3m a A a D P b b B 1m T T cte. F
a) Calcular la tensión a la que esta sometido el alambre de acero de la figura. b) Calcular la deformación específica del acero de la figura
c) Calcular el corrimiento del punto D.
d) Si el alambre en lugar de ser de acero fuese de cobre, la deformación sería mayor, menor o igual? Datos: Barra AD y BC rígidas Eac = 2100 tn/cm2 P = 2 tn = 2 cm Ecu = 1200 tn/cm2
a) Cálculo de la tensión en el alambre
a1) D.C.L: (realizamos dos cortes a-a y b-b y ponemos de manifiesto las fuerzas que permiten el
equilibrio de los distintos elementos que conforman el sistema)
tn 0,666 P 3 1 T m 1 P m 3 T 0 MB a2) Tensión en el alambre
Por condición de equilibrio del sistema tenemos, en el alambre un esfuerzo de tracción T. Dicho esfuerzo debe considerarse como la resultante de las fuerzas que se produce por unidad de superficie (tensiones), atento al alargamiento de las fibras respectivas. Por hipótesis de deformación se considera que todas las fibras experimentan el mismo valor de alargamiento l.
2 2 al trab 0,212tn cm T N cte cte L L Si 3m 2m 1m C D A B P
cu ac Acero ac Cobre cu
b) deformación especifica del alambre
al 4 2 2 ac al 1,0095 10 cm tn 2100 cm tn 212 , 0 E
c) Corrimiento del punto D
Debido al la carga exterior P, la barra AD rígida, pasa de la posición horizontal a la posición A’D’. Gira un ángulo A = al al al D al D 3 1 m 3 m 1 m 3 m 1 (1) como: al al al al E L L E reemplazando en (1) tenemos: cm 00673 , 0 cm tn 2100 cm 200 cm tn 212 , 0 3 1 E L 3 1 2 2 al al al D
d) Si el material del alambre fuese cobre en vez de acero, analizando la expresión E
, vemos que
como la tensión () a que está sujeto el alambre es independiente del material, la deformación específica varía solamente con el módulo elasticidad y su relación es inversamente proporcional (a mayor E menor ). De este análisis consideramos que:
Ecu Eac cu ac
Interpretación gráfica: Si dibujamos la parte elástica del diagrama de los dos materiales tenemos:
módulo de Young ;tg E Ecu < Eac cu > ac A' A A B D D' D P 3m 1m
A D P B
T=1/3 P R=4/3 P
Dado el sistema del T.P.Nº 1.1, determinar el máximo valor que puede tomar P para una adm = 1,4
tn/cm2 y cm 1 - D.C.L.
2 - Determinación del P máximo admisible
Como se pide hallar el valor máximo de P teniendo en cuenta la tensión admisible del material, dicho valor de carga (P admisible) debe ser calculado en función de que la tensión de trabajo en el alambre llegue a 1,40tn/cm2, o sea: máx. trab = adm tn 13,2 3 P 3 P al adm adm adm al adm Padm = 13,2 tn
T=1/3 P A R P D B T.P N0 1.3:
Dado el sistema del T.P.Nº 1.1, dimensionar el alambre de acero con un coeficiente de seguridad =3. Datos: tn 5 P cm tn 4 , 2 2 fl
Para dimensionar el alambre consideremos como condición de resistencia que la tensión de trabajo no supere la tensión admisible del acero.
trab adm
En este caso como nos da como dato la tensión de fluencia del material y el valor del coeficiente de seguridad: cm 64 , 1 4 1 3 P ; 1 3 P 4 . 3 P cm tn 80 , 0 3 cm tn 4 , 2 adm adm 2 adm al adm trab 2 2 fl adm
En locales comerciales la oferta de barras de acero viene dada por los siguientes diámetros: 6mm; 8mm; 10mm; 12mm; 16mm; 20mm; 25mm.
- 1ra opción: adoptamos una barra de =16 mm, la tensión de trabajo será:
adm 2 2 trab 0,83tn cm cm 01 , 2 tn 667 , 1
- 2da opción: adoptamos una barra de =20 mm, la tensión de trabajo será:
adm 2 2 trab 0,53tn cm cm 14 , 3 tn 667 , 1
La primera opción nos lleva a superar el valor de la tensión de referencia (adm) dada como dato para
el dimensionado. En porcentaje, la diferencia seria: 100 3,75% 80 , 0 80 , 0 83 , 0
Con la segunda opción, la tensión de trabajo es sensiblemente menor al valor de referencia: estaríamos sobredimensionando la pieza.
El calculista proyectista, basándose en su experiencia puede en determinados casos y en bajos porcentajes, superar la tensión admisible. En esta oportunidad podemos señalar que él puede ser admitido.
2 m T=1/3 P 1m P R=4/3 P 3m D T T
P
D tncm 10 74 , 6 cm 200 cm tn 2100 cm) (2 3 4 tn) 2 ( 2 1 L E T 2 1 U E L T E L : como , 2 al T U 3 2 2 2 2 ac al 2 ac al ac al a) Calcular la energía de deformación acumulada en el sistema del Trabajo Práctico Nº 1.1 b) Calcular el corrimiento del punto D utilizando el concepto de trabajo
D.C.L
a) Energía de deformación acumulada en el sistema.
Como el alambre es el único elemento que se deforma por causa de la carga exterior P, la energía se acumula solo en él.
b) Corrimiento del punto D
El trabajo realizado por la carga P a lo largo del desplazamiento D es igual a la energía de
deformación acumulada en el sistema.
cm 10 74 , 6 cm 00674 , 0 P 2 . U U 2 . P U W 3 D D
La carga se aplica gradualmente de 0 al valor final de P, por lo tanto el trabajo realizado por P es igual a la superficie rayada.
a a L = 2 m P P T2= 1 /2 P T1= 1 /2 P L A' A B B 2 2 1 1 E . . 2 L . P E . . 2 L . P T.P.N0 1.5:
El sistema de la figura se halla sometido a la carga P. Determinar si la barra AB rígida rota o se mantiene horizontal. En el caso que rote, calcular el ángulo de giro.
Datos: Barra AB rígida 1 = 2 = 3,14 cm2 E1 = 4 E2 = 2000 tn/cm2 a = L/4 P = 5 tn 1-D.C.L
2- Análisis de las deformaciones
Para ver si la barra AB rota hacemos el siguiente análisis; 1) Si 1 2 la barra se mantiene horizontal
2) Si 2 1 la barra rota Como E L T E L 1 y tenemos que 2 1 2 1 2 1 l l T T
, peroE1 E2 entonces la barra rota y como
. E
E1 212
La posición final de la barra será A’B’:
tn cm 2000 1 -500 1 cm 100 cm 14 , 3 cm 20 tn 2,5 E 1 -E 1 2a 2 L P a 2 tg 2 2 1 2 1 2 tg = 2,338 10 -4
P =6 tn I1= 5tn I2= -10tn I3= -15tn RB= 15 tn M 1 = -6 tn M 2 = -6 tn S2= + 5tn S3= +10 tn RA H= 15tn R A V = 6tn S1= +7, 81tn D1= +7, 81tn D2= +7, 81tn 2.5 5 3 6 3m 2,5m 2,5 m 2 ,5m 6 2.5 3 5 6 3 5 2.5
a) Calcular las tensiones en el siguiente reticulado, obteniendo previamente los esfuerzos en cada barra mediante el Método de Cremona Analítico.
b) Calcular la energía de deformación acumulada en el reticulado y el desplazamiento del punto de aplicación de la carga P.
c) Determinar el coeficiente de seguridad de las barras traccionadas: Montantes: 2 P.N.T. 50(ala ancha)
Diagonales: 2 P.N.T. 40 (alma alta)
Cordón superior: 2 P.N.L.45-5(alas iguales) Cordón inferior: 2 P.N.U.100
Datos: P = 6 tn fl = 2,4 tn/cm2
a) D.C.L. Resolución del reticulado por el Método de Cremona analítico.
El Cremona analítico consiste en considerar el equilibrio de fuerzas en los nudos planteando que, en base a un par de ejes adoptados, la relación de componentes y resultante del esfuerzo en cada barra, es la misma relación que existe entre las proyecciones y la longitud de la barra, según el mismo sistema de ejes.
Por razones de simplicidad se dibuja en la barra inclinada un solo triangulo rectángulo colocando los valores de proyecciones de las barras en el lado interno y las proyecciones del esfuerzo en lado externo.
Luego empezamos a equilibrar el nudo obteniendo la magnitud y el sentido de los esfuerzos que actúan sobre él y que constituyen la acción de las barras sobre el nudo
*Cálculo de las tensiones en las barras del reticulado.
Ubicación Designación Luz (cm) N (t) (cm) trab (tn/cm2) i2 i li (tn/cm2) (+) (-) Diagonal D1 390 7,81 --- 7,54 1,04 3180,55 D2 390 7,81 --- 1,04 3180,55 Montante M1 300 --- 6,00 24,0 0,25 450,0 M2 300 --- 6,00 0,25 450,0 Cordón Superior S1 390 7,81 --- 8,60 0,91 2777,45 S2 250 5,00 --- 0,58 723,26 S3 250 10,0 --- 1,16 2893,04 Cordón Inferior I1 250 --- 5,00 27,0 0,19 243,68 I2 250 --- 10,0 0,37 924,08 I3 250 --- 15,0 0,56 2116,08 16939,41
Aclaración 1: Por razones constructivas se uniformiza el dimensionamiento de las barras del mismo tipo (Diagonal, montante, cordón superior, cordón inferior)
Aclaración 2: Los elementos comprimidos están sometidos a un proceso de inestabilidad, comúnmente conocido como pandeo.
Este tema lo estudiaremos en el capítulo 10. Allí aprenderemos a determinar el valor de carga límite o de rotura, que resisten las barras comprimidas.
b) cm 34 , 1 cm tn 2100 tn 6 1 cm tn 41 , 16939 P E L tncm 4,033 cm tn 41 , 16939 cm tn 2100 2 1 U L E 2 1 U 2 2 i i 2 i D 2 2 i i 2 i c) Coeficiente de seguridad
El coeficiente de seguridad surge de la relación entre la tensión límite y la tensión de trabajo del elemento que se considera.
trab L
en nuestro caso se tiene que la seguridad para cada barra traccionada es:
Cordón superior: 64 , 2 91 , 0 4 , 2 S
07 , 2 16 , 1 4 , 2 58 , 0 3 2 S S Diagonales: 31 , 2 04 , 1 4 , 2 D
Si debiéramos adoptar un valor como coeficiente de seguridad del grupo de barras analizado, corresponde tomar el menor valor encontrado.
07 , 2
F1 = P / 3 C F2 = 2 / 3 P A B D p F HC VC E HE VE S1 S2 T.P N0 1.7:
Dado el siguiente sistema determinar los corrimientos δx y δy del punto de aplicación de la carga.
Datos: cm 21 , 0 ; cm 62 , 0 : . Rta m 2 a 720 E ; 2100 E cm 4 ; cm 3 tn 6 P rígidos EF ABCD f y f x 2 cm tn 2 2 cm tn 1 2 2 2 1 a) D.C.L. P 3 2 F a . F a . 2 . 3 P M 3 P F 0 M 2 2 C 1 E
b) Análisis de las deformaciones
Para el análisis vamos a descomponer el sistema, mediante cortes en los tensores, en 2 sistemas: (1) Sistema 2
Calculamos los desplazamientos por el método de las intersecciones AA' A(perpendicular ala recta AC).
La componente vertical es el alargamiento del tensor 2
2 A H 2 A V l ; l a a a a E C A a D B P F
a F 3a C F' a a a A' l2 l 2 A F2 A C B' l2 B S2 2 D D 2 l 2 a 2 a l tg (2) Sistema 1
El punto de aplicación de la carga tiene un desplazamiento δF perpendicular a la barra CF. Su
componente horizontal es la suma del corrimiento horizontal que experimento el sistema 2(δD), más
la deformación propia del tensor1 (Δl1):
Por energía de deformación
El trabajo realizado por P a lo largo del desplazamiento F V
es igual a la energía acumulada en el sistema; en este caso la energía se acumula en los tensores por ser los únicos elementos que se deforman. F F a 1 a F P 2 2 2 2 1 2 i F V cm 21 , 0 3 a 3 a tg cm 62 , 0 720 4 1 4 2100 3 1 3 200 6 E 1 4 E 1 3 a P E 3 a P 2 2 a E 3 P l l 2 F H F H F V F H F v F H 2 2 1 1 F H 2 2 1 1 1 2 F H 1 2 F H 2l l F V F 45
