Estimación de modelos borrosos y
Estimación de modelos borrosos y
su aplicación al control óptimo
su aplicación al control óptimo
Basil M. Al-Hadithi, Fernando Matía andAgustín Jiménez
Grupo de Control Inteligente Universidad Politécnica de Madrid
Resumen
Resumen
• El objetivo de la presentación es dar a conocer los últimos trabajos del Grupo de Investigación sobre últimos trabajos del Grupo de Investigación sobre Control Borroso.
• Obtención de modelos precisos de sistemas no lineales basados en sistemas borrosos
– Mamdani – Takagi-Sugeno – Linealización
2 • Generalización del método propuesto por T-S
• Identificación iterativa basada en el Filtro de Kalman • Sistemas de control basados en el modelo TS obtenido
– LQR
Método de Identificación T
Método de Identificación T--S
S
• Propuesto por Takagi y Sugeno, 1985 • Se buscan aproximaciones de la función
• Mediante el sistema borroso
)
(
1 2 n n,x
,
,x
x
f
y
f:
3• Mediante el sistema borroso
n i i n i i i i i i i n n i i i i x p x p x p p y then M is x and M is x and M is x if S n n n n n n 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 ˆ :
Método de Identificación T
Método de Identificación T--S
S
• La estimación de la salida será r r i i i i i i i i donde 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ) ( 1 ˆ r i n r n i n x n i i n p x n i i p n i i p x n i i y
r i r i k i i k i i i i k x w x w n n n n 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 4 y son funciones de pertenencia que se suponen conocidas ) (x j ji
n j ji i i i i x x w n j n 1 1 1 ) ( ) ( 1 1 Método de Identificación T
Método de Identificación T--S
S
• Si disponemos de un conjunto de muestras t d / lid
entrada/salida
• Los parámetros del sistema borroso se pueden calcular minimizando
x
1k,
x
2k,
,
x
nk,
y
k
5 2 1 2 ) ˆ (y y Y Xp J m k k k
Método de Identificación T
Método de Identificación T--S
S
• Donde
n r r r r n t r r n r r n t m x x x X p p p p p p p y y y Y n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 2 1 6 m m x1m m11xnm mr1rn mr1rn xnm 1 1 1 1 Método de Identificación T
Método de Identificación T--S
S
• Operandop
X
X
Y
X
p
X
Y
X
X
p
X
Y
J
p
X
Y
p
X
Y
p
X
Y
J
t t t t P t 20
)
(
0
)
(
2
)
(
)
(
7• Si la matriz X es de rango completo
Y
X
X
X
p
t 1 t)
(
Restricciones del método T
Restricciones del método T--S
S
• No es aplicable en el más común de los casos,
d d l f i d t i l
donde las funciones de pertenencia en el intervalo son 1 i x 1 i i2
xi1,xi2
8 i x 2 i x 1 i x 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( ) i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x • En este caso es fácil demostrar que la matriz X
d l t t t XtX
Restricciones del método T
Restricciones del método T--S
S
no es de rango completo y por tanto no es invertible, invalidando el método de T-S en este caso
X
Xt
9
Restricciones del método T
Restricciones del método T--S
S
• En el caso más sencillo:
f
:
• Cada fila de la matriz es de la forma:
k k k k k k kx
x
x
x
x
x
X
1(
)
1(
)
2(
)
2(
)
)
(x
f
y
10
k k k k k kx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2Restricciones del método T
Restricciones del método T--S
S
• Que verifica 1
x
• Las columnas de X son linealmente dependientes
0
1
1
2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
k k k k k k 11 p• El rango de Xen este caso es 3
• Este resultado se puede extender fácilmente a funciones n-dimensionales
Restricciones del método T
Restricciones del método T--S
S
• La solución propuesta por (Takagi and Sugeno, 1985) evita esta situación
evita esta situación
• En el intervalo se toman unos puntos intermedios • Por lo que las funciones de pertenencia son
xi1,xi2
1 2
* 2 2 1 * 1 i, i i i, i i x x x x x x * 1 *2 2 1 * 2 1( ) i i i i i i i x x x x x x x x 12 2 * 1 * 1 2 * 1 * 1 1 2 2 * 2 2 1 1 0 ) ( 0 ) ( i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x x x x x 1 i x 1 i x 2 i x 1 i x 1 i i2 2 i xAnálisis del Problema
Análisis del Problema
• Esta restricción del método de identificación de T-S nosignifica que no existan soluciones significa que no existan soluciones • Las soluciones deben cumplir
• Las columnas de son linealmente dependientes, por tanto las filas de serán linealmente dependientes.
0
X
X
p
Y
X
t t X t X 13 p• La misma dependencia lineal tendrán y
Y
X
tX
tX
Análisis del Problema
Análisis del Problema
• El rango de la matriz del sistema de ecuaciones lineales será el mismo que el de la matriz ampliada con el será el mismo que el de la matriz ampliada con el término independiente.
• El sistema de ecuaciones lineales tiene solución • Por no ser de rango completo será un sistema
)
(
)
(
X
t
X
rank
X
t
X
X
t
Y
rank
14 • Por no ser de rango completo será un sistemacompatible indeterminado:
INFINITAS SOLUCIONES
Análisis del Problema
Análisis del Problema
• Por tanto el problema no es la falta de una
l ió i l i t i d i fi it
solución sino la existencia de infinitas soluciones
• La idea clave es la posibilidad de encontrar una de ellas
• Un primer intento sería buscar la solución de í i
15
mínima norma
Primer intento
Primer intento
• Solución de norma mínima
minimizar con la restricción 2
p
Y X p X Xt t 16• Los métodos de resolución conocidos llevan a algoritmos complejos sin garantías de obtener la solución deseada
Ponderación de parámetros
Ponderación de parámetros
• Solución aproximada
– Extender la función objetivo incluyendo una ponderación de la norma del vector de parámetros
– Que se puede reescribir como:
2 2 2 2 2 1 2
)
ˆ
(
y
y
p
Y
X
p
p
J
j j m k k k
17 2 20
I
p
Y
X
p
X
Y
J
a
a
Ponderación de parámetros
Ponderación de parámetros
• La matriz ampliada Xaes de rango completo:
S l ió ú i Solución única
• El vector Pse calcula como:
• Esta solución no es el óptimo
a
Y
t
a
X
a
X
t
a
X
p
(
)
1
18 p• Sin embargo, para valores pequeños del factor de ponderación, la solución será cercana al óptimo
Ejemplo
Ejemplo
• Sea la función
0
1
2– Definimos dos conjuntos borrosos
0
,
1
2
x
x
y
x x x x ) ( 1 ) ( 2 1 19 – El objetivo es calcular un modelo borroso T-SEjemplo
Ejemplo
• Aplicando el método de ponderación de
á t bti l d l
parámetros con se obtiene el modelo borroso:
– El máximo del valor absoluto del error en el intervalo 2 0166 005 1 . 0
x y then M is x if S x y then M is x if S 6666 . 0 3334 . 0 : 3332 . 0 : 2 1 2 1 1 1 20 es 2.0166e-005 • No es la solución óptimaEjemplo
Ejemplo
• Para comparar este método con el original de
T-S d fi i f t d b i i t
S, definimos un factor de recubrimiento α que
determine los dos puntos adicionales del original
x 1 i x 1 i i2 x 21 ) ( ) ( 1 2 1 * 2 1 2 2 * 1 i i i i i i i i x x x x x x x x 1 i x 2 i x 1 i x xi2
Ejemplo
Ejemplo
• En el método de T-S, para se obtiene:
0.7– Con un error de 0.0389
• Incrementando el error se reduce a 0.0360 • Para el error es 0.0249 x y then M is x if S x y then M is x if S 4762 . 1 5151 . 0 : 5238 . 0 0389 . 0 : 2 1 2 1 1 1 8 . 0 9 . 0 22 Para el error es 0.0249 • Para el error es 0.0149 9 . 0 95 . 0
Ejemplo
Ejemplo
• La identificación mejora cuando el factor α se
aproxima a la unidad aproxima a la unidad
• Pero no puede alcanzar el óptimo, que es
precisamente α=1,ya que, para este valor la
matriz Xno es de rango completo y por tanto es
no invertible.
• Incluso, cuando αse aproxima a la unidad, el
23
, p ,
número de condición de la matriz Xtiende a
infinito, lo que indica que X tX se aproxima a la
singularidad y por tanto el cálculo de su inversa no es numéricamente fiable
Sintonía de parámetros
Sintonía de parámetros
• Los parámetros obtenidos no tienen significado fí i
físico
• Podemos usar una primera estimación de los mismos Linealización
t n p p p p P 0 0 2 0 1 0 0 0 – Linealización– Usando mínimos cuadrados en un entorno del punto de funcionamiento
Sintonía de parámetros
Sintonía de parámetros
• El vector de parámetros del modelo borroso se
d bt i i i d
puede obtener minimizando:
t r r r a a n P P P p p X Y p I X p Y p p p X Y J ] [ 2 1 0 0 0 0 2 2 0 2 0 2 2 • Interpretaciones locales 25
Identificación
Identificación multivariable
multivariable
• En el caso de funciones vectoriales
es equivalente a m funciones escalares y cada una de estas funciones se puede
m n m n y ) ,x , ,x f(x y f: 2 1 m j y ) ,x , ,x (x f yj j 1 2 n 1.. y cada una de estas funciones se puede modelar mediante un sistema
26 n i i jn i i j i i j i i j j i jn n i j i j i i j x p x p x p p y then M is x and M is x and M is x if S n n n n n n 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 ˆ :
Identificación
Identificación multivariable
multivariable
• Aplicando la formulación anterior
r r
t jn r r j r r j jn j j j t jN j j j n n n p p p p p p p y y y Y 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 r r r r r r n r r j r r j r r j n j j j j x x x x x x x x X n n n n n n .. .. .. 1 .. 1 1 .. 1 1 .. 1 1 .. 1 11 .. 1 .. 1 1 1 .. 1 1 11 1 .. 1 1 1 .. 1 1 1 1 1 1 1 1 27 jN jN x1NjN xnN jN1 n jN1 nx1NjN1 nxnN ja T ja ja T ja j j j j j j j j p p X X X Y X p Y J 1 2 0 ) ( Identificación
Identificación multivariable
multivariable
• Si los conjuntos borrosos de los antecedentes y
l t i d d ió l i
las matrices de ponderación son los mismos para todos los subsistemas
entoces se pueden agrupar
a ma a a m m X X X X Γ Γ Γ Γ X X X X 2 1 2 1 2 1 28 0 20 10 2 1 1 2 1 ( ) m m T a a T a m p p p Y Y Y X X X p p p
Identificación iterativa
Identificación iterativa
• El método de identificación iterativa propuesto
T k i d S 1985 b l
por Takagi and Sugeno, 1985, se basa en el método de mínimos cuadrados recursivos • El método no es válido cuando las funciones de
pertenencia está solapadas por pares
• Proponemos un método iterativo basado en el
Fil d K l
Filtro de Kalman
29
Identificación con EKF
Identificación con EKF
• Una de las aplicaciones del filtro de Kalman es laidentificación de parámetros identificación de parámetros
• Supongamos una función que depende de q parámetros
• El problema de la identificación de parámetros se puede
q p p p1, 2,, ) , ( ) , , , , , , , ( : 2 1 2 1 x x p p p f x p x f y f q n m n 37 El problema de la identificación de parámetros se puede traducir al problema de la estimación del estado del sistema ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) 1 ( k e k p f k y k p k p
Identificación con EKF
Identificación con EKF
• Se puede utilizar entonces el filtro extendido de
K l l i i t ti l id d
Kalman con las siguientes particularidades
) ( ˆ ) , ( ] 0 [ ) ( ) ( k p p p p x f k C k I k error prueba y mediante ajustado ] 0 [ ] 0 [ 2 12 1 R R R 38Identificación con EKF
Identificación con EKF
• La formulación del algoritmo queda:
)
1
/
(
)
(
)
1
/
(
)
/
1
(
))
1
/
(
ˆ
,
(
)
(
)
1
/
(
ˆ
)
/
1
(
ˆ
)
1
/
(
)
1
/
(
)
(
2 1
k
k
CP
k
K
k
k
P
k
k
P
k
k
p
x
f
y
k
K
k
k
p
k
k
p
R
C
k
k
CP
C
k
k
P
k
K
k k t t)
1
/
(
)
(
)
1
/
(
)
/
1
(
k
k
P
k
k
K
k
CP
k
k
P
39Aplicación al modelo de T
Aplicación al modelo de T--S
S
• Sea la función fcorrespondiente al modelo T-S
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ) ( 1 ) , , , , ( : 2 1 r i n r i xn n i i n p x n i i p n i i p x n i i p x x x f y f n n 1 n 40
Aplicación al modelo de T
Aplicación al modelo de T--S
S
• La función de salida es lineal respecto a los
á t l d l l
parámetros por lo que se puede calcular
p f i i k k p p i i1 n 1 n ) ( ˆ ) ... ( 0 x j n p f jk i i k k p p i i j n n for 1... 1 1 ) ( ˆ ) ... ( 41
Aplicación al modelo de T
Aplicación al modelo de T--S
S
• Por tanto, la matriz Jacobiana coincide con la fila de la matriz
X
antes definida• El problema puede ser formulado como la estimación del estado del sistema lineal
k k k k nk kr r kr r nk
k k p p x x x X p f k C 11 1n 1n 1 1 1 1 1 ) ( ˆ ) ( )
(
)
(
)
(
)
1
(
k
e
k
p
X
y
k
p
k
p
k k
42Aplicación al modelo de T
Aplicación al modelo de T--S
S
• Si las funciones de pertenencia están solapadas
d li t l it
por pares no se puede aplicar este algoritmo • Como el problema no tiene una única solución
aparecen problemas de convergencia
Sintonía de parámetros EKF
Sintonía de parámetros EKF
• La propuesta es describir el problema como el
d l ti ió ó ti d l t d d l i t
de la estimación óptima del estado del sistema
)
(
)
(
))
(
,
,
,
,
(
)
(
)
1
(
2 1 0k
e
k
p
k
p
x
x
x
f
p
y
k
p
k
p
nk k k k
44)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0k
e
k
p
I
X
k
e
k
p
k
p
X
k k
Sintonía de parámetros EKF
Sintonía de parámetros EKF
• La fórmula de predicción será por tanto
– Este método iterativo debería ser equivalente al no iterativo 1/ ) ˆ( / 1) ( ) ( ) ( ˆ 0 k p I X p y k K k k p k k p k k
– Si m es el número de muestras usadas, la equivalencia se produce cuando
– En general se debe cumplir que
45
m
/
Generalización
Generalización
• Esta metodología se puede generalizar para
bt l á t ó ti d l
obtener los parámetros óptimos de los antecedentes de las reglas, es decir, los parámetros de las funciones de pertenencia
12 11 1 1
(
,
,
,
),...,
,
(
))
(
)
(
f
k
e
k
p
x
a
a
x
f
y
k k k
46 11)
(
a
f
k
C
j
Controlador borroso
Controlador borroso
• El objetivo que nos planteamos es diseñar un
t l d ó ti l i t li l
controlador óptimo para el sistema no lineal, o bien descrito por
• O bien en forma discreta
m n
u
x
t
u
t
x
f
t
x
(
)
(
(
),
(
))
47 m nu
x
k
u
k
x
f
k
x
(
1
)
(
(
),
(
))
Controlador borroso
Controlador borroso
• En el caso más sencillo sería diseñar un
t l d ó ti l i t d it
controlador óptimo para el sistema descrito por • Aplicando el método de estimación propuesto, el
sistema puede ser modelado por el modelo de T-S
)
,
,
,
,
(
( 1 (f
x
x
x
u
x
n
n 48 u b x a x a x a a x then M is x and M is x and M is x if S n n i i n i i n i i n n n i i n-n i i n i n n i i i i 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ( 2 1 0 ( 1 2 1 : Controlador borroso
Controlador borroso
• Muchas metodologías, p.e. “regla a regla”
– Si el controlador se diseña de una forma semejante
– La metodología de diseño se basa en poder formular el sistema realimentado como
( 1
1 1 1 0 1 ( 2 1 1 1 1 1 2 1 1 n-i i i i i i i i i n n i i i i x k x k x k k r-u then M is x and M is x and M is x :if C n n n n n n el sistema realimentado como
49
( 1
1 1 0 1 1 0 ( 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 : n-i i i i i i i i (n-n i i n i n n i i i i x k x k k r-b x a x a a x then M is x and M is x and M is x if SC n n n n n i i n i i n n n Diseño del término afín
Diseño del término afín
• El término afín de la acción de control se usa
li i l té i fí d l i t
para eliminar el término afín del sistema
• El sistema realimentado se puede formular entonces como n n n n n n i i i i i i i i i i i i b a k k b a 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 55
( 1
1 1 1 1 ( 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 : n-i i i i i i (n-n n i n n i i i i x k x k r-b x a x a x then M is x and M is x and M is x if SC n n n n i i n i i n n Control por realimentación
Control por realimentación
del estado
del estado
• Se puede utilizar cualquier metodología para
di ñ t l li t ió d l t d
diseñar un control por realimentación del estado
– Método de asignación de polos
– Regulador lineal óptimo (LQR) en la regla central y asignación de polos en el resto
– Regulador lineal óptimo (LQR) aplicado a cada una de las reglas del sistema
de las reglas del sistema
LQR Borroso
LQR Borroso
• El sistema se representa mediante el modelo de t d estado
n
t x x x x (1 u B x A A x then M is x and M is x and M is x if S n n i i n n n i i i i i n n i i i i 1 1 1 2 1 1 0 2 2 1 1 : 59 n n n n n n n n n i i i i i i n i i i i i i i i i i i i b B a a a a A a A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 3 2 1 0 0LQR Borroso
LQR Borroso
• La metodología LQR se aplica para cada
b i t d i t i Q d
subsistema usando unas mismas matrices Q de de ponderación del estado y R de ponderación de las entradas para todas las reglas
• Entonces, la ecuación de Riccati se resuelve para cada subsistema
t t
• Obteniendo el vector de realimentación
60 i in Bi inR Bi in tLi in Li in Ai in Ai in tLi in L Q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 n
n n i in
i in t i in n i i i i i i k k k R B L K 1 1 1 1 1 1 1 2 1 Ejemplo
Ejemplo
• Péndulo invertido m M m l m M ml u g 2 2 cos 3 4 sen cos sen 61 Ejemplo
Ejemplo
• Funciones de pertenencia 62Ejemplo
Ejemplo
• Usando el método clásico de identificación de
í i d d i t l l d d
mínimos cuadrados en un intervalo alrededor del punto de equilibrio se obtiene el sistema
u . x . x x2 15.2665 100000 214187 63
Ejemplo
Ejemplo
• Aplicando el método de sintonía de parámetros 1 1 11 M is x and M is x :if S u . x . x . . x then M is x and M is x :if S u . x . x . . x then M is x and M is x :if S 1546 1 0002 0 6366 14 4848 0 2458 1 3271 0 0164 15 1642 0 2 2 2 2 1 1 22 2 1 2 2 2 2 1 1 1 12 2 1 2 1 2 2 1 1 1 11
– El error medio cuadrático obtenido es de 0.0333 64
u . x . x . . x then M is x and M is x :if S u . x . x . x then M is x and M is x :if S 3232 1 2821 0 1516 15 0942 0 4536 1 0003 0 5778 15 2 1 2 3 2 2 3 1 1 33 2 1 2 2 2 1 1
Ejemplo
Ejemplo
• En primer lugar se diseña el término afín
• El resto de los términos se calculan mediante LQR minimizando para todas las reglas:
) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 i i i i i i i i i i i i b a k k b a
65
x x u
dt J t
0 2 2 2 2 1 10 100Ejemplo
Ejemplo
• El controlador borroso resultante es
2 1 2 2 2 1 1 1 12 2 1 1 2 2 1 1 1 11 7.6493 28.8232 0.4199 7.1239 27.7146 0.1318 x x u then M is x and M is x :if R x x u then M is x and M is x :if R 66 2 1 3 2 2 3 1 1 33 6.8812 26.6529 0.0712 x x u then M is x and M is x :if R
Ejemplo
Ejemplo
67Ejemplo
Ejemplo
68Control global discreto
Control global discreto
• Partimos de un sistema discreto
• Aplicando identificación multivariable
m n
u
x
k
u
k
x
f
k
x
(
1
)
(
(
),
(
))
i i i n n i i i i i i n n if x k isM andx k isM and x k isM S 1 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) : 69 i i n n n i i n m i i i i n n i i n n n i i n B A a k u B k x A a k x then 1 1 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ) 1 (Control global discreto
Control global discreto
• Equivalente al sistema discreto
donde las matrices vienen determinadas por el sistema borroso ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) 1 (k a0 xk A xk xk B x k u k x i in if x k isMi and x k isMi and x k isMin S 1 : ( ) 1 ( ) 2 ( ) 70 n n i i n n n i i i i n n B B and A A and a a then M is k x and M is k x and M is k x if S 1 1 1 2 1 1 0 0 2 2 1 1( ) ( ) ( ) :
Control global discreto
Control global discreto
• Se propone en cada paso utilizar el control que
i i i (LQR ) minimice (LQR a un paso) obteniendo
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
k
Qx
k
u
k
Ru
k
x
J
k
t
t
( ( )) ( ( ))
( ( ))
( ( )) ( ( )) ( )
) (k R Bt k QB k 1Bt k Q k A k k 71
( ( )) ( ( ))
( ( ))
( ( )) ( ( )) ( )
) (k R B xk QB xk B xk Qa0 xk Axk xk u t t Ejemplo discreto
Ejemplo discreto
• El péndulo con un período de muestreo de 0.1 s d l se modela como ) ( 0.0582 0.0036 ) ( 0.7771 0.7242 0.0933 0.9509 0.0809 0.0028 ) 1 ( 3 3 33 1 2 2 1 1 1 11 M is x and M is x :if S k u k x k x then M is x and M is x :if S 72 ) ( 0.0566 0.0035 ) ( 0.7773 0.7340 0.0933 0.9505 0.0583 -0.0020 -) 1 ( 2 2 1 1 k u k x k x then M is x and M is x :if S
Ejemplo discreto
Ejemplo discreto
• Es decir • Y se resuelve la minimización de
0.01 ( ) ) ( ) 1 ( 1 0 0 20 ) 1 (k xk u k uk x Jk t t ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) 1 (k a0 x k A x k x k B x k u k x 73 1 0 Ejemplo discreto
Ejemplo discreto
74Conclusiones
Conclusiones
• Hemos estudiado el método de identificación
t T k i d S 1985
propuesto por Takagi and Sugeno en 1985 • El problema encontrado es que el método no se
puede aplicar cuando las funciones de pertenencia son triangulares solapadas por pares
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Conclusiones
Conclusiones
• Hemos desarrollado nuevos métodos de
id tifi ió j l id d d
identificación que mejoran la capacidad de aproximación local y global de los modelos T-S a los sistemas dinámicos
– Hemos desarrollado un método no iterativo de sintonía de parámetros
– Y un método iterativo basado en el filtro de KalmanY un método iterativo basado en el filtro de Kalman
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Conclusiones
Conclusiones
• Hemos propuesto controladores borrosos
b d l R l d Li l Ó ti (LQR)
basados en el Regulador Lineal Óptimo (LQR) que demuestran la efectividad de los métodos de estimación desarrollados en aplicaciones de control
– Control “regla a regla” para sistemas continuos Control global discreto
– Control global discreto
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Publicaciones
Publicaciones
• Identificación de modelos T-S
– “An Optimal T-S Model for the Estimation and Identification of Nonlinear Functions”, Agustin Jimenez, Basil M. Al-Hadithi and Fernando Matia, WSEAS Transactions on Systems and Control (ISSN: 1991-8763) Issue 10, Volume 3, October 2008, pp 897-906
– “Extended Matrix Approach for the Identification of Takagi-Sugeno Fuzzy Model”, A. Jimenez, B. M. Al-Hadithi and F. Matia ICONS2009 The 2ndIFAC International Conference on Matia, ICONS2009 The 2ndIFAC International Conference on Intelligent Control Systems and Signal Processing, Estambul, Turquía, 21-23 septiembre 2009.
Publicaciones
Publicaciones
• Identificación de modelos T-S
– "Improvement of Takagi-Sugeno Fuzzy Model for the Estimation of Nonlinear Functions", A. Jiménez, B. M. Al-Hadithi, F. Matía, R. Haber-Haber. Asian Journal of Control, Vol. 14, No. 2, pp. 320–334, March 2012 (Publicado online en Wiley Online Library noviembre 2010)
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Publicaciones
Publicaciones
• Identificación y control de modelos T-S
– "Extended Kalman Filter for the Estimation and Fuzzy Optimal Control of Takagi-Sugeno Model", Agustín Jiménez, Basil M.Al-Hadithi and Fernando Matía. Capítulo 4 del libro "Fuzzy Controllers, Theory and Applications", Lucian Grigorie (Ed.), ISBN: 978-953-307-543-3, Editorial: InTech, Febrero 2011. – "New methods for the estimation of Takagi–Sugeno model based extended Kalman filter and its applications to optimal control for nonlinear systems" Basil M Al Hadithi Agustín control for nonlinear systems , Basil M. Al-Hadithi, Agustín Jiménez and Fernando Matía. Aceptado para su publicación en Optimal Control Applications and Methods. Publicado online (2011) en Wiley Online Library DOI: 10.1002/oca.1014
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Publicaciones
Publicaciones
• Identificación y control de modelos T-S
– A new Approach to Fuzzy Estimation of Takagi-Sugeno Model and its Applications to Optimal Control for Nonlinear Systems”, Basil M. Al-Hadithi, Fernando Matía and Agustín Jiménez . Applied Soft Computing. Vol 12, issue 1 (Jan. 2012), pp. 280-290.
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Publicaciones
Publicaciones
• Identificación de modelos Mamdani T-S
– “An affine fuzzy model with local and global interpretations”, F. Matía, B. M. Al-Hadithi, A. Jimenez, P. San Segundo. Applied Soft Computing, Vol. 11, Issue 6 pp 4226–4235, Sept. 2011 (doi:10.1016/j.asoc.2011.03.018).
Publicaciones
Publicaciones
• Identificación generalizada de modelos T-S
– “Adaptación paramétrica de un sistema borroso mediante el filtro de Kalman extendido”, A. J. Barragán, J. M. Andújar, A. Jiménez, B. M. Al-Hadithi. XXXI Jornadas de Automática. Jaén, 8 al 10 de septiembre de 2010
– "Algoritmo para la adaptación paramétrica de un sistema borroso mediante el filtro de Kalman extendido", A. J. Barragán, J. M. Andújar, M. J. Aznar y A. Jiménez. VI Simposio CEA de Control Inteligente La Laguna 26 y 26 de noviembre de 2010 Control Inteligente, La Laguna, 26 y 26 de noviembre de 2010
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Publicaciones
Publicaciones
• Identificación generalizada de modelos T-S
– “Methodology for adapting the parameters of a fuzzy system using the extended Kalman filter”, A. Javier Barragán Piña, José M. Andújar Márquez, Mariano J. Aznar Torres, Agustín Jiménez Avello, Basil M. Al-Hadithi, EUSFLAT-LFA 2011. Aix-lesBains. France, 18-22 July 2011
– “Application of the Extended Kalman filter to fuzzy modeling: Algorithms and practical implementation”. A. Javier Barragán Piña José M Andújar Márquez Mariano J Aznar Torres Piña, José M. Andújar Márquez, Mariano J. Aznar Torres, Agustín Jiménez Avello, Basil M. Al-Hadithi. EUSFLAT-LFA 2011, Aix-lesBains. France. 18-22 July 2011
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Estimación de modelos borrosos y
Estimación de modelos borrosos y
su aplicación al control óptimo
su aplicación al control óptimo
Basil M. Al-Hadithi, Fernando Matía andAgustín Jiménez
Grupo de Control Inteligente Universidad Politécnica de Madrid
