Tema 06: Derivación implícita, vector gradiente y derivadas direccionales

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Tema 06:

Derivación implícita, vector gradiente y derivadas

direccionales

Juan Ignacio Del Valle Gamboa

Sede de Guanacaste Universidad de Costa Rica

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Tabla de Contenidos

1 Derivación implícita

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Tabla de Contenidos

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Introducción

Ejemplo

Se ha estudiado la derivación hasta el momento para funciones explícitamente dependientes de dos o tres variables (por ejemplo:

z=f(x,y) =y2ex+y.

Considerar el caso de una superficie cuádrica como la esfera:

(x−a)2+ (y−b)2+ (z−c)2 = R2

Geométricamente, tiene sentido interpretar la razón de cambio dez

respecto axyy. Pero no puede calcularse con los métodos estudiados

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Introducción (2)

No se puede despejar la variablezcomo

función inequívoca en términos dexyy.

Pero sí podríamos intuir quezvaría conforme

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Metodología

Método

Se redefine la expresión de la esfera con una función auxiliarF(x,y,z), la cual se obtiene de mover todos los términos de la misma a un lado de la igualdad:

F(x,y,z) = (x−a)2+ (y−b)2+ (z−c)2−R2 = 0

Podemos estudiar la dependencia de las funciones y variables con el método del árbol de dependencias.

Derivando a ambos lados la expresión

F(x,y,z) =0, se pueden obtener las

expresiones buscadas para las derivadas parciales dez. F y z y x x

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Metodología

Respecto ax F(x,y,z) = 0 ∂F ∂x = ∂F ∂x + ∂F ∂z ∂z ∂x = 0 2(x−a) +2(z−c) ∂z ∂x = 0 Respecto ay F(x,y,z) = 0 ∂F ∂y = ∂F ∂y + ∂F ∂z ∂z ∂y = 0 2(y−b) +2(z−c) ∂z ∂y = 0

De las expresiones finales, es fácil despejar las expresiones requeridas para las derivadas _∂∂z_x y ∂_∂_yz.

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Definición formal

Derivación implícita

SeaF(x1,x2, ...,xi, ...,xn) =0 una expresión que define implícitamente a la

variablexicomo función de otras variables cualesquiera

xi=g(y1,y2, ...,yi, ...,yn). La derivada parcial dexirespecto ayise define

como ∂xi ∂yi = − ∂F ∂yi ∂F ∂xi

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Trucos y observaciones

Debe entenderse bien la diferencia entre la cantidad de argumentos de una función, y la cantidad de variables de la que depende.

Ejemplo: seaF(xz2_,_y₊_log_{(z)) =}_{0 la expresión que define}

implícitamente azcomo función dexyy. Entonces, la funciónF

depende dedos argumentosy detres variables.

Para crear el árbol de dependencias en estos casos, se sugiere dar un

nombreauxiliara cada uno de estos argumentos. En el caso del ejemplo,

F(u,v) =0, conu=xz2,v=y+log(z), yz=f(x,y).

Tener precaución cuando se combinan expresiones de funciones no especificadas y expresiones algebraicas conocidas. Ejemplo:

F(xz,yez,xyz) +3xy2z=0. Dar un nombre de función auxiliara toda la expresión que se encuentra a un mismo lado de la igualdad:

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Tabla de Contenidos

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Motivación

En la analogía de la altitud como función de la latitud y longitud, vimos como las derivadas parciales corresponden al cambio en la altitud conforme se avanza en dirección sur-norte o oeste-este.

¿Qué sucede si se decide avanzar en dirección sureste, o alguna otra dirección completamente arbitraria?

Laderivada direccionalpermite calcular la razón de cambio de un campo escalar respecto a una dirección arbitraria en el subespacio de las

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Formulación

Se desea conocer la razón de cambio de la

funciónz=f(x,y)para el punto

P₀ = (x0,y0,z0)en la dirección del vector

arbitrario~v= (vx,vy).

Definamos la ecuación de la línea recta, en el plano de dos dimensiones, que pasa por el punto(x0,y0)y lleva la dirección del vector~v:

(x,y) = (x0,y0) +t(vx,vy).

Re-definamos esta recta normalizando el

vector~v, para quevariaciones en el parámetro

tno estén ligadas a la magnitud del vector director de la recta:(x,y) = (x0,y0) +t(ux,uy)

con~u= _|~_~v_v_|.

Ahora se puede estudiar la variación de la

funciónzrespecto al parámetrot, utilizando la

teoría de derivación implícita.

z

y x

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Definición

De acuerdo con las consideraciones anteriores, podemos definir la derivada direccional de la siguiente forma:

Definición

Se define laderivada direccionalde la funciónzen la dirección del vector~v

como D~uz(x,y) = ∂z ∂x dx dt + ∂z ∂y dy dt = ∂z ∂x ux+ ∂z ∂y uy

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Vector Gradiente

Reacomodando la definición anterior, podemos escribir:

D_~uz(x,y) = ∂z ∂x ux+ ∂z ∂y uy = ∂z ∂x, ∂z ∂y ·~u

El vector gradiente para campos de dos variables

Se define comovector gradienteal vector−∇→z=_∂∂_xz,∂_∂z_y

Entonces resumimos así la definición dederivada direccional

D~uz(x,y) = −→ ∇z·~u

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Vector Gradiente: utilización

De la definición de la derivada direccional, y re-expresando el producto punto, se obtiene: D_~uf(x,y) = −→ ∇f ·~u D_~uf(x,y) = k −→ ∇fkcosθ

Por lo tanto, el máximo valor de la derivada direccional se da cuando−∇→f k~u, y su valor es nulo cuando−∇→f ⊥~u.

Vector gradiente y razón de cambio

El vector gradiente indica ladirección en la cual la función posee la

derivada máxima (creciente).

La dirección opuesta al vector gradiente indica, por lo tanto, hacia dónde la función tiene el valor mínimo (decreciente).

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Vector gradiente y curvas de nivel

Los corolarios anteriores nos llevan inmediatamente a la siguiente conclusión: Para un campo escalarz=f(x,y), el vector gradiente−∇→z=∂_∂_xz,_∂∂z_y

evaluado en un puntoP, será perpendicular a la curva de nivel que pasa porP.

Ejemplo: demostrar que los corolarios también implican quelos ríos siempre

descienden de las montañas en ladirección opuestaal vector gradiente (y

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Vector gradiente y superficies de nivel

Siguiendo el mismo razonamiento, se puede demostrar que el vector gradiente de un campo escalar de tres variables independientes es perpendicular a sus superficies de nivel:

Teorema

Para un campo escalarw=f(x,y,z), el vector gradiente−→∇w=

∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂z

evaluado en un puntoP= (x0,y0,z0)es perpendicular a la superficie de nivel

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Vector normal a una superficie

El resultado anterior se puede utilizar para obtener el vector normal a una superficie en R3:

Gradiente y vector normal

SeaS: f(x,y,z) =0 la ecuación de una superficie en R3yPun punto

ubicado en dicha superficie. Entonces,

−→

∇fP ⊥ S

será el vector normal a la superficie que pasa porP.

Esta derivación se basa en interpretar a la superficieScomo una superficie de

nivel particular de un campo escalar (auxiliar y desconocido)w=f(x,y,z).

De esta forma puede obtenerse elplano normala una superficie dada