Las matemáticas en la naturaleza

(1)

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICAS

TEMA:

LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA

AUTOR

URETA SANTOS ROQUE GREGORIO

DIRECTOR FIS. LENIN JÁCOME

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CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Grado presentado por el señor Roque Gregorio

Ureta Santos, para optar el Grado Académico de Licenciado en Ciencias de la

Educación – Mención MATEMÁTICAS cuyo título es: LAS MATEMÁTICAS Y LA

NATURALEZA, Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes

para ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del Jurado

examinador que se designe. En la ciudad de Quito D. M. a los cuatro días del mes de

diciembre del 2012.

Fis. Lenin Jácome

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PÁGINA DE AUTORÍA DE LA TESIS

Yo, Roque Gregorio Ureta Santos, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito

es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o

calificación profesional; que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen

en este documento y que no he plagiado dicha información

(4)

(5)

AGRADECIMIENTO

Principalmente a mi padre, artífice de mi carrera profesional, mi madre, hermanos,

esposa y demás personas que de una u otra manera me ayudaron en el desarrollo de la

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ÍNDICE

CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL TUTOR ... I

PÁGINA DE AUTORÍA DE LA TESIS ... II

DEDICATORIA ...III

AGRADECIMIENTO ... IV

ÍNDICE ... V

ÍNDICE DE TABLAS ... VII

ÍNDICE DE FIGURAS ... VIII

RESUMEN EJECUTIVO ...X

INTRODUCCIÓN ... 1

CAPÍTULO I EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN ... 2

1.1.TEMA DE INVESTIGACIÓN ... 2

1.2.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ... 2

1.3.FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ... 2

1.4.OBJETIVOS... 2

1.4.1 Objetivo General ... 2

1.4.2. Objetivos Específicos ... 3

1.5.JUSTIFICACIÓN... 3

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO ... 4

2.1.FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ... 4

2.1.1. LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA ... 4

2.1.1.3. DE LAS MATEMÁTICAS Y NATURALEZA ... 6

2.1.1.3.1. RELACIÓN MATEMÁTICAS Y NATURALEZA... 7

2.1.1.3.4. RECTÁNGULOS DE FIBONACCI y ESPIRALES DE SHELL ... 11

2.1.1.3.5. LOS NÚMEROS DE FIBONACCI, LA SECCIÓN ÁUREA Y PLANTAS ... 13

2.1.1.4. VERDURAS Y FRUTAS ... 14

2.1.2.APRENDIZAJEDELASMATEMÁTICAS ... 15

2.2.HIPÓTESIS ... 23

2.3.VARIABLES ... 23

2.3.1. VARIABLE INDEPENDIENTE ... 23

2.3.2. VARIABLE DEPENDIENTE ... 23

2.4. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES ... 24

CAPÍTULO III METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ... 26

3.1.DISEÑODELAINVESTIGACIÓN ... 26

3.2.TIPODELAINVESTIGACIÓN ... 26

3.2.1. CORRELACIONAL... 26

3.2.2. BIBLIOGRÁFICA ... 26

(7)

3.3.MÉTODOSDELAINVESTIGACIÓN ... 26

3.3.1. MÉTODO DEDUCTIVO-INDUCTIVO ... 27

3.3.2. MÉTODO EXPERIMENTAL ... 27

3.4.POBLACIÓNYMUESTRA ... 27

3.4.1. POBLACIÓN ... 27

3.4.2. MUESTRA... 27

3.5.TÉCNICASEINSTRUMENTOSDERECOLECCIÓNDELAINFORMACIÓN ... 27

3.5.1. LA OBSERVACIÓN ... 27

3.5.2. la encuesta ... 28

CAPÍTULO IV ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS ... 29

4.1.PRESENTACIÓNDERESULTADOS... 29

4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADO DE LAS ENCUESTAS ... 29

CAPÍTULO V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ... 49

5.1.CONCLUSIONES ... 49

5.1.2.RECOMENDACIONES ... 51

CAPÍTULO VI LA PROPUESTA... 53

6.1TEMADELAPROPUESTA ... 53

6.2JUSTIFICACIÓN ... 53

6.3OBJETIVOS ... 54

6.4.POBLACIÓNOBJETO ... 55

6.5FUNDAMENTACIÓNTEÓRICA ... 55

6.5.1. WEBQUEST ... 55

6.5.2. historia de la webquest ... 55

6.5.3. Partes en que se compone una WebQuest ... 56

6.5.4. BIOGRAFÍA de leonardo de pisa ... 56

6.6.LISTADODECONTENIDOSTEMÁTICOS ... 58

6.7DESARROLLODELAPROPUESTA ... 58

6.7.1. WEBQUEST ... 58

ANEXOS ... 73

BIBLIOGRAFÍA ... 85

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ÍNDICE DE TABLAS

Tabla No. 4.1. Pregunta Nº 1 – Estudiantes ... 30

Tabla No. 4.3: Pregunta Nº 3 – Estudiantes ... 32

Tabla No. 4. 10: Pregunta Nº 1 – Profesores de Matemáticas ... 39

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura No. 2.1. Fractales en las Montañas del Tibet ... 9

Figura No. 2.2. Fibonacci en el apareamiento de los conejos ... 10

Figura No. 2.3. Rectángulos Fibonacci ... 11

Figura No. 2.4. caracol siguiendo las leyes fibonacci ... 12

Figura No. 2.5. Observando la serie Fibonacci en la constitución de un árbol .... 14

Figura No. 2.6. Fractal en la col de bruselas ... 14

Figura No. 2.7. Una Col Común ... 15

Figura No. 4.1. Representación Porcentual sobre la opinión de los estudiantes acerca del futuro de su educación ... 30

Figura No. 4.2. Representación Porcentual sobre la opinión de los estudiantes acerca de la incidencia de las matemáticas en su educación ... 31

Figura No. 4.3. Gráfico porcentual acerca de la relación existente entre las matemáticas y la naturaleza ... 32

Figura No. 4.4. Representación Porcentual acerca del conocimiento de ciertas series número como la es la serie Fibonacci ... 33

Figura No. 4.5. Representación Porcentual que permite conocer si el estúdiate cree que se puede utilizar a la propia naturaleza como material didáctico para aprender matemáticas ... 34

Figura No. 4.6. Representación Porcentual que permite conocer si el maestro de matemáticas alguna vez les llevo fuera del aula de clase para enseñar matemáticas... 35

Figura No. 4.7. Representación Porcentual que muestra la frecuencia con que los profesores de matemáticas han hecho comparaciones entre lo aprendido con los elementos de la naturaleza. ... 36

Figura No. 4.8. Representación Porcentual que muestra el deseo de los estudiantes de salir y compartir con la naturaleza ... 37

(10)

Figura No. 4.10. Representación gráfica que muestra Si los profesores conocen la serie Fibonacci ... 40

Figura No. 4.11. Representación gráfica que muestra el uso de materiales didácticos en clases de matemáticas ... 41

Figura No. 4.12. Representación gráfica que muestra el uso de materiales didácticos en clases de matemáticas ... 42

Figura No. 4.13. Representación gráfica que demuestra a los profesores de matemáticas usar productos de la naturaleza para sus

ejercicios matemáticos ... 43

Figura No. 4.14. Representación gráfica que demuestra el tiempo dedicado a impartir sus clases ya sea en la mañana o tarde o noche ... 44

Figura No. 4.15. Representación gráfica que muestra la visión de los profesores de matemáticas en cuanto a los ejemplos y

relaciones en sus clases ... 45

Figura No. 4.16. Representación gráfica que afirman el ecosistema de la zona de bahía de Caráquez es propicio para la enseñanza de las

matemáticas y su relación con la naturaleza ... 46

Figura No. 4.17. Representación gráfica que demuestra la frecuencia del trabajo de investigación de los profesores de matemáticas

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación

LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA Autor: ROQUE GREGORIO URETA SANTOS

Director: FIS. LENIN JÁCOME

Fecha: Quito 2010 RESUMEN EJECUTIVO

Probablemente cuando se mira en derredor, específicamente la naturaleza, nos

maravillamos de su hermosura, las figuras que en ella se vislumbran, esa perfecta

combinación de colores e imágenes que a más de un fotógrafo le fascina capturar y que

nos permiten soñar, que nos cambian el ánimo, que relaja la mente, y anima a recordar

eventos buenos de la vida.

Si se miran poquito más allá de los colores y la belleza, la imponencia y la

majestuosidad, veremos que cada objeto animado o inanimado está conformado en

prácticamente su totalidad de figuras, triángulos en algunos árboles, círculos perfectos

en las estrellas, planetas, el sol, o la luna, rectángulos, cuadrados y la combinación de

ellos para crear nuevas formas.

Pero no es frecuente que se relacione la geometría, física y la propia matemática con la

naturaleza, los científicos se están dando a la tarea de descubrir qué tipo de matemática

se encuentran implícitas dentro de cada maravilloso objeto natural y más aún cuando se

ahonda en el conocimiento matemático para descubrir cómo funcionan ciertos

fenómenos de la naturaleza y cómo se puede hacer uso de esa comprensión científica

para recrear un nuevo ambiente, creado por el hombre para satisfacer las necesidades

del ser mismo ser humano, como volar, o crear energía, producir fuerza, aumentar la

velocidad, etc.

Lo más fácil de ver en la naturaleza es la geometría, ángulos, puntos y las agrupaciones

(12)

todas las formas posibles de la naturaleza y logrando plasmar toda la belleza geométrica

y colorida en sus fotos, aunque formas muy complejas, nos recuerdan formas simples,

eso es belleza.

Aumentar la práctica de observar “patrones” o “series matemáticas” en la naturaleza,

como la serie Fibonacci, que es la más fácil de percibir y de esta el número de oro, ya

sea en las plantas, árboles, no importa donde se mire, inclusive en las formas

microscópicas vemos un mundo de geometrías y patrones matemáticos.

Pero lo más sorprendente es que cada átomo de nuestro ser está conformado por un

número incontable de patrones geométricos que se repiten a lo largo y ancho de nuestra

(13)

INTRODUCCIÓN

Las ciencias matemáticas cumplen un rol fundamental en la historia de la humanidad,

está presente en todos los ámbitos de las sociedades antiguas y modernas, su rol

formativo, explícito y deducible se encuentra escondido tras cada aspecto del cual se

compone nuestra madre naturaleza, y en todas las formas de vida del planeta y el

universo, desde la composición de las moléculas siguiendo un patrón inherente a las

series matemáticas hasta la conformación de galaxias, constelaciones y todo cuerpo

celeste(PERAL, 2000).

Al seguir estos modelos o patrones nos permitirá entender, hacer una explicación y

porque no decir predecir el comportamiento de los hombres, teniendo en consideración

que todas las cosas tangibles siguen patrones de desarrollo y rutina; la naturaleza está

diseñada y combinada con toda clase de formas geométricas e increíble sucesión

numérica. Las plantas adoran las formas geométricas. Las flores de la petunia son

pentágonos perfectos, las hojas de la capuchina muestran los radios de la circunferencia,

las palmeras desarrollan sus hojas en semicírculos(PEREZ, 2005).

La proporción fractal consiste en la repetición de la estructura de un elemento a menores

escalas. Como el romanesco, esta variedad de la col es uno de los ejemplos de cómo la

proporción fractal se presenta continuamente en la naturaleza.Al cortar una naranja por

la mitad, se ve una circunferencia con los radios definidos. La geometría está presente

en todas las plantas, con proporciones casi perfectas. El diámetro de la copa de un árbol

se corresponde con el de su conjunto de raíces, y las hojas forman pequeñas

circunferencias.(NATURE, 2005)

Se conoce al número áureo como pi y se escribe con la sucesión 1,6180… hasta el

infinito. Esta proporción se encuentra en la nervadura de las ramas, la distancia entre las

espirales de una piña, la relación entre las ramas principales y el tronco… El número

áureo es una proporción común en la naturaleza.(Vizworld, 2010)

El conocimiento de la naturaleza es un ejemplo a seguir de cómo debe ser la manera de

desenvolvernos en todos los ámbitos de nuestra vida, tanto en lo laboral como

(14)

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN 1.1. Tema de investigación

Las matemáticas en la naturaleza

1.2. Planteamiento del Problema

Cuando la personas se quedan en silencio por un momento y abren sus ojos junto con

los sentidos al observar la conformación de una hoja de un árbol nos percatamos que su

ramificación es tal que pareciera que no fue creada al azar ya que tiene un diseño

específico, estructural, lógico y serial, o la relación existente entre las distancias de las

curvas que forman un espiral que tiene un caracol, la distancia de los hoyos que se

observan en la piña, la reproducción sistemática de los conejos, la relación entre los ojos

de una persona junto con su nariz en relación a sus orejas.

Sin duda alguna se impresiona mucho, por tal virtud no queda más que una interrogante

en nuestras cabezas. ¿La naturaleza fue creada en base a las matemáticas? ¿Existe

relación entre los objetos de la naturaleza y las matemáticas? Entonces ¿Con qué parte

de las matemáticas las puedo relacionar?

1.3. Formulación del Problema ¿Hay matemáticas en la Naturaleza?

1.4. Objetivos

1.4.1 OBJETIVO GENERAL

Comprender las relaciones existentes entre las matemáticas y la naturaleza realizando

un estudio investigativo con el propósito de crear un material didáctico que incentive los

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1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Comparar ciertas plantas y la estructura para relacionarlas con las matemáticas

Descubrir en que parte de la naturaleza se desarrolla las series y patrones

matemáticos.

Percibir la relación existente entre la serie Fibonacci y los elementos de la

naturaleza

Comprender el significado de la fractalidad y su relación aspecto – tamaño con

ciertos vegetales

1.5. Justificación

Cierto pensamiento popular, “Quién domina los números dominará el mundo”, al

parecer cada día que transcurre se vuelve más creíble porque con la relación tan directa

que existe entre todo lo creado y manipulado por la misma naturaleza, tiene un cierto

comportamiento parecido a un algoritmo, con manifestaciones que incluyen patrones o

plantillas específicas muy relacionadas con las matemáticas.

El conocimiento de los patrones que se observan en la naturaleza, y en todo cuanto nos

rodea nos ayuda a pensar y cuidar nuestro entorno, pero más allá de eso permite a la

industria crear nuevos implementos en beneficio de nuestra tecnología y evolución, por

ejemplo, cuando las águilas planean haciendo un vuelo estable, se reconoce la inclusión

matemática y física, eso nos ayuda a mejorar nuestras naves, el movimiento al nadar de

los tiburones y la constitución de su piel ayuda a los nadadores profesionales a mejorar

su estilo de natación, entre otras cosas.

Por todo lo expuesto con esta investigación se beneficia todos los seres humanos, tanto

para el desarrollo evolutivo del hombre y el desarrollo tecnológico en miras a un futuro

con conocimiento profundo del funcionamiento de la naturaleza para que el ser humano

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CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO 2.1. Fundamentación Teórica

2.1.1. LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA

Las matemáticas es una ciencia exacta que parte desde aforismos y proposiciones

manipuladas que resuelven un problema, Se rumora entre los matemáticos que los

objetos matemáticos sean estos números, funciones o proposiciones no existen,

simplemente es un recurso producido por la mente humana, Albert Einstein dijo

“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son

ciertas, no se refieren a la realidad”

2.1.1.1. HISTORIA.

En el sitio Wikipedia se encuentra un extracto acerca de la historia de las matemáticas

en cuanto a sus precursores, a saber:

PITÁGORAS

(582-500 a. C.). Fundador de la escuela pitagórica, cuyos principios se regían por el

amor a la sabiduría, a las matemáticas y música.

EUCLIDES

(365-300 a. C.). Sabio griego, cuya obra “Elementos de Geometría” está considerada

como el texto matemático más importante de la historia.

ARQUÍMEDES

(287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También

conocido por una de sus frases: “Eureka, Eureka, lo encontré”. Su mayor logro fue el

descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro

que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que

consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y

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FIBONACCI

(1170-1240). Matemático italiano que realizó importantísimas aportaciones en los

campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Descubridor de la Sucesión de

Fibonacci, que consiste en una sucesión infinita de números naturales.

RENÉ DESCARTES

(1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las

ecuaciones, en la cual se incluía la regla de los signos, para saber el número de raíces

positivas y negativas de una ecuación. Inventó una de las ramas de las matemáticas, la

geometría analítica.

ISAAC NEWTON

(1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiaenaturalis principia

mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y

desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del

cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y

analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de

ecuaciones.(Wikipedia, Wikipedia.org, 2010)1

SUCESIÓN FIBONACCI

La sucesión de los números de Leonardo de Pisa o llamado también Fibonacci se

desarrolló cuando estaba observando a los conejos y su reproducción, esta es una

secuencia de números que lógicamente comienza en 0 y 1 sumados estos dos últimos

números tendremos 1, sumados estos dos últimos tendremos 2, de igual manera

sumados tendremos 3 luego 5 y así sucesivamente tal como lo muestra la siguiente

ilustración:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987

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2.1.1.2.NATURALEZA

La naturaleza se refiere a todos los fenómenos físicos, químicos y vida en general, es en

otras palabras la esencia, propiedades y características de cada ser que se encuentra en

el universo, se podría decir también que es el conjunto de todo ser vivo (animales y

plantas) y fenómenos que se producen sin la mano del hombre (lluvias, tormentas,

erosión, etc.) (definicion.de, 2010)2

2.1.1.3. DE LAS MATEMÁTICAS Y NATURALEZA

Bruce Harvey, en su blog afirma que las matemáticas no se pueden utilizar en ningún

campo sin disciplina, para predecir el comportamiento de los procesos naturales. La

manipulación de las ecuaciones de forma válida matemáticamente puede o no producir

un modelo válido. Las matemáticas deben ir de la mano con una comprensión de la

forma en que la naturaleza es capaz de hacer las matemáticas.(harvey, 1997)3

En su blog propone que la naturaleza tiene tres mecanismos con los que hacer la

matemática.

Considérese la posibilidad de una carga eléctrica. Se ha asociado con él algún tipo de

campo que se extiende hacia fuera de él en perfecta simetría. La situación tiene una

geometría en la que todos los puntos a la misma distancia de la carga de tener la misma

magnitud del campo. En todos los puntos en el espacio de la dirección del campo es

paralelo a la radio de la carga al punto. En todos los puntos en el espacio, el campo está

dirigido en el mismo sentido hacia adentro o hacia afuera. A medida que seguimos hacia

el exterior de campo, se extiende a través del espacio a fin de que en cualquier

momento, la magnitud,ser inversamente proporcional a la superficie de la esfera a través

de ese punto y se centró en la carga. De esta manera, la naturaleza utiliza la geometría

de la situación para determinar el campo. He aquí la ecuación

Expresando esta geometría.

2

Tomado de Definicion.es, Fuente citada: http://definicion.de/naturaleza/

(19)

Considérese ahora una segunda carga y de alguna manera de anclaje y que la primera

carga en el espacio. También tiene un campo. Permite llamar a los dos campos y .

Los campos de las dos cargas son independientes y están presentes en cada punto del

espacio sin distorsionar los demás. Se llama a esto el principio de súper imposición

tomando prestado el nombre de la matemática de las ecuaciones diferenciales y le da un

significado mucho más potente y deletreándolo con más letras. (De hecho, es esta

propiedad fundamental de la naturaleza que permite a su homónimo a trabajar en la

solución de ecuaciones diferenciales por los matemáticos.)

Ahora vamos a introducir una tercera carga que se mueve libremente. Nos damos cuenta

de que es afectada por la presencia de los cargos primero y segundo y se mueve con una

aceleración que revela que los campos están afectando. Podríamos calcular esta

aceleración mediante el cálculo y y agregar luego los dos vectores. Multiplique

este vector resultante por y se obtiene la aceleración. La naturaleza es capaz de

realizar una suma de vectores de dos campos eléctricos en el lugar de una carga que es

afectada por ellas.

Aquí, pues, son los tres mecanismos por los cuales la naturaleza es capaz de hacer que

las cosas sucedan. Son GEOMETRÍA, SÚPER IMPOSICIÓN y SUMA DE

VECTORES. Si el universo es un modelo matemático, entonces estos son los tres procesos por los cuales se lleva a cabo las matemáticas a través del espacio.(harvey,

1997)4

2.1.1.3.1. RELACIÓN MATEMÁTICAS Y NATURALEZA ¿QUÉ ES UN FRACTAL?

Según www.wikipedia.org Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura

básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto

por el matemático BenoîtMandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa

quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

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Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

Es autosimilar.- Su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la

geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas

costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es

aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el

detalle infinito, tienen límites en el mundo natural(Wikipedia, es.wikipedia.org,

2010)5

2.1.1.3.2.FRACTALES OCURRENTES EN LA NATURALEZA

La geometría de los fractales nos brinda una nueva apreciación del mundo natural y de

los patrones que observamos en ella.

Hay muchas cosas que antes llamado “el caos” ahora se sabe que siguen sutiles leyes del comportamiento fractal. Así que muchas cosas resultó ser fractal que la palabra

"caos" en sí mismo (en la ciencia operacional) ha redefinido, o en realidad por el

momento oficialmente por primera vez define como seguir las reglas pero por lo general

determinista inherentemente impredecibles sobre la base de las ecuaciones no lineales

iterativas. Los fractales son impredecibles en los detalles específicos aún determinista

cuando se ve como un patrón total en muchos aspectos, esto refleja lo que se observa en

los pequeños detalles y diseño total de la vida en toda su variedad física y mental,

también(Miquel, 2006)6

5_{Tomado de es.wikipedia.org fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal} 6

(21)

Figura No. 2.1. Fractales en las Montañas del Tibet

Fuente: http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-natural-fractals.html

2.1.1.3.3.CONEJOS EN LA SERIE FIBONACCI.

El problema original fue investigado por Fibonacci en el año de 1202, que fue acerca de

la rapidez con que se reproducían estos animales en las mejores circunstancias.

Supongamos que un par de conejos recién nacidos, un macho, una hembra, se colocan

en un campo. Los conejos son capaces de aparearse, a la edad de un mes para que al

final de su segundo mes una hembra pueda producir otro par de conejos. Supongamos

que nuestros conejos nunca mueren y que la hembra siempre produce una nueva pareja

(un macho y una hembra) cada mes a partir del segundo mes. El enigma que planteó

Fibonacci fue…

¿Cuántos pares habrá en un año?

Al final del primer mes, se aparean, pero todavía hay un sólo un par.

Al final del segundo mes la hembra produce un nuevo par, así que ahora hay 2

pares de conejos en el campo.

Al final del tercer mes, la hembra original produce un segundo par, haciendo tres

pares en todo en el campo.

Al final del cuarto mes, la hembra original ha producido otro nuevo par, la

hembra nacida hace dos meses, produce su primer par también, lo que hace 5

(22)

Figura No. 2.2. Fibonacci en el apareamiento de los conejos

Fuente: http://myscienceblogs.com/matematika/2008/02/25/kelinci-fibonacci/

Elaborado por: El Autor

El número de pares de conejos en el campo al comienzo de cada mes es 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13 21, 34, …

Otro punto de vista del árbol familiar del conejo es:

Todos los conejos nacidos en el mismo mes son de la misma generación y se encuentran

en el mismo nivel en el árbol.

Los conejos han sido número único para que en la misma generación que los conejos

nuevos están numerados en el orden del número de sus padres. Así, 5, 6 y 7 son los

hijos de 0, 1 y 2, respectivamente.

Los conejos etiquetado con un número de Fibonacci son los hijos del conejo original (0)

(23)

Hay un número de Fibonacci de conejos en cada nueva generación, marcada con un

punto.Hay un número de Fibonacci de conejos en total, de arriba hacia abajo a cualquier

generación.

2.1.1.3.4.RECTÁNGULOS DE FIBONACCI Y ESPIRALES DE SHELL

Podemos hacer otra representación que muestra los números de Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,… si empezamos con dos pequeños cuadrados de tamaño de un lado

de la otra. En la parte superior de ambos dibujar un cuadrado de tamaño 2 (= 1 +1).

1 1

2 3

5 8

13

Figura No. 2.3. Rectángulos Fibonacci

Elaborado por: El Autor

Ahora podemos dibujar una nueva plaza – que afectan tanto un cuadrado unidad y la

última plaza de la cara 2 – por lo que tener lados 3 unidades de longitud, y luego otro

tocando tanto el cuadrado de 2 y el cuadrado de 3 (que tiene lados de 5 unidades) .

Podemos seguir añadiendo cuadrados alrededor de la imagen, cada nueva plaza que

tiene una parte que es tan larga como la suma de las partes. Este conjunto de rectángulos

cuyos lados son dos sucesivos números de Fibonacci de longitud y que se componen de

cuadrados con los lados que son números de Fibonacci, llamaremos a los rectángulos de

(24)

Figura No. 2.4. Caracol siguiendo las leyes Fibonacci

Fuente:http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow

La espiral no es una espiral matemática (ya que se compone de fragmentos que forman

parte de los círculos y no salgan a la cada vez más pequeños), pero es una buena

aproximación a una especie de espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza.

Estas espirales se ven en la forma de conchas de caracoles y conchas de mar y, la espiral

en las plazas, hace una línea desde el centro de la espiral de aumento por un factor del

número de oro en cada cuadrado. Así que los puntos de la espiral son 1.618 veces más

lejos del centro después de un cuarto de vuelta. En su conjunto a su vez los puntos de

una radio a cabo desde el centro son 1,6184 = 6.854 veces más lejos que cuando la

última curva cruzó la línea radial mismo.(Vizworld, 2010)7

Cundy y Rollett (Modelos Matemáticos, segunda edición 1961, página 70) dicen que

esta espiral se produce en caracoles y flores cabezas refiriéndose a D‟Arcy Thompson

El crecimiento y la forma. Aquí Thompson está hablando de una clase de espiral con un

factor de expansión constante a lo largo de una línea central y no sólo los depósitos con

un factor de expansión Phi.

(25)

Debajo están las imágenes de secciones transversales de un caracol Nautilus. Ellos

muestran la curva de la espiral de la concha y las cámaras internas que el animal con

que se completan a medida que crece. Las cámaras ofrecen la flotabilidad en el agua.

Varias organizaciones y empresas tienen un logotipo basado en este diseño, con la

espiral de Fibonacci y plazas en algún momento con la concha de Nautilus

superpuestos. Es incorrecto decir que esto es un Phi-espiral. En primer lugar la “espiral”

es sólo una aproximación, ya que está formado por separados y distintos cuartos de

círculos, en segundo lugar el (verdadero) aumenta en espiral en un factor de Phi cada

cuarto de vuelta por lo que es más correcto llamarlo una espiral Phi4.

2.1.1.3.5.LOS NÚMEROS DE FIBONACCI, LA SECCIÓN ÁUREA Y PLANTAS Una de las plantas, en particular, muestra los números de Fibonacci en el número de

“puntos de crecimiento” que tiene. Supongamos que cuando una planta saca un nuevo

brote y tiene que crecer dos meses antes de que sea lo suficientemente fuerte como para

apoyar la ramificación. Si se ramifica cada mes después de que en el punto de

crecimiento, (Surrey, 2010)8

Una planta que crece en gran medida de este tipo es el “sneezewort”: ptarmicaAchillea,

En muchas plantas, el número de pétalos es un número Fibonacci:

8

(26)

Figura No. 2.5. Observando la serie Fibonacci en la constitución de un árbol

Fuente:http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow

2.1.1.4.VERDURAS Y FRUTAS

El brócoli y coliflor (o Romanesco) se ve y se sabe a una mezcla de brócoli y coliflor.

Cada florecilla es la cúspide, y es una versión idéntica pero más pequeña de toda la cosa

y esto hace que las espirales sean fáciles de ver.

Figura No. 2.6. Fractal en la col de bruselas

Fuente: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow

Aquí está una foto de una coliflor normal. Se observa la forma en que es casi un

(27)

las florecillas son menores. Las flores están organizadas en espiral alrededor de este

centro en ambas direcciones.

Figura No. 2.7. Una Col Común

Fuente: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#rabeecow

2.1.2. APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Uno de los temas claves de la Educación Matemática es cómo debe ser el desarrollo de

la lección para generar aprendizaje efectivo (podría usarse el término "significativo",

como en AUSUBEL (1968), pero dentro de una perspectiva más amplia) por parte de

los estudiantes en torno al conocimiento matemático, tanto en sus contenidos como en el

uso de sus métodos. De igual forma, se plantea como objetivo el fortalecimiento de

destrezas en el razonamiento abstracto, lógico y matemático, cuyas aplicaciones no sólo

se dan en las ciencias y tecnologías sino en toda la vida del individuo.

De alguna manera, es éste el verdadero laboratorio y taller en el cual se condensa todo:

aquí adquiere sentido toda la formación recibida por parte de los profesores así como las

condiciones curriculares, pedagógicas, matemáticas e incluso de infraestructura que

intervienen en el proceso de enseñanza aprendizaje; se invocan muchos vectores.

Sin embargo, en algunos aspectos propiamente pedagógicos en el desarrollo de la

lección. Las preguntas emergen: ¿qué debe aprenderse en una lección de matemáticas?

¿Cuál debe ser la orientación más conveniente para lograr éxito en el aprendizaje

efectivo de las matemáticas por medio de la lección? En relación con lo primero, una

lección de matemáticas debe proporcionar aprendizaje en el lenguaje y la cultura

matemáticos, los algoritmos y procedimientos específicos de las matemáticas, destrezas

(28)

en la construcción de modelos de naturaleza matemática, y entrenamiento y habilidades

para la formulación y resolución de problemas. Todos estos objetivos deben ser

realizados. ¿Qué se debe privilegiar estratégicamente? El dilema, para empezar, se

puede poner en términos de cuáles dimensiones de las matemáticas deben poseer un

énfasis en los procesos de enseñanza: ¿los aspectos conceptuales o aquellos de

procedimiento?

2.1.2.1. CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS, NATURALEZA DE LAS

MATEMÁTICAS

Para buscar una respuesta, en primer lugar, vamos a precisar los términos que usaremos.

El conocimiento conceptual es aquel que se conecta fácilmente a otro conocimiento.

Mientras tanto, el conocimiento de procedimientos, procedimental, refiere a los

símbolos y las reglas que se memorizan sin relación con el entendimiento de esos

símbolos y reglas. Estas dimensiones participan en la definición de los alcances de una

clase. Puede llamarse este último también conocimiento algorítmico. Como bien

consignan Monereo et al:

"llamamos a un procedimiento algorítmico cuando la sucesión de acciones que hay que

realizar se halla completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución

segura del problema o de la tarea (por ejemplo, realizar una raíz cuadrada o coser un

botón). En cambio, cuando estas acciones comportan un cierto grado de variabilidad y

su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo (por ejemplo,

planificar una entrevista o reducir el espacio deun problema complejo a la identificación

de sus principales elementos más fácilmente manipulables) hablamos de procedimientos

heurísticos". (Monereo et al 1998)

Procedimientos heurísticos están íntimamente asociados a conocimiento conceptual.En

las visiones más tradicionales en la Educación Matemática se afirma que lo esencial es

el dominio de los aspectos de cómputo antes de abordar los contenidos conceptuales. En

esta visión se demanda un rendimiento rápido en el arte del cómputo, y el manejo de

técnicas. Se afirma que en algún momento -siempre posterior- se tratará con los

(29)

destinado a los procedimientos es demasiado grande y la conexión con los conceptos,

con la comprensión, se ve profundamente debilitada.

Las visiones educativas más modernas, sin embargo, subrayan el carácter conceptual de

las matemáticas y la importancia de relacionar los conceptos con los que el estudiante

ya posee; en particular, lo que se llama el conocimiento informal que previamente los

estudiantes poseen, y su bagaje cultural. Y se apunta a la utilización de situaciones

matemáticas no rutinarias que exijan una elaboración no mecánica.

Una orientación en esta dirección empuja hacia la heurística, aplicaciones, modelos, que

conecten con los entornos sociales y físicos, recursos a la historia que permitan

evidenciar el estatus cognoscitivo de los conceptos empleados. Por supuesto,

adelantando nuestra opinión, en las matemáticas coexisten ambos tipos de

conocimiento, el punto es desarrollar una estrategia eficaz que favorezca el aprendizaje;

sin duda, los profesores deben buscar que los estudiantes establezcan las conexiones

entre el conocimiento conceptual y el procedimental.

Toda esta discusión está en correspondencia directa con la percepción que se tenga

sobre las matemáticas. Si se afirma que es, por ejemplo, un lenguaje desprovisto de

contacto con el mundo empírico, como en el Neopositivismo, las implicaciones son de

un tipo (Ayer 1936). Si el punto de vista es logicista (como en Frege o Russell) se

enfatiza la deducción, al margen de conceptos contextualizados o relaciones con el

entorno (Ruiz 1990). Si lo que se subraya son sus dimensiones formales y estructurales,

su consistencia por ejemplo (HILBERT), se plantea otra orientación (Ruiz 1990). Y otra

visión pedagógica emerge si se piensa en las matemáticas como reflejos inductivos

empíricos (MILL). Se puede pensar en las matemáticas como ciencia de patrones

abstractos (Resnik 1975 y 1982). El asunto puede ser más explícito en cuanto a los

procedimientos; como bien reporta Vilanova et al:

"Thompson (1992) señala que existe una visión de la matemática como una disciplina

caracterizada por resultados precisos y procedimientos infalibles cuyos elementos

básicos son las operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos y los términos

geométricos y teoremas; saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar

(30)

La concepción de enseñanza de la matemática que se desprende de esta visión conduce

a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado

raramente es comprendido." (Vilanova et al , 2001)

Otra visión de las matemáticas, cercana al constructivismo filosófico y al

cuasiempirismo (a lo ImreLakatos o recientemente Philip Kitcher o Paul Ernest; Ruiz

2003):

"Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la matemática consiste

en considerarla como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y

refutaciones, cuyos resultados deben ser juzgados en relación al ambiente social y

cultural. La idea que subyace a esta visión es que "saber matemática" es

"hacermatemática".

Lo que caracteriza a la matemática es precisamente su hacer, sus procesos creativos y

generativos. La idea de la enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es

que los estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir

de situaciones problemáticas. Estas situaciones requieren de un pensamiento creativo,

que permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así

como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación. Esta visión de

la Educación Matemática está en agudo contraste con la anterior." (Vilanova et al 2001)

¿Qué son, entonces, las matemáticas? Las matemáticas deben verse, ya en nuestra

opinión, como una ciencia natural aunque con características específicas (que incluso

empujan hacia una reinterpretación de lo que son las ciencias). Las implicaciones de

esto son varias: como ciencia natural, empuja una relación íntima entre las matemáticas

y el mundo material y social. En términos epistemológicos: una relación mutuamente

condicionante entre el objeto y el sujeto, una interacción de influjos recíprocos y

cambiantes. También, se plantea una relación entre las matemáticas y las otras ciencias:

una íntima vinculación teórica e histórica del conocimiento científico, lo que las hace un

instrumento imprescindible para el progreso de éstas. Nuestra perspectiva de fondo:

". las matemáticas obtienen sus nociones elementales del mundo físico que siempre

interviene y las operaciones o acciones que el sujeto realiza a partir de aquellas también

(31)

(que son las que señala Piaget), y todos los diferentes tipos de abstracciones (siempre

más o menos subjetivas) están vinculados a la realidad.

En la gestación, desarrollo y utilización de los métodos de las matemáticas el sujeto

nunca deja de recibir la influencia directa del objeto. Nuestra propia naturaleza posee

características generales biológicas o físicas que corresponden al resto del universo. . los

resultados matemáticos no son simples generalizaciones inductivas ni tampoco son

réplicas mentales impresas por el objeto en un sujeto pasivo; varios factores siempre

interactúan.

La aplicabilidad o la armonía de las matemáticas con el mundo no se puede explicar con

énfasis unilaterales colocados ya sea en el papel del sujeto o en el del objeto. Para

nosotros: en algún lugar de la relación entre ambos es que se encuentra la mejor

explicación." (Ruiz 2000)

Podemos añadir que las matemáticas refieren al análisis de situaciones reales y a los

procesos para representarlas en una forma simbólica abstracta adecuada (Davis y Hersh

1981).

Si adoptamos estos últimos puntos de vista, la conclusión es tajante: el propósito de la

Educación Matemática no puede ser planteado prominentemente como la memorización

de hechos y el desarrollo de cálculos y sus destrezas asociadas. Es decir, una formación

basada en los aspectos de procedimiento, la repetición y memorización de éstos, debilita

las posibilidades para crear habilidades en el razonamiento matemático y corresponder

apropiadamente con la naturaleza de ésta como disciplina cognoscitiva.

El asunto es más grave aún: una Educación Matemática basada en procedimientos y

manipulación de símbolos (a veces sin sentido), con poca relación con los conceptos,

formas de razonamiento y aplicaciones, es un poderoso obstáculo para que los

estudiantes puedan comprender el valor y la utilidad de las matemáticas en su vida.

Es posible estar de acuerdo con una aproximación que enfatiza los aspectos

conceptuales en la formación matemática, sin embargo una cosa es declararlo y otra

cosa es realizarlo. En la mayoría de ocasiones las lecciones se desarrollan dando

(32)

poca presencia de problemas o proyectos que involucren varias formas de razonamiento

o diferentes disciplinas matemáticas.

2.1.2.2. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Los sistemas de evaluación, por ejemplo, tienden a favorecer los procesos memorísticos

y la presencia mayoritaria de los llamados problemas de un solo paso. Son comunes en

varios países, en particular en pruebas masivas, los exámenes estandarizados de

selección única que, en general, no poseen ejercicios de varios pasos mentales. No es,

por supuesto, que la metodología de la selección única en exámenes, normalmente a

corregir por lectora óptica, no pueda poseer ejercicios de una mayor complejidad.

Lo que sucede es que el sistema fomenta evaluaciones con ejercicios de un solo paso,

cargados de repetición, aplicación rutinaria y mecánica. Para dar un ejemplo: las

pruebas del Bachillerato en Costa Rica. Esto, por supuesto, a la larga condiciona los

procesos educativos de una manera más global.

La formación se restringe a contenidos y mecanismos que serán evaluados con este tipo

de estrategias de evaluación, con debilidades profundas en la profundidad y utilidad de

las matemáticas.

Otro ejemplo: en la clase se suelen evadir los problemas complejos porque éstos

requieren un tratamiento más amplio, que consume normalmente más tiempo de la

lección. Y la estructura de las jornadas educativas y los currículos, y la misma presión

de pruebas nacionales, parecieran no permitir adoptar otro tipo de estrategia.

Varios factores en los curricula dominantes de diferentes maneras apuntalan una

enseñanza conductista cargada de metodologías y didácticas preprogramadas.

Todo esto, presente en la formación matemática de muchos países, constituye uno de los

problemas más graves para que un sistema educativo pueda responder a los retos de un

planeta sometido a una extraordinaria tensión y en donde el conocimiento se ha vuelto

la piedra de toque (Ruiz 2001).

Una vez que se ha establecido el valor estratégico de los razonamientos matemáticos

(33)

debería ser la mejor orientación pedagógica para lograr el aprendizaje de las

matemáticas y su mejor utilización dentro de un sistema educativo.

En lo que sigue, entonces, vamos a puntualizar algunos elementos metodológicos para

fortalecer una orientación en ese sentido. Empezamos por lo más general.

2.1.2.3. LA LECCIÓN DE MATEMÁTICAS

El desarrollo de la lección exige una evaluación cuidadosa de sus objetivos: el más

apropiado para una lección de matemáticas debe ser siempre apuntar hacia las formas de

razonamiento más general, propiamente matemáticas.

Cuando el objetivo se reduce a enseñar la solución de un problema específico o un

procedimiento particular solamente, el resultado en la formación matemática es muy

débil. Puesto de otra forma: se trata de encontrar en los aspectos específicos particulares

la estructura cognoscitiva y la dimensiones abstractas involucradas; es decir, establecer

un puente entre lo particular y lo abstracto, no quedarse en lo particular, y tampoco, por

supuesto, en solamente lo abstracto. Esto es muy importante. `

Nunca se puede perder de vista que las matemáticas son ciencias de lo abstracto; puesto

de otra manera: la disciplina de las matemáticas trabaja los aspectos más generales de la

realidad.

La intervención de los sentidos es mayor en estos últimos. Las operaciones mentales

involucradas también son otras. Las matemáticas, aunque referidas a un mundo material

y social, se han construido de manera cíclica y permanente como construcciones

cognoscitivas cada vez más alejadas del mundo sensorial. No obstante, sus formas de

razonamiento y de creación intelectual se mantienen íntimamente asociadas a otras

partes del conocimiento humano.

Para la Educación Matemática no se trata de circunscribir los contenidos y objetivos

educativos a realizar en un marco de las matemáticas consideradas como un cuerpo

abstracto, sino de conducir a los estudiantes al dominio de conceptos, métodos y

destrezas matemáticas a través de procesos pedagógicos y didácticos específicos. La

(34)

El objetivo de la clase, entonces, busca fortalecer el razonamiento abstracto partiendo de

la experiencia y el contexto del alumno, el conocimiento aprendido previamente. Esto

significa el uso de escaleras y andamios apropiados. Este es el gran territorio de las

didácticas específicas de las matemáticas.

La historia de las matemáticas, las aplicaciones de las matemáticas y sus

contextualizaciones, las motivaciones, la escogencia de las situaciones educativas, los

instrumentos usados como textos o materiales audiovisuales, las tecnologías, etc., son

relevantes en este contexto.

La historia de las matemáticas puede ser usada de múltiples maneras, aunque su uso

depende de la filosofía que se asuma (Ruiz 2003). No sólo como interesantes anécdotas

o la presentación de contextos para entender las construcciones matemáticas, sino

comoun recurso para determinar incluso la lógica de un currículo, por ejemplo el orden

de presentación de algunos contenidos, o para realizar un vínculo con otras disciplinas

cognoscitivas o la cultura en general.

La historia puede ser usada para propiciar no sólo la confrontación con problemas de las

matemáticas a partir de las condiciones históricas específicas que permiten valorar el

significado de los resultados, sino también para la realización de los objetivos en la

comunicación y verbalización de conceptos y procedimientos matemáticos.

Los modelos matemáticos que permiten establecer su relación con el entorno social o

físico también permiten valorar el significado y la utilidad de las matemáticas.

Las tecnologías diversas pueden participar en este proceso no sólo para simplificar

cálculos rutinarios y simples, ofrecer más tiempo para otras formas de razonamiento,

sino también para, en algunos casos, "visualizar" matemáticas, aumentar procesos de

interacción y actividad, o potenciar las posibilidades para el enfrentamiento con

problemas matemáticos interesantes.

Las nuevas tecnologías, especialmente aquellas de la comunicación, permitirían también

abordar la interacción educativa a partir de la participación de más personas, incluso de

diferentes latitudes (lo que enriquecería el proceso de enseñanza y aprendizaje). Aquí

(35)

como la estadística y la probabilidad, que permiten la construcción de modelos sencillos

de usar en las matemáticas preuniversitarias.

2.2. HIPÓTESIS

El complemento de un enfoque pedagógico que contemple la conexión de las

matemáticas con la naturaleza incide en un deficiente aprendizaje de la misma

2.3. VARIABLES

2.3.1. VARIABLE INDEPENDIENTE

Enfoque Pedagógico – Las Matemáticas en la Naturaleza

(36)

2.4. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES

Variable Independiente:

Enfoque Pedagógico – Las Matemáticas en la Naturaleza

ABSTRACTO CONCRETO

CONCEPTUALIZACIÒN CATEGORÍAS INDICADORES ÍTEMS BÁSICOS TÉCNICAS/INSTRUME NTOS

El enfoque pedagógico se fundamenta en el concepto de educación para la formación y el desarrollo humano integral y social

-Las Matemáticas en la naturaleza

-Sucesión Fibonacci

-Fractalidad -Animales,

-Sección aurea y plantas -Verduras y frutas -Rectángulos y Espirales

-¿Qué relación cree que existe entre las matemáticas y la naturaleza?

-¿Conoce la serie Fibonacci?

-Encuesta a los

estudiantes del Colegio “Clemente Ponce Borja” -Encuestas dirigidas a los profesores de

matemáticas. * Formulario Estructurado

Un enfoque pedagógico es una teoría desde la cual se concibe un proceso y unas estrategias de enseñanza aprendizaje. Proceso enseñanza=aprendiz aje -Educación -Ilustración

-¿Considera usted que la educación les permita forjar un mejor porvenir?

-¿Alguna vez les llevo un profesor fuera del aula para enseñarles matemáticas? -¿Te gustaría a hacer camping?

Encuesta a los

estudiantes del Colegio “Clemente Ponce Borja” * Formulario

(37)

Variable Dependiente:

Incidencia en el Aprendizaje de las matemáticas

ABSTRACTO CONCRETO

CONCEPTUALIZACIÒN CATEGORÍAS INDICADORES ÍTEMS BÁSICOS TÉCNICAS/INSTRUME NTOS

Disciplina caracterizada por resultados precisos y

procedimientos infalibles cuyos elementos básicos son las operaciones aritméticas, los

procedimientos algebraicos y los términos geométricos y teoremas; saber

matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina.Thompson (1992)

-Aprendizajes -Conceptos

-Procedimientos -Naturaleza de las matemáticas

-¿Que beneficio considera usted que el aprendizaje de las matemáticas incide en su educación?

-¿Cree que se puede aprender matemáticas al aire libre utilizando la naturaleza como material didáctico?

-Encuesta a los

estudiantes del Colegio “Clemente Ponce Borja”

* Formulario Estructurado

La concepción de

enseñanza de la matemática conduce a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado raramente es comprendido." (Vilanova et al , 2001)

-Evaluación Estrategias de

aprendizajes

-¿De los siguientes materiales didácticos a continuación cuál o cuáles de ellos utiliza

normalmente usted para dar sus clases de matemáticas?

-Encuesta a los profesores de matemáticas.

(38)

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN 3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

3.2. TIPO DE LA INVESTIGACIÓN

En el proceso de desarrollo del conocimiento científico, se utilizaron los siguientes tipos

de investigación:

3.2.1. CORRELACIONAL

Porque se busca con esta investigación la relación existente entre la matemática y la

naturaleza tal como planteamos el problema con las siguientes preguntas: ¿La

naturaleza fue creada en base a las matemáticas? ¿Existe relación entre los objetos de la

naturaleza y las matemáticas? Entonces ¿Con qué parte de las matemáticas las puedo

relacionar

3.2.2. BIBLIOGRÁFICA

Con el propósito de conocer, ampliar, profundizar y de deducir diferentes enfoques,

teorías, conceptualizaciones y criterios de diversos autores sobre el fenómeno a

investigar, se utilizó páginas electrónicas y enlaces web de los principales autores que

sustentaban la fundamentación de las matemáticas y la naturaleza.

3.2.3. DE CAMPO

Se aplicó la modalidad de campo por ser un método científico que permite un estudio

sistemático al tratamiento del tema garantizando efectividad en la investigación. Estudia

los hechos en el lugar en que se producen, siendo una investigación directa: de

investigadores a investigados, cuya finalidad es establecer la relación entre la

matemática y la naturaleza.

3.3. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN

Para el estudio de las matemáticas en la naturaleza se utilizaron los diferentes métodos

(39)

3.3.1. MÉTODO DEDUCTIVO-INDUCTIVO

Se utilizó el método deductivo, que permitió partir de una premisa general del tema para

llegar al caso particular enfatizando en la teoría y en la explicación, a la vez que

permitirá teorizar los temas matemáticos para aplicarlos en la institución educativa y así

aplicar el método para instruir e incentivar a los estudiantes al amor por las matemáticas

3.3.2. MÉTODO EXPERIMENTAL

En el estudio del tema para observar los efectos en algunos productos de la naturaleza,

con el propósito de precisar resultados

3.4. POBLACIÓN Y MUESTRA 3.4.1. POBLACIÓN

La población a considerar es el Ciclo Básico del colegio Nocturno Fiscal “CLEMENTE

PONCE BORJA”, de la parroquia de Leónidas Plaza, es decir 8º, 9º, y 10º, Año de

Educación Básica, esto es 46 estudiantes en total para la realización de la encuesta a los

estudiantes, en cuanto a los profesores de matemáticas se tomó en cuenta así mismo al

100% de los profesores de matemáticas de los colegios del sector de Leónidas Plaza,

3.4.2. MUESTRA

100% del ciclo básico del colegio “Clemente Ponce Borja” = 46 estudiantes 100% de

los profesores de matemáticas del sector de Leónidas Plaza = 12 profesores

3.5. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA

INFORMACIÓN

3.5.1. LA OBSERVACIÓN

Para el desarrollo de la investigación se utilizólos sentidos de la vista, laaudición, el

olfato, el tacto y el gusto, con los que se realiza observaciones yacumula hechos que

ayudarona la identificación de la matemática como a su posterior resolución que tiene

(40)

Entre los elementos de la observación está el investigador, el objeto de estudio que es la

matemática y la naturaleza. Se utilizó los instrumentos como Fichas de observación.

Los resultados de la investigación están descritos en forma cualitativa y cuantitativa, de

acuerdo con los objetivos y apoyada en el marco teórico, para llegar a las conclusiones

de los objetivos específicos las mismas que contribuyeron al desarrollo del tema.

3.5.2. LA ENCUESTA

Se ha considerado a la encuesta como un método para recolectar los datos necesarios

para recabar información veraz y oportuna para recoger la información que los

estudiantes del colegio “Nicolás Clemente Ponce Borja” tienen para el éxito de este

trabajo de investigación. Este método ha permitido explorar sistemáticamente lo que los

estudiantes saben, sienten, profesan o creen.

Ha representado una serie preguntas y respuestas de los entrevistados que se limitan a

las categorías dadas previamente

Se hará un cuestionario con respuestas preestablecidas donde se sugiere al entrevistado

a situarse, pero no se le dará la posibilidad de explicar lo que piensan puesto que son

(41)

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS

4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

(42)

1) Considera usted que la educación les permitirá forjar un mejor porvenir Tabla No. 4.1. Pregunta Nº 1 – Estudiantes

Figura 4.1. Representación Porcentual sobre la opinión de los estudiantes acerca del futuro de su educación

Fuente: Encuesta realizada a los alumnos de 8º. 9º. Y 10º. Año de básica del Colegio Mixto Nacional “Clemente Ponce Borja”

Elaborado por: Roque Ureta Santos

Análisis.- Según los resultados obtenidos 32 de los 46 estudiantes encuestados que representa el 70% está totalmente de acuerdo que la educación será la fuente de un

mejor porvenir en su futuro, junto a un número menor que este, 13, representando el

28% está de acuerdo con la apreciación dada, cabe destacar que deliberadamente se les

ubicó estas dos opciones para notar el grado de aceptación hacia el estudio, 1 solo

estudiante está en desacuerdo que constituye el 2%, y cero estudiantes están en total

desacuerdo.

Interpretación.- De acuerdo a la pregunta establecida a los estudiantes se nota que están convencidos que el estudio y solamente el estudio les permitirá forjar un mejor

porvenir para sus vidas y las de los suyos, esto es bueno porque según datos recopilados

verbalmente la campaña educativa constante y continua ha retocado un efecto positivo

en la mayoría de los jóvenes En total desacuerdo

0%

En desacuerdo 2%

De acuerdo 28%

Totalmente de acuerdo

70%

(43)

2) Que beneficio considera usted que el aprendizaje de las matemáticas incide en su educación

Tabla No. 4.2. Pregunta Nº 2 – Estudiantes

Figura4.2. Representación Porcentual sobre la opinión de los estudiantes acerca de la incidencia de las matemáticas en su educación

Análisis.- Según los resultados obtenidos 43 de los 46 estudiantes encuestados que representa el 94% considera que el adquirir conocimientos matemáticos incide de

manera directa en su educación es decir están de acuerdo que estudiar matemáticas

embarga un gran beneficio el 4% piensa que es de mediano beneficio el 2% poco

beneficio y el 0% que no tiene ningún beneficio ni provecho aprender matemáticas

Interpretación.- Los estudiantes están completamente conscientes de la importancia que tiene la materia en cuestión por encima de otras materias inclusive, de la misma

manera, observando las anotaciones hacia la materia de matemáticas los estudiantes se

referían que se sigue trabajando con lo común y cotidiano que es enseñar matemáticas

en pizarra, que necesitan otro incentivo para mejorar en el interés de la misma. De mucho

beneficio 94% Mediano

beneficio 4%

Poco beneficio

2% No existe un _beneficio 0%

(44)

3) Qué relación cree usted que existe entre las matemáticas y naturaleza Tabla No. 4.3: Pregunta Nº 3 – Estudiantes

Figura 4.3. Gráfico porcentual acerca de la relación existente entre las matemáticas y la naturaleza

Análisis.- se pretende indagar en el estudiante para pesar el grado de relación entre la naturaleza y las matemáticas por tal virtud los estudiantes respondieron del manera bastante diversa, 15 estudiantes de 46 encuestados que representa el 33% creen que existe “MUCHA” relación entre las ciencias exactas y la naturaleza.

12 Estudiantes que representan el 26% reconocen que no saben si existe alguna conexión entre lo antes mencionado, el 11% de los encuestados creen que no existe ninguna relación matemática – naturaleza, el 4% creen que existe poca relación el 17% creen que existe algo o cierta conexión entre ellos y el 9% piensan que existe una conexión completa entre los números, series y demás tipos de cálculos y la naturaleza.

Interpretación.- Existe un número alarmantemente elevado de estudiantes que no saben si hay relación entre las matemáticas y la naturaleza, esto es porque nunca se les ha hablado del vínculo existente, es triste también que los un buen número de alumnos pienses que no existe o que haya algo o un poco de relación entre ellas, recalco que no están siendo incentivados al reconocer la relación existente.

Casi la mitad de los chicos encuestados si suponen que exista bastante o una relación completa, esto es gratificante por se sabe que no existe un terreno árido en el cual se pretenda trabajar y de alguna manera cambiar la mentalidad de los estudiantes con respecto al tema en mención.

No sé 26%

Ninguna 11%

Poca 4% Algo

17% Mucha

33%

Completa 9%

(45)

4) Conoces la serie Fibonacci Tabla No. 4.4. Pregunta Nº 4 – Estudiantes

Figura 4.4. Representación Porcentual acerca del conocimiento de ciertas series número como la es la serie Fibonacci

Análisis.- de toda la población encuetado que son 46 estudiantes 35 que representan el 76% reconocen no saber acerca de la existencia de la serie numérica Fibonacci, en

contraste al 24% que son 11 estudiantes que afirman conocer la serie en mención.

Interpretación.- es indudable el desconocimiento general acerca de la existencia de la serie numérica Fibonacci, pero no solamente la serie perse sino que también cualquier

clase de serie numérica, por eso es muy importante incluir en los pensum matemáticos

las series numéricas, porque estas ayudan al desarrollo del pensamiento. Si

24%

No 76%

(46)

5) Crees que se puede aprender matemáticas al aire libre utilizando la naturaleza como material didáctico

Tabla No. 4.5: Pregunta Nº 5 – Estudiantes

Figura 4.5. Representación Porcentual que permite conocer si el estúdiate cree que se puede utilizar a la propia naturaleza como material didáctico para aprender matemáticas

Análisis.- 30 de los 46 estudiantes que fueron escogidos para realizar la encuesta representando el 65% afirman que si se puede dar clases de matemáticas al aire libre y

que prácticamente están dispuestos a realizar un cambio en su educación

El 15% sostienen que no se puede utilizar la naturaleza o medios del cual se componen

para la enseñanza, y el 20% no saben o no están seguros de no saber nada al respecto

del tema.

Interpretación.- por lo visto y encontrado en las encuestas se observa una cosa, que si están abiertos los estudiantes a probar nuevas experiencias en cuanto al aprendizaje de

las matemáticas y no solamente creen que sería beneficioso para ellos sino también lo

esperan como parte de su educación.

No sé 20%

No 15% Si

65%