TEMA 7 PARTE 2

7.4 APLICACIONES DE LA DERIVADA

CÁLCULO DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA (FUNCIÓN) Si tenemos una función y=f(x) y queremos calcular la ecuación de la recta

tangente en un punto concreto x = a , ya vimos antes que necesitamos de la derivada puesto que la ecuación de la recta tangente es : r y f at : − ( )=f a x a'( )·( − )

Así, por ejemplo, para la función _y=x2 _{,la ecuación de la recta tangente en el}

punto de abscisa x = 3, se calculara de la forma siguiente:

En primer lugar necesitamos las dos coordenadas del punto, como en este caso solo tenemos la primera coordenada, obtendremos la segunda sustituyendo en la función; esto es y(3)₌32 ₌9 _{. Es decir, el punto de tangencia es el punto}

P(3,9). Ahora necesitamos la derivada de la función pero en el punto x = 3, es decir: Derivamos la función y luego sustituimos el valor 3.

x · 2 '

y= ⇒ y'(3)₌2·32 ₌18_{. Entonces la pendiente de la recta tangente}

es 18 y la ecuación será: y−9=18·(x−3). Si ahora hacemos las operaciones nos

queda la ecuación y=18x−45

DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN (INTERVALOS DE MONOTONÍA)

Una función y=f(x) la llamamos creciente si los valores que toma dicha

función son cada vez mayores según aumenta el valor de la variable, dicho de otra manera, si para cada par de valores de x: a y b donde a < b, entonces: f(a) < f(b). Por utilizar similitud con las derivadas, vamos a llamar a los valore a y b, x y x + h, entonces quedaría así: f(x) es creciente si para cada par de valores f(x)<f(x+h)

f(x) es creciente si para cada par de valores f(x)<f(x+h)

f(x) es constante si para cada par de valores f(x)=f(x+h)

f(x) es decreciente si para cada par de valores f(x)>f(x+h)

Entonces fijémonos que ocurre con las tasas de variación media,

f(x) es creciente si para cada par de valores f(x+h)−f(x)>0

f(x) es constante si para cada par de valores f(x+h)−f(x)=0

f(x) es decreciente si para cada par de valores f(x+h)−f(x)<0

Es decir 0 h ) x ( f ) h x (

f + − _>

para las funciones crecientes; 0 h ) x ( f ) h x (

f + − ₌

, para

las funciones constantes y 0 h ) x ( f ) h x (

f + − _<

, para las decrecientes.

En resumen: Si la derivada de una función en un intervalo [a,b] es positiva, la función será creciente, si es igual a cero, entonces la función es constante y si es negativa, la función será decreciente

El problema que se plantea ahora es, normalmente, un función no es ni totalmente creciente ni totalmente decreciente así que ¿como hallar los intervalos donde la función es creciente y decreciente (intervalos de monotonía) ?

Consideremos la función _y=x4 _−2x2_{, vamos a calcular los intervalos de}

monotonía, en realidad solo tenemos que saber para que valores de x, f'(x) >0 y para cuales menor que cero, es decir, solo estamos resolviendo inecuaciones:

x 4 x 4 '

y₌ 3 _{− En primer lugar buscamos los valores que anulan la derivada y}

0 x 4 x

4 3 _{− = Ecuación de grado 3, que resolveremos como podamos (es}

decir aplicando criterios conocidos como son la regla de Ruffini o sacar factor común) 4x(x2 ₋1)₌0 _{que tiene por solución los valores : x= 0, x= -1, x = 1.}

Ahora mediante la tabla de signos decidiremos los intervalos en los que la derivada es positiva o negativa:

-1 0 1

4x

_{- - + +}

_{- - - +}

_{- + + +}

f'(x)

_{- + - +}

Monotnonia

Es decir la función será creciente en

(

) ( )

y decreciente en

(

) ( )

DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD: PUNTOS DE INFLEXIÓN

Estudiar la curvatura de una función consiste en hallar los intervalos en los que es

cóncava

∪

∩

Si nos fijamos en las figuras, podemos ver que el crecimiento ( o decrecimiento) para las funciones lineales es siempre igual, para las cóncavas el ritmo de crecimiento es cada vez mayor (o de decrecimiento) y para las convexas va disminuyendo. Es decir, la tasa de variación media es constante, creciente o decreciente respectivamente. Con lo cual, si analizamos la función derivada esta tendrá que ser constante, creciente o decreciente. Por ejemplo, si consideramos la función _y=x2_{, su derivada es y'=2x, esta función es un recta creciente, lo que}

quiere decir que la función _y=x2_{es cóncava.}

donde negativa, de forma análoga a como lo hicimos para estudiar la monotonía de una función.

Por ejemplo. consideremos la función _y=x4 _−6x2

Para decidir en que intervalos la función es cóncava y en cuales convexa, debemos estudiar la monotonía de la derivada: y'₌4x3 ₋12x_{; es decir derivamos}

esta función y''₌12x2 ₋12 _{y ahora veamos en que intervalos es positiva y en que}

intervalos es negativa. Al igual que hicimos en el apartado anterior, calcularemos en primer lugar en que puntos es cero.

1 x 0

12 x

12 2 _{− = → =± . Hacemos ahora una tabla de signos}

-1 +1

12 (x+1)

- - +

(x-1)

- + +

Y''

+ - +

Curvatura

∪

∩

∪

Es decir la función será cóncava en los intervalos

(

) ( )

y convexa en

(

)