ARITMÉTICA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Dos conjuntos A y B son tales que:
n (A U B) = 30; n (A - B) = 12; n (B - A) = 10. Halla n(A) + n(B) A) 22 B) 38 C) 36 D) 25 E) 37 2. Si n (P(A)) = 128; n (P (B)) = 16; n P(A B) = 8. Halla n P (A U B) A) 128 B) 32 C) 256 D) 1024 E) 512
3. Sean A y B subconjuntos del universo además: (A - B) U (B - A) = A U B
Indica las proposiciones falsas I. A = A – B II. B = B – A III. (A B)’ A U B IV. B A’ V. A B A) I, II, III B) V C) IV y V D) III y V E) I, II, V
4. Si A, B y C son subconjuntos de U tales que:
n(A B) = 2n (C - B) = 4n (A B C) n (B - A) = 60; A C = C n (A C)’- B = n (B) = 100 Halla n (C’)’ A) 80 B) 900 C) 100 D) 60 E) 190
5. Sean A y B dos conjuntos tales que:
n(A B) – n(A) = 4
n(A B) = 10
n(B) = 12 Halla n(A B)
A) 48 B) 18 C) 16
D) 8 E) 24
6. Se tienen 2 conjuntos A y B tales que:
n(A) – n(B) = 3
n[P(A B)] = 2048
n[P(A B)] = 16
Halla el número de elementos de B
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 2
7. Si: n(U)=40, n(A)=25,n(B)=20, n(A’B’)=10. Halla n(AB)
A) 15 B) 13 C) 11
D) 9 E) 7
8. Si A, B y C son subconjuntos de E tal que: n(A) = 80, n(B) = 82, n (A B) = 36, n(A C) = 34.
Calcula: n (B-A)(A-C).
A) 92 B) 94 C) 96
D) 93 E) 91
9. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en un Universo U. Simplifica: A(BC) -(BA’)A (BC) A) A Bc B) A B C) A D) C – A E) C A 10. Sabiendo que: n
P
(
A
)
P
(
B
)
20
; n
P
(
A
)
P
(
B
)
4
Determina n(A
B) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 511. Indica cuál de estas expresiones es igual a
C C
CB
A
donde CA
indica el complemento de A. A)B
A
C
B
B)A
A
B
C)A
A
C
B
D)
C CB
A
B
E)A
B
A
B
C C
)
(
12. Si: n [P(A)] = 64; n [P(B)] = 32 y n [P(A B)] = 8. Halla n [P(B A)] A) 16 B) 32 C) 128 D) 120 E) 4213. Sean los conjuntos A y B que cumplen: n(A) = 28; n(B) = 35 y n(A B) = 15 Halla: 2n(A B) + n(A B)
A) 124 B) 114 C) 98
D) 120 E) 115
14. Sean A y B subconjuntos de U. Definimos la operación “ *” entre conjuntos de la siguiente manera:
A * B = A’ B’ ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. (A * A) * (B * B) = A B II. A * B = B * A III. A * (B * C) = (A * B) * C
A) sólo I y III B) sólo I C) sólo II D) sólo I y II E) Todas
15. Sean A, B, C conjuntos contenidos en U, tales que:
P(B) P(A)
n(A) = 10
B CC
n(AC) < 10
n(BxC) = 75
Calcula n[A-(BC)] si es el menor posible
A) 4 B) 5 C) 2
D) 0 E) 7
16. Dado los conjuntos:
100
x
x
Z
x
A
9
11
2
1
x
Z
x
B
Calcula: n[(AxB) (BxA)]
A) 182 B) 180 C) 144
D) 128 E) 120
17. Dado los conjuntos A, B, C contenidos en U tales que: n(ABC) = 93 n(A-(BC) = 18 n(AB)-C = 7 n(A) = n(B) = 41 n(C) = 46 n(BC)-A) = 7 Calcula: n[(ACBCCC)C] A) 5 B) 9 C) 1 D) 2 E) 1
18. Dados los conjuntos: A = {2n/n Z+ n 20} y B = {4m/m Z+ 4 < m < 16}
¿Cuántos elementos tiene el conjunto (AxB)(BxA)?
A) 12 B) 36 C) 24
D) 60 E) 48
19. Dado 3 conjuntos A, B y C los cuales son comparables entre sí. Si se cumple que:
I. ABC = B y II. A-C =
Se puede concluir que: A) B C A B) B A C C) A’ C’ B’ D) A C’ B E) A’ C’ B
20. Dados los siguientes conjuntos: A = {x/x Z} B = {x/x = 2n + 1; n Z} C = {x/x = 2x, n Z} Determina: (AB)(AC) A) A C B) BC C) B D) C E) A
21. Definimos la operación entre conjuntos de la forma: A * B = (AB)’ (A-B) (B-A) ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. Si A * B = B * A entonces A = B II. (A * B) * (B * A) = A * B III. (B * B) * (A * A) = A’ * B’ IV. A’ * A’ = A
A) 3 B) 2 C) 1
D) 4 E) 0
PROBLEMAS CON CONJUNTOS 1. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre
preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?
A) 24 B) 30 C) 32
D) 36 E) 40
2. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
3. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?
A) 32 B) 30 C) 28
D) 26 E) 34
4. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito.
Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30.
Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27.
Los que practican atletismo y fulbito son 7. Los que practican fulbito pero no atletismo o
básquet son 15.
Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo.
4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. Los que practican básquet pero no atletismo o
fulbito son 4.
¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno?
A) 21 B) 17 C) 19
D) 2 E) 18
5. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:
n(A B) = 21 n(B C) = 25 n(C A) = 32 3n (ABC) = n(ABC
)
Halla:
A
B
C
A) 93 B) 95 C) 87 D) 77 E) 916. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar:
A B BAB C
’A) AC B) BC C) U
D) (A B)C E) (A B)C
7. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios?
A) 15 B) 10 C) 20
D) 24 E) 15
8. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne?
A) 15% B) 23% C) 20%
D) 10% E) 30%
ARITMÉTICA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez REPARTO PROPORCIONAL
REGLA DE COMPAÑÍA
Es el reparto de las ganancias o pérdidas de una sociedad o compañía, directamente proporcional (D.P.) a los capitales impuestos por cada socio y a los tiempos que estos permanecen en dicha compañía.
Ejemplo:
A inicia las operaciones de una empresa con S/. 2 000, luego de tres meses se asocia B con S/. 3000 y dos meses después ingresa C con S/. 4000. Si al cabo de 15 meses la empresa arroja una utilidad de S/. 2120.
¿Cuánto corresponde a cada uno? Resolución: D.P D.P A B C Socio Crit. 2000 15 3000 4000 12 10 x (capital) 1000 (tiempo)
D.P. a : 30 ; 36 ; 40 , todos dividido por 2 D.P. a : 15 ; 18 ; 20 k =
40
53
2120
A = 15 x 40 = S/. 600 B = 18 x 40 = S/. 720 C = 20 x 40 = S/. 800 PRACTICA01. Al repartir “N” directamente proporcional a todos los números capicúas de 2 cifras, al quinto número (ordenados de menor a mayor) le toca 440. Halla el valor de N.
A) 3960 B) 1890 C) 2160
D) 2970 E) N.A
02. Carlos reparte 720 soles entre sus 4 sobrinos: Alberto, Betty, Carmen y Darío; proporcionalmente a sus notas de matemáticas si la nota de Alberto es 2 puntos mas que la de Carmen y 3 puntos menos que la de Betty y a Darío le toco 168 soles. Halla cuanto le toco a Alberto , si entre los 4 sus notas suman 60 puntos:
A) 156 B) 144 C) 180
D) 192 E) 216
03. Cuatro hermanos debían repartirse una herencia proporcionalmente a sus edades que son 12,15,21, y 24 años .Como el reparto se realizo 3 años después uno de ellos quedó perjudicado en 5 soles. Luego el monto de la herencia es:
A) 630 B) 360 C) 560
D) 420 E) 490
04. Repartir 2943 en partes tal que la 1º sea 4/5 de la 3ª y el doble de la 4ª y la 4ª sea a la 2ª como 9 es a 5. Halla la mayor parte
A) 1215 B) 1260 C) 1245
D) 1885 E) 945
05. Tres hermanos se reparten una herencia, dos de ellos de 18 y 32 años discuten si hacerlo en forma directa o inversamente proporcional a sus edades, le piden al tercero que opine y este responde “me da igual” Halla el valor de la herencia, si el tercero recibe 432 soles.
A) 1467 B) 954 C) 1680
D) 1548 E) 1332
06. Se reparte “N” en forma I.P a 1/n; 1/n2; 1/n3 y 1/n4 y se obtiene que la diferencia entre las dos menores partes es 56 veces la constante de proporcionalidad. Halla n2.
A) 81 B) 64 C) 100
D) 225 E) 121
07. Se reparte “N” D.P a las raíces cuadradas de 32; 72 y 162, observándose que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N” mas 578. Halla N.
A) 4901 B) 5491 C) 6251
D) 6631 E) N.A
08. A, B y C intervienen en un negocio; el primero aporta 10000 soles durante un año, el segundo 8000 durante cuatro meses y el tercero 19000 durante 2 meses. El negocio quebró dejando una pérdida de 6650 soles ¿Cuánto perdió C?
A) 1310 B) 1320 C) 1325
D) 1330 E) 1340
09. Una persona empezó un negocio con 1192 soles. A los cuatro meses acepto un socio con 2235 soles y 5 meses después acepto otro socio con 1043 soles. Si a los 2 años de iniciado el negocio se cierra con una utilidad de 5970 soles ¿Cuál fue la ganancia del 1er socio?
A) 2100 B) 3000 C) 1920
D) 1050 E) 2160
10. Dos socios forman una empresa aportando 4000 y 6000 dólares respectivamente; a los 18 meses el 1º aumenta su capital en 2000 dólares y el segundo 2 meses después retira 1000. La empresa liquida a los 3 años con una perdida de 5700 dólares ¿Cuánto debe abonar el primero?
A) 2700 B) 3000 C) 3200
D) 4200 E) N.A
11. En una sociedad un socio impuso 6000 soles durante 8 años 4 meses; el otro impuso un capital en soles durante un tiempo en días, cuyos numerales eran iguales, si la utilidad del 1º era a la del 2º como 8 es a 9. Calcula el capital del segundo.
A) 3500 B) 4500 C) 4800
D) 5000 E) 5200
12. Tres personas A, B y C compraron una fábrica y contribuyeron con 792, 924 y 1056 dólares respectivamente. Si la explotaron durante tres años correspondiendo a B 1800 soles más que A ¿Cuánto le correspondió a C?
A) 14400 B) 14000 C) 15000 D) 14500 E) 15600
13. Una persona manda pintar 3 paredes de forma cuadrada, cuyos lados son proporcionales a los números 2,3 y 5 .Si ha pagado en total 912 soles ¿Cuánto pago por la tercera?
A) 456 B) 505 C) 240
D) 600 E) N.A
14. Repartir 1380 en forma I.P a 0.
3
; 0.5 y 1.3
. ¿Cuál es la mayor cantidad?A) 720 B) 900 C) 480
D) 540 E) 500
15. Repartir 5700 en cuatro partes de modo que la tercera sea el triple de la primera, el doble de la segunda y 3/4 de la cuarta. Señala la cantidad menor
A) 30 B) 300 C) 600
D) 900 E) 40
16. Si se reparte el número:
a
10
4, proporcionalmente a todos los números impares, menores a 100, la parte que le corresponde al noveno número (escritos en forma consecutiva) es 68. Halle “a”.A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) N.A.
17. Al repartir N en partes proporcionales a los números
112
63
,
28
y
, la suma de lamayor y la menor de las partes es a la segunda como:
A) 2:1 B) 3:2 C) 4:1
D) 4:3 E) N.A.
18. Repartir 420 en partes proporcionales a 4/8, 7/21, 5/30 y 0,75. Señale la diferencia entre la mayor y menor de las partes.
A) 40 B) 60 C) 100
D) 140 E) N.A.
19. Dividir 40 entre A, B y C, de manera que la parte de B sea el doble del cuadrado de la parte de C y la de C la diferencia de las partes de A y B ¿Cuál es la mayor de las partes señaladas?
A) 6 B) 14 C) 21
D) 16 E) N.A.
20. Tres comerciantes desean transportar el mismo número de sacos de arroz. El primero a 50 km, el segundo a 65 km y el último a 75 km con este objeto alquilan un camión pagando entre los tres 266 soles. ¿Cuánto más paga el tercer comerciante que el primero?
A) 21 B) 14 C) 28
D) 35 E) N.A.
21. Al repartir una cierta cantidad de dinero entre 3 personas, la parte de la segunda es los 2/3 de la parte de la primera y lo que recibe la tercera es la semidiferencia de las otras partes. Si se repartieran ahora 340 soles en forma inversa a las partes recibidas inicialmente. ¿Cuánto recibiría la segunda?
A) 40 B) 60 C) 80
D) 240 E) N.A
22. Si el producto de dos números enteros menores a 100, se reparte proporcionalmente a 452, 303 y 752; Las cantidades obtenidas son enteras. ¿Cuántos pares de números que se diferencien en 3 cumplen con lo anterior?
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) N.A.
23. Al repartir N proporcionalmente a 3 números consecutivos, la mayor y la menor de las partes suman 154. Si N se repartiera a los 3 números, impares consecutivos siguientes a los iniciales. ¿Cuál sería la segunda parte?
A) 66 B) 70 C) 77 D) 100 E) N.A. 24. Si se reparte 8 463 proporcionalmente a cd mn ab
a
y
a
a ,
, la menor de las partes obtenidas es (25-1). Señale el valor de a+k; dondeab
mn
k
(k>0) y además:mn
cd
mn
ab
3
A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) N.A.25. Al repartir una cantidad de dinero entre Adela, Alicia y Ana, la parte de Adela es a la de Alicia como “a” es a “a+2” y la parte de Alicia es a la de Ana como “a” es a “a-2”. Si Adela recibe 20 soles más que Ana y entre Alicia y Adela reúnen 560 soles. ¿Cuánto recibe Ana?
A) 125 B) 135 C) 225
D) 245 E) N.A.
26. Se desea repartir 749 proporcionalmente a los números a1, a2, a3,…a7. Si el reparto se hiciera proporcionalmente a los números b1, b2, b3,…, b7, la cantidad que le corresponde al cuarto sería la misma en ambos repartos. Halla dicha cantidad si se sabe que: bi=ai+i
A) 100 B) 105 C) 107
ARITMÉTICA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez NUMERACIÓN
01. Calcule “a” si:
9
7 . p a n 2c 1 aa 3 Además n pc
5p7
4c3
2
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 602. ¿Cuántos valores puede tomar “k” en n n k 0,125 kk ? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 03. Si:
n 5 7 n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd Halla:
a b c d
A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 14 04. Halle
m n p
, si n n 1110 ,81
y (n 1)1mp
son números consecutivos.A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11
05. Sabiendo que :
a7b
n
aoc ;
9además
6d6
n
mbmb
5 . Halle el valor de (m + b + d).A) 2 B) 4 C) 3
D) 6 E) 8
06. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en:
...1818 n 18.
18
123
“m” veces A) 8 B) 9 C) 11 D) 14 E) 10 07. Si:
9
3a b 1 c 2 c
b 1 10 xy 12
Calcule:
a b c x y
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 08. En la siguiente expresión: m n 8M 4n6
54
3mn
Halle M. A) 42 B) 532 C) 24 D) 220 E) 44 09. Si se cumple que: ab n aa 29abca
17a
Calcule el valor de “n” A)3 B)4 C)6 D)9 E)510. Halle
a b c m n ,
sabiendo que: n m
aba
bcn
Sabiendo que: m< 9 y b > 4A) 27 B)3 C)-5
D) -3 E)5
11. Calcule la suma de las dos últimas cifras del
numeral:
n16 12 13 8
, al expresarlo en el sistema de base
n
1
. A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3 12. Si se cumple: x 2m 1 9 6 12 abcd m m m Calculea b c d m x
A) 8 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15 13. Calcule :a n m
Si: n m120a
64a 2553
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 19 14. Halle “x” en: n 7abx
ccn ,
si:c
2
ya
b
A) 0 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 15. Si se cumple que: (2n) numerales
n14
10
1
15
11
14
12
15
13
1 n 1
¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se exprese en la base n2 ? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 16. Halle
a
b
n
k
en la siguiente expresión: k n9ab
213312
; dondek
n
2 A) 18 B) 24 C) 28 D) 41 E) 3717. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n.
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
18. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea:
S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…
y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron?
A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 19. Si se cumple: 2 8
a10b11b
15c
Halle:
a
b
c
A) 6 B) 7 C) 5 D) 9 E) 10 20. Si se cumple:ab
n
ba
7Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible.
A) 37 B) 13 C) 11
D) 21 E) 10
21. Al convertir N = 15 x 56 + 21 x 55 + 8 x 52 + 2 a base 5; la suma de cifras del numeral resultante es:
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 22. Al convertir ) 3 (
3
)
2
(
1
a
a a base (a+2) el numeral resulta: a) 123 b) 234 c) 324 d) 231 e) 13123. Convertir el menor numeral de base 8 cuya suma de cifras es 215, al sistema binario.
a) ) 2 ( 90
11
...
111
cifras b) ) 2 ( 9010
...
101010
cifras c) ) 2 ( 9011
...
111
10
cifras d) ) 2 ( 9311
...
10111
cifras e) n.a 24. El valor de
...
5
2
5
1
5
2
5
1
4 3 2P
, es: a) 24 5 b) 24 6 c) 24 7 d) 3 1 e) 1 25. Si ) ( ) (n7
(
13
)
n2abba
, sabiendo que a y bse diferencian en 2 unidades, el valor de “n” es:
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 5
26. Al expresar el numeral 4122n en la base (n+1), la suma de sus cifras es 26, calcula n.
Además n > 11
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
27. ¿Cuántos numerales existen, tales que al ser expresados en el sistema senario, heptanario y octavario se representan con 3 cifras?
a) 140 b) 21 c) 152
d) 300 e) 280
28. Calcula la suma de cifras al expresar en el sistema ternario el numeral capicúa siguiente
9
4
3
3
)
2
)(
1
3
(
b
c
b
a
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 29. Si:
cifras 10 ) 216 ( cifras 30 6(
6
n
1
)(
7
n
29
)
abc
abcabc
Halla: a + b + c A) 3 B) 6 C) 7 D) 9 E) 1130. Halla un número de tres cifras significativas de la base 10 y dar como respuesta la suma de sus cifras, sabiendo que al convertirlo a base 7 se escribe también con tres cifras, pero cada una de ellas es el doble de la cifra que le corresponde en el número escrito en base 10.
a) 7 b) 8 c) 6
d) 11 e) 13
31. Halla un numeral de 4 cifras (el mayor posible) que sea igual a la suma de 73 veces el numeral formado por sus 2 primeras cifras y 37 veces el que se forma con las 2 últimas cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 24 b) 18 c) 15
d) 21 e) 25
32. El número 454545… tiene 71 cifras y está representado en base 9, convertirlo a base 3 e indicar cuantos “unos” se emplea en dicho sistema.
a) 121 b) 142 c) 106
d) 107 e) 213
33. ¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual 2504 se escribe como un número de tres cifras?
a) 50 b) 47 c) 46
d) 25 e) 40
34. Al escribir el menor numeral en base “n”, donde la suma de sus cifras es:
1
n
n
n
n
n
n
10
9
8
7
6
5
, observamosque las tres últimas cifras suman 18. Expresar 2537 a base
n
2.(Dar como respuesta la suma de cifras)a) 20 b) 53 c) 32
ARITMÉTICA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez DIVISIBILIDAD
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON
(no+ r)K = no + rK ; k Z+ - (13o -2)2 =13o + 22 En general: oa - rn ; n : impar (ao-r) n ; a, r, n Z+ ao+ rn ; n : par Aplicaciones
1. Calcula el residuo de dividir 1333508 entre 11. Rpta: 3
2. Calcula el residuo de dividir abc9m2 entre 5. RESTOS POTENCIALES
Ejemplo:
Determina los restos potenciales (RP) de 4, respecto al módulo 7
º
4 = 7o+ 1 Restos potenciales los cuales se repiten en bloques de 3. 41 = 7o+4 Se deduce que: 42 = 7o + 2 43 = 7o + 1 44 = 7o + 4 45 = 7o + 2 4n = 7o + r CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD A. Por 2n y 5n
Un número es divisible por 2n o 5n, si y sólo si el bloque formado por sus “n” últimas cifras es divisible por 2n o 5n respectivamente, en caso contrario el bloque nos dará el residuo. N = 10 + e Será N = 2o e = o2 Será N = 5o e = 5o N=abcde N = 100o de Será N = 4o de = 4o Será N = 25o de = 25o N = 1000o + cde Será N = o8cde = 8o Será N = 125o cde=125o NOTA: Como 10 es o2yo5 Aplicación
1. Si: mn43a8o, determine el valor de “a”. 2. Si: ababa25o , determinar el máximo valor de: a+b B. Por 3 ó 9
Un número es divisible por 3 ó 9, si y sólo si la suma de sus cifras es un 3oó 9o respectivamente. En caso contrario nos dará el residuo.
Ejemplos: 3456 = o9 (suma de cifras es 18 =
9
o) 5557 = 9o+ 4 (suma de cifras es 22 = 9o+ 4) En general: N= abcde - Será N = o9 a + b + c + d + e = o9 - Será N = o3 a + b + c + d + e = o3 NOTA:Todo número que sea o9 será 3o Aplicación
1. Si 1a2a3a6 o9, hallar la suma de los valores de “a”.
C. Por 11
Un número es divisible por 11, si y sólo si la suma de sus cifras de lugares impares menos la suma de cifras de lugares pares contabilizando de derecha a izquierda nos da un múltiplo de 11, en caso contrario nos dará el residuo. Ejemplos: o 11 o ) 3 1 ( ) 7 5 3 ( 11 3 1 5 3 7 73513 = 11 o o 11 o ) 0 a ( ) 4 7 a ( 11 a a 7 0 4 407aa = 11 o D. Por 7
Un número es divisible por 7, si y sólo si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, ... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtienen una cantidad múltiplo de 7, en caso contrario nos dará el residuo.
Ejemplos: 6 4 4 1 8 2 1 3 2 1 3 2 - 12 – 12 – 4 + 2 + 24 + 2 = 0 = 7o 644182 = 7o 1 1 2 5 3 9 1 3 2 1 3 2 - 2 – 3 – 2 + 10 + 9 + 9 = 21 = 7o 112539 = 7o 4 7 5 4 2 1 3 2 1 3 - 12 – 7 + 10 + 12 + 2 = 5 = 7o+ 5 47542 = 7o+ 5 E. Por 13
Un número es divisible por 13, si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, - 3, - 4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, -1.... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtienen una cantidad múltiplo de 13, en caso contrario nos dará el residuo. Ejemplos 3 6 4 1 8 2 0 1431431 + 3 + 24 + 12 – 1 – 32 – 6 + 0 = 0 = 13o 3641820 = 13o 2 7 3 0 5 2 431431 8 + 21 – 3 – 15 + 2 = 13 = 13o 273052 = 13o 1 6 3 2 7 0 4 1431431 1 + 24 + 9 – 2 – 28 + 4 = 8 = 13o + 8 1632704 = 13o + 8 F. Por 33 ó 99
4
n=
o 7+ r 4 +1
r n
o 31
o 32
o3+ 2
Un número es divisible por 33 ó 99, si al descomponer el número en bloques de dos cifras a partir del menor orden y sumarles el resultado sea múltiplo de 33 ó 99.
Ejemplos:
30 31 71
30 + 31 + 71 = 132 = 33o 303171 = 33o 180 84
1 + 80 + 84 = 165 = 33o 18084 = 33o 57 54 87
57 + 54 + 43 = 99 = 99o 575487 = 99o 572548 57 + 25 + 48 = 130 = 99o + 31 572548 = 99o + 31 PRACTICA01. Halla la cifra de unidades que resultan de convertir el número N = 256652 a base 9.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 5 E) N.A
02. Halla el residuo de dividir el número 373737.... (200 cifras) entre 32
A) 5 B) 7 C) 9
D) 3 E) 8
03. ¿Cuántos números de cifras son 3 ó4 pero no
5?
A) 630 B) 360 C) 330
D) 300 E) N.A
04. Si el numeral
4
a
83
b
8
es divisible por 99. Hallaab
A) 66 B) 76 C) 86
D) 67 E) N.A
05. Encuentra el número de 3 cifras tal que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras.
A) 157 B) 165 C) 155
D) 175 E) N.A.
06. Halla el residuo de dividir el número:
2 2 2 2
72
...
3
2
1
T
entre 43 A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) N.A.07. El número de 4 cifras que al ser dividido entre 4; 5; 9; 11 y 25 produzca respectivamente los restos: 1; 4; 5; 1 y 14. Es igual a:
A) 3389 B) 3578 C) 3884
D) 4379 E) 6778
08. En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la 11° parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombre son usan lentes?
A) 22 B) 28 C) 2
D) 20 E) 4
09. De un grupo de 83 personas, la tercera parte de las mujeres tienen ojos negros y la 11° parte de los hombres tienen ojos azules. ¿Cuántas mujeres no tienen ojos negros?
A) 4 B) 48 C) 26
D) hay 2 respuestas E) hay 3 respuestas
10. El resto de dividir el número 3333355 entre 5 es:
A) Es exacta B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 11. Si:
107
108
109
...
23
15
0
sumandos n, luego el mínimo valor de n es :
A) 15 B) 16 C) 22 D) 23 E) 24 12. Si: P= 20 3 2
1225
...
1225
1225
1225
x
x
x
x
Luego la cantidad de divisores de P es: A) 17505 B) 17525 C) 17675 D) 177241 E) 177241
13. Si el número N= a.10a-1 es múltiplo de 11 más 5 y a es menor que 10, entonces la cantidad de valores de a es:
A) 2 B) 3 C) 4
D) 6 E) 8
14. El número
abcd
es divisible por 9;cabd
es divisible por 17;bdca
es divisible por 11yacbd
es divisible por 4. Halla a.A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
15. En una fiesta hay menos de 100 personas pero más de 90.Los niños son 1/7 del número de damas y los caballeros son un número primo mayor que 30. En un instante dado los caballeros que no bailan son tantos como 1/8 del número de damas. ¿Cuántas damas no bailan en ese instante?
A) 18 B) 24 C) 29
D) 31 E) 32
16. Calcula el resto que se obtiene al dividir E=
2
!
3
!
4
!
...
99
!
100
!
entre 7.A) Es exacta B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
17. Indica el residuo de la siguiente división:
1980
1990
3
71
9801990 8090
A) 1 B) 5 C) es exacta D) 2 E) 718. ¿Cuál es el menor valor entero positivo que puede tomar el cociente al dividir un numero de la forma:
0
29
+27 entre otro de la forma0
29
+4, obteniéndose como resto 2?A) 2 B) 18 C) 25
D) 26 E) 28
19. De los 4350 primeros números naturales, ¿cuántos son divisibles entre 29 pero no entre 3?
A) 60 B) 85 C) 88
D) 100 E) 120
20. Si M tiene 9 cifras distintas (ninguna es cero) siempre es múltiplo de n, cualesquiera sea el orden de las cifras. El mayor de n es:
A) 7 B) 3 C) 9
D) 11 E) 17
21. Si N =
a(3a)(3a)a
tiene 8 divisores ¿Cuántos números N existen?A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
22. Si el número N =
aabbaabb
es múltiplo de 187, entonces se puede afirmar que la cantidad de números que cumplen la condición es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 23. Si 0
13
)
a64a
CA(
, entonces la suma de todos los posibles valores de a es:A) 3 B) 6 C) 15
D) 21 E) 45
24. Si
0
21
8a8b5
para a>b, luego a-b es:A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
25. Encuentra el mayor número de cuatro cifras
abcd
divisible entre 17, tal quecd
3(
ab
)
4
. El valor de a + b + c + d es:A) 11 B) 13 C) 15
D) 16 E) 18
26. Un número de 3 cifras es
0
8
, si se invierten sus cifras, es0
5
y la cantidad de decenas del numero original son un0
17
. La suma de sus cifras del número original es:A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
27. Las 3 primeras cifras de un número capicúa de cinco cifras forman un múltiplo de 7, las tres últimas forman un múltiplo de 19 y el número mismo es múltiplo de 5. Las tres cifras del centro forman un múltiplo de:
A) 9 B) 11 C) 13 D) 17 E) 23
28. La suma de las tres últimas cifras obtenidas al expresar 10811443 en el sistema senario es:
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
29. Si el número
abcd
tiene 14 divisores y a + c = b + d = 9, entonces la cifra b de dicho número es:A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 8
30. N es el producto de todos los primos absolutos menores que 200, y tiene 245 divisores impares, de los cuales 21 son divisores de 3 cifras que a su vez tienen 2 divisores. ¿Cuántos primos absolutos son memores que 100?
A) 19 B) 21 C) 23 D) 25 E) 46
31. A un número se le sumo su C.A y se obtuvo otro que tiene 5625 divisores ¿Cuántas cifras tiene dicho número?
A) 37 B) 45 C) 74 D) 75 E) 150
32. ¿Cuál es la suma de todos los números primos comprendidos entre 100 y 300, que son capicúas?
A) 755 B) 755 C) 865 D) 965 E) 995
33. Si a un número de 3 cifras se le resta el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es un número que tiene 24 divisores, y también de 3 cifras, luego la suma de la cifra de unidades y centenas del número es:
A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 16
34. A una fiesta de carnaval asistieron 105 personas entre niños, mujeres y hombres. La cantidad de niños era la séptima parte de las mujeres que asistieron y los hombres que no bailaban eran la octava parte de las mujeres que asistieron. ¿Cuántas mujeres no bailaban?
A) 34 B) 56 C) 22
D) 12 E) 28
35. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre múltiplo de:
A) 41 B) 43 C) 11 D) 17 E) 9
36. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 14 y terminan en 8?
A) 18 B) 12 C) 24 D) 13 E) 27
37. Halla el residuo de dividir: 1551548 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ARITMÉTICA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez NÚMEROS PRIMOS
CLASIFICACIÓN: Según la cantidad de divisores. 1. NÚMEROS SIMPLES:
1.1 LA UNIDAD: Es el único número que posee un sólo divisor, al uno (1).
1.2 PRIMOS: Llamados también primos absolutos; son aquellos números que poseen únicamente dos divisores: a la unidad y al mismo número. 2. NÚMEROS COMPUESTOS: Son aquellos números que
poseen más de dos divisores. OBSERVACIONES:
Todo número compuesto posee divisores simples y compuestos.
En general:
Sea N un entero positivo, donde: CD(N): Cantidad de divisores de N CDS(N): Cantidad de divisores simples de N CDC(N): Cantidad de divisores compuestos de N Entonces:
PROPIEDADES
La unidad no es número primo.
Todo número primo absoluto mayor que 2 al ser dividido entre 4 deja resto -1 ó 1.
Todo número primo absoluto mayor que 3 al ser dividido entre 6 deja resto -1 ó 1.
La sucesión de los números primos absolutos es infinita.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31,…
El número 2 es el único primo par.
Los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos son: 2 y 3.
La única terna de números impares consecutivos y primos absolutos son: 3, 5, 7.
¿Cómo reconocer un número primo?
1. Se extrae la raíz cuadrada al número dado, si es exacta, entonces el número no es primo; caso contrario hacer paso 2.
2. Se extrae la raíz cuadrada por exceso del número. 3. Se divide el número entre todos los números primos
menores o iguales que su raíz cuadrada por exceso y si ninguna de las divisiones resulta exacta, entonces el número es primo.
Ejemplo: Determina si el número 193 es un número primo.
CLASIFICACIÓN POR GRUPOS DE NÚMEROS 1. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (P.E.SI)
Llamados también números primos relativos o coprimos, son aquellos números que tienen como único divisor común a la unidad (1)
PROPIEDADES
Dos o más números consecutivos son siempre P.E.Si
Si en un grupo de números, uno de ellos es la unidad, entonces todo el grupo es P.E.Si
Todo conjunto de números enteros impares consecutivos son siempre números P.E.Si
Si A y B son P.E.Si, entonces: 1. A, B y A+B son P.E.Si 2. A, B y A-B son P.E.Si ; (A>B) 2. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 2 A 2
Son aquellos que al ser tomados por parejas (de 2 en 2) en todas las combinaciones posibles, siempre son primos entre sí.
3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA (Teorema de Gauss)
“Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus factores primos diferentes entre si, elevados a exponentes enteros positivos”; la
descomposición es única y es llamada Descomposición Canónica.
Sea el número:
Donde:
A, B, C,…, P: Números primos absolutos distintos entre sí (factores primos o divisores primos).
a, b, c,.., p: Exponentes enteros y positivos. 4. ESTUDIO DE LOS DIVISORES
4.1. CANTIDAD DE DIVISORES DE N [CD(N)]OBSERVACIONES:
1. La cantidad de divisores también está dado por:
2. Si N=A x B ; donde A y B son P.E.Si, entonces:
3. Un número es cuadrado perfecto si sólo si la cantidad de divisores es impar.
4.2. SUMA DE DIVISORES DE N [SD(N)]
4.2.1. SUMA DE DIVISORES DE N MULTIPLO DE m [SD(N,
o
m
)]Siendo los divisores múltiplos de algún módulo.
4.3. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N [SID(N)]
Donde SD(N) es la suma de los divisores de N
4.3.1. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N [SID(N, mo )]
Siendo los divisores múltiplos de algún módulo.
4.4 PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N[PD(N)]
4.4.1 PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N MULTIPLOS DE m [PD(N,
o
m
)]
Siendo los divisores múltiplos de algún módulo. CANTIDAD DE MANERAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMO EL PRODUCTO DE 2 FACTORES [f(N)]
La cantidad de maneras en que puede expresarse un número N como el producto de dos factores enteros y positivos f(N), se obtendrá a partir del conjunto de todos sus divisores elegidos convenientemente de dos en dos. Es decir:
impar
es
CD
si
CD
par
es
CD
si
CD
N
f
N N N N ) ( ) ( ) ( ) (,
2
1
;
2
)
(
Donde CD(N) es la cantidad de divisores del número “N”. FUNCIÓN DE EULER ó INDICADOR DE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
Es la cantidad de números enteros positivos primos entres sí con N, que existen entre dos múltiplos consecutivos con N.
Es decir representa la cantidad de números menores y primos relativos (PESI) a N.
Sea el número:
Canónica ción Descomposi p c b aP
x
x
C
x
B
x
A
N
...
Entonces: TEOREMA Si N es Primo, entonces
(N) = N- 1 TEOREMA Si N es Primo, y a
entonces
(Na) = Na-Na-1 PROPIEDADSi N>1, entonces la suma de todos los números menores o iguales a N y PESi con N es:
TEOREMA DE EULER
Si m>1, además a y m son PESi, entones
1
) (m
o
m
a
PRACTICA BLOQUE I01. Si: 10x.21 tiene 100 divisores, el valor de “x” es:
02. ¿Cuántos ceros debe colocarse a la derecha de 144 para que el número resultante tenga 135 divisores?
CD(N)=CDS(N)+CDC(N) CD(N) = (a + 1) (b + 1) (c + 1)... (p + 1)
N
SD
SID
N N ) ( ) (
) ( ) ( N CD NN
PD
Canónica ción Descomposi p c b axP
x
xC
xB
A
N
...
1
1
...
1
1
.
1
1
.
1
1
1 1 1 1 ) (
P
P
C
C
B
B
A
A
SD
p c b a N)....
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
(1)
(1)
(1)
C
C
B
B
A
A
N
a b c
CD(N)=CDC(N)+CD (PRIMOS)+1 CD(N)=CD(A).CD (B)
m
N
mxSD
SD
o m N, ) (N
SD
SID
N m m N o ) / ( ) , (
m
N
xPD
m
PD
m N CD m N o ) , (2
)
( N
Nx
S
03. Si: 24n.14 tiene 200 divisores compuestos, dar el valor de “n”.
04. Si: N = 4x+3 + 4x tiene 72 divisores compuestos, dar “x”.
05. Halla la suma de todos los divisores compuestos de 600.
06. ¿Cuántos divisores de “N” no son múltiplos de 6, siendo: N = 180.452?
07. Halla un número de cuatro cifras que sea divisible por 15 y tenga 10 divisores. Dar el residuo de dividir el número entre 17.
08. Encontrar un número de la forma
abc
que posee 9 divisores y además: b = a + c. Hallar: “a2 + b2 + c2”.09. ¿Cuántos números de cuatro cifras iguales tienen 8 divisores?
10. Sea un número: M = 2a.3.5b que tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Halla la suma de cifras de “M”.
11. ¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en 1; 3; 7 ó 9?
12. Si: N = 2 3a 7b tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores pares, ¿cuál es el valor de “a + b”? 13. Sea “m” la diferencia entre la cantidad de divisores
que tienen 136n y 147n; entonces, determinar cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) correcta(s):
I. “m” es el producto de dos números consecutivos.
II. “m” es siempre par.
III. “m” es el producto de dos números pares. IV. “m” es el producto de dos números impares. V. “m” es el doble de la suma de 1 hasta “n”. 14. ¿Cuál es el número de cuatro cifras que termina en
cero, tiene 30 divisores y además la suma de sus cifras es 12? Indicar su cifra de centenas. 15. ¿Cuál es el menor número por el que se debe
multiplicar a 1 155 para que sea divisible entre 252? BLOQUE II
16. Si
aabb
tiene 21 divisores. Calcular “a + b”, si se sabe que uno de sus divisores es el número ocho.A) 10 B) 12 C) 11
D) 16 E) 9
17. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 al número 150 para que el producto resultante tenga 540 divisores?
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
18. ¿Cuántos rectángulos de 80 m2 de área existen, tal que sus lados son números enteros?
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
19. La cantidad de terrenos rectangulares; cuyos lados expresados en metros son enteros, tienen una superficie de 3080 m2, es:
A) 32 B) 16 C) 10
D) 14 E) 24
20. El área de un rectángulo es 588 m2. ¿Cuántos valores puede tomar su perímetro sabiendo que sus lados miden un número entero de metros y su perímetro es menor que 150 m?
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
21. ¿Cuántos divisores tiene el número
ababab
, si se cumple que el número tiene 4 divisores primos y tambiénab
es primo?A) 12 B) 20 C) 24
D) 30 E) 36
22. El número de divisores divisibles entre 20 que tiene 11880 es:
A) 10 B) 12 C) 16
D) 18 E) 20
23. Si el cuadrado de “N” tiene 15 divisores, ¿cuántos divisores tiene “N”?
A) 3 ó 5 C) 6 ó 4 E) 8 ó 4 B) 6 ó 5 D) 8 ó 6
24. Halla la suma de cifras de un número que sólo admite dos divisores primos y que tiene en total 6 divisores cuya suma es 28.
A) 3 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
25. ¿Cuántos divisores de 4504 son múltiplos de 3 pero no de 5?
A) 36 B) 40 C) 72
D) 120 E) 144
26. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 a 420 para que el producto resultante tenga 180 divisores?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
27. Halla un número entero compuesto únicamente por los factores 2 y 3; sabiendo que al multiplicarlo por 12 su cantidad de divisores aumenta en 19 y si lo dividimos entre 18, la cantidad de divisores disminuye en 17.
A) 5 184 C) 5 284 E) 5 080 B) 5 288 D) 5 174
28. Un número está compuesto por los factores primos 2 y 3; el número de divisores de su raíz cuadrada es 12 y el número de divisores de su cuadrado es 117. ¿Cuántos números de este tipo existen?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
29. Un número está compuesto por los factores primos 2 y 3. Si lo duplicamos tiene 4 divisores más, pero si lo triplicamos la cantidad de divisores se incrementa en 3. Calcula el número y dar la suma de sus cifras.
A) 3 B) 6 C) 9
D) 12 E) 15
30. ¿Cuántos términos debe tener la siguiente multiplicación para que el producto tenga 961 divisores?
P = 36 362 363 ... 36n
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
31. ¿Cuántos ceros hay que colocar a la derecha del número 275 para que el número resultante tenga 70 divisores?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
32. Un número admite como divisores primos únicamente a 3 y 5. Si se multiplica por 3 y por 5 su número de divisores aumenta en 5 y 3 respectivamente. Si el número se multiplica por 15, ¿cuántos divisores tendrá el resultado?
A) 15 B) 18 C) 20
D) 24 E) 30
33. Halla el valor de “n” para que el número de divisores de N = 30n sea el doble del número de divisores de M = 15 18n.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
34. Si “a” y “b” son números primos absolutos, ¿cuántos divisores debe tener: N = ax+1 . bx+3 para que su raíz cuadrada tenga 20 divisores?
A) 63 B) 80 C) 54
D) 48 E) 60
35. Halla la suma de las cifras de N = 14 30n y M = 21
15n, si la suma de sus números de divisores es 96.
A) 9 B) 18 C) 27
D) 21 E) 24
36. Un número tiene 22 divisores y su cubo tiene 64 divisores. ¿Cuántos divisores tiene su raíz cúbica?
A) 8 B) 10 C) 12
D) 15 E) 6
37. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
38. ¿Cuántas veces debe multiplicarse a 18 por sí mismo para que el resultado tenga 66 divisores compuestos?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
39. ¿Cuántos divisores de 4 800 son múltiplos de 5 pero no múltiplos de 3?
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
40. Para el número 504, ¿cuántos de sus divisores no son divisibles entre 6?
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
41. Un número tiene solamente dos factores primos. Si posee 5 divisores impares y 15 divisores múltiplos de 18, ¿cuál es la suma de sus cifras?
A) 9 B) 18 C) 27
D) 36 E) 42
42. ¿Cuántos divisores que son múltiplos de 6 pero no de 5 tiene el número 18 000?
A) 5 B) 8 C) 7
D) 9 E) 3
43. ¿Cuántos números existen que contengan como únicos factores primos a 2 y 3, de modo que la cantidad de divisores de su cuadrado sea triple de la cantidad de divisores del respectivo número?
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
44. Encontrar la suma de las cifras de un número que tiene nueve divisores, sabiendo que si se le divide entre 11 da como cociente a un número primo absoluto y como residuo a 9.
A) 11 B) 10 C) 15
D) 16 E) 17
45. N es el producto de todos los primos absolutos menores que 200, y tiene 245 divisores impares, de los cuales 21 son divisores de 3 cifras que a su vez tienen 2 divisores. ¿Cuántos primos absolutos son menores que 100?
a) 19 b) 21 c) 23
ARITMÉTICA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez MCD Y MCM
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Dado un conjunto de números, se define al MCD de estos como aquel número que cumple las siguientes condiciones:
Es un divisor común.
Es el mayor de estos divisores. Ejemplo 1: Sean 20 y 70
divisores20
,
10
,
5
,
4
,
2
,
1
:
20
70 : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 Divisores comunes: 1, 2, 5, 10 Luego el MCD (20,70) = 10Ejemplo 2: Sean los números 18, 42 y 66
18 :
divisores18
,
9
,
6
,
3
,
2
,
1
42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 66 : 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66 divisores comunes: 1, 2, 3, 6 Luego el MCD (18, 42, 66) = 6 PROPIEDADSe observa que los divisores comunes de dos o más números siempre serán divisores de su MCD. 1. ¿Cuántos divisores comunes tienen números 600 y 500?
2. Si el MCD(A, B, C) = 720 ¿Cuántos divisores comunes tienen A, B y C
OBSERVACIONES
a. Si un conjunto de números son pesi, MCD es igual a 1.
b. Si A = Bo MCD(A ,B) =B
3. Si A < 119 y MCD(A, B) = 90. ¿Cuántos divisores impares comunes tienen A y B?
4. Si: MCD (5A,7A) = 120 y MCD (6B, 9B) = 36 Calcula A + B
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Dado un conjunto de números, se define MCM de estos, como aquel que cumple las siguientes condiciones:
Es un múltiplo común (positivo).
Es el menor de estos. Ejemplo 1: Sean 6 y 8 6: Múltiplos() ,... 102 , 96 , 90 , 84 , 78 , 72 , 66 , 60 , 54 , 48 , 42 , 36 , 30 , 24 , 18 , 12 , 6 8: 8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96,104,.. Múltiplos comunes: 24, 48, 72, 80, 88, 96, 104,... Luego el MCM (6, 8) = 24 Ejemplo 2: Sean 10, 15 y 30 10: Múltiplos() ,... 130 , 120 , 110 , 100 , 90 , 80 , 70 , 60 , 50 , 40 , 30 , 20 , 10 15: 15,30,45,60,75,90,105,120,135,... 30: 30,60,90,120,150,180,210,240,... Múltiplos comunes: 30, 60, 90, 120,... Luego el MCM (10, 15, 30) = 30 PROPIEDAD
Los múltiplos comunes de varios números son múltiplos de su MCM.
6. ¿Cuántos múltiplos comunes de 3 cifras tienen los números 3, 4 y 5?
7. Calcula la suma de los 24 primeros múltiplos comunes positivos de 24 y 36
OBSERVACIONES
a. Dados un conjunto de números “pesi 2 en 2” el MCM de estos será el producto de todos estos.
b. Si A = Boentonces MCM(A, B) = A
8. Si MCM (4A, 7A) = 2800 y MCM (3B, 5B, 2B) = 720. Calcula A + B
9. Indica verdadero (V) o Falso (F):
Si MCD (A, B) = 1 y MCD (B, C) = 1, entonces MCD (A, B, C) = 1
Si A, B y C son números consecutivos, entonces: MCM (A, B, C) = A x B x C
MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MCM Y MCD Por descomposición simultánea
Ejemplo: Sean 72, 40 y 88 1 1 1 11 1 1 11 5 1 11 5 3 11 5 9 22 10 18 44 0 2 36 88 40 72 2 2 2 3 3 5 11 MCM (notar que no se puede sacar más en común MCM Es decir MCD (72, 40, 88) = 2 x 2 x 2 = 8 y MCM (72, 40, 88) = 23 x 32 x 5 x 11
10. ¿Cuál es el menor número de trazos de igual longitud que pueden obtener dividiendo tres varillas de 540, 480 y 360 milímetros sin despreciar material?
Por descomposición canónica Ejemplo: Sean: 3 3 4x5 x7 2 A y B23x55x7x132
onentes
menores
comunes
Divisores
MCD
exp
Luego: MCD(A, B) = 23 x 53 x 71
onentes
mayores
divisores
los
todo
MCM
exp
Luego MCM(A, B) = 24 x 55 x 73 x 132 11. Si3
15
37
x
x
A
n n yB
3
2nx
5
n2x
17
4 Tienen 56 divisores comunes; calcula n. 12. De la aplicación anterior, si el menor número que contiene a A y B tuviese 350 divisores.¿Cuánto valdría n?
Por divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides (Sólo para el cálculo del MCD)
Ejemplo: Calcula el MCD de 525 y 231 525 2 231 3 63 1 2 0 63 42 21 42 21 Cocientes Residuos Luego el MCD (525, 231) = 21 NOTA:
Esto está basado en el hecho que:
De la división sabemos: D = d x q + r y siempre se verifica que MCD (D, d) = MCD (d, r)
Si observamos el esquema anterior notamos que por Ejemplo: 231 = 63 x 3 + 42; 63 = 42 x 1 + 21; o sea, si tenemos ... A 7 10 ... 2 A = 10 x 7 + 2 = 72 ... B 15 12 ... 6 B = 12 x 15 + 6 = 186 Además recordar que una división inexacta también puede ser hecha por exceso, en tal sentido, si la siguiente parte en el esquema, estuviese hecha por exceso, se tomaría en cuenta que: ... A 10 12 ... 3 A = 12 x 10 - 3 = 117 5 ... B 11 15 ... B = 15 x 11 - 5 = 160
13. Al calcular el MCD de los números
man
y pq6 por el algoritmo de Euclides, los cocientes sucesivos fueron 2, 3, 1 y 5. Calcula: m + n + p + q.14. El MCM de dos números es 22400 y en el cálculo del MCD de dichos números por divisiones sucesivas los cocientes respectivos fueron 2, 5 y 3. Calcula la suma de dichos números.
15. Al calcular el MCD por Euclides, de dos números pesi, los cocientes fueron 2, 3, 4 y 2. Calcula los números sabiendo que la segunda división se hizo por exceso. PROPIEDADES
A. MCD(A, B, C) = d A = d x p ; B = d x q ; C = d x r
Donde: p, q y r son pesi
MCM(A, B, C) = m a; b B m A m ; d C m
B. Sólo para dos números. Sean a y B MCD(A, B) x MCM(A, B) = A x B C. i. Si MCD(A, B, C) = d MCD (An, Bn, Cn) = dn MCD n d n C n B n A, , ii. MCM(A, B, C) = m Entonces MCM (Ak, Bk, Ck) = mk MCM k m k C k B k A, , D. MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B), C) = MCM(A; MCD (B, C) MCM(A, B, C) = MCM (MCM(A, B), C) = MCM(A,MCM(B, C)) E. Si A= N - 1; B = N - 1; C = N - 1 1 N ) C , B , A ( MCD MCD(,,) 16. Si: MCM (B, C) = 30030 y MCD (B, C) = 5 ¿Cuántas parejas de números cumplen esta propiedad?
17. Si: MCM(A, B) x MCD(A, B) = 21060 además
65
) B , A ( MCD ) B , A ( MCM
. Calcula A y B 18. Si MCD (1524, N) = 127 donde N < 1524 ¿Cuántos valores toma N?19. Si MCD (3A, 24C) = 18N y MCD (2C, B) = 2N; calcula N si el MCD de A, 4B y 8C es 2100.
20. Calcula la suma de cifras del MCD de A y B, si A es el menor número cuya suma de cifras es 270 y B es también el menor número cuya suma de cifras es 405.
21. Dados A, B y C se sabe que MCD(A, B) = 30 MCD (B, C) = 198
¿Cuál es el MCD(A, B, C)?
22. Calcula A x B si MCM (42A, 6B) = 8064 y el MCD (77A, 11B) = 88
PRACTICA
01. Se tienen ladrillos de 12. 15. 25 cms. ¿Cuántos de estos ladrillos son necesarios para construir el cubo compacto más pequeño posible?
Rpta.: ………. 02. Halla: A. B, si:
MCM (42A; 6B) = 8064 MCD (77A; 11B) = 88 Rpta.: ……….
03. Al dividir 1015 y 666 entre “n” los restos respectivas fueron 7 y 18. Halla el mayor valor de “n” Rpta.: ………. 04. Sabiendo que:
11
)
7
7
;
5
(
a
a
b
MCD
Halla MCM(
a
2
;
b
4
)
Rpta.: ……….05. Se tienen las siguientes sucesiones: 3; 8; 13; 18;... y 5; 12; 19; 26;... ¿Cuál es el cuarto término común de ambas sucesiones?
Rpta.: ………. 06. Sabiendo que: MCD (45A; 72A) = 900; MCM (3B; 4B) = 1440 Halla: A + B Rpta.: ……….
07. Una obra se compone de 2 tomos de 256 hojas el primero y 160 el segundo. Se desea encuadernarlos formando cuadernillos del mismo número de hojas, estando éste, comprendido entre 15 y 20. ¿Cuántos cuadernillos se formaron?
a) 16 b) 12 c) 8
d) 26 e) 22
08. Se han colocado postes, igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 182, 234 y 260 metros respectivamente. Sabiendo que hay un poste en cada vértice y que la distancia entre cada poste está comprendida entre 4 y 20 metros. ¿Cuántos postes se colocaron? a) 52 b) 26 c) 40 d) 51 e) 55
09. Un terreno que sirve de depósito para una fábrica está rodeado de una alambrada. El terreno es un rectángulo de 19040 cm de largo por 2720 cm de ancho. El cierre está sostenido por estacas distantes entre sí de 200 a 300 cm. de modo que haya una en cada esquina y en el medio de cada lado. ¿Cuántas estacas hay?
a) 80 b) 160 c) 70 d) 140 e) 120
10. Dos ciclistas recorren una pista circular uno de ellos da una vuelta completa en 64 s. y el otro en 72 s., suponiendo que los dos han partido simultáneamente y en sentido contrario de la misma línea. ¿Al cabo de cuántos segundos aproximadamente se hallarán por segunda vez juntos sobre la línea donde se encuentran por primera vez?
a) 33 b) 66 c) 34 d) 68 e) N.A
11. Un comerciante realiza dos ventas de frutas. Por 9750 soles las mandarinas y por 12350 soles las manzanas. Si las mandarinas y manzanas tienen el mismo precio y es el mayor posible. ¿Cuántas frutas vendió en total?
a) 26 b) 28 c) 36 d) 32 e) 34
12. Una línea de tranvía de 12 Km. de longitud está formada por rieles de 12 m. de largo. Se coloca postes telegráficos con 40 m. de intervalo.
¿Cuántas veces coinciden los postes con las uniones entre rieles, si existe un poste al extremo del primer riel?
a) 79 b) 149 c) 119
d) 99 e) 199
13. Se trata de formar un cubo de ladrillos cuyas dimensiones son 20 cm., 15 cm. y 6 cm. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el cubo más pequeño posible?
a) 100 b) 140 c) 120
d) 160 e) 180
14. Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo el lunes. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que le toque descansar un domingo?
a) 30 días b) 33 días c) 41 días d) 42 días e) 48 días
15. Para que un objeto que pesa más de 2000 grs. complete un peso de 10 kg. Se puede utilizar un número exacto de pesitas de 40, 50, 60 o 70 grs. ¿Cuál es el peso exacto del objeto?
a) 4,200 grs. b) 5,800 grs. c) 2,800 grs. d) 3,000 grs. e) 8,400 grs.
16. ¿Cuántos rectángulos de 24 cm x 15 cm se necesitan para formar el menor cuadrado posible? a) 40 b) 20 c) 68 d) 45 e) 65
17. Se desean desocupar tres recipientes de 540, 480 y 360 litros de capacidad. ¿Cuál será la capacidad de otro recipiente, comprendido entre 15 y 30 litros, de modo que al extraer el contenido de los demás recipiente no sobre nada y se haga en el menor número de veces? Señalar el número total de extracciones.
a) 42 b) 54 c) 61 d) 69 e) 73
18. ¿Cuál es el menor número de baldosas de 34 x 18 cm. para construir un cuadrado de tal manera que el lado de dicho cuadrado esté comprendido entre 3 m y 10 m.?
a) 153 b) 612 c) 1377 d) 306 e) N.A
19. Tres reglas de 300 mm de longitud cada una, están uniformemente graduadas, la primera cada mm, la segunda cada 16/25 de mm y la tercera cada 18/23 de mm. Si se les hace coincidir en toda su extensión. ¿A qué distancia del origen coincidirán tres líneas de las reglas?
a) 100mm b) 144mm c) 300mm d) 0,50mm e) 50mm
20. ¿Cuántas losetas cuadradas como mínimo se necesitan para cubrir dos extensiones de terreno. Una rectangular de: 63 x 231 y la otra cuadrada de 147 de lado?
a) 82 b) 79 c) 78 d) 81 e) 80
