lpp122n05

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Lenguajes de Programaci´

on y sus Paradigmas, 2012-2

Nota de clase 5: Introducci´

on al Paradigma Funcional,

C´

alculo Lambda

*

Favio E. Miranda Perea Lourdes Del Carmen Gonz´alez Huesca Facultad de Ciencias UNAM

2 de marzo de 2012

En el lenguaje de expresiones aritméticas estudiado anteriormente es posible expresar, por ejem-plo, para cada expresión dadae, el cómputo de su doble mediante la operación de suma e+e. Sin embargo no es posible expresar el mecanismo de duplicación de una expresión numérica en gen-eral, es decir, no es posible escribir un programa que reciba una expresión numérica cualquiera e

y devuelva e+e. Para esto necesitamos introducir un mecanismo de definición de funciones que capture patrones de cómputo generales que puedan instanciarse para obtener resultados espec´ıficos. Para pasar de instancias particulares dee+ea una expresión general reemplazamos las presencias de e por una variable x la cual se marca como sujeta a variación mediante un mecanismo de ab-stracción y ligado. En esta nota extendemos el lenguaje con este mecanismo de definición conocido como abstracción funcional o abstracción lambda (λ). Esta clase de abstracción es común a diversos lenguajes de programación funcional, en particular en la familia de lenguajes descendientes deLISP la duplicación puede escribirse como (lambda x(+x x)). En general la sintaxis de las expresiones lambda, en Schemepor ejemplo,es

(lambda (x) e)

donde lambdaes una palabra reservada que indica la definición de una función con parámetro x y cuerpo e. La expresión puede leerse como “la función que, para cada x, devuelve e”. El parámetro se liga mediante la abstracción lambda y consecuentemente puede ser renombrado de acuerdo a las reglas de la α-equivalencia. Veamos un par de ejemplos mas:

La funci´on x7→x2 se denota como (lambda(x) (∗x x))

La funci´on y7→(3 +y)∗(y−4) es (lambda(y) (∗(+3 y) (−y 4)))

También podemos definir funciones con más de un parámetro, por ejemplo la función producto (x, y)7→x∗y se define como (lambda(x y) (∗x y))

En complemento a la definición de funciones se requiere un mecanismo de aplicación de una función f a un argumento e. Esta operación no requiere de un operador en la sintaxis concreta y se denota simplemente con la escritura en secuencia de ambas expresiones, es decir, la expresión f y

*

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indica que la funciónf se aplica al argumentoy. Por ejemplo la expresión (lambda(z) (+2 z))3se refiere a la aplicación de la función (lambda(z) (+2 z)) al argumento 3 lo cual debe evaluarse a 5. El lenguaje formal para estudiar las operaciones de abstracción y aplicación funcional se conoce como cálculo lambda. Este formalismo puede considerarse como el cimiento del paradigma de pro-gramación funcional y es parte esencial de los lenguajes funcionales modernos. Aunque es importante observar que no tuvo mayor impacto en el desarrollo deLISPmás allá del uso de la notación lambda. Al respecto el mismo McCarthy1 dice “Para usar funciones como argumentos, uno necesita una no-tación para funciones, y parec´ıa natural usar la notaciónλde Church (1941). Yo no entend´ı el resto de su libro de manera que no intenté implementar su mecanismo general para definir funciones”. Esto muestra la humildad de un gran cient´ıfico,LISPtuvo muchas innovaciones tanto teóricas como prácticas, por ejemplo:

El uso de recolección de basura2 _{como un m´}_{etodo para reutilizar celdas de memoria.} El uso de cerraduras para implementar la resolución estática del alcance.

La invenci´on de la expresi´on condicional y su uso para escribir funciones recursivas.

El uso de funciones de orden superior, es decir, funciones que reciben funciones como argu-mento y/o devuelven funciones como resultado.

A continuación abandonamos la notación lambda de LISP para estudiar brevemente el cálculo lambda puro y con tipos simples.

1. El C´

alculo Lambda Puro

λ

U

El cálculo lambda es un formalismo matemático inventado durante finales de la decada de l930 por Alonzo Church y Stephen Kleene con el propósito de fundamentar la matemática. Si bien tal propósito no se cumplió, el mismo Church dijo alguna vez que el sistema podr´ıa tener otras aplica-ciones distintas a su uso como una lógica. Palabras proféticas dado que el cálculo lambda, diseñado para investigar la definición y aplicación de funciones as´ı como diversos principios de recursión, se ha convertido en el cálculo núcleo para estudiar fundamentos de lenguajes de programación. De hecho puede considerarse como un lenguaje ensamblador para el paradigma de programación funcional.

La definici´on del c´alculo lambda puro, denotado de ahora en adelanteλU, es sorprendentemente simple, he aqu´ı su sintaxis concreta:

e::=x|λx.e|e e

Se tiene un conjunto infinito de variables y dos operaciones, la abstracci´on lambdaλx.edeclarada en LISP como (lambda (x) e)y la aplicaci´on denotada e1e2.

En el cálculo lambda puro no hay distinción formal entre funciones y argumentos, toda expresión denota a una función, este es el caso extremo de un lenguaje de programación funcional.

1_{John McCarthy. History of LISP. In Richard L. Wexelblat, editor, History of Programming Languages: Proceedings} of the ACM SIGPLAN Conference, pages 173-197. Academic Press, June 1-3 1978.

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1.1. Aplicaci´on

Una expresión de la forma e1e2 se llama aplicación. La idea es quee1e2 denota a la aplicación de la función e1 al argumento e2. La aplicación se asocia a la izquierda de manera que e1e2e3 significa (e1e2)e3 y NO e1(e2e3). Obsérvese que no hay un operador expl´ıcito para la aplicación, ´

esta se denota simplemente mediante la escritura secuencial de dos expresiones.

1.2. Abstracci´on lambda

Una expresión de la formaλx.e se llamaabstracción lambda o simplementeabstracción. La idea aqu´ı es queλx.eindica una abstracción de los valores particulares de la variablexen la expresióne

lo cual causa quee se considere una función de x, es decir, la expresión λx.edefine anónimamente a la función la funciónx7→eque asocia a cada valorx la expresióne. El punto en una abstracción es un caso particular de la sintaxis de orden superior y denota el ligado de x en e, además indica que el alcance del ligado paraxse extiende a la derecha tanto como sea posible. Por ejemplo,λx.xy

significa λx.(xy) y no (λx.x)y. Para facilitar la escritura de abstracciones usaremos la siguiente convenci´on

λx1x2. . . xn.e=def λx1.λx2. . . . .λxn.e

Veamos unos ejemplos:

λxyz.xz(yz) = λx.λy.λz.xz(yz) = λx.λy.λz.(xz)(yz) (λxyz.xz)yz = (λxyz.xz)y

z

= (λx.λy.λz.xz)yz

Dado que en la abstracciónλx.eel operadorλliga a la variablex enese mantiene la noción de variables libres y ligadas introducida anteriormente con las expresioneslet. En particular se tiene que el conjunto de variables libres de una abstracción se define como F V(λx.e) = F V(e)\ {x}. Por ejemplo en (λxy.xzy)(λz.zy)u las dos presencias de x son ligadas as´ı como las dos primeras presencias de y y las dos últimas presencias de z mientras que el resto de las presencias de cada variable son libres. Una expresiónetal que siF V(e) =∅es una expresióncerradatambién conocida como combinador3_.

Ejemplo 1.1 Algunos t´erminos del c´alculo λy su significado intuitivo son:

x, la funci´on indeterminada x

xy, la aplicación de la funciónx a la funcióny, ambas indeterminadas.

xyz, la aplicaci´on de la funci´on xy a z, todas indeterminadas.

x(yz), la aplicaci´on de x a la aplicaci´on de y a z.

λx.xla funci´on que toma un argumentoxy devuelve el mismo elementox, es decir, la funci´on identidad.

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λz.y, la funci´on que toma un argumento z y devuelve y, es decir, la funci´on constante y.

λx.λz.x, la función que para cada x, devuelve la función que para cada zdevuelve x, es decir, la función que para cada x devuelve la función constante que devuelve x.

λx.λy.λz.xyz, la funci´on que le aplica a cadaz el resultado de aplicarle x a y.

λx.λy.λz.x(yz), la funci´on composici´on de x y y

λx.xx, la funci´on que para cada x devuelve la aplicaci´on de x a x.

(xy)(zw), la funci´on que aplica el resultado de aplicar x a y, al resultado de aplicar z a w, todas indeterminadas.

2. Sem´

antica Operacional

La semántica operacional del cálculo lambda es muy simple y está dada por la siguiente regla conocida como reducciónβ.

(λx.t)s→_β t[x:=s]

Debido a esta regla, a las expresiones de la forma (λx.t)sse les llama redex (del inglés “reducible expression”). Se observa entonces que todo paso de evaluación es simplemente una substitución definida de la manera usual mediante el uso de α-equivalencia para evitar la captura de variables libres:

x[x:=r] =r.

y[x:=r] =y si x6=y.

(ts)[x:=r] =t[x:=r]s[x:=r].

(λy.t)[x:=r] =λy.t[x:=r] donde s.p.g.y6=x yy /∈F V(r).

3. Representaci´

on de booleanos, pares y n´

umeros naturales

El c´alculo lambda puro es lo suficientemente poderoso para representar tipos de datos como booleanos y n´umeros naturales, as´ı como estructuras de datos como pares. Veamos algunos ejemplos:

3.1. Booleanos

true:=λxλy.x

false:=λxλy.y

ift:=λv.λtλf.vtf

not:=λz.z false true and:=λx.λy.xy false

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ift true e1e2 →? e1

ift falsee1e2 →? e2

por lo que el t´ermino iftse comporta como el condicional if then else.

not true→? _false

not false→? _true

and falseb→? _false

and true b→? _b

3.2. Pares

pair:=λf λsλb.bf s

fst:=λp.ptrue snd:=λp.pfalse

Estos t´erminos cumplen lo siguiente:

fst(pairs t)→?_s

snd(pairs t)→?_t

3.3. Naturales (numerales de Church)

¯

0 :=λs.λz.z

¯

1 :=λs.λz.sz

¯

2 :=λs.λz.s(sz) ¯

3 :=λs.λz.s(s(sz)) ¯

n:=λs.λz. s(. . .(s | {z } n veces

z). . .)

suc:=λn.λs.λz.s(nsz) tal que

∀n∈_N sucn¯→? _n_{+ 1}

suma:=λm.λn.n(suc)m tal que

∀n, m∈_N suman¯m¯ →?n+m

prod:=λm.λn.m(suman)¯0 tal que

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iszero:=λm.m(λx.false)truetal que

iszero ¯0→?true iszero(n+ 1)→? false

pred:=λm.fst(mss zz)

• zz:=pair¯0 ¯0

• ss:=λp.pair(sndp)(suc(sndp))

Acerca de como surgen estas definiciones podemos mencionar que sus origenes están en ciertas definiciones dadas mediante especificaciones lógicas. Más detalles caen fuera del alcance de nuestro curso.

4. No terminaci´

on del c´

alculo lambda puro

La propiedad de terminación no es válida en el cálculo lambda puro, al existir expresiones e

que no cuentan con una forma normal. El ejemplo cl´asico es sl siguiente: sean ω =def λx.xx y

Ω =def ωω. La sem´antica operacional nos lleva a la siguiente secuencia de reducci´on:

Ω =ωω= (λx.xx)ω→_β (xx)[x:=ω] =ωω= Ω

De manera que Ω se reduce a s´ı mismo en un paso lo cual genera la sucesi´on infinita de reducci´on:

Ω→β Ω→β Ω→β Ω→β . . .

Es decir Ω no tiene una forma normal y representa a un programa cuya evaluaci´on se cicla indefinidamente.

Obsérvese que una razón para la no terminación de expresiones como Ω es el uso de la autoapli-cación, ω es una función que recibe una función x y devuelve xx que es el resultado de aplicar x

a s´ı misma. Por otra parte Ω es la función que resulta al aplicarω a s´ı misma. El cálculo lambda puro no prohibe que una expresión se aplique a s´ı misma lo cual a primera vista parece extraño, pero resulta útil para definir funciones recursivas como veremos más adelante.

5. El C´

alculo Lambda con Tipos Simples

λ

→

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5.1. Sintaxis de λ→

A la sintaxis concreta agregamos:

e::=. . . |λx:T.e|e e

Es de importancia observar lo siguiente:

El tipo del parámetro en una abstracción se dá explicitamente, esto facilita la implementación de la semántica estática.

La abstracción de funciones incorpora a la sintaxis del lenguaje anotaciones de tipos. Esto se conoce como tipificación à la Church.

Las funciones son an´onimas, es decir no tienen nombre.

Obs´ervese que es m´as usual nombrar funciones, como por ejemplo:

functiondoble(n:Nat)⇒n+n

que en nuestro caso se escribe simplemente comoλn:Nat.n+nM´as adelante discutimos como nombrar funciones.

La sintaxis abstracta se extiende como sigue:

t::=. . . |lam(T, x.t)|app(t, t)

Recordemos que en cualquier caso de ligado se utiliza la α-equivalencia. Es decir, expresiones que difieren exclusivamente en sus variables ligadas se consideran id´enticas.

5.2. Sem´antica Est´atica de λ→

Respecto al sistema de tipos, se agrega el constructor de tipos de funci´on

T::=. . . |T→T

Obsérvese que esta es la primera ocasión en que el sistema de tipos se vuelve infinito, es decir hay una infinidad de tipos. En particular el constructor de tipos función genera tipos para funciones de orden superior, es decir, funciones que pueden recibir funciones como argumentos o devolver funciones como resultados. Por ejemplo:

Nat→(Nat→Nat) es el tipo de funciones que devuelven una funcion de naturales en naturales para cada natural dado.

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(Nat→ Nat) →(Nat→ Nat) es el tipo de funciones que devuelven una funci´on de naturales en naturales a cada funci´on de naturales en naturales dada.

Es de gran importancia observar que los tipos funci´on se asocian a la derecha, es decir,

T1 →T2→. . .→Tn−1→Tn significa T1 →(T2 →. . .→(Tn−1 →Tn). . .)

Las nuevas reglas de tipado son:

Γ, x:T`e:S

Γ`lam(T, x.e) :T→S (tabs)

Γè1 :T→S Γè2 :T Γàpp(e1, e2) :S

(tapp)

5.3. Sem´antica Din´amica de λ→

Respecto a la sem´antica din´amica tenemos las siguientes novedades.

Las abstracciones funcionales se consideran valores:

v ::= . . . |lam(T, x.e) Las nuevas reglas de evaluaci´on son:

e1 →e01

app(e1, e2)→app(e01, e2)

(eappi)

e2 →e02

app(v, e2)→app(v, e0₂)

(eappd)

app(lam(T, x.e), v)→e[x:=v] (β)

En su conjunto las reglas de evaluación modelan la estrategia de llamada por valor, para evaluar una aplicación e1e2 es necesario primero reducire1 hasta que sea una función expl´ıcita, es decir, un valor funcional, para después evaluar el argumentoe2 hasta que sea un valor expl´ıcito. Es hasta ese momento cuando se puede ejecutar la aplicación mediante la reglaβ.

En este caso es muy com´un usar sintaxis concreta para la evaluaci´on. Por ejemplo, la regla (β) es:

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6. Propiedades importantes de

λ

→

Para terminar las generalidades del c´alculo lambda presentamos algunas de sus propiedades relevantes

6.1. Seguridad del lenguaje λ→

A continuaci´on damos las herramientas necesarias para probar la necesidad del lenguaje.

Lema 1 (Inversi´on) Si Γ`t:T entonces 1. Sit=x entonces Γ = Γ0, x:T

2. Sit=λx:R.e entonces T=R→S yΓ, x:R`e:S

3. Sit=e1e2 entonces existe S tal que Γ`e1:S→T y Γ`e2:S

Demostraci´on. Inmediato por inspecci´on de las reglas de tipado. a

Lema 2 (Sustituci´on) Si Γ, x:T`t:S y Γ`e:T entoncesΓ`t[x:=e] :S

Demostración. Inducción sobre la derivación del primer juicio. a

Proposición 1 (Preservación) Si Γè:T y e→e0 entonces Γè0:T

Demostraci´on. Inducci´on sobree→e0 a

Lema 3 (Formas canónicas) Un valor de tipo función es una abstracción lambda. Es decir, si e

es un valor y Γ`e:T→S entonces e=λx:T.e0 para algunos x, e0 tales queΓ, x:T`e0:S

Demostraci´on. Directo. a

Proposici´on 2 (Progreso) Si `e:T entonces ees un valor o existe e0 tal quee→e0

Demostraci´on. Inducci´on sobre las reglas de tipado a

6.2. Terminaci´on de λ→

La propiedad de terminación o normalización fuerte vuelve a ser válida en el caso del cálculo lambda con tipos simples. Esta es la instancia más simple de una técnica importante en el estudio de lenguajes de programación conocida comoterminación basada en tiposdonde la semántica estática garantiza que los programas terminarán adecuadamente.

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La demostración de este hecho no es simple y cae fuera de los l´ımites de este curso. Es útil intentar una prueba por inducción sobre `y ver por qué falla.