Propuesta curricular en geometría para educación básica primaria y secundaria y educación media

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(1)PROPUESTA CURRICULAR EN GEOMETRÍA PARA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA Y SECUNDARIA Y EDUCACIÓN MEDIA. Presentado por:. VERÓNICA MARIÑO SALAZAR. Dirigido por:. JOSÉ RICARDO ARTEAGA. TESIS PRESENTADA AL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COMO PARTE DE LOS REQUISITOS PARA OPTAR POR EL GRADO DE MATEMÁTICO. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES BOGOTÁ, COLOMBIA JULIO, 2004.

(2) Con base en la LEY 115 de 1994 por la cual se expide la ley general de educación para Colombia, Me dirijo a la comunidad educativa de las distintas instituciones de educación formal en el país, Me dirijo también al Consejo Académico teniendo en cuenta su participación en los cambios curriculares que considere pertinentes.. Artículo 76 (Ley 115) Concepto de currículo. Currículo es el conjunto de criterios, planes de estudio, programas, metodologías, y procesos que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad cultural nacional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos, académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el proyecto institucional.. Artículo 77 (Ley 115) Autonomía escolar. Dentro de los límites fijados por la presente ley y el proyecto institucional, las instituciones de educación formal gozan de autonomía para organizar las áreas fundamentales de conocimientos definidas para cada nivel, introducir asignaturas optativas dentro de las áreas establecidas en la ley, adaptar algunas áreas a las necesidades y características regionales, adoptar métodos de enseñanza y organizar actividades formativas, culturales y deportivas, dentro de los lineamientos que establezca el Ministerio de Educación Nacional.. Artículo 6º (Ley 115) Comunidad educativa. (...) La comunidad educativa está compuesta por estudiantes o educandos, educadores, padres de familia o acudientes de los estudiantes, egresados, directivos docentes y administradores escolares. Todos ellos, según su competencia, participarán en el diseño, ejecución y evaluación del Proyecto Educativo Institucional y en la buena marcha del respectivo establecimiento educativo..

(3) Artículo 145 (Ley 115) Consejo Académico. El Consejo Académico, convocado y presidido por el rector o director, estará integrado por los directivos docentes y un docente por cada área o grado que ofrezca la respectiva institución. Se reunirá periódicamente para participar en: a) El estudio, modificación y ajustes al currículo, de conformidad con lo establecido en la presente ley; b) La organización del plan de estudio; c) La evaluación anual e institucional, y d) Todas las funciones que atañen a la buena marcha de la institución educativa..

(4) “La geometría existe, como dijo el filósofo, en todas partes. Es preciso, sin embargo, tener ojos para verla, inteligencia para comprenderla y alma para admirarla.” Malba Tahan El Hombre que Calculaba.

(5) ÍNDICE GENERAL. 1.. 2.. MARCO TEÓRICO......................................................................................... 1. 1.1.. UN POCO DE HISTORIA..................................................................... 1. 1.2.. NIVELES DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE............................ 8. 1.2.1. Descripción de los niveles........................................................... 8. 1.2.2. Ejemplo........................................................................................ 10. 1.2.3. Acerca de los niveles................................................................... 15. ¿PARA QUÉ Y CÓMO ENSEÑAR GEOMETRÍA?.................................... 18. 2.1.. ¿POR QUÉ ESTUDIAR GEOMETRÍA?............................................... 18. 2.1.1. Dominio del espacio.................................................................... 18. 2.1.2. La geometría en el arte................................................................ 20. 2.1.3. Pensamiento geométrico............................................................. 21. 2.2.. ¿POR QUÉ ESTUDIAR GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS?.......... 23. 2.3.. LA ERA DEL POST MODERNISMO EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA......................................................................................... 25. METODOLOGÍA................................................................................... 26. 2.4.1. Re-construcción del conocimiento............................................. 26. 2.4.2. Herramientas............................................................................... 27. 2.4.3. Tipos de ejercicios...................................................................... 30. CURRÍCULO................................................................................................... 32. 3.1.. INTRODUCCIÓN................................................................................. 32. 3.2.. GRADOS PRIMERO, SEGUNDO Y TERCERO................................ 36. 3.2.1. Grado primero............................................................................ 38. 3.2.2. Grado segundo........................................................................... 41. 3.2.3. Grado tercero............................................................................. 46. GRADOS CUARTO, QUINTO Y SEXTO.......................................... 52. 3.3.1. Grado cuarto.............................................................................. 55. 2.4.. 3.. 3.3..

(6) 3.4.. 3.5.. 3.6.. 3.3.2. Grado quinto.............................................................................. 62. 3.3.3. Grado sexto................................................................................ 71. GRADOS SÉPTIMO, OCTAVO Y NOVENO..................................... 79. 3.4.1. Grado séptimo............................................................................ 81. 3.4.2. Grado octavo.............................................................................. 88. 3.4.3. Grado noveno............................................................................. 98. GRADOS DÉCIMO Y UNDÉCIMO.................................................... 113. 3.5.1. Grado décimo............................................................................. 115. 3.5.2. Grado undécimo......................................................................... 132. PAUTAS GENERALES........................................................................ 151. 3.6.1. Integración de los distintos grados del currículo basado en los niveles de. 4.. razonamiento de Van Hiele..................................................................... 151. 3.6.2. Elección del vocabulario y la nomenclatura a emplear................ 154. 3.6.3. Empleo de objetos y situaciones de la vida cotidiana.................. 155. 3.6.4. Relacionar unos conceptos con otros........................................... 156. 3.6.5. Re-construcción del conocimiento............................................... 157. CONCLUSIONES.............................................................................................. 159. Convenciones.. Bibliografía..

(7) 1. CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO 1.1.. UN POCO DE HISTORIA La geometría es una de las ciencias más antiguas, nace con el interés del hombre de. estudiar su entorno. La descomposición de la palabra hace referencia a este punto de partida: la medida de la tierra.. Este primer acercamiento experimental se ve consolidado como ciencia en el siglo III A.C. cuando Euclides escribe los “Elementos”, tratado sobre geometría en el que se recoge el conocimiento adquirido hasta ese momento pero además se organiza la recopilación de forma lógico-deductiva. Este documento que consta de 13 libros, conocidos hasta el momento, va de la mano con todo el desarrollo que había tenido la matemática griega: una matemática demostrativa y deductiva.. El primer libro se compone de 23 definiciones, 5 nociones comunes (o axiomas), 5 postulados y 48 proposiciones. Las definiciones hacen referencia a punto, línea, superficie, ángulos, círculos y multiláteros (triláteros, cuadriláteros, etc...). Con respecto a los postulados y a las nociones comunes existen distintas formas de agruparlos que dependen de lo que se entienda por postulado o axioma. La más común es la arriba mencionada (5 axiomas – 5 postulados). Teniendo en cuenta la influencia aristotélica podríamos diferenciarlos de la siguiente forma:. - Axioma es una verdad evidente por sí misma, que no necesita ser demostrada. Una noción que es común a todas las ciencias, no sólo hace referencia a la geometría. Dice Aristóteles que estas nociones son “indispensables de conocer para aprender algo” ( [9], p.56)..

(8) 2 - Postulado, en cambio, es algo que el geómetra pide le sea concedido sin demostración para poder seguir adelante. No es algo evidente ni una verdad axiomática, más bien es una concesión.. En los siguientes 12 libros Euclides sólo introduce definiciones y proposiciones, las bases, axiomas y postulados, quedan establecidos en el primer libro.. Euclides empieza entonces por hacer unas afirmaciones que deben ser aceptadas por el lector, afirmaciones que aunque son intuitivamente lógicas, carecen de demostración. Una vez aceptados estos puntos básicos, los 5 postulados, que serán las herramientas iniciales, junto con las definiciones y los axiomas, se construye un universo riguroso basado en la construcción hipotético-deductiva.. Los 5 axiomas o nociones comunes:. 1-. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí. (Es decir, en lenguaje algebraico moderno, si a = b y b = c entonces a = c). 2-. Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales. (Es decir, si a = b entonces ( a + c ) = ( b + c )). 3-. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales. (Es decir, si a = b entonces ( a – c ) = ( b – c )). 4-. Las cosas que pueden superponerse entre sí son iguales entre sí.. 5-. El todo es mayor que la parte.. Los 5 postulados:. 1-. Por dos puntos distintos pasa una recta.. 2-. Un segmento se puede prolongar de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.. 3-. Se puede trazar una circunferencia con centro cualquier punto y radio cualquiera.. 4-. Todos los ángulos rectos son iguales..

(9) 3 5-. Si una recta, al cortar otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado cuya suma es menor que dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas infinitamente, se cortan del lado en el que están los dos ángulos cuya suma es menor que dos rectos.. Los tres primeros postulados se refieren a la existencia de la recta y de la circunferencia.. El cuarto postulado, que quizás parezca el más natural, tiene implicaciones fuertes que en un principio pasaron inadvertidas, pero con el desarrollo posterior de la geometría se entendió que en ese postulado estaba implícita la homogeneidad del espacio.. Luego, al definir rectas paralelas como “rectas que nunca se intersecan” (definición 23), el quinto postulado resulta equivalente a su forma más conocida:. “Por un punto P que no pertenece a una recta l pasa una única recta paralela a l.”. (Formulación hecha en el siglo XVIII por J. Playfair (1748 – 1819) que implica tanto la existencia como la unicidad, y es un caso especial del 5º postulado en su forma original, caso en el que se forman los ángulos internos de un mismo lado iguales a dos ángulos rectos).. La Geometría Euclidiana tiene su fundamento en lo que la percepción nos señala como real. Es así como la intuición nos abre las puertas a esta geometría en la que los conceptos no son tan distantes de lo que con los ojos podemos comprobar o lo que con las manos podemos construir. Los conceptos tienen su representación tangible en el mundo real. Todo lo anterior facilita el primer contacto con la Geometría Euclidiana. Los 4 primeros postulados se diferencian del 5º en la noción de infinito (“prolongadas infinitamente”). Se creía sobre todo que el 5º podía deducirse de los demás, pero todos los intentos fueron fallidos.. En el siglo XIX el panorama se amplía y el terreno de exploración geométrica se vuelve mucho más fértil cuando se trata de demostrar el 5º postulado por reducción al absurdo (si se quiere demostrar que A implica B, se niega B y se debe llegar a la negación de A)..

(10) 4 Varios de estos intentos fracasaron también, pues para llegar a la contradicción, en alguno de los pasos lógicos, el matemático en cuestión usaba alguna afirmación que parecía lógica pero que en verdad dependía del 5º postulado. (Nótese que hasta para los matemáticos más expertos en procedimientos de lógica, resulta extremadamente difícil el rigor absoluto y el hecho de desligarse por completo de la intuición). Pero finalmente hubo frutos: muy contrario a lo que se esperaba, negar el 5º postulado no produjo contradicciones ni absurdos, sino que al cambiarlo por otro que lo negara se estaba construyendo, basándose en el mismo razonamiento lógico-deductivo, un universo internamente coherente, aunque fuese anti-intuitivo1.. De ahí viene un campo enorme que es el de las Geometrías No-Euclidianas.. Nicolai Ivanovich Lobatchevski (1793 - 1856) por un lado, y Janos Bolyai (1802 1860) por otro, proponen como 5º postulado:. “Por un punto P que no pertenece a una recta l pasa más de una recta paralela a l”.. A la geometría que de aquí se deriva se le llama actualmente Geometría Hiperbólica.. Gauss venía trabajando en el tema también, junto con Taurinus y Schweikart. En el año 1832 llega a sus manos el manuscrito de Bolyai, que parecía tener menos dudas respecto al descubrimiento de una nueva geometría que Gauss, por eso es a él a quien se atribuye principalmente el descubrimiento.. Lobatchevski, trabajando independientemente, llegó a resultados muy parecidos. No tuvo dudas de su descubrimiento y lo divulgó sin miedo, tal vez por eso en muchos libros se habla de la geometría de Lobatchevski, cuando en realidad la idea surgió en un mismo tiempo pero en distintos lugares. ([7], capítulo V). Lo que nos hace pensar que el descubrimiento no fue accidental, sino que tal vez la humanidad había llegado a un nivel mental y matemático adecuado para poder recibir este descubrimiento. 1. “Porque un conocimiento puede estar completamente conforme a la lógica, es decir no contradecirse a sí mismo,. y sin embargo estar en contradicción con el objeto.” Kant, Crítica de la razón pura, 1781..

(11) 5. Ambos llegaron a la asombrosa conclusión de que la Geometría Euclidiana resultaba ser un caso particular de esta nueva geometría, un caso límite (cuando k, la llamada constante de Gauss, tiende al infinito en la fórmula para la longitud de la circunferencia2).. Bolyai llamó a esta nueva geometría Geometría Absoluta y Lobatchevski la llamó Pangeometría o Geometría de la imaginación.. Más tarde Bernhard Riemann (1826 - 1866) cambia el 5º postulado de Euclides por otro que lo contradice y que a su vez contradice el de Lobatchevski-Bolyai. Queda así:. “Por un punto P que no pertenece a una recta l no pasa ninguna recta paralela a l”. De este nuevo postulado se deriva la geometría actualmente conocida como Geometría Esférica.. Las ideas de geometría Hiperbólica y de la geometría Esférica, desarrolladas entre los años 1826 y 1851, nacen sin un modelo concreto, lo que dificulta su credibilidad para muchos matemáticos de la época. Es en 1868, que Beltrami logra proponer un modelo para cada una de ellas. Así como un modelo de la Geometría Euclidiana es el plano euclídeo (plano cartesiano dotado de una manera especial para medir), las otras dos geometrías se pueden también modelar en superficies continuas de dos dimensiones. La diferencia fundamental está en la noción de curvatura. El plano euclideo tiene curvatura constante igual a cero. La geometría de Riemann se puede modelar sobre una superficie del espacio cartesiano con curvatura constante positiva (por ejemplo la esfera), y la geometría de Lobatchevski-Bolyai sobre una superficie de curvatura constante negativa (la pseudoesfera).. 2. Longitud de la circunferencia:. ⎛. r. −r. ⎞. πk ⎜⎜ e k − e k ⎟⎟ , donde r es el radio pero π está definido de otra manera. ⎝. ⎠.

(12) 6 Los descubrimientos arriba mencionados crean confusión y desestabilizan al mundo matemático y filosófico. Durante siglos se consideró a la Geometría Euclidiana como la representación única y verdadera de la realidad. El hecho de que aparezcan otras geometrías hace que esa noción de Verdad se venga abajo. ¿Existe la Verdad absoluta? Todo parece indicar que no. Una vez planteados unos axiomas es posible, si estos forman un sistema coherente, crear un universo que se base en ellos. Los axiomas entonces pierden ese carácter de verdades evidentes y se convierten en reglas de juego.. Esta nueva forma de ver la geometría sumada a numerosas críticas (de Félix Klein, Bertrand Russell y Nicolas Bourbaki entre otros) que recibió el texto de Euclides “Elementos”, obliga a un replanteamiento de la Geometría Euclidiana. Se dice que faltaron algunos postulados que se dieron por obvios sin que lo fueran realmente. El ejemplo clásico es la construcción del triángulo equilátero que aparece en las primeras páginas del primer libro: Dado un círculo C de centro O, si se construye un círculo C’ de centro O’ (O’ sobre C) y radio ⏐OO’⏐, Euclides asume que los círculos C y C’ se van a intersecar. Esto no lo prueba, lo da por hecho.. David Hilbert (1862 - 1943) escribe “Fundamentos de la Geometría” en 1899, un segundo tratado sobre Geometría Euclidiana en el que se hace evidente el giro que tomó el mundo de la geometría después de los descubrimientos del siglo XIX. El espacio se convierte en un concepto matemático, y los términos pierden su significado. Ya no importa qué es punto, línea o superficie en el mundo físico, sino sus estructuras y las relaciones que hay entre ellos. En cuanto a los axiomas o postulados también hay cambios fundamentales: ya no importa la veracidad de un axioma sino que el conjunto de axiomas sea consistente (como criterio lógico, es decir que de él no pueda deducirse una afirmación y su contraria). Como bien lo resumen A. Gray y R. Sarhangi: “Los axiomas de Hilbert están divididos en subconjuntos que cubren aspectos de incidencia, “estar entre”, congruencia, continuidad y paralelismo” [12]. Se abandona el concepto de Verdad y se cambia por el de Consistencia3.. 3. “Un teorema de geometría era a la vez un dato sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema lógico, una verdad de hecho y una verdad de razón. De esas parejas paradójicas, la geometría teórica deja caer ahora el primer elemento, que se remite a la geometría aplicada.” Blanché, La Axiomática, 1967..

(13) 7. No es por ser anti-intuitivas que estas nuevas ideas se alejan del objetivo primero que era el estudio del entorno. Son nuevas herramientas permiten al hombre desarrollarse en otros campos de acción y alcanzar nociones antes inimaginables. Einstein por ejemplo, construye su teoría de la relatividad basado en un modelo que resulta ser la generalización de la geometría de Riemann ( [1], parte 5, capítulo 16, numeral 10, p. 222 - 227).. Evidentemente el acceso a estas geometrías no es tan natural como lo es en el caso de la Geometría Euclidiana. Por lo tanto, el estudio de la Geometría Euclidiana debe enfocarse no sólo en la profundización y asimilación de ésta, sino en la superación de esa primera etapa intuitiva, visual y tangible, para acceder a niveles donde las ideas y los conceptos acudan al mundo real sólo en búsqueda de ser representados, no en búsqueda de ser explicados ni justificados. Se debe llegar al pensamiento puro y abstracto.. Así, la Geometría Euclidiana se presenta como una antesala de geometrías no euclidianas, en el sentido de ser en la Geometría Euclidiana donde se alcanza el tipo de pensamiento necesario para atacar otras geometrías..

(14) 8 1.2.. NIVELES DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE. El desarrollo histórico hasta ahora descrito se relaciona profundamente con el trabajo doctoral realizado por Dina y Pierre Van Hiele, dos profesores de matemáticas holandeses que se dedicaron a entender en qué consistían los problemas que se presentaban en la enseñanza de la geometría en el nivel escolar. El trabajo de Pierre iba enfocado hacia la parte descriptiva y explicativa, lo que se veía complementado por la disertación de Dina que proponía diversas actividades de aprendizaje. El trabajo inicial fue presentado a finales de los años 50, poco después de eso Dina muere y es Pierre quien sigue trabajando en el tema, depurándolo y perfeccionándolo, para presentar una segunda versión en los años 80.. En los 60 la propuesta de los esposos Van Hiele tiene su primer gran impacto cuando se decide implementar algunos cambios en el currículo ruso. Más tarde, en la década de los 80, en Estados Unidos empieza a estudiarse el problema con base en el trabajo de Van Hiele. En los últimos años la preocupación se ha generalizado y la tesis doctoral de Van Hiele ha tomado una importancia vital para aquellos interesados en entender los problemas que se presentan en la puesta en práctica del currículo de geometría.. 1.2.1. Descripción de los niveles.. Van Hiele explica el desarrollo del pensamiento en el ámbito geométrico planteando 5 niveles de razonamiento:. 1-. Visualización.. El individuo carece de vocabulario geométrico, sus únicas herramientas son sus ojos y sus manos. Su acercamiento a la geometría se basa en consideraciones visuales, en la percepción, mas no en la razón. Sus actos son inconscientes, su acercamiento es empírico y consiste en reconocer la forma. Sus descripciones son incompletas. Los objetos geométricos se perciben en función de su apariencia física y estática, sin ninguna conciencia de las propiedades de la.

(15) 9 figura. Cosas como el color o la orientación de la figura pueden hacerle creer que se trata de figuras distintas. Se percibe cada figura como única y no como parte de un género.. 2-. Análisis.. El vocabulario se ha enriquecido, esto permite que el individuo empiece la tarea de analizar los diferentes componentes de una figura. Puede asociar propiedades a una figura pero no relaciona unas propiedades con otras, lo que lleva a que las propiedades dadas sean excesivas o insuficientes. Puede hacer explícita la comparación de las figuras. Es importante tener en cuenta que en esta etapa el enfoque del individuo sigue siendo empírico, las propiedades no se entienden aún como conceptos abstractos sino como consecuencia inmediata de la observación.. 3-. Deducción informal (o abstracción).. El individuo está ya en capacidad de relacionar las propiedades, lo que lo lleva al ordenamiento de éstas y a poder depurar o completar las listas de propiedades. Una característica importante que se deriva de lo anterior, es la capacidad de formar clases. Se comparan las figuras en función de sus propiedades, deshaciéndose al fin de la representación gráfica de la figura. El individuo puede aceptar y entender distintas definiciones para un mismo concepto. La construcción de definiciones se vuelve más natural, así como el uso de la implicación lógica “si...entonces”. Las pruebas se hacen de manera informal, en desorden, sin tener en cuenta premisas y sin seguir un orden riguroso.. 4-. Deducción.. En este nivel se accede al rigor matemático, se construyen pruebas hipotético-deductivas. Para ello es necesario comprender la diferencia entre lo dado y lo que se busca, comprender el razonamiento deductivo. Entender qué es una demostración, qué es una definición... entender lo que es una estructura deductiva..

(16) 10 5-. Rigor.. El individuo es capaz de razonar sin utilizar la herramienta empírica. El grado de abstracción es total. Esto le da acceso a otros sistemas axiomáticos que carecen de modelos concretos o cuyos modelos requieren de conocimientos avanzados para ser interpretados. Es el momento de estudiar geometrías no euclidianas.. 1.2.2. Ejemplo. Quizás un ejemplo sencillo ayude a entender estas ideas. Tomemos la figura del rectángulo.. 1-. Visualización.. La persona reconoce la forma del rectángulo y la relaciona con algo que en su vocabulario tenga nombre. Por ejemplo se dejaría influenciar por la orientación de la figura:. “es una puerta”. “es un tablero”. Pero no pensaría que se trata de la misma figura.. La frase “se parece a una mesa”, implica además la capacidad de ubicarse en el espacio y tener una vista superior del objeto.. 2-. Análisis.. Ya se tiene vocabulario geométrico y se es capaz de enunciar distintas propiedades de una figura. Al ver el rectángulo el individuo diría por ejemplo:.

(17) 11 -. tiene cuatro lados. -. tiene cuatro ángulos. -. lados opuestos miden lo mismo. -. lados opuestos son paralelos. -. los cuatro ángulos son rectos. -. sus diagonales miden lo mismo. -. sus diagonales se cortan en sus puntos medios. -. es cerrado. -. es convexo. Muchas de estas observaciones van precedidas de trabajo experimental (medición de segmentos o medición de ángulos). Las diferencias que veía antes entre el rectángulo en una posición o en otra, ya no las ve, ambos poseen las mismas propiedades. Pero el individuo cree que todas las características que es capaz de mencionar son fundamentales y necesarias, no relaciona unas propiedades con otras.. 3-. Deducción informal (o abstracción).. Ahora el individuo puede comparar unas figuras con otras en función de sus propiedades. Si por ejemplo lo ponemos a comparar un rectángulo con un paralelogramo, hará lo siguiente:. -. tiene cuatro lados. también. -. tiene cuatro ángulos. también. -. lados opuestos miden lo mismo. también. -. lados opuestos son paralelos. también. -. los cuatro ángulos son rectos. NO. -. sus diagonales miden lo mismo. NO. -. sus diagonales se cortan en sus puntos medios. también.

(18) 12 -. es cerrado. también. -. es convexo. también. Llegará a la conclusión que todas las propiedades que tiene el paralelogramo las tiene también el rectángulo, concluirá que todo rectángulo es un paralelogramo (Si ABCD es un rectángulo entonces ABCD es un paralelogramo).. Notará también que el rectángulo tiene propiedades extras que no tiene el paralelogramo, concluirá que ser paralelogramo no implica ser rectángulo. Todo este proceso es el que culmina en la formación de clases.. Entenderá que no todas las propiedades son necesarias para la caracterización del rectángulo, por ejemplo “Un rectángulo es un cuadrilátero cerrado y convexo, con 3 ángulos rectos”. La demostración no podrá hacerla de manera rigurosa, pero por medio del dibujo tratará de convencer a su interlocutor de la veracidad de la definición.. Si se le dice en cambio: “Un rectángulo es un cuadrilátero cerrado y convexo, con un par de lados paralelos”, su refutación será mejor estructurada porque se trata de dar un contra ejemplo:. 4-. Deducción.. Aquí el individuo está en la capacidad de construir demostraciones rigurosas. Ahora si tiene la certeza (matemáticamente hablando) de que cierta definición es correcta o no. Por ejemplo: “Un rectángulo es un cuadrilátero cerrado y convexo, cuyas diagonales miden lo mismo y se cortan en sus puntos medios.” El individuo puede demostrar que de esa información se deduce que todos los ángulos del cuadrilátero son rectos..

(19) 13 A. B. I. D. C. Ejemplo de demostración:. Sea ABCD un cuadrilátero. Sea I el punto medio de las diagonales. Sean α = ang (AID), Su suplementario es el ang (AIB), por lo tanto ang (AIB) = 180º-α. Como ⏐AI⏐=⏐DI⏐, el triángulo AID es isósceles en I. Así que ang (ADI) = ang (DAI) = β. Como ⏐AI⏐=⏐BI⏐, el triágulo AIB es isósceles en I. Así que ang (ABI) = ang (BAI) = γ.. Haciendo un raciocinio similar para los demás triángulos observamos que ang (ABC) = ang (BCD) = ang (CDA) = ang (DAB) = β + γ Tenemos que mostrar que β + γ = 90º. Considere el triángulo ADI: sumando sus ángulos obtenemos. α + 2β = 180º β = 90º - (α/2). Ahora, haciendo lo mismo en el triángulo ABI obtenemos. (180º-α) + 2γ = 180º 2γ = α γ = α/2. Por lo tanto, β + γ = 90º - (α/2) + α/2 = 90º..

(20) 14 5-. Rigor.. El individuo puede sustentar en un sistema axiomático distinto al de la Geometría Euclidiana y verificar si siguen cumpliéndose las mismas relaciones entre las propiedades que se cumplían en el otro sistema.. Para no complicar demasiado el ejemplo se puede trabajar en este caso con la llamada Geometría del Taxista, cuyo modelo es el plano cartesiano donde la medición de ángulos se hace de la misma forma que en la Geometría Euclidiana pero se define una nueva distancia entre puntos. Sean A(a,b) y B(c,d), se define la distancia entre ellos así: ⏐AB⏐= ⏐a - c⏐+⏐b - d⏐, medida que le da el nombre a esta geometría, pues la distancia más corta entre dos puntos equivale al recorrido más corto que haría un taxista en una cuidad donde sólo se permite el movimiento horizontal o vertical (por calles y carreras).. El individuo puede construir un objeto que cumpla una condición dada. Por ejemplo: “Un cuadrilátero cerrado y convexo, cuyas diagonales miden lo mismo y se cortan en sus puntos medios.”. Construcción por pasos: Sean A(2,4), B(3,3), C(2,0) y D(1,1). Considere el cuadrilátero ABCD. Sus diagonales son [AC] y [BD], A. B. D C. ⏐AC⏐= ⏐2-2⏐+⏐4-0⏐= ⏐0⏐+⏐4⏐= 4 y ⏐BD⏐= ⏐3-1⏐+⏐3-1⏐= ⏐2⏐+⏐2⏐= 4 En efecto ⏐AC⏐= ⏐BD⏐..

(21) 15 Puede comprobarse también fácilmente que [AC] y [BD] se cortan en sus puntos medios.. Se tiene ya una construcción de un cuadrilátero que cumple el enunciado. ¡Pero en este caso, sus ángulos NO son rectos! ¿Dónde falla la demostración que hicimos en el paso anterior? El individuo puede concluir que se trata de sistemas axiomáticos diferentes.. Fin del ejemplo.. 1.2.3. Acerca de los niveles. Es importante tener en cuenta que en cada nivel hay símbolos y sistemas de relaciones. El vocabulario se enriquece a medida que se avanza. Los niveles tienen una jerarquía implícita, no se pasa al nivel n+1 sin haber superado el nivel n. Una persona que se encuentra en un nivel determinado no le entiende a otra persona que le hable en términos de un nivel superior. La interpretación de un término depende del nivel de razonamiento en que la persona se encuentre.. Aunque inicialmente se plantearon los niveles como disjuntos, estudios posteriores han mostrado que un estudiante puede dar respuestas correspondientes a dos niveles consecutivos [3]. La oscilación entre los dos primeros niveles es muy común. Afirmaciones generales como “se comparan las figuras en función de sus propiedades” (nivel de Deducción informal) no son absolutas, es decir, no se pasa de carecer la habilidad a tenerla, es un proceso. En general figuras como el cuadrado y el rectángulo se asimilan más rápido que otras como el paralelogramo.. El proceso es lento y continuo, aunque en algunos casos puede verse acelerado por actividades extras que aporten el desarrollo del razonamiento lógico. El paso de un nivel a otro se caracteriza también porque aquello que era implícito en un nivel se vuelve explícito en el siguiente. El nivel en el que se encuentra una persona no es relativo a la edad. Evidentemente la edad influye hasta cierto punto, teniendo en cuenta que el desarrollo de la motricidad y el desarrollo del cerebro se relacionan en cierta medida con la edad. No podemos pretender que.

(22) 16 un niño que no ha adquirido aún la capacidad de concentrarse o de analizar pueda avanzar en los niveles. Pero se pueden encontrar personas adultas que no han pasado del primer nivel.. Para que una persona pase de un nivel a otro se necesita tiempo, trabajo y experiencia en el nivel en el que se encuentra. Dice Marguerite Mason: “La teoría de Van Hiele indica que el aprendizaje efectivo sucede cuando los estudiantes experimentan activamente con los objetos de estudio en contextos apropiados, y cuando entran en discusión y reflexión” [14]. Aquí es donde entra en escena el profesor, que debe acompañar y guiar al estudiante en su proceso. Concientes de eso los esposos Van Hiele proponen unas fases de aprendizaje como guía para los profesores:. 1-. Información.. Esta primera fase debe centrarse en la observación. Se deben fomentar actividades acompañadas de diálogo y de discusión, y aprovecharlas para empezar a introducir vocabulario. 2-. Orientación dirigida.. La idea ahora es guiar al estudiante hacia la exploración. Es importante elegir el material de manera adecuada para que el estudiante se empiece a familiarizar con algunas estructuras.. 3-. Explicación.. Ahora el papel del profesor es más pasivo, de observador. Los estudiantes deben intercambiar ideas y compartir sus conclusiones con los demás estudiantes. Es aquí donde las relaciones entre objetos empiezan a hacerse patentes. El hecho de verbalizar y formalizar las ideas, así como el hecho de explicar a otros sus conclusiones obliga al estudiante a ser claro y a tener más dominio del tema. Por otro lado, escuchar las propuestas de otros enriquece la propia concepción de una idea. Es importante no sólo generar ideas sino ser capaz de comprender las.

(23) 17 ideas de otros, poder aceptarlas como válidas o refutarlas. El trabajo en grupo es adecuado una vez que se haya realizado un trabajo personal que consiste en arar el terreno.. 4-. Orientación libre.. El sistema de relaciones antes implícito se hace explícito, del mismo modo las estructuras. Por eso el estudiante ya está preparado para la resolución de problemas. Ya puede resolver ejercicios que consisten de varios pasos, o ejercicios que se pueden resolver de varias formas.. 5-. Integración.. Esta es la fase concluyente. El trabajo anterior debe interiorizarse. El conocimiento adquirido debe hacerse propio. El profesor participa en el proceso de síntesis.. El papel del profesor es el de un guía, pero debe ser el estudiante el que llega al conocimiento, el que lo construye. El profesor no debe pararse frente a un curso como si lo hiciera ante una cámara y recitar un discurso que ante sus ojos tiene sentido y consistencia, pero no necesariamente a los ojos de los estudiantes. La actitud del estudiante no debe ser pasiva. Para llegar al punto de interiorizar el conocimiento hay que pasar por las etapas anteriores, por la observación, la experimentación, la verbalización y la comparación. El monólogo del profesor lleva a la distanciación de éste con sus estudiantes, y obliga al estudiante a memorizar sin haber llegado al verdadero aprendizaje.. Vale la pena mencionar acá el trabajo realizado por A. Hoffer en el que enumera habilidades, distintas a la de demostrar, que deben fomentarse en los estudiantes que aprenden geometría: Habilidad visual, habilidad verbal, habilidad de dibujo, habilidad lógica y habilidad para modelar. El estudiante debe desarrollar estas habilidades a medida que avanza en los niveles.. Más adelante entraremos más profundamente en el tema de la metodología..

(24) 32. CAPÍTULO 3. CURRÍCULO 3.1.. INTRODUCCIÓN. Artículo 11 (Ley 115) Niveles de la educación formal. La educación formal a que se refiere la presente Ley, se organizará en tres (3) niveles: a). El preescolar que comprenderá mínimo un grado obligatorio;. b). La educación básica con una duración de nueve (9) grados que se desarrollará en dos ciclos: La educación básica primaria de cinco (5) grados y la educación básica secundaria de cuatro (4) grados, y. c). La educación media con una duración de dos (2) grados.. Preescolar:. Aunque en esta etapa no se consideran aún Áreas Fundamentales (por lo que no se considera el estudio de la matemática), los indicadores de logros propuestos por el estado para este primer periodo son de gran utilidad para nuestro objetivo.. El despertar de la curiosidad que, con una orientación adecuada, abre el camino a la observación y a la exploración (característica de una actitud científica); el despertar a la noción de problema-solución, como un primer acercamiento a las matemáticas; el desarrollo de la motricidad fina, que más adelante será necesaria en construcciones geométricas; la receptividad al nuevo vocabulario; la capacidad de clasificar y ordenar objetos con base en distintos criterios; la capacidad de ubicarse en el espacio, que puede entenderse como un primer paso a la geometría, y por último, la capacidad de relacionar conceptos nuevos con otros ya conocidos, que da inicio al razonamiento lógico-deductivo, son elementos importantes con los que contaremos al iniciar la educación básica..

(25) 33 Educación Básica y Media:. Artículo 23 (Ley 115) Áreas obligatorias y fundamentales. Para el logro de los objetivos de la educación básica se establecen áreas obligatorias y fundamentales del conocimiento y de la formación que necesariamente se tendrán que ofrecer de acuerdo con el currículo y el Proyecto Educativo Institucional. Los grupos de áreas obligatorias y fundamentales que comprenderán un mínimo del 80% del plan de estudios, son los siguientes: 1-. Ciencias naturales y educación ambiental.. 2-. Ciencias sociales, historia, geografía, constitución política y democracia.. 3-. Educación artística.. 4-. Educación ética y valores humanos.. 5-. Educación física, recreación y deportes.. 6-. Educación religiosa.. 7-. Humanidades, lengua castellana e idiomas extranjeros.. 8-. Matemáticas.. 9-. Tecnología e informática.. Artículo 31 (Ley 115) Áreas fundamentales de la educación media académica. Para el logro de los objetivos de la educación media académica serán obligatorias y fundamentales las mismas áreas de la educación básica en un nivel más avanzado, además de las ciencias económicas, políticas y la filosofía.. Parte de mi propuesta es incluir dentro del área de Matemáticas una asignatura obligatoria: Geometría. Esta asignatura deberá iniciarse desde el primer año de la educación básica y estudiarse periódicamente para permitir un desarrollo progresivo del estudiante en el tema.. La siguiente propuesta curricular no ha sido puesta en práctica..

(26) 34 Los capítulos están organizados teniendo en cuenta el agrupamiento por grados que propone el Ministerio de Educación Nacional (MEN) en su Código Educativo V. Para cada conjunto de grados empiezo por enumerar los indicadores de logros para matemáticas establecidos por el MEN de acuerdo con la Ley 115 de 1994, menciono también algunos logros de otras áreas que considero de gran ayuda para el desarrollo del pensamiento geométrico. Los logros referidos específicamente a geometría están resaltados con negrilla.. La organización interna del currículo para cada grado (de Primero a Décimo) consiste de:. -. Objetivos. -. Vocabulario a introducir. -. Herramientas físicas nuevas (en caso de que las haya). -. Nomenclatura y convenciones nuevas. -. Ejercicios y actividades propuestos. La última parte, ejercicios y actividades, está dividida por temas para facilitar su lectura, sin embargo es importante tener en cuenta que los temas deben alternarse y se debe avanzar en ellos de manera simultánea.. ¿Por qué basar una propuesta curricular en ejercicios y actividades? Aunque cumplir con la lista de objetivos es el fin primordial, la preocupación es cómo lograr que el estudiante cumpla con esos objetivos. Ejercicios y actividades dan un panorama real de la metodología, cómo abarcar cada tema, cómo introducirlo y cómo desarrollarlo. Por otro lado, dan claridad sobre el tipo de actividad mental que se le pide al alumno, enfocándose siempre en el desarrollo del pensamiento geométrico: objetivo principal del currículo.. Con el fin de que este documento sea guía para el profesor que desee ponerlo en práctica, muchos de los ejercicios aquí propuestos vienen con solución o demostración.. Los grados Noveno y Décimo son dedicados principalmente al ejercicio de la demostración, los estudiantes deben haber adquirido el cuarto nivel de razonamiento de Van Hiele.

(27) 35 (Deducción) y tener suficiente experiencia en él para poder abordar otras geometrías en Undécimo.. La organización interna de este último año es la siguiente:. -. Geometría del Taxista. -. Geometría Esférica. -. Proyección Estereográfica. -. Rectas paralelas versus líneas paralelas en el plano cartesiano. -. Geometría Hiperbólica. Es importante tener en cuenta que no debe abandonarse la Geometría Euclidiana, el proceso de comparación es indispensable para la mejor comprensión de estos nuevos modelos geométricos. La forma de abordar cada nueva geometría debe ser con experiencia visual y simultáneamente debe llevarse al estudiante al descubrimiento de nuevos sistemas axiomáticos sin entrar a profundizar teóricamente en ninguno de ellos. El objetivo de éste último año es que el estudiante entre en contacto con el mundo geométrico actual y decida si quiere seguir estudiándolo..

(28) 36 3.2.. GRADOS PRIMERO, SEGUNDO Y TERCERO. Indicadores de logros curriculares para los grados primero, segundo y tercero de la educación básica en el área de Matemáticas. (Tomado del Código Educativo V) •. Compara, describe, denomina y cuantifica situaciones de la vida cotidiana, utilizando con sentido números por los menos hasta de cinco cifras. •. Expresa ideas y situaciones que involucran conceptos matemáticos mediante lenguaje natural y representaciones físicas, pictóricas, gráficas, simbólicas y establece conexiones entre ellas.. •. Identifica y clasifica fronteras y regiones de objetos en el plano y en el espacio, reconoce en ellos formas y figuras a través de la imaginación, del dibujo o de la construcción de materiales apropiados y caracteriza triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos.. •. Formula, analiza y resuelve problemas matemáticos a partir de situaciones cotidianas, considera diferentes caminos para resolverlos, escoge el que considera más apropiado, verifica y valora lo razonable de los resultados.. •. Identifica en objetos y situaciones de su entorno las magnitudes de longitud, volumen y capacidad; reconoce procesos de conservación y desarrolla procesos de medición de dichas magnitudes, con patrones arbitrarios y con algunos patrones estandarizados.. •. Relaciona los algoritmos convencionales o propios con los conceptos matemáticos que los sustentan, identifica esquemas y patrones que le permiten llegar a conclusiones.. •. Explora y descubre propiedades interesantes y regularidades de los números, efectúa cálculos con datos de la realidad y utiliza creativamente materiales y medios.. Mencionemos algunos logros de otras materias que tienen relación con nuestro trabajo y que proporcionan al estudiante una forma alterna de avanzar simultáneamente en distintos procesos de pensamiento:.

(29) 37 Ciencias naturales: •. (...) formula una suposición o conjetura, en la cual se diferencian claramente los sucesos de sus causas (...). •. Hace preguntas dirigidas a establecer posibles relaciones argumentadas entre los diversos sucesos que conoce.. Ciencias sociales: •. Construye, interpreta y usa modelos físicos sencillos como maquetas de lugares conocidos y espacios reducidos, tales como el salón de clase, zonas del colegio o del barrio, ubicando en ellas los lugares y elementos más importantes.. •. Coordina y organiza las nociones de barrio, localidad, ciudad, país, según relaciones de inclusión.. Lengua castellana: •. Reconoce en diferentes textos o actos de comunicación, formas de organizar significados tales como la clasificación, la agrupación, la seriación, la comparación.. •. Reconoce en algunos de sus actos de comunicación cotidiana procesos de pensamiento y competencias cognitivas como el análisis, la síntesis, la definición y las relaciones como parte-todo, causa-consecuencia, problema-solución..

(30) 38 3.2.1. Grado primero. 3.2.1.1.. 1.. Objetivos. Identificar figuras geométricas simples (línea curva, línea recta, punto, triángulo, cuadrado, rectángulo y círculo).. 2.. Representar figuras geométricas simples.. 3.. Componer figuras complejas o simples a partir de figuras geométricas simples.. 4.. Descomponer figuras complejas en figuras geométricas simples.. 5.. Manipular figuras geométricas simples, compararlas por superposición.. 6.. Caracterizar figuras geométricas simples por número de lados, o por forma.. 7.. Seguir instrucciones simples de construcción, demostrando ubicación en el plano.. 8.. Describir una figura en el plano.. 9.. Relacionar puntos con rectas, rectas con plano.. 3.2.1.2.. Herramientas físicas. Dibujo a mano alzada, colores, lápices, tijeras, pegante, papel blanco (sin rayas ni cuadros) para doblar y cortar. Se introduce el uso de la regla como instrumento para trazar, no para medir.. 3.2.1.3.. Vocabulario a introducir. Punto, línea, curva, recta, regla. Figura, triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo, lado, cerrado. Para la ubicación en el plano: “estar entre”, “adentro”, “afuera”, “a un lado”, “estar sobre”. Superponer: “poner sobre”. Colineal: “estar sobre la misma recta”..

(31) 39 3.2.1.4.. Ejercicios y actividades propuestos. Figuras geométricas simples. Actividad 1. Busque triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos en objetos de la vida cotidiana. Busque objetos donde aparezcan varias de ellas juntas.. Actividad 2. Dibújelas, recórtelas, haga una figura grande usando otras pequeñas, superpóngalas.. Actividad 3. Reconózcalas.. Componer y descomponer. Ejercicio 1. Dibuje a su compañero usando sólo figuras geométricas simples.. Ejercicio 2.1. Arme un cuadrado con estos dos triángulos:. y. Ejercicio 2.2. Arme un cuadrado con estos dos rectángulos:. y. Ejercicio 2.3. Arme un cuadrado con cuatro de los siguientes triángulos:. Ejercicio 2.4. Arme un rectángulo con dos cuadrados.. Ejercicio 2.5. Recorte estos dos triángulos. y. arme una figura como esta:.

(32) 40 Punto, recta y ubicación en el plano. Ejercicio 3.1. Dibuje una recta y dos puntos: uno sobre la recta y otro fuera de ella.. Ejercicio 3.2. Dibuje una recta y tres puntos: uno sobre la recta, otro a un lado y otro al otro lado.. Ejercicio 4. Dibuje una recta. A un lado un triángulo con un círculo adentro, al otro lado un rectángulo y un cuadrado.. Usando la regla (al final del año). Ejercicio 5. Trace una recta por el punto A, trace otra, otra... ¿Cuántas puede trazar?. Ejercicio 6. Sean A y B puntos diferentes ¿Cuántas rectas pasan por A y por B? Trácelas.. Actividad 1. Sean A, B y C tres puntos dados ¿Pertenecen a la misma recta?. Lado. Ejercicio 7. ¿Cuántos lados tiene esta figura?. Ejercicio 8. Dibuje una figura cerrada de ocho lados dentro de otra de cinco lados.. Ejercicio 9.1. Dibuje dos cuadrados que compartan un lado.. Ejercicio 9.2. Dibuje dos triángulos que compartan un lado, uno dentro del otro.. Ejercicio 9.3. Dibuje un cuadrado y un triángulo que compartan un lado..

(33) 41 3.2.2. Grado Segundo. 3.2.2.1.. Objetivos. 1.. Diferenciar segmento de recta.. 2.. Medir longitudes (segmentos).. 3.. Descomponer figuras complejas en figuras geométricas simples.. 4.. Relacionar puntos y rectas.. 5.. Relacionar la vista frontal con la vista superior de un mismo objeto.. 6.. Caracterizar cuadrados y rectángulos por la longitud de sus lados.. 7.. Caracterizar triángulos equiláteros e isósceles.. 8.. Hacer construcciones sencillas con regla y responder a preguntas sencillas sobre las mismas.. 9.. Identificar vértices, aristas en figuras simples de tres dimensiones.. 10.. Identificar regiones planas en figuras del plano o del espacio.. 11.. Relacionar descripciones con figuras.. 3.2.2.2.. Herramientas físicas nuevas. Utilización de la regla como instrumento de medición. Se introduce el compás con compases improvisados (con cuerda y un lápiz).. 3.2.2.3.. Vocabulario a introducir. Segmento, distancia, vértice, arista, región, frontera, equilátero, isósceles, figuras iguales. Vista superior: “como se vería desde arriba”. Moverse sobre el plano: “deslizar la figura sin levantarla de la mesa”..

(34) 42 3.2.2.4.. Ejercicios y actividades propuestos. Segmento y longitud. Actividad 1. Mida segmentos dados.. Actividad 2.1 Mida los lados de triángulos, cuadrados y rectángulos dados.. Actividad 2.2 A partir de la medida de lados de rectángulos y cuadrados haga conjeturas y descubra características de esas figuras.. Ejercicio 1. Construya A, B y C sobre la misma recta con la distancia entre A y B igual a 5 cm y la distancia entre B y C igual a 3 cm. ¿Cuál es la distancia entre A y C?. Ejercicio 2. Un profesor le pidió a cuatro estudiantes que realizaran la siguiente construcción: “Sean A, B y C tres puntos sobre la misma recta, la distancia entre A y B es 5 cm y la distancia entre B y C es 3 cm.” ¿Quienes la hicieron bien?. Juan. Alberto. María. Ejercicio 3. Si tiene que ir rápido de A a B, ¿qué camino prefiere?. Paula.

(35) 43 Punto y recta. Ejercicio 4. La recta representa un río y cada punto una ciudad, ¿en qué casos debe atravesar el río para ir de una ciudad a la otra?. Vértices, aristas y regiones en el plano y en el espacio. Actividad 3. Clasifique figuras dadas por número de regiones planas.. Ejercicio 5. Construya figuras con cinco vértices de tal forma que de cada vértice salgan dos aristas. ¿Cuántas regiones hay en cada una? Ejemplos:. Ejercicio 6. Dada la siguiente figura:. a) coloree cada región con un color b) coloree de diferente color las regiones vecinas Ejemplo:. c) coloree de diferente color las regiones vecinas pero use en total sólo cuatro colores.

(36) 44 Actividad 4. Tome objetos tridimensionales (cajas, pirámides, etc...) y cuente el número de vértices, el número de aristas, el número de aristas por vértices y el número de caras o regiones.. Triángulo. Actividad 5. Clasifique triángulos dados en equiláteros e isósceles (por medición de los lados). Vista superior. Actividad 6. Observe objetos pequeños y simples (una caja, un vaso) en vistas frontal y superior.. Ejercicio 7. Relacione las imágenes de la izquierda con las imágenes de la derecha.. Ejercicio 8. Dibuje su salón de clase visto desde arriba. ¿Dónde está la puerta? ¿Dónde está el tablero? ¿Dónde está usted?. Círculo y disco. Actividad 7. Dibuje círculos con compases improvisados..

(37) 45. Actividad 8. Deje el centro fijo (dedo o puntilla) y cambie el largo de la pita.. Ejercicio 9. Dejando el dedo quieto sobre la hoja, coloree todo lo que pueda. ¿Qué figura obtiene? (Disco). Descomponer. Ejercicio 10. ¿Cuántos triángulos hay en cada figura? ¿Cuántos triángulos diferentes hay en cada figura?. Solución para la primera figura: En total hay tres triángulos.. Los dos últimos son iguales, por lo tanto hay dos triángulos distintos..

(38) 46 3.2.3. Grado Tercero. 3.2.3.1.. Objetivos. 1.. Relacionar rectas con puntos.. 2.. Relacionar rectas con figuras.. 3.. Entender la noción de intersección.. 4.. Entender la noción de conexidad.. 5.. Entender la noción de perímetro.. 6.. Trazar circunferencias con centro y radio dados.. 7.. Solucionar problemas simples.. 8.. Entender la noción de diagonal en cuadriláteros.. 9.. Caracterizar cuadrados y rectángulos por sus diagonales.. 10.. Descubrir la simetría por procesos de doblado.. 11.. Entender la noción de ángulo, identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.. 12.. Diferenciar dos sentidos de rotación en el plano.. 13.. Hacer rotaciones (de una vuelta, media vuelta y un cuarto de vuelta) con el cuerpo y con figuras simples en el plano y el espacio.. 14.. Entender la noción de periodicidad (para una, media y un cuarto de vuelta).. 3.2.3.2.. Herramientas físicas nuevas:. Compás y escuadra.. 3.2.3.3.. Vocabulario a introducir:. Circunferencia, centro, radio, diámetro, Equidistancia: “estar a la misma distancia de”. Perímetro, cuadrilátero, diagonal. Conexo. Ángulos, amplitud, recto, agudo, obtuso..

(39) 47 3.2.3.4.. Ejercicios y actividades propuestos. Recta y punto. Ejercicio 1.1. Dibuje dos líneas que se toquen una vez. Dibuje dos líneas que se toquen dos veces, tres veces, etc.... Ejercicio 1.2. Haga lo mismo con líneas rectas, ¿puede?. Ejercicio 2.1. Dibuje un triángulo ABC y una recta que lo parta en dos. ¿En qué caso la recta lo separaría en dos triángulos?. Ejercicio 2.2. Dibuje un cuadrado y una recta. ¿En qué caso la recta lo separaría en dos triángulos? ¿En qué caso la recta lo separaría en dos rectángulos? ¿Puede la recta separarlo en dos cuadrados?. Ejercicio 2.3. Dibuje un círculo y una recta. ¿En qué caso la recta lo separaría en dos figuras iguales?. Conexo. Actividad 1. Clasifique figuras dadas por conexidad.. Ejercicio 3. Si la figura dada es una habitación vista desde arriba y hay un bombillo prendido donde indica la cruz, ¿En qué casos la habitación queda totalmente iluminada?.

(40) 48 Ejercicio 4. Ubique a dos personas dentro de cada habitación de forma que no puedan verse.. Ejercicio 5.1. Dibuje una figura cerrada de cuatro lados que sea conexa. Dibuje una figura de cuatro lados que no sea conexa.. Ejercicio 5.2. Dibuje una figura cerrada de tres lados que sea conexa. Dibuje una figura de tres lados que no sea conexa, ¿puede?. Perímetro. Actividad 2. Mida con precisión el perímetro de multiláteros dados.. Actividad 3. Para círculos utilice tarros y cuerdas.. Ejercicio 6. Construya con alambres flexibles del mismo largo distintas figuras.. Ejercicio 7. Mida el perímetro de las siguientes figuras, ¿qué concluye?. Vértices y aristas. Ejercicio 8. Si se encuentran dos personas hay un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de manos habría si se encontraran tres personas? ¿Si se encontraran cuatro? (dibuje la escena: cada persona es un punto y cada saludo un segmento).

(41) 49. Ejercicio 9. Cinco personas se sientan alrededor de una mesa redonda. Cada una tiene dos conocidos en la mesa. Represente con un punto a las personas y entre dos personas conocidas trace un segmento. ¿Puede quedar cada persona con sus dos conocidos a lado y lado? ¿Qué otras posibilidades hay?. Diagonal sólo para cuadriláteros. Actividad 4. Dibuje las diagonales de cuadriláteros dados.. Ejercicio 10. Mida diagonales de rectángulos y cuadrados dados, ¿qué concluye? Ejercicio 11. Dadas las diagonales [AC] y [BD] construya el cuadrilátero ABCD (con otro color). ¿Qué relación hay entre la conexidad y las diagonales?. Regla y compás. Ejercicio 12. Construya dos puntos A y B a una distancia de 7 cm, un círculo C de centro A y radio 3 cm y un círculo C’ de centro B y radio 6 cm. Llame C y D los puntos de corte de C y C’. Prolongue la recta que pasa por C y D. Ésta interseca a la recta que pasa por A y B en I.. Ejercicio 13. Construya un círculo C de centro O y radio 5cm, tome A un punto sobre C, trace la recta que pasa por O y por A, llame B al otro punto de intersección de la recta con C. Compare la distancia entre A y B con el radio del círculo..

(42) 50 Simetría (sólo como experiencia visual). Actividad 5.1. Pinte (con pintura) algo en la mitad de la hoja y dóblela antes de que se seque la pintura. Desdoble y observe.. Actividad 5.2. Haga lo mismo pero imagine el resultado antes de doblar la hoja y luego compruébelo.. Ejercicio 14. Realice la actividad 5.2 con el siguiente dibujo.. Ejercicio 15. Escoja una letra del abecedario. Dibújela con lápiz en el centro de la hoja. Doble la hoja por la mitad y desdóblela. Pinte (con pintura) solo la mitad izquierda de la letra. Doble la hoja. ¿Obtuvo la letra inicial? Haga lo mismo pero haciendo un doblez horizontal.. Ejemplos con J, M y O:.

(43) 51 Actividad 6. Corte un papel doblado y observe la figura obtenida al desdoblarlo. Ejemplo:. Ángulos. Actividad 7. Identifique los ángulos internos en figuras cerradas y ordenelos según su amplitud.. Actividad 8. Busque ángulos en objetos. Reconozca el ángulo recto (use la escuadra).. Actividad 9. Use la escuadra para comprobar la existencia de ángulos rectos entre las paredes y el piso.. Actividad 10. Clasifique ángulos dados en rectos, agudos y obtusos.. Rotación. Ejercicio 16. Párese frente a la puerta. Dé una vuelta, ¿quedó delante de la puerta? ¿Qué pasa si da dos vueltas?. Ejercicio 17.1. Párese frente a la puerta. Muévase sólo hacia la derecha. Dé media vuelta. ¿dónde está la puerta? ¿Cuántas veces tiene que dar media vuelta para volver a quedar mirando a la puerta?. Ejercicio 17.2. Repita el ejercicio 17.1 pero girando sólo un cuarto de vuelta cada vez..

(44) 52 3.3.. GRADOS CUARTO, QUINTO Y SEXTO. Indicadores de logros curriculares para los grados cuarto, quinto y sexto de la educación básica en el área de matemáticas. (Tomado del Código Educativo V) •. Identifica los números naturales y los racionales positivos en su expresión decimal y fraccionaria, los usa en diferentes contextos y los representa de distintas formas.. •. Construye y utiliza significativamente en una amplia variedad de situaciones las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con números naturales y con números racionales positivos, establece relaciones entre estas operaciones y usa sus propiedades para la elaboración del cálculo mental y escrito.. •. Explora y descubre propiedades interesantes y regularidades de los números, utiliza habitual y críticamente materiales y medios para verificar predicciones, realizar y comprobar cálculos y resolver problemas.. •. Investiga y comprende contenidos matemáticos a partir de enfoques de resolución de problemas, formula y resuelve problemas derivados de situaciones cotidianas y matemáticas, examina y valora los resultados teniendo en cuenta el planteamiento original del problema.. •. Interpreta datos presentados en tablas y en diagramas, comprende y usa la media, la mediana y la moda en un conjunto pequeño de datos y saca conclusiones estadísticas.. •. Reconoce la importancia de averiguar datos y procesar información para tomar decisiones, y de conocer y evaluar sus características en relación con las decisiones que se tomen.. •. Reconoce características de sólidos, figuras planas y líneas, los utiliza en su vida cotidiana en trabajos prácticos como mediciones, elaboración de dibujos y construcciones de modelos.. •. Aplica movimientos rígidos en el plano como traslaciones, rotaciones y reflexiones, identifica las propiedades que se conservan en cada movimiento y visualiza transformaciones simples para descubrir reglas de combinación que permitan crear patrones..

(45) 53 •. Identifica en objetos y situaciones de su entorno las magnitudes de longitud, área, volumen, capacidad, peso, masa, amplitud de ángulos y duración. Reconoce procesos de conservación y desarrolla procesos de medición y estimación de dichas magnitudes y las utiliza en situaciones de la vida diaria.. •. Formula, argumenta y somete a prueba conjeturas y elabora conclusiones lógicas.. •. Explica sus ideas y justifica sus respuestas mediante el empleo de modelos, la interpretación de hechos conocidos y la aplicación de propiedades y relaciones matemáticas.. Mencionemos algunos logros de otras materias que tienen relación con nuestro trabajo y que proporcionan al estudiante una forma alterna de avanzar simultáneamente en distintos procesos de pensamiento:. Ciencias Naturales: •. Elabora preguntas con base en su propio conocimiento teórico y no simplemente sobre sucesos aislados.. •. Muestra curiosidad por conocer objetos y eventos del mundo y explora temas científicos.. •. Hace preguntas desde la perspectiva de un esquema explicativo, con el que se establecen posibles relaciones.. •. Formula posibles respuestas argumentadas a sus preguntas.. •. Planea y realiza experimentos para poner a prueba sus propias hipótesis, las de sus profesores y compañeros.. Ciencias sociales: •. Identifica los elementos básicos de la cartografía para la interpretación de mapas, esto es coordenadas, escala y convenciones..

(46) 54 Lengua castellana: •. Identifica y explica las relaciones existentes entre pensamiento, lenguaje y realidad.. •. Produce diferentes tipos de textos en los que pone en juego procesos de pensamiento,. competencias. cognitivas. y. estrategias. textuales. como. la. clasificación, la jerarquización, la seriación, la comparación, la definición, el análisis, la síntesis y relaciones como parte-todo, causa-consecuencia, problemasolución..

(47) 55 3.3.1. Grado Cuarto. 3.3.1.1.. Objetivos.. 1. Encontrar ejes de simetría de una figura dada. 2. Construir paralelas y perpendiculares (con escuadra). 3. Relacionar paralelas con perpendiculares. 4. Identificar ángulos iguales por superposición. 5. Clasificar figuras por número de ángulos rectos 6. Clasificar figuras y sólidos por lados paralelos y lados perpendiculares. 7. Calcular áreas de rectángulos y cuadrados. 8. Entender la independencia entre área y perímetro. 9. Responder a preguntas sencillas que requieran de cierto análisis de una figura. 10. Entender el movimiento de rotación, desarrollar la noción de centro de rotación.. 3.3.1.2.. Vocabulario a introducir.. Paralelas, perpendiculares, eje de simetría. Rotación, centro. Simetría. Área. Superponer.. 3.3.1.3.. Nomenclatura. (AB): la recta que pasa por A y B.. ángulo α (léase alfa), ángulo β (beta) y ángulo γ (gamma) ángulo recto..

(48) 56 3.3.1.4.. Ejercicios y actividades propuestos.. Simetría. Ejercicio 1. Encuentre un eje de simetría para cada figura.. Recórtelas y doble por el eje que usted definió para verificar su predicción.. Ejercicio 2. Cuántos ejes de simetría tiene: un cuadrado? un rectángulo? un triángulo equilátero? un triángulo isósceles? un círculo?. Ejercicio 3. Escriba una palabra (con mayúsculas) que tenga un eje de simetría vertical.. Ángulos, perpendiculares y paralelas. Actividad 1. Busque rectas perpendiculares y paralelas en el salón de clase.. Actividad 2. Construya la perpendicular a (AB) pasando por C (usando la escuadra).. Caso 1: Cuando C pertenece a la recta (AB). Caso 2: Cuando C está cerca de la recta (AB).

(49) 57 Caso 3: En general.. Actividad 3. Construya la paralela a (AB) pasando por C (usando la escuadra).. Ejercicio 4. Compare por superposición los ángulos α y β. (Recortando). Ejercicio 5.1. Dadas dos rectas que se intersecan en un solo punto, clasifique para cada figura los ángulos α y β en agudo, recto u obtuso.. Ejercicio 5.2. Sean A, H y B tres puntos sobre la misma recta, con H entre A y B, trace una recta l que interseque a (AB) sólo en H. Tome α y β como se indica en el dibujo. Al mover la recta l como indica la flecha los ángulos α y β van cambiando..

(50) 58. En este caso particular α es agudo y β es obtuso. ¿Cuáles de las siguientes combinaciones pueden darse?. -. α agudo y β obtuso. -. α agudo y β agudo. -. α agudo y β recto. -. α recto y β obtuso. -. α recto y β agudo. -. α recto y β recto. -. α obtuso y β obtuso. -. α obtuso y β agudo. -. α obtuso y β recto. Ejercicio 6. Si l y d se intersecan y uno de los cuatro ángulos que forman es recto ¿qué pasa con los otros tres?. Ejercicio 7. Dada una recta d1 trace d2 paralela a d1, trace d3 paralela a d2. ¿Cuál es la relación entre d3 y d1?. Ejercicio 8. Dada una recta d1 trace d2 perpendicular a d1, trace d3 perpendicular a d2, trace d4 perpendicular a d3. ¿Cuál es la relación entre d3 y d1? ¿Cuál es la relación entre d2 y d4? ¿Cuál es la relación entre d1 y d4?. Actividad 4. Clasifique cuadriláteros por número de ángulos rectos.. Actividad 5. Busque segmentos paralelos y segmentos perpendiculares en una caja.. Cuadrados y rectángulos. Actividad 6. Caracterice cuadriláteros por lados paralelos y ángulos rectos..

(51) 59. Actividad 7. Construya con escuadra cuadrados y rectángulos dadas las medidas de los lados.. Área y perímetro. Ejercicio 9.. Si en cada cuadrito puede sembrar una zanahoria ¿cuántas puede sembrar en total?. Ahora, si las zanahorias ya están creciendo, no puede entrar al terreno a contarlas porque las pisa ¿cómo hace entonces para saber cuantas hay?. Actividad 8. Calcule el área de cuadrados y rectángulos (papel cuadriculado).. Ejercicio 10. Calcule el área y el perímetro de las siguientes figuras y compárelo:. a). b). Círculo y recta. Ejercicio 11. Construya un círculo C de centro O y radio 8 cm. Tome 10 puntos por fuera de C y mida la distancia entre cada uno y O. Compare esa distancia con el radio de C (8 cm). Tome otros 10 puntos por dentro de C y mida la distancia entre cada uno y O..

(52) 60 Compare con el radio de C (8 cm). Tome otros 10 puntos sobre C y mida la distancia entre cada uno y O. Compare con el radio de C (8 cm).. Ejercicio 12. Construya un círculo C de centro O y radio 7 cm, sea l una recta que lo interseca en A y en B (sin que O pertenezca a l). ¿Qué tipo de triángulo es AOB? Justifique. Ejercicio 13. Construya A y B dos puntos tales que la distancia entre ellos es 10 cm. Sea C un círculo de centro A y radio 8 cm. Sea C’’ un círculo de centro B y radio 5 cm. C y C’’ se intersecan en C y D. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?. Superponer (igualdad). Actividad 9. Sume a la idea de superponer la idea de tener que separar la figura del plano. Ejemplo:. =. pero. ≠. Rotación. Actividad 10.1. Rote manualmente figuras planas con respecto a un punto dentro de la figura.. Actividad 10.2. Dibuje sobre cartón un cuadrilátero cualquiera ABCD y recórtelo. Póngalo sobre la hoja y dibuje su silueta. Escoja un centro de rotación O por fuera de la figura. Pegue un palito a la figura de cartón, ponga su extremo en O y dibuje su silueta. Mantenga fijo el extremo del palo sobre O con una mano y con la otra mano haga rotar la figura menos de media vuelta. Dibuje la silueta de la figura y del palo en la nueva posición. Y llámela A’B’C’D’..

(53) 61. Trace luego el círculo de centro O que pasa por A. El círculo de centro O que pasa por B. El círculo de centro O que pasa por C. El círculo de centro O que pasa por D. ¿Qué observa?.

(54) 62 3.3.2. Grado Quinto. 3.3.2.1.. Objetivos. 1. Medir ángulos con precisión. 2. Reconocer los ángulos de 90º, 180º y 360º. 3. Clasificar triángulos por amplitud de ángulos. 4. Construir la figura simétrica de una figura dada con un eje de simetría dado, (sin regla y compás). 5. Relacionar igualdad de rectas con colinealidad. 6. Comprender figuras geométricas a partir de enunciados sencillos que carecen de vocabulario geométrico. 7. Construir sólidos simples a partir de moldes. 8. Construir cualquier triángulo dadas las medidas de los lados. 9. Construir las alturas de un triángulo cualquiera. 10. Identificar, caracterizar y construir paralelogramos. 11. Identificar el centro, el ángulo y el sentido de rotación (horario o antihorario) para figuras geométricas simples cuando el centro está sobre uno de los vértices.. 3.3.2.2.. Vocabulario a introducir.. Grados, ángulo de rotación, “en el sentido de las agujas del reloj” o “en el sentido contrario a las agujas del reloj”. Polígono, polígono regular. Disco. Base, cubo, pirámide, molde, altura de un triángulo, paralelogramo. Colineal.. 3.3.2.3.. Nomenclatura.. [AB]: segmento AB [AB): semirrecta con extremo en A.

(55) 63 ang(ABC): ángulo formado entre [BA) y [BC) (en caso de que no esté indicado en la figura se toma el más pequeño). 3.3.2.4.. Herramientas físicas nuevas:. Transportador.. 3.3.2.5.. Ejercicios y actividades propuestos.. Simetría. Ejercicio 1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene cada uno de los siguientes polígonos regulares? ¿Qué relación hay entre el número de lados de la figura y su número de ejes de simetría?. Ejercicio 2. Dada la siguiente figura y el eje de simetría, dibuje la figura simétrica.. Ejercicio 3. Dibuje el simétrico de cada figura. ¿Qué observa?. Ángulos. Actividad 1. Mida con precisión ángulos en grados (usando el transportador)..