                 − − − − −                 − − −

= −1 _; −1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 30 24 36 4 3 10 3 16 1 3 4 3 4 3 1 2 1 0 2 1 2 4 1 2 2 1

1.42. Aplicando directamente la definición, calcula la matriz inversa de

          − − − = 1 0 2 0 1 2 1 0 1 A           − − − = 1 0 2 0 1 2 1 0 1 A ;           = − i h g f e d c b a

A 1 _

          =                     − − −  = − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 2 1 0 1 1 i h g f e d c b a I A A Entonces:     = −− = = − 0 0 1 i c h b g a      = −− = = − 0 2 1 2 0 2 f c e b d a      = − = − = − 1 2 0 2 0 2 i c h b g a      = = = = =− == =− =− 2 1 1 1 0 1 2 f i c e h b a d g            − − −− = − 1 0 2 2 1 2 1 0 1 1 A

1.43. Aplicando el método de Gauss, calcula las matrices inversas de:

a) 

  

 − − = ₂1 ₃1

A b) 

     − − = ₁1 2₃

B c)

          − − − = 2 4 3 0 1 2 1 1 1 C d)           − −− = 3 1 0 0 1 2 2 0 1 D

a) 

     − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯         − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯         − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯      − − → − → → −

→ ₀1 ₁1 1₂ ₁0

2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 3 1 1 1 1 0 0 1 3 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2

1 F F F F F

F F F F       − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →

⎯ _→ ₋ ₀1 0₁ 3₂ 1₁

2 1 F1 F

F  − =_−₂ −₁_

1 3

1 A

b) 

     − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯       − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯       − −− ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯       − − − → − → −

→ 1 1

0 1 1 0 2 1 1 1 0 1 1 0 2 1 1 0 0 1 3 1 2 1 1 0 0 1 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 F F F F F F

F       − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →

⎯ _→ ₊₂ ₀1 0₁ 3₁ 2₁

1 1 F F

F  − =_−₋₁ ₋−₁_

2 3 1 B c)           − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ − →           − − − _→ ₊ _→ 3 0 9 0 1 2 0 0 1 15 21 0 2 3 0 1 1 1 1 0 3 0 1 2 0 0 1 5 7 0 2 3 0 1 1 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 4 3 0 1 2 1 1 1 3 3 1 3

2 2 3

3 1

2 F F F F

F F F F           − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ _→ ₊ 3 7 5 0 1 2 0 0 1 1 0 0 2 3 0 1 1 1 2 7 3

3 F F

F _

        ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ → +

→→ + 5 7 3

2 5 4 3 7 6 1 0 0 0 1 0 0 1 1 3 7 5 6 15 12 3 7 6 1 0 0 0 3 0 0 1 1 2 2 ₃1

2 3 1 1 3 2

2 _F _F

F F F F F F           ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ _→ ₋ 3 7 5 2 5 4 1 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 F F

F  _

       = − 3 7 5 2 5 4 1 2 2 1 C d)           − − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           − −− _→ ₋ _→ ₊ 1 1 2 0 1 2 0 0 1 1 0 0 4 1 0 2 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 1 3 1 0 4 1 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 0 1 2 2 0 1 2 3

2 1 3

2 F 2F F F F

F           − − − − − − =            − − − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯           − − −− −− ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ − + →→ + − →− → 1 1 2 4 3 6 2 2 3 1 1 2 4 3 6 2 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 2 0 1 2 0 0 1 1 0 0 4 1 0 2 0 1 1 3 1 1 3 2 2 1 24 3 3 1 D F F

F F F

F F

(15)

1.44. Dada la matriz

     

− − = ₂5 3₁ A

calcula: a) A–1_y_At b) (AtA–1)2A

a)

2 2 1 1 1 2

1 1

5 3 1

5

5 3 1 0 5 3 1 0 5 0 5 15 1 0 1 3

2 1 0 1 F→F F− 0 1 2 5 F F→ +F 0 1 2 5 _F_→ _F 0 1 2 5

 − _{⎯⎯⎯⎯⎯⎯→} − _{⎯⎯⎯⎯⎯⎯→} − _{⎯⎯⎯⎯⎯}_→ − 

 ₋   ₋   ₋   ₋ 

       



  

 

− − =

     

−− = −

1 3

2 5 ;

5 2

3 1

1 _At

A

b)

(

)



  



− − =

   

 

− −

     

−−

   

 

− − = =

= − − −

−

24 67

43 120 1

3 2 5 5 2

3 1 1 3

2 5

1 1

1 2

1 t t t t

t_A _A _A_A _A_A _A _A_A _A

A

1.45. (PAU) Dadas las matrices 

    − = 1₂ ₃1

A y 

     − = 0₁ ₃2

B :

a) Calcula A−1_,_B−1_{, (2}_A₎−1_y 1 3

1 −

    

 _B _.

b) Comprueba que

( )

1 1

2 1 2A− = A− .

c) Comprueba que 1 ₃ 1

3

1 _− ₌ −

   

 _B _B _.

d) Comprueba que

( )

1 1

1

2 3 3

1

2 − −

− =

  

 _

    

⋅ B B A

A .

a)

  

 

  

 ₋

=

−

5 1 5 2 5

1 5 3

1

A ;

  

 

  

 

− =

−

0 2 1

1 2 3

1

B ;

  

 

  

 ₋

=

−

10 1 5 1 10

1 10

3 )

2 ( _A 1

  

 

  

 

− =

      −

0 2 3

3 2 9 3

1 1

B

Los apartados b y c se comprueban directamente.

d)

  

 

  

 

=

     

3 10 2

3 10 3 2 3 1 ) 2

( A B ;

  

 

  

 

− − =

  

 

  

 ₋

  

 

  

 

− =

− −

10 1 10

3 2

1 2 1

5 1 5 2 5

1 5 3 0 2 1

1 2 3

1 1_A

B

Y se comprueba directamente que 1 1 1

2 3 3

1 ) 2

( − −

− =

   



 _

   

 _B _B _A