La Diferencial de Fréchet

(1)

La Diferencial de Fr´

echet

Dedicaremos este cap´ıtulo a extender la derivabilidad a las funciones de varias variables reales.

L´ımites y continuidad

El contenido de este parágrafo es eminentemente práctico. En él se expo-nen algunas técnicas para el estudio de la continuidad (existencia de l´ımite) para una función de varias variables reales, f: A ⊂ _Rn _→

Rp. Si p = 1, es decir si f toma sus valores en R, se dirá que f es una función escalar. Cuando p >1, una función de este tipo se dirá que es unafunción vectorial. En ese caso escribiremos

f = (f1, f2, . . . , fp),

donde fi(x) es la coordenada i-´esima de f(x), es decir las funciones f1,

f2, . . . , fp son las funciones coordenadas de f.

Definici´on 2.1 Seaf:A⊂_Rn_→_F _(F _{un espacio normado) y}_a_{un punto}

de acumulaci´on deA. Diremos que el punto l∈F es l´ımite de la funci´on en el puntoa, lo que denotaremos como

l´ım

x→a x∈A

f(x) =l,

si para ε > 0, existe δ > 0 tal que si x ∈ A y 0 < kx−ak < δ entonces kf(x)−lk< ε.

(2)

Es claro quela funci´on f es continua en a∈A0∩A si y s´olo si

l´ım

x→a x∈A

f(x) =f(a),

Nótese también que la definición de l´ımite es independiente de la norma de Rn que se utilice. En efecto si k k∗ es otra norma sobre Rn, sabemos que existen dos constantes mayores que 0, α, β, tal que αkxk∗ _{≤ k}_x_{k ≤} _β_k_x_k∗_. Entonces si para ε > 0, existe δ > 0 tal que si x ∈ A y 0 < kx−ak < δ implicakf(x)−lk< ε, tomandoδ1= (1/β)δ resulta que 0<kx−ak∗ < δ1

implicakf(x)−lk< ε.

De igual manera la existencia o no de l´ımite se mantiene si se cambia la norma deF por otra equivalente.

Si no se dice otra cosa cuando nos encontremos con la expresi´on l´ımx→af(x)

supondremos que la funci´onfest´a definida en alguna bola reducida de centro a. Observar en todo espacio normado toda bola es un conjunto con infinitos elementos y por lo tanto siA=B(a, r)\ {a} entoncesa∈A0.

Proposici´on 2.2 Si f tiene p funciones coordenadas f = (f1, f2, . . . , fp), entonces

l´ım

x→af(x) =l= (l1, . . . , lp) ⇔ xl´ım→afi(x) =li

Demostración. Si en Rp utilizamos la norma producto, es evidente que la definición de l´ımite para f enapuede expresarse en los siguientes términos: para cadaε >0, existeδ >0 tal que

0<kx−ak< δ ⇒ |fi(x)−li|< ε , ∀i

lo que equivale a decir queli es el l´ımite de fi ena, para todoi.

2.3 Como f´acilmente puede probarse las reglas habituales del c´alculo de l´ımites se mantienen para funciones de varias variables. Si embargo, no dis-ponemos ahora de la importante herramienta que para funciones de una variable supon´ıa regla de l’Hopital.

Para simplificar trabajaremos con funciones escalares de dos variables, entonces, de acuerdo con la definici´on 2.1,

l= l´ım

(x,y)→(x0,y0)

(3)

si para cadaε >0 existeδ >0 tal que 0<k(x−x0, y−y0)k< δ              |x−x0|< δ, |y−y0|< δ |x−x0|+|y−y0|< δ p (x−x0)2+ (y−y0)2 < δ ...             

⇓

|f(x, y)−l|< ε,

A continuaci´on establecemos algunas condiciones necesarias para la exis-tencia de l´ımite.

Definici´on 2.4 (L´ımites iterados) Con las notaciones anteriores, a cada uno de los l´ımites

l´ım x→x0 ( l´ım y→y0 f(x, y)), l´ım y→y0 ( l´ım x→x0 f(x, y))

se les denomina l´ımites iterados.

Proposici´on 2.5 Si existe el l´ımite de una funci´on en un punto (x0, y0) es

decir, l = l´ım(x,y)→(x0,y0)f(x, y), entonces tambi´en existen y son iguales a “l”los l´ımites iterados. (Se supone que para cada y 6= y0 y x 6= x0 existen

los l´ımites l´ımx→x0f(x, y)y l´ımy→y0f(x, y)).

Demostraci´on. Resulta directamente de aplicar la definici´on de l´ımite.

Definici´on 2.6 (L´ımites direccionales) Llamaremos l´ımites direcciona-les de la funci´onfen el punto (x0, y0) a los l´ımites siguiendo rectas que pasen

por el punto, es decir l´ımx→x0f(x, y0+m(x−x0)). (An´aloga definici´on para

l´ımite siguiendo curvas que pasan por el punto).

Nota. La definición 2.4 se generalizan de manera natural al caso de funciones de 3 o más variables. Para generalizar también la noción de l´ımites direccio-nales de una función en un punto, deberemos escribir en forma paramétrica las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto. As´ı si a= (a1, . . . , an),

entonces

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es la ecuaci´on de la recta que tiene como vector directorh= (h1, . . . , hn) y

que pasa pora. El l´ımite siguiendo esta recta ser´a entonces l´ım

t→0f(a1+th1, . . . , an+thn).

Para n= 2 el l´ımite anterior coincide con el l´ımite direccional en el sentido de la definici´on 2.6, siguiendo la recta de pendiente m=h2/h1.

Como en el caso de los l´ımites iterados, es evidente que la existencia de l´ımite implica la de los l´ımites direccionales y siguiendo curvas. Se deduce, pues, que la existencia de los l´ımites iterados, direccionales y siguiendo curvas son

condiciones necesariaspara la existencia del l´ımite. Por lo tanto: NO existe l´ımite cuando

1. No existe alguno de los l´ımites iterados o existen pero son distintos.

Ejemplo 2.7 Consideremos la funci´on

f(x, y) = x

2₊_y

p

x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0); f(0,0) = 0.

Esta funci´on no es continua en (0,0) ya que uno de los l´ımites iterados no existe: l´ım y→0( l´ımx→0 x2+y p x2₊_y2) = l´ımy→0 y |y| =±1.

Ejemplo 2.8 Este es un ejemplo de una funci´on para la que los l´ımites iterados existen pero son diferentes (luego el l´ımite no existe)

f(x, y) = (x+y−1) ln(x 2_{+ 2y}2₎ (x−1)2₊_y2 , si (x, y)6= (1,0). Se tiene que l´ım x→1( l´ımy→0f(x, y)) = l´ımx→1 2(x−1) lnx (x−1)2 = 2 l´ım y→0( l´ımx→1f(x, y)) = l´ımy→0 yln(1 + 2y2) y2 = l´ım_y_→₀ 4y 1 + 2y2 = 0.

2. No existe alguno de los l´ımites direccionales o existen, pero no son iguales.

(5)

Ejemplo 2.9 Sea

f(x, y) = xy

x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0).

Los l´ımites direccionales de esta funci´on no son todos iguales. En efecto:

l´ım x→0f(x, mx) = l´ımx→0 mx2 (m2_{+ 1)x}2 = m m2_{+ 1}

que depende de m. Se deduce pues que el l´ımite no existe.

Ejemplo 2.10 Sea

f(x, y) = x

2_y

x4_{+ (y}₋_x)2 si (x, y)6= (0,0); f(0,0) = 0.

Es inmediato comprobar que l´ımx→0f(x, mx) = 0 para m 6= 1. En cambio

param= 1 el l´ımite anterior no existe, es decir la funci´on no tiene l´ımite en (0,0) siguiendo la recta y =x y por lo tanto no admite l´ımite en ese punto (no es continua en (0,0)).

3. No existe el l´ımite siguiendo alguna curva que pasa por el punto o el l´ımite var´ıa dependiendo de la curva que se tome.

Ejemplo 2.11 Consideremos la funci´on

f(x, y) = xy

2

x2₊_y4 si (x, y)6= (0,0).

Tanto los l´ımite iterados como los l´ımites direccionales en el punto (0,0) existen y valen 0, sin embargo esta funci´on no tiene l´ımite en ese punto, ya que si tomamos las curvas y=m√x, se tiene:

l´ım x→0f(x, m √ x) = l´ım x→0 m2x2 x2₊_m4_x2 = m2 m4_{+ 1}.

Es decir los l´ımites siguiendo esa familia de curvas existen todos pero son diferentes entre s´ı, luego el l´ımite no existe.

Ejemplo 2.12 Sea

f(x, y) = x

2_ln_y

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Es inmediato comprobar que tambi´en en este caso los l´ımites iterados en (0,1) valen 0. En cuanto a los l´ımites direccionales

l´ım x→0 x2ln(1 +mx) x4_{+ (x}_{+ ln(1 +}_mx))2 = l´ım_x_→₀ ln(1 +mx) x2_{+ (x}_{+ 1/x}_{ln(1 +}_mx))2 = ln 1 m2 = 0.

Sin embargo tampoco existe el l´ımite ya que si consideramos la curvay = e−x2, que obviamente pasa por (0,1), la funci´on admite l´ımite siguiendo esta curva, pero es diferente de 0.

Derivadas parciales

Para funciones de una variable disponemos de unas reglas de cálculo de derivadas, las llamadas reglas de derivación. Por ejemplo sabemos que la función si f(x) =x2+xsenx satisface las hipótesis necesarias para poder aplicar estas reglas para calcular su derivada y as´ı obtener que f0(x) = 2x+ senx+xcosx. En particular podemos obtener el valor de la derivada en un punto concreto a sin más que sustituir aen la igualdad anterior, de este modo f0(π) = 2π+ 0−π = π. Cuando estas reglas no son aplicables en algún punto a, aún la función puede admitir derivada ena. Por ejemplo si f(x) = √x2₊_x_sen_{x, x} _∈ _[₋_{π/2, π/2] y queremos calcular} _f0_{(x), se} puede aplicar la regla de la cadena para hacer este cálculo en todo punto x distinto de 0. De este modo para x 6= 0 se tiene f0(x) = 1/2(2x+ senx+ xcosx)(2x+ senx+xcosx)−1/2. En cambio no podemos aplicar la regla de la cadena para calcular f0(0) pues para ello ser´ıa necesario que la ra´ız cuadrada (como función de una variable) fuese derivable en 0. Para estudiar la existencia def0(0) recurrimos a la definición de derivada en un punto:

f0(a) = l´ım

x→a

f(x)−f(a) x−a . Entonces para la funci´on del ejemplo tendr´ıamos

f0(0) = l´ım x→0 √ x2₊_x_sen_x x = (√ 2 six→0+ −√2 six→0−

Una situación idéntica se plantea cuando se tiene una función f de va-rias variables, supongamos para concretar de 2-variables x, y, y se quiere calcular la derivada (parcial) def respecto a una de las variables. Por ejem-plo si f(x, y) = x2 +yseny la derivada parcial de f respecto de x en un punto (x, y) no es otra cosa que la derivada de la función de 1-variable

(7)

que se obtiene al considerar y en la derivación como una constante. Lue-go ∂f_∂x(x, y) = 2x y análogamente ∂f_∂y(x, y) = seny+ycosy. En particular podemos obtener el valor de la derivadas parciales en un punto concreto (a, b) sin más que sustituir (a, b) en las igualdades anteriores. De igual mo-do si f(x, y) = px2₊_y_sen_{y, y} _∈ _[₋_{π/2, π/2], se pueden aplicar en cada}

(x, y)6= (0,0) las reglas de derivaci´on de las funciones de una variable para deducir que ∂f ∂x(x, y) =x(x 2₊_y_sen_y)−1/2_;∂f ∂y(x, y) = 1

2(seny+ycosy)(x

2₊_y_sen_y)1 2.

Como antes, no podemos aplicar la regla de la cadena para estudiar la exis-tencia de la derivada parcial respecto ax (o respecto ay) en el punto (0,0), sino que habremos de recurrir a la definición de derivada parcial respecto a x (o respecto a y) en un punto (a, b), que de acuerdo a lo anterior no es más que derivada en ade la función de la variablex (oy) que se obtiene al sustituir en la definición de f la variabley (ox) porb (oa) i.e.,

∂f ∂x(a, b) = l´ımx→a f(x, b)−f(a, b) x−a ; ∂f ∂y(a, b) = l´ımy→b f(a, y)−f(a, b) y−b M´as generalmente,

Definici´on 2.13 Sea f: A ⊂ _Rn _→ _F _{y sea} _a_∈_{A. Llamaremos derivada}o

parcial j-´esima de f en aa la derivada enaj de la aplicaci´on de 1-variable

g:xj →f(a1, .., aj−1, xj, aj+1, .., an)

La denotaremos por (∂f /∂xj)(a) o, tambi´en,Djf(a). Por tanto:

∂f ∂xj (a) = l´ım xj→aj f(a1, . . . , aj−1, xj, aj+1, . . . , an)−f(a) xj−aj .

Ejemplo (Una funci´on no continua en un punto, que admite en ese punto derivadas parciales respecto a cualquier ´ındice).

f(x, y) = xy

x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0); f(0,0) = 0.

Es fácil ver que las do derivadas parciales de esta función son nulas en (0,0). Por otras parte la función no es continua en (0,0) pues los l´ımites direccionales de f en (0,0) existen pero no son todos iguales:

l´ım x→0 mx2 x2₊_m2_x2 = m 1 +m2

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Diferenciabilidad en un punto

Hemos visto que una funci´on de varias variables puede admitir derivadas parciales en un punto a sin ser continua en a. Esto indica que si se quiere que las funciones de varias variables que sean derivables en un punto sean continuas en ese punto, no va a bastar que se les exija s´olo la existencia de derivadas parciales.

Definici´on 2.14 Seaf :A⊂_Rn_→_{F, a}_∈_{A. Se dice que}o _f _{es diferenciable}

o derivable en a (en el sentido de Fréchet), si admite derivadas parciales respecto a cualquier ´ındice enay además se satisface la siguiente condición:

(D) l´ım x→a f(x)−f(a)−Pn j=1 ∂f ∂xj(a)(xj −aj) kx−ak = 0,

Para funciones de una variable, la definición anterior coincide con la de fun-ción derivable en un punto. En efecto, supongamos quef es una función de una variable (con valores en un espacio normadoF) derivable ena, entonces

l´ım x→a f(x)−f(a) x−a =f 0 (a) ⇒ l´ım x→a f(x)−f(a)−f0(a)(x−a) x−a = 0 ⇒ l´ım x→a

f(x)−f(a)−f0(a)(x−a)]

|x−a| = 0.

Nota. Observemos en primer lugar que la definici´on anterior es indepen-diente de la norma que consideremos enRn. En efecto si k k∗ es otra norma sobre Rn, sabemos que existen dos constantes mayores que 0, α, β, tal que αkxk∗≤ kxk ≤βkxk∗. Entonces si kf(a+h)−f(a)− n X j=1 ∂f ∂xj (a)hjk ≤εkhk cuandokhk ≤δ,

se tiene tambi´en que

kf(a+h)−f(a)− n X j=1 ∂f ∂xj (a)hjk ≤βεkhk∗ cuandokhk∗ ≤1/βδ,

(9)

Ejemplo 2.15 La funci´on f(x, y) = x

3₋_y3

x2₊_y2; f(0,0) = 0

es continua y admite derivadas parciales respecto a ambas coordenadas en (0,0) pero no es diferenciable en (0,0).

Proposici´on 2.16 La funci´onf :A⊂_Rn_→_F_{es diferenciable en un punto}

a∈ o

A si y s´olo si existe una aplicaci´on lineal J :Rn→F tal que

(2.1) l´ım

x→a

f(x)−[f(a) +J(x−a)]

kx−ak = 0.

Demostración. Antes de nada debemos tener en cuenta que una aplica-ción lineal L de Rn en F está determinada un´ıvocamente por una matriz (c1, c2, . . . , cn) con cj ∈F, mediante la igualdad L(x1, x2, . . . , xn) =c1x1+

c2x2+· · ·+cnxn. Por otra parte estas aplicaciones son siempre continuas, de

hecho lipschitzianas:kL(x)−L(y)k=kP

cj(xj−yj)k ≤(Pkcjk)kxj−yjk∞. De la definición de función diferenciable y lo anterior se deduce que la condiciónf diferenciable enaimplica que la aplicación linealJ cuya matriz asociada es la matriz jacobiana (_∂x∂f

1(a), . . . , ∂f

∂xn(a)), satisface la condici´on (D).

Rec´ıprocamente supongamos que existe una aplicaci´on linealJ :Rn→F tal que

l´ım

x→a

f(x)−[f(a) +J(x−a)]

kx−ak = 0,

entonces si J est´a determinada por la matriz (c1, c2, . . . , cn), se tiene:

l´ım

x→a

f(x)−[f(a) +P

cj(xj−aj)]

kx−ak = 0.

Para probar que f es diferenciable ena habr´a que ver que ci = _∂x∂f_i(a). De

lo anterior se deduce, en particular que l´ım xi→ai f(a1, . . . , xi, . . . , an)−[f(a) +ci(xi−ai)] |xi−ai| = 0 y por tanto l´ım xi→ai f(a1, . . . , xi, . . . , an)−[f(a) +ci(xi−ai)] xi−ai = 0, lo que implica que

l´ım

xi→ai

f(a1, . . . , xi, . . . , an)−f(a)

xi−ai

(10)

Teniendo en cuenta la proposición anterior sólo puede existir una aplicación lineal satisfaciendo la condición de diferenciabilidad. La definición siguiente es consecuencia natural de este hecho:

Definici´on 2.17 Si f : A ⊂ _Rn _→ _F _{es diferenciable en el punto} _a _∈_A,o

a la aplicaci´on lineal de Rn en F determinada por la matriz jacobiana (_∂x∂f

1(a), . . . , ∂f

∂xn(a)) (la única que que satisface la condición 2.1), la llama-remosdiferencial de la funciónf ena, y la denotaremos como Df(a).

Proposici´on 2.18 Una funci´on diferenciable en un punto a es continua en ese punto. De hecho, existe alguna bola centrada en B(a, r) y alguna constanteM ≥0tal que six∈B(a, r), entonceskf(x)−f(a)k ≤Mkx−ak.

Demostraci´on. Por la diferenciabilidad de f en a existe r > 0 tal que si kx−ak ≤r entonces

kf(x)−f(a)−Df(a)(x−a)k

kx−ak ≤1

⇒kf(x)−f(a)−Df(a)(x−a)k ≤ kx−ak.

SeaV = B(a, r) y x ∈ V, entonces teniendo en cuenta que Df(a) es lips-chitziana, se tiene

kf(x)−f(a)k ≤ kf(x)−f(a)−Df(a)(x−a)k+kDf(a)(x−a)k ≤(1 +K)kx−ak.

Reglas Formales de Derivaci´

on

Las reglas de derivaci´on para funciones de una variable se mantienen para funciones de varias variables. Para empezar, supongamos que f, g son derivables ena, entonces para probar quef+g es derivable enahabremos de ver que: (D) l´ım x→a (f +g)(x)−(f +g)(a)−Pn j=1 ∂(f+g) ∂xj (a)(xj−aj) kx−ak = 0,

lo cual es cierto sin m´as que tener en cuenta que las derivadas parciales de una suma de dos funciones es la suma de las derivadas parciales y que lo mismo sucede con el l´ımite de una suma. De igual modo se prueba que sif es diferenciable enayλ∈R entoncesλf es diferenciable ena.

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También si f, g son funciones escalares diferenciables en a, entonces la función f·g es diferenciable ena. Como esto es verdad en una variable, las derivadas parciales def·g existen y se calculan por la fórmula de Leibnitz:

∂(f ·g) ∂xj (a) =f(a) ∂g ∂xj (a)+g(a)∂f ∂xj

(a).Luego habrá que ver que se satisface la condición de diferenciabilidad def·genatomando como aplicación lineal la aplicación J =f(a)Dg(a) +g(a)Df(a) (EJERCICIO HOJAS).

Proposici´on 2.19 Sea f:A ⊂_Rn _→

Rp, diferenciable en a ∈ o

A. Si B ⊃ f(A) y g: B ⊂ _Rp _→ _F _{es diferenciable en} _f_(a) _∈_Bo _entonces _g_◦_f _es diferenciable en ay la matriz de las derivadas parciales deg◦f consiste en el producto de la matriz de las derivadas parciales degenf(a)por la matriz de las derivadas parciales def ena. Es decir

(2.2) D(g◦f)(a) =Dg(f(a))◦Df(a) (Regla de la Cadena).

Demostraci´on. Seaε >0.

Puesto que f es diferenciable ena, existeδ1 >0 tal que sikhk ≤δ1

kf(a+h)−f(a)−Df(a)hk ≤εkhk.

De igual modo, por la diferenciabilidad en el punto f(a) de la aplicaci´ong, existeη >0 tal que sikkk ≤η

kg(f(a) +k)−g(f(a))−Dg(f(a))kk ≤εkkk.

Por ´ultimo, y debido tambi´en a la diferenciabilidad de f en a (ver 2.18), existen δ2 > 0 y α > 0 tal que si khk ≤ δ2 entonces kf(a+h)−f(a)k ≤

Mkhk ≤η.

Luego, parakhk ≤δ= m´ın(δ1, δ2) y k=f(a+h)−f(a), se tiene

k(g◦f)(a+h)−(g◦f)(a)−(Dg(f(a))◦Df(a))hk ≤ kg(f(a) +k)−g(f(a))−Dg(f(a))kk

+kDg(f(a))(f(a+h)−f(a)−Df(a)hk

≤εkkk+εkDg(f(a))kkhk ≤(α+kDg(f(a))k)εkhk. Esto demuestra que si khk ≤δ

k(g◦f)(a+h)−(g◦f)(a)−(Dg(f(a))◦Df(a))hk ≤M εkhk, donde M =α+kDg(f(a))k, es decir que g◦f es diferenciable en a y que D(g◦f)(a) =Dg(f(a))◦Df(a).

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y, en particular, la matriz de las derivadas parciales de g◦f se obtiene mediante la f´ormula, ∂(g◦f) ∂x1 (a), . . . ,∂(g◦f) ∂xn (a) = _∂g ∂y1 (f(a)), · · · , ∂g ∂yp (f(a)) ×          ∂f1 ∂x1 (a) · · · ∂f1 ∂xn (a) ∂f2 ∂x1 (a) · · · ∂f2 ∂xn (a) . . . . ∂fp ∂x1 (a) · · · ∂fp ∂xn (a)         

Esta igualdad matricial nos permite escribir entonces lo que podemos llamar laregla de la cadena para derivadas parciales:

∂(g◦f) ∂xj (a) = p X s=1 ∂g ∂ys (f(a))∂fs ∂xj (a). Proposici´on 2.20 Sean f, g:A ⊂ _Rn _→ R aplicaciones diferenciables en

un puntoa. Si g(a)6= 0 entonces la aplicaci´on h =f /g es diferenciable en

a. Se tiene entonces que

(2.3) D(f /g)(a) =g(a)Df(a)−f(a)Dg(a) g(a)2 .

Demostración. Basta ver que si g(a) 6= 0, entonces la aplicación 1/g es diferenciable ena. Escribiendo 1/gcomo la composición de las aplicaciones

x→g(x)→ 1 g(x),

eso se sigue de que la aplicaci´on de R en R, t → 1/t, es diferenciable en R\ {0}.

La fórmula 2.3 se obtiene de la correspondiente fórmula para funciones de una variable y de la fórmula de Leibnitz.

Nota. No consideraremos aqu´ı la diferenciabilidad de la inversa de una fun-ci´on, ya que el estudio de funciones inversas ser´a el objeto de otro cap´ıtulo posterior.

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2.21 Los resultados anteriores nos permitir´an construir una extensa familia de funciones diferenciables. Empecemos, por ejemplo, con los polinomios: Como se sabe un polinomio de varias variables es una aplicaci´on de la forma

f(x1, x2, . . . , xn) = X finita ai1...inx i1 1 . . . xinn , ik= 0,1, . . .

Puesto que la suma y el producto de aplicaciones diferenciables es una apli-caci´on diferenciable, es evidente que los polinomios son diferenciables ya que las aplicaciones

(x1, x2, . . . , xn)→ai1...in (x1, x2, . . . , xn)→xik lo son, como f´acilmente puede verificarse.

Aplicando 2.20, las funciones racionales (cocientes de dos polinomios) son diferenciables sobre el conjunto de puntos donde el polinomio del deno-minador no se anula.

Por ´ultimo, mediante la composici´on de las funciones anteriores con fun-ciones de una variable y diferenciables, se obtienen nuevas funfun-ciones de varias variables y diferenciables

sen (x2+y2), log(1 +x2+y2), 1

1 + cos2_(xyz), . . .

Interpretaci´

on geom´

etrica de la diferenciabilidad

Es bien conocido que una función de una variable f es derivable en un punto a si y sólo si su gráfica admite una recta tangente (no vertical) en el punto (a, f(a)). Queremos que una función de varias variables que sea derivable en un punto tenga una propiedad geométrica análoga. Previamente debemos formalizar la noción de tangencia.

Definici´on 2.22 Llamaremos curva de Rk a toda aplicaci´on continua γ : I ⊂ _R → _Rk_{, donde} _I _{es un intervalo (abierto) de}

R. Podemos pensar en γ(t) = (x1(t), . . . , xk(t)) como en la posici´on de un m´ovil en el instante de

tiempot.

Si γ es derivable en un punto t0 ∈ I diremos que el vector γ0(t0) =

(x0₁(t0), . . . , x0_k(t0)) es tangente a la curva en c =γ(t0). Es f´acil ver que el

vector γ0(t0) es, conforme a la idea intuitiva que se tiene de tangencia, un

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Definici´on 2.23 Un vector wde Rk se dir´a tangente al conjunto M ⊂Rk en el punto c∈M, si existe alguna curva γ :I ⊂_R→ _Rk _{contenida en} _M

que pasa porcy tiene a w como vector tangente enc i.e., i)γ(t)∈M para cada t,

ii) existe t0∈I tal queγ(t0) =c,

iii)γ es derivable en t0 yγ0(t0) =w.

Geométricamente, un vector tangente a M en ces pues un vector tangente a alguna curva trazada sobre M pasando por c (ver ejercicio 2M para una definición más general de vector tangente.) Al conjunto de vectores tangentes aM en el punto c∈M se le denotará por Tc(M).

Siguiendo con el objetivo de interpretar geométricamente la diferenciabi-lidad de una función en un punto y tratando de evitar en lo posible las com-plicaciones formales, vamos a permitirnos trabajar con una función escalar de 2-variables. Sea puesf:A⊂R2→R, yM ={(x, y, f(x, y)) : (x, y)∈A} su gráfica. Sea (a, b) ∈ Ao y c = (a, b, f(a, b)). Según lo anterior Tc(M)

será el conjunto de vectores tangentes a curvas contenidas en la gráfica y que pasan por c. Vamos a considerar en primer lugar una familia es-pecial de estas curvas: Sea u = (h, k) un vector de R2 y consideremos γ(t) = (a+th, b+tk, f(a+th, b+tk)). Obviamenteγ es una curva contenida en M que pasa por c= (a, b, f(a, b)). Geométricamente podemos obtenerla mediante la intersección deM con el plano perpendicular alXY y contiene a la rectax=a+th; y =b+tk; z= 0. As´ı, siγ fuese derivable ent= 0, el vector γ0(0) = h, k,l´ım t→0 f(a+th, b+tk)−f(a, b) t , ser´ıa un vector tangente aM en c.

Cuando existe γ0(0) i.e. cuando existe l´ımt→0 f(a+th,b+_ttk)−f(a,b) se

di-ce que f es diferenciable en (a, b) siguiendo el vector (h, k) y se escri-bir´a D(h,k)f(a, b) para denotar al valor de ese l´ımite. Cuando f admite

derivadas en (a, b) siguiendo cualquier vector se dice que existen las deri-vadas direccionales de f en (a, b). En tal caso, de lo anterior se deduce que una familia de vectores tangentes a la gr´afica def en cser´ıa

{(h, k, D₍_h,k₎f(a, b) : (h, k)∈_R2_}_.

Vamos a ver a continuaci´on que cuando f es diferenciable en a, entonces esta familia constituye en realidad la totalidad de los vectores tangentes.

(15)

punto (a, b)∈ o

A,c= (a, b, f(a, b))yM la gr´afica def. Entonces

Tc(M) ={(h, k, Df(a, b)(h, k)) : (h, k)∈R2}.

En particular, el conjuntoTc(M)es un plano vectorial deR3(que no contiene

vectores de la forma (0,0, z)conz6= 0).

Demostraci´on. De acuerdo con el estudio hecho antes, para probar que {(h, k, Df(a, b)(h, k)) : (h, k) ∈ _R2_{} ⊂} _T

c(M) s´olo ser´a preciso ver que si

f es diferenciable en (a, b) entonces f es diferenciable siguiendo cualquier vector(h, k)y que D(h,k)f(a, b) =Df(a, b)(h, k) = ∂f ∂x(a, b)h+ ∂f ∂y(a, b)k.

En efecto, observemos en primer lugar que la f´ormula es obvia si (h, k) = (0,0) y tomemos por tanto (h, k) un vector no nulo. Puesto que f es dife-renciable en (a, b) se tiene que

l´ım

t→0

f(a+th, b+tk)−f(a, b)−∂f_∂x(a, b)(th) +∂f_∂y(a, b)(tk)

k(th, tk)k = 0,

luego

l´ım

t→0

f(a+th, b+tk)−f(a, b)−t(∂f_∂x(a, b)(h) +∂f_∂y(a, b)(k))

|t|k(h, k)k = 0, luego l´ım t→0 f(a+th, b+tk)−f(a, b)−tDf(a, b)(h, k) |t| = 0, luego l´ım t→0 f(a+th, b+tk)−f(a, b)−tDf(a, b)(h, k) t = 0, luego l´ım t→0 f(a+th, b+tk)−f(a, b) t =Df(a, b)(h, k)

lo que demuestra que f es derivable en (a, b) siguiendo cada vector (h, k) y que D₍_h,k₎f(a, b) =Df(a, b)(h, k).

Rec´ıprocamente, sea w = (h, k, l) ∈ R3 un vector tangente a M en c. Nosotros queremos probar que w = (h, k, Df(a, b)(h, k)). Puesto que w ∈ Tc(M), debe existir una curva γ:I ⊂ R→ R3 : γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) y un punto t0∈I tal

(16)

γ(t)∈M, luego z(t) =f(x(t), y(t))

γ(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0)) = (a, b, f(a, b)) y

γ0(t0) = (x0(t0), y0(t0), z0(t0)) = (h, k, l).

Se trata pues de ver que de lo anterior se deduce que l = Df(a, b)(h, k). Pero, puesto que z(t) = f(x(t), y(t)), aplicando la regla se tiene que l = z0(t0) =Df(x(t0), y(t0))(x0(t0), y0(t0)) =Df(a, b)(h, k).

Observemos, por último, que la aplicación (h, k)→(h, k, Df(a, b)(h, k)) es una aplicación lineal inyectiva deR2enR3y por tanto su imagenTc(M) es

un subespacio vectorial isomorfo aR2 (un plano vectorial), que obviamente no contiene vectores de la forma (0,0, z) con z6= 0.

La proposición anterior se extiende a más variables con idéntica demostra-ción. El enunciado preciso es el siguiente:

Proposici´on 2.25 Sif :A⊂_Rn_→_F _{es una aplicaci´}_{on diferenciable en el} puntoa∈

o

A, entonces:

(a) f es derivable enaen todas las direcciones y para cadah∈Rnse tiene

Dhf(a) =Df(a)h= n X j=1 ∂f ∂xj (a)hj

(b) Si M es la gr´afica de f y c = (a, f(a)), el conjunto Tc(M) es un subespacio vectorial isomorfo aE (luego de dimensi´onn) que no con-tiene vectores de la forma (0, v) con v 6= 0. Precisamente, Tc(M) =

{(h, Df(a)h) :h∈Rn}.

Ejercicios

2A Estudiar continuidad y existencia de derivadas parciales para las funciones 1. f(x, y) = ( ln(1 + (x−y)2) six−y >1 x−y+ ln 2 six−y≤1 2. f(x, y) =px4_{+ sen}2_xy 3. f(x, y) =    x3 x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) 4. f(x, y) = (_sen_x₋_sen_y x−y six6=y cosx six=y

(17)

2B Supongamos quef es una funci´on escalar de dos variables, continua en el punto (0,0), y seag(x, y) =xf(x, y). Probar queg es diferenciable en (0,0).

2C SeanE, F espacios normados,f:A⊂E→F ya∈ o A. (a) Sif es diferenciable ena, probar que

l´ım h→0 f(a+h)−f(a) khk = ( 0 siDf(a) = 0 No existe siDf(a)6= 0 (b) Probar que sif admite derivadas enasiguiendo cualquier vector y

(∗) l´ım

h→0

kf(a+h)−f(a)k

khk =α6= 0

entonces kDhf(a)k=αkhk, para todoh∈E.

(c) Deducir de (b) que si dimE > dimF y f satisface (∗) entonces f no puede ser diferenciable ena.

Indicaci´on. De ser diferenciable en a, existir´ıa alg´un vector no nulo en el

n´ucleo deDf(a).

(d) Sif es diferenciable ena, entonces son equivalentes: i) Existe l´ımh→0

kf(a+h)−f(a)k khk

ii) kDf(a)hk=kDf(a)kkhk para todoh∈E. (e) Considerar las funciones

f1(x, y) = p x2₊_y2_; _f 2(x, y) = (p x2₊_y2 _si_x_≥₀ −px2₊_y2 _si_{x <}₀

Probar que ambas funciones satisfacen la condici´on (∗) en (0,0), cuando se considera la norma eucl´ıdea en R2. Ninguna de las dos funciones son

di-ferenciables en (0,0), pero mientras que la funci´on f1 no admite derivadas

direccionales, la funci´onf2 s´ı.

2D Probar que la funci´onf(x) =x3/2_{sen 1}_/x, _f_{(0) = 0 es derivable en 0, pero}

no es lipschitziana en ning´un entorno de 0.

2E Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en el origen de coordenadas, para cada una de las funciones siguientes. (Supondremos que todas estas funciones toman el valor 0 en

(18)

el origen) 1. f(x, y) = x 4₊_x2_y2₊_y5 x2₊_y4 2. f(x, y) = x3₋_y3 x2₊_y2 3. f(x, y) = x 4₊_y4 x2₊_y2 4. f(x, y) = sen (x3+xyz) x2₊_y2₊_z2 5. f(x, y) = ln(1 +_p xy) x2₊_y2 6. f(x, y) = ln(1 +xy) 3 p x2₊_y2 7. f(x, y) = (x 2₊_y3₎₍_x2₊_y2₎ x2₊_y4 8. f(x, y) = xy x2₊p x2₊_y2

2F 1. Estudiar la diferenciabilidad de la funci´on f(x, y) = sen|x2₋_y2_|_{, en los}

puntos (0,0) y (1,1).

2. Estudiar la diferenciabilidad en (0,0) de la funci´onf(x, y) =|xy|α_{, seg´}_{un los}

valores de α≥0.

3. Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de deri-vadas direccionales y diferenciabilidad en los puntos (0,0) y (0,1), para la funci´on f(x, y) = (p x4_{+ sen}2₍_xy₎ _si_x_≥₀ −p x4_{+ sen}2₍_xy₎ _si_{x <}₀

2G Demostrar que la funci´on

f(x, y) = x

5₋_y3

p

x6₊_y4; f(0,0) = 0

es diferenciable en (0,0).

Indicaci´on:Probar que

0≤px6₊_y4₋_y2_{≤ |x|}3_, _{∀x, y.}

2H En este ejerciciogyϕserán en todos los casos una función escalar diferenciable en todo punto (aunque no siempre del mismo número de variables). Supuesto esto, se trata de probar que la funciónhconstruida a partir deges también diferenciable y de calcular sus derivadas parciales en términos de las funcionesgyϕy sus derivadas parciales: 1. h(x, y, z) =g(x2−z,senxyz) 2. h(x, y, z) =g(x+y−z2) 3. h(x) =g(x3,senx, x−1) 4. h(x) =g(x2, g(x,senx)) 5. h(x, y) =g(x2, g(x,seny)) 6. h(x, y, z) =xg(xy) +yg(xz) +zg(yz) 7. h(x) =xg(x+g(x)) 8. h(x, y, z) =g(x, y) +g(x, z) +g(y, z) 9. h(x, y) =g(x+ϕ(x, y)) 10. h(x, y) =g(x, yϕ(x, y))

(19)

2I Como en el ejercicio anterior,gyϕdenotar´an funciones escalares diferenciables en todo punto. Sean:

(a) h(x, y, z) =g(xy, ϕ(yz)), con

ϕ(0) = 0 ; ϕ0(0) = 1 ; Dg(0,0)≡(2,3) Calcular las derivadas parciales dehen (0,1,0).

(b) h(x, y) =x·g(x, y, y), con

g(1,0,0) = 1 ; Dg(1,0,0)≡(1,2,−2).

Calcular las derivadas parciales dehen (1,0). (c) h(x, y, z) =g(xz, g(y, z)), con

g(0,1) = 0 ; Dg(0,0)≡(1,2) ; Dg(0,1)≡(−3,4).

Calcular las derivadas parciales dehen (0,0,1).

2J Probar que la funci´on

h(x, y) =

Z x+y

0

e−t2+xdt

es diferenciable en cada punto y calcular su diferencial.

Indicaci´on: Tener en cuenta el teorema fundamental del c´alculo integral: Si f es

una funci´on continua en el intervalo [a, b], entonces la funci´onF(x) =Rx

a f(t)dt es

derivable y su derivada es F0(x) =f(x).

2K Considerar la funci´onf(x, y) =x2₋₂_y_.

(a) Obtener la ecuaci´on del plano tangente a la gr´afica def en el punto (0,1,-2). (b) Calcular la derivada def en (0,1) siguiendo el vectorv= (2,3).

(20)

(c) Encontrar alguna curva sobre la gr´afica de la funci´onf, que pase por el punto (0,1,-2) y tenga como vector tangente en ese punto a (2,3, D(2,3)f(0,1)).

2L Estudiar la existencia de derivadas direccionales en (0,0) para las funciones

f1(x, y) = 3 p x3₊_y3_; _f 2(x, y) = 3 p x3₊_y4 ¿Son diferenciables en (0,0)?

Indicaci´on: Para estudiar la diferenciabilidad de f2 en (0,0), puede resultar ´util

saber que, si r es un n´umero real > 0 y denotamos por g a la funci´on g(u) =

3

√

u+r−√3_u_{, entonces}_g_{es no negativa y alcanza un m´}_{aximo absoluto en el punto}

u=−r/2.

2M (Una definición más general de vector tangente) SeaM un subconjunto de un espacio normadoG,c∈M y v∈G. Se dirá quev es tangente aM en c, si existe una sucesión{zn}de puntos deM y una sucesión de escalares {λn>0}tal

que:

zn→c, λn(zn−c)→v.

Se denotar´a por Tc(M) al conjunto de vectores tangentes aM enc.

(a) Probar que un vector no nulo v es tangente aM encsi y s´olo si existe una sucesi´on{zn} ⊂M, zn6=ctal que

zn→c,

zn−c kzn−ck

→v.

(b) Sea γ: (a, b) ⊂ R → G una curva contenida en M que pasa por el punto

c ∈ M. Para concretar, sea c = γ(t0). Probar que si γ es derivable en t0

entonces el vectorv=γ0(t0) es un vector tangente aM enc.

(c) Sean E, F espacios normados yf: A ⊂E → F una aplicaci´on continua y derivable siguiendo un vector h en el punto a ∈Ao. Probar que el vector (h, Dhf(a)) es un vector tangente en el puntoc= (a, f(a)) a la gr´afica de la

funci´onf.

(e) Seaf: A⊂E→F una funci´on diferenciable en un puntoayM su gr´afica: 1. Demostrar que el conjunto de los vectores tangentes a M en el punto

c= (a, f(a)) es el subespacio vectorial isomorfo aE,

Tc(M) ={(h, Df(a)h) :h∈E}.

2. Demostrar que el vector v es tangente aM enc= (a, f(a)) si y s´olo si v