Prof: José Enrique Malpartida R.
Tema 21
NÚMEROS RACIONALES:
LAS FRACCIONES
1ro Secundaria
Los conjuntos numéricos que conocemos y utilizamos actualmente no aparecieron simultáneamente. Al inicio, sólo existían los números naturales.
N = {1; 2; 3; ...}
Sin embargo la ecuación a + x = b, no siempre tenía solución en los naturales. Por ejemplo, 5 + x = 3. No existe un número natural que pueda satisfacer dicha ecuación. Debido a esto aparecen los números enteros.
Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
Donde la ecuación anterior ya posee solución. Pero, el conjunto de los enteros también fue insuficiente en algún momento, porque la ecuación: a . x = b, no tiene solución. Por ejemplo 4x = 9. Ningún número entero satisface esta ecuación. Esto motivó la aparición de los números racionales.
Q =
NOTA: º Z* = Z - {0}
Con lo cual la ecuación: 4x = 9 ya tiene solución, aunque está no es única.
Este conjunto se denomina clase de equivalencia y se llama así porque es un subconjunto del conjunto de los números racionales. El cual cumple con ser una relación de equivalencia, porque es reflexiva, simétrica y transitiva.
Se llama representante canónico de un racional (clase de equivalencia) a aquel numerador y denominador son primos entre sí, además su denominador es positivo.
En el ejemplo anterior.
FRACCIÓN RACIONAL:
Su función parte del conjunto de los números racionales, salvo algunas restricciones:
Forma General:
Todo esto significa lo siguientes números racionales:
Sólo son fracciones:
SIGNIFICADO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FRACCIÓN: 1) La unidad fraccionaria: Es cada una de las partes en
que se ha divido la unidad principal.
Otros Ejemplos:
1 hora = del día
1 día = de la semana.
2) La fracción como parte de un todo
Es el número de partes se toma, del número de partes en que se divide cada cantidad principal.
A)
es fracción propia (menor que 1)
B)
(Número Mixto)
es fracción impropia (mayor que 1)
Ejemplos:
A. ¿Qué fracción del total r e p r e s e n t a n l a s mujeres.
B. ¿Qué fracción de los hombres representan las mujeres?
La fracción como operador:
La fracción se interpreta como un operador que actúa
sobre el número multiplicándolo primero por a y luego dividiendo el producto entre b.
Ejemplo:
A. José compro un millar
de hojas y gastó los
del total de hojas. ¿Cuántas hojas le quedan?
B. Anita cobró $120 de su
sueldo y gastó .
¿Cuánto le queda?
AMPLIFICACIÓN, SIMPLIFICACIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES:
I. Número Míxto
Tiene parte entera y parte fraccionaria.
Ejemplos:
Observación
1) Para reducir una fracción impropia a un número mixto, se divide el numerador entre el denominador, luego se añade al cociente una fracción que tenga por numerador el residuo y por denominador el divisor.
; pues: 29 |5
4 5
; pues: 73 |8
1 9
2) Para convertir un número mixto a fracción se multiplica la parte entera por el denominador, al producto se agrega el numerador y a esta suma se le pone por numerador, el denominador es el mismo de la parte fraccionaria.
II. Fracciones Equivalentes
= = Es decir:
(son equivalentes)
si
Se cumple: a x d = b x c
= =
Dos fracciones se llaman equivalentes si representan la misma cantidad.
En el ejemplo: ya que 8 . 3 = 12 . 2
III. Amplificación y Simplificación de Fracciones: Las fracciones tienen estas dos propiedades:
A) Si en una fracción se multiplica al numerador y al denominador por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la primera.
B) Si en una fracción se divide al numerador y al denominador por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la primera.
IV. Fracción irreductible o irreducible:
Es aquella que ya no puede simplificarse más.
Nota: Cuando resuelvas ejercicio y te pidan simplificar, se entiende hallar la fracción irreductible.
V. Producto de Fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador, el producto de los denominadores.
A)
B)
VI. División de Fracciones Cuando nos piden:
A) entre 5; es lo mismo que, un quinto de
ÆÉÉÉÉÈÉÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ
Prof: José Enrique Malpartida R.
÷ 5 =
Luego:
En general:
ACTIVIDAD
01. Tengo S/.36 y gasto S/.24. ¿Qué parte de lo que
gasto, no gasto?
A) B) C) D) E)
02. Tenía S/.96 con los 5/12 de esta cantidad compré
libros y con los 3/8 de lo que me quedó compré un traje. ¿Cuánto me queda?
A) S/.28 B) S/.35 C) S/.30
D) S/.40 E) S/.32
03. En una reunión habían 120 personas, se fueron los 3/5 y luego los 5/8 de los que quedaban. ¿Cuántos quedan finalmente en la reunión?
A) 27 B) 18 C) 16 D) 24 E) 12
04. Rosa fue de compras llevando S/.360. Compró una
blusa en Miraflorina pagando con 3/8 de su dinero; luego en D’Fashion compra un par de sandalias pagando con 3/5 del resto. Luego gastó el resto en Mediterráneo Chicken en San Isidro comiendo unas ricas costillas a la barbacoa. ¿Cuánto gastó en este último lugar?
A) S/.90 B) S/.45 C) S/.135
D) S/.81 E) S/.72
05. Ayer perdí los 3/7 de mi dinero y hoy los 3/8 de lo que me quedaba. Si todavía tengo $10, ¿Cuánto tenía al principio?
A) $32 B) $36 C) $24
D) $26 E) $28
06. Un cartero dejó en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba, en un banco 2/9 del resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le dieron para repartir?
A) 108 B) 110 C) 124 D) 144 E) 96
07. Se vende los 2/9 de y una finca y se alquila 1/3 del resto. Si quedan 28 hectáreas. ¿Cuál era la extensión de la finca?
A) 54 Ha B) 56 Ha C) 60 Ha
D) 48 Ha E) 52 Ha
08. La semana pasada leí los 5/7 de un libro y esta
semana ya ha leído los 2/5 de lo que faltaba. Si aún falta 60 páginas, ¿Cuántas páginas tiene el libro?
A) 360 B) 342 C) 350
D) 412 E) 602
09. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera y cuarta vez hasta que no le quedaba más que S/.6. ¿Cuánto dinero tenía al comenzar el juego?
A) S/.92 B) S/.108 C) S/.48
D) S/.96 E) S/.120
10. Anita tiene cierta suma de dinero; que los gasta de la siguiente manera: En 5 chocolates 5/8 de lo que tiene; en 3 refrescos 1/3 de lo que queda y en 4 galletas 4/9 del resto. Si aún le quedan 10 soles. Entonces no son falsas:
I. Por un chocolate, un refresco y una galleta pagó 14 soles.
II. Gastó en total 62 soles.
III. No es cierto que después de comprar
refrescos le quedan 18 soles.
A) Sólo I B) Sólo III C) I y II
D) II y III E) N.A.
11. De una piscina se sacan 40L, si habían los 2/3 y
quedan 3/5. ¿Cuántos litros se necesita para terminar de llenarla?
A) 360 B) 240 C) 600
D) 320 E) 180
12. Si quedan las 3/4 partes de lo transcurrido en un día. ¿Qué parte del día ya pasó?
A) 6 horas B) 8 horas C) 9,3 horas
D) 13,7 horas E) 15 horas
13. De un tonel de vino se extrae primero 3/4 del total, luego la tercer parte del resto, y finalmente los 60L restantes. Determine Ud. ¿cuántos litros contenía dicho tonel.
A) 300 L B) 320 L C) 380 L
D) 360 L E) 400 L
14. Escribir en el casillero correspondiente la fracción simplificada respectiva:
15. Calcula cada uno de los siguientes productos. Da tus resultados en forma simplificada.
A) -
B)
C)
16. Determina las divisiones. Expresa todos los resultados en forma simplificada:
A) - B) - 2
C) 6 ÷ 3 D) - 8
E) 2 ÷ F) - 4 ÷
17. Un sastre usa en promedio 13 metros de tela en un
día. ¿Cuántos metros de tela usará en 4 día?
A) B) 30 C) 60
D) E) 18
18. Un estudiante vende en S/.126 un libro que le había costado S/.104. ¿Qué parte es la ganancia del precio de venta?
A) B) C)
D) E)
19. De una ciudad a otra hay 210 Km., un día ando los
de esa distancia, otro día los y un tercer día los
. ¿A qué distancia estoy entonces del punto de
llegada?
A) 48Km B) 60Km C) 63Km
D) 51Km E) 58Km
20. César gasta S/.17 diariamente. ¿Cuánto gastará en
8 día?
A) 148 B) 154 C) 146
D) 151 E) 152
PARA TU CUADERNO
2 1. O b s e r va r la fig ur a:
¿Q ué fracc ión del total represent a la parte s o m b re ad a?
A) B) C )
D ) E)
22. E n un c o le g io m ixt o h a y 5 2 0 a lum nos , lo s v ar on es s o n 5/1 3 d e l to ta l. ¿ C u án ta s m u je re s h ay e n dic h o c o le gio ?
A ) 3 20 B ) 2 00 C ) 12 0
D ) 30 0 E ) 1 80
23. G ustavo utiliza 1/3 del día para dorm ir, 3/8 para el c oleg io y hac er su s tare as . ¿C uá nta s h or as le quedan para hac er otras cos as ?
A) B) C )
D ) E)
2 4. ¿ Q u é fr ac c i ón d el día e s a la 5 d e la ta rd e?
A) B) C )
D ) E)
Prof: José Enrique Malpartida R.
A ) 1 6 00 B ) 3 2 00 C ) 2 40 0
D ) 2 80 0 E ) 3 0 00
2 6. U n a p ro pie da d e s d e d os p rim o s . L a p a r t e d el p r i m e ro e s tá v alo ra de e n 4 9 7 00 d óla re s y l a p ar te d el s e gu nd o en 6 3 9 0 0 dó la re s . ¿ Q u é fr ac c i ón d el to ta l es la p ar te d el pr im e ro ?
A) B) C )
D ) E)
27. N orm a lm e nte Inés trabaja 7 horas diarias . El
d ía d e ay er e lla tr ab ajó de l t i em p o qu e
norm alm ente trabaja. ¿C uántas horas tr abajó ella el día de ayer?
A) 5 B) 4 C ) 2
D ) E)
2 8. U n a s e c r eta ria p ue de tip ea r 18 p ág in as e n 40
m in uto s . ¿ C u á nta s pá gin as p ue de tip ea r en u n m in uto ?
A) B) C ) 1
D ) E)
29. U n c a m p e s i n o n e c e s i t a 1 2 p a q u e t e s d e
s e m illa s pa ra p l a n t ar 5 fila s de to m a t e.
¿C uántos paquetes de sem illas usará para p la nta r 1 fila d e to m a t e?
A) 5 B) C )
D ) E)
30. D e 2 4 p ers onas que rindieron u n e xa m e n d e
m a ne jo , a p r o b ar on e l exa m e n . Lo s de lo s
q ue a pr ob a r o n e l exa m e n , lo r en día n po r s e g un da v ez . ¿ C u án ta s pe rs o n as a pr ob ar on e l e xa m e n en s u pr im e r in te nto ?
A ) 1 5 B ) 1 8 C ) 10
Tema 22
FRACCIONES II
Fracciones Homogéneas:
Son aquellas que tienen el mismo denominador: Por ejemplo:
Fracciones Heterogéneas:
Son aquellas que tienen distintos denominador: Por ejemplo:
Suma y Resta de Fracciones:
a. Para sumar o restar fracciones homogéneas se forma una fracción que tenga por numerador la suma o resta de numeradores y por denominador, el denominador común.
1)
2)
b. Para sumar o restar fracciones heterogéneas se reducen a denominador común y se opera como se ha indicado en el punto (a).
1)
m.c.m(2; 3; 4) = 12
º
Operaciones Combinadas:
Para efectuar estas operaciones se debe tener en cuenta la siguiente prioridad operativa:
a. Se realizan las operaciones dentro de los signos de colección: paréntesis; corchetes; llaves.
b. Las divisiones se cambian a multiplicaciones. c. Se efectúan las multiplicaciones.
d. Se realizan las sumas y restas.
Por ejemplo:
M = 1 -
M = 1 -
ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ
M = 1 -
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
1. Fracción Propia:
Es aquella cuyo valor es menor que la unidad, es decir el numerador es menor que el denominador; es decir:
Ejemplo:
2. Fracción impropia:
Es aquella cuyo valor es mayor que la unidad, es decir el numerador es mayor que el denominador, es decir:
Ejemplos:
3. Fracción decimal:
Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplo:
4. Fracción ordinaria:
Prof: José Enrique Malpartida R.
ACTIVIDAD
01. Efectuar:
A) B)
C) D)
E)
02. Germán gastó el sábado de su propina semanal y
el domingo gastó de dicha propina.
¿Qué fracción de su propina gastó Germán?
A) B) C)
D) E)
03. Un poste se pinta de 3 colores, el color blanco ocupa la mitad del poste, el color rojo ocupa la tercera parte. ¿Qué parte del poste ocupa el color azul?
A) B) C)
D) E)
04. Un comerciante vende naranjas de la siguiente
manera: Primero vende 1/3 del total más 4 naranjas, luego vende 3/5 de las naranjas restantes y finalmente vende la mitad de las restantes más 4 naranjas. ¿Cuántas naranjas tenía al principio?
A) 24 B) 18 C) 32
D) 40 E) 36
05. Calcular los 2/3 menos de los 4/5 más del doble de 40.
A) 60 B) 72 C) 48
D) 36 E) 56
06. ¿Cuánto le falta a 3/7 para ser igual a los 2/3 de los 3/5 de los 4/7 de 105?
A) 23 B) 23 C) 23
D) 23 E) 23
07. ¿Qué número equidista de 1/6 y 1/8?
A) 1/7 B) 7/48 C) 3/11
D) 5/24 E) 3/17
08. De las siguientes fracciones:
¿Cuál es la menor?
A) 4/7 B) 15/16 C) 5/6
D) 8/9 E) 2/3
09. Ordenar de menor a mayor
a = b = c =
A) abc B) bac C) bca
D) cba E) cab
10. ¿Cuántas fracciones de la forma son propias e
irreductibles.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
11. Hallar una fracción equivalente a 7/4 con la condición que la suma de sus términos es 88. Dar como respuesta el numerador.
A) 28 B) 35 C) 42
D) 56 E) 63
12. ¿Cuántos valores toma “n” si la fración n/15 es
irreductible y además:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
13. Si las fracciones:
Son homogéneas: Hallar (a + b)
A) 11 B) 12 C) 10 D) 13 E) 14
14. ¿Cuántas fracciones cuyo producto de términos es 30 son propias e irreductibles?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
15. Hallar cuántas fracciones de la forma a/14 que son irreductibles, mayores que 3/7 y menores que 3/2 existen.
A) 5 B) 6 C) 4 D) 7 E) 3
16. ¿Cuántas fracciones de la forma 10/x son impropias e irreductibles?
17. Cuántos tercios hay en 2?
A) 6 B) 3 C) 8 D) 9 E) 12
18. ¿Cuántos 2/3 existen en 8?
A) 8 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18
19. Los 3/4 de 8 /9 de 2/3 de 27 es:?
A) 8 B) 6 C) 12 D) 2 E) 4
20. Si la mitad de 2/7 de 14/3 de 3/2 se resta la quinta parte de 2/5 de 5/9 de 45, se obtiene?
A) 3 B) 1 C) 2 D) -2 E) -1
PARA TU CUADERNO
1. ¿C uál es el num erador de la fracc ión equivalente a 2 /5 , ta l qu e la s u m a d e s u s té rm in os s e a 14 ?
A) 2 B) 1 C ) 6 D ) 4 E) 3
2. H a l l a r la s u m a d e l os v a lo re s q u e t om a “ x” s i la
fr ac c i ón es p ro pia e ir re du c tib le ?
A ) 1 2 B ) 1 7 C ) 20 D ) 16 E ) 1 9
3. H a ll a r c u á n t a s fr ac c i on es d e la fo rm a s o n
ir re du c tib le s m a y or es q ue 5 /6 y m e no re s qu e 5 /4 ?
A) 5 B) 6 C ) 7 D ) 4 E) 3
4 . D ad a la fra c c ión tal qu e a . b = 42 . Ind ic a la
s u m a d e lo s v a l o r e s qu e to m a “b ” s i la fr ac c i ón e s im p ro pia .
A ) 2 8 B ) 3 5 C ) 42 D ) 56 E ) 6 0
5. ¿ C u á nto s qu in to s tie ne 6 /5 ?
A ) 1 B ) 2 C ) 6 D ) 25 E ) 3 0
6. Tengo un vaso lleno de ga s e o s a , bebo la sexta p ar te , l ue go b eb o 1 /4 d e lo q ue m e q ue da ¿ Q u é fr ac c i ó n d e lo q ue q ue da d eb o vo lv er a b eb er p ar a qu e aú n s o br en lo s 3/8 d el va s o ?
A) B) C ) D ) E)
7 . U n alum no ha c e 1/3 de s u as igna tur a an tes de ir a u na fie s ta , de s p ué s d e l a f ie s ta h ac e 3/4 d el re s to y lueg o s e va a dor m ir ¿Q ué par te de la asignatura le falta por hacer?
A) B) C ) D ) E)
8. E n u n a r e un ió n lo s 2 /3 s o n m u je re s y 3 /5 d e lo s varones son c a sados , m ientras que los otros 6 s on so ltero s . ¿C uá nta s per s on as hay e n la r eu nió n?
A ) 4 5 B ) 3 5 C ) 30 D ) 25 E ) 1 5
9. Jorge gasta 1/3 del din e r o q u e tiene y gana 1/3 d e lo q ue le q ue da . S i s u d in er o ha d is m in uid o en 1 2 dó la re s ¿C u á nto te nía a l pr in c ip io ?
A ) $ 14 4 B ) $ 13 2 C ) $1 20
D ) $1 08 E ) $ 54
30. U n quinto de la quinta parte d e u n núm e ro es 1 ¿ C u á l es e l nú m e r o?
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Tema 23
NÚMEROS DECIMALES
Número Decimal
Número decimal exacto
Número decimal inexacto
Periódico puro
Periódico mixto
Decimal exacto.- Una fracción irreductible genera un decimal exacto, si el denominador de dicha fracción contiene únicamente a los factores primos 2 y/o 5. Ejemplos.
= 0,375 = 0,48 = 0,3875
8 = 23 25 = 52 80 = 2 x 54
Decimal inexacto periódico puro: Una fracción irreductible genera un decimal inexacto o periódico si el denominador de dicha fracción no contiene a los factores primos 2 ni 5, pero si cualquier otro factor primo (3, 7, 11, 13, 17, ....). Ejemplo:
Decimal inexacto periódico mixto: Una fracción irreductible genera un decimal periódico mixto, si el denominador de dicha fracción irreductible contiene a los factores primos 2 y/o 5 y además otro factor primo. Ejemplo:
2 : cifra no periódica1 6 = 2 x 3:
3: cifra periódica (ver tabla de los 9)
5 : 1 cifras o periódica1 55 = 5 x 11
11: 2 cifras periódicas (tabla de los 9)
FRACCIÓN GENERATRIZ
Decimal exacto
< 0,15 =
< 0,225 =
< 0,8 =
< 0,07 =
< 0,125 =
< 0,09 =
Decimal Periódico Puro
< =
< =
< =
< =
<
< 0,
Decimal Periódico Mixto
< =
< =
< =
< =
< =
ACTIVIDAD
01. Marca con un aspa según estimes conveniente:
NÚMERO
NÚMERO RACIONAL
DECIMAL EXACTO
DECIMAL INEXACTO
PERIÓDICO PURO PERIÓDICO MIXTO
0,75 X
5,233333...
107,52
0,6222...
6,3218756...
3,14159...
7,6424242....
0,55555...
478,05
02. Colocar “V” si es verdadero o “F” si es falso cada uno:
7,5 = 7,50
6,36 = 6,360
05,5 = 5,5
7,62 = 70,62
3,250 = 3,2
7,2 = 7,20
10,003 = 1,003
763,512 = 7635,12
0010,31 = 010,31
785,713 = 785,713000
03. Colocar > ó < según corresponda:
-62,508 +87,52
-13,113 +113,13
-6,2 +8,2
-1,5 0,0
-6,13 +1,1
+7,12 +12,05
-0,618 3,018
-612,12 0,0
+51,136 +71,23
+42,057 +89,15
04. Completar el siguiente cuadro según sea el tipo de número decimal al que la fracción dada dé lugar:
FRACCIÓN
NÚMERO DECIMAL AL QUE DA LUGAR
Prof: José Enrique Malpartida R.
05. Hallar la fracción generatriz de:0,32 =
=
=
0,125 =
0,012 =
0,25 =
=
0,175 =
1,2 =
=
0,45 =
=
=
=
36,36666... =
06. Calcular la suma:
E =372,47 + 3,8 + 40,05
A) 415,22 B) 436,13 C) 416,32
D) 461,23 E) 361,18
07. La diferencia de los números: 0,4373737.... y 0,215151...
A) 1/9 B) 2/9 C) 1/3
D) 4/9 E) 5/9
08. Hallar la suma del numerador y denominador de la
fracción irreductible equivalente al resultado de efectuar:
A) 4 B) 5 C) 25 D) 15 E) 10
09. Hallar el valor de E =
A) B) 1,5 C) 1,75
D) 1,6 E)
10. Efectuar:
E = (0,5 x ) +
A) 0,2 B) 0,32 C) 0,21
D) 4/15 E)
11. Calcular el valor de
E = [ + + + ... + ] ÷ 0,
A) 11 B) 13 C) 16
D) 18 E) 20
12. En la fracción generatriz de 0,973333...., en su forma irreductible, cuando se suman su numerador y denominador se obtiene
A) 296 B) 1 332 C) 148 D) 1 776 E) 444
13. Hallar la fracción generatriz del decimal 0,3484848...
A) 13/66 B) 23/66 C) 11/66
D) 15/66 E) 29/66
14. Cual es el valor de: b - a; si se cumple que:
?
A) 2 B) 5 C) 3 D) 6 E) 4
15. Hallar: a + b + c; si:
A) 20 B) 22 C) 30
D) 25 E) 15
16. Calcular:
R =
A) 45/47 B) 50/47 C) 39/46
D) 43/49 E) 47/49
17. Hallar el valor de:
N =
A) 1/4 B) 1/2 C) 2 D) -1 E) 1
18. Simplificar:
E =
19. Evaluar:
A) 10 B) 10 C) 12
D) 10 E) 11
20. Hallar “x” si:
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
PARA TU CUADERNO
21. Efec tuar:
A) 1/2 B) C ) D ) 3 E) 4
2 2. S im p lific a r la s ig uie nte e xp re s ió n
M = y dar la s um a
d e s u s té rm in os
A ) 4 7 B ) 4 5 C ) 92 D ) 85 E ) 5 3
23. S i a los térm inos d e u na frac c ión irreduc tible s e le s u m a , el t rip le d el d e no m i na do r y el re s u lta do s e le r es t a la fr ac c i ón , r e s u lta la m is m a fr ac c i ón . ¿ C u á nto s u m a n lo s té rm in os d e la fu nc ió n?
A ) 9 B ) 1 0 C ) 12 D ) 14 E ) 1 6
24. Si: , hallar “a + b”.
A) 9 B) 11 C ) 13 D ) 7 E) 8
2 5. S i: , c a lc u la r “b - a ”
A) 7 B) 6 C ) 8 D ) 5 E) 3
26. H allar “a” si: 0,a
A) 7 B) 1 C ) 2 D ) 4 E) 3
27. E l res ultado de: (0,222...) . (0,818181...) es :
A) B) C )
D ) E)
2 8. ¿ C u á nto le fa lta a 0 , pa ra q ue s e a ig ua l a
A) B) C )
D ) E)
2 9. H a lla r la fr ac c i ón e qu iv ale nte a :
x =
A) B) C )
D ) E)
3 0. E l va lo r de la s ig uie nte o pe ra c ió n
es :
A) B) C )
Prof: José Enrique Malpartida R.
Tema 24
RAZONES
RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades; puede ser de dos clases:
1. RAZÓN ARITMÉTICA: Cuando se compara mediante la
diferencia.
Ejemplo:
Si tenemos: Anita tiene 36 años y su hijo 12 años, entonces.
Diremos: Anita tiene 24 años más que su hijo:
36 - 12 = 24
Observación:
Las unidades de la razón son las unidades del antecedente en general:
2. RAZÓN GEOMÉTRICA: Cuando la comparación es mediante el cociente.
Ejemplo:
En una reunión hay 20 hombres y 5 mujeres, entonces diremos, el número hombres es cuatro veces el número de mujeres.
Observación:
Cuando nos digan: dos cantidades son entre sí 3 es a 2, podemos plantear:
ó MEJOR: H = 3K
M = 2K
En general:
PROBLEMA EXPLICATIVO:
En un jardín de infancia estudian 72 infantes observandose que por cada 5 mujeres habían 3 varoncitos. ¿Cuántos varones estudian en dicho nido?
Resolución:
H: # de hombres
M: # de mujeres
< H + M = 72
< º
{
M = 5KH = 3K
5K + 3K = 72 8K = 72ACTIVIDAD
01. Si: , Además: a + b = 90
Hallar “b”
A) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) 32
02. La razón de dos números es 3/5 y su suma 1 216.
Hallar el número menor:
A) 318 B) 456 C) 528 D) 619 E) 708
03. La razón aritmética de dos números es 20 y su razón geométrica es 2. El número mayor es:
A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) 80
04. En un corral se tiene 200 animales entre gallinas y conejos observandose que por cada 13 gallinas habían 7 conejos. ¿Cuántas son aves?
A) 130 B) 120 C) 65 D) 121 E) 95
05. Si:
Además: 2b - a = 60 Hallar “a”
A) 18 B) 24 C) 30 D) 32 E) 28
06. La relación de 2 números es , además el producto
de los mismos es 288. Hallar la suma de cifras del menor.
A) 6 B) 8 C) 32 D) 16 E) 10
07. Las edades de 2 hermanas es como 4 es a 7. Hace 5 años la diferencia de edades era 15 años. Hallar la edad de la mayor actualmente.
A) 20 B) 25 C) 35 D) 28 E) 26
08. El perímetro de un rectángulo es 70 cm. si su base y su altura están en la razón de 3 a 4. Hallar su base.
A) 9 B) 12 C) 15 D) 16 E) 10
09. Las edades de un hijo y su padre están en la relación de 1 a 5. Si la suma de sus edades es de 42 años, ¿Cuál es la edad del padre?
A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) N.A.
10. Dos números están en la relación de 2 a 5; pero si añadimos 18 a cada uno de ellos su nueva relación será de 5 a 8. Hallar el mayor de los números.
A) 42 B) 24 C) 27 D) 36 E) 30
S E R IE D E R AZ O N E S G E O M É T R IC AS E Q U IV AL EN T E S (S.R .G .E )
Si:
Podem os es cribir:
E n un a s e r ie d e 4 ra zo ne s ge om é tr ic a s eq uiv ale nte s , de r az ón 2 .
C o n c e pt o :
E s la ig ua ld ad d e do s o m á s r az on es g eo m é t ric a s qu e tienen el m ism o valor.
P ropiedades :
1/ Si: º
2/ Si: º
3/ Pr op ieda d fun da m en tal:
º a = bkc = dk
e = kf
P r o b le m a d e Ap lic ac ió n :
D a d o: . A d em á s 4b - 2 c = 72 .
H a lla r “a ”
R e s o lu c ió n :
º
{
a = 4K b = 7K c = 11K
C o m o : 4b - 2 c = 72 4 (7 k ) - 2( 11 k ) = 7 2 2 8K - 22 K = 72
6 K = 72 º K = 1 2
L ue go : a = 4 K = 48
ACTIVIDAD
1 1. S i , d on de x + y + z + p = 3 0, ha lla r
el valor de “p”.
A ) 3 B ) 6 C ) 9 D ) 12 E ) 1 5
12. Si: , adem ás b + c = 108, calcula “b - a”.
Prof: José Enrique Malpartida R.
D ) 10 9 E ) 1 19
15 . S i: , ade m ás : “a + 2b = 80".
H allar el valor de “c”.
A ) 4 0 B ) 5 0 C ) 60 D ) 80 E ) 1 00
1 6. S i: , ad em á s “2 a + b + c ” = 5 4.
C alc ular: “E = a + 2b + c ”
A ) 6 0 B ) 6 4 C ) 70 D ) 72 E ) 8 0
1 7. L os á ng ulo s d e u n tr iá ng ulo s o n e ntr e s í c o m o : 4 ; 7 y 9. D eterm inar el m enor de los ángulos .
A ) 3 2/ B ) 3 6/C ) 20/ D ) 24/ E ) 2 8/
1 8. S i: , y: a.b .c = 1 7 49 6
C alc ular: (a + b + c )
A ) 8 1 B ) 1 8 C ) 72 D ) 45 E ) 9 0
19. C alcular cuatro núm eros proporcionales a 1; 2; 3 y 5 s abiendo que l a sum a de s us cubos es 4 3 4 7 . D ar c om o res pues ta la s um a del m e nor y m a yor de és tos .
A ) 3 4 05 B ) 7 56 C ) 18 D ) 9 E ) 1 7
2 0. L a s u m a , l a d i f e r e n c i a y el pr od uc t o de d os n úm e ro s e s tá n en la m is m a r ela c ió n qu e lo s n úm e ro s 4; 2 y 1 5. ¿ C u ál es e l m a y or d e lo s núm e ros ?
A ) 4 B ) 1 0 C ) 14 D ) 15 E ) 1 6
PARA TU CUADERNO
21. C u a n d o M a n u e l n a c i ó , S a r a t e n ía 14 años . A c t ua lm e nte , la r az ón e ntr e la s ed ades de am b os es 0,75 . ¿C uá l es la eda d de M an ue l?
A ) 5 6 B ) 4 2 C ) 24 D ) 65 E ) 4 8
2 2. C a lc u la r e l á r ea d e u n r ec t án g u l o s a b ie nd o qu e s u p er ím e tr o es d e 70 c m y la r az ón e ntr e s u s d im e ns io ne s (la rg o y an c h o) e s 5/2 .
A ) 205c m2 B ) 250c m2 C ) 520c m2
D ) 260c m2 E ) 280c m2
23. D os núm e ros es tán en relac ió n d e 2 a 3. Si s e a um e nta 1 5 a un o de e llo s y al o tr o 1 0 s e o btie ne cantidades iguales,¿cuál es el m ayor?
A) 15 B) 10 C ) 12 D ) 20 E) 8
24. D o s c a ja s c o n tie n e n 25 fós for o s c a d a u n a . ¿C uántos fósforos hay que pasar de una a otra p ar a qu e la r az ón d e la s c an tid ad es d e fó s fo ro s d e c a da c a ja s e a 7 /3 ?
A ) 8 B ) 1 0 C ) 12 D ) 20 E ) 1 4
25. E n un a u la la razón de núm ero d e n iñ o s a l n úm e ro d e niñ as e s d e 8 a 5 . Lu eg o vie ne 4 n iñ os y s e v an 5 n iñ as y ah or a la r az ón d el nú m e r o de n iñ os a l de n iñ as e s 2 a 1 . ¿ C u á nto s niñ os h ay fin alm e nte ?
A ) 5 6 B ) 6 0 C ) 62 D ) 74 E ) 7 8
2 6. S i: y: a + b = 20 . H a lla r: “a .c + b ”
A ) 2 2 B ) 6 4 C ) 71 D ) 60 E ) 7 2
27. E n una granja, el núm e ro d e p a v o s e s a 3, as í c o m o e l nú m e r o d e g allin as e s a 4 y e l nú m e r o de p ato s es a 5 . S i el to ta l de a nim a le s es 6 0. H a lla r el núm e ro de gallinas .
A ) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
28. En un zoológico hay tigres, leones, monos y loros en la proporción de 3; 7; 5 y 11 si en total son 780 ¿Cuántos son loros?
A) 110 B) 220 C) 330 D) 440 E) 230
29. Si: , además: a + c = 66, Halla el valor de “b”
A) 30 B) 36 C) 18 D) 16 E) 26
30. Si: , además
Calcular: (5a - b - c)
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20
13 . S i: , ad em ás 1 1 a + 3 b + c = 56 8, ha lla
“2a + b - c”.
A ) 4 8 B ) 1 30 C ) 96 D ) 40 E ) 8 8
1 4. S e tie ne q ue y qu e:
A + 2B + C = 152. H allar “A + B + C ”
Tema 25
PROPORCIONES
DEFINICIÓN
: La proporción es la igualdad de 2 razones que tienen el mismo valor, puede ser de 2 tipos:Proporción Aritmética a - b = c - d
Donde:
a y c: antecedentes b y d: consecuentes a y d: extremos b y c: medios
Propiedad
a + d = b + c
Proporción Geométrica
Donde:
a y c: antecedentes b y d: consecuentes a y d: extremos b y c: medios
Propiedad a . d = b . c
Observación:
La proporción ya sea aritmética o geométrica pueden ser discreta o continua. Proporción continua; es cuando los términos medios son iguales.
CLASIFICACIÓN
DISCRETA CONTINUA
PROPORCIÓN ARITMÉTICA b c
8 - 6 = 12 - 10
d: cuarta diferencial de a, b y c
º b =
b: media diferencial de a y c.
c: tercia diferencial de a y b.
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
b c
d: cuarta proporcional de a, b y d
b =
b: media proporcional de a y c.
c: tercia proporcional de a y b.
PROPIEDADES.
1. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es igual a cuatro veces la media diferencial. 2. El producto de los 4 términos de una proporción geométrica continua es la media proporcional elevada a la cuarta.
3. A partir de: se cumple:
Ejemplo
En una proporción aritmética continua, la suma de los cuatro términos es 60. Hallar la media diferencial.
Resolución Sea: a - b = b - c b = media diferencial
Por propiedad:
Suma de términos = 4b 60 = 4b b = 15
Prof: José Enrique Malpartida R.
En una progresión geométrica continua, la suma de los extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 16. Hallar la media proporcional.Resolución: Sea: donde b = media proporcional.
Luego: a + c = 34 a = º a = 25 a - c = 16 c = º c = 9
además: a . c = b 2º 25 . 9 = b 2
(b = 15)ACTIVIDAD
01. Hallar la cuarta diferencial de 6; 15 y 10
A) 36 B) 25 C) 30 D) 40 E) 15
02. Hallar la tercer proporcional de 9 y 12.
A) 16 B) 20 C) 24 D) 25 E) 32
03. Hallar la cuarta proporcional de “a”; a.b y b
A) b B) 2b C) b2 D) a2 E) ab
04. Si la tercer proporcional de 9 y “a” es 25. Hallar la cuarta proporcional de “a”; 35 y 12.
A) 21 B) 16 C) 15 D) 28 E) 72
05. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Hallar la media proporcional.
A) 20 B) 25 C) 27 D) 36 E) 21
06. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 50 625. Hallar la media proporcional.
A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25
07. En una proporción aritmética continua la suma de sus términos es 40 y la diferencia de los extremos es 8. Hallar el mayor de los extremos.
A) 14 B) 12 C) 13 D) 11 E) 15
08. En una proporción aritmética la suma de sus términos es 50. Además uno de los medios es 4 veces el otro medio. Hallar el menor de los medios.
A) 6 B) 5 C) 16 D) 8 E) 2
09. La suma de la media diferencial de 38 y 12 con la cuarta diferencial de 15; 10 y 19 es igual a:
A) 18 B) 20 C) 26 D) 24 E) 39
10. Hallar la tercer proporcional entre 32 y 8.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
11. En una proporción aritmética continua la suma de sus términos es 60. Hallar la media diferencial.
A) 12 B) 18 C) 20 D) 10 E) 15
12. En una proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a 24. Si los términos medios se diferencian en 2 unidades, el menor de estos medios es:
A) 10 B) 13 C) 11 D) 12 E) 14
13. En una proporción aritmética continua los términos extremos son entre sí como 7 es a 3. Si la suma de los antecedentes es 96. ¿Cuál es la suma de los consecuentes?
A) 48 B) 72 C) 80 D) 84 E) 64
14. En una proporción aritmética la suma de los términos es 42, si la razón de los términos es de 6 a 1. Hallar uno de los extremos.
A) 6 B) 15 C) 9 D) 12 E) 18
15. En una proporción geométrica discreta el producto de sus términos es 64. Hallar el mayor de estos términos.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8
16. En una P.G.D. la suma de los antecedentes es 18 y la suma de los consecuentes es 12. Hallar el valor de la razón.
A) B) C) D) E)
17. En una P.G.C. se cumple que la suma de los
extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 30. Hallar la media proporcional.
A) 6 B) 8 C) 4 D) 16 E) 12
18. En una proporción geométrica la suma de los términos medios es 18 y la razón aritmética de los mismos es 6. Hallar el producto de los extremos.
A) 60 B) 64 C) 48 D) 72 E) 80
19. En una proporción geométrica continua el primer
término es 1/9 del cuarto término. Si la suma de los medios es 72, hallar la diferencia de los extremos.
A) 60 B) 72 C) 84 D) 90 E) 96
20. En una proporción geométrica continua los términos extremos están en la relación de 4 a9, siendo su suma 65. Hallar la media proporcional.
A) 30 B) 45 C) 50 D) 60 E) 90
PARA TU CUADERNO
21. H allar la tercera proporcional de 9 y 6
A ) 4 B ) 8 C ) 6 D ) 12 E ) 1 5
22. Si: a = me dia proporcional de 4 y 9 b = m e d ia d ife re nc ia l de 1 5 y 5. H a lla r a + b .
A ) 6 B ) 1 2 C ) 15 D ) 16 E ) 1 8
2 3. L a m e d i a p ro po rc io na l e ntr e a y b e s 1 0 , l a ter c er a pr op or c io n a l de a y b es 80. H allar la d ife re nc ia e nte a y b .
A ) 2 1 B ) 2 5 C ) 15 D ) 20 E ) 1 00
2 4. U n a p ro po rc ió n c o n ti n u a t i e n e c o m o s u m a d e té rm in os m e dio s a 36 y c o m o d ife re nc ia d e e xtr em o s a 77 . C a lc u la r la s u m a d e es t os últim o s .
A ) 8 1 B ) 8 5 C ) 93 D ) 97 E ) 7 5
25 . E n la pr op or c ión aritm étic a c o n t in u a , la m ed ia d ife re nc ia l es ig ua l a 20 s i la r az ón a ritm é tic a de lo s extr em o s es 1 0; ha lla r el pr od uc t o de lo s extrem o s .
A ) 3 75 B ) 2 16 C ) 25 6 D ) 24 0 E ) 3 60
26. E n una proporc ión aritm étic a c ontinua la s u m a de su s térm inos es 8 0 . H allar la m ed ia difer en c ial.
A ) 1 8 B ) 2 0 C ) 25 D ) 16 E ) 1 5
2 7. S i “a ” es la m e dia p ro po rc io na l d e 1 y 2 5; “b ” es la cuarta proporcional de 15 “a” y 21. Hallar: “ a + b ”
A ) 1 2 B ) 5 C ) 7 D ) 16 E ) 1 5
28. S a b i e n d o q u e e s u n a p r o p o r c i ó n
g eo m é t ric a dis c r e ta , d on de a + c = 9 ; y b - d = 1. C a lc u la r el va lo r de la r az ón d e d ic h a p ro po rc ió n.
A) 1/3 B) 3 C ) 3/4 D ) 5/4 E) 4/5
2 9. E l p ro du c to d e lo s 4 té rm in os d e u na p ro po rc ió n g eo m é t ric a es 8 10 0, la d ife re nc ia d e lo s a nte c e de nte s e s 3 y la d e lo s c on s e c ue nte s es 5 . H allar la s um a de dic hos térm inos .
A ) 2 0 B ) 3 0 C ) 10 D ) 26 E ) 4 0
30. E n un a p r o p o r c ió n g eom é tr ic a c o n tin u a , e l p ro du c to d e l os t é rm in os e s 1 0 00 0. S i un o de lo s extrem o s e quivale a la s um a de los m edios . C a lc u la r el va lo r de l otr o extr em o .
Prof: José Enrique Malpartida R.
Tema 26
REGLA DE TRES SIMPLE (R 3S)
Analiza solo 2 magnitudes, pueden ser:
DIRECTA
A D.P. B
1 1
a b
2
a x
Se aplica en aspa:
1 2 1
a .x = a b
x =
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS
01. La habilidad de dos trabajadores es como 5 es a 13, Cuándo el primero haya realizado 280m de cierta3 obra. ¿Cuánto habrá realizado el otro?
Resolución:
Habilidad Obra
5 280
13 x
5x = 13 x 280
X = 728m .3
INVERSA
A I.P. B
1 1
a b
2
a x
Se aplica en línea horizontal:
a1 . b1 = a2 . x
x =
02. Ocho obreros hacen una obra en 15 días, si se retiran 3 obreros ¿En cuántos días harán la misma obra?
Resolución:
# Obreros # Días
8 15
5 X
8 . 15 = 5 . x
X = 24 días
ACTIVIDAD
01. Si 20 metros de seda cuesta $250. ¿Cuánto se pagará por 25 metros de la misma seda?
A) $200 B) $280 C) $400
D) $360 E) $500
02. Un barco tiene víveres para 78 tripulantes durante 22 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Qué tiempo durarán los víveres?
A) 18 días B) 19 días C) 24 días
D) 26 días E) 28 días
03. Por sembrar un terreno cuadrado de 20 metros de
lado, un peón cobra S/.300 ¿ Cuánto cobrará por sembrar otro terreno cuadrado de 12 metros de lado?
A) 108 B) 109 C) 110 D) 111 E) 107
04. Un pintor cobra $50 por pintar una pared cuadrada de 5m de lado ¿Cuánto cobraría por pintar otra pared también de forma cuadrada de 8m de lado?.
A) 80 B) 100 C) 64 D) 128 E) 160
05. Sabiendo que un buey atada a un poste con una
cuerda de 3 metros de largo; tarda 5 días en comer toda la hierba a su alcance ¿Que tiempo le alcanzaría la hierba a su alcance si la cuerda tuviera una longitud 2 veces mayor?.
A) 10 días B) 45 días C) 15 días
D) 25 días E) 18 días
06. Un cubo de madera que cuesta S/40 cuanto costará
otro cubo de la misma madera cuya arista es el doble.
A) S/.80 B) S/.160 C) S/.240
D) S/.320 E) S/.200
07. Un “superpaneton” que tiene la forma de un
“paralelepídedo” pesa 8 kg. ¿Cuánto pesara un “Mínipaneton” cuyas dimensiones son la cuarta parte del anterio.
A) 2Kg B) 500g C) 250g D) 125g E) 1Kg
08. La cantidad de gramos de maíz que se pueden
guardar en un recipiente esférico de 3dm de diámetro es 120. ¿Cuántos gramos de maíz se podrán guardar en un recipiente esférico de 6dm de diámetro?.
A) 480 B) 800 C) 600
D) 960 E) 1 440
09. 16 obreros pueden hacer una obra en 63 días, con
cuántos obreros deberá reforzarse si desea hacer la misma obra en 36 días.
A) 16 B) 28 C) 12 D) 14 E) 26
10. Una guarnición de 1 500 hombres tiene víveres para 88 días. Si se quiere que los víveres duren 12 días más. ¿Cuántos hombres se tendrán que retirar de la guarnición?.
A) 180 B) 160 C) 70 D) 150 E) 168
11. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5
obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminan el trabajo los obreros que quedan?.
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
12. Juan es el doble de rápido que Luis, pero la tercera parte que Pedro. Si Luis y Pedro hacen una obra en 27 días. ¿En cuántos días harían la misma obra los 3 juntos?:
A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) NA
13. Una campana de 6 campanadas en 1 hora en forma
periódica ¿Cuántas campanadas dará en 10 horas?
A) 60 B) 51 C) 50 D) 49 E) 56
14. De un paradero de micros salen 6 combis en una hora en forma periódica. Entonces en 8 horas. ¿Cuántas combis habrán salido?
A) 48 B) 47 C) 40 D) 41 E) 39
15. Héctor un extraordinario boxeador da 4 golpes en
cada segundo. Entonces en 1 minuto. ¿Cuántos golpes habrá dado al mismo ritmo?.
A) 240 B) 200 C) 180 D) 161 E) 181
16. SI “a” albañiles construyen una pared en 5 días.
¿Cuántos días demoraría en construirla un solo hombre?.
A) a/5 B) 5/a C) 5a D) a/3 E) 3a
17. Cada soldado de un destacamento recibe 18 panes por semana, durante la guerra; como mueren 40 soldados, ahora cada uno recibe 28 panes. Si semanalmente se reparte la misma cantidad de panes. ¿Cuántos soldados quedan?.
A) 112 B) 70 C) 71 D) 72 E) 73
18. En un lugar muy pobre de la ciudad de Lima,
consumen 8 velas por semana en cada hogar. Si en total hay 60 hogares. ¿Cuántas velas se consumirán en dichos hogares durante un mes?.
A) 168 B) 1 920 C) 1 930 D) 32 E) 60
19. Un reloj se adelanta 8 minutos en cada hora y otro reloj se atrasa 5 minutos en cada hora, si se ponen ambos a la hora al cado de 6 horas en cuantos minutos se diferenciaran en tiempo que marca cada reloj..
A) 78 B) 54 C) 62 D) 48 E) 72
20. Un obrero al pintar una pared rectangular cobra “N” soles. Pero indica que si cada lado de la pared se duplica, tendría que cobrar 144 soles más. ¿Cuánto cobraría si cada lado de la pared se reduce a su mitad?.
A) 72 B) 48 C) 36 D) 40 E) 12
PARA TU CUADERNO
21. U n avión t a r d a 2 m inutos para rec orrer 4,5K m . ¿ C uánto tardará e n rec orrer c on la m is m a veloc idad: 180K m ?
A ) 1h 20m in B ) 1h 30m in C ) 70 m in
D ) 7 m in E ) N .A .
22. S i 10 m e tros de tela c ues tan S /.150. ¿ C uánto s e p ag ar á po r 15 m e tr os d e la m is m a te la ?
A ) 1 50 B ) 2 25 C ) 18 0 D ) 15 E ) 1 00
2 3. S i 2 1 o br er os ta rd a n 1 0 d í a s p a r a h a c e r u na obra. ¿C uántos obreros se nec e s itarán para h ac e r la m is m a o br a en 1 5 día s ? .
A ) 1 5 B ) 1 0 C ) 14 D ) 11 E ) 1 8
2 4. U n e je rc ito tie ne v ív er es p ar a 6 5 d ía s . ¿ C u án to s s o ld ad os s e d eb en d ar d e ba ja s i s e q uie r e q ue lo s vív er es d ur en 1 5 día s m á s ? ( E n e je rc ito tie ne inicialm ente 640 soldados).
A ) 1 40 B ) 1 20 C ) 16 0 D ) 17 0 E ) 1 30
2 5. U n a o br a p ue de s e r he c h a po r 20 o br er os e n 14 d ía s . ¿ C u á nto s o br er os h ay q ue a ña dir p ar a qu e la s e te rm in e en 8 d ía s ? .
A ) 1 41 B ) 8 C ) 10 D ) 4 E ) 1 5
2 6. E n un d ía d e tr ab ajo d e 8 h o r a s , un o br er o h a h ec h o 1 0 cajas . ¿ C u án ta s ho ra s ta rd ar á en h ac e r 25 de es as m is m a s C ajas ?
A ) 1 8 B ) 2 0 C ) 22 D ) 16 E ) 2 4
2 7. S a b ie nd o qu e un b u r r o a t a d o a u na c u e rd a d e 3 m . d e la rg o, ta rd a 5 día s en c o m e rs e to do e l p as t o a s u a lc a n c e, ¿ C u án to ta rd ar ía s i la c u e rd a fuera de 6m .?
A ) 5 B ) 1 0 C ) 20 D ) 8 E ) 1 7
2 8. J u a n es e l do ble d e rá pid o q u e J o s é y es t e es e l tr ip le d e rá pid o q ue M ig ue l. S i e ntr e lo s 3 p ue de n te rm in ar u na o br a e n 1 6 d ía s ¿ E n c u á nto s d í a s J o s é y M ig ue l ha rá n la m is m a o br a? .
A ) 4 0 B ) 1 5 C ) 16 D ) 11 E ) 1 0
29. S i “a” o b r e r o s t i e nen víveres para “m ” días , s i e s tos víveres deben alc anzar para “4m ” días . ¿ C u á nto s ho m b r es d eb en d is m in uir ?.
A) 1/9a B) 1/7a C ) 3/5a D ) 3/4a E) a/2
30 . C ar los es el dob le de rá pid o q u e L u is , per o la c u a rta p ar te q ue P e d ro , S i L uis y P e dr o re aliz an un a ob ra en 33 día s . ¿ E n c uá nto s día s ha rá n la m is m a obra los tres juntos ?
Prof: José Enrique Malpartida R.
Tema 27
REGLA DE TRES COMPUESTA (R3C)
Es una regla de tres donde intervienen más de dos magnitudes proporcionales.
Métodos de solución:
Existen varios métodos de solución, en este caso emplearemos el método de nombrar si la magnitud es directamente proporcional (D.P.) o inversamente proporcional (I.P.) con la magnitud donde se encuentra la incógnita.
Pasos a seguir:
I. Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema.
II. En la primera fila se colocan los datos y en la segunda fila los demás datos incluido la incógnita.
III. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con cada una de las demás, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por D.P. y si es inversamente proporcional por I.P.
IV. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud, si son I.P. se copia IGUAL y son D.P. se copia DIFERENTE.
Ejemplo:
Seis obreros trabajando 16 días de 10 horas días pueden asfaltar 1 200m de una autopista. ¿Cuántos días emplearán 8 obreros trabajando de 8 horas diarias para asfaltar 1 600m de la misma autopista?
Solución:
N/ de Obreros N/ de Días N/ H/D OBRA
6 16 10 1 200
8 X 8 1 600
I. P. I.P. D.P
ÆÉÉÈÉÉÇ ÆÉÉÈÉÉÇ ÆÉÉÈÉÉÇ
Igual Igual Diferente
X = 16 .
X = 20 días
ACTIVIDAD
01. Si 12 máquinas pueden producir 35 mil lapiceros en 21 horas. ¿Cuántos miles de lapiceros podrán producir 24 máquinas en 18 horas?
02. En 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra, se retiran 3 obreros, ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?
03. Se necesitan 20Kg. de maíz par alimentar 7 gallinas durante una quincena, luego. ¿Cuántos kilogramos de maíz se necesitaran para alimentar 4 gallinas durante 3 semanas?
A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) NA
04. Seis monos comen 6 plátanos en 6 minutos.¿Cuántos plátanos comerán 60 monos en media hora?.
A) 30 B) 60 C) 300 D) 150 E) 180
05. En 48 días 15 obreros han hecho 1/5 de una obra que les fue encomendada. ¿Cuántos días empleara otra cuadrilla de 24 obreros triplemente hábiles en terminar la obra?.
A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60
06. Dieciséis obreros realizan los 4/9 de una obra en 6 días. Si se retiran seis obreros. ¿Cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra?
A) 12 B) 14 C) 15 D) 18 E) 9
07. En 12 días, 8 obreras han hecho los 2/3 partes de una obra. Se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para terminar la obra?
A) 12 B) 18 C) 16 D) 24 E) 9
08. Ocho sastres confeccionan 40 jeans de doble costura en 5 días trabajando 6h/d. ¿Cuántos sastres confeccionan 60 jeans de triple costura en 9 días trabajando 5h/d?.
A) 18 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24
09. Un grupo de 6 carpinteros que trabajan con un
rendimiento del 50% producen 200 carpetas en 10 días trabajando 5 horas/diarias. ¿Cuántas carpetas producirán 5 carpinteros de 90% de rendimiento en 15 días trabajando 4 h/d?.
A) 180 B) 240 C) 360 D) 400 E) 480
10. Nueve máquinas empaquetadores trabajando 10
horas diarias durante 6 días puede empaquetar 900 pedidos. Si sólo 4 de estas máquinas trabajan 2 horas diarias más durante 8 días. ¿Cuántos pedidos podrán realizar?.
A) 320 B) 450 C) 360 D) 720 E) 600
terreno respecto al segundo es como 2 es a 3).
A) 10 B) 15 C) 20 D) 23 E) 30
12. 15 obreros pueden hacer una zanja de 5m. de largo en 15 días a razón de 7h/d ¿En qué tiempo podrán hacer una zanja de 9m. de largo, 21 obreros a razón de 5h/d?:
A) 24 B) 30 C) 27 D) 28 E) 29
13. 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días?
A) 7 B) 10 C) 8 D) 9 E) 11
14. En un zoológico se necesitan 720kg de carne para
alimentar durante el mes de noviembre a 5 leones. ¿Cuántos kg. Se necesitaran para dar de comer a 3 leones más durante 25 días?.
A) 960 B) 990 C) 970
D) 980 E) 1 000
15. Dos secretarias copian 350 problemas en una
semana. ¿Cuántas secretarias serían necesarias para copiar 600 problemas en 4 días?
A) 6 B) 7 C) 4 D) 8 E) 5
PARA TU CUADERNO
16. En un zoológico se necesitan 720kg de carne para
alimentar el mes de noviembre a 5 leones. ¿Cuántos kg. se necesitaron para dar de comer a 3 leones más durante 25 días?.
17. Veinte obreros pueden hacer un trabajo en 15 días de 8 horas diarias. ¿Cuántos obreros harán un trabajo que es el doble del anterior en 16 días de 10 horas diarias?.
A) 25 B) 24 C) 30 D) 15 E) 40
18. En 12 días, 8 obreros han hecho las 3/4 partes de una obra. Se retira 6 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?.
A) 24 B) 48 C) 20 D) 16 E) 12
19. Cuarenta obreros en 12 días, pueden fabricar 600
artículos trabajando a razón de 8 horas diarias con un rendimiento de 90%. ¿Cuántos artículos podrán hacer 20 obreros en 18 días laborando 6 horas diarias con un rendimiento del 60%?
A) 220 B) 320 C) 225 D) 118 E) NA
20. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800m en3 50 días, ¿en cuantos días 100 hombres 50% más eficientes podrán cavar una zanja en 120m cuya3 dureza del terreno es 3 veces de la del anterior?.
Prof: José Enrique Malpartida R.
Tema 28
TANTO POR CIENTO
DEFINICIÓN
Es el número de partes que se toma de una cantidad principal que se encuentra dividida en 100 partes iguales: es decir:
Se toma x partes de 100 <>
Luego
En general:
PORCENTAJES NOTABLES < 100% es igual al total
< 50% es igual a 50/100 = 1/2 del total < 25% es igual a 25/100 = 1/4 del total < 75% es igual a 75/100 = 3/4 del total < 10% es igual al 10/100 = 1/10 del total < 20% es igual a 20/100 = 1/5 del total
Observaciones: 1. 100% = 1
A = 100% A P = 100% P
2. En matemática los enunciados
“x” por cuanto “n” =
“x” de “n” = x . n º 5% de 80 = 5%. 80
3. Operaciones de %: 30% A + 50% A = 80% A
70%B - 50% B = 20% B C + 40% C = 140% C D - 30% D = 70% D P + 10% P = 110%P
4. Conversión de fracción a tanto por ciento:
%
Ejemplos:
a. Calcular el 15% del 20% de 800. Resolución:
b. El 20% de que número es 60. Resolución:
20%A = 60
º A = 300
c) Si María vende el 30% de los huebos que tiene le quedaría 35 huevos. ¿Cuántos huevos tenía inicialmente? Resolución:
Luego:
70% H = 35 º H = 50 d) ¿Qué porcentaje de 420 es 84?
Resolución:
x%. 420 = 84
x% = º x% = x 100%
x% = 20%
ACTIVIDAD
01. Hallar el 25% de 400.
A) 24 B) 100 C) 50 D) 125 E) 200
02. Hallar el 0,2% de 2 000.
A) 2 B) 1 C) 4 D) 8 E) 6
03. Hallar el 12,5% % de 3 000.
A) 375 B) 3,72 C) 37,5
D) 3 750 E) 7350
04. Hallar: 2/3% de 15 000.
A) 10 B) 100 C) 30 D) 20 E) 80
05. Hallar: 3/4% de la tercera parte de 1 800, disminuido en 2..
A) 2,5 B) 4,5 C) 6,5 D) 25 E) 30
06. El 12% de que número es 36?
A) 3 B) 30 C) 300 D) 360 E) 60
07. El 0,35% de qué número es 0,07?
A) 2 B) 20 C) 200 D) 0,7 E) 70
08. El 20% de un número es 6. Hallar dicho número.
A) 20 B) 30 C) 15 D) 18 E) 24
09. EL 20% de los 2/5% de qué número es 0,004.
A) 5 B) 0,5 C) 0,25 D) 0,4 E) 0,25
10. ¿Qué porcentaje de 360 es 28?
A) 6% B) 10% C) 2% D) 5% E) 8%
11. ¿Qué porcentaje de 3/5 es 6/25?
A) 30% B) 25% C) 40% D) 24% E) 35%
12. ¿Qué porcentaje de 0,04 es 0,0028?
A) 8% B) 2% C) 70% D) 5% E) 35%
13. ¿Qué porcentaje de a b es 0,02a b ?3 2 2 3
A) B) C)
D) E) N.A.
14. De 80 alumnos; 16 desaprueban el curso de
Razonamiento Matemático. ¿Qué porcentaje de los 80 alumnos aprobaron el curso de Razonamiento Matemático?
A) 75% B) 80% C) 60% D) 70% E) 60%
15. En un ómnibus viajan 60 pasajeros de los cuales 15 son damas. ¿Qué porcentaje de los pasajeros no son damas?
A) 45% B) 75% C) 40% D) 25% E) 15%
16. Si a un número se le quita su 25% sería 60. Hallar dicho número.
A) 100 B) 80 C) 75 D) 90 E) 120
17. Si a “N” se le incrementa 30% tendríamos 91. Hallar dicho número “N”.
A) 69 B) 70 C) 72 D) 71 E) 61
18. Si Manuel tuviera el 25% menos de la edad que tiene, tendría 30 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 6 años?
A) 36 B) 24 C) 46 D) 52 E) 48
19. Al comprar una grabadora en la tieneda de mi amigo me hacen un descuento del 15%, costándome así 170 dólares. ¿Cuánto le costaría a otra persona que noes su amigo?
A) 340 B) 200 C) 300 D) 240 E) N.A.
20. Una señora va al mercado, donde al comprar un cierto número de naranjas le regalan un 12% de las que compró. Obteniendo así 224 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?
Prof: José Enrique Malpartida R.
PARA TU CUADERNO
21. Hallar el 40% de 120.
A) 24 B) 36 C) 48 D) 60 E) 40
22. Hallar el 15% del 20% de 800.
A) 24 B) 30 C) 40 D) 36 E) 12
23. Calcular el 23,5% del 8% del 36% de 25 000.
A) 169,2 B) 172,6 C) 172,8
D) 121,4 E) N.A.
24. El 5% del 10% de los 4/3 de una cantidad es 15.
Hallar dicha cantidad.
A) 2 050 B) 1 816 C) 2 225
D) 2 250 E) 2 260
25. ¿Qué porcentaje del triple del 30% del un número es el 15% del 60% de dicho número?
A) 8% B) 10% C) 12% D) 16% E) 9%
26. De la figura:
¿Qué % de los cubos son los cubos con asteriscos?
A) 35% B) 45% C) 25%
D) 32% E) 31,25%
27. Hallar que porcentaje del día permaneces en el
colegio?
Rpta: ...
28. De 200 melones, 80 resultaron en mal estado, ¿Qué porcentaje de los 200 están buenos para la venta?
A) 80% B) 120% C) 60% D) 30% E) 50%
29. Si vendiera mi libro de Razonamiento Matemático en un 25% más; costaría 20 soles. ¿Cuál es el precio real del libro?
A) S/.16 B) S/.25 C) S/.30
D) S/.45 E) S/.50
30. Carlos vende un artículo ganando el 10% de lo que le costo y le dan 300 soles. Hallar el precio de costo.
Tema 29
ESTADÍSTICA
La estadística es la ciencia que se ocupa de recolectar, procesar, presentar, analizar e interpretar datos que sirven para
la toma de decisiones de un investigación
Existen dos tipos de estadística, según el trabajo realizado con los datos.
# Estadística descriptiva: Recopila, procesa, analiza e interpreta un grupo de datos, sin ningún intento de hacer una predicción
basada en ellos. Ejemplo:
La tabla de posiciones del campeonato de fulbito de primer grado de secundaria.
# Estadística inferencial: Estudia las inferencias o conclusiones hechas a partir de una información parcial (muestra), y las
condiciones que rigen su validez. Ejemplo:
Un profesor de matemática utiliza el promedio del curso de la sección A para estimar la calificación promedio del resto de secciones (B, C, D y E). Sin embargo, el profesor debe establecer qué probabilidad hay de que sea cierta su conclusión.
POBLACIÓN Y MUESTRA
Yavira estudia la clase de música que le gusta a sus compañeros de colegio. Juan analiza los votos en las elecciones peruanas. Ricardo revisa y coteja la fallas de los autos ensamblados en una empresa. ¿Qué objetos o sujetos estudia cada uno?
El conjunto por todos los individuos (personas, animales o cosas) que son objeto de estudio se llama población.
Las poblaciones pueden ser finita o infinitas por ejemplo:
Los estudiantes de un colegio en el años 2 002 es una población finita, pero si nos referimos a los estudiantes de un país, en el tiempo, tenemos una población infinita.
En el año 2 000 hubo elecciones en Perú, muchas empresas divulgaron el resultado, antes de la elección. ¿Éstas obtuvieron resultados rápidos encuestando a toda la población? ¿Qué procedimiento siguieron?
Un subcojunto de una población recibe el nombre de muestra, está tiene menor número de elementos que la población y es representativa de la misma, pues conserva las proporciones y características de la población.
El estudio de una muestra resulta menos costoso, más rápido y nos puede brindar precisión si la muestra es elegida adecuadamente, Por ejemplo:
Para estudiar la calidad de un lote de 100 000 focos se toma una muestra al azar de 1 000 focos.
Variable estadística
Javier estudia las características de un deportista. ¿Qué datos puede pedir Javier?
Cada una de las características de un elemento de la población que se investiga o registra recibe el nombre de Variable estadística.
Ejemplo de variable son:
El estado civil (soltero, viudo, divorciado); el sexo (masculino, femenino); la profesión; la nacionalidad; el peso; la edad; la talla; el número de latidos del corazón, etcétera.
CLASIFICACIÓN DE VARIABLES Las variables se clasifican en:
# Variables cualitativas: Son características que se expresan como categorías (nombre o números) que al analizarlas sólo
permiten observar semejanzas o diferencias.
Por ejemplo: estado civil, sexo, profesión, nacionalidad, etcétera.
# Variable s cuantitativas: Son características que se expresan de forma numérica. Por ejemplo: peso, edad, talla, número de
latidos de corazón etcétera.
Por ejemplo: peso, edad, talla, número de latidos del corazón, etcétera. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:
< Discretas, si toman valores de un subcojunto de los números enteros.
Por ejemplo: El número de hermanos, el número de goles a favor o en contra en un campeonato de fútbol.
< Continuas, si toman como valores números decimales.
Por ejemplo: El peso de una persona, la temperatura de una ciudad.
ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS
Prof: José Enrique Malpartida R.
p, m, m, a, f, a. ¿Cómo pueden elaborar un informe acerca de lo observado.La información recolectada es organizada en datos estadísticos y presentada en tablas y gráficas, así se pueden hacer comparaciones y observar tendencias. Veamos cómo se presentan los datos según los diferentes tipos de variables.
TABLE DE FRECUENCIAS Y GRÁFICA: VARIABLES CUALITATIVAS
Para variables cualitativas, utilizamos la tabla de distribución de frecuencias y la gráfica de barras o circular.
# Tabla de Frecuencias:
< Absoluta (fi), si el número de veces que se repite un dato por categoría.
< Relativa (hi), si el cociente obtenido entre el valor de una determinada frecuencia absoluta y el total de datos
observados. Se expresa también como porcentaje multiplicando dicho cociente por 100.
< Acumulada absoluta (Fi), Si se suman las frecuencias relativas. La correspondiente a la última categoría es igual al
total de observaciones.
< Acumulada relativa (Hi), si se suman las frecuencias absolutas relativas. La correspondiente a la última categoría de
la variable es igual a 1 ó 100%.
Ordenemos, en una tabla de frecuencias, los datos de la situación inicial.
TIP O D E Á R B O L
FR E C U E N C IA AB S O LU TA (fi)
FR E C U E N C IA R E LA TIV A (hi)
P O R C E N TAJE (hi) X 100)
F. AC U M U LA D A A B S O LU TA (Fi)
F. AC U M U LA D A R E LA TIV A (H i)
Acacias Ficus Cauchos Eucaliptos Poncianas Molles Total
5 3 1 2 2 7 20
5 ÷ 20 = 0,25 3 ÷ 20 = 0,15
1,00
25% 15%
100%
5 8
20
25% 40%
100%
# Gráfica: Presenta os datos por medio de figuras que hacen visible la relación entre ellos. Pueden ser gráficas de barras
o diagrama circular.
< Gráfica de barras: Para elaborar ubicamos en el eje x las categorías de la variable en estudios y en el eje y las
frecuencias absolutas.
Observa que las barras se dibujan dejando un espacio entre ellas.
# Gráfica o diagrama circular: Identifica cada categoría con un sector del círculo. Si es tridimencional recibe el nombre de
pastel.
TABLAS DE FRECUENCIAS Y GRÁFICA: VARIABLES CUANTITATIVAS
En un aula se preguntó a cada estudiante por su número de hermanos. Las respuestas fueron: 2; 1; 2; 3; 0; 2; 1; 1; 4; 2; 1; 4; 1; 3; 5; 1; 0; 5; 2; 1; 3; 2; 1; 0. ¿Cómo resumirías los datos?, ¿Puedes gráficarlos?
Para variables cuantitativas discretas, utilizando la tabla de frecuencias, la representamos mediante un gráfica de barras, circular y de bastones.
# Tabla de frecuencias: Presenta las categorías de la variable ordenadas de forma ascendente. Las frecuencias absolutas y
relativas, en este caso, tienen el mismo significado y propiedades que para la variable cualitativa.
# Gráfica: Utilizamos generalmente la gráfica de bastones, que consisten en trazar para cada categoría de la variable un
segmento de recta proporcional a la frecuencia.
N/ de Hermanos
Frecuencia Absoluta (fi)
Frecuencia Relativa (hi)
0 1 2 3 4 5 Total
3 8
25
12% 32% 24% 16% 8% 8% 100%
Se recopilaron datos sobre el peso (kg) de 40 alumnos. Los resultados fueron 42; 46; 54; 61; 37; 46; 65; 58; 70; 54; 42; 36,5; 54; 48; 65; 58; 37; 38; 65; 54,25; 61; 58; 36; 46; 54; 58; 61; 48; 54; 42; 48; 61; 54; 46; 48; 75; 48; 54; 45; 70; 48; 58; 48. ¿Es conveniente elaborar la tabla de frecuencias que hemos estado usando? ¿Por qué?
Para variables cuantitativas continuas, utilizamos la distribución de frecuencias por intervalos o clases, pues el número de valores de la variable es muy grande. Las representamos con el histograma y el polígono de frecuencias.
# Tabla de frecuencias por intervalos: Se obtiene agrupando los datos en intervalos o clases y determinando el número
de datos que contiene cada uno. Para hallar la longitud de intervalo se calcula la diferencia entre los datos extremos y se divide entre el número de intervalos deseados.
< Gráfica: Se usa el histograma considerado que la base de cada barra es proporcional a la longitud del intervalo y la altura
proporcional a la frecuencia.
Peso (kg) 36 37 42 46 48 54 58 61 65 70
N/ de Alumnos 2 2 3 4 7 8 5 4 3 2
PESO DE ALUMNOS (INTERVALOS)
N/ DE ALUMNOS
(FRECUENCIA)
[36; 43[ 7
[43; 50[ 11
[50; 57[ 8
[57; 64[ 9
[64; 71] 5
Cada intervalo incluye el valor de la izquierda pero no el de la derecha. El último intervalo considera ambos valores. El polígono de frecuencias se forma uniendo los puntos medios de cada intervalo y cerrando el polígono medio intervalo antes del primero y medio intervalo después del último.
ACTIVIDAD
01. Escribe V o F según cada enunciado sea verdadero o falso.
a. La frecuencia absoluta puede ser
negativa ( )
b. La frecuencia relativa es un racional positivo o
cero ( )
c. La suma de frecuencias absolutas es mayor
que 1. ( )
d. La suma de frecuencias relativas es 1 ó
100% ( )
e. La suma de frecuencias absolutas es igual al número de observaciones realizadas. f. La frecuencia acumulada es igual a la suma
de las frecuencias de dos valores
consecutivos. ( )
02. En un centro comercial, 30 de los más asiduos
compradores llenaron encuestas sobre el servicio brindado, la calificación usada fue:
A = Excelente B = Muy bueno C = Bueno
D = Aceptable E = Regular F = Deficiente
Los resultados fueron:
C B C A F A D B D C A B F D C A B D C C B A A C B F A D D F
a. Elabora una tabla de frecuencias simples y
acumuladas: absoluta y relativa.
Prof: José Enrique Malpartida R.
2 4 1 3 2
0 1 1 2 2
2 2 3 2 1
2 2 1 2 1
1 1 2 2 1
0 1 1 1 2
3 0 1 2 2
a. Construye una tabla distribución de frecuencias. b. Haz un diagrama de barras para representar los
datos.
04. Para cada gráfica elabora la tabla de frecuencias respectiva considerando en ella frecuencias absolutas y relativas simples y acumuladas.
(Nota: Aproximar al centésimo si es necesario)
05. Se tiene la tabla de distribución: a. Completa los datos en la tabla.
ESTUDIANTES DE PRIMER NÚMERO DE HERMANOS
i i
X f
i h
Fi H
% C O M O FR AC C IÓ N
O D E C IM A L
C O M O P O R C E N TA JE (% )
4 8 8
3 2
2 10
1 8
0 4
T otal
b. ¿Cuántos estudiantes de primero tienen hermanos? c. ¿Cuántos estudiantes tienen 2 o más hermanos?
d. ¿Qué porcentaje de alumnos tiene 3 o más
hermanos?
e. Elabora una gráfica de bastones de frecuencias absolutas acumuladas para el tipo de tabla que has completado.
f. En relación a la gráfica anterior, ¿te parece que resulta útil este tipo de frecuencias acumuladas? Si tu respuesta es afirmativa ¿en qué casos?
06. En la siguiente gráfica se muestran las preferencias de los alumnos de un aula por los cursos de matemática (M), lenguaje (L), inglés (I), historia del Perú (HP), historia universal (HU) y geografía (G).
Si a 12 alumnos les gusta la matemática,
a. ¿ C u á n t o s a l u m n o s conforman el salón? b. ¿a cuántos le gusta la
geografía.
07. Dado el siguiente pictograma acerca del tipo de
detergente que usan las amas de casa del cono norte.
¿Qué porcentaje consumen otros detergentes?
A) 6% B) 5% C) 4% D) 10% E) 3%
08. Del gráfico anterior indicar que porcentaje no
corresponde a Opal ni a Ariel.
A) 46,5% B) 42,5% C) 40%
D) 48,5% E) 51%
09. Dado el siguiente diagrama de barras acerca de
número de hijos de 80 hogares de la Urb. El Retablo.
¿Cuántas familias encuestadas tienen menos de 3 hijos?
A) 63 B) 58 C) 45 D) 72 E) 56
10. A partir de la siguiente gráfica, determina el gasto mensual en cada rubro, si una persona gana S/.5 000.
11. Se han recopilado las notas de los cursos de
1 2
matemática (C ) y lenguaje (C ) de primer año:
1 2
Notas C C
[0; 5[ 1 0
[5; 10[ 7 4
[10; 15[ 23 31
[15; 20] 9 5
03. Al realizar una encuesta entre sus compañeros de
clase para saber el número de hermanos que tiene, se obtuvieron los siguientes datos.
a. Construye los histogramas de los dos cursos. b. Discute y compara a las dos distribuciones.
12. El departamento de control de calidad de la fábrica textil “La Reina” toma una muestra, cada 2 horas, del número de tejidos producidos en cada uno de los 3 turnos que tiene.
TIEMPO TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3
[0; 2[ 2 0 1
[2; 4[ 4 1 1
[4; 6[ 5 2 2
[6; 8] 7 3 3
a. Construye una histograma para cada turno. b. ¿Qué turno es más eficiente?
13. El siguiente gráfico muestra la asistencia al pub “Costa Azul”
El número de mujeres solas que asistieron el sábado entre el número de las que asistieron el viernes es igual:
A) 2.5 B) 2 C) 1,5 D) 1 E) 0,5
14. En el problema anterior el número de hombres que asistieron el sábado excede al número de hombres que asistieron el viernes en:
A) 100 B) 150 C) 200 D) 250 E) 300
15. En base al diagrama que se muestra determinar el
número total de alumnos y la mayor cantidad de alumnos que obtuvieron una misma nota.
A) 80 v 30 B) 150 v 5 C) 80 v 20
D) 75 v 30 E) 100 v 25
PARA TU CUADERNO
16. Del presupuesto nacional de la República, se destina a un pueblo la cantidad de $40 000 para salud, vivienda y educación.
a. ¿Cuál es el porcentaje que se utilizó en vivienda? b. ¿Cuánto dinero se utilizó en salud?
17. Dada la siguiente tabla de tiempos de utilización de la
Tiempo (Min) Profesores
[0;10[ 0
[10; 20[ 5
[20; 30[ 20
[30; 40[ 30
[40, 50[ 42
[50; 60[ 55
[60; 70[ 36
[70; 80[ 26
[80; 90[ 15
[90; 100[ 10
[100; 110[ 6
[110; 120] 5
Diagrama el histograma y el polígono de frecuencia en una sola gráfica.
18. El siguiente histograma nos muestra el consumo
