SEÑALES Y SISTEMAS I
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero
Representación de Fourier para Señales
Introducción
Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Introducción
!
Se representará una señal como una superposición
ponderada de sinusoides complejas
!
Si una señal como esta es aplicada a un sistema lineal,la
salida del sistema podrá representarse como una
superposición ponderada de sinusoides complejas.
!
Otra representación de entrada a salida de sistemas LTI
Representación de Fourier para Señales
Introducción
Aplicación física
Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Aplicación física
!
Voz humana
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física
Sinusoides Complejas
Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Sinusoides Complejas
!
La salida de un sistema ante una sinusoide compleja, es
una sinusoide igual a la de la entrada multiplicada por la
respuesta en frecuencia del sistema.
De esta manera, la respuesta del sistema ante una entrada
x[n] =
e
jΩn
resulta en la salida
y[n] =
H
(e
jΩ
)e
jΩn
Donde
H(e
jΩ
)
está de
fi
nida en términos de la respuesta al impulso
h[n]
H(e
jΩ
) =
∞
X
k=
−∞
h[k]e
−
jΩk
En el tiempo continuo, la entrada
x(t) =
e
jΩt
resulta en la salida
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas
Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Funciones propias
La sinusoide compleja
ψ
(
t
) =
e
jωt
es una función propia del
sistema H asociada con el valor propio
λ
=
H
(
jω
)
, pues
satisface
H
(
ψ
(
t
)) =
λψ
(
t
)
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Representación de la entrada y la salida
Se considera la entrada de un sistema LTI expresada como
la suma ponderada de M sinusoide complejas
x
(
t
) =
M
!
k
=1
a
k
e
jωkt
Si
e
jωkt
es una función propia, entonces cada término
a
k
e
jωkt
produce un término
a
k
H
(
jω
k
)
e
jωkt
. De esta manera,
la salida está dada por
y
(
t
) =
M
!
k
=1
a
k
H
(
jω
k
)
e
jωkt
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Fourier para 4 clases de señales
Hay 4 representaciones de Fourier distintas para diferentes
clases de señales.
Propiedad
Periódica
No periódica
Continua
(FS) Serie de Fourier
(FT) Transformada de Fourier
Discreta
(DTFS) Serie de Fourier
(DTFT) Transformada de Fourier
en tiempo discreto
en tiempo discreto
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS
Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Señales periódicas: FS y DTFS
!
Se representará una señal periódica como una superposición ponderada
de sinusoides complejas
!
Cada sinusoide en la superposición debe tener el mismo periodo de la
señal (Su frecuencia debe ser un multiplo entero de la frecuencia de la
señal de entrada)
Con estas dos consideraciones, una señal
x[n]
de periodo fundamental N,
se representa por la DTFS
ˆ
x[n] =
X
k
A[k]e
jkΩ
0
n
(1)
Donde
Ω
0
=
2π
N
Una señal
x(t)
de periodo fundamental T se representa
por la FS
ˆ
x(t) =
X
k
A[k]e
jkω
0
t
(2)
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS
Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Número de términos usados en la suma
De la ecuación 1 vemos que para cada índice
k
, la sinusoidal es periódica
(con periodo N).
e
j(N
+k)Ω
0
n
=
e
jN
Ω
0
n
e
jkΩ
0
n
=
e
j2πn
e
jkΩ
0
n
=
e
jkΩ
0
n
Entonces solo hay N sinusoides complejas distintas de la forma
e
jkΩ
0
n
con
k
= (N
)
. De esta manera reescribimos la ecuación 1 como
ˆ
x[n] =
X
k=(N
)
A[k]e
jkΩ
0
n
(3)
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos
Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Elección de los pesos
Se utiliza el método de minimización del error cuadrático
medio entre la señal y su representación en series de
Fourier.
M SE
=
1
N
!
n
=(
N
)
[
x
[
n
]
−
x
ˆ
[
n
]]
2
En el tiempo discreto solo N valores consecutivos de
x
ˆ
[
n
]
y
de
x
[
n
]
son requeridos.
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos
Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Señales no periódicas: TF y DTFT
Características
!
No hay restricciones en el periodo de las sinusoides
!
La TF usa sinusoides complejas en un rango continuo de
frecuencias
!
La señal es representada como una integral ponderada de
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
!
2 señales son ortogonales si su producto interno es 0.
Si
φ
k
[
n
]
y
φ
m
[
n
]
son 2 señales periódicas (de periodo N), su
producto interno es
I
k,m
=
!
n
=(
N
)
φ
k
[
n
]
φ
∗
m
[
n
]
Si
I
k,m
= 0
para
k
"
=
m
entonces
φ
k
[
n
]
y
φ
m
[
n
]
son
ortogonales.
Para señales de tiempo continuo, el producto interno está
definido por
I
k,m
=
"
(
T
)
φ
k
(
t
)
φ
∗
m
(
t
)
dt
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Para 2 señales de tiempo discreto
φ
k
[
n
] =
e
jk
Ω0
n
y
φ
m
[
n
] =
e
jm
Ω0
n
Y se escoje un intervalo de N elementos, por ejemplo de
n
= 0
hasta
n
=
N
−
1
.
El producto interno está dado por
I
k,m
=
N
X
−
1
n
=0
e
j
(
k
−
m
)Ω0
n
Su valor depende de si
k
=
m
,así
N
X
−
1
n
=0
e
j
(
k
−
m
)Ω0
n
=
8
<
:
N
k
=
m
1
−
ejl
2
π
1
−
ejl
Ω0
k
#
=
m
=
(
N
k
=
m
0
k
#
=
m
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler
Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Identidad de Euler
cos(
x
) =
e
ix
+
e
−
ix
2
sin(
x
) =
e
ix
−
e
−
ix
Representación de Fourier para Señales
Introducción Aplicación física Sinusoides Complejas Funciones propias
Representación de la entrada y la salida
Fourier para 4 clases de señales
Señales periódicas: FS y DTFS Número de términos usados en la suma
Elección de los pesos Señales no periódicas: TF y DTFT
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Ortogonalidad de sinusoides complejas
Identidad de Euler
Sinusoides complejas ortogonales
La DTFS
La FS
La DTFT
La FT
Representación de Fourier para Señales La DTFS Ejemplo Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
La DTFS
La DTFS representa una señal de tiempo discreto periódica como en la serie mostrada
en la ecuación 3
ˆ
x
[
n
] =
X
k
=(
N
)
A
[
k
]
e
jk
Ω0
n
Donde
Ω
0
= 2
π/N
Con el
fi
n de escoger los coe
fi
cientes de la DTFS
A
(
k
)
, se
minimiza el MSE de
fi
nido por
M SE
=
1
N
X
n
=(
N
)
[
x
[
n
]
−
x
ˆ
[
n
]]
2
=
1
N
X
n
=(
N
)
2
4
x
[
n
]
−
X
k
=(
N
)
A
[
k
]
e
jk
Ω0
n
3
5
2
Como
|
c
|
=
cc
∗
M SE
=
1
N
X
n
=(
N
)
8
<
:
0
@
x
[
n
]
−
X
k
=(
N
)
A
[
k
]
e
jk
Ω0
n
1
A
0
@
x
[
n
]
−
X
k
=(
N
)
A
[
k
]
e
jk
Ω0
n
1
A
∗
9
=
;
Representación de Fourier para Señales La DTFS Ejemplo Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
La DTFS
M SE
=
1
N
X
n
=(
N
)
|
x
[
n
]
|
2
−
X
m
=(
N
)
A
∗
[
m
]
0
@
1
N
X
n
=(
N
)
x
[
n
]
e
−
jm
Ω0
n
1
A
−
X
k
=(
N
A
(
k
)
0
@
1
N
X
n
=(
N
)
x
∗
[
n
]
e
jk
Ω0
n
1
A
+
X
k
=(
N
)
X
m
=(
N
)
A
∗
[
m
]
A
[
k
]
0
@
1
N
X
n
=(
N
)
e
j
(
k
−
m
)Ω0
n
1
A
De
fi
nimos
X
[
K
]
como
X
[
K
] =
1
N
X
n
=(
N
)
x
[
n
]
e
−
jk
Ω0
n
Y se aplica la propiedad de ortogonalidad al último término
M SE
=
1
N
X
n
=(
N
)
|
x
[
n
]
|
2
−
X
k
=(
N
)
A
∗
[
k
]
X
[
K
]
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
La DTFS
Ahora se completa el cuadrado sumando y restando
P
k
=(
N
)
|
x
[
k
]
|
2
M SE
=
1
N
X
n
=(
N
)
|
x
[
n
]
|
2
+
X
k
=(
N
)
“
|
A
[
k
]
|
2
−
A
∗
[
k
]
X
[
k
]
−
A
[
k
]
X
∗
[
k
] +
|
X
[
K
]
|
2
”
−
X
k
=(
N
)
|
X
(
K
)
|
2
=
1
N
X
n
=(
N
)
|
x
[
n
]
|
2
+
X
k
=(
N
)
|
A
[
k
]
−
X
[
K
]
|
2
−
X
k
=(
N
)
|
X
[
K
]
|
2
Como el término del medio es siempre positivo, si se hace 0 minimizaría MSE.
A
[
K
] =
X
[
K
]
De esta manera se tendría
M SE
=
1
N
X
n
=(
N
)
|
x
[
n
]
|
2
−
X
k
=(
N
)
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
La DTFS
X
k
=(
N
)
|
x
[
k
]
|
2
=
X
k
=(
N
)
1
N
2
X
n
=(
N
)
X
m
=(
N
)
x
[
n
]
x
∗
[
m
]
e
j
[
m
−
n
]Ω0
k
Reordenando tenemos
X
k
=(
N
)
|
x
[
k
]
|
2
=
1
N
X
n
=(
N
)
X
m
=(
N
)
x
[
n
]
x
∗
[
m
]
1
N
X
k
=(
N
)
e
j
[
m
−
n
]Ω0
k
Donde
1
N
X
k
=(
N
)
e
j
(
m
−
n
)Ω0
k
=
(
1
n
=
m
0
n
#
=
m
=
1
N
X
n
=(
N
|
x
[
n
]
|
2
Sustituyendo este valor, resulta MSE=0.
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
La DTFS
La representación DTFS para x[n] estará dada por
x
[
n
] =
!
k
=(
N
)
X
[
k
]
e
jk
Ω
0
n
(4)
X
[
k
] =
1
N
!
n
=(
N
)
x
[
n
]
e
−
jk
Ω
0
n
(5)
Estas dos relaciones muestran la siguiente representación
x
[
n
]
DT F S
#$%&
←→
X
[
k
]
Representación de Fourier para Señales
La DTFS Ejemplo
Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo
Encuentre la representación DTFS para
x[n] = cos(π/8n
+
φ)
Solución:
El periodo fundamental de
x[n]
es N=16
Ω
0
=
π
8
=
2π
N
Es posible determinar los coe
fi
cientes a partir de la ecuación 5, sin embargo
en este caso es mas fácil encontrarlos por inspección.
De la identidad de euler tenemos que
cos(x) =
e
ix
+
e
−
ix
2
Así
x[n] =
e
j(
π
8
n+φ)
+
e
−
j(
π
8
n+φ)
Representación de Fourier para Señales
La DTFS Ejemplo
Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo
x
[
n
] =
1
2
e
jφ
e
j π
8
n
+
1
2
e
−
jφ
e
−
j π
8
n
Comparemos esta expresión con la ecuación 4
x
[
n
] =
X
k
=(
N
)
X
[
k
]
e
jk
Ω0
n
x
[
n
] =
X
k
=(
N
)
X
[
k
]
e
jk π
8
n
Como el periodo fundamental de
x
[
n
]
es N=16
x
[
n
] =
8
X
k
=
−
7
X
[
k
]
e
jk π
8
n
X
[
k
] =
8
>
>
<
>
>
:
1
2
e
jφ
k
= 1
1
2
e
−
jφ
k
=
−
1
0
−
7
≤
k
≤
8
y
k
#
=
±
1
Como
X
[
k
]
tambien tiene periodo de 16 entonces
X
[
−
1] =
X
[15] =
X
[31] =
1
2
e
Representación de Fourier para Señales
La DTFS Ejemplo
Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo
X
[1] =
X
[17] =
X
[33] =
1
2
e
jφ
|
X
[
k
]
|
=
1
2
k
= 1
1
2
k
=
−
1
0
−
7
≤
k
≤
8
y
k
"
=
±
1
∠
(
X
[
k
]) =
φ
k
= 1
−
φ
k
=
−
1
0
−
7
≤
k
≤
8
y
k
"
=
±
1
La magnitud de
X
[
k
]
es llamada el espectro de magnitud de
Representación de Fourier para Señales
La DTFS Ejemplo
Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo
Ejercicio
Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejercicio
Determine los coe
fi
cientes DTFS por inspección para la
señal
x
[
n
] = 1 + sin
+
1
12
πn
+
3
8
π
,
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio
Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo 2
Encuentre los coe
fi
cientes de la serie de Fourier para la
señal cuadrada periódica
Aplicando la ecuación 5, en este caso es conveniente
evaluar la función sobre el indice
n
=
−
M
hasta
n
=
N
−
M
−
1
X
[
k
] =
1
N
N
−
!
M
−
1
N
=
−
M
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio
Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo 2
X
[
k
] =
1
N
M
X
N
=
−
M
e
−
jk
Ω0
n
Realizando un cambio de variable sobre el índice de la suma ,
m
=
n
+
M
se obtiene
X
[
k
] =
1
N
2
M
X
m
=0
e
jk
Ω0(
M
−
m
)
X
[
k
] =
1
N
e
jk
Ω0
M
2
M
X
m
=0
e
−
jk
Ω0
m
)
Así
X
[
k
] =
e
jk
Ω0
M
N
1
−
e
−
jk
Ω0(2
M
+1)
1
−
e
−
jk
Ω0
!
Para
k
#
= 0
,
±
N,
±
2
N....
X
[
k
] =
1
N
e
jk
Ω0
M
e
jk
Ω0
/
2
e
jk
Ω0
/
2
!
1
−
e
−
jk
Ω0(2
M
+1)
1
−
e
−
jk
Ω0
!
El cual puede ser reescrito como
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio
Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo 2
X[k] =
1
N
e
jkΩ
0
(2M+1)/2
−
e
−
jkΩ
0
(2M+1)/2
e
jkΩ
0
/2
−
e
−
jkΩ
0
/2
!
Para
k
"
= 0,
±
N,
±
2N, ....
Ahora se divide tanto el numerador como el denominador con el
fi
n de
expresar
X
[k]
como una diferencia de 2 funciones seno
X[k] =
1
N
0
@
e
jk
Ω0(2
M
+1)
/
2
−
e
−
jk
Ω0(2
M
+1)
/
2
2j
e
jk
Ω0
/
2
−
e
−
jk
Ω0
/
2
2j
1
A
X[k] =
1
N
sin(k
Ω
2
0
(2M
+ 1))
sin(k
Ω
2
0
)
!
En términos del periodo (
Ω
0
= 2π/N
)tenemos
X
[k] =
1
N
sin(k
N
π
(2M
+ 1))
sin(k
N
π
)
!
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio
Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo 2
En el caso de
k
= 0
,
±
N,
±
2
N
Utilizamos la regla de hopital
˙
X
[
k
] =
1
N
+
cos(
k
N
π
(2
M
+ 1))(
N
π
(2
M
+ 1))
cos(
k
N
π
)(
N
π
)
,
Evaluando
k
= 0
=
1
N
(2
M
+ 1)
Finalmente
X
[
k
] =
-1
N
sin(
k
N
π
(2
M
+1))
sin(
k
N
π
)
k
"
= 0
,
±
N,
±
2
N..
2
M
+1
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio
Ejemplo 2
Construcción de la serie Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo 2
En la
figura M=4 con N=50
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−0.04
−0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie
Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Construcción de la serie
Se observará cuanto contribuye cada sinusoide. Para la señal cuadrada del
ejemplo anterior veremos como in
fl
uye en la señal
fi
nal la suma de cada una
de sus componentes sinusoidales. Para ello partiremos de la simetria par
presente en los coe
fi
cientes de la DTFS. Por ello
x[k] =
x[
−
k]
Así, se reescribe la expresión 4
x[n] =
X
(N
)
x[k]e
jkΩ
0
n
Escogemos un rango de N numeros consecutivos, por ejemplo
x[n] =
N/2
X
−
N/2+1
x[k]e
jkΩ
0
n
x[n] =
X[0]+
N/2
X
−
1
m=1
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie
Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Construcción de la serie
Como
X
[
m
] =
X
[
−
m
]
x
[
n
] =
X
[0] +
N/
X
2
−
1
m
=1
2
X
[
m
]
e
jm
Ω0
n
+
e
−
jm
Ω0
n
2
!
+
X
[
N/
2]
e
jπn
Como
e
jπn
= cos(
πn
) +
j
sin(
πn
) = cos(
πn
)
x
[
n
] =
X
[0] +
N/
X
2
−
1
m
=1
2
X
[
m
] cos(
m
Ω
0
n
) +
X
[
N/
2]
cos
(
πn
)
Se de
fi
ne un nuevo conjunto de coe
fi
cientes
B
[
k
] =
(
X
[
k
]
k
= 0
, N/
2
2
X
[
k
]
k
= 1
,
2
,
3
, ..., N/
2
−
1
De esta manera reescribimos
x
[
n
]
en términos de componentes sinusoidales
x
[
n
] =
N/
X
2
k
=0
B
[
k
] cos(
k
Ω
0
n
)
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
Ejemplo Ejercicio Ejemplo 2
Construcción de la serie
Ejemplo 3
La FS
La DTFT
La FT
Ejemplo 3
−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 0.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
[
n
] =
N/
2
!
k
=0
B
[
k
] cos(
k
Ω
0
n
)
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Representación en tiempo continuo
x
(
t
)
tiene un periodo fundamental
T
ˆ
x
(
t
) =
∞
X
k
=
−∞
A
[
k
]
e
jkwot
Donde
w
0
= 2
π/T
Los coe
fi
cientes
A
[
k
]
se obtienen cuando
x
(
t
) = ˆ
x
(
t
)
.
Si
x
(
t
) = ˆ
x
(
t
)
entonces
Z
(
T
)
x
(
t
)
e
−
jmw
0
t
dt
=
Z
(
T
)
ˆ
x
(
t
)
e
−
jmw
0
t
dt
Sustituimos el resultado de
x
ˆ
(
t
)
y se obtiene la expresión
Si
x
(
t
) = ˆ
x
(
t
)
entonces
Z
(
T
)
x
(
t
)
e
−
jmw
0
t
dt
=
Z
(
T
)
∞
X
k
=
−∞
A
[
k
]
e
jkw
0
t
e
−
jmw
0
t
dt
=
∞
X
k
=
−∞
A
[
k
]
Z
(
T
)
(
e
jkw
0
t
e
−
jmw
0
t
)
dt
=
∞
X
k
=
−∞
A
[
k
]
Z
(
T
)
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Representación en tiempo continuo
La propiedad de ortogonalidad implica que la integral de la
derecha es 0 para
k
"
=
m
. De esta manera
"
(
T
)
x
(
t
)
e
−
jmw
0
t
dt
=
A
[
m
]
T
De esta manera, el m-simo coeficiente estará dado por
A
[
m
] =
1
T
"
(
T
)
x
(
t
)
e
−
jmw
0
t
dt
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet
La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Condiciones de Dirichlet
La convergencia se garantiza para todos los valores excepto
en las discontinuidades si se satisfacen las condiciones de
Dirichlet
!
x
(
t
)
es acotada
!
x
(
t
)
tiene un número
finito de máximos y mínimos locales
en un periodo
!
x
(
t
)
tiene un número
finito de discontinuidades en un
periodo.
Si una señal
x
(
t
)
satisface estas condiciones y no es
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet
La representación FS
Ejemplo 1 Ejercicio 1 Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
La representación FS
La serie de Fourier es expresada como
x
(
t
) =
∞
!
−∞
X
[
k
]
e
jkw
0
t
(6)
X
[
k
] =
1
T
"
(
T
)
x
(
t
)
e
−
jkw
0
t
dt
(7)
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS
Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Ejemplo 1
Determine la representación de Series de Fourier para la
señal
x
(
t
) = 3 cos
.
π
2
t
+
π
4
/
Solución
El periodo fundamental de
x(t)
es
T
= 4
Como en el ejemplo 1
de la DTFS, es más facil obtener
X
[k]
por inspección
x(t) = 3 cos
“
π
2
t
+
π
4
”
x(t) =
e
j(
π
2
t+
π
4
)
+
e
−
j(
π
2
t+
π
4
)
2
!
x(t) =
3
2
e
j
π
4
e
j
π
2
t
+
3
2
e
−
j
π
4
e
−
j
π
2
t
De la ecuación 6 tenemos
x(t) =
∞
X
k=
−∞
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS
Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Ejemplo 1
X
[
k
] =
3
2
e
−
j
π
4
k
=
−
1
3
2
e
j
π
4
k
= 1
0
En otro caso
Donde la magnitud está dada por
|
X
[
k
]
|
=
3
2
k
=
−
1
3
2
k
= 1
0
En otro caso
Y la fase por
∠
(
X
[
k
]) =
−
π
4
k
=
−
1
π
4
k
= 1
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1
Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Ejercicio 1
Determine la representación FS para la señal
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1
Ejemplo 2
Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Ejemplo 2
Determine la representación por series de fourier para la onda cuadrada mostrada en
la
fi
gura
!
Ts
Ts
!
T
T
!
Ts
T+Ts
1
Solución
El periodo es
T
, así que
w
0
=
2
T
π
. De esta manera, se usa la integral descrita en la
ecuación 7 para hallar los coe
fi
cientes de
x
[
k
]
. Se integra sobre el periodo de
t
=
−
T
2
hasta
t
=
T
2
con el
fi
n de aprovechar la simetria de x(t).
X
[
k
] =
1
T
Z
(
T
)
x
(
t
)
e
−
jkw
0
t
dt
X
[
k
] =
1
T
Z
T /
2
−
T /
2
x
(
t
)
e
−
jkw
0
t
dt
X
[
k
] =
1
T
Z
T s
−
T s
e
−
jkw
0
t
dt
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1
Ejemplo 2
Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Ejemplo 2
x[k] =
−
1
T jkw
0
(e
−
jkw
0
T s
−
e
jkw
0
T s
)
x[k] =
2
T kw
0
„
e
jkw
0
T s
−
e
−
jkw
0
T s
2j
«
x[k] =2
sen(kw
0
T
s
)
T kw
0
para
k
"
= 0
Para
k
= 0
, integramos con la ecuacion 7 reemplazando
k
= 0
en la
expresión
X
[0] =
1
T
Z
T /2
−
T /2
x(t)dt
X
[0] =
1
T
Z
T s
−
T s
dt
X
[0] =
1
T
t
˛
˛
˛
T s
−
T s
X
[0] =
T
s
+
T
s
T
=
2T
s
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1
Ejemplo 2
Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Ejemplo 2
x
[
k
] =
(
2 sin(
kw
0
Ts
)
T kw
0
k
#
= 0
2
Ts
T
k
= 0
x
[
k
] =
8
<
:
2 sin(
k
2
T
π
Ts
)
k
2
π
k
#
= 0
2
Ts
T
k
= 0
Para
T s
T
=
1
4
tenemos
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−0.2
−0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2
Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Funcion sinc
La forma funcional
sin
πu
(
πu
)
es muy frecuente en el análisis de Fourier al que se le da
un nombre especial
sinc
(
u
) =
sin
π
(
u
)
πu
Presenta en su comportamiento un lobulo principal y unos lobulos laterales.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−0.4
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Los coe
fi
cientes de la serie de Fourier son expresados usando la funcion sinc como
x
[
k
] =
2
T
s
T
sinc
„
k
2
T
s
T
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Reconstruccion de la señal
Cada termino de la expresion
x
(
t
) =
∞
X
k
=
−∞
X
[
k
]
e
jkω
0
t
asociada con los coe
fi
cientes X[k] contribuyen a la representacion de la señal.
Como la señal es una señal par, entonces tenemos que
X
[
k
] =
X
[
−
k
]
De esta manera
x
(
t
) =
x
(0) +
∞
X
m
=1
(
X
[
m
]
e
jmω
0
t
+
X
[
−
m
]
e
−
jmω
0
t
)
x
(
t
) =
x
(0) +
∞
X
m
=1
2
X
[
m
]
e
jmω
0
t
+
e
−
jmω
0
t
2
!
x
(
t
) =
x
(0) +
∞
X
m
=1
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
Representación en tiempo continuo
Condiciones de Dirichlet La representación FS Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Funcion sinc
Reconstruccion de la señal
La DTFT
La FT
Reconstruccion de la señal
De
fi
nimos un nuevo conjunto de coe
fi
cientes
B
[0] =
X
[0]
y
B
[
k
] = 2
X
[
k
]
para
k
#
= 0
De esta manera, la aproximacion de la señal cuadrada está dada por
ˆ
x
(
t
) =
∞
X
k
=0
B
[
k
] cos(
kω
0
t
)
ˆ
x
(
t
) =
J
X
k
=0
B
[
k
] cos(
k
2
π
T
t
)
Donde
X
[0] =
1
2
X
[
k
] =
8
<
:
0
k par
2(
−
1)(
k
−
1)
/
2
kπ
k impar
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
La DTFT
Señales No periodicas-DTFT
La representación DTFT Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejercicio 2 Ejercicio 3
La FT
Señales No periodicas-DTFT
Fundamentos básicos
!
Se hallará la expresión para la DTFT a partir de la DTFS
describiendo una señal no periódica como el límite de una
señal periódica, cuando su periodo tiende a infinito.
!
La señal no periódica es representada por un periodo
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
La DTFT
Señales No periodicas-DTFT
La representación DTFT Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejercicio 2 Ejercicio 3
La FT
Señales No periodicas-DTFT
Sea
x
ˆ
[
n
]
una señal periódica con periodo
N
= 2
M
+ 1
.
De
fi
nimos la señal no periódica de duración
fi
nita
x
[
n
]
como un solo periodo de
x
ˆ
x
[
n
] =
(
ˆ
x
[
n
]
−
M
≤
n
≤
M
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
La DTFT
Señales No periodicas-DTFT
La representación DTFT Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejercicio 2 Ejercicio 3
La FT
Señales No periodicas-DTFT
Cuando
M
→ ∞
estas replicas son removidas hasta in
fi
nito. Entonces es
posible de
fi
nir
x[n] = l´ım
M
→∞
x[n]
ˆ
En primer lugar, nos basamos en la representación DTFS para la señal
periódica
x[n]
ˆ
ˆ
x[n] =
X
k=(N
)
X[k]e
jkΩ
0
n
=
M
X
k=
−
M
X
[k]e
jkΩ
0
n
X
[k] =
1
N
X
n=(N
)
x[n]e
−
jkΩ
0
n
=
1
2M
+ 1
M
X
n=
−
M
x[n]e
−
jkΩ
0
n
Como partimos del hecho que
x[n] = 0
para
|
n
|
> M
X
[k] =
1
2M
+ 1
∞
X
n=
−∞
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
La DTFT
Señales No periodicas-DTFT
La representación DTFT Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejercicio 2 Ejercicio 3
La FT
Señales No periodicas-DTFT
De
fi
nimos una función continua de frecuencia,
X(e
jΩ
)
X(e
jΩ
) =
∞
X
n=
−∞
x[n]e
−
jΩn
y sustituyendo tenemos
X[k] =
X
(e
jkΩ
0
)
2M
+ 1
Reemplazamos en la expresión de
x
ˆ
y obtenemos
ˆ
x[n] =
1
2M
+ 1
M
X
k=
−
M
X
(e
jkΩ
0
)e
jkΩ
0
n
Usando la relación
Ω
0
=
2M
2π
+1
ˆ
x[n] =
1
2M
+ 1
2π
2π
M
X
k=
−
M
X
(e
jkΩ
0
)e
jkΩ
0
n
ˆ
x[n] =
1
2π
M
X
k=
−
M
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
La DTFT
Señales No periodicas-DTFT
La representación DTFT Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejercicio 2 Ejercicio 3
La FT
Señales No periodicas-DTFT
En este punto recordamos el hecho que
x
[
n
]
es el limite de
x
ˆ
cuando
M
→ ∞
x
[
n
] = l´ım
M
→∞
1
2
π
M
!
k
=
−
M
X
(
e
jk
Ω
0
)
e
jk
Ω
0
n
Ω
0
En la expresión se asumen valores de la función
X
(
e
j
Ω
)
e
j
Ω
n
evaluando
Ω
como
k
Ω
0
, multiplicando por el ancho entre
muestras
Ω
0
. Esta es la regla de aproximación rectangular
de una integral, donde
k
Ω
0
= Ω
y
d
Ω =Ω
0
x
[
n
] =
1
2
π
"
π
−
π
X
(
e
j
Ω
)
e
j
Ω
n
d
Ω
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
La DTFT
Señales No periodicas-DTFT
La representación DTFT
Ejemplo 1 Ejercicio 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejercicio 2 Ejercicio 3
La FT
La representación DTFT
La DTFT se expresa como
x
[
n
] =
1
2
π
"
π
−
π
X
(
e
j
Ω
)
e
j
Ω
n
d
Ω
(8)
X
(
e
j
Ω
) =
∞
!
n
=
−∞
Representación de Fourier para Señales
La DTFS
La FS
La DTFT
Señales No periodicas-DTFT La representación DTFT
Ejemplo 1
Ejercicio 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejercicio 2 Ejercicio 3
La FT
