Integración por descomposición en fracciones parciales
Por Iván Cruz
Cuando necesitamos resolver integrales que involucran funciones racionales, se suele recurrir al método
de descomposición en fracciones parciales. Una función racional es una función que puede ser escrita
en la forma:
En donde, tanto como , deben ser polinomios, y por su parte es simplemente el valor de la variable
utilizada, también es necesario definir que debe ser distinto de un polinomio nulo.
Este método está basado en el teorema fundamental del álgebra, el cual establece que cualquier
polinomio puede ser factorizado en productos de factores lineales y factores cuadráticos irreducibles. A manera de ejemplo de funciones racionales, realiza el siguiente ejemplo:
Es común involucrarse con logaritmos al solucionar integrales de la forma , por ejemplo, al solucionar la
integral anterior, el resultado sería:
Después de revisar el ejemplo anterior de funciones racionales, realiza algunos ejemplos de integración, utilizando este método.
Ejemplo 1
Resolver:Ahora se procede a realizar :
Después de resolver la división de polinomios, la integral puede quedar expresada y resuelta de la siguiente manera:
Como se puede observar en este ejemplo, la descomposición permite separar los términos y, de esta manera, es más fácil poder integrarlas. En el siguiente ejemplo se presenta una forma diferente de resolver el problema, llegando a convertirlo en cierto momento a ecuaciones simultáneas.
Ejemplo 2
Resolver:El primer paso consiste en descomponerla en fracciones parciales:
El siguiente paso consiste en encontrar los valores desconocidos de A y B, respectivamente. Para encontrar estos valores existen diferentes métodos, pero en este caso lo realizarás por medio de la obtención de un sistema de ecuaciones simultáneas, en donde los resultados que se obtengan serán los valores de las incógnitas para posteriormente sustituir y resolver la integral en su nueva forma.
Y de aquí realiza el sistema de ecuaciones simultáneas:
Comprueba:
Por lo tanto, obtienes que A = -4 y B = 2, con lo que la integral queda definida como:
En este ejemplo es más claro cómo aplicar la descomposición en fracciones parciales reduce el nivel de complejidad de la expresión inicial y con ello, permite solucionarla de manera más rápida y simple, utilizando una tabla de integrales inmediatas.
En el siguiente ejemplo se presenta el caso de una integral que se puede descomponer en tres términos, lo que implica encontrar tres variables desconocidas. Debido a esto, se forma un sistema de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Ejemplo 3
Resolver:El primer paso es factorizar el denominador para descomponerlo en factores de grado 1 e irreducibles, con lo que obtienes:
Sustituyendo:
Ahora, el siguiente paso, consiste en transformar la expresión a un
sistema de ecuaciones simultáneas para obtener los valores de las incógnitas A, B y C, respectivamente, una forma de obtenerlas puede ser la que se presenta a continuación:
Agrupando:
Ahora, partiendo de la ecuación anterior, formas tu sistema de ecuaciones simultáneas, tomando como punto de referencia los coeficientes de las potencias correspondientes de x, obteniendo el siguiente sistema:
El siguiente paso consiste en resolver el sistema de ecuaciones, y con ello, obtendrás los valores para A, B y C, que serán los valores de los numeradores de la expresión que sustituirá a la integral original:
Hasta este momento ya obtuviste el valor de A, ahora sustituye ese valor en la ecuación 1 del sistema:
Se obtiene el valor de B, ahora se sustituye A y B en la ecuación 2 del sistema para obtener C.
En este instante, ya tienes los valores de las incógnitas para el sistema de ecuaciones simultáneas, A=4, B=2, C=2. Ahora solamente tendrás que comprobar.
1.-
2.-
3.-
Después de la comprobación, sustituyes los valores obtenidos en sus incógnitas respectivas, con lo que obtienes una nueva versión de la integral original, la cual se puede integrar como se muestra continuación:
Gaussiano, Gauss-Jordan, Cramer, entre otros, pero en la resolución de este problema se utilizó el método extendido de sustitución de variables, aunque es importante que revises los métodos antes mencionados, ya que éstos forman parte del conocimiento base de ingeniería.
Bibliografía
Edwards, C. H. Jr. & Penney, D. E. (1996). Cálculo con geometría analítica (4ª. ed.; O. A. Palmas, trad.). México: Pearson Educación. Recuperado de la base de datos de Bibliotechnia de la Biblioteca Digital de la UVEG.
Santiago, R. D., Prado, C. D., Gómez, J. L., Quezada, M. L., Zuñiga, L., Pulido, J. Barajas, L. y Olmos, O. (2000). Cálculo integral para ingeniería. México: Pearson Educación. Recuperado de la base de datos de Bibliotechnia de la Biblioteca Digital de la UVEG.
