Rectas y Planos

(1)

Geometr´ıa Anal´ıtica I

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Araceli Guzm´

an y Guillermo Garro

Facultad de Ciencias UNAM

(2)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Contenido, duraci´on y fecha de examen Geometr´ıa Anal´ıtica I

Contenido

1. Rectas y semiplanos deR2.

2. Rectas y planos deR3. Semiespacios deR3.

3. Sistemas de ecuaciones lineales.

4. Sistemas de desigualdades lineales.

Duraci´

on:

15 horas.

Fecha del examen

(3)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Referencias Geometr´ıa Anal´ıtica I

Referencias:

1. Preston, G. C., & Lovaglia, A. R. (1971). Modern analytic geometry. New York: HarperCollins Publishers.

1. Ram´ırez-Galarza, Ana I. (2013).Geometr´ıa anal´ıtica: una introducci´on a la geometr´ıa.M´exico: Las Prensas de Ciencias, UNAM.

2. Bracho, Javier (2009). Introducción anal´ıtica a las geometr´ıas. México: Fondo de Cultura Económica.

(4)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

1. Rectas y semiplanos deR2

Geometr´ıa Anal´ıtica I

(5)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

UnarectaenR2es un conjunto de la forma

LC A,B=

(x, y)∈R2:Ax+By+C= 0 ,

dondeAyByCson constantes, yAyBson no ambas cero.

Observaci´

on

La ecuaci´on

Ax+By+C= 0,

(6)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

UnarectaenR2es un conjunto de la forma

LC A,B=

(x, y)∈R2:Ax+By+C= 0 ,

dondeAyByCson constantes, yAyBson no ambas cero.

Observaci´

on

La ecuaci´on

Ax+By+C= 0,

(7)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

SeanA=C= 1yB=−1

2. Entonces, para todo(x, y)∈R 2_,

x−1

2y+ 1 = 0⇔y= 2(x+ 1),

de donde

(x, y)∈ L1 1,−1

2

⇔(x, y) = (x,2(x+ 1)) = (x,2x) + (0,2) =x(1,2) + (0,2).

Por lo tanto,

L1

(8)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Observamos que:

I La rectaL1 1,−1

2

es unatraslaci´on de

la recta por el origen L0 1,−1

2

, por el

vectorv= (0,2).

I El vector

u=

1,−A B

= (1,2)

es el vector direcci´on deL0

1,−1₂,

iden-tificamos entonces este vector como el vector direcci´on deL1

1,−1 2

.

I El vector

(A, B) =

1,−1

2

(9)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Este ejemplo motiva un par de hechos generales

Teorema

SeanA,ByCconstantes yAyBno ambas cero. Entonces existe un vector no nulou∈R2 y un vectorp∈R2tal queϕ(t) =p+tues una funci´on biyectiva deRsobreLCA,B, yues ortogonal a(A, B).

Rec´ıprocamente, si u∈ R2 es un vector no nulo y p ∈ R2, entonces existen

(10)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

SeanA,ByCconstantes yAyBno ambas cero.

Entonces existeu= (u1, u2)∈R2

no nulo tal queϕ˜(t) =tues una aplicaci´on biyectiva deRsobre la recta por el origen

L0

A,B={(x, y)∈R2:Ax+By= 0}.

De hecho, podr´ıamos escoger,

u= (u1, u2) =

    

(0,1) siB= 0,

1,−A B

siB6= 0.

Ahora tomamos un punto cualquiera p = (p1, p2) ∈ LCA,B. De hecho, podr´ıamos

escoger, p=      −C A,0

siB= 0(⇒A6= 0); o bien,

0,−C B

(11)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

SeanA,ByCconstantes yAyBno ambas cero. Entonces existeu= (u1, u2)∈R2

L0

A,B={(x, y)∈R2:Ax+By= 0}.

u= (u1, u2) =

    

(0,1) siB= 0,

1,−A B

siB6= 0.

escoger, p=      −C A,0

siB= 0(⇒A6= 0); o bien,

0,−C B

(12)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

L0

A,B={(x, y)∈R2:Ax+By= 0}.

u= (u1, u2) =

    

(0,1) siB= 0,

1,−A B

siB6= 0.

escoger, p=      −C A,0

siB= 0(⇒A6= 0); o bien,

0,−C B

(13)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

L0

A,B={(x, y)∈R2:Ax+By= 0}.

u= (u1, u2) =

    

(0,1) siB= 0,

1,−A B

siB6= 0.

Ahora tomamos un punto cualquiera p = (p1, p2) ∈ LCA,B.

De hecho, podr´ıamos escoger, p=      −C A,0

siB= 0(⇒A6= 0); o bien,

0,−C B

(14)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

L0

A,B={(x, y)∈R2:Ax+By= 0}.

u= (u1, u2) =

    

(0,1) siB= 0,

1,−A B

siB6= 0.

escoger, p=    −C A,0

siB= 0(⇒A6= 0); o bien,

(15)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

Definimos para todot∈R,

ϕ(t) :=p+ ˜ϕ(t) =p+tu= (p1+tu1, p2+u2).

Entonces

ϕ(t)∈ LC

A,B, ∀t∈R.

En efecto,

A(p1+tu1) +B(p2+tu2) =Ap1+Bp2+t(Au1+Bu2) =−C.

(16)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

ϕ(t) :=p+ ˜ϕ(t) =p+tu= (p1+tu1, p2+u2).

Entonces

ϕ(t)∈ LC

A,B, ∀t∈R.

En efecto,

(17)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

ϕ(t) :=p+ ˜ϕ(t) =p+tu= (p1+tu1, p2+u2).

Entonces

ϕ(t)∈ LC

A,B, ∀t∈R.

En efecto,

(18)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

ϕ(t) :=p+ ˜ϕ(t) =p+tu= (p1+tu1, p2+u2).

Entonces

ϕ(t)∈ LC

A,B, ∀t∈R.

En efecto,

(19)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

Y siv= (x, y)∈ LC

A,B, entonces

v−p= (x−p1, y−p2)∈ L0A,B,

puesto que

A(x−p1) +B(y−p2) =Ax+By−(Ap1+Bp2) =−C+C= 0.

En consecuencia, existe unt∗_∈

Rtal que

v−p=t∗u, esto es

v=p+t∗u=ϕ(t∗).

(20)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

Ahora, seant, t0∈_Rtales que

p+tu=ϕ(t) =ϕ(t0) =p+t0u. Entonces

tu=t0u, de donde

t=t0.

(21)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

Ahora, seant, t0∈_Rtales que

p+tu=ϕ(t) =ϕ(t0) =p+t0u. Entonces

tu=t0u, de donde

t=t0.

(22)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

Rec´ıprocamente, siu= (u1, u2)es un vector no nulo deR2, entonces existen constantes

AyBno ambas cero tales queϕ˜(t) =tues una funci´on biyectiva deRsobreL0A,B.

De hecho, podr´ıamos elegir,

A=−u2 y B=u1.

Si adem´asp= (p1, p2)es alg´un punto deR2, entonces definimos

C:=−Ap1−Bp2.

Observe quep∈ LC A,B.

As´ı, sit∈_R,

A(p1+tu1) +B(p1+tu2) =Ap1+Bp2+Au1+Bu2=−C.

Esto es, el rango de la funci´onϕ(t) :=p+ ˜ϕ(t) =p+tvest´a contenido enLC A,B.

(23)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

A=−u2 y B=u1.

C:=−Ap1−Bp2.

As´ı, sit∈_R,

(24)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

A=−u2 y B=u1.

C:=−Ap1−Bp2.

As´ı, sit∈_R,

(25)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

A=−u2 y B=u1.

C:=−Ap1−Bp2.

As´ı, sit∈_R,

(26)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

A=−u2 y B=u1.

C:=−Ap1−Bp2.

As´ı, sit∈_R,

(27)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

A=−u2 y B=u1.

C:=−Ap1−Bp2.

As´ı, sit∈_R,

(28)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

A=−u2 y B=u1.

C:=−Ap1−Bp2.

As´ı, sit∈_R,

(29)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Observaci´

on

Diremos que la ecuaciónϕ(t) =p+tues larepresentación paramétricade una recta enR2 quepasa por (elpunto de apoyo)pconvector dirección (o solodireccióno

bienvector director)u. Y en este caso, usamos la notaci´on

Lu,p={ϕ(t) :t∈R}={p+tu:t∈R}.

Siu= (u1, u2)6=0yp= (p1, p2), entonces el sistema de ecuaciones param´etricas

  

x=p1+tu1

y=p2+tu2

(30)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

Seau= (0,2)y seap= (−2,3). La rectaLu,pse muestra en el dibujo.

Tenemos,

ϕ(t) = (−2,3 + 2t), ∀t∈_R. Y por otra parte,

(A, B) = (−u2, u1) = (−2,0).

As´ı que

C=−(−2)(−2) =−4. La (una) ecuaci´on (impl´ıcita) de la recta que pasa porp = (−2,3) con direcci´on

u= (0,2)es

(31)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

Seau= (3,−2)y seap= −3 2,3

. La rectaLu,pse muestra en el dibujo.

Tenemos,

ϕ(t) =

−3

2+ 3t,3−2t

, ∀t∈_R.

Y por otra parte,

(A, B) = (−u2, u1) = (2,3).

As´ı,

C=−2

−3

2

−3(3) =−6.

La (una) ecuaci´on (impl´ıcita) de la recta que pasa porp = −3

2,3

con direcci´on

u= (3,−2)es

(32)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema : Forma pendiente-ordenada al origen

Sean A, By C constantes y B 6= 0. Existen constantes m (pendiente) y b (ordenada al origen) ´unicas tales que

LC A,B=

(x, y)∈_R2_:_y₌_mx₊_b _. ₍₁₎

(33)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

SeanA,B6= 0yCconsantes. Sim=−A B yb=−

C

B, entonces para todo(x, y)∈R

2_,

(x, y)∈ LC

A,B⇔Ax+By+C= 0⇔y=−

A Bx−

C

B=mx+b.

Si ahora tenemosmybconstantes, entonces con cualquier constanteB6= 0, sean

A=−Bm y C=−Bb.

As´ı, para todo(x, y)∈R2,

y=mx+b⇔By=Bmx+Bb⇔Ax+By+C= 0.

Observaci´

on

La direcci´on de la recta determinada por una ecuaci´on pendiente-ordenada al origen

(34)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

C

2_,

(x, y)∈ LC

A Bx−

C

B=mx+b. Si ahora tenemosmybconstantes, entonces con cualquier constanteB6= 0, sean

A=−Bm y C=−Bb.

Observaci´

on

(35)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

C

2_,

(x, y)∈ LC

A Bx−

C

A=−Bm y C=−Bb.

Observaci´

on

(36)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

C

2_,

(x, y)∈ LC

A Bx−

C

A=−Bm y C=−Bb.

Observaci´

on

(37)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

Consideremos la ecuaci´on de la recta

2x−3y−1 = 0. La representaci´on param´etrica es:

ϕ(t) =

0,−1

3

+t

1,2

3

.

Equivalentemente, las ecuaciones param´etricas son:

    

x=t

y=2t−1 3 .

La forma pendiente-ordenada al origen es:

(38)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Proposici´on

Dada una recta determinada por la ecuaci´on

y=mx+b, seaθ∈[0, π)\π

2 el ´angulo entre el vector direcci´on(1, m)y el Eje X, entonces

(39)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema : Forma punto-pendiente

Dada una constantemy un puntop0 = (x0, y0)∈R2, la ecuaci´on de la recta que pasa porp0con pendientemest´a dada por

y−y0=m(x−x0).

Demostraci´

on.

La ecuaci´on de tal recta es de la forma

y=mx+b,

dondebes alguna constante (no nos intersa cual). En particular, si esta recta pasa por

p0= (x0, y0), entonces

y0=mx0+b.

Luego,

(40)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema : Ecuaci´on de la recta dados dos puntos

Sip0 = (x0, y0)yp1 = (x1, y1)deR2, entonces la ecuaci´on de la recta que pasa porp0yp1est´a dada por

y−y0=

y1−y0

x1−x0

(41)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

y=mx+b, dondemybson constantes.

En particular, sip0= (x0, y0)yp1= (x1, y1)son puntos

de esta recta,

y0=mx0+b y y1=mx1+b.

Por lo tanto

y1−y0=mx1+b−(mx0+b) =m(x1−x0),

de donde,

m= y1−y0

x1−x0

.

(42)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

y=mx+b,

dondemybson constantes. En particular, sip0= (x0, y0)yp1= (x1, y1)son puntos

de esta recta,

Por lo tanto

y1−y0=mx1+b−(mx0+b) =m(x1−x0),

de donde,

m= y1−y0

x1−x0

.

(43)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

y=mx+b,

de esta recta,

Por lo tanto

y1−y0=mx1+b−(mx0+b) =m(x1−x0),

de donde,

m= y1−y0

x1−x0

.

(44)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

y=mx+b,

de esta recta,

Por lo tanto

y1−y0=mx1+b−(mx0+b) =m(x1−x0),

de donde,

m= y1−y0

x1−x0

.

(45)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

y=mx+b,

de esta recta,

Por lo tanto

y1−y0=mx1+b−(mx0+b) =m(x1−x0),

de donde,

m= y1−y0

x1−x0

.

(46)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

Dos rectasϕ(t) =p+tuyϕ˜(t) = ˜p+tu˜

sonparalelassiuyu˜ son paralelos.

Definici´

on

Dos rectasϕ(t) =p+tuyϕ˜(t) = ˜p+tu˜

(47)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Enunciamos el concepto de perpendicularidad de rectas en t´erminos de las ecuaciones impl´ıcitas.

Teorema

SeanA,ByC,A0_,_B0 _y_C0_{constantes con}_A_y_B_{no ambas cero, y}_A0 _y_B0 no ambas cero. Entonces las rectas

Ax+By+C= 0 y A0x+B0y+C0= 0 (3)

son perpendiculares si y s´olo si,

AA0=−BB0. Es decir(A, B)·(A0, B0) = 0, o sea,(A, B)⊥(A0B0). Las rectas (3) son paralelas si y s´olo si,

AB0=A0B.

(48)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Las rectas

Ax+By+C y A0x+B0y+C0= 0

son perpendiculares si y s´olo si

(A, B)·(A0, B0) = 0.

Las rectas

Ax+By+C y A0x+B0y+C0= 0

(49)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

Primero recordemos que un vector direcci´on de una recta por el origen

Ax+By= 0

est´a dado por

uA,B=

  

(0,1) siB= 0,

1,−A B

siB6= 0.

Por lo tanto,

uA,B·uA0,B0=

            

1 siB= 0 =B0, −A0

B0 siB= 06=B0,

−A

B siB6= 0 =B

0_,

(50)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

Primero recordemos que un vector direcci´on de una recta por el origen

Ax+By= 0

est´a dado por

uA,B=

  

(0,1) siB= 0,

1,−A B

siB6= 0. Por lo tanto,

uA,B·uA0,B0=

            

1 siB= 0 =B0, −A0

B0 siB= 06=B0,

−_BA siB6= 0 =B0_,

(51)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on).

As´ı,

uA,B·u_A0_,B0= 0⇔       

B= 06=B0 yA0= 0, o bien, B6= 0 =B0 yA= 0, o bien, B6= 06=B0 _y AA0

BB0 =−1.

En cualquier caso

uA,B·uA0,B0 = 0⇔AA

(52)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

(Continuaci´on).

As´ı,

uA,B·u_A0_,B0= 0⇔       

B= 06=B0 yA0= 0, o bien, B6= 0 =B0 yA= 0, o bien, B6= 06=B0 _y AA0

BB0 =−1.

En cualquier caso

uA,B·uA0,B0 = 0⇔AA

(53)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

SeaL ⊂R2 una recta y seaq∈R2cualquier punto. Definimos ladistancia depaL como

d(q,L) := inf{d(q,v) :v∈ L}.

Observaci´

on

El conjunto

{d(q,v) :v∈ L}

est´a acotado inferiormente. De hecho,0es una cota inferior. De ah´ı que la definici´on ded(q,L)tiene sentido.

Observaci´

on

Para todoqen la rectaL,

(54)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

d(q,L) := inf{d(q,v) :v∈ L}.

Observaci´

on

El conjunto

{d(q,v) :v∈ L}

Observaci´

on

(55)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

d(q,L) := inf{d(q,v) :v∈ L}.

Observaci´

on

El conjunto

{d(q,v) :v∈ L}

Observaci´

on

(56)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

(57)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Sea la recta por el origen dada por la ecuaci´on param´etricaϕ(t) =tv(v6=0), y seaqun punto deR2. Entonces

d(q,Lv) =kq−πv(q)k

Corolario

Sea la recta por el origen dada por la ecuaci´on param´etricaϕ(t) =p+tv(v6=0), y seaqun punto deR2. Entonces

(58)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Corolario

Sea la recta por el origen dada por la ecuaci´on param´etricaϕ(t) =p+tv(v6=0), y seaqun punto deR2. Entonces

(59)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Demostraci´

on.

Para todot∈R, el vectorπv(q)−tves m´ultiplo escalar dev. En efecto,

πv(q)−tv= q·v

kvk2v−tv=

q·v

kvk2 −t

v.

De manera que por las propiedades del producto escalar, para todot∈_R,

kq−tvk2=k(q−πv(q)) + (πv(q)−tv)k2

=kq−πv(q)k2+ 2 (p−πv(q))·(πv(p)−tv) +kπv(q)−tvk2

(60)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Demostraci´

on.

Para todot∈R, el vectorπv(q)−tves m´ultiplo escalar dev.

En efecto,

πv(q)−tv= q·v

kvk2v−tv=

q·v

kvk2 −t

v.

(61)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Demostraci´

on.

πv(q)−tv= q·v

kvk2v−tv=

q·v

kvk2 −t

v.

(62)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Demostraci´

on.

πv(q)−tv= q·v

kvk2v−tv=

q·v

kvk2 −t

v.

(63)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

En consecuencia, para todot∈R,

kq−πv(q)k ≤ kq−tvk.

De donde

kq−πv(q)k ≤d(q,Lv).

Pero, de hecho,

(64)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

De donde

Pero, de hecho,

(65)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Demostraci´

on.

(Continuaci´on)

De donde

Pero, de hecho,

(66)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Corolario

Sea la recta que pasa porp∈_R2_{dada por la ecuaci´}_{on param´}_etrica_ϕ₍_t_{) =}_p₊_t_v

(v6=0), y seaqun punto deR2. Entonces

d(q,Lv,p) =kq−p−πv(q−p)k.

Y adem´as

d(q,Lv,p) = 0 ⇔ q=p+t0v,para alg´unt0∈R.

Demostraci´

on.

(67)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

(68)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

La distancia de un puntoq= (x0, y0)a una recta dada por la ecuaci´on

Ax+By+C= 0

(dondeAyBno son ambas cero) es

d(q,LC A,B) :=

|Ax0+Bx0+C|

√

A2₊_B2 .

Demostraci´

on.

(69)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Orientaci´

on natural de una recta

Consideremos la recta

Ax+By+C= 0, (4)

(AyBson constantes no ambas cero). Definimos

γ=       

|B|

B siB6= 0, |A|

A siB= 0(⇒ A6= 0). Note queγ∈ {−1,1}.

Definimos

A∗=γA, B∗=γB y C∗=γC.

Note queB∗ =|B|>0 siB6= 0 (la recta no es vertical), y siB= 0(la recta es vertical), entoncesA∗=|A|>0. La ecuaci´on (4) es equivalente a

A∗x+B∗y+C∗= 0. (5)

(70)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Orientaci´

on natural de una recta

Ax+By+C= 0, (4)

γ=       

|B|

B siB6= 0, |A|

A siB= 0(⇒ A6= 0). Note queγ∈ {−1,1}. Definimos

Note queB∗ =|B|>0 siB6= 0 (la recta no es vertical), y siB= 0(la recta es vertical), entoncesA∗=|A|>0.

La ecuaci´on (4) es equivalente a

A∗x+B∗y+C∗= 0. (5)

(71)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Orientaci´

on natural de una recta

Ax+By+C= 0, (4)

γ=

      

|B|

B siB6= 0, |A|

A siB= 0(⇒ A6= 0). Note queγ∈ {−1,1}. Definimos

Note queB∗ =|B|>0 siB6= 0 (la recta no es vertical), y siB= 0(la recta es vertical), entoncesA∗=|A|>0. La ecuaci´on (4) es equivalente a

A∗x+B∗y+C∗= 0. (5)

(72)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on (Distancia dirigida)

Ladistancia dirigida(uorientada) de un puntoq= (x0, y0)a una recta dada por la

ecuaci´on

Ax+By+C= 0

D(q,LC A,B) :=

A∗_x

0+B∗x0+C∗

p

(A∗₎2_{+ (}_B∗₎2 .

Observaci´

on

D(q,LC A,B) :=

|γ| γ

Ax0+Bx0+C

√

A2₊_B2 .

Observaci´

on

d(q,LC A,B) =

(73)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on (Distancia dirigida)

ecuaci´on

Ax+By+C= 0

D(q,LC A,B) :=

A∗_x

0+B∗x0+C∗

p

(A∗₎2_{+ (}_B∗₎2 .

Observaci´

on

D(q,LC A,B) :=

|γ| γ

Ax0+Bx0+C

√

A2₊_B2 .

Observaci´

on

d(q,LC A,B) =

(74)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on (Distancia dirigida)

ecuaci´on

Ax+By+C= 0

D(q,LC A,B) :=

A∗_x

0+B∗x0+C∗

p

(A∗₎2_{+ (}_B∗₎2 .

Observaci´

on

D(q,LC A,B) :=

|γ| γ

Ax0+Bx0+C

√

A2₊_B2 .

(75)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

Unsemiplanoes una regi´on deR2delimitada por una recta. Espec´ıficamente, siA,B

yCson constantes yAyBson no ambas cero, las regiones

S> A,B,C=

(x, y)∈R2:Ax+By+C >0

y S< A,B,C=

(x, y)∈R2:Ax+By+C <0 ,

(76)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

(77)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

(78)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Coordenadas relativas a sistemas ortogonales

Seap0 = (x0, y0)alg´un punto deR2. Las coordenadas dep0 relativas a las rectas

ortogonales

Ax+By+C= 0 y A0x+B0y+C0= 0, en ese orden, son las coordenadas

x∗0=D(q,LCA,B) y y

∗

0 =D(q,LC

0

(79)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

Por ejemplo, consideremos el puntop0= (5,3)y las rectas ortogonales

3x+ 4y+ 9 = 0 y 4x−3y+ 5 = 0.

Las ecuaciones orientadas son

3x+ 4y+ 9 = 0 y −4x+ 3y−5 = 0. (6) Y las coordenadas respecto al sistema formada por estas rectas del puntop0= (5,3)

son

x∗0=

3(5) + 4(3) + 9

√

32_{+ 4}2 =

36 5 y y

∗

0=

−4(5) + 3(3)−5

√

32_{+ 4}2 =−

16 5.

El puntop= (5,3)es el punto

p∗0=

36 5,−

16 5

,

(80)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

3x+ 4y+ 9 = 0 y 4x−3y+ 5 = 0. Las ecuaciones orientadas son

3x+ 4y+ 9 = 0 y −4x+ 3y−5 = 0. (6)

Y las coordenadas respecto al sistema formada por estas rectas del puntop0= (5,3)

son

x∗0=

3(5) + 4(3) + 9

√

32_{+ 4}2 =

36 5 y y

∗

0=

−4(5) + 3(3)−5

√

32_{+ 4}2 =−

16 5.

p∗0=

36 5,−

16 5

,

(81)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

son

x∗0=

3(5) + 4(3) + 9

√

32_{+ 4}2 =

36 5 y y

∗

0=

−4(5) + 3(3)−5

√

32_{+ 4}2 =−

16 5.

p∗0=

36 5,−

16 5

,

(82)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

son

x∗0=

3(5) + 4(3) + 9

√

32_{+ 4}2 =

36 5 y y

∗

0=

−4(5) + 3(3)−5

√

32_{+ 4}2 =−

16 5.

p∗0=

36 5,−

16 5

(83)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

(84)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

2. Rectas y planos deR3

(85)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

SeanA,B,CyDconstantes, tales queA,ByCno son todas cero. UnplanoenR3

es un conjunto de la forma

PD A,B,C=

(x, y, z)∈R3:Ax+By+Cz+D= 0 .

Observaci´

on

La ecuaci´on

Ax+By+Cz+D= 0,

(86)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

SeanA,B,CyDconstantes, tales queA,ByCno son todas cero. UnplanoenR3

es un conjunto de la forma

PD A,B,C=

(x, y, z)∈R3:Ax+By+Cz+D= 0 .

Observaci´

on

La ecuaci´on

Ax+By+Cz+D= 0,

(87)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Ejemplo

SeanA= 1 =CyB=−1 =D. Entonces, para todo(x, y, z)∈R3, x−y+z−1 = 0⇔z=−x+y+ 1

de donde

(x, y, z)∈ P−1

1,−1,1⇔(x, y, x) = (x, y,−x+y+ 1) =x(1,0,−1) +y(0,1,1) + (0,0,1).

Por lo tanto,

P−1

(88)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

(89)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Este ejemplo motiva un par de hechos generales

Teorema

SeanA,B,CyDconstantes, tales queA,ByCno son todas cero. Entonces existen vectoresuyvl.i. y un vectorp∈R3 tal queϕ(s, t) =p+su+tves una funci´on biyectiva deR2 sobrePA,B,CD , yuyvson ortogonales a(A, B, C).

Rec´ıprocamente, siuyvson vectores l.i. yp∈R3, entonces existen constantes

A,B,CyD, tales queA,ByCno son todas cero, tal queϕ(s, t) =p+su+tv

(90)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

Se sigue una estrategia igual a la prueba correspondiente para rectas.

Primero consideremos el casoC6= 0. De la ecuaci´on

Ax+By+Cz+D= 0, (7)

se sigue

z=−A Cx−

B Cy−

D C.

As´ı que todos los puntos(x, y, z)∈R3 que cumplen (7) son de la forma

x

1,0,−A C

+y

0,1,−B C

+

0,0,−D C

(91)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

Primero consideremos el casoC6= 0.

De la ecuaci´on

Ax+By+Cz+D= 0, (7)

se sigue

z=−A Cx−

B Cy−

D C.

x

1,0,−A C

+y

0,1,−B C

+

0,0,−D C

(92)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

Primero consideremos el casoC6= 0. De la ecuaci´on

Ax+By+Cz+D= 0, (7)

se sigue

z=−A Cx−

B Cy−

D C.

x

1,0,−A C

+y

0,1,−B C

+

0,0,−D C

(93)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

Análogamente, siB 6= 0ó A 6= 0, tendr´ıamos ecuaciones paramétricas, respectiva-mente,

x

1,−A B,0

+z

0,−C B,1

+

0,−D B,0

.

y

−B A,1,0

+z

−C A,0,1

+

−D A,0,0

.

En cualquier caso, la parametrizaci´on es de la forma

ϕ(s, t) =p+su+tv, s, t∈R, dondeuyvson vectores l.i. ypes un punto deR3.

(94)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

x

1,−A B,0

+z

0,−C B,1

+

0,−D B,0

.

y

−B A,1,0

+z

−C A,0,1

+

−D A,0,0

.

(95)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

x

1,−A B,0

+z

0,−C B,1

+

0,−D B,0

.

y

−B A,1,0

+z

−C A,0,1

+

−D A,0,0

.

(96)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

En cuanto al rec´ıproco, si contamos con una funci´on param´etrica

ϕ(s, t) =p+su+tv, s, t∈R,

dondeuyv son vectores l.i. y p= (x0, y0, z0) es un punto deR3, entonces

con-sideramos el producto cruzw=u×v(el vectorv×utambi´en funciona), digamos

w= (w1, w2, w3), y seguidamente hacemos

A=w1, B=w2 y C=w3,

y tambi´en definimos

(97)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

Note as´ı que para todox= (x, y, z)∈R3,

Ax+By+Cz+D= 0 ⇔ w·(x−p) = 0

Y como, para todos, t∈_R,

w·(ϕ(s, t)−p) =w·(su+tv) =sw·u+tw·v= 0, se sigue que todos los puntosϕ(s, t)est´an en el plano

Ax+By+Cz+D= 0.

Probar ahora que la parametrizaci´onϕ(s, t)es de hecho una aplicaci´on biyectiva deR2

(98)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

Ax+By+Cz+D= 0 ⇔ w·(x−p) = 0

Ax+By+Cz+D= 0.

(99)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Bosquejo de la prueba

Ax+By+Cz+D= 0 ⇔ w·(x−p) = 0

Ax+By+Cz+D= 0.

(100)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Observaci´

on

Diremos que la ecuaciónϕ(t) =p+su+tves larepresentación paramétricade un plano enR3quepasa por elpunto(de apoyo)pcon (vectores)generadoresu. Y en

este caso, usamos la notaci´on

Pu,v,p={ϕ(t) :t∈R}={p+su+tv:t∈R}.

Observaci´

on

Lo que dice el teorema anterior es que para cualesquiera constantesA,B,C, yD, con A,ByCno todas cero, existen vectores l.i. uyvy un puntopenR3tal que

PD

A,B,C=Pu,v,p. (8)

(101)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Observaci´

on

Diremos que la ecuaciónϕ(t) =p+su+tves larepresentación paramétricade un plano enR3quepasa por elpunto(de apoyo)pcon (vectores)generadoresu. Y en

este caso, usamos la notaci´on

Pu,v,p={ϕ(t) :t∈R}={p+su+tv:t∈R}.

Observaci´

on

Lo que dice el teorema anterior es que para cualesquiera constantesA,B,C, yD, con A,ByCno todas cero, existen vectores l.i. uyvy un puntopenR3tal que

PD

A,B,C=Pu,v,p. (8)

(102)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

(103)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Podemos ampliar algunas de la ideas contenidas en las p´aginas anteriores para dar otras descripciones de un plano en el espacio.

Teorema : Ecuaci´on vectorial del plano enR3

Si A, B, C y D son constantes yA, B yC no son todas cero, y w es un m´ultiplo escalar no nulo de(A, B, C) y p0 es un punto cualquiera del plano PD

A,B,C, entonces

PD

A,B,C={p∈R

(104)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

Seaw= (A, B, C)(o cualquier m´ultiplo escalar no nulo de este vector) y seap0 = (x0, y0, z0)alg´un punto tal que

Ax0+By0+Cz0+D= 0.

Entonces, para todop= (x, y, z)∈_R3_,

w·(p−p0) = 0⇔(A, B, C)·(x−x0, y−y0, z−z0) = 0

⇔A(x−x0) +B(y−y0) +C(z−z0) = 0

⇔Ax+By+Cz−(Ax0+By0+Cz0) = 0

(105)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

Seaw= (A, B, C)(o cualquier m´ultiplo escalar no nulo de este vector) y seap0 = (x0, y0, z0)alg´un punto tal que

Ax0+By0+Cz0+D= 0.

Entonces, para todop= (x, y, z)∈_R3_,

w·(p−p0) = 0⇔(A, B, C)·(x−x0, y−y0, z−z0) = 0

⇔A(x−x0) +B(y−y0) +C(z−z0) = 0

⇔Ax+By+Cz−(Ax0+By0+Cz0) = 0

(106)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Observaci´

on

Los vectoreswyp0del teorema anterior no son ´unicos, evidentemente.

Definici´

on

Sip0es un punto del planoPD

A,B,C, entonces cualquier vectorwno nulo tal que

w·(p−p0) = 0, ∀p∈ PD A,B,C,

(107)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Observaci´

on

Los vectoreswyp0del teorema anterior no son ´unicos, evidentemente.

Definici´

on

Sip0es un punto del planoPD

A,B,C, entonces cualquier vectorwno nulo tal que

w·(p−p0) = 0, ∀p∈ PD A,B,C,

(108)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Rec´ıprocamente...

Teorema : Ecuaci´on vectorial del plano enR3

Siwes un vector no nulo yp0 es un punto deR3, entonces el conjunto

{p∈_R3_:_w_·₍_p₋_p0_{) = 0}_}_.

(109)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

Solo hay que tomar A, B y C como las coordenadas del vector w (o sea, hacer

(A, B, C) =w), y entonces definir

D=−(A, B, C)·p0.

De modo que para todop= (x, y, z)∈R3,

w·(p−p0) = 0⇔w·p−p·p0= 0

⇔(A, B, C)·(x, y, z) +D= 0

⇔Ax+By+Cz+D= 0. Lo que muestra en efecto que el conjunto

{p∈_R3_:_w_·₍_p₋_p0_{) = 0}_}

(110)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

D=−(A, B, C)·p0. De modo que para todop= (x, y, z)∈R3,

w·(p−p0) = 0⇔w·p−p·p0= 0

⇔(A, B, C)·(x, y, z) +D= 0

⇔Ax+By+Cz+D= 0.

Lo que muestra en efecto que el conjunto

{p∈_R3_:_w_·₍_p₋_p0_{) = 0}_}

(111)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on.

D=−(A, B, C)·p0. De modo que para todop= (x, y, z)∈R3,

w·(p−p0) = 0⇔w·p−p·p0= 0

⇔(A, B, C)·(x, y, z) +D= 0

⇔Ax+By+Cz+D= 0. Lo que muestra en efecto que el conjunto

{p∈_R3_:_w_·₍_p₋_p0_{) = 0}_}

(112)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

(113)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Corolario : Ecuaci´on vectorial del plano enR3

Seanuyvvectores l.i. deR3 y seap0 un punto deR3. Siwes un vector no

nulo ortogonal auyv, entonces

Pu,v,p0={p∈R

3_:_w_·₍_p₋_p0_{) = 0}_}_. ₍₉₎

(114)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Corolario

Toda ecuaci´on vectorial

w·p=d, (10)

conw6=0,p∈R3yd∈R, determina un plano que tiene awcomo un vector normal.

Rec´ıprocamente, siP es un plano con vector normalv, entonces para alguna d∈R,

(115)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Corolario

Dos vectoreswyw0 normales a un mismo plano son paralelos.

Demostraci´

on.

(116)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

Decimos que dos planosP1 yP2sonparalelossi su normales son paralelos.

Observaci´

on

(117)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Definici´

on

Decimos que dos planosP1 yP2sonparalelossi su normales son paralelos.

Observaci´

on

(118)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

SiP1yP2 son planos paralelos entonces

P1=P2 o bien P1∩ P2=∅.

SiP1yP2 no son paralelos entoncesP1∩ P2 es una recta.

Antes de la prueba...

Definici´

on

Seanuun vector no nulo deR3 (oRn) yp∈R3 (oRn). UnarectaenR3 (o Rn)

que pasa porpes un conjunto de la forma

{p+tu∈R3(oRn):t∈R}.

Usamos la notaciónLu,p. Decimos queves el vectordirección (o solodireccióno

(119)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Definici´

on

Usamos la notaciónLu,p. Decimos queves el vectordirección (o solodireccióno

(120)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Teorema

Definici´

on

(121)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Tambi´en vamos a necesitar tener en cuenta un par de observaciones

Lema

Tres puntos no colineales deR3 determinan un ´unico plano

Lema

SiP1yP2 son planos enR3yP1⊂ P2 entonces, de hecho,P1=P2.

Demostraciones

(122)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Lema

Demostraciones

(123)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Lema

Demostraciones

(124)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on del teorema.

Consideremos la ecuaciones de las formas

p=p1+su+tv y w·(p−p2) = 0, para los planosP1yP2, respectivamente.

De modo que para todos, t∈R, el puntop=p1+su+tv∈ P1 est´a enP2si y solo

si

w·(p1−p2) +sw·u+tw·v=w·(p1+su+tv−p2) = 0, esto es,

sw·u+tw·v=w·(p2−p1). (11)

Si los planos son paralelos, entonces

w·u= 0 y w·v= 0.

(125)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on del teorema.

De modo que para todos, t∈R, el puntop=p1+su+tv∈ P1est´a enP2si y solo

si

sw·u+tw·v=w·(p2−p1). (11)

w·u= 0 y w·v= 0.

(126)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on del teorema.

si

sw·u+tw·v=w·(p2−p1). (11)

w·u= 0 y w·v= 0.

(127)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on del teorema.

si

sw·u+tw·v=w·(p2−p1). (11)

w·u= 0 y w·v= 0.

(128)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on del teorema.

(Continuaci´on)

Si sucede lo primero, esto es, siw·(p2−p1) = 0, entonces como se ha dicho, (11) se cumple para todos, t∈_R, lo que quiere decir queP1⊂ P2, pero esto es lo mismo que

P1=P2.

Si sucede lo segundo, esto es,w·(p2−p1)6= 0, entonces como se ha dicho, no hay n´umeross, t∈_Rque cumplan (11), por lo queP1∩ P2=∅.

Si los planosP1yP2 no son paralelos, entonces

w·u6= 0 o bien w·v6= 0.

Digamosw·u6= 0. Entonces la ecuaci´on (11) puede resolverse parasen t´erminos de cualquiert.

s=w·(p2−p1)−tw·v

(129)

Rectas y planos. Semiplanos y semiespacios

Demostraci´

on del teorema.

(Continuaci´on)

Si sucede lo primero, esto es, siw·(p2−p1) = 0, entonces como se ha dicho, (11) se cumple para todos, t∈_R, lo que quiere decir queP1⊂ P2, pero esto es lo mismo que

P1=P2.

Si sucede lo segundo, esto es,w·(p2−p1)6= 0, entonces como se ha dicho, no hay n´umeross, t∈_Rque cumplan (11), por lo queP1∩ P2=∅.

Si los planosP1yP2 no son paralelos, entonces

w·u6= 0 o bien w·v6= 0.

Digamosw·u6= 0. Entonces la ecuaci´on (11) puede resolverse parasen t´erminos de cualquiert.

s=w·(p2−p1)−tw·v