Tema3

(1)

continuidad

C´

alculo

(2)

1 Funciones Elementales

2 El conjuntoRn

Estructuras enRn

Principales tipos de coordenadas enR2

Principales tipos de coordenadas enR3 3 Funciones de varias variables

Dominio e Imagen de una función Función inversa. Función compuesta

4 L´ımites de funciones escalares

L´ımite de una funci´on de dos variables

C´alculo pr´actico de l´ımites de funciones escalares Propiedades de los l´ımites

L´ımites iterados L´ımites direccionales Teorema de compresi´on Infinit´esimos equivalentes

C´alculo del l´ımite por cambio a coordenadas polares Caracterizaci´on sucesional del l´ımite

C´alculo pr´actico de l´ımites de funciones vectoriales

(3)

1 Funciones Elementales 2 El conjuntoRn

Estructuras enRn

3 Funciones de varias variables

C´alculo pr´actico de l´ımites de funciones escalares

Propiedades de los l´ımites L´ımites iterados

L´ımites direccionales Teorema de compresi´on Infinit´esimos equivalentes

5 Funciones continuas

(4)

Funci´

on exponencial

Dado un n´umero real a>0,

f : _R −→ R

x 7−→ ax

Propiedades

Dom(f) =R, Im(f) =

(

R+ sia6= 1

1 sia= 1

f es continua enR.

f es derivable en_R, conf0(x) =ax_ln_a_.

Sia≥1,f es creciente. Si 0<a<1,f es decreciente.

a0_{= 1}

axay =ax+y ax

(5)

Dado un n´umero real a>0,

f : _R −→ R

(6)

Funci´

on logar´ıtmica

Seaa>0,a6= 1. Se llama funci´on logar´ıtmicade basea,f(x) = log_a(x), a la funci´on inversa de la exponencialax.

aloga(x)₌_x _log

a(ax) =x

Sia=e, hablamos dellogaritmo neperiano, denotadolnx.

Propiedades

Dom(f) =_R+_{, Im(}_f_{) =}

R

f es continua enR+. f es derivable, con f0(x) =xln1a.

Sia≥1,f es creciente. Si 0<a<1,f es decreciente. loga(1) = 0.

log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y),∀x,y,∈R+. log_a(xy_{) =}_y_log

a(x),∀x,y,∈R+.

(7)

Seaa>0,a6= 1. Se llama funci´on logar´ıtmicade basea,f(x) = log_a(x), a la funci´on inversa de la exponencialax.

aloga(x)₌_x _log

a(ax) =x

(8)

Funci´

on seno

f : _R −→ [−1,1]

x 7−→ sinx

Propiedades

Dom(f) =R, Im(f) = [−1,1].

sinx es continua en_R. sinx es derivable, con

f0(x) = cosx.

(9)

f : _R −→ [−1,1]

x 7−→ cosx

Propiedades

Dom(f) =R, Im(f) = [−1,1].

cosx es continua en_R. cosx es derivable, con

f0(x) =−sinx.

(10)

Funci´

on tangente

f : R −→ R

x 7−→ tanx =_cossinx_x

Propiedades

Dom(f) =R−{π2+kπ,k∈Z}, Im(f) =R.

tanx es continua en su dominio.

tanx es derivable, con

f0(x) =_cos12_x.

(11)

f : _R −→ R

x 7−→ cosecx= 1 sinx

Propiedades

Dom(f) =R− {kπ,k ∈Z},

Im(f) =]− ∞,−1]∪[1,+∞[. cosecx es continua en su dominio.

cosecx es derivable, con

(12)

Funci´

on secante

f : _R −→ R

x 7−→ secx= 1

cosx

Propiedades

Dom(f) =R−{π2+kπ,k∈Z}, Im(f) =]− ∞,−1]∪[1,+∞[. secx es continua en su dominio.

secx es derivable, con

(13)

f : R −→ R

x 7−→ cotx= cosx

sinx

Propiedades

Dom(f) =R− {kπ,k ∈Z},

Im(f) =R.

cotx es continua en su dominio.

cotx es derivable, con

(14)

Funci´

on arcoseno

Para cadax∈[−1,1], se definearcsinx como el ´unicoy ∈[−π

2,

π

2] tal que sin(y) =x.

arcsin(sinx) =x sin(arcsinx) =x

Propiedades

Dom(f) = [−1,1], Im(f) = [−π

2,

π

2].

arcsinx es continua en [−1,1]. arcsinx es derivable, con

f0(x) =√ 1

1−x2.

(15)

Para cadax∈[−1,1], se definearccosx como el ´unicoy ∈[0, π] tal que cos(y) =x.

arccos(cosx) =x cos(arccosx) =x

Propiedades

Dom(f) = [−1,1], Im(f) = [−π, π].

arccosx es continua en [−1,1]. arccosx es derivable, con

f0(x) =−_√1 1−x2.

(16)

Funci´

on arcotangente

Para cadax∈R, se definearctanx como el ´unicoy ∈]−π2,

π

2[ tal que tan(y) =x. arctan(tanx) =x tan(arctanx) =x

Propiedades

Dom(f) =R,

Im(f) =]−π

2,

π

2[.

arctanx es continua en_R. arctanx es derivable, con

f0(x) = 1

1 +x2.

(17)

1 _sin2_x_{+ cos}2_x_{= 1}_.

2 sin(x+y) = sinxcosy+ cosxsiny;sin(2x) = 2 sinxcosx. 3 cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny;cos(2x) = cos2x−sin2x. 4 tan(x+y) = tanx+tany

1−tanxtany.

5 sin2x= 1−cos(2x)

2 .

6 cos2x =1+cos(2x)

2 .

(18)

´Indice

2 El conjuntoRn

Estructuras enRn

Principales tipos de coordenadas enR3 3 Funciones de varias variables

(19)

Definici´

on

El conjuntoRn es el producto cartesianoRn=R×R× · · · ×R, es decir

Rn={(x1,x2, . . . ,xn)| xj ∈R, para j= 1,2, . . . ,n}

El conjuntoRn con las operaciones usuales de suma y producto por escalares, es

decir:

~x+~y = (x1+y1,x2+y2, . . . ,xn+yn)

λ~x= (λx1, λx2, . . . , λxnxn)

siendo~x= (x1,x2, . . . ,xn),~y= (y1,y2, . . . ,yn) yλ∈R, tiene estructura de

(20)

Distancia eucl´ıdea

Norma de un vector

Si se define elproducto escalarordinario como

~

x·~y =x1y1+x2y2+· · ·+xnyn

Rntiene estructura de espacio eucl´ıdeo, pudi´endose definir la norma de un vector

como

||~x||=

√

~x·~x=

q

x2

1+x22+· · ·+xn2

Definici´

on

Ladistancia eucl´ıdea entre dos vectores~x= (x1,x2, . . . ,xn) y~y = (y1,y2, . . . ,yn)

se define como

(21)

Bola con centro

~

a

y radio

r

Dado el vector~ade Rn, labola con centro~ay radior es el conjunto

Br(a) ={~x ∈Rn|d(~x,~a) =||~x−~a||<r}

Ejemplo

La bola de_R2_{con centro el vector} ~a= (a1,a2) y radior es

precisamente el conjunto de los puntos interiores a la circunferencia con centro~ay radior.

Br(~a) ={(x1,x2)∈R2|

q

(x1−a1)2+ (x2−a2)2<r}

(22)

Topolog´ıa en

_R

n

Punto interior y conjunto abierto

Un puntox= (x1, . . . ,xn)∈Rnse dice que es unpunto interiordel conjunto A(x∈int(A)) si existe una bola con centrox totalmente contenida enA, es decir,

x punto interior deAsi∃Br(x)⊆A

Se dice que el conjuntoAesabiertosi todos sus puntos son interiores.

Ejemplo

El conjuntoA={(x,y)∈_R2_|₍_x₋₁₎2_{+ (}_y_{+ 1)}2_<₍1 2)

(23)

Punto frontera

Un puntox= (x1, . . . ,xn)∈Rnse dice que es unpunto fronteradel

conjuntoA(x∈Fr(A)) sitodabola con centrox contiene puntos deAy puntos no pertenecientes aA.

El conjuntofrontera deAest´a formado por todos los puntos frontera deA.

Nota

Un punto frontera deAno pertenece necesariamente a A.

Ejemplo

SiendoAyB los conjuntos del ejemplo anterior,

Fr(A) ={(x,y)∈_R2_|₍_x₋₁₎2₊₍_y₊₁₎2_{= (}1 2)

2_}

Fr(B) ={(x,y)∈R2|x2+y2= 1

(24)

Topolog´ıa en

_R

n

Conjunto cerrado

Se dice que el conjuntoAescerradosi contiene a todos sus puntos frontera.

Ejemplo

En muchos de los problemas de optimización, los dominios estarán definidos por una o más desigualdades. Por ejemplo, sip,q ym son parámetros positivos, el conjunto de los puntos (x,y) que verifican las desigualdades

px+qy≤m, x ≥0,y≥0

(25)

Conjunto cerrado

Se dice que el conjuntoAescerradosi contiene a todos sus puntos frontera.

Importante

En general, sig(x) =g(x1,, . . . ,xn) es una funci´on continua denvariables y ces

un n´umero real, los tres conjuntos

{x∈Rn |g(x)≥c} {x∈Rn |g(x)≤c} {x ∈Rn| g(x) =c}

son cerrados. Si sustituimos≥por>´o ≤por<, los conjuntos correspondientes son abiertos.

Ejemplo

(26)

Topolog´ıa en

_R

n

Conjunto acotado

Se dice que el conjuntoAesacotadosi existe una bola que lo contenga.

Ejemplo

(27)

Conjunto acotado

Se dice que el conjuntoAesacotadosi existe una bola que lo contenga.

Ejemplo

(28)

Topolog´ıa en

_R

n

Conjunto compacto

Se dice que el conjuntoAescompactosi es cerrado y acotado.

Ejemplo

(29)

Conjunto compacto

Se dice que el conjuntoAescompactosi es cerrado y acotado.

Ejemplo

(30)

Coordenadas en

_R

2

Coordenadas en

_R

2

Coordenadas cartesianas: Un puntoP tiene como coordenadas cartesianas (x,y), siendox la abcisa ey la ordenada del puntoP.

Coordenadas polares: Un puntoP tiene como coordenadas polares (ρ, θ), siendo

ρes la distancia del puntoP al origen, es decirρ=px2₊_y2_.

θ∈[0,2π[ es el ´angulo que forma el vector

→

(31)

C.cartesianas

−→

C.polares

Dado un punto (x,y) en coordenadas cartesianas, obtenemos (r, θ) como

ρ=px2₊_y2 _θ_{= arctan}y x

C.polares

−→

C.cartesianas

Dado un punto (r, θ) en coordenadas cartesianas, obtenemos (x,y) como

(32)

Coordenadas en

_R

2

C.cartesianas

−→

C.polares

Dado un punto (x,y) en coordenadas cartesianas, obtenemos (r, θ) como

ρ=px2₊_y2 _θ_{= arctan}y x

C.polares

−→

C.cartesianas

Dado un punto (r, θ) en coordenadas cartesianas, obtenemos (x,y) como

x =ρcosθ y =ρsinθ

Ejemplos

El punto deR2 cuyas coordenadas cartesianas son ( √

2,√2) tiene como expresi´on en coordenadas polares (2,π₄).

(33)

Coordenadas cartesianas en

_R

3

(34)

Coordenadas en

_R

3

Coordenadas cil´ındricas en

_R

3

(35)

C.cartesianas

−→

C.cil´ındricas

Dado un punto (x,y,z) en

c.cartesianas, obtenemos (ρ, θ,z) como

ρ=px2₊_y2 _θ_{= arctan}y

x z =z

C.cil´ındricas

−→

C.cartesianas

Dado un punto (ρ, θ,z) en

coordenadas cil´ındricas, obtenemos (x,y,z) como

(36)

Coordenadas en

_R

3

C.cartesianas

−→

C.cil´ındricas

Dado un punto (x,y,z) en

c.cartesianas, obtenemos (ρ, θ,z) como

ρ=px2₊_y2 _θ_{= arctan}y

x z =z

C.cil´ındricas

−→

C.cartesianas

Dado un punto (ρ, θ,z) en

coordenadas cil´ındricas, obtenemos (x,y,z) como

x=ρcosθ y=ρsinθ z =z

Ejemplos

El punto deR3 cuyas coordenadas cartesianas son ( √

3,√3,√3) tiene como expresi´on en coordenadas cil´ındricas (√6,π₄,√3).

(37)

Coordenadas esf´

ericas en

_R

3

Un puntoP tiene como coordenadas cil´ındricas (ρ, θ, ϕ), dondeρ≥0, 0≤θ <2πy 0≤ϕ < π, siendo:

ρel módulo del vectorOP~ , es decir,ρes la distancia del puntoPal origen. θes el ángulo formado por el vectorOQ~ con el semieje positivo deOX, siendoQ el punto proyección deP sobre el planoOXY.

(38)

Coordenadas en

_R

3

C.cartesianas

−→

C.esf´

ericas

Dado un punto (x,y,z) en coordenadas cartesianas, obtenemos (ρ, θ, ϕ) como

ρ=px2₊_y2₊_z2 _θ_{= arctan}y

x ϕ= arccos

z

p

x2₊_y2₊_z2

C.esf´

ericas

−→

C.cartesianas

Dado un punto (ρ, θ, ϕ) en coordenadas esf´ericas, obtenemos (x,y,z) como

(39)

Ejemplos

El punto (3,π

4,

π

4) en coordenadas esf´ericas tiene como coordenadas cartesianas (3₂,3₂,3

√

2 2 ).

(40)

´Indice

2 El conjuntoRn

Estructuras enRn

3 Funciones de varias variables Dominio e Imagen de una función Función inversa. Función compuesta

(41)

Definici´

on

Una funci´on f :A⊂_Rn_−→

Rm es una aplicaci´on que a cada punto~x ∈A⊂Rn

le hace corresponder~y ∈Rm

(42)

Funciones de varias variables

Definici´

on

f(x1,x2, . . . ,xn) = (y1,y2, . . . ,ym)∈Rm

Ejemplo

Si expresamos el área de un triángulo en función de la base y de la altura, tendremos una función de dos variables:

(43)

Definici´

on

f(x1,x2, . . . ,xn) = (y1,y2, . . . ,ym)∈Rm

(44)

Dominio e Imagen

Definici´

on

Dada f :_Rn_−→

Rm, se define su dominio como

Dom(f) ={(x1,x2, . . . ,xn)∈Rn | ∃f(x1,x2, . . . ,xn)∈Rm}

Ejemplos

Sif(x,y) =√x+y, entonces Dom(f) ={(x,y)∈R2| x+y ≥0}

Sig(x,y) = (sin(xy), y

x2₊_y2, entonces Dom(g) =R

2_{− {}_(0,₀₎_}

Sih(x,y) = e

√ x2₊₈

ln(x+y−1), entonces

Dom(h) ={(x,y)∈R2|x+y−1>0,x+y6= 2}.

Sil(x,y) = (x,logy,arcsinx), entonces

(45)

Definici´

on

Sea f :_Rn_−→

Rm. La imagen de f se define por

Im(f) ={(y1,y2, . . . ,ym)∈Rm| ∃(x1,x2, . . . ,xn)∈Rncon f(x1,x2, . . . ,xn) = (y1,y2, . . . ,ym)}

Ejemplos

Sif(x,y) =√x+y, entonces Im(f) = [0,+∞[ Sig(x,y) = ln(xy), entonces Im(g) =_R

Sih(x,y) = sin(x+y), entonces Im(h) = [−1,1]. Sih(x,y) = (ln(x+y−1),exy_,_sin(_x₋_y_),_√ 2x

(46)

Funci´

on compuesta y funci´

on inversa

Definici´

on

Sean f :Rn−→Rmy g :Rm−→Rp. SiIm(f)⊂Dom(g), se define lafunci´on

compuesta(g ◦f) :Rn−→Rp como

Rn−→f Rm g −→Rp

(g◦f)(x) =g(f(x))

Ejemplos

Sean

f :R2−→R3 definida porf(x,y) = (x+y,x−y,x2) g :R3−→Rdefinida porg(x,y,z) =x2+y2+z2

Entonces,

(47)

Definici´

on

Sea f :Rn−→Rm. Si f es inyectiva, se puede definir lafunci´on inversa

f−1: Im(f)⊂Rm−→Rn de modo que,

(f−1◦f)(x) =f−1(f(x)) =x ∀x∈Dom(f)

Ejemplos

Seaf :R2−→Rdefinida porf(x,y) =ex+y. Entonces, f−1(z) = lnz

Sig :_R−→Rest´a definida porg(x) = sinx, entoncesg−1(x) = arcsinx

(48)

Funci´

on acotada

Definici´

on

Sea f :A⊆Rn−→R. f est´aacotadaen A si

∃M ∈R tal que |f(x)| ≤M ∀x∈A,

o equivalentemente,Im(f)es un subconjunto acotado de_R.

Ejemplos

Seaf :R2−→Rdefinida porf(x,y) = sin2(x+y) cos(x−ey). Entonces,f

est´a acotada, pues

|f(x,y)| ≤1 ∀(x,y)∈R2.

Sig :R3−→Rest´a definida porg(x,y,z) =ex+y+z, entoncesg no est´a

(49)

Funciones escalares

Para representar funciones escalaresf :Rn−→R, necesitamos “n+1”

dimensiones. Por ello, analizaremos principalmente funcionesf :R2−→R. Dada

una funci´onf :R2−→R, el conjunto de puntos de la forma (x,y,z) con z =f(x,y) (grafo de una funci´on), es una superficie enR3que denominaremos

representaci´on gr´afica de f.

Definici´

on

Curvas de nivel Dada la funci´on f :A⊂R2−→Ry una constante c, lacurva de

nivel c de la superficie z=f(x,y)es el conjunto

(50)

(51)

2 El conjuntoRn

Estructuras enRn

C´alculo pr´actico de l´ımites de funciones escalares Propiedades de los l´ımites

L´ımites iterados L´ımites direccionales Teorema de compresi´on Infinit´esimos equivalentes

(52)

L´ımite de una funci´

on de dos variables

Definici´

on

Sea f :R2→R. Entonces,

lim (x,y)→(a,b)

f(x,y) =L

si y s´olo si para cada >0 existe un correspondienteδ >0 tal que

(53)

Significado

(54)

L´ımite de una funci´

on de dos variables

(55)

Seanf :R →R, g :R →Rtales que los l´ımites lim x→x0

f(x) y lim

x→x0

g(x) existen y valenLyM, respectivamente. Entonces:

1 lim

x→x0

(f +g)(x) existe y valeL+M.

2 lim

x→x0

λf(x) existe y valeλL,∀λ∈R.

3 _lim

x→x0

|f(x)|existe y valeL. lim

x→x0

f(x)

g(x) existe y vale

L

M, siM 6= 0.

4 lim

x−x0→0

f(x) =L.

5 lim

x→x0

(f ·g)(x) exixste y valeL·M.

6 lim

x→x0

|f(x)|= 0⇐⇒ lim

x→x0

(56)

L´ımites iterados o reiterados

Definici´

on

Dada una funci´on f :R2→R, losl´ımites iteradosde f en(a,b)se definen, si

existen, como

lim

x→a

lim

y→bf(x,y)

=L1 y lim

y→b

lim

x→af(x,y)

=L2

Para calcular el l´ımite iterado lim

y→b

lim

x→af(x,y)

(57)

Definici´

on

existen, como

lim

x→a

lim

y→bf(x,y)

=L1 y lim

y→b

lim

x→af(x,y)

=L2

Ejemplos

Los l´ımites reiterados def(x,y) = xy

x+y en (1,2) son:

lim

x→1

lim

y→2 xy

x+y

= lim

x→1 2x

x+ 2 =

2 3 lim y→2 lim x→1 xy

x+y

= lim

y→2 y

1 +y =

(58)

L´ımites iterados o reiterados

Definici´

on

existen, como

lim

x→a

lim

y→bf(x,y)

=L1 y lim

y→b

lim

x→af(x,y)

=L2

Ejemplos

Los l´ımites reiterados def(x,y) = x 2₊_y3

x2₊_y2 en (0,0) son:

lim

x→0

lim

y→0

x2₊_y3 x2₊_y2

= lim

x→01 = 1

lim

lim x

2₊_y3

(59)

Nota

Seaf :_R2_→

R. Si existe el l´ımite doble lim

(x,y)→(a,b)

f(x,y) =L, y existen los l´ımites reiterados,

lim

x→a

lim

y→bf(x,y)

=L1 y lim

y→b

lim

x→af(x,y)

=L2

entonces los tres l´ımites deben ser iguales, es decir,L=L1=L2.

Importante

Aunquef :R2→Rtenga los l´ımites iterados iguales

lim

x→a

lim

y→bf(x,y)

=L1=L2= lim

y→b

lim

x→af(x,y)

eso no significa que exista lim

(60)

L´ımites iterados o reiterados

Importante

Sif :R2→Rverifica que

lim

x→a

lim

y→bf(x,y)

=L16=L2= lim

y→b

lim

x→af(x,y)

entoncesno existe el l´ımite doble lim

(x,y)→(a,b)f(x,y).

Ejemplo

Como los l´ımites reiterados de

f(x,y) = x+y

x−y

son distintos,

6 ∃ lim

(x,y)→(0,0)

(61)

Importante

lim

x→a

lim

y→bf(x,y)

=L16=L2= lim

y→b

lim

x→af(x,y)

(x,y)→(a,b)f(x,y).

Ejemplos

Como los l´ımites reiterados def(x,y) =x

2₊_y3

x2₊_y2 en (0,0) son distintos,

lim

x→0

lim

y→0

x2+y3 x2₊_y2

= lim

x→01 = 16= limy→0

lim

x→0

x2+y3 x2₊_y2

= lim

y→0y = 0

tenemos que no existe lim

(x,y)→(0,0)

(62)

L´ımites iterados o reiterados

Importante

lim

x→a

lim

y→bf(x,y)

=L16=L2= lim

y→b

lim

x→af(x,y)

(x,y)→(a,b)f(x,y).

Ejemplos

Como los l´ımites reiterados def(x,y) = x−y

x+y en (0,0) son distintos,

lim

x→0

lim

y→0

x−y

x+y

= lim

x→01 = 16= limy→0

lim

x→0

x−y

x+y

= lim

y→0−1 =−1

(63)

Teorema

Sea f :_R2_→

R. Si lim

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y) =L , entonces para toda funci´on continua

y =g(x)tal que g(x0) =y0, se tiene:

lim (x,y)→(x0,y0)

y =g(x)

f(x,y) = lim

x→x0

f(x,g(x)) =L

Similarmente, para toda funci´on continua x =h(y)tal que h(y0) =x0, se tiene:

lim (x,y)→(x0,y0)

x=h(y)

f(x,y) = lim

y→y0

(64)

L´ımites direccionales

Ejemplos

Vamos a probar que el l´ımite lim (x,y)→(0,0)

xy

x2₊_y2 no existe.

Si nos acercamos al origen a trav´es de la rectay =mx, obtenemos que

lim (x,y)→(0,0)

y =mx

xy

x2₊_y2 = lim_x→₀

mx2

x2_{+ (}_mx₎2 = m

1 +m2

Como el l´ımite a trav´es de la rectay =mx, depende de la pendiente de ´esta, tenemos que

6 ∃ lim (x,y)→(0,0)

(65)

Teorema

Sean f,g,h:A⊆Rn→Ry a∈Rn, verificando

g(x)≤f(x)≤h(x) ∀x ∈A

y lim

x→ag(x) = limx→ah(x) =L. Entonces,

lim

(66)

Teorema del Sandwich o de compresi´

on

Ejemplo

Estudiar la existencia del l´ımite en el origen para la funci´on

f(x,y) = x 2_y

x2₊_y2

Como

|x|=√x2_≤p_x2₊_y2

|y|=py2_≤p

x2₊_y2 entonces:

|f(x,y)|= |x| 2_|_y_|

x2₊_y2 ≤

(x2₊_y2₎p

x2₊_y2

x2₊_y2 =

p

x2₊_y2

Ahora bien, como lim (x,y)→(0,0)

p

x2₊_y2_{= 0, entonces, aplicando el Teorema del} Sandwich:

(67)

Corolario

Seanf,g :A⊆Rn→Rya∈Rn, verificando

f(x) acotada y lim

x→ag(x) = 0

Entonces,

lim

x→af(x)g(x) = 0

Ejemplos

lim

(x,y)→(0,0)xysin(

1

xy) = 0, ya que

−1≤sin(1

(68)

Teorema del Sandwich o de compresi´

on

Corolario

Seanf,g :A⊆Rn→Rya∈Rn, verificando

f(x) acotada y lim

x→ag(x) = 0

Entonces,

lim

x→af(x)g(x) = 0

Ejemplos

lim

(x,y)→(0,0)

x2y

x2₊_y2cos(x−y 2

) = 0, ya que

−1≤cos(x−y2)≤1 y lim

(x,y)→(0,0)

(69)

Definici´

on

Sea f :Rn→R. Diremos que f(x)es un infinit´esimo en a∈Rn si

lim

x→af(x) = 0

Definici´

on

Sean f,g :Rn→Rinfinit´esimos en a. Diremos que f(x)es de orden superior,

igual o inferior a g en x=a si lim

x→a f(x)

g(x) =l con l = 0, l∈R− {0}´o∞,

(70)

Infinit´

esimos equivalentes

Definici´

on

Sean f,g :_Rn_→

Rinfinit´esimos en a. Diremos que f(x)y g(x)soninfinit´esimos

equivalentes en asi lim

x→a f(x)

g(x) = 1. En este caso, escribiremos f(x)∼g(x)si

x→a.

Tabla de infinit´

esimos equivalentes

Si(x) es un infinit´esimo ena(es decir, lim

x→a(x) = 0, entonces:

(x)∼sin(x)∼tan(x) (x)∼arcsin(x)∼arctan(x) ln(1 +(x))∼(x)

1−cos((x))∼ 1 2((x))

2

(71)

Principio de sustituci´

on

Seanf,g :Rn→Rinfinit´esimos en ayψ:R→R. Entonces

lim

x→aψ(x)f(x) = limx→aψ(x)g(x)

lim

x→a

ψ(x)

f(x) = limx→a

ψ(x)

g(x)

Ejemplos

lim (x,y)→(0,0)

sin2(xy)

1−cos(x)=(x,ylim)→(0,0) (xy)2

1 2x2

= lim

(x,y)→(0,0)y 2_{= 0}

lim (x,y)→(1,1)

ln(1 + (x−y))

tan(x−y) =(x,ylim)→(1,1)

x−y

x−y = 1

lim (x,y)→(2,1)

x−2y

(1 + (x−2y))3₋₁ =₍_x_,_ylim₎_→₍₂_,₁₎

x−2y

(72)

Cambio a coordenadas polares

Teorema

lim (x,y)→(0,0)

f(x,y) =L si y s´olo si exixte una funci´on G(ρ)≥0tal que

lim

ρ→0G(ρ) = 0 y de forma que:

|f(ρcosθ, ρsinθ)−L| ≤G(ρ)

Importante

Si lim

ρ→0f(ρsinθ, ρcosθ) =Ldepende del ´anguloθ, entonces el l´ımite doble lim

(x,y)→(0,0)f(x,y)no existe.

(73)

Ejemplos

lim (x,y)→(0,0)

x2_y

x2₊_y2 = 0

Pasando a coordenadas polares:

lim

ρ→0

(ρcosθ)2_(ρ_sin_θ)

(ρcosθ)2_{+ (ρ}_sin_θ)2 = lim_ρ_→₀

ρ3_cos2_θ_sin_θ

ρ2 = lim_ρ_→₀ρcos

2_θ_sin_θ_{= 0}

lim (x,y)→(0,0)

xy

x2₊_y2 no existe. Pasando a coordenadas polares:

lim

ρ→0

(ρcosθ)(ρsinθ)

(ρcosθ)2_{+ (ρ}_sin_θ)2 = lim_ρ_→₀

ρ2_cos_θ_sin_θ

ρ2 = lim_ρ_→₀cosθsinθ= cosθsinθ

(74)

Caracterizaci´

on sucesional del l´ımite

Teorema

Seaf :A⊆Rn→R. Entonces, son equivalentes:

lim

x→af(x) =L

Para cualquier sucesi´on{xn}n∈_N⊆A∼ {a} convergente aa, se tiene que la sucesi´on{f(xn)} converge aL.

Ejemplo

Demostrar que6 ∃lim x→0sin(

1

x)

En efecto, consideremos las siguientes sucesiones convergentes a 0:

{xn}n∈N={

1

nπ}n∈N e {yn}n∈N={

1

π

2+ 2nπ

}n∈N

Entonces,

lim n→∞sin(

1

xn ) = lim

n→∞sin(nπ) = 0

(75)

Teorema

Seaf :A⊆Rn→Rm. Seanf1,f2, . . . ,fm lasfunciones coordenadas def, esto es, f(x) = (f1(x),f2(x), . . . ,fm(x)) y L= (L1,L2, . . . ,Lm)∈Rm. Entonces, son

equivalentes: lim

x→af(x) =L

lim

x→afi(x) =Li∈R ∀i

Importante

Para calcular el l´ımite de una funci´on vectorial en un puntoa∈Rn, basta con

calcular por separado el l´ımite de cada una de sus funciones coordenadas en

(76)

C´

alculo pr´

actico de l´ımites de funciones vectoriales

Teorema

Seaf :A⊆Rn→Rm. Seanf1,f2, . . . ,fm lasfunciones coordenadas def, esto es, f(x) = (f1(x),f2(x), . . . ,fm(x)) y L= (L1,L2, . . . ,Lm)∈Rm. Entonces, son

equivalentes: lim

x→af(x) =L

lim

x→afi(x) =Li∈R ∀i

Ejemplo

SeaF :_R2_→

R3definida porF(x,y) = (1 +ysin(xy), x2_y

x2₊_y2,xy). Entonces,

lim

(77)

2 El conjuntoRn

Estructuras enRn

(78)

Funciones continuas

Definici´

on

Decimos que f :A⊆Rn→Rm es una funci´on continua en el punto a∈Dom(f)

si existe el l´ımite de f cuando x tiende a a y adem´as coincide con f(a),

∃lim

x→af(x) =f(a).

Definici´

on

Decimos que f :A⊆Rn→Rm es una funci´on continua en A si es continua en

(79)

Las siguientes funciones son continuas en su dominio: Funciones constantes. (Ej: f(x,y) = 2)

Polinomios. (Ej: f(x,y) =x2₊_xy_{+ 2)} Exponenciales. (Ej: f(x,y) =ex−y)

(80)

Propiedades de las funciones continuas

Teorema

Seanf,g :A⊆Rn→Rm. Seah:A⊆Rn→R. Seaa∈A. Sif,g yhson

continuas ena, entonces:

1 ||f||es continua ena.

2 αf +βg,f ·g yhf son continuas ena.

3 Sih(x)6= 0∀x ∈A, entonces 1

(81)

Teorema

Consideremos las funcionesf :Rn→Rm,g :Rm→Rp y sea

a∈Dom(g ◦f)6=∅. Sif es continua ena yg es continua enf(a)∈Dom(g), entoncesg◦f :f :Rn→Rp es continua ena.

Ejemplos

f(x,y) =sin(x−y)

x2₊_y2 es continua enR

2_{∼ {}_(0,₀₎_}_.

g(x,y) = ln(x+y2_{) es continua en}_{₍_x_,_y₎_∈

R2|x+y2>0}. h(x,y) =etan(xy) _{es continua en}_{₍_x_,_y₎_∈

(82)

Funciones continuas en compactos

Teorema de Weierstrass

Seaf :Rn→Rm una funci´on continua y K ⊂Dom(f) un conjunto compacto.