Máximos y mínimos de funciones de dos variables.
Área Académica: Ingeniería Mecánica
Profesor: Ing. Francisco Javier Barrera González.
Periodo: Julio – Diciembre 2016
Máximos y Mínimos de funciones de dos variables.
Resumen
•Los alumnos deben saber determinar cuando una función vectorial presenta un valor máximo o mínimo o punto silla.
Abstract
•Students should be able to determine when a vector function has a maximum or minimum or
saddle point.
Keywords: saddle point
Máximos y Mínimos de funciones de dos variables.
• A partir de la utilización de las derivadas parciales de funciones de dos variables
vamos a localizar los máximos y mínimos de éstas, si es que los tienen.
Así como cuando en una función de una variable determinamos el máximo volumen de una caja abierta o el mínimo de material a utilizar en un envase de hojalata para una
soda aquí vamos a determinar máximos y mínimos o punto silla de una función de dos variables.
Máximos y Mínimos de funciones de dos variables.
• Definición. Una función f(x,y) tiene un máximo local en (a,b) si f(x,y) ≤ f(a,b) cuando (x, y) está cerca de (a,b) esto implica que f(x,y) ≤ f(a,b) para todos los puntos (x,y) en algún disco con centro (a,b).
El número f(a,b) se denomina valor máximo local.
Si f(x,y) ≥ f(a,b)
cuando(x,y) esta cerca de (a,b), entonces f(a,b) es un
valor mínimo local.
Máximos y Mínimos de funciones de dos variables.
En caso de que las desigualdades anteriores se cumplan para todos los puntos (x,y) del dominio de f(x,y), entonces f(x,y) tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en (a,b).
Teorema: si f(x,y) tiene un máximo o mínimo local en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden de f(x,y) existen ahí, entonces f´x (a,b) = 0 y f´y (a,b) = 0
Máximos y Mínimos de funciones de dos variables.
Utilización de las segundas derivadas.
Suponga que las segundas derivadas parciales de f(x,y) son continuas en un disco con centro (a,b) y supóngase que f´x(a,b) = 0 y f´y(a,b) = 0 [es decir (a,b) es un punto crítico de f(x,y)] entonces:
D = D(a,b) = f´´xx (a,b) f´´yy(a,b) – [f´´xy(a,b)]²
a). Si D > 0 y f´´xx(a,b) > 0 , entonces f(a, b) es un mínimo local.
b). Si D > 0 y f´´xx(a,b) < 0 , entonces f(a,b) es un máximo local.
c). Si D < 0, entonces f(a,b) no es ni un máximo ni mínimo local.
Máximos y Mínimos de funciones de dos variables.
En este caso c al punto (a,b) se le llama Punto de ensilladura o punto silla.
Ahora si D = 0, la prueba no proporciona información y f(a,b) podría tener un máximo local o mínimo local en (a,b), o (a,b) podría ser un punto silla o punto de ensilladura de f(x,y).
Máximos y Mínimos de funciones de dos variables.
Ejemplo: Determine los valores máximo y mínimo locales y punto de ensilladura de la función:
f (x, y) = xy – 2x – y
f´x(x,y) = y – 2 f´y(x,y) = x – 1 y – 2 =0 x – 1 = 0
y = 2 x = 1 Punto Crítico (1,2)
f´´xx(x,y) = f´x (y – 2 ) f´´yy(x,y) = f´y (x – 1) f´´xx(x,y) = 0 f´´yy(x,y) = 0
Máximos y Mínimos de funciones de dos variables.
Continuación del Ejemplo:
f´´xy(x,y) = f´y (y – 2) f´´xy(x,y) = 1
ahora calculamos D:
D = D(a,b) = f´´xx (a,b) f´´yy(a,b) – [f´´xy(a,b)]² D = D(1,2) = (0) (0) – [1]² = -1
D < 0 por lo tanto la función no presenta ni un máximo ni mínimo local el punto crítico (1,2), es un punto de ensilladura.
Referencias
James Stewart (2002). Cálculo Multivariable. Thomson, Learning, México.
