MODULO III Distribución Normal y asociadas

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PROBABILIDADES Y ESTADISTICA

Notas y guía de ejercicios

MODULO III

-1.10 8.62 18.33 28.05 37.77 4.30 9.03 13.75 18.48 23.20 C rS

0.00 3.75 7.50 11.25 15.00

Variable 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 D e n s id a d

Función de densidad

1.84 3.36 4.88 6.40 7.92 9.45 10.97 12.49 14.01 PbS 0.00 0.07 0.15 0.22 0.29 fre cu e n ci a re la ti va

-8.66 -4.33 0.00 4.33 8.66 Variable 0.00 0.09 0.18 0.28 0.37 D e n si d a d

Función de densidad

T Student(3): p(evento)=0.9500

UNIDAD IV: DISTRIBUCION NORMAL Y ASOCIADAS

De entre todas las distribuciones continuas tiene especial relevancia la distribución Normal o de Gauss. Aparece frecuentemente en las situaciones más variadas. Las variables que presentan una distribución Normal tienen características comunes tales comola acumulación de valores en torno al valor de la media, la simetría en la distribución de los valores y escasos valores alejados de la media, por ejemplo:

 Caracteres morfológicos de individuos: altura, peso, número de pie, tamaño del palmo, etc.

 Características de la mayoría de los productos de consumo: duración de las lamparitas, resistencia a la rotura de muebles o de piezas, duración de los electrodomésticos, etc.

 Calificaciones obtenidas en cursos, asignaturas y exámenes.

Se dice que una variable aleatoria continua sigue una distribución normal de media  y desvío, y se escribe 





2

2 1

2

1

)

(

     









x

e

x

f

La gráfica de esta función de densidad tiene forma de campana, y se denomina “campana de Gauss”.

Las Propiedades de la función f(x) se deducen analíticamente con cálculos de análisis funcional, aprecian en su gráfica y son:

 f(x) tiene por dominio (,).

 f(x) es continua en su dominio.

 f(x) es simétrica respecto a la recta x=μ.

 f(x) tiene un máximo absoluto en ) 2 1 , (

  

 f(x) tiene dos puntos de inflexión en x= μ+σ y x=μ-σ.

 f(x) es siempre positiva y asintótica con respecto al eje OX.

Media: E [X]=μ

La función de densidad f(x) presentaba un máximo para x= μ ,lo cual nos indica que el parámetro μ es la moda de la distribución.

En consecuencia diremos que en una distribución N( μ,σ), la media, la mediana y la moda coinciden con el parámetro μ.

Varianza. VAR[X] = σ²

Luego el parámetro σ que utilizamos en la N( μ,σ) es la desviación típica de la distribución.

Para el cálculo de probabilidades usamos la función de distribución:

dt e dt t f x X P X F x t x









Para x=a este valor representa la probabilidad de que la v.a. X tome valores menores o iguales que a y graficamente representa el área encerrada bajo la curva, el eje OX y la recta x=a.

La familia de la distribución de probabilidad normal

Cuando se habla de la distribución normal, realmente se está hablando de una familia de curvas. Como se puede apreciar en la función de la curva normal, la curva depende de dos variables además de la variable independiente x, tales como la media (µ), y la desviación estándar (σ). Por lo tanto se tendrán curvas diferentes para funciones con desviación estándar diferente aún cuando sus medias fuesen iguales, como se muestra enseguida.

Curvas normales con media igual y desviación estándar diferente.

Si por el contrario, las curvas tienen desviación estándar igual y la media es diferente, las curvas serán idénticas pero centradas en diferente posición en el eje horizontal.

Curvas normales con desviación estándar igual y media diferente

Curvas normales con media diferente y desviación estándar diferente

La distribución normal estándar

El área bajo la curva normal y sobre el eje x es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria x tome un valor dentro de cierto intervalo. Para medir esta área es necesario calcular la integral de la función de la curva normal para un intervalo de valores.

La integral asociada a la distribución normal, no puede calcularse a partir de una expresión funcional, sino que se utilizan métodos numéricos para aproximar su valor. Como el número de distribuciones normales es ilimitado sería una tarea sin fin intentar establecer tablas aproximada de probabilidad para cada combinación de  y . Afortunadamente, un miembro de la familia de las distribuciones normales puede ser usado en todos los problemas donde la distribución normal es aplicable, esta es la distribución normal con media cero y desviación estándar 1, la cual es llamada distribución normal estándar.

Cada distribución normal deberá estandarizarse, es decir, transformarse a una distribución normal estándar, utilizando un valor z, o variable aleatoria estándar.

Valor Z: Distancia entre un valor seleccionado, denominado X, y la media de la distribución, en unidades de una desviación estándar: 𝑧 =𝑥−𝜇

𝜎 .

Z resulta entonces una variable normal con media 0 y desvio 1.

Áreas bajo la curva normal

Si se quiere saber la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores dentro de determinado rango, se necesitaría calcular el área bajo la curva, resolviendo la integral de la función para ese rango de valores.

Una característica que tiene cualquier distribución normal es que el área bajo la curva, que representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome ciertos valores, se distribuye en la misma proporción.

Para facilitar los cálculos se tabularon las áreas bajo la curva normal que se encuentran a la derecha de algunos de los valores Z, de esta forma ya no es necesario resolver integrales, solo se necesita transformar la distribución normal de interés en una distribución normal estándar mediante la fórmula, y el área a la derecha del valor z será el mismo que el área a la derecha de x.

Ejemplo

a) Tenga un coeficiente mayor de 120. b) Tenga un coeficiente menor de 100. c) Tenga un coeficiente menor de 122. d) Tenga un coeficiente entre 115 y 125.

Solución.

a) Hay una distribución normal con media 115 y desviación estándar de 12 y queremos saber cual es la probabilidad de que x sea mayor de 120, es decir, cuanto mide el área a la derecha del 120.

Lo primero es transformar esta distribución normal en una distribución normal estándar (con media cero y desviación estándar 1), para lo cual hay que cambiar el valor de x por un valor Z con la fórmula.

𝑧 =𝑥−𝜇

𝜎 =

120−115

12 = 0.41.

𝑃(𝑋 < 120) = 𝑃(𝑍 > 0.41) = 1 − 𝑝(𝑍 ≤ 0.41)

La distribución ya transformada queda así:

Se busca el valor del área a la derecha del valor Z en la tabla de áreas bajo la curva normal, la unidad y el primer decimal se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en el primer renglón, donde se cruzan renglón y columna es el valor del área a la derecha del valor z. En este ejemplo,

Z 1

0.4 0.6591

pero indica la probabilidad de ser menor a 0.41, luego el área a la derecha del valor z es 1-0.6591, es decir, la probabilidad de superar a 120 es 0.3409.

b) Para encontrar la probabilidad de que un aspirante tenga un coeficiente intelectual menor de 100, primero se traza la curva de la distribución normal original, para luego transformarse en la distribución normal estándar. El valor z se calcula con la fórmula:

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎 =

100 − 115

En la tabla de áreas bajo la curva normal no se tabularon valores z negativos, pero como la curva normal es simétrica, el área a la izquierda del valor z = -1.25 es del mismo tamaño que el área a la derecha del valor z = 1.25, por lo que el área correspondiente al valor positivo, es 1-0.89435.

c) Para encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor de 122, hay que estandarizar la distribución obteniendo el valor z correspondiente al valor de x = 122, que resulta, Z<0.58, luego, la tabla nos devuelve directamente el area asociada, que es de 0.71904

d) Para encontrar el área que se encuentra entre x = 115 y x = 125 hay que encontrar el área a la izquierda de cada uno de esos valores. A la izquierda de 115 ( la media ) el área es .5, para encontrar el área a la izquierda de 125 hay que encontrar en la tabla el valor z correspondiente.

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎 =

125 − 115

12 = 0.83

P( 115 < x < 125 ) = P(0<Z<0.83)=0.79673 - 0.5 = 0.29673

Otras Propiedades

1. Propiedad reproductiva.

La suma de n variables aleatorias independientes, X X1, 2,...,Xn y distribuidas según una N



 

,





2 2

1 ... n

   )

2. Si X X1, 2,...,Xn son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, según una N(μ,σ), entonces la variable aleatoria suma de las n variables Y=X1X2 ... Xn sigue una distribución N( nμ, n)

3. Si X X1, 2,...,Xn son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, según una N(μ,σ), entonces la variable aleatoria media aritmética de estas n variables _X X1 X2 ... Xn

n

  

 sigue una

distribución N(μ ,σ/ n).

Distribución Ji- cuadrado

En estadística, la distribución ji-cuadrado, también denominada ji-cuadrado de Pearson, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria:

2 2

1

....

Z

Z

X







donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno, es decir estandarizadas. Esta

distribución se expresa habitualmente 2

n ~

X  .

Propiedades

1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.

2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.

3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). 6. El valor modal de una distribución X2se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

para x>0

La tabla que se utiliza muestra el área a la derecha del valor de abscisa, según sus gl.

La distribución cuadrado tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística, por ejemplo en el test ji-cuadrado y en la estimación de varianzas. También está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal.

Distribución F de Fisher - Snedecor

Esta distribución es usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se la conoce como distribución F de Snedecor o como distribución F de Fisher-Snedecor. Una variable aleatoria de distribución F se construye como cociente de dos variables de distribución Chi-cuadrada:

𝑈1/𝑑1 𝑈2/𝑑2

donde U1 y U2 tienen una distribución chi-cuadrado de d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y U1 y U2

son estadísticamente independientes.

Distribución t de Student

Esta distribución fue desarrollada por William Gosset, un trabajador de la cervecería Guinness en Irlanda, quien la publicó utilizando el seudónimo de “Student”. Gossett se interesó en el comportamiento del valor z cuando se utilizaba S en vez de σ, y particularmente en la discrepancia entre S y σ cuando S se calcula de muestras muy pequeñas.

Las características de la distribución t son: 1. Es una distribución continua.

2. Tiene forma de campana y es simétrica.

3. Es una familia de curvas. Todas tienen la misma media de cero, pero sus desviaciones estándar difieren de acuerdo al tamaño de la muestra.

TRABAJO PRACTICO

4.1 Dada una v.a. X~ N (0,1). Hallarelárea bajo la curva encada uno de lossiguientes casos a) Entre w=0 y w=1.5

b) Entre w=-1.2 y w=0 c) Entre w=0.48 y w=1.85 d) A la izquierda de w=1.96 e) A la izquierda de w=-1.96 f) A la derecho de w=-2.2 g) A la derecho de w=1.95

4.2SiZesuna variablenormalestandarizada, hallarlosvaloresde k: a)P[Z ≤k]= 0,45

b)P [Z≥k]= 0,99 c)P[Z ≥k]= 0,05 d)P[Z≤k]=0,25

4.3Dadaunadistribución normalconmedia13ydesvíoestándar10,hallar:

a)P[X] b)P[X15] c)P[12 X 14] d)P[X>17]

e)P[-2<X<+2] f)P[-3<X<+3]

4.4Dadaunadistribución normalconmedia100y desvíoestándar10,hallar: a)x1 talqueP[X>x1]=0,5

b)x2 talqueP[X_x2]=0,10 c)x3 talqueP[X x3]=0,10 d)x4 talqueP[X x4]=0,025

4.5 Para n = 9 grados de libertad en la distribución de t de Student hallar los valores de t0 tales

que:

a) Elárea aladerecha de t0 es0,10.

b) Elárea alaizquierda de t0es0,95.

c) Elárea ala derecha de t0 es0,99.

d) Elárea alaizquierda de t0 es0,90.

e) Elárea entre- t0 yt0 es0,95.

f) Elárea ala derecha de t0más elárea alaizquierda de -t0es0,05.

4.6 Suponiendo una distribución ji-cuadrada, con n= 14grados de libertad hallar el valor de variable tal que:

a) El area a la derecha de 𝜒𝑐2es 0.05

b) El area a la izquierda de 𝜒𝑐2es 0.99

c) El area entre 𝜒_𝑐2

1𝑦𝜒𝑐220.975, siendo el area a la derecha de 𝜒𝑐22de 0.025

4.7 Suponiendo una distribucion F hallar el valor de 𝐹𝛼, tal que:

a) P(F>𝐹𝛼)=0.05,paran1=12yn2=7

b) P(F<𝐹𝛼)=0.95,paran1=8yn2=6

c) P(F< F𝛼)=0.90,paran1=10yn2=5

4.8 Se asume que el tiempo necesario para atender a cada persona en una ventanilla de una oficina está normalmente distribuida, conun promedio de 130 segundos y un desvío estándar de 45 segundos. ¿Cuáles la probabilidad de que un individuo seleccionadoaleatoriamente:

a) Requiera¿menosde 100segundospara terminarsu trámite? b)¿Pase entre 2y3minutosen laventanilla?

4.9. Se sabe que la concentración media de NH3 (amonio) en sangre venosa de individuos normales de una población, es de 110 microgramos por mililitro, y que la concentración de NH3 del 99% de los individuos se encuentra entre 85 y 135 microgramos por mililitro.

a) Calcular el desvío de la concentración de NH3 en la población b) Entre que dos valores se encuentra el 70 % central de la población?

c) que porcentaje de la población tiene valores de NH3 mayores a 135 microgramos por mililitro; d) menos de 9 microgramos por mililitro;

e) entre 85 y 100 microgramos por mililitro

4.10 Un trabajador recibirá un premio de 3000, 2000 o 1000 , pesos según el tiempo que tarde en realizar un trabajo en menos de 10 horas, entre 10 y 15 horas y más de 15 horas, respectivamente. El tiempo necesario para realizar el trabajo se considera normal con promedio 13 hs y desvío de 2.5 hs.

a) Hallar la esperanza y la función de probabilidad de la variable aleatoria X=premio recibido.

2. Definir una nueva variable aleatoria, Y, con valor 1 si tarda menos de 10 horas y valor 0, en caso contrario. Obtenga distribución de probabilidad, su esperanza y varianza

4.11 Laslongitudes de untipo de tornillos estándistribuidos normalmente con media 2y varianza 0,0004. Los tornillos se consideran defectuosos cuando sulongitud se diferencia de la longitud promedio en más de 0,025cm. ¿Qué porcentajede tornillosson defectuosos:

a)¿por serdemasiado cortos? b)¿por serdemasiado largos?

c)¿Enquéintervaloestáncomprendidas laslongitudes del 99%de lostornillos?

4.12 Elgastodiario por alimentos para familias de cuatro personas en la pcia.de Buenos Aires es de $300, con una desviación de $80. Suponiendo que los gastos diarios por alimentos están normalmente distribuidos:

a)¿quéporcentajes de estos gastos son inferiores$350?

b)¿qué porcentajesde estos gastos seencuentran entre$250$350? c)¿qué porcentajes de estos gastos seencuentran entre $250y$400?

d)¿quéporcentajes de estos gastos son inferiores a$250ósuperioresa$400? e)Determinar elgastoQ1 yel Q3

4.13 El cobro por llamadas telefónicas delarga distancia a Centroamérica sigue una distribución normal con media $21. Encontrar el desvío si el 80% de las llamadas tiene un cobro superior a $17,50.

90% de las veces el peso de la correspondencia está por debajo de 115kg. a) ¿Cuál es la desviación estándar de esta distribución?

b) El 5% de las veces el peso de la correspondencia semanal es mayor a ¿qué valor?

4.15 Según el reglamento, el diámetro exterior D de una flecha debe ser 4mm. D es una variable aleatoria normal con media 4 mmy varianza 0,01mm2. Siel diámetro real de una flechase diferencia del reglamentario en más de 0,05mm pero en menos de 0,08mm, el fabricante pierde $ 0,5; si la diferencia es superior a 0,08mm, pierde $1. Encontrar la distribución de probabilidades de la pérdida Pysu esperanza.

4.16 La variable “el gasto promedio en artículos de perfumería por mes de un adolescente se distribuye normalmente con una dispersión de $70.Se sabe que la probabilidad de un adolescente gastemenosde $200esde 0.0668:

a) ¿Cuál es el gastado promedio por adolescente?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adolescente gaste en perfumería menos de $ 200 si los v a l o r e s aumentan en un 10%?

4.17 Las longitudes de las barras de acero producidas por una fábrica es una variable aleatoria continua X con funciónde densidad normalde media μ=31.6 pies yuna varianzade0.2025 pies2 a)Calcular lap(31.6<X<32.5/32<X<32.6)

b) Calcular el máximo valor del 25% inferior de las longitudes inferiores. c) Determine el intervalo que contiene el 95% central de la distribución de X.

d) Si se mantiene la varianza ¿Cuál debe ser la media de X para que las barras cortas constituyan el

0.1%? Suponga que las barras son consideradas cortas si su longitud es menor a 30 pies.

Tabla 1 (cont.): Area acumulada bajo al curva normal (0,1) entre -



y

z

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586

0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 .57535

0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409

0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173

0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793

0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240

0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490

0.7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524

0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327

0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891

1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214

1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298

1.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147

1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91308 .91466 .91621 .91774

1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189

1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408

1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449

1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327

1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062

1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670

2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169

2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574

2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899

2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158

2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361

2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520

2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643

2.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736

2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807

2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861

3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900

3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929

3.2 .99931 .99934 .99936 .99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950

3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965

3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 .99976

3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983

3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989

3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 .99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992

3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995

Tabla 2: Distribucion de “t” de Student

P(t

< t

)= 1-



 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656

2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106

12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055

13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012

14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977

15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921

17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898

18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878

19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797

25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771

28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763

29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756

30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704

50 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678

60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660

80 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639

100 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626

200 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601

500 1.283 1.648 1.965 2.334 2.586

Tabla 3: Cuantiles de la distribución de Chi-cuadrado

 0.001 0.01 0.025 0.05 0.1 0.5 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995

1 0.000 0 0.001 0.004 0.016 0.455 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879

2 0.002 0.02 0.051 0.103 0.211 1.386 4.605 5.992 7.378 9.21 10.597

3 0.024 0.115 0.216 0.352 0.584 2.366 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838

4 0.091 0.297 0.484 0.711 1.064 3.357 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860

5 0.210 0.554 0.831 1.146 1.61 4.352 9.236 11.071 12.833 15.086 16.750

6 0.381 0.872 1.237 1.635 2.204 5.348 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548

7 0.598 1.239 1.69 2.167 2.833 6.346 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278

8 0.857 1.647 2.18 2.733 3.49 7.344 13.362 15.507 17.535 20.09 21.955

9 1.152 2.088 2.7 3.325 4.168 8.343 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589

10 1.479 2.558 3.247 3.94 4.865 9.342 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188

11 1.834 3.054 3.816 4.575 5.578 10.341 17.275 19.675 21.92 24.725 26.757

12 2.214 3.571 4.404 5.226 6.304 11.34 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300

13 2.617 4.107 5.009 5.892 7.042 12.34 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819

14 3.041 4.66 5.629 6.571 7.79 13.339 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319

15 3.483 5.229 6.262 7.261 8.547 14.339 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801

16 3.942 5.812 6.908 7.962 9.312 15.339 23.542 26.296 28.845 32 34.267

17 4.416 6.408 7.564 8.672 10.085 16.338 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718

18 4.905 7.015 8.231 9.39 10.865 17.338 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156

19 5.407 7.633 8.907 10.117 11.651 18.338 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582

20 5.921 8.26 9.591 10.851 12.443 19.337 28.412 31.41 34.17 37.566 39.997

21 6.447 8.897 10.283 11.591 13.24 20.337 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401

22 6.983 9.543 10.982 12.338 14.042 21.337 30.813 33.925 36.781 40.289 42.796

23 7.529 10.196 11.689 13.091 14.848 22.337 32.007 35.173 38.076 41.638 44.181

24 8.085 10.856 12.401 13.848 15.659 23.337 33.196 36.415 39.364 42.98 45.559

25 8.649 11.524 13.12 14.611 16.473 24.337 34.382 37.653 40.647 44.314 46.928

26 9.222 12.198 13.844 15.379 17.292 25.337 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290

27 9.803 12.879 14.573 16.151 18.114 26.336 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645

28 10.391 13.565 15.308 16.928 18.939 27.336 37.916 41.337 44.461 48.278 50.993

29 10.986 14.256 16.047 17.708 19.768 28.336 39.088 42.557 45.722 49.588 52.336

30 11.588 14.954 16.791 18.493 20.599 29.336 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672

40 17.916 22.164 24.433 26.509 29.051 39.335 51.805 55.759 59.342 63.691 66.766

50 24.674 29.707 32.357 34.764 37.689 49.335 63.167 67.505 71.42 76.154 79.490

60 31.738 37.485 40.482 43.188 46.459 59.335 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952

70 39.036 45.442 48.758 51.739 55.329 69.335 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215

80 46.520 53.54 57.153 60.392 64.278 79.334 96.578 101.88 106.629 112.329 116.321

90 54.155 61.754 65.647 69.126 73.291 89.334 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299

100 61.918 70.065 74.222 77.929 82.358 99.334 118.498 124.342 129.561 135.807 140.169

X2 (p,n)

Tabla 4: Cuantiles de la Distribución de F de snedecor

n1: gl numerador

n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.883 240.543 241.882 242.983 243.906

2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371 19.385 19.396 19.405 19.413

3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 8.763 8.745

4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912

5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678

6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.027 4.000

7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.603 3.575

8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.313 3.284

9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.102 3.073

10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.943 2.913

11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.818 2.788

12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.717 2.687

13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.635 2.604

14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.565 2.534

15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.507 2.475

16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.456 2.425

17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.413 2.381

18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.374 2.342

19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.340 2.308

20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.310 2.278

21 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.283 2.250

22 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.259 2.226

23 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 2.236 2.204

24 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 2.216 2.183

25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 2.198 2.165

26 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 2.181 2.148

27 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 2.166 2.132

28 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 2.151 2.118

29 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 2.138 2.104

30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 2.126 2.092

40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 2.038 2.003

50 4.034 3.183 2.790 2.557 2.400 2.286 2.199 2.130 2.073 2.026 1.986 1.952

80 3.960 3.111 2.719 2.486 2.329 2.214 2.126 2.056 1.999 1.951 1.910 1.875

100 3.936 3.087 2.696 2.463 2.305 2.191 2.103 2.032 1.975 1.927 1.886 1.850

Tabla 5: Cuantiles de la Distribución de F de Snedecor

n1 gl numerador

n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 39.863 2.444 9.162 2.693 9.293 2.551 9.349 2.469 9.381 2.416 9.401 2.379

2 8.526 9.000 9.162 9.243 9.293 9.326 9.349 9.367 9.381 9.392 9.401 9.408

3 5.538 5.462 5.391 5.343 5.309 5.285 5.266 5.252 5.240 5.230 5.222 5.216

4 4.545 4.325 4.191 4.107 4.051 4.010 3.979 3.955 3.936 3.920 3.907 3.896

5 4.060 3.780 3.619 3.520 3.453 3.405 3.368 3.339 3.316 3.297 3.282 3.268

6 3.776 3.463 3.289 3.181 3.108 3.055 3.014 2.983 2.958 2.937 2.920 2.905

7 3.589 3.257 3.074 2.961 2.883 2.827 2.785 2.752 2.725 2.703 2.684 2.668

8 3.458 3.113 2.924 2.806 2.726 2.668 2.624 2.589 2.561 2.538 2.519 2.502

9 3.360 3.006 2.813 2.693 2.611 2.551 2.505 2.469 2.440 2.416 2.396 2.379

10 3.285 2.924 2.728 2.605 2.522 2.461 2.414 2.377 2.347 2.323 2.302 2.284

11 3.225 2.860 2.660 2.536 2.451 2.389 2.342 2.304 2.274 2.248 2.227 2.209

12 3.177 2.807 2.606 2.480 2.394 2.331 2.283 2.245 2.214 2.188 2.166 2.147

13 3.136 2.763 2.560 2.434 2.347 2.283 2.234 2.195 2.164 2.138 2.116 2.097

14 3.102 2.726 2.522 2.395 2.307 2.243 2.193 2.154 2.122 2.095 2.073 2.054

15 3.073 2.695 2.490 2.361 2.273 2.208 2.158 2.119 2.086 2.059 2.037 2.017

16 3.048 2.668 2.462 2.333 2.244 2.178 2.128 2.088 2.055 2.028 2.005 1.985

17 3.026 2.645 2.437 2.308 2.218 2.152 2.102 2.061 2.028 2.001 1.978 1.958

18 3.007 2.624 2.416 2.286 2.196 2.130 2.079 2.038 2.005 1.977 1.954 1.933

19 2.990 2.606 2.397 2.266 2.176 2.109 2.058 2.017 1.984 1.956 1.932 1.912

20 2.975 2.589 2.380 2.249 2.158 2.091 2.040 1.999 1.965 1.937 1.913 1.892

21 2.961 2.575 2.365 2.233 2.142 2.075 2.023 1.982 1.948 1.920 1.896 1.875

22 2.949 2.561 2.351 2.219 2.128 2.060 2.008 1.967 1.933 1.904 1.880 1.859

23 2.937 2.549 2.339 2.207 2.115 2.047 1.995 1.953 1.919 1.890 1.866 1.845

24 2.927 2.538 2.327 2.195 2.103 2.035 1.983 1.941 1.906 1.877 1.853 1.832

25 2.918 2.528 2.317 2.184 2.092 2.024 1.971 1.929 1.895 1.866 1.841 1.820

26 2.909 2.519 2.307 2.174 2.082 2.014 1.961 1.919 1.884 1.855 1.830 1.809

27 2.901 2.511 2.299 2.165 2.073 2.005 1.952 1.909 1.874 1.845 1.820 1.799

28 2.894 2.503 2.291 2.157 2.064 1.996 1.943 1.900 1.865 1.836 1.811 1.790

29 2.887 2.495 2.283 2.149 2.057 1.988 1.935 1.892 1.857 1.827 1.802 1.781

30 2.881 2.489 2.276 2.142 2.049 1.980 1.927 1.884 1.849 1.819 1.794 1.773

40 2.835 2.440 2.226 2.091 1.997 1.927 1.873 1.829 1.793 1.763 1.737 1.715

50 2.809 2.412 2.197 2.061 1.966 1.895 1.840 1.796 1.760 1.729 1.703 1.680

80 2.769 2.370 2.154 2.016 1.921 1.849 1.793 1.748 1.711 1.680 1.653 1.629

100 2.756 2.356 2.139 2.002 1.906 1.834 1.778 1.732 1.695 1.663 1.636 1.612

Tabla 6: Cuantiles de la Distribución de F de Snedecor

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0.00619 0.05402 0.09874 0.12972 0.15133 0.16702 0.17884 0.18805 0.19541 0.20143 0.20643 0.21065 2 0.00501 0.05263 0.10469 0.14400 0.17283 0.19443 0.21109 0.22427 0.23494 0.24373 0.25111 0.25738 3 0.00464 0.05218 0.10780 0.15171 0.18486 0.21021 0.23005 0.24593 0.25890 0.26967 0.27875 0.28651 4 0.00445 0.05196 0.10968 0.15654 0.19260 0.22057 0.24270 0.26056 0.27525 0.28752 0.29791 0.30683 5 0.00434 0.05182 0.11095 0.15985 0.19801 0.22793 0.25179 0.27119 0.28722 0.30068 0.31212 0.32197 6 0.00427 0.05173 0.11185 0.16226 0.20201 0.23343 0.25867 0.27928 0.29641 0.31083 0.32314 0.33376 7 0.00422 0.05167 0.11253 0.16409 0.20509 0.23772 0.26406 0.28568 0.30370 0.31893 0.33197 0.34325 8 0.00419 0.05162 0.11306 0.16553 0.20754 0.24115 0.26840 0.29086 0.30964 0.32556 0.33921 0.35105 9 0.00416 0.05159 0.11348 0.16670 0.20954 0.24396 0.27198 0.29515 0.31457 0.33108 0.34528 0.35761 10 0.00413 0.05156 0.11382 0.16766 0.21119 0.24631 0.27499 0.29876 0.31875 0.33577 0.35043 0.36319 11 0.00412 0.05153 0.11411 0.16847 0.21259 0.24830 0.27754 0.30185 0.32232 0.33979 0.35487 0.36801 12 0.00410 0.05151 0.11436 0.16916 0.21378 0.25000 0.27975 0.30451 0.32542 0.34329 0.35874 0.37221 13 0.00409 0.05150 0.11456 0.16975 0.21481 0.25149 0.28166 0.30684 0.32813 0.34636 0.36213 0.37591 14 0.00408 0.05148 0.11475 0.17026 0.21571 0.25278 0.28335 0.30889 0.33053 0.34907 0.36514 0.37920 15 0.00407 0.05147 0.11490 0.17071 0.21651 0.25393 0.28484 0.31071 0.33266 0.35149 0.36783 0.38214 16 0.00406 0.05146 0.11504 0.17111 0.21721 0.25495 0.28617 0.31234 0.33456 0.35366 0.37024 0.38478 17 0.00405 0.05145 0.11517 0.17147 0.21784 0.25587 0.28737 0.31380 0.33628 0.35562 0.37243 0.38717 18 0.00404 0.05144 0.11528 0.17179 0.21841 0.25669 0.28845 0.31513 0.33784 0.35739 0.37441 0.38934 19 0.00404 0.05143 0.11538 0.17208 0.21892 0.25744 0.28942 0.31633 0.33925 0.35901 0.37621 0.39133 20 0.00403 0.05143 0.11547 0.17234 0.21939 0.25812 0.29032 0.31743 0.34055 0.36049 0.37787 0.39315 21 0.00403 0.05142 0.11555 0.17258 0.21981 0.25874 0.29113 0.31843 0.34173 0.36185 0.37939 0.39482 22 0.00402 0.05141 0.11563 0.17279 0.22020 0.25931 0.29188 0.31936 0.34283 0.36310 0.38079 0.39636 23 0.00402 0.05141 0.11570 0.17299 0.22056 0.25983 0.29257 0.32021 0.34384 0.36426 0.38209 0.39780 24 0.00402 0.05140 0.11576 0.17318 0.22089 0.26032 0.29321 0.32100 0.34477 0.36533 0.38329 0.39912 25 0.00401 0.05140 0.11582 0.17335 0.22119 0.26077 0.29381 0.32174 0.34564 0.36633 0.38441 0.40036 26 0.00401 0.05139 0.11587 0.17351 0.22148 0.26118 0.29436 0.32242 0.34645 0.36726 0.38546 0.40152 27 0.00401 0.05139 0.11592 0.17365 0.22174 0.26157 0.29487 0.32306 0.34721 0.36813 0.38644 0.40260 -28 0.00400 0.05139 0.11597 0.17379 0.22199 0.26194 0.29535 0.32365 0.34792 0.36895 0.38736 0.40362 29 0.00400 0.05138 0.11601 0.17392 0.22222 0.26228 0.29580 0.32421 0.34858 0.36971 0.38822 0.40457 30 0.00400 0.05138 0.11606 0.17404 0.22243 0.26259 0.29623 0.32474 0.34920 0.37043 0.38903 0.40547 40 0.00398 0.05136 0.11635 0.17492 0.22402 0.26495 0.29936 0.32865 0.35387 0.37582 0.39512 0.41222 50 0.00397 0.05135 0.11654 0.17545 0.22500 0.26641 0.30131 0.33108 0.35678 0.37920 0.39895 0.41649 80 0.00396 0.05133 0.11681 0.17627 0.22650 0.26865 0.30432 0.33487 0.36133 0.38450 0.40498 0.42323 100 0.00395 0.05132 0.11691 0.17655 0.22701 0.26942 0.30535 0.33617 0.36290 0.38634 0.40707 0.42558