1 4to. Año - IV Bim
( perímetro ) de la base PARALELEPÍPEDO O RECTOEDRO A2(abacbc) d a2b2c2 V = abc A: área Total D: diagonal V: volumen Prisma Recto A L = h A T = SBase + A L V = SBase . h CILINDROS
Llamado también cilindro de revolución es el sólido generado por una región rectangular que gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados.
I. FÓRMULAS PRINCIPALES PARA UN
CILINDRO CIRCULAR RECTO
1. área de la superficie lateral (SL)
2. área de la superficie total(ST)
3. Volumen (V) ST = 2R(g+R) SL = 2Rg V = R2g h = g Rectángulo generador R Eje de giro Rectángulo generador g R g
2 4to. Año - IV Bim
EJERCICIOS Bloque I
01.- Hallar “x”.Si el AL = 108cm2 02.- Hallar “x”, en el prisma Prisma regular regular, si AL= 576cm2
03.- Hallar “x”. Si el área total 04.- Hallar “x”. Se tiene un del rectoedro es 292cm2 prisma recto de base AED.
BF
FC. V = 72cm305.- Hallar “x”, en el prisma 06.- Hallar “x”, en el prisma regular, si el V = 144
2
cm3 recto. ABCD: prisma recto3 4to. Año - IV Bim
Bloque II
Hallar en cada caso el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes sólidos
01.- 02.-
x = 2 x = 8 r = 3
03.- 04.-
4 4to. Año - IV Bim
I. PIRÁMIDE REGULAR
Una pirámide es regular si sus aristas laterales son congruentes y su base es un polígono regular. En toda pirámide regular el pie de su altura coincide con el centro de su base y la perpendicular trazada desde su vértice a cualquiera de las aristas básicas se denomina apotema.
1. Notación: Pirámide V – ABCD
2. Características:
VA
VB
VC
VD
La base ABCD es un polígono regular 3. Elementos:
Altura: VO(O es centro de la base)
Apotema: VH (VHCD)
Base: ABCD (cuadrado)
Apotema de la base:
OH
4. Fórmulas básicas
A. Área de la superficie lateral (SL)
B. Área de la superficie total (ST)
C. Volumen
II. CONO CIRCULAR RECTO
Se denomina cono circular recto al sólido generado por una región triangular rectangular que gira una vuelta completa alrededor de uno de sus catetos.
FÓRMULAS BÁSICAS
1. área de la superficie lateral (SL)
2. Área de la superficie total (ST)
3. Volumen del cono (V) En un cono se cumple que: III. ESFERA
Es el sólido generado por un semicírculo que gira una vuelta alrededor de su diámetro.
La superficie que limita a la esfera se denomina superficie esférica.
ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
VOLUMEN DE LA ESFERA SL = (Semiperímetro de la base) apotema
ST = Área lateral + Área de la base
V =
1
3
(Área de la base) alturaA B C D H º º V O SL = Rg ST = R(g+R) V =
1
3
R 2H A B O A B g g H R O H g R g2 = H2 + R2 g H R S = 4R2 V = 4 3R 3 A B R R5 4to. Año - IV Bim
EJERCICIOS
I.- En cada caso hallar el área lateral, área total y el volumen de las siguientes figuras espaciales:
01.- 02.- 03.-
II.- Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras espaciales:
01.- 02.- PE=10
m
OEC = 30º PF=6 r = 2 3 PQ=803.- AQ = QE = 5
m
EAB=53° 04.- r = 6cmm
OEC = 37º6 4to. Año - IV Bim
III.- Hallar el área lateral, área total y volumen de las siguientes figuras espaciales
01.- Volumen 2
Area 02.- Media esfera ó hemisferio
Volumen = 18 m3
03.- Cilindro y Esfera 04.- Cilindro y hemisferio Area lateral del cilindro: 50 m2 Volumen = 45 cm3
01.- Hallar el volumen del sólido que se forma cuando la figura gira 360º alrededor del eje “L”
a) 108 b) 110 c) 90 d) 120 e) 100
Problemas en Clase
7 4to. Año - IV Bim
02.- En el gráfico calcular la relación de volúmenes del cilindro y del cono recto.
a) 3/2 b) 3/4 c) 3 d) 1 e) 2/5
03.- Hallar la superficie esférica, si el área de su círculo máximo es 36. a) 100 u2 b) 144 c) 124 d) 120 e) 152
04.- En el gráfico si el volumen de la esfera es 32/3 u2. Calcular el volumen del cilindro.
a) 16 u3 b) 18 c) 30 d) 24 e) 20
05.- Calcular el volumen del cono menor:
a) 720 u3 b) 868 c) 700 d) 668 e) 768
06.- En la figura, en que relación se encuentra el volumen del cono recto de revolución y el volumen de la esfera inscrita en dicho cono? a) 3/1 b) 2/1 c) 8/5 d) 4/1 e) 8/3
07.- La diagonal del cubo mostrado es 6
3
. Calcular el volumen de la esfera inscrita en el cubo.a) 27 b) 36 c) 54 d) 81 e) 288
08.- Calcular el volumen del sólido generado cuando la región sombreada gire alrededor del eje “L”.
a) 8 3 b) 16 3 c) 8 3 3 d) 16 3 3 e) 16 2
09.- Hallar cuántos galones de pintura son necesarios para pintar integramente la pieza tubular mostrada sabiendo que un galón rinde 18m2.
a) 4,9 galones aproximadamente b) 7,3 galones aproximadamente c) 15,4 galones aproximadamente d) 16,3 galones aproximadamente e) 17,9 galones aproximadamente R
Prof. Edwin Meza Flores “Amar, adorar y servir” Geometría Analítica
radio y el volumen de uno de ellos es de 32/3. Hallar el volumen del cesto.
a) 16 b) 22 c) 42
d) 30 e) N.A.
11.- ¿Qué parte del volumen del cilindro es el volumen del cono? a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/4 e) 3/4
12.- En el gráfico, el radio de la esfera es 2u. Hallar el radio de la base del cono recto. Si el ángulo formado por la base y un lado es 60° a) 2
3
b) 6 c) 4 d) 43
e) 33
13.- En el cono recto, hallar: i. área lateral
ii. área total iii. volumen a) 120 ; 150 ; 100 b) 60 ; 96 ; 144 c) 60 ; 96 ; 96 d) 60 ; 148 ; 96 e) 30 ; 96 ; 148
01.- A que distancia del vértice de una pirámide de altura 8 debe trazarse un plano paralelo a la base, para que se determinen dos sólidos equivalentes.
a) 8 23 b) 48 c) 2 43 d) 4 43 e) N.A.
02.- Hallar el área lateral, área total y volumen del sólido que se forma cuando la figura gira 360º alrededor del eje “L” a) 100 ; 190 ; 150
b) 65 ; 90 ; 100 c) 65 ; 90 ; 130 d) 130 ; 180 ; 260 e) 65 ; 180 ; 240
03.- En la figura se muestra un cono equilátero cuya altura mide 6cm. Hallar el área de la esfera inscrita.
a) 36 b) 16 c) 72 d) 120 e) 144
04.- La pirámide y el cono mostrados son sólidos equivalentes. Si: r =
, calcular “a”a) /2 b) /3 c)
d) e) 205.- El área lateral de un cono de revolución es igual a 65 y el área de su base es 25. Hallar el volumen del cono.
a) 50 b) 100 c) 75 d) 80 e) NA
06.- Se tiene un alambre de 2 mm2 de sección, con el cual se forma un ovillo esférico de 30mm de radio. Hallar la longitud del alambre.
