ÁLGEBRA MATRICIAL. INVERSA DE UNA MATRIZ

(1)

Capítulo 2

ÁLGEBRA MATRICIAL. INVERSA DE UNA MATRIZ

2.1. Matrices

En el capítulo anterior se introdujo el concepto de matriz, definiéndose una matriz de tamaño m x n con elementos en un cuerpo K (generalmente consideraremos R o C) como una colección de m x n escalares a

A=

c h

a_ij K ij ∈ , organizados en m filas y n columnas, de la forma: A a a a a a a a a a n n m m mn mxn =

F

H

GG

I

K

JJ

11 12 1 21 22 2 1 2

donde el elemento a_ij(1≤ ≤i m,1≤ ≤j n) denota aquel elemento de la matriz que se sitúa en la intersección de la fila i-ésima y la columna j-ésima de A.

Se suele hablar de matrices rectangulares o cuadradas, según sea m o m = n, respectivamente. En general, se dice que A es una matriz de orden m x n. n

≠

En lo que respecta a la igualdad de matrices, se dirá que dos matrices y son iguales si y sólo si:

A=

c h

a_ij B=

c h

b_ij

a_ij =b_ij;1≤ ≤i m,1≤ ≤j n.

2.2. Distintos tipos de matrices

Como se mencionó anteriormente, se dice que una matriz A es matriz cuadrada o de orden n si m = n: A a a a a a a a a a n n n n nn nxn =

F

H

GG

I

K

JJ

11 12 1 21 22 2 1 2

Los elementos a a de una matriz cuadrada A forman lo que se denomina la

diagonal principal de A, mientras que los elementos a a forman su

diagonal secundaria. a_nn 11, 22, ,… a a n n n 1 , 2( −1), 3( −2), ,… n1

Una matriz cuadrada en la que los elementos situados por encima (por debajo) de la diagonal principal son todos nulos se denomina matriz triangular inferior

(2)

A a a a a_n a_n a_{nn nxn} =

F

H

GG

I

K

JJ

11 21 22 1 2 0 0 0 A a a a a a a n n nn _nxn =

F

H

GG

I

K

JJ

11 12 1 22 2 0 0 0

Una matriz diagonal es un caso particular de matriz triangular, en la que todos los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos:

A a a a_{nn nxn} =

F

H

GG

I

K

JJ

11 22 0 0 0 0 0 0

Si A es una matriz diagonal y a₁₁ =a₂₂ = =… a_nn=a (donde a es un escalar cualquiera), entonces se dice que A es una matriz escalar:

A a a a _nxn =

F

H

GG

I

K

JJ

0 0 0 0 0 0

En particular, si a = 1 se dice que es la matriz identidad, y se denota por:

I_n nxn =

F

H

GG

I

K

JJ

1 0 0 0 1 0 0 0 1

y si a = 0, se dice que es la matriz nula, y se denota por 0:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =

F

H

GG

I

K

JJ

nxn

Matriz Simétrica: Si una matriz cuadrada A es tal que todos los elementos situados simétricamente respecto de su diagonal principal son iguales, es decir a , se dice que A es una matriz simétrica:

a ij = ji A a a a a a a a a a n n n n nn nxn =

F

H

GG

I

K

JJ

11 12 1 12 22 2 1 2

(3)

Matriz fila y matriz columna: Consideremos aquellas matrices rectangulares que sólo tienen una fila o una columna; ellas reciben el nombre de matriz fila y matriz columna, respectivamente: a a a a b b b b n nx T n xn =

F

H

GG

I

K

JJ

= 1 2 1 1 2 1

b

g

Habitualmente utilizamos matrices fila y matrices columna para representar vectores. En general, siempre que se traten matrices, los vectores suelen representarse como matrices columna, de ahí que se utilice la notación bT para representar una matriz fila (notación que quedará justificada más adelante cuando se introduzca la noción de matriz traspuesta).

2.3. Operaciones con matrices

Dado que, en particular, las matrices fila y matrices columna se utilizan para representar vectores, las distintas operaciones que se definan entre matrices deben ser compatibles con las operaciones que conocemos para vectores.

Suma: Si A y B son dos matrices de orden m x n, se define la suma y diferencia entre ellas como sigue:

a_ij

=

c h

=

c h

b_ij

C= + =A B (a_ij+b_ij) ( ) = c_ij D A B= − =(a_ij−b_ij) ( ) = d_ij

teniéndose como propiedades de estas operaciones las siguientes: - (A+B)+C = A+(B+C) (P. asociativa)

- A+0 = 0+A = A (La matriz nula es el elemento neutro) - A+(-A) = (-A)+A=0 (Elemento opuesto)

- A+B = B+A (P. conmutativa) donde A, B y C son matrices de igual tamaño.

Producto por un escalar: Si A=

c h

a_ij es una matriz y α∈R o C, se define el producto de α por A como sigue:

B= ⋅ =α A (α⋅a_ij) ( ) = b_ij

es decir, para multiplicar un escalar por una matriz se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho escalar.

Las principales propiedades de esta operación son las siguientes:

- α β( ⋅A) (= αβ)⋅A (Asociatividad mixta) - α⋅(A C+ ) (= α⋅A) (+ α⋅C) (P. distributiva)

- (α β+ )⋅ =A (α⋅A) (+ β⋅A) (P. distributiva) - 1⋅ =A A

(4)

donde A y C son dos matrices cualesquiera (ambas de igual tamaño), α y β escalares reales o complejos y 1 la unidad real.

Producto de matrices: Al igual que las operaciones anteriores, el producto de matrices puede ser motivado atendiendo a conceptos de álgebra vectorial. En concreto, atendiendo al producto escalar de vectores se tiene que si a a

son dos vectores de R

a a y b b b b

T T

( ₁ ₂ ₃) ( ₁ ₂ ₃)

3_{, entonces:}

a b⋅ = ⋅ ⋅a b cos( )θ

donde θ es el ángulo que forman ambos vectores. Además, es bien conocido que el producto escalar usual en R3 se obtiene como sigue:

a b a b⋅ = _{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3}

y que se generaliza a Rn como:

a⋅ =b a b_{1 1}+a b_{2 2}+ +a b_{n n}

cuando a aT( ₁a₂ a_n) y b b bT( ₁ ₂ b_n).

Así, podría escribirse el producto de una matriz fila por una matriz columna en Rn

como: a b a a a b b a b a b a b T n n n n ⋅ = ⋅

F

H

GG

I

_K

JJ

= + + + ( ₁ ₂ ) 1 1 1 2 2

siendo ésta la base que puede utilizarse para generalizar dicho producto hasta obtener el producto de matrices cualesquiera.

En este sentido si A es una matriz de orden m x l, con m filas a_iT (1_{≤ ≤}_{i m}_{) de tamaño}_l_, y B es una matriz de orden l x n, con n columnas de longitud l, entonces se define el producto de A por B como:

A B C c_ij con c_ij a b_iT i m j n j ⋅ = =( ) = ⋅ (1≤ ≤ ;1≤ ≤ ) es decir: A B a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b T T m T n T T T n T T T n mT mT mT n ⋅ =

F

H

GG

I

K

JJ

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

F

H

GG

I

K

JJ

1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2

b

g

Además, como a b_iT a b j ik kj k l ⋅ = =

∑

1 se tiene que: A B a b_{ik kj} k l i j m n ⋅ =

F

_HG

I

_KJ

= ₌

∑

1 _, ₁ ,

(5)

Suele decirse que se multiplican filas de A por columnas de B, siendo evidente que el número de filas de B debe coincidir con el número de columnas de A, pues de lo contrario la multiplicación no sería posible:

A

_{m x l}

⋅

B

_{l x n}

=

C

_{m x n}

En general, A B B A⋅ ≠ ⋅ aún en el caso en que se pueda hacer B A⋅ . Las principales propiedades del producto de matrices son las siguientes:

- (C B A C B A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅) ( ) (P. asociativa)

- C A B⋅( + )= ⋅ + ⋅C A C B (P. distributiva por la izquierda) - (B C A B A C A+ )⋅ = ⋅ + ⋅ (P. distributiva por la derecha) - Si A es de orden m x n⇒ ⋅ =A I_n I A A_m⋅ =

- α⋅(A B⋅ )= ⋅A (α⋅B) (= α⋅A B)⋅

donde A, B y C son matrices que, en cada caso, hacen compatibles las operaciones en las que intervienen y donde α es un escalar real o complejo.

Observaciones.

• La potencia k-ésima de una matriz cuadrada A se representa como , conviniéndose que

Ak _{= ⋅ ⋅ ⋅}A A k _A A0 ₌I _.

• Cuando estudiamos la representación matricial de un sistema de ecuaciones, expresamos el sistema de forma simbólica como: A X = B. Teniendo en cuenta ahora como se ha definido el producto de matrices queda totalmente justificada esta forma de expresar un sistema de ecuaciones, pues:

a x a x a x a x a x a x a x a x a x b b b n n n n m m mn n 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 2 + + + + + + + + + = = = _m ⇔ a a a a a a a a a x x x b b b n n m m mn n m 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2

F

H

GG

I

K

JJ

F

H

GG

I

K

JJ

=

F

H

GG

I

K

JJ

Ejercicio. Comprobar que:

2 1 0 2 8 12 0 8 3 −

F

HG

I

KJ

=

F

_HG

−

I

_KJ

2.4. Matriz traspuesta

Dada una matriz se define la matriz traspuesta de A, que se representa por , como aquella matriz que tiene como elemento en la posición (i, j) al elemento a de A.

A=

c h

a_ij At

ji

En otras palabras, es una matriz que tiene por filas las columnas de A, o lo que es lo mismo, por columnas las filas de A.

(6)

Algunas de las propiedades de la transposición de matrices son las siguientes: - Si A es una matriz de orden m x n ⇒ At es una matriz de orden n x m. - Si A es una matriz columna ⇒ At es una matriz fila.

- Si A es una matriz fila ⇒ At es una matriz columna. - A es una matriz simétrica ⇔ A₌ At_.

- (A B₊ )t ₌ At ₊Bt.

t

- (α⋅A)t = ⋅α At. - (A B_⋅ )t ₌ B At_⋅ . - (At t) ₌ A.

donde A y B son matrices que, en cada caso, hacen compatibles las operaciones en las que intervienen y donde α es un escalar real o complejo.

Otro concepto relacionado con la transposición de matrices es el de matriz antisimétrica. Se dice que una matriz A es antisimétrica si A_{= −}At_.

Ejercicio. Comprobar que la siguiente matriz es antisimétrica:

A= − − −

F

H

GG

20 02 32

I

_K

JJ

3 2 0

2.5. La inversa de una matriz

Si es una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible o no singular si existe una matriz B tal que:

A=

c h

a_ij

A B B A I⋅ = ⋅ = _n.

Si existe tal matriz B se dice que es matriz inversa de A. En caso de que no exista matriz inversa de A se dice que la matriz A es singular o no invertible.

Teorema. Si una matriz A tiene inversa, ésta es única.

Demostración. Supongamos que A admite matriz inversa y que tanto B como C son

inversas de A, siendo B C≠ . En tal caso se tendría que:

B A⋅ = ⋅ =A C I_n

Por tanto:

B B I= ⋅ = ⋅_n B A C( ⋅ ) (= B A C I C C⋅ )⋅ = ⋅ = ⇒ =_n B C

lo cual significa que hemos obtenido un resultado absurdo (pues contradice la hipótesis de partida), debiéndose concluir que sólo puede existir una única matriz inversa de A.

(7)

El resultado establecido en el teorema anterior permite que podamos hablar de la

inversa de una matriz, puesto que es única. También cabe mencionar que a la inversa de una matriz A suele denotársele por A−1.

Ejemplos.

1. Dadas las matrices:

A=

F

_HG

I

_KJ

B= − −

F

HG

I

KJ

2 3 2 2 ; 11 321 comprobar que A es invertible y que B es su inversa.

Solución: Para resolver este problema basta comprobar que A B B A I⋅ = ⋅ = ₂. En primer lugar: A B⋅ =

F

_HG

I

_KJ

⋅ − I −

F

HG

I

KJ

=

F

HG

I

KJ

= 2 3 2 2 ₁1 32₁ 1 0 0 1 2

y análogamente ocurre cuando hacemos B⋅A. Por tanto deberá concluirse que A es

invertible y que B es su inversa.

2. Encontrar la matriz inversa de:

A=

F

_HG

1 2

I

_KJ

3 4 .

Solución: Para resolver este problema consideraremos la matriz inversa como una

matriz incógnita: A x y x y − ₌

F

HG

I

KJ

1 1 1 2 2

a la que exigiremos que verifique: . Así se obtienen dos sistemas de

ecuaciones: A A⋅ −1= I 2 x x x x y y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 4 0 2 0 3 4 + 1 = + = + = + =

cuyas soluciones son precisamente los elementos de la matriz inversa A−1.

A la hora de utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver los sistemas anteriores, se observa que ambos comparten la misma matriz de los coeficientes, mientras que la matriz ampliada de los mismos varía solamente en la columna correspondiente a los términos independientes. Por tanto, podemos considerar que los pasos a seguir en el proceso de eliminación en ambos sistemas son los mismos, surgiendo diferencias únicamente en la columna correspondiente a los términos independientes. Motivados por este hecho podemos convenir que la resolución de los dos sistemas se realice de forma simultánea. Para ello construimos una matriz formada por la matriz de los coeficientes (común a ambos) seguida de dos columnas: la primera de ellas la matriz columna de los términos independientes del primer sistema y la segunda la de los términos independientes del segundo sistema:

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1 2 3 4 1 0 0 1

F

HG

I

KJ

Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan a esta matriz se obtiene la matriz:

1 0 0 1 2 1 3 2 12 − −

F

HG

I

KJ

la cual proporciona directamente la solución de ambos sistemas: la del primero en la primera columna de términos independientes y la del segundo en la segunda columna. En otras palabras, y dado que tales soluciones son los elementos de la matriz inversa de A, se ha obtenido A−1: A− ₌ − −

F

HG

I

KJ

1 2 1 3 2 12 .

Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

El procedimiento seguido en el ejemplo anterior puede generalizarse para determinar la matriz inversa de cualquier matriz cuadrada no singular A. Para ello, si A es una matriz de orden n, basta considerar la matriz

c

A I_n

h

y aplicar a la misma el método de eliminación de Gauss-Jordan hasta convertir A en una matriz escalonada reducida por filas. En concreto, el objetivo es convetir A en la matriz identidad . Siempre que esto sea posible se tiene que la matriz de la derecha es la matriz inversa de A, es decir habremos convertido

I_n A I_n

h

c

en

c

I_n A−1

h

_.

En realidad, lo que consigue este algoritmo es resolver simultáneamente n sistemas de ecuaciones lineales que comparten la misma matriz de los coeficientes (A), teniendo cada uno de ellos como términos independientes a una de las columnas de la matriz identidad.

Nota: Tal y como se indicaba con anterioridad la matriz inversa de una matriz A no siempre existe, por lo que no es de extrañar que en muchos casos al aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan no sea posible convertir A en la matriz identidad de orden n. Este hecho significaría que A no es una matriz invertible.

Ejercicio: Determinar, si es posible, la matriz inversa de

A=

F

_HG

1 2

I

_KJ

2 4

(9)

−1

Propiedades de la inversa de una matriz

- (A B⋅ )−1=B−1⋅A . - (At)−1 ₌(A−1)t. - (A−1)−1₌ A.