Departamento de Matem´atica Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 1.- C´
onicas y Cu´
adricas.
1.1.- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas. Las secciones c´onicas.
Definici´on m´etrica y elementos notables. La propiedad focal.
Ecuaci´on reducida de una c´onica no girada. Ecuaciones param´etricas.
1.2.- Las cu´adricas. Ecuaciones reducidas.
Ecuaci´on reducida de una cu´adrica no girada. Los elipsoides.
Los hiperboloides y el cono. Los paraboloides.
Los cilindros y las cu´adricas degeneradas. 1.3.- Ejercicios.
1.4.- Ap´endice: MATLAB.
Referente a la geometr´ıa del plano, el alumno conoce, de sus estudios de bachillerato, las curvas que se obtienen como gr´afica de una funci´on expl´ıcita, y=f(x). Adem´as, conoce la ecuaci´on general (o impl´ıcita) de la recta ax +by +c = 0, ecuaci´on que salvo casos excepcionales (b = 0) define aycomo funci´on expl´ıcita dex,y=−1
b(ax+c). Por otra parte, conoce la circunferencia, curva que no puede obtenerse como gr´afica de una funci´on expl´ıcita. La relaci´on que establece la ecuaci´on de una circunferencia (x−a)2
+ (y−b)2
= r2
entre las variables (x, y) es una relaci´on impl´ıcita. Podemos obtener expresiones expl´ıcitas dey en funci´on dexsi dividimos la circunferencia en dos semi-circunferenciasy=b±
È
r2
−(x−a)2,
pero el trabajar con estas expresiones obliga a no poder considerar y hacer c´alculos sobre la curva completa.
1.1.- Las c´
onicas. Ecuaciones reducidas.
En primer lugar vamos a estudiar los aspectos b´asicos de las c´onicas no degeneradas (par´abola, elipse e hip´erbola), considerando la definici´on de ´estas como el lugar geo-m´etricode todos los puntos del plano que verifican una determinadapropiedad m´etrica. Independientemente de que el resultado sea o no sea una c´onica, algunos ejemplos sencillos de lugares geom´etricos definidos mediante condiciones m´etricas son los siguientes:
La circunferencia: lugar geom´etrico de los puntos de un plano que est´an a una distancia prefijada de un punto fijo,
La mediatriz de un segmento: el lugar geom´etrico de los puntos de un plano que equidistan de los extremos del segmento,
El lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan est´a for-mado por las dos bisectrices de los ´angulos que determinan las rectas dadas,
Una vez definida cada c´onica, veremos que, adoptando un sistema de ejes adecuado, ´esta queda caracterizada mediante una ecuaci´on impl´ıcita en dos variables (x, y) que vendr´a dada por una ecuaci´on polin´omica de segundo grado sin t´ermino en xy.
Adem´as de las ecuaciones impl´ıcitas de las distintas c´onicas (referidas a ejes apropiados) consideraremos una descripci´on param´etrica. En t´erminos generales, puede decirse que las descripciones param´etricas son las herramientas m´as apropiadas a la hora de representar gr´aficamente una curva (plana o tridimensional) o una superficie. Esto se pone de manifiesto a la hora de obtener las gr´aficas de curvas y superficies usando MATLAB (o cualquier otro paquete de programas que permita representar gr´aficamente curvas y superficies definidas mediante ecuaciones).
1.1.1.- Las secciones c´onicas.
Dejando al margen coordenadas, ecuaciones,...el nombre completo de las c´onicas es el de secciones c´onicas pues son las curvas que se obtienen al seccionar un cono mediante un plano. El tipo de curva que se obtiene al cortar un cono circular recto (m´as adelante obtendremos su ecuaci´on) con un plano depende de si el plano pasa o no por el v´ertice del cono y de la relaci´on entre el ´angulo, 0≤α≤ π
2, de inclinaci´on del plano respecto al eje del
cono y el ´angulo, 0< β < π
2, de inclinaci´on de la recta generatriz del cono respecto del eje.
Tenemos los siguientes casos:
• Un punto, concretamente el v´ertice del cono, si cortamos con un plano que pasa por el v´ertice y β < α≤ π
2.
• Dos rectas secantes, si cortamos con un plano que pasa por el v´ertice y 0≤α < β. • Una recta doble, si cortamos con un plano que pasa por el v´ertice yα=β.
• Una elipse, si cortamos con un plano que no pase por el v´ertice del cono yβ < α≤ π
2. En
particular, si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono (α = π
2), se obtiene
una circunferencia.
• Una par´abola, si cortamos con un plano que no pase por el v´ertice y sea paralelo a una generatriz,α =β.
Un punto Una recta doble
Dos rectas que se cortan
Elipse
Circunferencia Par´abola Hip´erbola
1.1.2.- Definici´on m´etrica y elementos notables.
Vamos a definir (cada una de) las c´onicas como el conjunto de puntos del plano que verifican una determinada propiedad m´etrica (referida a distancias). Adoptando un sistema de referencia adecuado, obtendremos la ecuaci´on impl´ıcita correspondiente y las coordenadas y ecuaciones de los elementos distintivos (centro, ejes,...) que tenga en cada caso.
• La par´abola.
Aunque sea una curva plana conocida por el alumno como la gr´afica de una funci´on polin´omica de segundo gradoy=f(x) =ax2
+bx+cy como la trayectoria descrita por un proyectil, adoptaremos ahora otro punto de vista.
Definici´on. Dada una recta L y un punto F (que no est´e en L), se denomina par´abola de foco F y directriz L al lugar geom´etrico de los puntos P (del plano determinado por la directriz y el foco) que equidistan de la directriz L y el foco F,
d (P, L) = d (P, F).
En la definici´on considerada no hay ninguna referencia a sistema de coordenadas alguno. En el plano determinado por la recta y el punto dados, vamos a considerar un sistema de referencia adecuado, de forma que la ecuaci´on que caracterice a los puntos de la par´abola sea lo m´as sencilla posible. Como eje OX, de la variable independiente, vamos a tomar la recta que pasa por el focoF y es perpendicular a la directriz L. Como origen del sistema de referencia tomamos el punto O de dicha recta que equidista del foco y de la directriz. Por ´
ultimo, como eje OY de nuestro sistema de referencia tomamos la recta que pasa por O y es paralela a la directriz.
En este sistema de ejes perpendiculares tendremos que las coordenadas del foco ser´an de la forma F = (p2,0) y la ecuaci´on de la directriz ser´a L ≡ x = −
p
2. U n punto P = (x, y)
pertenecer´a a la par´abola definida si y s´olo si
d (P, L) =
x+
p 2
= d (P, F) = r
(x− p 2)
2+y2.
De aqu´ı es f´acil obtener que los puntos (x, y) que est´an en la par´abola est´an caracterizados por la ecuaci´on
y2
= 2p x |p|= d (F, L).
La recta y = 0 (el ejeOX) eseje de simetr´ıa de la par´abola anterior y el v´ertice (el punto de corte del eje de simetr´ıa con la par´abola) es el origen de coordenadasO = (x= 0, y = 0).
y2
= 2p x X Y
Foco
Eje de simetr´ıa F = (p
2,0)
x=−p 2 directriz V´ertice
O
P = (x, y)
El eje de simetr´ıa de una par´abola tambi´en se suele llamar eje focal. La recta que pasa por el v´ertice y es perpendicular al eje de simetr´ıa se suele llamar eje secundario de la par´abola.
Una ecuaci´on del tipo x2
= 2q y define una par´abola con eje de simetr´ıa el eje OY y v´ertice en el origen de coordenadas.
Si cuando hemos obtenido la ecuaci´on de la par´abola, y2
= 2p x, hubieramos adoptado un sistema de ejes paralelo al que hemos adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslaci´on del sistema de coordenadas), en el cual el eje OX sea paralelo al eje de simetr´ıa de la par´abola (dicho eje de simetr´ıa tendr´ıa como ecuaci´ony=β) y el v´ertice tu-viera como coordenadas (α, β), la ecuaci´on de la par´abola en dicho sistema de coorde-nadas ser´ıa de la forma
(y−β)2
= 2p(x−α). X
Y
V´ertice (α, β)
O Eje
x=α y=β
(y−β)2
= 2p(x−α)
Ejercicio.Determina el v´ertice, el eje de simetr´ıa, el foco y la directriz de las par´abolas (y−β)2
= 2p(x−α), (x−α)2
Las ecuaciones anteriores cubren todos los casos en los que el eje de la par´abola es paralelo a uno de los ejes coordenados. No estamos todav´ıa en condiciones de estudiar la ecuaci´on de una par´abola cuyo eje de simetr´ıa no sea paralelo a ninguno de los ejes del sistema de referencia que se considere.
Ejercicio.Expresa la ecuaci´on 2y2
+ 4y+ 3x+ 7 = 0 en la forma
(y−β)2 = 2p(x−α).
Determina el v´ertice, el foco, la directriz y el eje de simetr´ıa de la par´abola y haz la repre-sentaci´on gr´afica.
• La elipse.
Definici´on. Dados dos puntos F1 yF2 (iguales o distintos) y una constante 2a (mayor que
la distancia entre los focos), se llama elipse de focos F1 y F2 y constante 2a al lugar
geom´etrico de los puntos, P, cuya suma de distancias a F1 yF2 es 2a,
d (P, F1) + d (P, F2) = 2a.
Ejercicio. ¿Qu´e sucede si 2a es igual a la distancia entre los focos? ¿y si es menor? ¿Qu´e sucede siF1 =F2?
Introducimos ahora un sistema de referencia respecto del cual la elipse estar´a caracteri-zada por una ecuaci´on lo m´as simple posible. Tomamos como eje OX la recta que une los focos F1 y F2 y como eje OY la recta perpendicular en el punto medio de los focos, punto
que ser´a por tanto el origen de coordenadas del sistema de referencia. Respecto de ´este de referencia los focos vendr´an dados medianteF1 = (c,0) yF2 = (−c,0).
Un punto P = (x, y) estar´a en la elipse si y s´olo si
d(P, F1) +d(P, F2) =
È
(x−c)2+y2+
È
(x+c)2+y2 = 2a.
Sin m´as que hacer operaciones tenemos
dejando una ra´ız cuadrada en cada uno de los miembros de la igualdad,
È
(x−c)2+y2 = 2a−
È
(x+c)2+y2
elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad,
(x−c)2
+y2
=
2a−
È
(x+c)2+y2
2
desarrollando,
(x−c)2
+y2
= 4a2
+ [(x+c)2
+y2
]−4a
È
(x+c)2+y2
x2
+c2
−2cx+y2
= 4a2
+x2
+c2
+ 2cx+y2
−4a
È
simplificando y dejando en uno de los miembros de la igualdad s´olo la ra´ız cuadrada
4a
È
(x+c)2 +y2 = 4a2
+ 4cx
simplificando y elevando al cuadrado cada uno de los dos miembros de la igualdad,
a2
(x+c)2
+y2
= a2 +cx 2 , desarrollando, a2
[x2
+c2
+ 2cx+y2
] =a4
+c2
x2
+ 2a2
cx
a2
x2
+a2
c2
+ 2a2
cx+a2
y2
=a4
+c2
x2
+ 2a2
cx,
simplificando, agrupando t´erminos y despejando,
(a2
−c2
)x2
+a2
y2
=a4
−a2
c2
⇔ (a2
−c2
)x2
+a2
y2
=a2
(a2
−c2
)
denotando b2
= a2
−c2
(> 0) y dividiendo ambos miembros de la igualdad por a2
b2
tenemos
x2
a2 +
y2
b2 = 1, siendo b 2
=a2
−c2
.
x2
a2 +
y2
b2 = 1
X Y
F1 = (c,0)
F2 = (−c,0)
(a,0) (−a,0)
(0, b)
(0,−b) P = (x, y)
O
a b
c
Es f´acil comprobar que el ejeOX(la recta que une los focos) y el ejeOY (la perpendicular en el punto medio de los focos) son ejes de simetr´ıa de la elipse y su punto de corte (el origen de coordenadas) es centro de simetr´ıa. Notemos que si un punto (x, y) verifica la ecuaci´on de la elipse, los puntos
(±x,±y) : (x, y),(x,−y),(−x, y),(−x,−y)
tambi´en verifican dicha ecuaci´on. El eje de simetr´ıa que pasa por los focos suele denominarse eje focal.
por los v´ertices en cada eje de simetr´ıa. Las distancias a >0 y b >0 del centro de la elipse a los v´ertices se denominan semiejes. Notemos que dichos semiejes son la mayor y la menor distancia de un punto de elipse a su centro.
Cuando hay un ´unico foco,F1 =F2, la definici´on de elipse corresponde a la circunferencia
de centro F1 =F2 y radior =a > 0. En este caso tenemos que 2c= d (F1, F2) = 0, b2 =a2
y la ecuaci´on puede escribirse comox2
+y2
=a2
. En este caso cualquier recta que pase por el centro es eje de simetr´ıa y de la circunferencia hay un ´unico foco que coincide con el centro y cualquier recta que pase por el centro es eje de simetr´ıa.
Si tenemos un sistema de referencia respecto del cual el centro de simetr´ıa de la elipse tiene por coordenadas (α, β) y sus ejes de simetr´ıa son paralelos a los ejes coordenados (con lo cual ser´an las rectas x=α e y=β) la ecuaci´on de la elipse ser´a de la forma
(x−α)2
a2 +
(y−β)2 b2 = 1
Si a = b tendremos una circunferencia y dependiendo de si a > b ´o a < b, los focos de la elipse y el semieje mayor de la elipse estar´a sobre uno de los ejes de simetr´ıa o sobre el otro.
a > b
O X
Y
(α, β)
x=α y =β
a < b
O X
Y
(α, β)
x=α y=β
• La hip´erbola.
Al igual que la par´abola, el alumno conoce la hip´erbola como representaci´on gr´afica de una funci´on expl´ıcita y = f(x) = k
x, k 6= 0. Todas estas hip´erbolas son equil´ateras y tienen como as´ıntotas a los ejes coordenados. Veamos la hip´erbola desde otro punto de vista. Definici´on. Dados dos puntos distintos, F1 y F2, y una constante 2a > 0 (menor que la
distancia entre los focos), se llama hip´erbola de focos F1 y F2 y constante 2a al lugar
geom´etrico de los puntos P cuya diferencia de distancias a F1 yF2 es 2a,
|d (P, F1)−d (P, F2)|= 2a.
Ejercicio.¿Qu´e sucede si 2a es mayor que la distancia entre los focos? ¿y si es igual? ¿y si 2a= 0?
de los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos ser´an de la forma F1 = (c,0), F2 = (−c,0). Un punto P = (x, y) estar´a en la hip´erbola si y s´olo si
|d(P, F1)−d(P, F2)| =
È
(x−c)2+y2
−
È
(x+c)2+y2
= 2a.
Sin m´as que hacer operaciones se puede obtener que la anterior ecuaci´on es equivalente a la ecuaci´on
x2
a2 −
y2
b2 = 1, b 2
=c2
−a2
.
Una hip´erbola est´a formada por dos ramas (dos curvas sin puntos en com´un) que vienen dadas, respectivamente, por los puntos P que verifican
d(P, F1)−d(P, F2) = 2a
y por los que verifican
d(P, F1)−d(P, F2) =−2a.
F1
F2 X
Y
Es f´acil comprobar que el ejeOX(la recta que une los focos) y el ejeOY (la perpendicular en el punto medio de los focos) son ejes de simetr´ıa de la hip´erbola y su punto de corte (el origen de coordenadas) es centrode simetr´ıa. Notemos que si un punto (x, y) verifica la ecuaci´on de la hip´erbola, los puntos
(±x,±y) : (x, y),(x,−y),(−x, y),(−x,−y)
tambi´en verifican dicha ecuaci´on. El eje de simetr´ıa que pasa por los focos suele denominarse eje focal. Notemos que uno de los ejes de simetr´ıa, el que hemos tomado como eje OY, no corta a la hip´erbola mientras que el otro, la recta que une los focos, corta a la hip´erbola en dos puntos (±a,0) que se denominan v´ertices. Los valores a > 0 y b > 0 se denominan semiejes de la hip´erbola. Otro elemento caracter´ıstico de las hip´erbolas son susas´ıntotas. Las rectasy=±b
axque pasan por el centro de la hip´erbola x2
a2 −
y2
b2 = 1 y tienen pendiente
±b
a son sus as´ıntotas. Se dice que la hip´erbola es equil´atera si sus dos semiejes son iguales a=b, o lo que es equivalente, si sus as´ıntotas son perpendiculares entre s´ı.
x2
a2 −
y2
b2 = 1
X Y
F1
F2
a
b c
As´ıntotas y=±b ax
V´ertices (±a,0)
Ejercicio.SiendoF1 = (0, c) y F2 = (0,−c), determina la ecuaci´on de la hip´erbola formada
por los puntos P que verifican |d(P, F1)−d(P, F2)|= 2a.
Si cuando hemos obtenido la ecuaci´on de la hip´erbola, x
2
a2−
y2
b2 = 1, hubieramos adoptado
un sistema de ejes paralelo al que hemos adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslaci´on del sistema de coordenadas), en el cual el eje OX fuera paralelo a la recta que une los focos (y el eje OY fuera la perpendicular en el punto medio de los focos), los ejes de simetr´ıa tendr´ıan por ecuaciones respectivas x=α e y=β y la ecuaci´on de la hip´erbola ser´ıa
(x−α)2
a2 −
(y−β)2 b2 = 1.
X Y
Centro (α, β)
x=α y=β
En el caso de que adoptaramos un sistema de ejes en el que los focos estuvieran sobre una recta paralela al ejeOY, tendr´ıamos
(x−α)2
a2 −
(y−β)2 b2 =−1
X Y
Centro (α, β)
x=α y=β
Observaci´on. ¿Qu´e relaci´on hay entre las gr´aficas y = k
x y las hip´erbolas? Caundo es-tudiemos la ecuaci´on de un giro veremos que, si giramos la hip´erbola xy =k, con centro en el origen de coordenadas, un ´angulo deφ =−π
4 radianes obtenemos la hip´erbola de ecuaci´on
(x)2 2k −
(y)2 2k = 1
que es una hip´erbola equil´atera con centro el origen de coordenadas y ejes los ejes coorde-nados.
Cuando una hip´erbola (equil´atera) viene dada por una ecuaci´on del tipo xy =k se dice que la hip´erbola est´a referida a sus as´ıntotas y cuando viene dada por una ecuaci´on del tipo
x2
a2 −
y2
1.1.3.- La propiedad focal.
Aunque las tres c´onicas (no degeneradas) tienen una propiedad focal, la m´as conocida es la propiedad focal de la par´abola. Vamos a enunciar la propiedad focal de cada una de las c´onicas en t´erminos geom´etricos y en t´erminos ´opticos.
• Propiedad focal de la par´abola.
En cada punto P de la par´abola, el ´angulo que forma la recta tangente con el segmento
P F, que une el punto con el foco, coincide con el ´angulo que forma con la recta paralela al eje que pasa por el punto considerado.
Eje de Simetr´ıa Foco
θ
Si colocamos una fuente luminosa en el foco de una par´abola, los rayos emitidos se reflejan en la par´abola en la direcci´on del eje. Y viceversa, todos los rayos de luz que incidan en una par´abola en la direcci´on de su eje se reflejan en el foco.
Si tenemos la superficie que se obtiene al girar una par´abola, esta propiedad permite con-centrar en el foco de la par´abola todo lo que recibe la superficie (ondas, luz,...) paralelamente al eje. Rec´ıprocamente, permite reflejar paralelamente al eje todo lo que se emite desde el foco. Ejemplos de utilizaci´on de esta propiedad son los faros de los autom´oviles, las antenas parab´olicas de TV, los grandes reflectores de los telescopios que se usan en Astronom´ıa, los hornos parab´olicos,...
• Propiedad focal de la elipse.
En cada punto P de la elipse, la recta tangente forma ´angulos iguales con los segmentos
P F1 y P F2 que unen el punto con los focos.
X Y
F1
F2
Si colocamos una fuente luminosa en uno de los focos de una elipse, los rayos emitidos se reflejan en la elipse y se concentran en el otro foco.
Ejercicio:¿Qu´e dice la propiedad focal de la circunferencia, si es que tiene sentido plantearse dicha propiedad?
• Propiedad focal de la hip´erbola.
En cada puntoP de la hip´erbola, la recta tangente forma ´angulos iguales con los segmen-tos P F1 yP F2 que unen el punto con los focos.
F1
F2
θ
Si tenemos una fuente luminosa situada en uno de los focos de una hip´erbola, los rayos de luz se reflejan en (la correspondiente rama de) la hip´erbola de forma divergente como si provinieran del otro foco.
1.1.4.- Ecuaci´on reducida de una c´onica no girada.
En general, una c´onica es una curva formada por todos los puntos del plano cuyas coor-denadas (x, y) verifican una ecuaci´on de segundo grado
a11x 2
+a22y 2
+ 2a12xy+ 2a1x+ 2a2y+a0 = 0.
Notemos que una ecuaci´on de este tipo puede describir, junto a las c´onicas previamente estudiadas, otro tipo de c´onicas que se suelen conocer, unas como c´onicas degeneradas y otras como c´onicas imaginarias. Los siguientes ejemplos ilustran este tipo de c´onicas: una pareja de rectas (que se corten en punto, x2
−y2
= 0, que sean paralelas x2
−4 = 0 o que sean coincidentes, x2
= 0), o un ´unico punto, x2
+y2
= 0, o nada,x2
+y2
+ 1 = 0.
En general, cualquier ecuaci´on desegundo grado, en dos variables (x, y),sin t´ermino en xy (a12 = 0) puede reducirse a uno de los siguientes tipos de ecuaci´on
a X2
+b Y2
+c= 0, X2
+bY = 0, X2
+c= 0
Dado un polinomio de segundo grado (en una o varias variables) en el que no apare-cen t´erminos cruzados (xy si tenemos dos variables (x, y), o bien xy, xz e yz si tenemos tres variables (x, y, z),...), completar cuadrados consiste en formar un cuadrado de un binomio a partir de un cuadrado de un monomio y un t´ermino de primer grado. Veamos algunos ejemplos de c´omo completar cuadrados en un polinomio de segundo grado (en 1, 2, ... variables).
Ejemplo.La conocida f´ormula
x= −b± √
b2
−4ac
2a ,
de las soluciones de una ecuaci´on de segundo ax2
+bx+c= 0 (a 6= 0), se obtiene sin m´as que completar cuadrados en x (esto es posible porque el coeficiente de xes distinto de 0),
ax2
+bx+c = a
x2
+ b ax
+c=a
x2
+ 2 b 2ax
+c
= a
"
x2
+ 2 b 2ax+
b 2a 2 − b 2a 2 # +c = a " x2
+ 2 b 2ax+
b 2a 2 # −a b 2a 2 +c = a
x+ b 2a
2
− b
2
4a +c.
Una vez que hemos completado cuadrados enx, basta manipular la expresi´on obtenida para obtener la f´ormula que nos da las soluciones,
a
x+ b 2a
2
− b
2
4a +c= 0 ⇐⇒
x+ b 2a 2 = 1 a b2
4a −c
⇐⇒
⇐⇒
x+ b 2a
2
= b
2
−4ac
4a2 ⇐⇒x+
b 2a =±
s
b2 −4ac
4a2
⇐⇒ x=− b 2a ±
s
b2
−4ac 4a2 =
−b±√b2
−4ac
2a .
Ejemplo.Consideremos la c´onica de ecuaci´on 2x2
+ 3x+y2
−5y−1 = 0 y obtengamos su ecuaci´on reducida. Sin m´as que completar cuadrados enx y en y tenemos
2x2
+ 3x+y2
−5y−1 = 2
x2 + 3 2x + y2
−5y
−1
= 2
x+ 3 4 2 −2 3 4 2 +
y− 5 2 2 − 5 2 2
−1 = 0⇐⇒
⇐⇒ 2
x+ 3 4
2
+
y− 5 2 2 = 2 3 4 2 + 5 2 2 + 1 ⇐⇒ 2
x+ 3 4
2
+
y− 5 2
2
= 67 8 . Por tanto, la ecuaci´on original es equivalente a la ecuaci´on
x+3 4 2 67 16 +
y− 5 2
2
67 8
y la c´onica es una elipse con centro el punto
−34,5 2
y semiejes a =
Ê
67
16 y b =
Ê
67 8 . ¿Sobre que recta est´an los focos de la elipse? ¿Cu´ales son los ejes de simetr´ıa? Calcula los focos y los v´ertices de la elipse y dib´ujala.
1.1.5.- Ecuaciones param´etricas.
Para describir mediante ecuaciones una curva plana hemos utilizado distintos tipos: En forma expl´ıcita mediante la cual una coordenada est´a expresada como variable dependiente de la otra que es una variable independiente recorriendo un cierto intervalo (o semirrecta o toda la recta real). Por ejemplo, la igualdady = 3x2
define a x como funci´on expl´ıcita,y=f(x), de x y la curva est´a formada por los puntos
(x, f(x))∈R2 :x∈I ⊂R
©
siendoI un determinado intervalo (finito o infinito) de la recta real.
En formaimpl´ıcitamediante la cual la curva est´a formada por los puntos cuyas coor-denadas verifican una determinada ecuaci´on, F(x, y) = 0, en las dos variables (x, y), llamada ecuaci´on impl´ıcita de la curva. Por ejemplo, la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 1 queda determinada por la ecuaci´onx2
+y2
= 1. En forma param´etrica mediante la cual las coordenadas, (x, y), de los puntos de la curva vienen definidas como funciones expl´ıcitas de una variable independiente t, denominadapar´ametro, que recorre un determinado intervalo,
¨
x = f(t),
y = g(t), t∈I ⊂R.
El ejemplo m´as simple nos lo proporcionan las ecuaciones param´etricas de una recta descrita a trav´es de un punto A= (x0, y0) y un vector director v = (v1, v2),
¨
x = x0+tv1
y = y0+tv2
t∈R.
Si quisieramos obtener unsegmentode la recta, bastar´ıa con restringir el recorrido del par´ametro t a un cierto intervalo. Por ejemplo, cuando t recorre el intervalo [0,1] el punto (x, y) dado por la anterior parametrizaci´on recorre el segmento de extremos A y A+v.
En general, para una misma curva se pueden dar distintas parametrizaciones mediante las cuales se puede recorrer la curva de distintas formas: con distinto sentido, con distinta velocidad (constante o variable), etc. Por ejemplo, para la misma recta anterior,
• la parametrizaci´on
¨
x = x0−λv1
y = y0−λv2
λ∈R.
• la parametrizaci´on
¨
x = x0+µ2v1
y = y0+µ 2
v2
µ∈R.
permite, cuando µ va desde −∞ hasta +∞, recorrer dos veces una de las dos semirrectas que parten del punto A,
• la parametrizaci´on
¨
x = x0+s 3
v1
y = y0+s3v2 µ∈R.
permite, cuando s va desde −∞ hasta +∞, recorrer la recta completa pero con velocidad variable: cuando s recorre, por ejemplo, los intervalos [0,1] y [3,4] se obtienen segmentos de recta de distinta longitud,
• si consideramos unas ecuaciones param´etricas tomando otro punto de la recta y otro vector direcci´on, la forma de recorrer la recta ser´a distinta.
Toda curva plana que venga dada en forma expl´ıcita, por ejemplo y = f(x), tambi´en est´a dada en forma impl´ıcita, mediante F(x, y) = y−f(x) = 0, y en forma param´etrica,
mediante ¨
x = t, y = f(t).
Sin embargo, dada una ecuaci´on impl´ıcita, F(x, y) = 0, no siempre es posible despejar una variable en funci´on de la otra (como una ´unica funci´on). Por ejemplo, de la ecuaci´on x2
+y2
−1 = 0 no es posible despejar ninguna variable en funci´on de la otra. Para describir la circunferencia completa necesitar´ıamos dos funciones expl´ıcitas. De la misma forma, no siempre es posible pasar de las ecuaciones param´etricas a una ecuaci´on expl´ıcita o impl´ıcita. El estudio de las condiciones bajo las cuales una ecuaci´on impl´ıcita, F(x, y) = 0, define a una de las variables como funci´on expl´ıcita de la otra, cae dentro del campo de actuaci´on del
c´alculo diferencial de varias variables. Desde el punto de vista de la representaci´on gr´afica de una curva, habitualmente se considera a ´esta dada por unas ecuaciones param´etricas (o el caso m´as simple de una ecuaci´on expl´ıcita). En la relaci´on de ejercicios se consideran algunos ejemplos de parametrizaci´on de curvas en el espacio. B´asicamente, las parametrizaciones se obtienen a partir de levantar una parametrizaci´on de una curva en uno de los planos coordenados.
Referente a una parametrizaci´on de las c´onicas no giradas (en el plano) tenemos:
Par´abola. Es inmediato parametrizar cualquier par´abola con ejes paralelos a los co-ordenados. Seg´un que el eje de simetr´ıa sea horizontal o vertical podremos expre-sar x como funci´on expl´ıcita de y o y como funci´on expl´ıcita de x. La par´abola (y− β)2
= 2p(x− α),(p 6= 0), de v´ertice (α, β) y eje horizontal, define a x como funci´on expl´ıcita de y y tenemos la parametrizaci´on asociada,
(y−β)2
= 2p(x−α) =⇒
(
x=α+ 1
2p(t−β)
2
, y =t
)
(−∞< t <∞)
Elipse.La elipse de centro (α, β) y semiejes a yb respectivamente, tiene por ecuaci´on (x−α)2
a2 +
(y−β)2
Teniendo en cuenta que la circunferencia unidad,X2
+Y2
= 1, la podemos parametrizar tomando como par´ametro el ´angulo polart,
¨
X = cos(t),
Y = sen(t), t∈[0,2π];
podemos parametrizar la elipse dada mediante
¨
x−α =acos(t)
y−β=bsen(t) t ∈[0,2π].
Si quisi´eramos obtener un arco de la circunferencia o de la elipse bastar´ıa con considerar un intervalo apropiado de variaci´on de t.
Hip´erbola. Para describir mediante ecuaciones param´etricas una hip´erbola vamos a considerar por separado cada una de las ramas y vamos a utilizar las funciones hiperb´olicas: la funci´on coseno hiperb´olico y la funci´on seno hiperb´olico dadas por
cosh(t) = e t+e−t
2 , senh(t) = et
−e−t
2 , t ∈R
que tienen algunas similitudes con las funciones trigonom´etricas (paridad, derivadas,...) y algunas diferencias significativas (acotaci´on,...). En particular tendremos en cuenta que senh(t) recorre toda la recta real cuandot var´ıa desde −∞ a +∞ y que
cosh2(t)−senh2(t) = 1.
Ejercicio.Obtener la representaci´on gr´afica de las funciones hiperb´olicas y comprobar la igualdad anterior.
La rama derecha de la hip´erbolax2
−y2
= 1 puede obtenerse mediante la parametrizaci´on
¨
x= cosh(t)
y= senh(t) t∈R.
Ejercicio.Obtener una parametrizaci´on de la rama izquierda de la hip´erbola anterior as´ı como de cada una de las ramas de las hip´erbolas
(x−α)2
a2 −
(y−β)2
b2 =±1.
1.2.- Las cu´
adricas. Ecuaciones reducidas.
1.2.1.- La ecuaci´on reducida de una cu´adrica no girada.En general, una cu´adrica es la superficie formada por todos los puntos del espacio cuyas coordenadas (x, y, z) verifican una ecuaci´on de segundo grado
a11x 2
+a22y 2
+a33z 2
Notemos que una ecuaci´on de este tipo puede describir, adem´as de las superficies que veremos m´as adelante, las llamadas cu´adricas degeneradas: una pareja de planos (que se corten en una recta, que sean paralelos o que sean coincidentes),
x2
−y2
= 0, x2
−4 = 0, x2
= 0
o una recta,x2
+y2
= 0, o un ´unico punto,x2
+y2
+z2
= 0, o nada x2
+y2
+z2
+ 1 = 0. Cuando en la ecuaci´on de la cu´adrica no aparecen t´erminos cruzados, la ecuaci´on puede reducirse, sin m´as que completar cuadrados y t´erminos lineales, a una ecuaci´on en la que a lo sumo aparece un t´ermino en cada variable (y, posiblemente, un t´ermino indepen-diente), es decir a uno de los siguientes tipos de ecuaci´on:
ax2
+by2
+cz2
+d = 0 ax2
+by2
+cz = 0
ax2
+by+cz = 0 ax2
+by = 0
ax2
+c = 0.
Dependiendo de los signos de los coeficientes involucrados tendremos superficies con dife-rentes elementos distintivos (planos, ejes y centros de simetr´ıa, v´ertices, cortes con planos paralelos a los planos coordenados,...).
Aunque todav´ıa no estemos en condiciones de abordar el estudio de la ecuaci´on general, la ecuaci´on de cualquier cu´adrica se puede reducir a uno de los tipos anteriores que se denomina ecuaci´on reducida de la cu´adrica correspondiente. A continuaci´on estudiamos las diferentes cu´adricas y sus elementos notables.
1.2.2.- Los elipsoides.
Los elipsoides se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres t´ermi-nos de segundo grado con coeficientes del mismo signo, es decir la ecuaci´on t´ıpica es:
X2
a2 +
Y2
b2 +
Z2
c2 =
8
>
<
>
:
1, 0, −1
siendo a, b, c6= 0.
• El elipsoide (real).
Los elipsoides propiamente dichos se tienen en el caso X2
a2 +
Y2
b2 +
Z2
c2 = 1
coordenados, por ejemplo Z =k, obtenemos una elipse para ciertos valores dek, o un punto o nada. La gr´afica del elipsoide es la que se ve en la figura adjunta.
Elipsoide X
Y Z
a
b c
X2
a2 +
Y2
b2 +
Z2
c2 = 1
Elementos caracter´ısticos de un elipsoide son: Centro de simetr´ıa, (X = 0, Y = 0, Z = 0). Planos y Ejes de simetr´ıa, los coordenados. V´ertices, puntos de corte del elipsoide con sus ejes de simetr´ıa con , es decir, los puntos
(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c).
Los semiejesa, b, c, distancias del centro a los v´ertices.
Cuando los tres semiejes del elipsoide son iguales, a=b =c, tenemos una esfera X2
+Y2
+Z2
=a2
de centro el origen de coordenadas (X = 0, Y = 0, Z = 0) y radio r =a. Cuando s´olo dos de los semiejes sean iguales (y el otro distinto) tendremos un elipsoide de revoluci´on (ver el ep´ıgrafe 3).
• El caso degenerado y el caso imaginario.
Los otros dos casos que pueden aparecer cuando los tres coeficientes de los t´erminos de segundo grado son (no nulos y) del mismo signo corresponden a situaciones geom´etricas que no se deben llamar elipsoides propiamente dichos.
La ecuaci´on X
2
a2 +
Y2
b2 +
Z2
c2 = 0 tiene como ´unica soluci´on real (X = 0, Y = 0, Z = 0).
Es decir, la cu´adrica se reduce a un ´unico punto. La ecuaci´on X2
a2 +
Y2
b2 +
Z2
c2 =−1 no tiene ninguna soluci´on real, es decir, no representa
a ninguna superficie del espacio real tridimensional. A veces se denomina elipsoide imaginario.
1.2.3.- Los hiperboloides y el cono.
Los hiperboloides y el cono se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres t´erminos de segundo grado con dos coeficientes del mismo signo (y el otro distinto), es decir la ecuaci´on t´ıpica es:
X2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
c2 =
8
>
<
>
:
1, 0, −1
siendo a, b, c6= 0.
• El hiperboloide hiperb´olico (o de una hoja). Una ecuaci´on del tipo
X2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
corresponde a una superficie denominada hiperboloide hiperb´olico o de una hoja. Notemos que al cortar esta superficie con planos Z =k, paralelos al plano OXY, se obtienen elipses, al cortar con planosX=k´oY =k, paralelos a los otros dos planos coordenados, se obtienen hip´erbolas.
Elementos caracter´ısticos de un hiperboloide de una hoja son su centro y su eje. En el caso considerado,
X2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
c2 = 1,
el centro es el origen de coordenadas (X = 0, Y = 0, Z = 0) y el eje es OZ ≡
¨
X = 0 Z = 0 que es un eje de simetr´ıa.
Hiperboloide hiperb´olico X2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
c2 = 1
(
X2
a2 +
Y2
b2 = 1
Z = 0 X
Y Z
Al igual que el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas es sim´etrico respecto a los planos y ejes coordenados. Si un punto (X, Y, Z) verifica la ecuaci´on, los puntos
(±X,±Y,±Z)
tambi´en verifican dicha ecuaci´on. Los cortes con los planos coordenados son
con Z = 0, la elipse (llamada elipse de garganta) X
2
a2 +
Y2
b2 = 1.
con Y = 0, la hip´erbola X
2
a2 −
Z2
c2 = 1.
con X = 0, la hip´erbola Y
2
b2 −
Z2
c2 = 1.
El hiperboloide de una hoja tiene una particularidad que resulta sorprendente (desde un punto de vista intuitivo), esta particularidad es el ser una superficie reglada. Se dice que una superficie es reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente contenida en la superficie (es decir, puede considerarse formada por rectas). Por cada punto de un hiperboloide de una hoja pasan dos rectas totalmente contenidas en la superficie.
Se puede comprobar que si tenemos un punto, A = (x0, y0, z0), del hiperboloide de una
hoja de ecuaci´onx2
+y2
= 1+z2
, las rectas que pasan porAy tienen como vectores direcci´on respectivos
u=
2
6
4
x0z0+y0
y0z0−x0
1 +z2 0
3
7
5 y v = 2
6
4
x0z0−y0
y0z0+x0
1 +z2 0
3
7
5
est´an totalmente contenidas en el hiperboloide de una hoja. Para un hiperboloide de una hoja de ecuaci´on
X2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
basta hacer el cambio de variables
x= X a, y =
Y b , z=
Z c
para obtener las rectas contenidas en el hiperboloide y que pasan por uno de sus puntos. • El hiperboloide el´ıptico (o de dos hojas).
Una ecuaci´on del tipo X
2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
c2 = −1 corresponde a una superficie denominada
hiperboloide el´ıptico o de dos hojas. Notemos que al cortar esta superficie con planos Z =k, paralelos al plano OXY, se obtienen elipses (o un punto o nada)
X2
a2 +
Y2
b2 =
k2
c2 −1.
X =k, paralelos al plano OY Z, se obtienen hip´erbolas Y2
b2 −
Z2
c2 =−1−
k2
a2.
Y =k, paralelos al plano OXZ, se obtienen hip´erbolas X2
a2 −
Z2
c2 =−1−
k2
b2.
Elementos caracter´ısticos de un hiperboloide de una hoja son su centro y su eje. En el caso considerado,
X2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
c2 =−1.
el centro es el origen de coordenadas
(X = 0, Y = 0, Z = 0)
y el eje es el eje OZ ≡
¨
X = 0 Y = 0 .
Obviamente, teniendo en cuenta la ecuaci´on consider-ada, el hiperboloide de dos hojas es sim´etrico respecto a los planos y ejes coordenados.
X2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
c2 =−1
Hiperboloide el´ıptico X
Y Z
• El cono.
Una ecuaci´on del tipo X
2
a2 +
Y2
b2 −
Z2
c2 = 0 corresponde a una superficie denominada cono.
Se puede considerar como un caso l´ımite de los dos tipos de hiperboloides que acabamos de ver. Sin m´as que despejar, podemos escribir la ecuaci´on anterior de la forma
Z2
= X
2
A2 +
Y2
B2, A, B 6= 0.
a los otros dos planos coordenados se obtienen hip´erbolas. Adem´as, al cortar con planos que pasan por el origen de coordenadas pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan, una recta doble o un ´unico punto. Elementos caracter´ısticos de un cono son su v´ertice, en los casos considerados es el origen de coordenadas (0,0,0), y su eje, que en los casos considerados es el ejeOZ ≡X = 0 =Y. ¿Cu´ales son el eje y el v´ertice del cono de ecuaci´on (x−3)2 = 2 (y+ 1)2+z2
?
O
X
Y Z
Cono
Z2
= X2
A2 +
Y2
B2
Notemos que un cono es una superficie que puede ser descrita f´acilmente mediante rectas. Si tenemos una elipse en el espacio y un punto V que no est´a en el plano de la elipse, la su-perficie formada por (todos los puntos de) las rectas que pasan por V y por un punto de la elipse es un cono con v´ertice V.
1.2.4.- Los paraboloides.
Los paraboloides se obtienen cuando en la ecuaci´on reducida aparecen dos t´erminos de segundo grado y un t´ermino de primer grado. Es decir, dos de las variables aparecen elevadas al cuadrado y la otra aparece con exponente uno. Para fijar ideas, supongamos que la variable en la que no aparece ning´un t´ermino de segundo grado es Z. En este caso, la ecuaci´on se podr´a expresar de una de las dos formas siguientes:
Z =±
X2
a2 +
Y2
b2
´o Z =±
X2
a2 −
Y2
b2
con a, b6= 0.
• El paraboloide el´ıptico. Una ecuaci´on del tipo
Z =±
X2
a2 +
Y2
b2
, a, b6= 0
corresponde a una superficie denominada paraboloide el´ıptico. Notemos que al cortar con planos paralelos a los planos coordenados, por ejemplo la superficie correspondiente al signo + en el segundo miembro, obtenemos:
con X =k, las par´abolas dadas por Z− ka22 =
Y2
b2 (en el planoX =k).
con Y =k, las par´abolasdadas por Z− k2
b2 =
X2
a2 (en el planoY =k).
conZ =k, laselipses(o un punto o nada) dadas por X2
a2 +
Y2
Elementos carater´ısticos de un paraboloide el´ıptico son su v´ertice y su eje de simetr´ıa, en el caso consi-derado,
Z = X
2
a2 +
Y2
b2 ,
el v´ertice es el origen de coordenadas
(X= 0, Y = 0, Z = 0)
y el eje es el ejeOZ ≡
¨
x= 0
y= 0 . Por otra parte, la superficie es sim´etrica respecto a dos de los planos coordenados, OY Z ≡X = 0 yOXZ ≡Y = 0.
O X
Y Z
Paraboloide el´ıptico Z = X
2
a2 +
Y2
b2
O
X Y
Z Paraboloide el´ıptico
Z =−
X2
a2 +
Y2
b2
Si hubieramos considerado la ecuaci´on
Z =−
X2
a2 +
Y2
b2
tendr´ıamos una superficie de la misma forma pero abierta hacia los valores nega-tivos de Z.
• El paraboloide hiperb´olico. Una ecuaci´on del tipo
Z =−X
2
a2 +
Y2
b2 , a, b6= 0
corresponde a una superficie, denominada paraboloide hiperb´olico, que se asemeja a una silla de montary a veces recibe ese nombre.
Al cortar con planos paralelos a los planos coordenados obtenemos:
con X =k, las par´abolas dadas por Z+ k
2
a2 =
Y2
b2 (en el planoX =k).
con Y =k, las par´abolasdadas por X
2
b2 =−
Z +k
2
b2
(en el planoY =k).
con Z =k, parak 6= 0 laship´erbolas dadas por−X
2
a2 +
Y2
b2 =k (en el plano Z =k)
Z =−X
2
a2 +
Y2
b2
O
X
Y Z
Paraboloide hiperb´olico
El paraboloide hiperb´olico considerado es sim´etrico respecto a dos de los planos coordenados, respec-to al plano OXZ ≡ Y = 0 y respecto al plano OY Z ≡ X = 0. Por tanto, es sim´etrico respecto al eje coordenado intersecci´on de los planos anteri-ores, el eje OZ ≡
¨
X= 0
Y = 0 puesto que si un pun-to de coordenadas (X, Y, Z) verifica la ecuaci´on, el punto de coordenadas (−X,−Y, Z) tambi´en la verfica.
Notemos adem´as que el paraboloide hiperb´olico tambi´en es una superficie reglada. De hecho, por cada uno de sus puntos pasan dos rectas totalmente contenidas en ´el. Se puede comprobar que si tenemos un puntoA= (x0, y0, z0) del paraboloide hiperb´olico de ecuaci´on
z =−x
2
a2 +
y2
b2
las rectas que pasan por dicho punto y tienen como vectores direcci´on respectivos
u= (a2
b, ab2
,2(ay0−bx0)) y v = (−a 2
b, ab2
,2(ay0+bx0))
est´an totalmente contenidas en el paraboloide hiperb´olico.
1.2.5.- Los cilindros y las cu´adricas degeneradas.
Las cu´adricas de tipo cil´ındrico corresponden a los casos restantes, es decir, cuando en la ecuaci´on reducida en los que en la ecuaci´on reducida no aparece alguna de las variables. Las posibles ecuaciones t´ıpicas son:
Tipo el´ıptico: dos cuadrados del mismo signo y la otra variable no aparece,
X2
a2 +
Y2
b2 =
8
>
<
>
:
1 0 −1
• Cilindro el´ıptico: X2
a2 +
Y2
b2 = 1.
• Recta (doble): X2
a2 +
Y2
b2 = 0 ≡ X =Y = 0.
• Cilindro el´ıptico imaginario (Nada): X2
a2 +
Y2
b2 =−1. No hay ning´un punto de R
3
cuyas coordenadas verifiquen la ecuaci´on anterior.
Tipo hiperb´olico: dos cuadrados de distinto signo y la otra variable no aparece, X2
a2 −
Y2
b2 =
¨
±1 0
• Cilindro hiperb´olico: X2
a2 −
Y2
• Par de planos secantes: X2
a2 −
Y2
b2 = 0 ≡
X a −
Y
b = 0, ´o X
a + Y
b = 0. Tipo parab´olico: Un ´unico cuadrado
Y2
=aX +bZ +c
• Cilindro parab´olico: a ´o b distintos de cero. Por ejemplo Y2
= 2pZ, p6= 0. • Par de planos paralelos: Y2
=c > 0≡Y =±√c. • Plano doble: Y2
= 0. • Nada: Y2
=c <0.
X
Y Z
X2
a2 +
Y2
b2 = 1
Cilindro El´ıptico
X
Y Z
Y2
= 2pZ
Cilindro parab´olico
X
Y Z
X2
a2 −
Y2
b2 =−1
Cilindro hiperb´olico
De forma gen´erica, todos los casos en los que la ecuaci´on de segundo grado representa planos (secantes, paralelos o coincidendes), rectas, puntos o nada se suelen denominarcasos degenerados.
Obviamente, todos los cilindros (y los casos degenerados en los que hay superficie) son superficies regladas.
Nota.
P´aginas web sobre c´onicas, cu´adricas y otras curvas y superficies:
http://www.cnice.mec.es/mem2000/superficies http://www.math.com/tables/algebra/conics.htm
http://www.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/conicas/portada http://www.cnice.mec.es/programa/mates.htm
http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/ http://www.monografias.com/Matematicas/
A modo de resum´en en lo que a cu´adricas se refiere:
Completando cuadrados, con cambios de variables de la forma
8
>
<
>
:
X =x−α, Y =y−β, Z =z−γ,
podemos reducir una ecuaci´on de segundo grado en tres variables, (x, y, z), en la que no aparezcan productos cruzados (xy, xz, yz), a una ecuaci´on de los tipos considerados al inicio, es decir a una ecuaci´on en la que a lo sumo hay un sumando en cada una de las variables (X, Y, Z).
Las cu´adricas regladas son: •el cono,
•el hiperboloide de una hoja, •el paraboloide hiperb´olico y •los cilindros
adem´as de los pares de planos y la recta (doble).
Una ecuaci´on de segundo grado en tres variables puede representar:
Pares de planos,...
Nada Punto Recta doble Par de planos
x2
+ 1 = 0 x2
+y2
+z2
= 0 x2
+y2
= 0 Secantes, (x−3)(y−2) = 0. Paralelos, (x−3)(x−4) = 0. Coincidentes, (x−3)2
= 0. Cilindros
X
Y Z
x2
a2 +
y2
b2 = 1
Cilindro el´ıptico X
Y Z
y2
= 2p z
Cilindro parab´olico
X
Y Z
y2
a2 −
x2
b2 = 1
a b c
X
Y
Z x2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1. Elipsoide
Secciones con planos paralelos a los coordenados: Elipses. Simetr´ıa respecto a los planos y ejes coordenados.
Centro (de simetr´ıa): Origen de coordenadas.
Es de revoluci´on si dos de los coeficientes a, b ycson iguales. Es una esfera sia=b=c.
X Y
Z x
2
a2 +
y2 b2 −
z2 c2 = 1
Hiperboloide hiperb´olico (o de una hoja)
Eje del hiperboloide:variable con coeficiente negativo. Secciones con planos paralelos al planoXY: elipses
Secciones con planos paralelos al planoXZ ´oY Z: hip´erbolas Simetr´ıa respecto a los ejes y los planos coordenados.
Centro: Origen de coordenadas. Es de revoluci´on si a=b.
X
Y
Z x
2
a2 −
y2
b2 −
z2
c2 = 1
Hiperboloide el´ıptico (o de dos hojas)
Eje del hiperboloide:variable con coeficiente positivo. No hay corte con el plano coordenado perpendicular al eje. Secciones con planos paralelos al planoXY ´o XZ: hip´erbolas. Secciones con planos paralelos al Y Z: elipses (o un punto o nada). Simetr´ıa respecto a los ejes y los planos coordenados.
Centro: Origen de coordenadas.
X
Y Z
z2
= x
2
a2 +
y2
b2 Cono
Eje del cono: OZ. V´ertice: O.
Secciones con planos paralelos al planoXY: elipses (o un punto). Secciones con planos paralelos al planoXZ ´oY Z: hip´erbolas. Simetr´ıa: respecto a los planos y ejes coordenados.
Centro (de simetr´ıa): Origen de coordenadas. Es de revoluci´on si a=b.
O X
Y Z
z= x
2
a2 +
y2
b2 Paraboloide el´ıptico
Eje del paraboloide:OZ variable que aparece con grado uno. V´ertice: Origen de coordenadas.
Secciones con planos paralelos al XY: elipses (o un punto o nada). Secciones con planos paralelos al planoXZ ´oY Z: par´abolas. Simetr´ıa respecto a los planos XZ eY Z y al eje OZ.
X
Y Z
z=−x
2
a2 +
y2
b2 Paraboloide hiperb´olico
Eje de simetr´ıa:OZ.
Simetr´ıa respecto a los planos XZ eY Z.
1.3.- Ejercicios.
Ejercicio 1.(1) Calcula la ecuaci´on de la par´abola de eje horizontal que tiene por foco F = (−2,3) y pasa por el punto (−1,3).
(2) Calcula la ecuaci´on de la elipse que pasa por el punto P = (4,15
4) y tiene por focos los
puntos F1 = (4,2) y F2 = (−2,2). Determina sus elementos notables y dib´ujala.
(3) Calcula la ecuaci´on de la hip´erbola que tiene por v´ertices los puntos (1,2) y (1,6) y pasa por el punto (3,8).
Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta: (1) La ecuaci´on y2
−6x−4y−20 = 0 corresponde a:
Una par´abola cuyo v´ertice esV = (−4,2).
Una par´abola cuyo eje es la recta de ecuaci´ony=−4. Dos rectas que se cortan en un punto.
(2) La ecuaci´on 5x2
+y2
= 1 corresponde a:
Una elipse con focos en el eje de abscisas. Una elipse con focos en el eje de ordenadas. Una hip´erbola.
(3) La cu´adrica x2
−y2
+z2
+ 4y+ 6z+ 13 = 0 verifica: Tiene por centroC = (0,2,−3).
Contiene a la rectax−1 = y−2, z = 4. No tiene centro.
Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de c´onica que es, sus elementos notables y su representaci´on gr´afica:
(1) 3x2
+ 3y2
+x+ 5y+ 1 = 0. (2) 3x2
−3y2
+x+ 5y+ 1 = 0. (3) 3y2
+x+ 5y+ 1 = 0.
Ejercicio 4. Determina, seg´un los valores de α ∈ R, el tipo de c´onica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes:
(1) 2x2
+ (α2
−1)y2
−2x+ (α−1)y−3 = 0. (2) x2
+αy2
+x+ 2y+α−1 = 0. (3) αx2
+ (α2
−α)y2
Ejercicio 5. Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que la siguiente ecuaci´on corresponde a una circunferencia o a una hip´erbola equil´atera
2x2
+αy2
−6x+ 3y+α= 0.
Ejercicio 6. SeaLuna recta del plano yF un punto que no est´a en la recta. Tomando como eje OY la rectaL y como eje OX la recta perpendicular a L que pasa por F, determina la ecuaci´on del lugar geom´etrico de los puntos P para los que el cociente entre su distancia a F y su distancia a L es constante e >0,
d (P, F) d (P, L) =e. Comprueba que:
(a) Sie = 1 dicho lugar geom´etrico es una par´abola. (b) Si 0 < e <1 dicho lugar geom´etrico es una elipse. (c) Si e >1 dicho lugar geom´etrico es una hip´erbola.
En cualquiera de los casos se trata de una c´onica y se dice quee es suexcentricidad y que L y F son su directriz y su focorespectivamente. En el caso de la par´abola, la directriz y el foco son ´unicos. Para la elipse y la hip´erbola hay dos parejas foco-directriz.
Observaci´on.Notemos que con la definici´on anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque ´esta pueda obtenerse como un caso l´ımite. Siendo p =d(F, L) la distancia del foco a la directriz, tomandoq =pe constante, cuando e→0+
(yp= qe →+∞) las elipses correpondientes tienden a la circunferencia con centro el foco y radio q.
Ejercicio 7. Determinar en coordenadas cartesianas (x, y) la ecuaci´on de la c´onica que en coordenadas polares (r, θ) viene dada por
r= p
1 +ecos(θ).
Determina, en funci´on de e, el tipo de c´onica que se obtiene y sus elementos notables.
Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cu´adri-ca que es, sus elementos notables y su representaci´on gr´aficu´adri-ca:
(1) x2
+ 3y2
+z2
+ 2x+ 5y−2z+ 1 = 0. (2) 3x2
+y2
−z2
+x+ 2y+ 2z+ 1 = 0. (3) x2
+y2
+x+ 4y+ 3z−1 = 0. (4) x2
+y2
+x+ 4y−z2
−1 = 0. (5) x2
+y2
(6) x2
−y2
+x+ 4y−1 = 0. (7) x2
+x+ 4y+ 3z−1 = 0. (8) x2
−y2
+x+ 4y+z−1 = 0.
Ejercicio 9. Determinar la ecuaci´on de las cu´adricas siguientes:
(1) y
x
z
(1,1,0) (2,3,0) (1,3,0) (1,3,2)
(2) y
x z
(1,1,0) (2,3,0) (1,3,0) (1,3,2)
Ejercicio 10. Determina, seg´un los valores de α ∈ R, el tipo de cu´adrica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes:
(1) 2x2
+ (α2
−1)y2
+z2
+ 2x+ 5y−2z+ 1 = 0. (2) x2
+αy2
+x+ 2y+ (α−1)z+ 1 = 0. (3) αx2
+ (α2
−α)y2
+α3
z2
+x+ 4y−1 = 0.
Ejercicio 11. Considera la elipse de ecuaci´on x2
+ 4y2
= 4 en el plano OXY. Determina las ecuaciones de la par´abola del planoOXZ que tiene como v´ertice el punto (0,0,8) y pasa por los v´ertices del semieje mayor de la elipse dada.
Ejercicio 12. Esboza y parametriza la curva determinada por la intersecci´on de las siguientes superficies :
(1) El plano y−z+ 2 = 0 con el cilindro x2
+y2
= 1. (2) El hemisferio esf´erico x2
+y2
+z2
= 4, z≥0, con el cilindro x2
+ (y−1)2
= 1. (3) El cono x2
+y2
=z2
con el plano 3z =y+ 4. (4) Los paraboloides z = 2x2
+ 2y2
y z = 5−3x2
−3y2
1.4.- Ap´
endice: MATLAB.
Aunque las posibilidades de las que dispone MATLAB para representar curvas y super-ficies superan, con mucho, las posibilidades de lo que podemos considerar ahora, no s´olo en cuanto a la extensi´on, sino tambi´en en cuanto a las herramientas t´ecnicas de las que disponemos, a continuaci´on describimos algunas de las funciones de MATLAB relacionadas con el contenido del Tema 1. En t´erminos generales, en lo que se refiere a representaci´on de curvas y superficies, hay esencialmente dos opciones/posibilidades que pueden referirse a distintos tipos de coordenadas (cartesianas, polares,...):
(i) Comandos/Funciones que parten de datos num´ericos y a partir de ellos construyen los puntos de la curva o superficie
(ii) Comandos/Funciones que parten de expresiones simb´olicas. Estos comandos/funciones comienzan con ez...
Un poco de sintaxis: siendo MATLAB un entorno que trabaja, esenciamente, con matri-ces, las operaciones se refieren, habitualmente, a operaciones matriciales. Por ejemplo:
x*y
denota la matriz producto de las matricesx ey(cuando sus dimensiones lo permiten),
x^3
denota la potencia 3 de la matriz (cuadrada)x.
Si tenemos que hacer operaciones sobre las entradas de una o varias matrices, cosa habi-tual a la hora de generar datos, necesitamos anteponer un punto (.) a la operaci´on corres-pondiente. Por ejemplo:
x.*y
denota la matriz que se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz x con el correspondiente elemento de y (para lo cual es necesario que las matricesxe y tengan las mismas dimensiones),
x.^3
denota la matriz que se obtiene elevando a 3 cada uno de los elementos de matriz (cuadrada o no)x.
Para las operaciones que est´an definidas elemento a elemento (suma, producto por un n´umero, ...) no es necesario anteponer el punto y, de hecho, si se hace da un mensaje de error.
Por otra parte, para indicar a MATLAB que una expresi´on es simb´olica, y no se refiere a expresiones num´ericas previamente consideradas, se utilizan comillas simples. Por ejemplo, para indicar 3x2
−2 cos(y) +xy se hace mediante ’3*x2
-2*cos(x)+x*y’ y para almacenar esta expresi´on como una funci´on f se utiliza inline
Pasamos a describir c´omo obtener, usando MATLAB, la representaci´on gr´afica de curvas (en el plano y en el espacio) y superficies.
Curvas Planas.
(a) PLOT. La sintaxis b´asica esplot(x,y)siendoxeyvectores reales con la misma longitud. Mediante dicha orden se representa la curva que se obtiene al unir los puntos que tienen como coordenadas las correspondientes componentes de los vectores x e y. Comprueba el resultado que se obtiene mediante las siguientes ´ordenes:
>> x = [0:0.1:2]; >> y = x.^2; >> plot(x,y) >> plot(x,y,’or’)
y consulta la ayuda sobre dicha orden plot para ver las distintas opciones sobre:
tipo de l´ınea, color, ejes, marcas en los ejes, t´ıtulos, datos complejos, distintas curvas en la misma gr´afica,....
Por otra parte, para dibujar usando plot una curva descrita mediante expre-siones simb´olicas en un cierto intervalo, basta con generar los datos num´ericos correspondientes. Por ejemplo,
para dibujar el arco de la elipse
¨
x= 2 cos(t), y= sen(t),
que est´a en el segundo cuadrante basta con obtener una partici´on del intervalo [π
2, π] de variaci´on de t que permite recorrer el arco considerado, por ejemplo
>> t=[pi/2: 0.01 :pi];
generar a continuaci´on los datos num´ericos de las coordenadas de los puntos correspondientes de la curva,
>> x=2*cos(t); >> y=sin(t);
y dibujar los puntos correspondientes con las opciones deseadas en cuanto a ejes, tipo de linea para unir los puntos considerados, etc. Por ejemplo, >> plot(x,y,’b’), axis equal
Notemos que en lo que se refiere a la partici´on del intervalo de variaci´on det, si consideramos muy pocos valores de t, tendremos pocos puntos de la curva correspondiente y la gr´afica que se obtiene al unir los puntos se parecer´a poco a la que pretendemos obtener.
(b) EZPLOT. La funci´onezplot permite reprsentar gr´aficamente curvas planas que pueden venir definidas a trav´es de expresiones simb´olicas:
en forma expl´ıcitamediante una expresi´on y =f(x). Por ejemplo la orden >> ezplot(’sqrt(1-x^2)’,[-0.5,1])
dibuja la gr´afica de y =√1−x2 cuando la variable independiente x recorre
el intervalo [−0.5,1]. Es decir, dibuja un arco de la circunferencia x2
+y2
en formaimpl´ıcita mediante una ecuaci´onf(x, y) = 0. Por ejemplo la orden >> ezplot(’x^2+y^2-1’,[-0.5,1,-2,1])
dibuja la gr´afica dada por la ecuaci´on x2
+y2
−1 = 0 en el rect´angulo
{(x, y) :−0.5 ≤x≤1,−2≤y≤1}.
en forma param´etrica mediante expresiones
¨
x=x(t),
y=y(t), a ≤t≤b.
La ordenezplot(x(t),y(t),[a,b]) dibuja la curva dada por las expresiones consideradas cuando el par´ametrot recorre el intervalo [a, b]. Por ejemplo, la orden
>> ezplot(’cos(t)’,’sin(t)’,[-pi/3,pi])
dibuja el arco que se obtiene de la circunferencia unidad, sobre la cual est´an los puntos (cos(t),sen(t)), cuando el ´angulo t recorre el intervalo dado. (c) Consular la ayuda sobre las ´ordenes polar, ezpolar referidas a la representaci´on
de curvas planas dadas en forma polar y sobre fplot referida a la representaci´on gr´afica de una funci´on expl´ıcita y=f(x).
Curvas en el espacio.
(a) PLOT3Es, para el espacio real tridimensional, la orden an´aloga a la ordenplot. La sintaxis b´asica es plot3(x,y,z) siendo x, y, z vectores de la misma longitud. Consulta la ayuda sobre plot3 para ver las distintas opciones y comprueba el resultado que se obtiene mediante las ´ordenes:
>> x = [0:0.1:1];
>> y = [-1 3 7 2 4 0 -2 3.5 2 -3 6]; >> z = x-2*y.^2;
>> plot3(x,y,z) >> plot3(x,y,z,’r*’) >> plot3(x,y,z,’bo-.’) >> plot3(x,y,z,’kd:’) >> plot3(x,y,z,’cs’)
Por otra parte, para dibujar, usando plot3, una curva descrita mediante expre-siones simb´olicas en un cierto intervalo, basta con generar los datos num´ericos correspondientes. Por ejemplo:
para dibujar la h´elice c´onica dada por las ecuaciones
8
>
<
>
:
x=t sen(t) y=t cos(t) z =t
>> t=[0:4*pi/100:4*pi];
generar los datos num´ericos de las coordenadas de los puntos de la curva, >> x=t.*sin(t);
>> y=t.*cos(t); >> z=t;
y dibujar los puntos correspondientes con las opciones deseadas en cuanto a ejes, tipo de linea, color, ..., por ejemplo
>> plot3(x,y,z,’ro:’), title(’espiral conica’)
para dibujar (el arco de) la par´abola que se obtiene al cortar el paraboloide z =x2
+y2
con el planox+y= 0 cuando xrecorre el intervalo [−1,3] basta con ejecutar las siguientes ´ordenes:
>> x=[-1:0.1:3]; >> y=1-x;
>> z=x.^2+y.^2;
>> plot3(x,y,z), axis equal
(b) EZPLOT3. Es, para el espacio real tridimensional, la orden an´aloga a la orden ezplot. La sintaxis b´asica es ezplot3(x,y,z) siendox, y, z expresiones simb´oli-cas. Consulta la ayuda sobreezplot3 para ver las distintas opciones y comprueba el resultado que se obtiene mediante las ´ordenes:
>> ezplot3(’cos(t)’,’sin(t)’,’t’,[1,8*pi])
>> ezplot3(’t*cos(t)’,’t*sin(t)’,’t’,[1,6*pi])
Superficies. Al igual que para la representaci´on de curvas, la representaci´on de superficies puede abordarse desde dos puntos de vista:
(a) desde el punto de vista de la representaci´on a partir de datos num´ericos, MATLAB dispone de las siguientes ´ordenes:
SURFACE, MESH, SURF, MESHC, SURFC, MESHZ, WATERFALL,
que tienen todas una sintaxis b´asica similar a partir de tres matrices num´ericas X, Y, Z con las mismas dimensiones. Ejecutar las siguientes ´ordenes y comprobar los resultados:
>> x=rand(7,4); >> y=randn(7,4); >> z=2*randn(7,4);
No obstante, cuando se trata de representar una superficie dada, por ejemplo, mediante unas ecuciones param´etricas
8
>
<
>
:
x=f(s, t) y =g(s, t) z =h(s, t)
,
cuando los par´ametros (s, t) recorren un determinado rect´angulo [a, b] ×[c, d], podemos usar las ´ordenes anteriores, con todas las opciones que cada una de ellas acepta, generando los datos de la siguiente forma:
(1) partici´on de cada uno de los intervalos de variaci´on de los par´ametros s y t. Dividimos el intervalo [a, b] en (n+ 1) subintervalos de longitud (b−a)/n y el intervalo [c, d] en (m+ 1) subintervalos de longitud (d−c)/m mediante >> s=[a : a+(b-a)/n : b]; t=[c : (d-c)/m : d];
(2) generaci´on de (las matrices asociadas al) mallado que permite obtener las coordenadas de los puntos de la superficie,
>> [S,T]=meshgrid(s,t)
(3) c´alculo de las matrices X, Y, Z asociadas a las coordenadas de los puntos de la superficie que queremos representar,
>> X=f(S,T); >> Y=g(S,T); >> Z=h(S,T);
(4) dibujo de la superficie con alguna de las funciones apropiadas y opciones posibles,
>> mesh(X,Y,Z), axis square >> surfc(X,Y,Z),
>> ...
Consideremos, por ejemplo:
El (trozo de) cono de ecuaci´on z2
= x2
+ 2y2
que se obtiene mediante la parametrizaci´on 8
>
<
>
:
x=s cos(t) y= 1
2s sen(t)
z =s
cuando s recorre el intervalo [−1,2] y t recorre el intervalo [0, π]. >> s=[-1:0.1:2]; t=[0:0.1:pi];
>> [S,T]=meshgrid(s,t); >> X= S.* cos(T);
>> Y=0.5*S.*sin(T); >> Z= S;
>> mesh(X,Y,Z), axis square >> surfc(X,Y,Z),
>> ...
El trozo de cono dado por la ecuaci´on expl´ıcita z =√x2 + 2y2 cuando (x, y)
recorre el rect´angulo [−1,2]×[−1,1]. En este caso, tenemos la parametrizaci´on
asociada 8
>
<
>
:
x=x y=y
z =f(x, y) =√x2+ 2y2
,
y podemos obtener la representaci´on gr´afica mediante: >> x=[-1:0.1:2]; y=[-1:0.1:1];
>> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> Z= sqrt(X.^2+2*Y.^2); >> mesh(X,Y,Z), axis square >> surfc(X,Y,Z),
>> ...
(b) Desde el punto de vista de expresiones simb´olicas MATLAB cuenta con los co-mandos/funciones:
EZMESH, EZMESHC, EZSURF, EZSURFC.
Para representar la gr´afica de una funci´on expl´ıcita z = f(x, y) de dos variables independientes, por ejemplo z =x2
−y2
, basta con ejecutar >> ezmesh(’x^2-y^2’)
con las opciones que se deseen en cuanto a dominio de las variables. Para obtener una gr´afica dada por unas ecuaciones param´etricas, por ejemplo
8
>
<
>
:
x=escos(t) y=essen(t) z =s−log(t2
+ 1) basta con ejecutar
>> ezmesh(’exp(s)*cos(t)’,’exp(s)*sin(t)’,’s-log(1+t^2)’)
o bien
>> x=inline(’exp(s)*cos(t)’) >> y=inline(’exp(s)*sin(t)’) >> z=inline(’s-log(1+t^2)’) >> ezmesh(x,y,z)
(c) Consultar la ayuda sobre los comandos
CONTOUR, CONTOUR3, CONTOURC, CONTOURF, EZCONTOUR, EZCONTOURF
referidos a la representaci´on de una superficie a trav´es de sus curvas de nivel. Superficies particulares.
Elipsoides. Dados el centro (x0, y0, z0) y los semiejes a, b, c de un elipsoide, (x−x0)2
a2 +
(y−y0)2
b2 +
(z−z0)2
c2 = 1,
• representar gr´aficamente el elipsoide indicado mediante la orden ellipsoid(x0,y0,z0,a,b,c,N)
mediante la cual se genera la figura pero sin argumentos de salida y • generar los datos,
[X,Y,Z]=ellipsoid(x0,y0,z0,a,b,c,N)
que permiten representar el elipsoide mediante diferente posibilidades de rep-resentaci´on de superficies como
surf(X,Y,Z), mesh(X,Y,Z), ...
con las cuales se pueden utilizar las distintas opciones relativas a ejes, colore-ado,...
Ejecutar las siguientes ´ordenes y comprobar los resultados >> ellipsoid(-1,2,1,1,2,3), axis equal
>> [X,Y,Z]=ellipsoid(-1,2,1,1,2,3); mesh(X,Y,Z), axis equal >> ellipsoid(-1,2,1,1,2,3,50), axis equal
>> [X,Y,Z]=ellipsoid(-1,2,1,1,2,3,50); mesh(X,Y,Z), axis equal
Esferas. MATLAB dispone del comando SPHERE para generar la esfera unidad (centro en el origen de coordenadas y radio 1) con un n´umero prefijado de caras. Consultar la ayuda y ejecutar las siguientes ´ordenes
>> sphere(6)
>> [X,Y,Z]=sphere(6); mesh(X,Y,Z) >> sphere(36)
>> [X,Y,Z]=sphere(36); meshc(X,Y,Z)
Superficies de revoluci´on. MATLAB dispone de la funci´on CYLINDERque permite generar (dibujar directamente y obtener los datos para poder dibujar posterior-mente con distintos comandos opciones) superficies de revoluci´on alrededor del eje OZ en la franja 0≤z ≤ 1. Consultar la ayuda sobre dicha funci´on y comprobar el resultado que se obtiene mediante las siguientes ´ordenes
>> cylinder([0 1 0 2])
>> [X,Y,Z]=cylinder([0 1 0 2]), mesh(X,Y,Z)
Sin embargo, no es ´esta la forma m´as vers´atil de generar una superficie de revolu-ci´on, sino que podemos utilizar las ecuaciones param´etricas que hemos obtenido cuando hemos considerado las superficies de revoluci´on. Si, por ejemplo, tenemos una curva en el plano OY Z que viene dada por los puntos (0, g(s), h(s)) cuando el par´ametro real s recorre un cierto intervalo [a, b], al girar un punto de dicha curva alrededor del eje OZ obtenemos los puntos de coordenadas (x, y, z) dadas
por 8
>
<
>
:
x=|g(s)|cos(θ) y=|g(s)|sin(θ) z =g(s)
, 0≤θ ≤2π.
