ejercicios matematicas resueltos

(1)

INSTRUCCIONES: INSTRUCCIONES:

1

1.. IInngrgreesoso:: El ingreso mensual total de una guardería obtenido del cuidado deEl ingreso mensual total de una guardería obtenido del cuidado de xx niños está niños está dado por

dado por

rr

=

450450

x

, y sus costos mensuales totales están dados por, y sus costos mensuales totales están dados por

cc

=

380380

x

+

3500_{3500 . ¿Cuántos niños se}_{. ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de}_{necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de} equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan a

equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan a los costos?los costos? SOLC!O"# SOLC!O"# $%&OS# $%&OS# !ngreso mensual# !ngreso mensual#

rr

=

450450

x

"'mero de niños# ( "'mero de niños# ( Costos mensuales# Costos mensuales#

cc

=

380380

x

+

35003500 Ob)eti*o# (+? Ob)eti*o# (+? L%"&EO.

L%"&EO. Como Como dice, dice, cuántos cuántos niños niños deben deben matricularse para matricularse para que#que#

cc

=

rr

380 380

x

+

35003500

=

450450

x

3500 3500

=

450450

x

−

380380

x

3500 3500

=

7070

x

3500 3500 7 7

=

x

500 500

=

x

CO"CLS!O"# CO"CLS!O"# La cantidad

La cantidad de de niños que niños que se deben se deben matricularmatricular, para poder , para poder llegar al llegar al punto punto de de equilibrio,equilibrio, es

es -/ -/ o o sea sea cuando cuando - - niños niños se se matricule, matricule, el el ingreso ingreso mensual mensual y y el el costo costo mensual mensual dede la cuna serán los mismos

la cuna serán los mismos

MAT

MATEMÁTIC

EMÁTICA I

A I

Desarrollar cada uno de las interrogantes en forma ordenada y

co

con

n le

letr

tra

a le

legi

gibl

ble.

e. Ev

Evit

ite

e lo

los

s bo

borr

rron

ones

es y/

y/o

o en

enme

mend

ndad

adur

uras

as.

. (s

(se

e

tomará en cuenta para la

tomará en cuenta para la calicación)

calicación)

La presentación se realizará en formato ord o !df (escaneado).

El p

(2)

2. Ganancias: n 0abricante de pequeños instrumentos encuentra que la ganancia

G

1en

d2lares3 generada por la producci2n de 4

x

5 6ornos de microondas por semana está dada por

G

=

1

10

x

(

300

−

x

)

siempre que 0

≤ x ≤

200 ¿Cuántos 6ornos se tienen que 0abricar en una semana para generar una ganancia de 78- d2lares?

SOLC!O"# $%&OS#

9unci2n ganancia#

G

=

1

10

x

(

300

−

x

)

"'mero de unidades de microondas# ( Condici2n# 0

≤ x ≤

200

:anancia# 78- ; Ob)eti*o# (+?

L%"&EO. La 0unci2n ganancia 1:3 depende de la cantidad de microondas 1(3 producidas. En este caso la ganancia es 78- ;, entonces#

G

=

1200 1

10

x

(

300

−

x

)=

1250

operanado y ordenando se tiene

30

x

−

x

2

(3)

300

x

−

x

2

10

=

1250

x

2

−

300

x

−

125 00

=

0

hoy queda resolverestaecacion desegundo grado ,aplicamos for mulageneral

:

x

=−

b ±

√

b

2

−

4

ac

2

a

$onde#

a

=

1

b

=−

300

c

=

12500

x

=

300

±

√

(−

300

)

2

−

4

(

1

)(

12500

)

2

(

1

)

x

=

300

±

200 2

habra dos raices ,tal como

:

x

1

=

50

x

2

=

250

Seg'n la Condici2n# 0

≤ x ≤

200

x

1

=

50

Es *alida, pues está en el inter*alo de la condici2n/ por tanto#

x

=

50

CO"CLS!O"#

ara que la ganancia sea de 78-;, la cantidad de impresoras que se tiene que 0abricar es -

(4)

3. La ecuaci2n dada equi*ale a una ecuaci2n cuadrática. <esuel*a la ecuaci2n# 6

(

w

+

1

)

2

−

w

+

w

−

1

=

3 SOLC!O"# $%&OS# Ecuaci2n a reducir + 6

(

w

+

1

)

2

−

w

+

w

−

1

=

3 Ob)eti*o#

w

=

?

L%"&EO. =ediante operaciones algebraicas, se tiene que dar la 0orma#

ax

2

+

b x

+

c

=

_{0 , una ecuaci2n cuadrática#}

6

(

w

+

1

)

2

−

w

+

w

−

1

=

3 6

w

+

6 2

−

w

+

w

−

1

=

3

(

6

w

+

6

)(

w

−

1

)

w

(

2

−

w

)

(

2

−

w

)(

w

−

1

)

=

3

(

6

w

+

6

) (

w

−

1

)+

w

(

2

−

w

)=

3

(

2

−

w

)(

w

−

1

)

6

(

_w

2

−

1

)

+

2

_w

−

_w

2

=

3

(−

_w

2

+

3

_w

−

2

)

5

w

2

+

2

w

−

6

=−

3

w

2

+

9

w

−

6 8

w

2

−

7

w

=

0

En este caso se aplicara el m>todo de 0actoriaci2n para poder resol*er este ecuaci2n de segundo grado#

w

(

8

w

−

7

)=

0

segun propiedades de losnumerosreales setiene

:

(5)

del segundo setiene

: 8

w

−

7

=

0

entonces w

=

7 8

Soluciones#

w

=

7 8

w

=

0 CO"CLS!O"#

En este problema, 6a sido posible 6allar las soluciones 1raíces3, mediante 0actoriaci2n. Las dos raíces son los que satis0acen la ecuaci2n de segundo grado

4. La ecuaci2n dada equi*ale a una ecuaci2n cuadrática. <esuel*a la ecuaci2n y compruebe las posibles soluciones.

x

+

√

4

x

−

3

=

0 SOLC!O"# $%&OS# 9unci2n a reducir#

x

+

√

4

x

−

3

=

0 Ob)eti*o# (+?

L%"&EO. =ediante operaciones algebraicas, se tiene que dar la 0orma#

ax

2

+

bx

+

c

=

_{0 , una ecuaci2n cuadrática#}

x

+

√

4

x

−

3

=

0

medianteoperaciones algebraicas .

(6)

Ele*amos al cuadrado ambos miembros

(

√

4

x

)

2

=(

3

−

x

)

2

$esarrollando el binomio al cuadrado#

4

x

=

9

−

6

x

+

x

2

0

=

9

−

10

x

+

x

2

hoy queda resolver esta ecacion de s egundo grado , aplicamos formula general

:

x

=−

b ±

√

b

2

−

4

ac

2

a

$onde#

a

=

1

b

=−

1 0

c

=

9

x

=

10

±

√

(−

1 0

)

2

−

4

(

1

)(

9

)

2

(

1

)

x

=

10

±

8 2

habrados raices ,tal como

:

x

1

=

9

x

2

=

1 CO=<O@%C!O"#

Cuando , x

=

9,

en

0

=

9

−

10

x

+

x

2 0

=

9

−

10

(

9

)+

92 0

=−

81

+

81

(7)

Cuando , x

=

1,

en

0

=

9

−

10

x

+

x

2

0

=

9

−

10

(

1

)+

12

0

=−

1

+

1

0

=

0

_{; por lotanto satisface}

CO"CLS!O"#

Las soluciones (+7 y A+B satis0acen a la ecuaci2n cuadrática, por tanto estos son las raíces de la ecuaci2n

5. Estaturas Posibles: La estatura promedio de un *ar2n adulto es de D,8 pulg. y B- de los *arones adultos tiene una altura

h

que cumple la desigualdad#

|

h

−

68,2

2,9

|

≤

2 <esuel*a la desigualdad para determinar el inter*alo de estaturas. SOLC!O"#

$%&OS#

9unci2n a resol*er una inecuaci2n

Ob)eti*o# de0inir el inter*alo de de0inici2n de 6

L%"&EO. Se aplicara la de0inici2n de *alor absoluto#

|

h

−

68,2 2,9

|

=

h

−

68,2 2.9

si

h

−

68,2 2.9



0

FFFFFFF173

|

h

−

68,2 2,9

|

=−

h

−

68,2 2.9

si

h

−

68,2 2.9

<

0

FFFFFFF..183

(8)

Sea#

h

−

68,2

2.9



0

, entonces

h 

68.2,

(

primera condicion

)

|

h

−

68,2

2,9

|

≤

2

h

−

68,2 2.9

≤

2

h ≤

74

El inter*alo de de0inici2n de 6 será

68.2

≤ h ≤

74 Sea#

h

−

68,2 2.9

<

0,

entonces

h

<

68.2,

(

segundacondicion

)

|

h

−

68,2 2,9

|

≤

2

−

h

−

68,2 2.9

≤

2

h 

62.4

El inter*alo de de0inici2n de 6 será

62.4

≤ h ≤

68.2

$e las dos inter*alos, donde se de0ine 6, el 'nico punto donde donde coinciden es, solo el punto 6+D.8

CO"CLS!O"#

&al como dice el enunciado, el punto 6+D.8 es el *alor promedio de la estatura

6. Ley de Torricelli: n dep2sito contiene - galones de agua, que drenan desde un ori0icio en el 0ondo, lo cual causa que el dep2sito se *acíe en 8 min. El dep2sito drena más rápido cuando está casi lleno porque la presi2n del ori0icio es mayor. La Ley de &orricelli da el *olumen del agua que permance en el dep2sito despu>s de

t

minutos como#

(9)

!

(

t

)=

50

(

1

−

t

20

)

2

0

≤t ≤

20

Encuentre

!

(

10

)

!nterprete su respuesta. SOLC!O"# $%&OS#

:alones# 50

&iempo en que se *acía# 8 min

El *olumen en cualquier tiempo#

!

(

t

)=

50

(

1

−

₂₀

t

)

2

La *ariaci2n del tiempo 0

≤t ≤

20 Ob)eti*o#

!

(

t

=

10

)

=

?

L%"&EO. En este caso, como el *olumen depende del tiempo, se pide 6allar cuando el tiempo es 7 min/ o sea se e*aluara la 0unci2n *olumen en t +7min

!

(

t

=

10

)=

50

(

1

−

10 20

)

2

!

(

t

=

10

)

=

12.5

_galones

CO"CLS!O"#

El tiempo en que se *acía en su totalidad es 8 min, se 6a pedido 6allar el *olumen en t+7 min. ara cali0icar este resultado, será necesario, tener el *alor del *olumen en

t+min y en t+8min/ los cuales son G+-gal. H G+ gal. <especti*amente. En t+7 min, se pensaría err2neamente que se descargaría la mitad, pero eso no es la respuesta/ esto se debe )ustamente a la *ariaci2n de la presi2n sobre el ori0icio que e)erce la masa de agua.

(10)

7. Ialle el dominio de la 0unci2n#

y

=

x

2

√

6

−

3

_x

2 SOLC!O"# $%&OS# 9unci2n#

y

=

x

2

√

6

−

3

_x

2

Ob)eti*o# 6allar el dominio de la 0unci2n

y

L%"&EO. En este caso, se pide el dominio de la 0unci2n/ o sea el inter*alo de de0inici2n de ( para que la 0unci2n

y exista

paraello se aplicalas propiedadesde losnumeros reales, tal como

:

√

6

−

3

x

2



0,

" ntonces, en adelante quedares

√

6

−

3

x

2



0

(

6

−

3

x

2

)



0,

factori#ando se tiene

:

3

(

√

2

−

x

)(

√

2

+

x

)



0

; por propiedades de numeros reales se tiene

(

_√

2

−

x

)



0

y

(

√

2

+

x

)



0

_FFF..173

(

_√

2

−

x

)

≤

0

y

(

√

2

+

x

)

≤

_FFFF.183

En 173

√

2

 x y

−

√

2

≤ x

En 183

√

2

≤ x y

−

√

2

 x

!ntersectando todo este inter*alo en la recta real se tiene#

(11)

CO"CLS!O"# La 0unci2n

y

=

x

2

√

6

−

3

_x

2 está de0inido para todos los *alores de

−

√

2

≤ x ≤

√

2 ,

para *alores 0uera de este inter*alo la 0unci2n y no está de0inido, por lo tanto el dominio es

−

√

2

≤ x ≤

√

2

. @osque)e la grá0ica de la 0unci2n. %p2yese en la trans0ormaci2n de 0unciones y sus intersectos con el e)e 4(5 e 4y5.

f

(

x

)=

4

−

√

x

+

3

SOLC!O"# $%&OS#

9unci2n a gra0icar#

f

(

x

)=

4

−

√

x

+

3

Ob)eti*o# 6acer una grá0ica en el sistema coordenado (, y

L%"&EO. Se empeara 6allando los puntos de intersecci2n con los e)es coordenados# !ntersecci2n con el e)e (#

f

(

x

)

=

y

=

0

4

−

√

x

+

3

=

0

x

=

13

!ntersecci2n con el e)e y#

x

=

0

f

(

x

)=

y

=

4

−

√

0

+

3

y

=

4

−

√

3

=

2.27 La gra0ica es#

(12)

:rá0ica, obtenida mediante so0tJare grap6

CO"CLS!O"ES#

ara poder realiar la grá0ica de una 0unci2n, es empear desde los puntos de intersecci2n con los e)es coordenados y conociendo la tendencia de las 0unciones, como cuadráticas 1parábolas3, 0unci2n raí cuadrada 1 semiparabola3. Se puede traar la grá0ica.

!. $espu>s de gra0icar la siguiente 0unci2n por partes. $etermine los inter*alos donde

f

(

x

)

es creciente, decreciente y constante.

2

5

1

2 ₁

₁

2

1 x

,si x

f(x)

x

,si

x

,si x

+

≤ −





=

_

< <



_≥



SOLC!O"# $%&OS#

(13)

L%"&EO. Se traara de manera independiente las 0unciones indi*iduales, siguiendo los mismos pasos del problema anterior/ pero en un solo sistema de coordenada ( y

9unci2n 7#

1

( ) 2 5

1 f x

= +

x

,si x

≤ −

!ntersecci2n con el e)e (#

f

(

x

)

=

y

=

0

2

x

+

5

=

0

x

=−

2.5

x

=

0

y

=

5 9unci2n 7# 2

2 (

)

1

1 f x

=

x

,si

< <

x

!ntersecci2n con el e)e (#

f

(

x

)

=

y

=

0

2

_x

+

5

=

0

x

=

0

x

=

0

y

=

0

9unci2n 7#

3

(

)

2

1 f x

=

,si x

≥

Es una 0unci2n constante, paralelo al e)e (, que pasa por y +8 La gra0ica es de la 0unci2n compuesta será#

(14)

:rá0ica, obtenida mediante so0tJare grap6

Creciente en#

0

≤ x

<

1

$ecreciente en#

−

$

<

x ≤

−

1

Constante en#

1

≤ x

<

$

CO"CLS!O"ES#

Se 6a gra0icado de manera independiente las 0unciones 7, 8, K pero en un mismo e)e coordenado. En lo cual se 6a podido determinar la tendencia de la grá0ica.

1".n constructor de edi0icios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto, utiliando la orilla del río como un lado del área encerrada 1*>ase la 0igura3 Si el constructor tiene 8 pies de cerca, encuentre una 0unci2n que modele el área del campo en 0unci2n de

(15)

SOLC!O"# $%&OS#

Longitud de cerca con se cuenta# 8 pie %nc6ura# (

Largo# y 1 u otro *ariable3

Ob)eti*o# ma(imiar la 0unci2n que describe el a rea del terreno rectangular L%"&EO. ara la ma(imiaci2n se necesita de la 0unci2n, para 6allar la 0unci2n se empeara de la geometría del problema 1terreno3

El área dependerá de dos *ariables, y Sea#

% el area delterreno

%

(

x , y

)=

largo

∗

anchura

%

(

x , y

)

=

x

∗

y , en funcion de otr variable desconocido y

2

x

+

y

=

200

pie , esla condicion

%

(

x

)

=

x

∗

(

200

−

2

_x

)

=−

2

_x

2

+

200

_{x , esel modelo para el area}

parala maximi#acion se sigue

:

entonces# 2

( ) 0

( 2

200 ) 0

4 200 0

50 d

A x

dx

d

x

dx

x

=

−

+

=

− +

=

El área má(ima será para (+-pie

Entonces el área má(imo será#

%

(

x

=

50

)=−

2

(

50

)

2

+

200

(

50

)

,

(16)

CO"CLS!O"ES#

El área má(ima se da para (+- pie, reemplaando este *alor en el modelo del área, este 'ltimo es - pie8