Apuntes. Vâxáà ÉÇxá ÜxáâxÄàtá xáñtv Éá äxvàéü täxá. Universidad

(1)

Universidad

Ap

un

te

s

Vâxáà|ÉÇxá ÜxáâxÄàtá

xáÑtv|Éá äxvàÉÜ|tÄxá

(2)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

CUESTIONES RESUELTAS

1. Demostrar, a partir de la definición de Espacio Vectorial, las siguientes consecuencias de la misma: ( Nota: Para mayor agilidad en el proceso deductivo, nombraremos P1 a P8 las ocho

propiedades de la definición de Espacio Vectorial en el orden que se da en las notas de teoría del tema )

C.1

œ

"

0

0 ú

ú

Y

Sea

0 ú

n, podemos escribir {P.3}, , de donde, multiplicando por

"

A

=

"

A

( + )

Y

{P.5}

"

A

=

"

A

+

"

A

Y

{P.4}

Y

=

"

A

Y

"

A

=

œ

"

0 ú

**** C.2

œ

0

0 ú

ú

n

_Y

Sea

"

0 ú

, podemos escribir {Neutro en

ú

},

"

=

"

+ 0

Y

"

A

= (

"

+ 0)

A

Y

{P.6}

"

A

=

"

A

+ 0

A

Y

{P.4} = 0

A

Y

0

A

=

œ

0 ú

n

**** C.3 Si

"

…

0 y

"

AAAA

=

"

AAAA Y

Y

=

Si

"

A

=

"

A

Y

Multiplicando por

"

-1 , cuya existencia en

ú

está garantizada por ser

"

…

0,

"

-1

_A

₍

_"

_A

_{) =}

_"

-1

_A

₍

_"

_A

₎

_Y

_{{P.7} (}

_"

-1

_A

_"

₎

_A

_{= (}

_"

-1

_A

_"

₎

_A

_Y

₁

_A

_{= 1}

_A

_Y

{P.8} = **** C.4 Si y

"

AAAA

= ß

AAAA

Y

"

= ß Si

"

A

= ß

A

Y

"

A

- ß

A

=

Y

{P.6} (

"

- ß)

A

= y como

Y

"

-ß=0

Y

"

_{= ß.} ****

C.5

œ

"

0

0 ú

ú

K y

œ

0

0 ú

ú

E , (-

"

)

AAAA

=

"

AAAA

(- ) = - (

"

AAAA

) (-

"

)

A

= (-1

A

"

)

A

= {P.7} = -1

A

(

"

A

) = - (

"

A

)

"

A

(- ) = {P.7} = (

"

A

(-1))

A

= (-

"

)

A

. **** C.6 Si

]

"

= 0 ó Si

"

= 0, 0

A

= según C.2 Y

(3)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

Si

"

…

0, existe

"

-1

₀

_ú

_{K. Como}

_"

_A

₌

_Y

_"

-1

_A

₍

_"

_A

_{) =}

_"

-1

_A

_Y

{P.7} (

"

-1

_A

_"

₎

_A

₌

Y

1

A

=

Y

{P.8} Si

"

= 0, por C.2

"

A

= Z Si , por C.1

"

A

=

#######

2. Considera un Espacio Vectorial (E(K), +,

AAAA

), y una familia de vectores { } Linealmente independientes. Estudiar la dependencia lineal de la familia de vectores

{ }, siendo:

*******

<

Para analizar la dependencia lineal de { }, vamos a proponer una

combinación lineal con los vectores que dé cero, a continuación,

hallaremos los escalares, y, según el resultado obtenido, decidiremos.

Sean, pues, "p" escalares de K,

"

₁ ,

"

₂ ,....,

"

_p-1 ,

"

_p

0

K /

, sustituyendo la relación conocida,

aplicando la P.5, aplicando la P.6,

lo cual es una combinación lineal de los vectores que da , como por

hipótesis, estos vectores son linealmente independientes, los escalares de dicha combinación

(4)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá

y por tanto los vectores son linealmente independientes.

Nos podríamos haber preguntado por una construcción similar, a partir de vectores linealmente dependientes, no obstante, observa que en el paso decisivo de la demostración no podríamos afirmar nada sobre los escalares de la combinación lineal, y por tanto, no estamos en condiciones de afirmar nada acerca de la dependencia del nuevo sistema de vectores.

#######

3. Sea { } un sistema libre de vectores en un espacio vectorial real ( E(

ú

), +,

AAAA

), con dim E > 3. Sea

0

E /

ó

< >. Probar que el sistema de vectores { ,

} es libre.

*******

Vamos a partir de una combinación lineal de los vectores { , } que dé cero y

¡ a ver qué ocurre !

Sean

"

₀ ,

"

₁ ,

"

₂ y

"

₃

0 ú

(¡ Qué astucia la del

"

₀ ! Siempre atentos...) /

(I) Supongamos

"

0

…

0,

Podemos escribir , y multiplicando por

( podemos ya que

"

₀

…

0), simplificando y operando

,

es decir

0

< >, en contra de la hipótesis. Por lo tanto

"

₀ no puede ser

…

0

Y

"

0 = 0

Si

"

₀ = 0, la relación (I) quedaría, , que es una combinación

lineal de { } que da cero, como por hipótesis, estos vectores son linealmente

independientes

Y

"

₁ =

"

₂ =

"

₃ = 0, lo cual nos lleva a

"

₀ =

"

₁ =

"

₂ =

"

₃ = 0, de donde

{ , } es linealmente independiente.

(5)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

4. Sea S =

œ

i = 1,2,...,p un sistema de vectores libre y

œ

i = 1,2,...,p. Probar que T =

es un sistema de vectores libre. *******

Tal como sugerimos en los problemas anteriores, vamos a proponer una combinación lineal de estos vectores igualada a cero, y vamos a obtener los escalares. En función del resultado obtenido para éstos, decidiremos.

Como la posición de los vectores no interviene en la dependencia lineal, vamos a colocarlos de

la forma T = para organizar mejor los

subíndices.

Sean

"

₁ ,

"

₂ ,...,

"

_i-1 ,

"

_i ,

"

_i+1 ,...,

"

_p

0

K /

, reemplazando el vector , tenemos:

operando y agrupando convenientemente:

lo cual resulta ser una combinación lineal de los vectores

que da cero, como por hipótesis, estos

(6)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

Por tanto T es un Sistema de vectores libre (formado por vectores linealmente independientes).

#######

5. Sea (E(K), +,

AAAA

) un espacio vectorial, y sean S, T subespacios vectoriales de E. Probar que: S

c

T es subespacio vectorial de E

]

S

f

T o T

f

S *******

Y

Hipótesis: S

c

T es Subespacio Vectorial de E.

Vamos a efectuar la demostración por reducción al absurdo, es decir, partimos de que S

ç

T y

T

ç

S. En cuyo caso, (I)

Como

0

S

Y

0

S

c

T

0

T

Y

0

S

c

T

Al ser S

c

T Subespacio de E, según el

teorema de caracterización,

"

A

+ ß

A

0

S

c

T

œ

"

_{, ß}

0

K, en particular, si tomamos

"

= ß = 1

Y

0

S

c

T, de donde: +

0

S

Y

0

S

Y

0

S

que claramente

contradi-cen (I), la hipótesis es falsa

Y

S

f

T ó T

f

S.

(7)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

Si S

f

T

Y

S

c

T = T, S

c

T es subespacio al serlo T.

Si T

f

S

Y

S

c

T = S, S

c

T es subespacio al serlo S, en ambos casos, S

c

T es subespacio

vectorial. Así pues, queda demostrada la propiedad.

#######

6. Sean S y T, sendos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (E(K), +,

AAAA

), probar que

S + T es el menor subespacio vectorial que contiene al conjunto S

c

T *******

Dividiremos la demostración en dos bloques

i) S

c

T

f

S + T

ii) Si L es un Subespacio / S

c

T

f

L

Y

S + T

f

L .

Mediante i) demostramos que S

c

T está contenido en S + T, y mediante ii) que S + T es el

menor, ya que está contenido en cualquier Subespacio que contenga a S

c

T.

i)

œ

0

S

c

T

Y

, por tanto,

S

c

T

f

S + T

ii) Sea L un Subespacio Vectorial / S

c

T

f

L.

œ

0

S + T

Y

como L es Subespacio Vectorial, cualquier combinación lineal de sus vectores es un vector

de L,

0

L

Y

0

L

Y

S + T

f

L.

#######

7. Sea A

0

Mmxn y

0

0 ú

ú

n un vector fijo. Demostrar que T = { A

0

Mmxn / A

AAAA

= 0 } es

un subespacio vectorial de Mmxn.

Emplearemos el teorema de caracterización de subespacios vectoriales.

i) 0_mxn

0

T ?

Como

œ

0 ú

n

_Y

₀

(8)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá ii) Sean A, B

0

T

"

_,ß

0 ú

¿

"

A

A + ß

A

B

0

T ? Como (

"

A

A + ß

A

B)

A

= (

"

A

A)

A

+ (ß

A

B)

A

=

"

A

(A

A

) + ß

A

(B

A

) =

"

A

+ ß

A

=

Y

"

A

A + ß

A

B

0

T

Y en virtud del teorema de caracterización de subespacios vectoriales , T tiene estructura de

subespacio vectorial de Mmxn

#######

8. Sea ( E(K), +,

AAAA

) un espacio vectorial, demostrar que si es un sistema ligado de vectores

Y

Al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

*******

<

En efecto, si es un sistema ligado de vectores, significa que está

formado por vectores linealmente dependientes,

Y

›

"

1,

"

2, ... ,

"

p

0

K / algún

"

i

…

0

Como no hay ninguna diferencia objetiva entre , ordenemos la

combinación lineal de forma que sea

"

₁

…

0

Y

con

"

₁

…

0

Y

como

"

₁

…

0 diviendo por

"

₁

Y

es combinación lineal de

#######

9. Sea ( E(K), +,

AAAA

) un espacio vectorial, demostrar que cualquier sistema de vectores de E , que contenga al vector , es un sistema ligado, formado por vectores linealmente dependientes.

<

Sea una familia de vectores de E en la cual, está el vector

0

E

Podemos proponer la siguiente combinación lineal que de :

y el escalar 1

…

0

Y

(9)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

10. Sea ( E(k), +,

AAAA

) un espacio vectorial y una base de E, demostrar que las componentes de un vector en la base B son únicas.

*******

En efecto, sea

0

E y supongamos que sus componentes en la base B no son únicas

Y

Que resulta ser combinación lineal de que resulta dar . Como por

hipótesis B es BASE

Y

sus vectores son linealmente independientes

Y

Lo cual demuestra la unicidad de las componentes.

#######

11. Sea ( E(k), +,

AAAA

) un espacio vectorial de dimensión finita, dim E = n. Demostrar que "n" vectores Linealmente Independientes forman una base de E.

Sean pues los vectores de E, linealmente independientes. Para que sean una

base de E deben ser un sistema generador de E.

Razonando por reducción al absurdo, supongamos que no lo son

Y

›

0

E / no es

combinación lineal de

Y

es un sistema libre

formado por n+1 vectores, lo cual contradice el hecho que dim E = n, ya que la dimensión nos indica el número máximo de vectores de un sistema de vectores que pueden ser linealmente independientes.

#######

12. Sea ( E(k), +,

AAAA

) un espacio vectorial de dimensión finita, dim E = n. Demostrar que "n" vectores que generen al espacio vectorial forman una base de E.

(10)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

Sean

0

E / = E

Razonando por reducción al absurdo, supongamos que no son linealmente independientes. ( condición que le falta para ser base), es decir, al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás, por ejemplo :

si

lo cual contradice el hecho de que dim E = n

#######

13. Sean S, T subespacios vectoriales de un espacio vectorial ( E(K), +,

AAAA

), probar que S

r

T

]

S

1

T = { }

[ Definimos la suma directa de dos subespacios, notamos S

r

T, cuando cada vector de S + T

se obtiene como suma de un único vector de S y un único vector de T ]

Y

Hipótesis S

r

T

Y

no se expresa como suma de un único vector de S y un único vector de T. #

Y

S

1

T = { }

Z

Hipótesis S

1

T = { }

œ

0

S + T, supongamos se puede expresar como suma de vectores diferentes de S y T

(11)

XB

Apuntes

Espacios vectoriales

Lo cual demuestra su unicidad

Y

S

r

T

Naturalmente en una SUMA DIRECTA si es una base de S y

es una base de T:

es una base de S

r

T

La idea de suma directa la utilizaremos con profusión a lo largo de los temas que siguen, en su caracterización