a y b si se sabe también que G es el baricentro del triángulo.

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(1)

Hallar el módulo dela resultante:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 18 e) 3 09. Hallar el valor del ángulo  si la resultante

se encuentra en el eje x.

a) 53° b) 37° c) 30° d) 60° e) 45° 10. Hallar la medida de  para que la

resultante se encuentra en el eje x.

a) 37° b) 53° c) 30° d) 60° e) 45° 11. Hallar  para que la resultante de los

vectores mostrados se encuentra en el eje y.

a) 37° b) 30° c) 45° d) 60° e) 53° 12. Hallar  para que la resultante se

encuentre en el eje y.

+

a) 37° b) 53° c) 30° d) 45° e) 60° 13. SI la resultante se encuentra en el eje x,

hallar dicha resultante.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 14. Determinar el módulo de la resultante del

sistema de vectores.

a) 6 b) 8 c) 63 d) 83 e) Cero 15. Hallar  para que la resultante sea nula.

a) 30° b) 60° c) 37° d) 53° e) 45° 16. Hallar el módulo de la resultante si es

horizontal.

a) 10 b) 5(10 - 239) c) 10(3 + 1) d) 8 e) 5

17. Hallar el módulo de la resultante si es horizontal.

a) 50 b) 30 c) 70 d) 40 e) 37 18. Hallar  para que la resultante sea

horizontal.

a) 30° b) 45° c) 37° d) 60° e) 53° 19. Hallar  para que la resultante del

sistema sea cero.

a) 30° b) 60° c) 37° d) 53° e) 45° 20. Encontrar una expresión para el vector

x

en función de los vectores

A

y

B

. La figura es un paralelogramo.

A

B

x

a) (A + 2B) b) 1/2(A + 2B) c) 1/4(A + 2B) d) 1/4(2A + B) e) N.A.

21. Encontrar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados, si ABCD es un trapecio, siendo M y N puntos medios y además

BC

8

y

AD

12

. A B C D M N a) 30 b) 15 c) 20 d) 25 e) N.A. 22. Encontrar la resultante del conjunto de

vectores mostrados.

a b

c

a)

a

b)

2

a

c) 0 d)

3

a

e) N.A. 23. Determinar

x

en función de los vectores

a

y

b

si se sabe también que “G” es el baricentro del triángulo.

a

b

x

G

a) 2a – b b) a – b c) 1/3(2a – b) d) 1/3(b – 2a) e) N.A.

24. Si: ABCDEF son los vértices de un exágono regular, determinar la resultante de los vectores mostrados.

A B C D E F 1 a) 3L b) 0 c) 6L d) 4L e) N.A. 25. Determinar

x

en función de

A

y

B

. A B x r 53° Rpta: ... 26. Hallar el módulo de los vectores

mostrados.

07. Calcular el valor de la fuerza resultante en la figura mostrada:

a) 12 N b) 13 N c) 16 N d) 20 N e) 28 N

08. Calcular el módulo del vector resultante, sabiendo que la figura es un cubo de arista “a”.

a) a2 b) 2a2 c) a2 d) a3 e) N.A

(2)

09. Calcular el valor de la resultante de los vectores mostrados.

a) 3a2 b) 2a2 c) a2 d)

3a e) 5a

10. Calcular el valor de la resultante de los vectores mostrados.

a) 2a b) 3a c)

4a d) 5a e)

6a

11. La resultante máxima de dos vectores es 14 y la mínima 2. Calcular el módulo de uno de los vectores.

a) 2 b) 14 c)

8 d) 5 e)

10

12. Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados en el exágono regular.

O : centro de la figura.

a) 5 b) 10 c)

15 d) 20 e)

25

13. Calcular el módulo de la resultante de los vectores.

a) 3 cm b) 5 c)

7 d) 8 e)

9

14. Calcular:

R

en: Los módulos están en metros.

a) 32 m b) 33

c) 34

d) 35 e) 36

15. Calcular el módulo de la resultante de los vectores.

a) 2a b) 3 c)

4 d) 5 e)

6

16. Calcular el módulo del vector

A

, para que la resultante del sistema sea cero.

a) 2 cm b) 4 c)

6 d) 8 e)

10

17. Calcular el valor de la fuerza resultante:

a) 100 b) 1003 c) 200 d)

2003 e) 300

18. Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados (exágono regular).

a) 16 m b) 20 c)

30 d) 32 e)

40

19. La resultante máxima de dos vectores es 12 y la mínima es 2. ¿Cuál es el módulo de cada vector?.

a) 1 b) 2 c)

3 d) 4 e)

5

20. La resultante máxima de dos vectores es 24 y la mínima es 6. Hallar el módulo del vector suma cuando los vectores forman 60° entre sí.

a) 20 b) 21 c)

22 d) 23 e)

24

En el conjunto de vectores mostrados

V

1

,

2

V

y

V

3

. Determinar la magnitud del vector resultante. Si a = 1 u.  = 60°.

a) 2 u b) 3 u c) 6 u d) 9 u e) 4 u

25. En la figura se muestra dos vectores

a

y

b

.

Donde:

b

2

a

8

u

Si:

Q

a

b

2

(

a

b

)

Entonces se pude afirmar correctamente que: a) Q es un vector b) Q es un escalar c) El valor de Q es 12 - 42. d) La expresión es incorrecta e) Q = a(2 + 1) + b(2 – 1)

03. Conociendo los vectores

P

y

Q

, determinar la expresión vectorial de

x

en función de ellos, sabiendo además que P = Q. 60° x P Q a)

x

6Q8P  

 b) 6 6Q P

x

 

 d)

x

6Q83P  

 d) 6 6P Q

x

 

 e)

x

Q83P  

04. Determine el módulo del vector resultante para el conjunto de vectores mostrados, si se sabe que AB = 2AC = 20 cm, y O es el centro de la circunferencia. A B C D E 53° O a) 20 b) 103 c) 203 d) 153 e) N.A.

05. Si la resultante del sistema mostrado, está en el eje x, y es igual a 3900 N, encontrar el valor que debe tener  para que T2 sea mínima?.

1 2 Laguna 37° x a) 30° b) 40° c) 23° d) 53° e) 37°

02. La figura es un exaedro regular. Hallar el módulo del vector resultante, siendo los módulos de los vectores

a

y

b

iguales a 52.

a

b

a) 102 b) 152 c) 52 d) 153 e) 52

(3)

03. En el Sistema de vectores dado. Hallar el módulo del vector resultante, sabiendo que su dirección es 0°. 30N 40N 100N

53

°

x y a) 10 N b) 20 N c) 30 N d) 40 N e) 50 N VECTORES

17. Hallar el módulo de la resultante del conjunto mostrado.

a) cero b) 2

c) 8

d) 10 e) 12

18. Hallar el módulo del vector resultante:

a) 22 b) 2

c) 4

d) 42 e) cero

19. Hallar el módulo del vector resultante si el lado del exágono regular mide 10 cm.

a) 20 cm b) 40 cm

c) 70 cm

d) 90 cm e) 120 cm

20. Hallar la magnitud de la resultante de los siguientes vectores.

a) 2 u b) 4 u c)

22

d) 3  2u e) 23 u

21. En el siguiente sistema la resultante es nula, hallar la medida del ángulo “”.

a) 5° b) 10° c) 15° d)

20° e) 30°

22. Hallar el ángulo que forma la resultante con la vertical (b = 60, c = 20; a = 24).

a) 30° b) 45°

c) 53°

d) 37° e) 60°

23. Hallar el módulo del vector resultante:

a) L5 b) 7 L

c) L2

d) 4L e) cero

24. Halle el módulo del vector resultante:

EB

CD

AB

R

a) 1 b) 2 c) 3 d) 22 e) cero

25. En la figura se cumple que: 6 b a 5

x

 Hallar m/n a) 5 b) 1/5 c) 3 d) 1/3 e) 1/6

26. En a figura se cumple que:

3

a

B

A

2

Donde “a” es el radio de la circunferencia. Hallar:

B

A

a) a b) a3 c)

a

25 d) 3 7

a

e) 2 7

a

27. Marque la expresión incorrecta, considerando que los vectores:

d

,

c

,

n

y

e

, parten del origen.

a)

a

b

c

e

b) La componente “x” de:

c

4

e

d

c

b

a

c)

a

b

c

d

e

f

2

e

d)

a

b

e

c

e)

d

a

b

c

28. En el sistema de vectores representado en el esquema, se sabe que tienen las mismas unidades. En cada caso determine la expresión verdadera (V) y/o la falsedad (F). I)

1

B A B A

      II)

2

C B C B

     

III) Podemos efectuar la operación:

P

A

2

B

3

C

Pero no podemos efectuar:

A

D

3

B

C

Q

D A D A

   

 a) FVV b) VVF c) FFV d) VFF e) VFV

29. En el exágono regular de 6 m de lado. Hallar el módulo de

a

b

 

. a) 63 b) 123 c) 103 d) 12 e) 10

30. Respeto de las siguientes proposiciones, podemos afirmar:

I. Todos los vectores

concurrentes son coplanares. II. Si dos vectores son colineales

entonces son coplanares. III. El negativo de un vector

siempre tiene diferente dirección.

a) FVF b) FFV

c) FVV

(4)

31. Calcular la resultante de dos vectores de 3 y 4 unidades, si el ángulo que forman es:

 

3 2

ArcSen

a) 5 b) 6, 8 c) 5, 7 d) 4 e) 3, 6

32. Si: ABCD es un rombo: Hallar

BC

; si

CD

8

y

AF

20

a) 12 b) 8 c)

6 d) 14 e)

10

33. Dos vectores forman un ángulo de 113°, uno de ellos tiene 180 unidades de longitud y hace un ángulo de 53° con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector.

a) 23 b) 84

c) 156

d) 963 e) 482

34. La resultante de dos vectores cuando forman 90° y 150° son 10 y 6 respectivamente. ¿Cuál será la resultante cuando forman 30° entre si:

a) 7, 8 b) 10, 6

c) 11, 6

d) 12, 8 e) N.A.

03. La resultante de dos fueras iguales a “p” es 455 P. ¿Qué ángulo forman dichas fuerzas?.

a) 30° b) 37°

c) 45°

d) 53° e) 60°

04. Determinar la resultante del sistema de vectores mostrados. a) 5 a b) 7 a c) a d) 3 a e) 0

05. Hallar el valor de la fuerza resultante del sistema mostrado. a) 102 b) 52 c) 82 d) 42 e) 202

Los módulos de dos vectores son de 3 y 5 unidades, el módulo del vector diferencia está comprendido entre:

Rpta : ... 04. Dos fuerzas de igual intensidad forman un ángulo . ¿Qué relación guardan los módulos de la suma y la diferencia?.

Rpta : ... 05. El ángulo entre dos vectores es 150°, uno de ellos mide 10, halle el módulo del vector resultante sabiendo que es el mínimo posible.

Rpta : ... 06. Dos vectores coplanares y congruentes forman entre si un ángulo de 60°, y poseen una resultante que mide 35. Sabiendo además que uno de ellos es los 3/5 del otro, ¿cuál es la suma de los módulos de dichos vectores componentes?.

Rpta : ... 07. Se tienen dos vectores compuestos:

2

P

Q

y

3

P

Q

, que forman entre sí un ángulo de 53°, siendo sus módulos respectivos iguales a 15 y 7 unidades. ¿Cuál es el módulo del vector

P

?.

Rpta : ... 08. Determinar el módulo y dirección de la resultante total del conjunto de vectores mostrado.

Rpta : ...

09. Determinar el vector

x

en función de los vectores

A

y

B

. La figura es un paralelogramo.

Rpta : ...

10. Determínese el vector

x

en función de los vectores

A

y

B

(ver figura). Rpta : ... 11. Expresar el vector

x

en función de

a

y

b

si se sabe también que: AQ/QB = 2/3 ; AP/PC = 3/%

Rpta : ... 12. Si ABCDEF son los vértices de un exágono regular, determinar la resultante de los vectores mostrados.

Rpta : ... 13. Hallar la resultante delos vectores

mostrados.

Rpta : ... 14. Dados los siguientes vectores, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si f = 3, y d = 4, siendo f y d perpendiculares.

Rpta : ... 15. Hallar el módulo dela resultante de los

vectores.

Rpta : ... 16. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados, si el lado del exágono regular mide 63 cm.

Rpta : ... 17. Determinar

x

en función de

A

y

B

. Rpta : ... 18. Dos vectores coplanares y congruentes tiene una resultante que mide 74 unidades y su correspondiente vector diferencia mide 37 unidades. ¿Qué ángulo forman dichos vectores si se sabe además, que sus módulos son iguales?.

Rpta : ... 19. Dos vectores A y B cuyos módulos son 15 y 7 respectivamente, tiene un vector diferencia cuyo módulo es 20. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dichos vectores?. Rpta : ... 20. Determinar

x

 

y

en términos de

A

y

B

, sabiendo que PQRS es un cuadrado. Rpta : ... 21. Determinar una expresión vectorial para

x

en función de los vectores

A

y

B

, sabiendo que PQRS es un cuadrado.

2 2 2 2 2 2 10N 16 2N 143° 135° 14N

(5)

Rpta : ... 22. Calcular el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado A = 55 ; B = 252, C = 15.

Rpta : ... 23. Sabiendo que la resultante de los vectores mostrados es horizontal, se pide calcular el módulo del vector

C

. Además: A = 18 , B = 10.

Rpta : ... 24. Para el conjunto de vectores mostrado es horizontal, se pide calcular el módulo del vector

C

. Además P = 30.

Rpta : ... Dos vectores de módulos 5 y 3, tienen una resultante que mide 7. Se pide encontrar la medida del ángulo que forman dienos vectores.

a) 53° b) 60° c) 30° d)

45° e) 37°

08. Dos vectores miden A = 7 y B = 15. ¿Cuál será el módulo de su vector diferencia, si además se sabe que dichos vectores forman 127°?. (Cos 127 = -3/5)

a) 24 b) 25 c)

20 d) 18 e)

12

09. Expresar el vector

x

en términos de los vectores

A

y

B

M es punto medio. A M B x a)

x

A2B  

 b)

x

A2B  

 c)

B

A

x

d)

x

A

B

 2

e)

x

A

B

2

10. Determine el módulo del vector resultante. 30° y x 2 3 a) 7 b) 6 c) 13 d) 11 e) 3

11. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.

15 12 3 6 10 9 y x a) 7 b) 5 c) 10 d) 20 e) 3

12. Encuentre el módulo de la resultante en cada caso. 12.1. 12.2. 60° |8|= 3 |A|=5 B=8 A = 6 12.3. 12.4. 120° |B|=4 |A|=4 6 A 60° |B|= 7

13. Se tienen dos vectores de módulos A = 8 y B = 10. ¿Entre que vectores se encuentra

A

B

?. a) 3 y 10 b) 2 y 18 c) 8 y 18 d) 5 y 15 e) N.A.

14. La resultante máxima de dos vectores es 12 y la resultante mínima es 6, ¿Cuál es el módulo de cada vector?.

a) 9 y 2 b) 7 y 4 c) 3 y 9 d)

5 y 15

15. Dos vectores tienen una resultante mínima que vale 2 y una resultante máxima cuyo módulo es 8. Cuál es el módulo de la resultante de estos vectores cuando forman 60°?.

a) 5 b) 6 c)

7 d) 8 e)

9

16. Dos vectores colineales tienen una resultante de módulo iguala 14. Al girar 90° a uno de ellos, su nueva resultante tiene un nuevo valor igual a 10. ¿Cuál es el módulo del menor de ellos?.

a) 6 b) 7 c)

8 d) 9 e)

10

17. Determine el módulo de la resultante del siguiente conjunto de vectores ( = 30°).

5 5 5 5 5 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 10

18. Dado el sistema de vectores, encontrar el módulo del vector resultante.

10 6 23° 8 a) 310 b) 98 c) 103 d) 66 e) N.A.

19. Dos vectores coplanares

A

y

B

tienen el mismo módulo y se verifica que:

B

A

B

A

21

Luego, el ángulo que forman dichos vectores será:

a) 120° b) 127° c) 90° d)

60° e) 37°

20. Si “E” es el barientro del triángulo AOB y M punto medio. Escribir

x

en función delos vectores

a

y

b

. M A B O 6 a b x a)

x

a2b  

 b)

x

a3b  

 c) 4 a

x

 

 d)

x

a6b  

 e)

x

a2b  

21. Hallar el módulo del vector

A

B

2

3

, si

A

4

u

,

B

5

u

A B 37° a) 13 b) 213 c) 4 d) 7 e) N.A.

22. De la siguiente figura mostrada, determinar: 1 2

V

V

, si

V

1

V

2

V

V 30° 1 V2 30° a) V2V b) 2V c) V d) 13V e) N.A.

Determine la dirección de los vectores dados en cada caso.

2.1. La figura es un rectángulo ABCD cuyos lados miden

AB

 6

;

 8

BC

.

A

B

C

D

M

N

O

Rpta: ...

(6)

2.2. Con los datos del problema 2.1. halle el mòdulo de cada vector.

Rpta: ... 2.3. La figura muestra un cuadriculado

de 1 cm de lado c/u. Halle :

m

m

3. Grafique cada uno de los vectores, usando el plano cartesiano x – y. (puede usar cualquiera de los cuatro cuadrantes).

3.1.

a

= (12, 5) 3.2.

b

= (3, -1) 3.3.

c

= (15, 20) 3.4.

d

= (-7, 24) 3.5.

e

= (-4, -4) 3.6.

f

= (6 , - 7) 3.7.

g

= (-4 , 3)

4. En cada item del problema (3) halle el módulo delos vectores dados.

5. Dados los vectores dentro de un cuadriculado, expresa cada vector en forma de par ordenado.

c

a

f

d

g

b

e

1

1

6. Dados:

6

,

7

a

y

b

4

,

4

Hallar:

a

b

 

se lee: (el módulo del vector suma

a

b

 

) 7. Dados los vectores:

6

,

12

a

b

3

;

3

Halle:

a

b

 

8. Dados los vectores.

x

= (2, 5) ;

y

= (1, 2)

z

= (6, -4)

w

= (-3, -5) Hallar:

V

; si:

w

3

y

2

x

v

9. Del siguiente gráfico mostrado hallar:

C

B

A

A C B 1 1

10. Dado el hexágono regular. Halle el módulo de

x

. Lado el hexágono es 4 cm.

x

11. La figura es un trapecio. Halle el módulo del vector

p

.

5

9 p

12. La figura es un triángulo isósceles, determine el módulo de

Q

y

R

.

Q

R

A

B

C

La resultante de dos vectores es

2

3

7

2

. Calcular el ángulo que forman entre si, siendo sus módulos iguales: 3 y 5 respectivamente.

a) 37° b) 53°

c) 60°

d) 75° e) 15°

02. Calcular el módulo del vector resultante de los siguientes sistemas de vectores.

2.1. 10 32 8 45° 53° a) 23  b) 22  c) 2  d) 32  e) 1 2.2. 4 26 30° 60° x 23 42 y a) 23 b) 2 c) 3  d) 1 e) 1,5 

03. Determinar el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados en la figura, si A = 10; B = 10; C = 42. 135° 82° A B C a) 2 b) 22 c) 32 d) 42 e) 52

04. La figura es un hexágono regular de lado “m”. Hallar el módulo del vector resultante.

m

a) 2m b) m

c) m/2

d) 2,5 m e) 3 m

05. Si ABCD es un paralelogramo donde “M” y “N” son puntos medios de AB y BC respectivamente, hallar

x

en términos de

P

y

Q

. Q x P A M C N B

(7)

a)

x

2

P

Q

b)

P

Q

3

x

c)

x

 

P2Q  

 d)

P

Q

x

23

e)

x

32

P

Q

06. Calcular el valor de

A

y

B

, si el conjunto de vectores dan como resultante cero. 45° x 35 y 37° B a) A = 20 b) A = 15  c) A = 202 B = 10  B = 9  B = 25  d) A = 102  e) A = 40  B = 5  B = 30  07. Hallar el

A

B

C

en: 6 0 ° 6 0 ° A = 2 B = 4 C = 3  a) 13  b) 23  c) 33  d) 43  e) 6  08. En la figura mostrada se da un paralelepípedo rectangular, donde:

a

4

AB

,

AG

6

a

;

a

3

AF

. Calcular

R

, si

AF

AB

HG

AD

R

. A B C D E F H G a) 10 a b) 12 a c) 13 a d) 14 a e) 15 a

09. En la figura se sabe que el módulo de la resultante es igual a 15m. determinar “x”,

si “M” es punto medio del segmento

AB

y AC = 9m BD = 12 m. 9 A C a M D b x 12 B a) 16° b) 32° c) 48° d) 26° e) 64°

10. En el cuadrado PQRS, M y N son puntos medios. Hallar el vector

x

en función de los vectores

A

y

B

. B P M Q N R S A x a)

x

2

A

B

b) 3 B A 2

x

 c)

x

2A5B  

 d) 3 B A 2

x

 e)

x

2A3B  

03. Los módulos de dos vectores son de 3 y 5 unidades, el módulo del vector diferencia está comprendido entre:

Rpta : ... 04. Dos fuerzas de igual intensidad forman un ángulo . ¿Qué relación guardan los módulos de la suma y la diferencia?.

Rpta : ... 05. El ángulo entre dos vectores es 150°, uno de ellos mide 10, halle el módulo del vector resultante sabiendo que es el mínimo posible.

Rpta : ... 06. Dos vectores coplanares y congruentes forman entre si un ángulo de 60°, y poseen una resultante que mide 35. Sabiendo además que uno de ellos es los 3/5 del otro, ¿cuál es la suma de los módulos de dichos vectores componentes?.

Rpta : ... 07. Se tienen dos vectores compuestos:

2

P

Q

y

3

P

Q

, que forman entre sí un ángulo de 53°, siendo sus módulos respectivos iguales a 15 y 7 unidades. ¿Cuál es el módulo del vector

P

?.

Rpta : ... 08. Determinar el módulo y dirección de la resultante total del conjunto de vectores mostrado.

Rpta : ...

09. Determinar el vector

x

en función de los vectores

A

y

B

. La figura es un paralelogramo.

Rpta : ...

10. Determínese el vector

x

en función de los vectores

A

y

B

(ver figura). Rpta : ... 11. Expresar el vector

x

en función de

a

y

b

si se sabe también que: AQ/QB = 2/3 ; AP/PC = 3/%

Rpta : ... 12. Si ABCDEF son los vértices de un exágono regular, determinar la resultante de los vectores mostrados.

Rpta : ... 13. Hallar la resultante delos vectores

mostrados.

Rpta : ... 14. Dados los siguientes vectores, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si f = 3, y d = 4, siendo f y d perpendiculares.

Rpta : ... 15. Hallar el módulo dela resultante de los

(8)

Rpta : ... 16. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados, si el lado del exágono regular mide 63 cm.

Rpta : ... 17. Determinar

x

en función de

A

y

B

. Rpta : ... 18. Dos vectores coplanares y congruentes tiene una resultante que mide 74 unidades y su correspondiente vector diferencia mide 37 unidades. ¿Qué ángulo forman dichos vectores si se sabe además, que sus módulos son iguales?.

Rpta : ... 19. Dos vectores A y B cuyos módulos son 15 y 7 respectivamente, tiene un vector diferencia cuyo módulo es 20. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dichos vectores?. Rpta : ... 20. Determinar

x

 

y

en términos de

A

y

B

, sabiendo que PQRS es un cuadrado. Rpta : ... 21. Determinar una expresión vectorial para

x

en función de los vectores

A

y

B

, sabiendo que PQRS es un cuadrado.

Rpta : ... 22. Calcular el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado A = 55 ; B = 252, C = 15.

Rpta : ... 23. Sabiendo que la resultante de los vectores mostrados es horizontal, se pide

calcular el módulo del vector

C

. Además: A = 18 , B = 10.

Rpta : ... El periodo de un planeta que gira en orbita circular depende del radio dela órbita (R), de la masa de la estrella (M) y la constante H. Sabiendo que G es la constante de gravitación universal, hallar una fórmula empírica para el periodo.

Rpta : ...

Rpta : ... . Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.

A

 6

;

 8

B

. A B C D E F a) 10  b) 6  c) 18  d) 8  e) 2  02. Determine :

a

b

c

en: a b c x 1 a)

85

b)

17

c)

44

d)

19

e)

65

03. ¿Qué dirección presenta el vector

v

?. Donde:

C

B

A

V

A B C 10 6 a) 60° b) 30° c) 45° d) 90° e) 0°

04. La figura es una circunferencia y AB es diámetro de 10 cm. Hallar

D

C

B

A

30° O A B A B D C a)

6

21

b)

5

21

c)

4

21

d)

3

21

e)

21

05. Expresar el vector

x

en términos del vector

A

y del vector

B

. La figura es un paralelogramo, donde M y N son puntos medios. A x B A B C N E M a)

x

32

(

A

B

)

b)

)

B

A

(

x

32

c)

x

31

(

A

B

)

d)

)

B

A

(

x

31

e)

x

2A3B   

06. Las componentes rectangulares del vector resultante de los vectores mostrados es: y x a) Rx = 6() b) Rx = 3 () Ry = 3() Ry = 2() c) Rx = 2() d) Rx = 4() Ry = 4() Ry = 2() e) N.A.

07. Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados, según la figura.

2m 2m m m m m a) 2 m b) m c) 0 d) 2 m e) 2 2 m

08. Dado el cubo determine

R

si la arista del cubo es “a”.

z

x

y

a) a b) 2a c)

3a d) a2 e) a5

09. Dado el cubo determine el módulo del vector resultante.

(9)

z x y 2 a) 22 b) 2 c) 2 d) 4 e) 6

10. Si definimos vector unitario de un vector

A

, es aquel vector cuyo módulo es la unidad y que nos da la dirección y sentido de

A

, del siguiente modo:

A A A  

 

.

Decir si los vectores son o no unitarios.

10.1. 5 ) 4 , 3 (

a

 10.2. 2 1 , 3 (

b

10.3.

c

(

sen

.

cos

)

Nota: en trigonometría se cumple Sen2

+Cos2 = 1 10.4.

m

106

i

108

j

10.5.

n

2

i

2

j

FAST TEST 01. Determine el módulo de

R

2 6 a) 2 b) 6 c) 4 d) – 4 e) – 6

02. Dos vectores forman entre si un ángulo de 90°. ¿Qué módulo tiene su resultante?, si sus módulos son 53  y 5.

a) 5  b) 15  c) 10  d) 6  e) 103 

03. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A

3

y

B

5

. A B 60° M P N ( )

A

B

8

( )

A

B

7

( )

A

B

7

( )

MN

A

y

NO

B

( )

MO

A

B

Se tiene dos vectores de igual magnitud, que ángulo deben de formar para que la resultante sea igual a uno de ellos.

a) 30° b) 60° c) 90° d)

120° e) N.A

10. Hallar la resultante de los tres vectores. Si el radio de la circunferencia es 2 metros. O : centro a) 2 mt b) 4 mt c) 6 mt d) 8 mt e) Ninguna 11. Escribir;

x

en función de

a

y

b

a b x a)

a

b

 

b)

a

b

 

c) b2a    d) 2 b a  e) N.A 12. “R” es el módulo de la resultante de 2 vectores cuyos módulos son “P” y “2P” siendo el ángulo entre sus líneas de acción de 60°, las cuales actúan en un punto “O” . Un tercer vector de módulo “S” (2 > R) actúa en “O”. Si el máximo y mínimo valor de la resultante de todos los vectores es de 260 y 120, determinar “P”. a) 7 u b) 2 u c) 3 7 u d) 19 u e) 7 u 13. Se tienen 2 vectores

P

y

Q

tal que su resultante en módulo es igual a |P|. Los vectores

2

P

y

Q

dan como resultante un vector cuyo módulo es igual a

P

. Calcular el ángulo formado por

P

y

Q

y la relación en el cual se encuentran los módulos de

P

y

Q

a) 150°, 3/3 b) 150°, 3 c) 120°, 3/3 d) 120°, 3 e) Imposible

14. Si la resultante de los 3 vectores coplanares mostrados en cero, hallar el módulo del vector “Q” sabiendo que, P = 7 , R = 5,  = 60°

a) 2 b) 3 c)

4 d) 5 e)

6

15. Si los puntos: A(5, 2) , B(1, -2), forman en el plano xy un triángulo rectángulo, recto en B. Hallar la ordenada del punto “C”.

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) N.A

16. Dados los vectores: a = 20 i + 6j b = (p2 + q2) i + (pq) j / a > b y siendo

a

2

b

 

a) p = 3 b) p = 4 c) p = 3 q = 3 q = 2 q = 1 d) p = 4 e) N.A. q = 1

17. Determinar la suma de 3 vectores a, b y c en donde a = 5i + 10j + 7k, b es un vector de módulo 25, que hace un ángulo de 37° con la dirección positiva del eje z y cuya componente en el plano xy hace un ángulo de 53° con la dirección positiva del eje x.c es un vector en el plano xy que forma un ángulo de 45° con la dirección positiva del eje x, está dirigido dirigido

alejándose del origen y cuya magnitud es 122. a) 26 i + 34 j + 27 k b) 26 i + 27 j + 34 k c) 27 i + 34 j + 26 k d) 34 i + 26 i + 27 k e) N.A.

18. Dados tres vectores: a = 6 i + 3 j – k b = 2 i + 3 j + k c = 5 i + 4 j – 2k Calcular: 3a + 2b – 4c a) 2i + j – 7k b) 2i + 7j – k c) 2i – j + 7k d) 2 i + j + 7k e) N.A.

19. El vector de módulo 6 unidades, que hace un ángulo de 60° con el eje z ( + ) y de 120° con el x ( - ), es 1. a) 3 2 i + 3j + 3k b) 3i + 3j + 32 k c) –3i + 33 j + 3 k d) 3 i + 32 j + 3 k e) F.D.

20. Hallar la resultante de: A + B + C + D :

a) 4i + 10 j b) –4i + 10 j c) 2i + 5 j

d) 2 i – 5 j e) Ninguna 21. Hallar el módulo del vector resultante de

los vectores P, Q, S, T si:

P = 300 v Q = 100 v S = 340 v T = 202 v a) 350 v b) 450 v c) 400 v d) 500 v e) 560 v

22. Hallar los cosenos directores del vector v, sabiendo que el punto “M” equidista de “A” y “a”.

a) cos  = 38, cos = 38 , cos  = 38/6

b) cos  = 38, cos = 38 , cos  = -38/8

c) cos  = 38, cos = 38 , cos  = -38/6

d) cos  = 38, cos = 36 , cos  = 38/6

e) N.A.

23. Hallar la expresión vectorial de la fuerza resultante si F = 25xg y T = 30 kg.

a) 10 i + 10 j + 20 k b) 10 i + 10 j

(10)

c) 40 i – 15j + 25 k d) 6 i – 15 j + 25 k

e) 5 i – 40 j + 20 k

Dos vectores de la misma naturaleza poseen módulos A = 6 y B = 10 formando entre sí un ángulo . Determinar la medida del ángulo , si su resultante es R = 14.

Rpta: ...

02. Dado los vectores

A

,

B

,

C

y

D

de módulo 10, 15, 5 y 5 respectivamente. D A B C 53° Rpta: ... 03. Dos vectores

A

y

B

tienen una resultante máxima de 16 y una mínima de 4. ¿Cuál será el módulo de la resultante de dichos vectores cuando estos formen 127° entre sí?.

Rpta: ...

04. Determinar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados si: A = 10 y D = 6 A B C D 60° Rpta: ...

05. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.

A

 10

,

 10

B

. A B 60° 60° Rpta: ...

06. Determine el módulo de

a

 

b

, si:

3

a

y

b

5

.

30° 120°

a b

Rpta: ...

07. Determínese el vector

x

en función de los vectores

A

y

B

. La figura es un paralelogramo. A x B Rpta: ... 08. Expresar

x

en función de

A

y

B

, si ABCD es un paralelogramo (M y N son puntos medios). A N x M B Rpta: ...

09. Determine el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados, sabiendo que

PM

2

,

MQ

7

y

1

MS

. P Q M S 60° Rpta: ...

10. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.

a

b

e

d c

Rpta: ...

11. Hallar las componentes del vector

A

de módulo 6 . 53° A y x Rpta: ...

12. Determine

v

en base al conjunto de vectores mostrados, sabiendo que:

s

d

m

q

p

v

d m s q p Rpta: ...

13. Hallar

A

B

siendo los vectores inscritos en un rectángulo, cuyos lados miden 4 cm y 2 cm.

A B

2cm

Figure

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