• •
D
D
i
i
f
f
e
e
r
r
e
e
n
n
c
c
i
i
a
a
r
r
u
u
n
n
a
a
r
r
e
e
g
g
l
l
a
a
d
d
e
e
t
t
r
r
e
e
s
s
s
s
i
i
m
m
p
p
l
l
e
e
d
d
e
e
u
u
n
n
a
a
c
c
o
o
m
m
pu
pu
e
e
s
s
t
t
a
a
.
.
D
D
is
is
t
t
in
in
g
g
ui
ui
r
r
la
la
ma
ma
g
g
ni
ni
t
t
u
u
d
d
de
de
pe
pe
nd
nd
i
i
en
en
t
t
e
e
de
de
la
la
s
s
independientes.
independientes.
• •O
O
r
r
g
g
a
a
n
n
i
i
z
z
a
a
y
y
a
a
p
p
l
l
i
i
c
c
a
a
e
e
s
s
t
t
r
r
a
a
t
t
e
e
g
g
i
i
a
a
s
s
p
p
a
a
r
r
a
a
s
s
o
o
l
l
u
u
c
c
i
i
o
o
n
n
a
a
r
r
problemas.
problemas.
• •R
R
e
e
c
c
o
o
n
n
o
o
c
c
e
e
l
l
a
a
s
s
d
d
i
i
f
f
e
e
r
r
e
e
n
n
c
c
i
i
a
a
s
s
e
e
n
n
t
t
r
r
e
e
u
u
n
n
a
a
r
r
e
e
g
g
l
l
a
a
d
d
e
e
t
t
r
r
e
e
s
s
di
di
r
r
ec
ec
t
t
a
a
e
e
in
in
v
v
er
er
sa
sa
.
.
• •A
A
p
p
l
l
i
i
c
c
a
a
e
e
l
l
m
m
é
é
t
t
o
o
d
d
o
o
d
d
e
e
l
l
a
a
r
r
e
e
g
g
l
l
a
a
d
d
e
e
t
t
r
r
e
e
s
s
e
e
n
n
l
l
a
a
s
s
o
o
l
l
u
u
c
c
i
i
ó
ó
n
n
d
d
e
e
pr
pr
ob
ob
le
le
ma
ma
s
s
de
de
co
co
n
n
t
t
e
e
xt
xt
o
o
r
r
ea
ea
l.
l.
•
•
E
Ess u
un
n m
mé
étto
od
do
o e
en
n e
ell ccu
ua
all iin
ntte
errvviie
en
ne
en
n ttrre
ess vva
allo
orre
ess cco
on
no
occiid
do
oss yy u
un
na
a
incógnita
incógnita
,,
d
dó
ón
nd
de
e
sse
e
p
pu
ue
ed
de
e
e
esstta
ab
blle
ecce
err
u
un
na
a
rre
ella
acciió
ón
n
((
proporcionalidad
proporcionalidad
)) e
en
ntr
tre
e lo
loss vval
alo
orres
es..
tarda tarda
Si
Si
en
en
recorrer
recorrer
8
8
m
m
10
10
s
s
tardará tardaráEn recorrer 72 m
En recorrer 72 m
XXs
s
REGLA DE
REGLA DE
TRES
TRES
Simple
Simple
Directa
Directa
Inversa
Inversa
Compuesta
Compuesta
•
Cuando intervienen dos magnitudes directamente proporcionales:
A
B
D.P.
N° de huevos Costo (S/.)
Ingreso que reciben las familias al mes (S/.) Consumo de bienes y servicios de primera necesidad N° de Horas trabajadas Salario (S/.)
Precio de venta de un televisor Unidades de producción para el empresario Riesgo de las acciones Utilidad
A
B
D.P. N° de huevos Costo (S/.)
∗ =
∗
Despejando x:
=
∗
1.
En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 g
de sal?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
50 litros de agua de mar
1300 g de sal
X litros de
agua
de mar
5200 g de sal
50 ∗ 5200 = ∗ 1300
→
200 =
50 ∗ 5200
2. En el mercado cambiario el dólar se cotiza en S/. 3.269 la venta. Un empresario
requiere de un millón de dólares para la adquisición de maquinas. ¿Cuántos soles
necesitará el empresario retirar del banco?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
1 Dólar
S/. 3.269
1 000 000 dólares
x
1 ∗ = 1000000 ∗ 3
.269
→
=
1000000 ∗ 3.269
1
2. Inicialmente un consumidor compra 40 artículos al precio de S/. 5. Si el
consumidor aumentase el número de artículos a 80. Cuánto sería el gasto en que
incurriría el consumidor?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
40 artículos
S/. 5
x
40 ∗ = 5 ∗ 80
→
80 artículos
X=
∗
•
Cuando intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales:
A
B
N° de obreros N° de días
Precio de las entradas al cine (S/.) Visitas al cine para ver una película Velocidad Tiempo en recorrer una distancia
I. P.
Altas tasas de interés de una tarjeta de crédito Menor Número de tarjetas de crédito Utilidad neta después de impuestos Impuestos
A
B
N° de obreros N° de días
∗ =
∗
Despejando x:
=
∗
I. P.
1. Cien obreros emplean 45 días para hacer una obra. ¿ Cuántos días emplearán 225
obreros para hacer la misma obra?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando:
100 obreros 45 días
225 obreros X
100 ∗ 45 í = ∗ 225
→
∗
2. Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demorarán 18 días para
terminar una obra, trabajando 6 horas diarias, ¿ en cuántos días terminarán la
misma obra?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando:
10 horas diarias 18 días
6 horas diarias X
3. Una guarnición de 1300 hombres tienen víveres para 120 días. Si se desea que los
víveres duren 10 días más. ¿Cuántos hombres habría que retirar de la guarnición?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
1300 hombres 120 días
x
130 días•
Cuando intervienen mas de dos magnitudes directamente
proporcionales:
A
B
I. P.A
B
D. P.Método práctico:
“La ley de los Signos”
Se colocan los valores correspondientes a la misma magnitud uno debajo de otro, a continuación se
comparan cada par de magnitudes proporcionales con el par que contiene a la incógnita; para saber
si son directa o inversamente proporcionales con la incógnita y:
Si son directamente proporcionales:
Arriba
-Abajo +
Si son inversamente proporcionales:
Arriba +
Abajo
-El valor de la incógnita viene dado por un quebrado cuyo numerador es el producto de todas las
cantidades afectadas del signo ( + ) y cuyo denominador es el producto de las cantidades afectadas del
signo ( - ) en todos los problemas sin excepción, el valor numérico que es de la misma especie que la
incó
it ll
á si
( +)
1. Para pavimentar 180 metros de pistas, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos
días se necesitan para pavimentar 120 metros de la misma pista con 4 obreros
menos?
180 metros --- 18 obreros --- 21 días
120 metros --- (18-4) obreros --- X 180 metros 120 metros 18 obreros 14 obreros 21 días X
D
I
180 metros 120 metros 18 obreros 14 obreros 21 días X
D
I
-+
+
-+
=
120 ∗ 18 ∗ 21 í
180 ∗ 14
= 18 í
2. Para hacer una zanja de 30 metros de largo por 10 de ancho, 15 obreros han
trabajado 6 días a razón de 12 horas diarias. ¿Cuántos días trabajarán 18 obreros a 9
horas diarias en hacer una zanja de 45 metros de largo por 20 de ancho?
30 metros largo ---10 metros de ancho --- 15 obreros --- 6 días --- 12 h diarias
30 m larg 45 m larg 10 m ancho 20 m ancho 6 días X
45 metros largo ---20 metros de ancho --- 18 obreros --- X --- 9 h diarias
15 obreros 18 obreros
12 h diaria 9 h diaria
30 m larg 45 m larg 10 m ancho 20 m ancho 6 días X 15 obreros 18 obreros 12 h diaria 9 h diaria
+
D
I
-+
+
-D
-+
I
+
- =
45 ∗ 20 ∗ 15 ∗ 6 ∗ 12
30 ∗ 10 ∗ 18 ∗ 9
=
972000
48600
= 20 í
f) Los Kg de carne que compro y lo que
Cuáles son directamente o indirectamente proporcionales:
a)El número de minutos que hablo por teléfono y el coste de
llamada.
b) La estatura y el peso de una persona
c) Los Km que circulo con el coche y la gasolina que
consumo
d) Cantidad de obreros versus días en que se demoran
para realizar una obra
e) El número de Km que circulo y el tiempo que tardo en
recorrerlos
bajemo en lase
D P
D P
D P
I P
D P
1. Sabiendo que la eficiencia de A es 75% y que la eficiencia de B es 60% ¿ en cuántos días harán
juntos una obra, si la misma puede ser hecha por B, trabajando solo en 18 días.
El valor de la incógnita se obtiene identificando el tipo de relación de las dos magnitudes y desarrollando :
75% 60%
75 ∗ = 60 ∗ 1
8
→
X 18 días B A =
=14.4 días
A realiza la obra en 14.4 días
1
2
3
4
14.4
día=
obra14.4 í_______1
1 í_______
Operando la regla de tres simple directa:
14.4 ∗ = 1 ∗ 1
=
.
=0.069444444=0.069
4
Decimal periódico mixto0.0694
Parte entera Parte decimal
Periodo
=
−
=
=
B realiza la obra en 18 días
1
2
3
4
18
día=
obra18 í_______1
1 í_______
Operando la regla de tres simple directa:
18 ∗ = 1 ∗ 1
=
=0.05555=0.0
5
Decimal periódico mixtoParte entera Parte decimal
Periodo
=
5 0
90
=
5
90
0.05
A en un día de trabajo avanza
de la obra
B en un día de trabajo avanza
de la obra
A y B en un día de trabajo avanzarán:
=
+
=
de la obra
1 día ---
X ---
1
Relación directa:1 ∗ 1 = ∗
9
72
X=
= 8í
2. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3 m de largo tarda 5 días en
comer toda la hierba que encuentra a su alcance ¿cuánto tardará si la
cuerda fuera de 6 m?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
3
m
5
días
6 m
X
6 ∗ 5 = ∗ 3
→
10 í =
6 ∗ 5
3
=
2. Un reloj actualmente marca la hora exacta, es decir 6:00 p.m. Si éste se adelanta
3 minutos cada media hora. ¿Qué hora marcará más tarde cuando la hora exacta
sea 9:50 p.m.?
Adelanta 3 minutos
30 minutos (o media hora)
Adelantado x
230 minutos
Cuántos minutos han pasado desde las 6:00 p.m hasta las 9:50 p.m.
6:00 7:00 8:00 9:00 9:50
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
30 ∗ = 230 ∗ 3
→
=
230 ∗ 3
30
→
= 23
3. Una obra pueden terminarla 63 obreros en 18 días, pero deseando
terminarla 5 días antes, a los 4 días de trabajo se les une cierto número de
obreros de otro grupo. ¿Cuántos obreros se les unieron?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
63
obreros
18
días
63 + x obreros
(18-5-4) días
63 18 = (63 ) 9
63 ∗ 18
63
Terminar en 18 días
Donde x: grupo de obreros que se incorporaron
4. Se contrató a 15 obreros para hacer una obra en 40 días trabajando 8 h/d, pero al
término de 5 días se retiran 5 obreros y los restantes continúan trabajando 15 días a
razón de 7 h/d. ¿Qué fracción de la obra falta terminar?
15 obreros---40 días--- 8 h/d --- 1 obra
15 obreros 10 obreros 40 días 15 días 1 obra X obra
(15-5) obreros ---(15 días) --- 7 h/d --- X obra
8 h/d 7 h/d
+
D
-+
=
10 ∗ 15 ∗ 7 ∗ 1
15 ∗ 40 ∗ 8
=
=
=
25
15 obreros 10 obreros 40 días 15 días 1 obra X obra 8 h/d 7 h/dD
-+
D
-+
Qué fracción de la obra falta terminar (y):
= 1
7
32
=
32 7
32
=
25
32
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus
respuestas:
a) La “reglade tres”se aplica en problemas donde se trata de encontrar una cantidad dado que se conocen otras dos relaciones
b) La “regla de tres”debe aplicarse cuando las cantidades no se relacionan de manera proporcional.
c) Cuando tenemos una situación donde intervienen 2 magnitudes inversamente proporcionales se puede aplicar la regla de tres simple inversa.
d) En una regla de tres compuesta intervienen solo 2 magnitudes que pueden ser directamente o inversamente proporcionales.
e) La cantidad de obreros y los días en que demoran en realizar una obra correspondiente a una regla de tres simple directa.
Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado S/.60, ¿cuánto cobrará
por 8 horas?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
3 Horas
S/. 60
8 Horas
x
3 ∗ = 8 ∗ 60
→
=
8 ∗ 60
3
Tres obreros descargan un camión en dos horas
¿cuánto tardarán dos obreros?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
3 obreros 2 horas
x
2 obreros
2 ∗ = 3 ∗ 2
→
=
3 ∗ 2
Trescientos gramos de queso cuestan S/.6, ¿cuántos
gramos de queso podré comprar con S/4.50?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
300 gramos
S/. 6.0
S/. 4.5
x
60 ∗ = 300 ∗ 4.5
→
= 22.5
=
300 ∗ 4.5
60
Un granjero recoge diariamente 254 huevos en 2
días, ¿cuántos huevos recogerá en una semana?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
254 huevos
2 días
7 días
x
2 ∗ = 254 ∗ 7
→
= 889 ℎ
=
254 ∗ 7
2
Un transportista carga 1480 kilos de fruta cada 5
horas, ¿cuánto carga durante 48 horas?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
1480 kilos
5 horas
48 horas
x
5 ∗ = 1480 ∗ 48
→
= 14208
=
1480 ∗ 48
5
Un camión a 60 Km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto
recorrido, ¿cuánto tardará un coche a 120 Km/h?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
60 km/h 40 minutos
x
120 km/h
120 ∗ = 60 ∗ 40
→
=
60 ∗ 40
Por 5 días de trabajo he ganado S/390, ¿cuánto
ganaré por 18 días?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
5 días
S/. 390
18 días
x
5 ∗ = 18 ∗ 390
→
= 1404
=
18 ∗ 390
5
Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20
minutos, ¿cuántas botellas llenará en hora y media?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
240 botellas
20 minutos
90 minutos
x
20 ∗ = 240 ∗ 90
→
= 1080
=
240 ∗ 90
20
Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la
distancia entre dos pueblos, ¿qué velocidad ha de llevar para hacer el
recorrido en 16 minutos?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
100 km/h 20 minutos
x
16 minutos16 ∗ = 100 ∗ 20
→
=
100 ∗ 20
Un corredor de maratón ha avanzado 2.4 km en los 8 primeros
minutos de su recorrido. Si mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en
completar los 42 km del recorrido?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
2.4 km
8 minutos
42 km
x
2.4 ∗ = 42 ∗ 8
→
=
42 ∗ 8
Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar
cierta cantidad de arena, ¿Cuántos viajes necesitara hacer para
transportar la misma arena un camión que carga 5 toneladas?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
3 toneladas 15 viajes
x
5 toneladas
5 ∗ = 3 ∗ 15
→
=
3 ∗ 15
Un ganadero tiene 20 vacas y forraje para alimentarlas
durante 30 días, ¿Cuánto tiempo le durara el forraje si se
mueren 5 vacas?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
20 vacas 30 días
x
15 vacas
15 ∗ = 20 ∗ 30
→
=
20 ∗ 30
En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días,
¿para cuantos días habrá comida si se incorporan 5 niños?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
25 niños 30 días
x
30 niños
30 ∗ = 25 ∗ 30
→
=
25 ∗ 30
Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir
un pedido en 6 días, ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar
para servir el pedido en 3 días?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
8 horas 6 días
x
3 días3 ∗ = 8 ∗ 6
→
=
8 ∗ 6
Por enviar un paquete de 5 Kg de peso a una población que está a 60 km de distanci
una empresa de transporte me ha cobrado $ 9, ¿cuánto me costará enviar un
paquet
de 15 kg a 200 km de distancia?
5 kg --- 60 km --- $ 9 15 kg --- 200 km--- X 5 kg 15 kg 60 km 200 km $ 9 XD
-+
+
=
15 ∗ 200 ∗ 9
5 ∗ 60
= $ 90
D
-+
Una pieza de tela de 2,5 m de largo y 80 cm de ancho cuesta S/. 30,
¿Cuánto costara otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de largo
y 1.2 m de ancha?
2.5 m --- 0.8 m --- S/. 30 3.0 m --- 1.2 m --- X 2.5 m 3.0 m 0.8 m 1.2 m S/. 30 XD
-+
+
=
3.0 ∗ 1.2 ∗ 30
2.5 ∗ 0.8
D
-+
Cinco máquinas embotelladoras envasan 7200 litros de aceite en una hora,
¿Cuántos litros envasaran 3 maquinas en dos horas y media?
5 maquinas --- 7200 litros --- 1.0 hora
3 maquinas --- X --- 2.5 horas 5 maquinas 3 maquinas 1.0 hora 2.5 horas 7200 litros X
D
-+
+
=
3.0 ∗ 7200 ∗ 2.5
5.0 ∗ 1
= 10800
D
-+
Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días,
¿Cuánto tardaran en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10
horas diarias?
12 obreros --- 8 h/d --- 25 días 05 obreros --- 10 h/d --- X 12 obreros 05 obreros 8 h/d 10 h/d 25 días XI
+
-+
=
12 ∗ 8 ∗ 25
5 ∗ 10
I
+
-Cincuenta terneros consumen 4200 kg de alfalfa a la semana,
¿Cuántos kg de alfalfa se necesitaran para alimentar a 20 terneros
durante 15 días?
50 terneros --- 4200 kg --- 7 días 20 terneros --- X --- 15 días 50 terneros 20 terneros 7 días 15 días 4200 kg X+
=
20 ∗ 4200 ∗ 15
50 ∗ 7
D
-+
D
-+
Dos albañiles han tardado 15 días en construir un muro de 30
metros de largo por 3 de ancho, ¿
Cuántos
albañiles habrá
que contratar para construir otro muro igual en 5 días?
2 albañiles --- 15 días --- 30 metros --- 3 metros
15 días 5 días 2 albañiles X
+
I
-+
X --- 5 días --- 30 metros --- 3 metros
5 ∗ = 2 ∗ 15
→
=
2 ∗ 15
Seis bolígrafos cuestan 3,6 euros, ¿cuánto costarán 10 bolígrafos?
bolígrafos
cuestan
euros
6
3,6
10
x
b o l í g r a f o s e u r o smagnitudes
6
3,6
10
x
Se trata de una regla de tres directa porque
a más bolígrafos más euros y a menos,
menos
eurospagaremos.
Proporciones
2) Para obtener 3 litros de un excelente coctel son necesarios
2 botellas de pisco peruano. ¿Cuántas botellas se
necesitarán para obtener 9 litros del mismo cóctel?.
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
3 lt de coctel 2 botellas de pisco
x
3 ∗ = 9 ∗ 2
→
= 6
9 lt de coctel
Acudir a la biblioteca de la Universidad y consultar los libros mencionados en
el sylabus.
Páginas web y biblioteca para consultar y reforzar
conocimientos
•
Representar porcentajes en forma de
fracción y número decimal.
•
Determinar el tanto por ciento de una
cantidad.
•
Aplicar Técnicas operativas personales
o
convencionales
al
calcular
porcentajes.
Tanto por cuanto
En algunos casos es necesario dividir lo que tenemos en partes iguales para
hacer una distribución de las mismas
Por ejemplo tenemos
el 3 por 10
de una cantidad, significa que a esta la
dividimos en 10
partes iguales
y tomamos 3 de estas partes:
Tanto por ciento
El tanto por cuanto mas utilizado
el que divide al todo en 100 partes iguales
y al
que se le denomina tanto por ciento.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9
=
24%
1 2 3 4 5 6 2 3 4Se lee 24 por
ciento
Ejemplos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
=
30%
Se lee 30 por ciento
1 2 3 4 5 6 2 3 4 5
% = % =
*N
Tanto por ciento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9
=
56%
Se lee cincuenta y seis por
ciento
1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8El
20% :
×
=
=
El
75% :
×
=
=
El
100% :
×
=
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
380
100%
x
133
380 ∗ = 133 ∗ 100%
→
= 35%
=
133 ∗ 100%
380
Qué porcentaje es 133 de 380?
El valor de la incógnita se obtiene desarrollando el aspa simple:
520
65%
100%
x
520 ∗ 100% = 65 ∗
→
= 800
=
520 ∗ 100%
65%
Los porcentajes se pueden sumar o restar si son referidos a una misma
cantidad
20% 50% 5% = 75%
10% 15% = 25%
Si una cantidad aumenta en su 18% tendremos ahora 118% de la
cantidad
Si una cantidad disminuye en su 21% tendremos ahora (100%-21%=79%)
de la cantidad
¿Cuánto queda si una cantidad x ...?
Literal
Simbólico
Decimal
Disminuye en 10%
Disminuye en 40%
Disminuye en 42%
Disminuye en 35%
Aumenta en 10%
Aumenta en 30%
Aumenta en 15%
Aumenta en 23%
90% x
110% x
130% x
65% x
115% x
58% x
123% x
60% x
0,90 x
1,10 x
1,30 x
0,65 x
1,15 x
0,58 x
1,23 x
0,60 x
100%
x -10%
x100%
x -40%
x100%
x +10%
x100%
x +30%
x100%
x -35%
x100%
x +15%
x100%
x -42%
x100%
x +23%
xZapping de % ...
Disminuye en 63%
Queda 0,37x
Disminuye en 35%
Si en una reunión el 42% del total son mujeres, entonces el porcentaje
de hombres será 100%-42%=58% del total.
×
×
800
= 24
Cuando se tenga porcentaje de porcentaje, una forma práctica es
convertir cada uno a fracción y luego se efectúa la multiplicación
¿Qué nos dice la
siguiente figura?
¿Estos descuentos equivalen a
un descuento único del 70%?
APLICACIONES
AUMENTOS SUCESIVOS
Ejemplo:
Si el precio de un televisor es 240 dólares y sufre dos aumentos
sucesivos del 20% y 25% respectivamente ¿Cuál será su nuevo
precio?
Solución:
20% 240 =
20
100
× 240 = 48
= 240 48 = 288
GENERALIZANDO AUMENTOS SUCESIVOS
Dos aumentos sucesivos de
%
%
equivalen a
un aumento único de:
=
×
100
%
Ejemplo: Dos aumentos sucesivos del 25% y 40% equivalente a un único aumento
de:
= 25 40
×
Si una cantidad aumenta en 25% y luego en 15%, ¿qué
porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de aumento
único equivalente a los dos aumentos anteriores?
Aumento único del 43,75%
Ejemplo
Solución:
Aumentos sucesivos
=
×
100
%
= 25 15
×
%
=43.75%
DESCUENTOS SUCESIVOS
Ejemplo:
Si al precio de una grabadora que es 300 dólares se le hacen dos
descuentos sucesivos del 20% y 10% ¿Cuál será su nuevo precio?
Solución:
20% 300 =
20
100
× 300 = 60
= 300 60 = 2
40
GENERALIZANDO DESCUENTOS
SUCESIVOS
Dos
DESCUENTOS
sucesivos de:
%
%
equivalen a
un descuento único de:
D
=
×
%
Ejemplo: Dos descuentos sucesivos del 20% y 20% equivalente a un único
descuento de:
D
= 20 20
×
Ejemplo
Una cantidad disminuye en 30% y luego en 10%. ¿Qué
porcentaje queda de dicha cantidad? ¿Cuál es el porcentaje de
descuento único equivalente a los dos descuentos anteriores?
Equivale a un descuento único de 37%
Solución:
Descuentos sucesivosD
=
×
%
D
= 30 10
×
%
=37%
Variaciones Porcentuales
Cuando se analizan las variaciones, por ejemplo geométricas,
se puede asumir un
número apropiado a cada elemento geométrico que facilita su cálculo
, luego se aplica
una regla de tres simple directa, para obtener la variación porcentual equivalente.
El porcentaje de variación entre dos números se calcula restando el primer número del
segundo número, dividiendo entre el primer número, y multiplicando por 100. Esta es la
fórmula para calcular el porcentaje de variación:
ó =
ú 2 ú1
Ejemplo: si el lado de un cuadrado aumenta
en 20%, en que porcentaje aumenta su área
ó =
Á2 Á1
Á1
× 100%
=
20%
=
20
100
=
+
=
120
100
= 1.2
1.2
= 1.2
ó =
1.2
× 100%
=
1.44
100% =
0.44
100%
TRAB
TRAB
AJO EN CL
AJO EN CL
ASE
ASE
Ejercicios de
Ejercicios de
Descuentos y
Descuentos y
Aumentos únicos.
Aumentos únicos.
Lo que aprendimos hoy
Lo que aprendimos hoy
¿20 qué porcentaje es de 200?
¿20 qué porcentaje es de 200?
¿Cuánto queda si disminuye en 72% ?
¿Cuánto queda si disminuye en 72% ?
¿Qué porcentaje es 156 de 120?
¿Qué porcentaje es 156 de 120?
Rpta:
Rpta:
Es
Es
el
el
10%
10%
Rpta:
Rpta:
Es
Es
el
el
130%
130%
Rpta:
Rpta:
Queda
Queda
el
el
28%
28%
S
S
i
i
e
e
l
l
p
p
r
r
e
e
c
c
i
i
o
o
d
d
e
e
u
u
n
n
a
a
r
r
t
t
i
i
c
c
u
u
l
l
o
o
s
s
u
u
f
f
r
r
e
e
d
d
o
o
s
s
d
d
e
e
s
s
c
c
u
u
e
e
n
n
t
t
o
o
s
s
s
s
u
u
c
c
e
e
s
s
i
i
v
v
o
o
s
s
d
d
e
e
l
l
2
2
5
5
%
%
y
y
d
d
e
e
l
l
2
2
0
0
%
%
¿
¿
E
E
s
s
t
t
o
o
s
s
d
d
e
e
s
s
c
c
u
u
e
e
n
n
t
t
o
o
s
s
e
e
q
q
u
u
i
i
v
v
a
a
l
l
e
e
n
n
a
a
u
u
n
n
d
d
e
e
s
s
c
c
u
u
e
e
n
n
t
t
o
o
ú
ú
n
n
i
i
c
c
o
o
d
d
e
e
l
l
4
4
5
5
%
%
?
?
Rpta: Falso.
Rpta: Falso.
Por que equivalen aun descuento único del
Por que equivalen aun descuento único del
40%
40%
Video de otro error
Temas para la evaluación parcial:
Temas para la evaluación parcial:
Lógica matemática
Lógica matemática
Teoría de conjuntos
Teoría de conjuntos
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
Regla de tres
Regla de tres
Porcentajes
Porcentajes
REPASO:
REPASO:
Lógica matemática
Lógica matemática
p y q son proposiciones
p y q son proposiciones
p
p
q Conjunción
q Conjunción
p
p
q Disyunción
q Disyunción
p
p
q Disyunción e
q Dis
yunción exclusiva:
xclusiva: o
o o
o
p
p
q Condicional
q Condicional
p
p
q
q
Bicondicional
Bicondicional
p
p
q
q
V
V V
V
V
V FF
F
F V
V
F
F FF
p
p
q
q
V
V
FF
FF
FF
p
p
q
q
V
V
V
V
V
V
FF
p
p
q
q
V
V
FF
V
V
V
V
p
p
q
q
V
V
FF
FF
V
V
p
p
q
q
FF
V
V
V
V
FF
Val
Elaborar la tabla de verdad:
(
p
→
∼
q
) →(
∼
p
∧ ∼
r
)
p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V FOperamos primero los paréntesis y vamos de izquierda a derecha
p V V V V F F F F q F F V V F F V V → F F V V V V V V F F F F V V V V r F V F V F V F V F F F V F V F V → V V F V F V F V p