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(1)MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10 DERIVADAS TOTALES Y REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES COMPUESTAS. DIFERENCIAL TOTAL Y CÁLCULO APROXIMADO. Se llama incremento total de una función z = f ( x, y) en un punto p( x, y) a la diferencia Δz = f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y) donde Δx y Δy son incrementos arbitrarios de los argumentos. Dada la función z = f ( x, y ) de dos variables independientes x e y, y sus diferenciales definidas por dx = Δx; dy = Δy , entonces la diferencial parcial de z con respecto a x se ∂z define como dx z = fx (x, y)dx = dx , y la diferencial parcial de z con respecto a y se define ∂x ∂z como dy z = f y (x, y)dy = dy por lo tanto, la diferencial total de la función z = f ( x, y ) se ∂y ∂z ∂z define como la suma de las diferenciales parciales. dz = dx + dy (Si la función no es ∂x ∂y diferenciable esta expresión no tiene ningún significado). Una función se dice que es diferenciable en el punto p( x, y ) si el siguiente límite existe y es cero.. Δz − dz ( x , y ) →(0,0) Δx 2 + Δy 2 lim. Condiciones necesarias de diferenciabilidad: 1) Si la función z = f ( x, y ) es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. Si la función z = f ( x, y ) es diferenciable es un punto, entonces existen las derivadas parciales. ∂f ( x, y) ∂f ( x, y ) ; en ese punto. (los recíprocos de estos teoremas no son ∂x ∂v. ciertos). Condiciones suficientes de diferenciabilidad: Si las derivadas parciales son continuas en un punto, entonces la función es diferenciable en ese punto, pero si las derivadas parciales no son continuas, entonces no podemos asegurar nada. Para una función de tres variables w = f ( x, y, z ) La diferencial total se define como la ∂w ∂w ∂w suma de las diferenciales parciales. dw = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Ejemplo: El radio y la altura de un cilindro circular recto miden 3 y 8 pulgadas, respectivamente, con un error posible en la medición de ±0.05 pulgadas. Usar diferenciales para estimar el error máximo que se comete al calcular el volumen del cilindro. a) la fórmula general para el volumen V de un cilindro de radio r y altura h es: V (r , h) = π r 2 h y consideremos a r y h los valores medidos con errores máximos dr y dh respectivamente en la medición.. 104 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. Twitter: @DmasoRojas.

(2) MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10 b) El error en el cálculo del volumen es el cambio en V correspondiente a dr y dh ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ dV = ⎜ ⎟ dr + ⎜ ⎟ dh ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂h ⎠ c) Se introduce la siguiente expresión: ∂(pir^2∙h, r)w + ∂(pi∙r^2∙h, h)z. d) Ahora se simplifica. e) Y ahora se sustituyen los valores dados y se simplifica nuevamente:. Nota: Esta es una aproximación al error máximo, debe tomar en cuenta los valores ±0.05 Ejemplo: Los lados (en cm) de un paralelepípedo rectangular cambian de 9, 6, y 4 a 9.02, 5.97, y 4.01, respectivamente. Use diferenciales para calcular aproximadamente el cambio del volumen. a) la fórmula general para el volumen V: V ( x, y, z ) = xyz y consideremos dx dy y dz los valores errores en la medición. b) El error en el cálculo del volumen es el cambio en V correspondiente a dx, dy y dz. ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ dV = ⎜ ⎟ dy + ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dz ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂y ⎠ c) Se introduce la siguiente expresión: ∂(x∙y∙z, x)∙a + ∂(x∙y∙z, y)∙b + ∂(x∙y∙z, z)∙c. Ahora se calculan los valores a, b, y c.. 105 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. Twitter: @DmasoRojas.

(3) MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10. Ahora se sustituyen los valores dados y se simplifica nuevamente:. Por lo tanto, el volumen cambia aproximadamente en ese valor. REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES COMPUESTAS. Si w = f (u, v) y u = g ( x, y), v = k ( x, y) donde f, g, y k son diferenciables, entonces. ∂w ∂w ∂ u ∂ w ∂v ∂w ∂w ∂u ∂ w ∂v = + = + ; ∂x ∂u ∂x ∂ v ∂x ∂y ∂u ∂ y ∂v ∂y EJEMPLO. Sean w(r , s) = r 3 + s 2 ; r ( p, q) = pq 2 ; s ( p, q ) = p 2 sen(q) aplique la regla de la ∂w ∂w ; cadena para determinar ∂p ∂q a) aplicamos las fórmulas de la regla de la cadena. ∂w ∂w ∂r ∂w ∂s ∂w ∂w ∂r ∂w ∂s = + = + ; ∂p ∂r ∂p ∂s ∂p ∂q ∂r ∂q ∂s ∂q b) Se calcula cada derivada parcial de acuerdo a la regla de la cadena anterior.. 106 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. Twitter: @DmasoRojas.

(4) MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10. c) Se sustituyen los resultados obtenidos, y se resuelve. ∂w ∂w ∂r ∂w ∂s = + Para la ecuación ∂p ∂r ∂p ∂s ∂p. Para la ecuación. ∂w ∂w ∂r ∂w ∂s = + ∂q ∂r ∂q ∂s ∂q. Nota: Obsérvese que después de aplicar la regla de la cadena, se sustituyeron los valores ∂w ∂w ; de r y s con lo cual quedaron expresadas en términos de p y q, recalcando que ∂p ∂q w es una función compuesta de dos variables p y q. Si w es una función de u, v y r, donde u, v y r son cada una funciones de x, y y z, y se ∂w desea encontrar se toman los productos de los pares de derivadas parciales que ∂y ∂w ∂w ∂u ∂w ∂v ∂w ∂r = + + llevan de w a y, y se suman. ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂r ∂y 107 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. Twitter: @DmasoRojas.

(5) MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10 EJEMPLO. Sean: w(r , s, v, t ) = r 2 + sv + t 3 ; r ( x, y, z ) = x2 + y 2 + z 2 ; s( x, y, z) = xyz; v( x, y, z ) = xe y ; t ( x, y, z ) = yz 2 ∂w Aplique la regla de la cadena para determinar ∂z Nótese que w es una función de r, s, v, t, y que cada una de estas cuatros variables es a su vez función de x, y, y z, entonces se cumple que: ∂w ∂w ∂r ∂w ∂s ∂w ∂v ∂w ∂t = + + + ∂z ∂r ∂z ∂s ∂z ∂v ∂z ∂t ∂z. 108 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. Twitter: @DmasoRojas.

(6) MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10. Ahora aplicamos la fórmula de la regla de la cadena, y sustituimos los valores r, s, v y t. La regla de la cadena es útil para resolver problemas de rapidez de variación relacionada, (Razones afines) ver guía de ejercicios en la página Web del autor, en trayecto I (Mecánica Mantenimiento). Ejemplo: En un circuito eléctrico simple se tienen una resistencia R y una tensión V. En cierto momento V vale 80 voltios y crece a razón de 5 Voltios/ min. Mientras que R es de 40 ohm y disminuye a razón de 20ohm/min. Usar la ley de Ohm y la regla de la cadena para calcular la rapidez de variación de la corriente I (en ampere). Según la ley de Ohm. I = V Entonces I es función de V y R y tanto V como R son R. funciones de t (min), aplicando la regla de la cadena nos queda:. ∂I ∂I ∂V ∂I ∂R = + ∂t ∂V ∂t ∂R ∂t. 109 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. Twitter: @DmasoRojas.

(7) MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10. DERIVACIÓN IMPLICITA CON DERIVADAS PARCIALES (REGLA DE LA CADENA) Si la ecuación F ( x, y ) = 0 define implícitamente a y como función derivable de x, La derivada de la función implícita puede calcularse: o bien despejando la y, o bien, mediante la siguiente fórmula: ∂F dy ∂F Entonces: = − ∂x , ≠0 ∂ F dx ∂y ∂y Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x. Si la ecuación F ( x, y, z ) = 0 define implícitamente a z como función diferenciable de x e y, entonces: ∂F ∂F ∂z ∂z ∂F ∂y ; = − ∂x ; =− ≠0 ∂F ∂F ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z dy EJEMPLO: Hallar dado que y 3 + y 2 − 5 y − x 2 + 4 = 0 dx Empezamos a definir una función F como: F ( x, y ) = y 3 + y 2 − 5 y − x 2 + 4. 110 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. Twitter: @DmasoRojas.

(8) MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10. ∂z ∂z ; ∂x ∂y Empezamos a definir una función F como: F ( x, y, z ) = x 2 z 2 + xy 2 − z 3 + 4 yz − 5. EJEMPLO: Sea x 2 z 2 + xy 2 − z 3 + 4 yz − 5 = 0 , determine. Ahora se aplican las respectivas ecuaciones:. 111 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. Twitter: @DmasoRojas.

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