Optimización de portafolios de inversión con restricción de cardinalidad en espacios grandes de acciones

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(1)Optimización de Portafolios de Inversión con Restricción de Cardinalidad en Espacios Grandes de Acciones. por. Antonio Ortiz Ambriz. Tesis P r e s e n t a d a el P r o g r a m a de G r a d u a d o s de M e c a t r ó n i c a y Tecnologías de Información C o m o r e q u i s i t o p a r c i a l p a r a o b t e n e r e l g r a d o a c a d é m i c o de. Maestro en Ciencias con especialidad en. Sistemas Inteligentes. Tecnológico de Monterrey Campus Monterrey A g o s t o 2010.

(2) Tecnológico de Monterrey Campus Monterrey Division de Mecatrónica y Tecnologías de Información P r o g r a m a de G r a d u a d o s. L o s miembros d e l comité recomendamos que l a tesis presentada p o r A n t o n i o O r t i z A m b r i z sea aceptada como requisito p a r c i a l p a r a obtener el grado académico de M a e s t r o e n Ciencias c o n especialidad en Sistemas Inteligentes.. C o m i t é de Tesis:. Director de l a Maestría en Ciencias en Sistemas Inteligentes A g o s t o 2010.

(3) Reconocimientos. A Jaime O r t i z , P a t r i c i a A m b r i z y Manuel Valenzuela.. ANTONIO ORTIZ AMBRIZ Tecnológico Agosto. de. Monterrey. 2010. iv.

(4) Optimización de Portafolios de Inversión con Restricción de Cardinalidad en Espacios Grandes de Acciones. Antonio Ortiz Ambriz, M . C . T e c n o l ó g i c o de M o n t e r r e y , 2010. A s e s o r de Tesis: D r . M a n u e l V a l e n z u e l a R e n d ó n. E s t e t r a b a j o p r o p o n e u n a representación b a s a d a e n índices que t i e n e c o m o p r o p o s i t o resolver e l p r o b l e m a de o p t i m i z a r p o r t a f o l i o s de inversión de a c u e r d o a l a formulación de M a r k o w i t z u t i l i z a n d o m é t o d o s e v o l u t i v o s . Se b u s c a e n c o n t r a r p o r t a f o l i o s ó p t i m o s a p a r t i r de espacios g r a n d e s de acciones, de t a m a ñ o s que se e n c u e n t r e n e n el m i s m o o r d e n de m a g n i t u d que m e r c a d o s c o m p l e t o s . E l p r o b l e m a se desea resolver c o n c a r d i n a l i d a d r e s t r i n g i d a , y l a representación p r o p u e s t a m a n e j a e s t a restricción de f o r m a n a t u r a l . L a representación b a s a d a e n índices consiste e n o p t i m i z a r u n v e c t o r que i d e n t i f i c a aquellos a c t i v o s que se d e b e n i n c l u i r e n el p o r t a f o l i o , así c o m o e l peso que se les d e b e d a r . P a r a e n c o n t r a r cuales son los a c t i v o s que l o g r a n m i n i m i z a r el riesgo y m a x i m i z a r e l r e n d i m i e n t o se c r e a u n a l i s t a o r d e n a d a que los i n c l u y a a t o d o s , y se b u s c a o p t i m i z a r u n v e c t o r de índices que hace r e f e r e n c i a a e s t a l i s t a . A d y a c e n t e a c a d a índice, se a g r e g a u n v a l o r que r e p r e s e n t a e l peso que e l a c t i v o d e b e de t e n e r e n e l p o r t a f o l i o . L a representación b a s a d a e n índices se c o m p a r ó c o n a l g o r i t m o s u t i l i z a n d o u n a representación d i r e c t a que consiste s i m p l e m e n t e e n u n v e c t o r de pesos, e n d o n d e l a restricción de c a r d i n a l i d a d se m a n e j a u t i l i z a n d o sólo a q u e l l o s a c t i v o s que t e n g a n u n m a y o r peso e n e l p o r t a f o l i o . Se r e a l i z a r o n p r u e b a s c o n v a r i o s p a r á m e t r o s de aversión a l riesgo, e n. espacios. de 100, 417, y 1000 acciones. Se r e p o r t a n c u r v a s de m e j o r e n c o n t r a d o c o n t r a evalua¬ ciones de l a función o b j e t i v o , d i a g r a m a s de riesgo c o n t r a r e n d i m i e n t o de los. mejores. i n d i v i d u o s e n c o n t r a d o s p o r c a d a a l g o r i t m o , y d i a g r a m a s de c a j a de las soluciones. fina¬. les. Se o b s e rv ó que los a l g o r i t m o s e v o l u t i v o s c o n u n a representación b a s a d a e n índices o b t i e n e n mejores r e s u l t a d o s , e n menos e v a l u a c i o n e s de l a función o b j e t i v o que los al¬ g o r i t m o s c o n representación d i r e c t a ..

(5) Índice general. Reconocimientos. IV. Resumen. V. C a p í t u l o 1.. Introducción. 1. C a p í t u l o 2.. Antecedentes. 3. 2.1.. 2.2.. A d m i n i s t r a c i ó n de Inversiones. 3. 2.1.1.. Estimadores. 4. 2.1.2.. P o r t a f o l i o s de Inversión. 5. 2.1.3.. O p t i m i z a c i ó n de P o r t a f o l i o s de Inversión. 8. 2.1.4.. P o r t a f o l i o s de C a r d i n a l i d a d R e s t r i n g i d a. 12. A l g o r i t m o s Genéticos. 14. 2.2.1.. E l A l g o r i t m o Genético Simple. 15. 2.2.2.. E j e m p l o d e l F u n c i o n a m i e n t o de u n A l g o r i t m o G e n é t i c o S i m p l e .. 16. 2.2.3.. Parámetros de u n A l g o r i t m o G e n é t i c o. 18. 2.2.4.. Variaciones a l A l g o r i t m o Genético Simple. 19. 2.2.5.. U s o de A l g o r i t m o s Genéticos p a r a R e s o l v e r el P r o b l e m a de O p timización de P o r t a f o l i o s. 2.3.. 20. A l g o r i t m o s Meméticos. 22. 2.3.1.. D e s c r i p c i ó n de los A l g o r i t m o s M e m é t i c o s. 22. 2.3.2.. Trabajos. P r e v i o s e n A l g o r i t m o s M e m é t i c o s y E l P r o b l e m a de. O p t i m i z a c i ó n de P o r t a f o l i o s 2.4.. 23. Recocido Simulado. 24. 2.4.1.. Funcionamiento. 24. 2.4.2.. P r o g r a m a de E n f r i a m i e n t o. 25. C a p í t u l o 3.. Metodología. 27. 3.1.. D a t o s U t i l i z a d o s y Definición d e l P r o b l e m a. 27. 3.2.. Solución. 29. Utilizando u n Enfoque Directo. 3.2.1. 3.2.2.. Representación Función de V e c i n d a d. 29 29. VI.

(6) 3.2.3. 3.3.. Parámetros. 30. Solución U t i l i z a n d o u n a R e p r e s e n t a c i o n B a s a d a e n. Índices. 30. 3.3.1.. Representación. 31. 3.3.2.. Función O b j e t i v o. 31. 3.3.3.. Parámetros. 32. Resultados. 33. C a p í t u l o 4. 4.1.. D e s c r i p c i ó n d e l Análisis de R e s u l t a d o s. 33. 4.2.. R e s u l t a d o s O b t e n i d o s e n u n E s p a c i o de 100 acciones. 34. 4.3.. R e s u l t a d o s O b t e n i d o s e n u n E s p a c i o de 417 acciones. 39. 4.4.. R e s u l t a d o s O b t e n i d o s e n u n E s p a c i o de 1000 acciones. 44. C a p í t u l o 5.. Conclusiones. 49. 5.1.. Algoritmos con Enfoque Directo. 49. 5.2.. A l g o r i t m o s c o n Representación B a s a d a e n. 5.3.. O r d e n de C r e c i m i e n t o e n e l T i e m p o de E j e c u c i ó n. 50. 5.4.. Trabajos Futuros. 51. Bibliografía. Índices. 50. 52. VII.

(7) Capítulo 1. Introducción. E x i s t e n 1835 acciones e n e l New el índice N A S D A Q Composite.. York Stock Exchange. ( N Y S E ) y 2744 acciones e n. S i se q u i s i e r a t e n e r u n p o r t a f o l i o ó p t i m o d e n t r o de t o d o e l. m e r c a d o de acciones, se tendrían entonces que seguir 4579 acciones, sólo e n los m e r c a d o s de E s t a d o s U n i d o s , s i n i n c l u i r b o n o s , f u t u r o s , o acciones e n m e r c a d o s e x t r a n j e r o s . S o n estas g r a n d e s c a n t i d a d e s de acciones las que m o t i v a n el presente t r a b a j o . Se b u s c a diseñar u n a l g o r i t m o que p u e d a e n c o n t r a r p o r t a f o l i o s e n l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a a p a r t i r de g r a n d e s c a n t i d a d e s de a c t i v o s . E l m é t o d o u t i l i z a d o más c o m ú n m e n t e p a r a o p t i m i z a r p o r t a f o l i o s es p r o g r a m a c i ó n cuadrática. S i n e m b a r g o , l a restricción de c a r d i n a l i d a d es u n a restricción n o l i n e a l , y el a l g o r i t m o de p r o g r a m a c i ó n c u a d r á t i c a n o p u e d e m a n e j a r l a . C u a n d o se m a n e j a n m i l e s de acciones, l a restricción de c a r d i n a l i d a d se v u e l v e p a r t i c u l a r m e n t e i m p o r t a n t e . S i el a l g o r i t m o u t i l i z a d o n o c u e n t a c o n u n m e c a n i s m o p a r a fijar e l n ú m e r o de acciones e n los p o r t a f o l i o s que g e n e r a , t o d o s estos serían p o r t a f o l i o s de m i l e s de acciones, lo que e n l a p r á c t i c a causaría que los costos de transacción se d i s p a r e n , y que l a inversión sea m u y difícil de a d m i n i s t r a r . E s t e t r a b a j o p r o p o n e u n a representación b a s a d a e n índices que m a n e j a l a r e s t r i c ción de c a r d i n a l i d a d e n f o r m a n a t u r a l , y p e r m i t e a u n a l g o r i t m o e v o l u t i v o resolver el p r o b l e m a e n m e n o r t i e m p o y c o n mejores r e s u l t a d o s que o t r a s heurísticas de b ú s q u e d a que m a n e j a n l a restricción h a c i e n d o u n a reinterpretación de los p o r t a f o l i o s e n c o n t r a d o s . L a representación b a s a d a e n índices consiste e n s e p a r a r e l p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s e n dos s u b p r o b l e m a s : e l p r o b l e m a de cuales acciones, de t o d a s las que se e n c u e n t r a n e n el e s p a c i o , se d e b e n c o m p r a r ; y e l de c u a n t o , e n términos de p o r c e n t a j e d e l p o r t a f o l i o , se d e b e c o m p r a r de c a d a u n a . Se u t i l i z a r o n dos a l g o r i t m o s diferentes c o n l a representación b a s a d a e n índices. E l p r i m e r o es u n a l g o r i t m o genético, que se e n c a r g a de o p t i m i z a r t o d o e l c r o m o s o m a. y. así resolver a m b o s s u b p r o b l e m a s . E l o t r o es u n a l g o r i t m o m e m é t i c o , e n e l c u a l se b u s c a que l a p a r t e e v o l u t i v a d e l a l g o r i t m o r e s u e l v a que acciones d e b e n e n t r a r e n e l p o r t a f o l i o , y l a heurística de a p r e n d i z a j e resuelve c u a n t o de c a d a acción d e b e c o m p r a r s e p a r a u n a c o m b i n a c i ó n específica de acciones. E l t r a b a j o , e n r e s u m e n t i e n e l a siguiente e s t r u c t u r a . Se ofrece u n capítulo c o n 1.

(8) antecedentes que se d i v i d e e n dos secciones, administración de i n v e r s i o n e s y a l g o r i t m o s genéticos. L a sección de administración de i n v e r s i o n e s d a u n a i n t r o d u c c i ó n a l c o n c e p t o de acciones. D e s c r i b e l a f o r m a e n que se e s t i m a e l p r e c i o f u t u r o de las acciones, m u e s t r a c o m o se a g r u p a n las i n v e r s i o n e s e n p o r t a f o l i o s de inversión, y j u s t i f i c a el uso de estos p o r t a f o l i o s , c o m o m é t o d o p a r a r e d u c i r e l riesgo. Se d e s c r i b e n los m é t o d o s y los c r i t e r i o s u t i l i z a d o s p a r a o p t i m i z a r p o r t a f o l i o s , y se h a b l a de l a restricción de c a r d i n a l i d a d . L a siguiente sección i n t r o d u c e a l l e c t o r a los m é t o d o s de o p t i m i z a c i ó n c i e g a , p a r t i ¬ c u l a r m e n t e a los a l g o r i t m o s genéticos. C o m o e j e m p l o y e s t r u c t u r a básica se d e s c r i b e el a l g o r i t m o genético s i m p l e , sus parámetros y sus v a r i a c i o n e s más frecuentes. Se h a b l a de los a l g o r i t m o s m e m é t i c o s , y luego se d e s c r i b e n a l g u n o s t r a b a j o s que e n el p a s a d o h a n i n t e n t a d o resolver e l p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s c o n m é t o d o s e v o l u t i v o s . E l capítulo de m e t o d o l o g í a consiste e n d e s c r i b i r e l t r a b a j o que se realizó. Se u t i lizó u n enfoque d i r e c t o , que consiste e n i n t e n t a r resolver el p r o b l e m a u t i l i z a n d o m é t o d o s de b ú s q u e d a l o c a l de l a f o r m a más i n t u i t i v a p o s i b l e . Se d e s c r i b e d i c h o enfoque, y se d a n los detalles d e l a l g o r i t m o m e m é t i c o u t i l i z a d o , asó c o m o f u n c i o n e s o b j e t i v o y l a función de v e c i n d a d de los b u s c a d o r e s l o c a l e s . P o r ú l t i m o se m u e s t r a n los r e s u l t a d o s o b t e n i d o s e n c u a n t o a c a l i d a d de s o l u c i o n e s , y t i e m p o de ejecución de los a l g o r i t m o s .. 2.

(9) Capítulo 2. Antecedentes. E s t e capítulo se d i v i d e e n dos secciones. L a sección de A d m i n i s t r a c i ó n de Inver¬ siones d a u n a i n t r o d u c c i ó n a l c o n c e p t o de i n s t r u m e n t o s de inversión, p r i n c i p a l m e n t e acciones. Se d e s c r i b e l a f o r m a e n que se e s t i m a n los valores f u t u r o s de u n a acción, y l u e g o se i n t r o d u c e e l c o n c e p t o de p o r t a f o l i o de inversión. Se g e n e r a l i z a l a o b t e n c i ó n de los e s t i m a d o r e s a p o r t a f o l i o s , y se m u e s t r a c ó m o se p u e d e d i v e r s i f i c a r u n a inversión p a r a r e d u c i r el riesgo. Se m u e s t r a n m é t o d o s p a r a o b t e n e r p o r t a f o l i o s ó p t i m o s , y se i n ¬ t r o d u c e el t é r m i n o de f r o n t e r a de e f i c i e n c i a , p a r a t e r m i n a r d e s c r i b i e n d o el p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s c o n restricción de c a r d i n a l i d a d . L a s e g u n d a sección consiste e n f a m i l i a r i z a r a l l e c t o r c o n los m é t o d o s de o p t i m i zación c i e g a , e n p a r t i c u l a r c o n los a l g o r i t m o s genéticos.. Se c o m i e n z a p o r d e s c r i b i r de. f o r m a g e n e r a l los a l g o r i t m o s genéticos, y d e f i n i r a l g u n o s de los términos u t i l i z a d o s más f r e c u e n t e m e n t e . Después se d e s c r i b e el a l g o r i t m o genético s i m p l e , que consiste e n u n a l g o r i t m o genético e n lo más e s e n c i a l . Se d e s c r i b e n a l g u n a s v a r i a c i o n e s , que si b i e n h a c e n que u n a l g o r i t m o genético deje de ser s i m p l e , se a c e r c a n más a l a l g o r i t m o pro¬ p u e s t o e n este t r a b a j o . Asó m i s m o se d e s c r i b e n a l g u n o s p a r á m e t r o s y los c r i t e r i o s que se d e b e n u t i l i z a r p a r a elegir los valores de estos. L a última p a r t e de e s t a sección está más o r i e n t a d a a este t r a b a j o e n p a r t i c u l a r . Se d e s c r i b e n los a l g o r i t m o s m e m é t i c o s y a l g u n o s t r a b a j o s que h a n u t i l i z a d o m é t o d o s de o p t i m i z a c i ó n e v o l u t i v a p a r a resolver e l p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s .. 2.1.. Administración de Inversiones U n a inversión consiste e n o b t e n e r u n p a g o a c a m b i o de p o s t e r g a r e l c o n s u m o . A l. p a g o que se o b t i e n e se le l l a m a e l rendimiento. de u n a inversión. E x i s t e n diversos t i p o s. de i n s t r u m e n t o s de inversión, que p u e d e n c o n s i s t i r e n p r o p i e d a d e s , préstamos,. acciones,. f u t u r o s , entre o t r o s . E s t e t r a b a j o hablará p r i n c i p a l m e n t e de acciones, p e r o e l análisis p u e d e g e n e r a l i z a r s e a c u a l q u i e r i n s t r u m e n t o p a r a el c u a l se p u e d a o b t e n e r u n e s t i m a d o r d e l r e n d i m i e n t o f u t u r o y u n e s t i m a d o r d e l riesgo. U n a acción es u n i n s t r u m e n t o que r e p r e s e n t a n u n p o r c e n t a j e de u n a. 3. compañía..

(10) C u a n d o u n a compañía. n e c e s i t a d i n e r o p a r a e x p a n d i r s e , e m i t e acciones a l m e r c a d o .. E l p ú b l i c o p u e d e entonces c o m p r a r estas acciones y se v u e l v e d u e ñ o p a r c i a l de e s t a c o m p a ñ í a . U n i n v e r s i o n i s t a que c o m p r a acciones e s p e r a que e n el f u t u r o s u c e d a n u n a de dos cosas: l a c o m p a ñ í a o b t i e n e g a n a n c i a s , las cuales se d e b e n r e p a r t i r e q u i t a t i v a m e n t e a los dueños de acciones, o e l v a l o r de l a c o m p a ñ í a a u m e n t a j u n t o c o n e l p r e c i o de l a acción, e n c u y o caso, e l i n v e r s i o n i s t a p u e d e v e n d e r l a acción a u n p r e c i o m a y o r y o b t e n e r c o m o r e n d i m i e n t o l a d i f e r e n c i a entre el p r e c i o a n t e r i o r y el p r e c i o a c t u a l . L a mayoría de las i n v e r s i o n e s v i e n e n a c o m p a n a d a s de u n riesgo.. E n el caso de. u n a acción, e l riesgo es que el p r e c i o de l a acción b a j e e n vez de s u b i r , e n c u y o caso, e l i n v e r s i o n i s t a deberá v e n d e r l a acción a u n p r e c i o m e n o r , y p e r d e r p a r t e de s u c a p i t a l [12]. U n inversionista. racional. es a q u e l que prefiere acciones c o n m a y o r r e n d i m i e n t o antes. que a q u e l l a s c o n m e n o r r e n d i m i e n t o , y acciones c o n m e n o r riesgo antes que. acciones. c o n m a y o r riesgo. F o r m a l m e n t e , si se c o m p r a u n a acción e n u n t i e m p o t — 1, y se vende e n u n t i e m p o t, se p u e d e d e f i n i r e l r e n d i m i e n t o de u n a acción de a c u e r d o a l a ecuación. r(t). =. s(t) — s(t — 1) s(t. — 1). s(t) s(t. — 1). —1. (2.1). e n d o n d e s(t) es el p r e c i o de l a acción e n el t i e m p o t. E l r e n d i m i e n t o se o b t i e n e c o m o u n p o r c e n t a j e p o r q u e el r e n d i m i e n t o r e a l de u n a inversión d e p e n d e d e l c a p i t a l i n i c i a l .. 2.1.1.. Estimadores. S i u n i n v e r s i o n i s t a q u i e r e t o m a r u n decisión a c e r c a de u n a inversión, d e b e p o d e r e s t i m a r e l r e n d i m i e n t o que o b t e n d r á e n el f u t u r o , y d e b e e s t i m a r el riesgo de n o o b t e n e r l o . D e a c u e r d o a E u g e n e F a m a [5], l a serie de t i e m p o d e l p r e c i o de u n a acción se c o m p o r t a de f o r m a s i m i l a r a u n paseo a l e a t o r i o . S i se s u p o n e que los c a m b i o s e n e l p r e c i o de u n a acción t i e n e n u n a distribución n o r m a l , entonces el m e j o r i n d i c a d o r d e l r e n d i m i e n t o f u t u r o que se p u e d e o b t e n e r es el p r o m e d i o de los r e n d i m i e n t o s p a s a d o s . P a r a u n a acción i , d e f i n i r e m o s entonces: (2.2). como el valor esperado del rendimiento. E l riesgo de u n a inversión r e p r e s e n t a l a p r o b a b i l i d a d de que el r e n d i m i e n t o sea diferente d e l e s p e r a d o . V o l v i e n d o a l a suposición de n o r m a l i d a d de los r e n d i m i e n t o s , u n a f o r m a de c u a n t i f i c a r e s t a p r o b a b i l i d a d es o b t e n i e n d o e l p r o m e d i o de las d e s v i a c i o n e s d e l v a l o r e s p e r a d o de r e n d i m i e n t o a través d e l t i e m p o . P a r a e s t i m a r el riesgo de u n a. 4.

(11) inversión se p u e d e u t i l i z a r l a desviación estándar de los r e n d i m i e n t o s e n el p a s a d o .. (2.3). 2.1.2.. Portafolios de Inversión. S i se c u e n t a c o n u n c a p i t a l de inversión, u n a f o r m a de r e d u c i r e l riesgo es d i v e r s i ficar,. que s i g n i f i c a d i v i d i r e l c a p i t a l e i n v e r t i r l o e n más de u n a a c c i ó n . A l d i v e r s i f i c a r se. p u e d e n r e d u c i r o e l i m i n a r l a s v a r i a c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s acciones i n d i v i d u a l e s , y o b t e n e r i n v e r s i o n e s más estables. C o m o u n e j e m p l o de diversificación. supongamos. que u n a inversión e s t a c o m p u e s t a p o r c a n t i d a d e s i g u a l e s de dos acciones de i n d u s t r i a s diferentes. S i c a d a u n a de estas i n d u s t r i a s se b e n e f i c i a de l a b a j a e n los p r e c i o s de l a o t r a , entonces si u n a a c c i ó n p r o d u c e r e n d i m i e n t o s p o s i t i v o s , l a o t r a p r o d u c i r á rendi¬ m i e n t o s n e g a t i v o s . C o m o l a m i t a d d e l c a p i t a l se e n c u e n t r a e n c a d a u n a de l a s acciones, los r e n d i m i e n t o s o b t e n i d o s se cancelarán. Se e s p e r a s i n e m b a r g o que a l a r g o p l a z o , am¬ b a s acciones t e n g a n u n r e n d i m i e n t o p o s i t i v o , y es este r e n d i m i e n t o e l que l a inversión p r o d u c e . A u n c a p i t a l que está d i v i d i d o e n v a r i a s i n v e r s i o n e s se le l l a m a u n p o r t a f o l i o de inversión. U n p o r t a f o l i o de inversión que c u e n t a c o n N acciones se p u e d e r e p r e s e n t a r c o m o u n v e c t o r de pesos w. (2.4). [Wi,W2,...,WN]. G e n e r a l m e n t e se n o r m a l i z a e l v e c t o r de pesos, de t a l f o r m a que (2.5) i. D e e s t a f o r m a , c a d a peso d e l v e c t o r r e p r e s e n t a e l p o r c e n t a j e d e l c a p i t a l i n v e r t i d o e n esa a c c i ó n e n p a r t i c u l a r , y n o u n a c a n t i d a d especifica. E s t r i c t a m e n t e h a b l a n d o , los e l e m e n t o s d e l v e c t o r de pesos p u e d e n t o m a r valores m e n o r e s que cero. C u a n d o e l peso de u n a a c c i ó n e n u n p o r t a f o l i o es m e n o r que cero, se dice que e s t a a c c i ó n e s t a vendida. en corto. E l t e r m i n o venta. en corto quiere d e c i r que. se p i d e p r e s t a d a u n a c a n t i d a d d e t e r m i n a d a de acciones de u n a e m p r e s a p a r a v e n d e r l a s , c o n l a e s p e r a n z a de que el p r e c i o de l a s acciones b a j e . U n a vez que el p r e c i o b a j e , se c o m p r a n de n u e v o esas acciones a u n p r e c i o m e n o r y se d e v u e l v e n a l p r o p i e t a r i o . D e e s t a f o r m a se s a c a p r o v e c h o de los r e t o r n o s n e g a t i v o s p r o d u c i d o s p o r u n a acción. L a s leyes que r e g u l a n l a s v e n t a s e n c o r t o n o s i e m p r e p e r m i t e n que m o d e l a r l a s sea t a n fácil c o m o s i m p l e m e n t e p e r m i t i r pesos n e g a t i v o s . E s p o r esto que. frecuentemente. se r e s t r i n g e n p o r t a f o l i o s p a r a i n c l u i r s o l a m e n t e pesos p o s i t i v o s . E s d e c i r , e l v e c t o r de. 5.

(12) pesos d e b e c u m p l i r l a c o n d i c i ó n de que: Wi. Є [0,1]. (2.6). R e n d i m i e n t o E s p e r a d o de u n P o r t a f o l i o P a r a c a d a acción i e n u n p o r t a f o l i o se p u e d e o b t e n e r u n v a l o r e s p e r a d o de rendi¬ m i e n t o r . D e e s t a f o r m a se o b t i e n e u n v e c t o r de r e n d i m i e n t o s i. (2.7) E n c a d a m o m e n t o , el r e n d i m i e n t o de u n p o r t a f o l i o es l a s u m a de sus r e n d i m i e n t o s , es d e c i r : rp(t). =. Σ Wiri(t). (2.8). i. U s a n d o este r e s u l t a d o , se p u e d e ver que e l v a l o r e s p e r a d o d e l r e n d i m i e n t o de u n por¬ tafolio. es. (2.9). c o m o e l v a l o r de los pesos d e l p o r t a f o l i o es c o n s t a n t e e n el t i e m p o , entonces: (2.10). que se p u e d e e s c r i b i r t a m b i é n c o m o l a e c u a c i ó n m a t r i c i a l (2.11). 6.

(13) Riesgo E s p e r a d o de u n Portafolio Se p u e d e d e r i v a r e l riesgo e s p e r a d o de u n p o r t a f o l i o a p a r t i r de l a v a r i a n z a de l a serie de t i e m p o de r e n d i m i e n t o s .. (2.12). (2.13). (2.14). Y a que l a c o v a r i a n z a de dos c o n j u n t o s diferentes de d a t o s e s t a d e f i n i d a p o r (2.15) Se p u e d e n c o m b i n a r las últimas dos ecuaciones p a r a o b t e n e r. (2.16). S i se define u n a m a t r i z de c o v a r i a n z a s de l a f o r m a. (2.17). E n t o n c e s l a ecuación 2.16 se p u e d e e s c r i b i r c o m o : (2.18). P o r Qué D i v e r s i f i c a r U n a f o r m a m á s f o r m a l de i l u s t r a r l a reducción diversificación. d e l riesgo que se o b t i e n e de l a. es c o n s i d e r a r p o r u n m o m e n t o u n p o r t a f o l i o e n que t o d a s las acciones. p a r t i c i p a n c o n e l m i s m o peso. L a ecuación 2.16 entonces se v u e l v e. (2.19). 7.

(14) S i s u m a m o s p o r s e p a r a d o las v a r i a n z a s y las c o v a r i a n z a s t e n e m o s. (2.20). (2.21). E n l a última e c u a c i ó n se p u e d e v e r que los t é r m i n o s e n t r e corchetes c o r r e s p o n d e n a e l p r o m e d i o de las v a r i a n z a s (σ2i), y a l p r o m e d i o de las c o v a r i a n z a s (σij),. respectivamente.. Se p u e d e e x p r e s a r e s t a u l t i m a e c u a c i ó n entonces c o m o. (2.22) o factorizando y a g r u p a n d o términos (2.23) L a e c u a c i ó n 2.23 se d i v i d e entonces e n dos p a r t e s , u n a que es p r o p o r c i o n a l a. y. o t r a que n o . C u a n d o N crece, l a p r i m e r a p a r t e de l a e c u a c i ó n se a c e r c a a cero, d e j a n d o sólo l a s e g u n d a p a r t e . Y a que que l a v a r i a n z a de l a s acciones i n d i v i d u a l e s sólo aparece e n e s t a p a r t e , se p u e d e e l i m i n a r l a c o n t r i b u c i ó n de l a s v a r i a n z a s i n d i v i d u a l e s a l riesgo de p o r t a f o l i o si se a u m e n t a e l n ú m e r o de acciones. C u a n d o N crece entonces, l a v a r i a n z a d e l p o r t a f o l i o sólo d e p e n d e d e l p r o m e d i o de l a s c o v a r i a n z a s e n t r e sus c o m p o n e n t e s. 2.1.3.. [4].. Optimización de Portafolios de Inversión. H a s t a a h o r a se h a n d e f i n i d o e s t i m a d o r e s p a r a p r e d e c i r el riesgo y e l r e n d i m i e n t o de u n a a c c i ó n , y se g e n e r a l i z a r o n estos e s t i m a d o r e s a p o r t a f o l i o s de acciones lo que llevó a l a conclusión que d i v e r s i f i c a n d o u n a inversión se p u e d e r e d u c i r e l riesgo de l a m i s m a . A e s t a conclusión se llegó s u p o n i e n d o que se c o m p r a l a m i s m a c a n t i d a d de t o d a s l a s acciones e n e l e s p a c i o . S i n e m b a r g o el m o d e l o de u n p o r t a f o l i o que se describió p e r m i t e a s i g n a r a c a d a a c c i ó n u n peso diferente y e x i s t e , p a r a u n c o n j u n t o de acciones. dado,. u n c o n j u n t o de pesos que m i n i m i z a el e s t i m a d o r de riesgo. H a y que r e c o r d a r que u n i n v e r s i o n i s t a r a c i o n a l s i e m p r e elegirá i n v e r s i o n e s de me¬ n o r riesgo antes que acciones de m a y o r riesgo. S i n e m b a r g o , t a m b i é n elegirá acciones de m a y o r r e n d i m i e n t o antes que acciones de m e n o r r e n d i m i e n t o . S i e x i s t i e r a n dos por¬ t a f o l i o s A y B , e n d o n d e el p o r t a f o l i o A t i e n e m e n o r riesgo que el p o r t a f o l i o B , y el r e n d i m i e n t o de A es m a y o r que e l de B , u n i n v e r s i o n i s t a r a c i o n a l s i e m p r e elegiría e l p o r t a f o l i o A . P o r o t r o l a d o , si e l p o r t a f o l i o A t i e n e m e n o r riesgo que e l p o r t a f o l i o B ,. 8.

(15) p e r o e l p o r t a f o l i o B t i e n e m a y o r r e n d i m i e n t o que el p o r t a f o l i o A , entonces n o e x i s t e u n p o r t a f o l i o ó p t i m o que c u a l q u i e r i n v e r s i o n i s t a d e b a p r e f e r i r , s i n o que d e p e n d e de c u a n t o le d i s g u s t e el riesgo a l i n v e r s i o n i s t a , y de c u a n t o le guste u n a u m e n t o e n e l r e n d i m i e n t o . E l p r o b l e m a de o p t i m i z a r u n p o r t a f o l i o se v u e l v e entonces u n p r o b l e m a intrínsecamente multiobjetivo. L a c a n t i d a d de riesgo que u n i n v e r s i o n i s t a está d i s p u e s t o a a c e p t a r a c a m b i o de u n m a y o r r e n d i m i e n t o es diferente p a r a c a d a i n v e r s i o n i s t a y suele ser u n a característica difícil de d e f i n i r . P o r e s t a razón, n o e x i s t e t a l cosa c o m o u n p o r t a f o l i o ó p t i m o (o u n p a r de p o r t a f o l i o s A y B ) , s i n o u n a f r o n t e r a ó p t i m a e n e l s e n t i d o de P a r e t o de p o s i b l e s i n v e r s i o n e s a l a c u a l se le l l a m a frontera. de eficiencia. y se m u e s t r a e n l a figura 2.1.. Rendimiento. Po. Riesgo. (σ). F i g u r a 2.1: Frontera de eficiencia en u n a gráfica de R e n d i m i e n t o contra Riesgo. E l punto p es el portafolio de tangencia, el punto p es l a acción de riesgo cero. L a línea recta ppo muestra las combinaciones lineales entre el portafolio de tangencia y la acción de riesgo cero. L a linea punteada son combinaciones validas si se cuenta con la p o s i b i l i d a d de obtener u n préstamo con u n a tasa de interés igual al rendimiento de po. 0. 9.

(16) Optimización Utilizando Programación Cuadrática E l p r o b l e m a de o p t i m i z a r u n p o r t a f o l i o se p u e d e p l a n t e a r c o m o el p r o b l e m a de e n c o n t r a r u n v e c t o r w t a l que: (2.24) S u j e t o a: (2.25) (2.26) (2.27) Se p u e d e o b s e r v a r que e n l a fórmula 2.24 l o que se e s t a m i n i m i z a n d o es el riesgo d e l p o r t a f o l i o , y el r e n d i m i e n t o se r e s t r i n g e a u n v a l o r deseado r e n l a restricción 2.25. S i se q u i s i e r a o b t e n e r t o d a l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a de a c u e r d o a este m é t o d o se p u e d e resolver el p r o b l e m a p a r a v a r i o s valores d e l r e n d i m i e n t o deseado. P a r a o b t e n e r el r a n g o de valores p o s i b l e s de r e n d i m i e n t o se p u e d e u t i l i z a r c o m o límite i n f e r i o r l a solución a l p r o b l e m a s i n i n c l u i r l a restricción 2.25, y c o m o límite s u p e r i o r e l r e n d i m i e n t o de l a acción c o n m a y o r r e n d i m i e n t o de las que se e n c u e n t r a n d i s p o n i b l e s . E l p r o b l e m a t a l c o m o se p l a n t e a se p u e d e resolver p o r el m é t o d o de p r o g r a m a c i ó n c u a d r á t i c a [4, 8]. O t r a o p c i ó n p a r a c o n v e r t i r el p r o b l e m a m u l t i o b j e t i v o e n u n p r o b l e m a de u n sólo o b j e t i v o es o p t i m i z a r u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l de a m b o s o b j e t i v o s . S i se p r e t e n d e m a x i m i z a r e l r e n d i m i e n t o p e r o m i n i m i z a r e l r e n d i m i e n t o , se p u e d e u t i l i z a r u n a función de la forma (2.28) E n donde ambos parámetros a y. son m a y o r e s que cero. E n este caso, a es u n a m e d i d a. de c u a n t o le g u s t a el a u m e n t o e n el r e n d i m i e n t o e s p e r a d o a l i n v e r s i o n i s t a , α y. βes u n a. m e d i d a de c u a n t o le d i s g u s t a e l a u m e n t o e n e l riesgo. E n l a p r á c t i c a es más fácil t e n e r u n solo p a r á m e t r o , así que se p u e d e n u n i f i c a r a y riesgo t a l que. λ Є[0,1],. βe n u n p a r á m e t r o. λde aversión a l. α= (1 — λ) y β = λ L a función entonces se v u e l v e (2.29). E s fácil o b s e r v a r que el p a r á m e t r o A , d e f i n i d o de e s t a f o r m a p e r m i t e e n c o n t r a r t o d a l a f r o n t e r a de eficiencia. S i se fija que A = 0, entonces a = 1 y. β = 0; es d e c i r , a l. i n v e r s i o n i s t a n o le d i s g u s t a e l a u m e n t o e n e l riesgo, y sólo le i m p o r t a e l r e n d i m i e n t o , lo c u a l p r o d u c i r á e l p o r t a f o l i o de m á x i m o riesgo e n t o d a l a f r o n t e r a . P o r o t r o l a d o si A = 1,. 10.

(17) entonces ( = 1 y a = 0, y a l i n v e r s i o n i s t a n o le i n t e r e s a a u m e n t a r e l r e n d i m i e n t o , s i n o sólo e n c o n t r a r e l p o r t a f o l i o de m í n i m o riesgo. A l s u s t i t u i r las e c u a c i o n e s 2.11 y 2.18 se o b t i e n e el p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n : (2.30) S u j e t o a: (2.31) (2.32) L a solución a este p r o b l e m a es u n p o r t a f o l i o d i f e r e n t e p a r a c a d a v a l o r de A . L a f r o n t e r a eficiente se p u e d e o b t e n e r r e s o l v i e n d o l a función de o p t i m i z a c i ó n 2.30 p a r a v a r i o s v a l o r e s de A. Relación de S h a r p e E x i s t e n e n e l m e r c a d o acciones que g a r a n t i z a n u n r e n d i m i e n t o , t a l e s c o m o los bo¬ nos g u b e r n a m e n t a l e s . A estas aciones se les l l a m a acciones de riesgo cero y s u v a r i a n z a , asó c o m o s u c o v a r i a n z a c o n c u a l q u i e r o t r a acción d e l m e r c a d o es cero. E l riesgo y e l r e n d i m i e n t o de c u a l q u i e r c o m b i n a c i ó n de u n a inversión, c o n l a a c c i ó n de riesgo cero cae sobre l a línea r e c t a que u n e a estos dos a c t i v o s . S i los p o r c e n t a j e s de l a c o m b i n a c i ó n se e n c u e n t r a n a m b o s e n e l i n t e r v a l o [0, 1], entonces e l riesgo y e l r e n d i m i e n t o c a e n e n e l s e g m e n t o de r e c t a e n t r e l a acción de riesgo cero y e l p o r t a f o l i o riesgoso. S i el peso d e l p o r t a f o l i o e n l a c o m b i n a c i ó n c u m p l e x. p. entonces xrf. > 1,. < 0, p o r que se debe c u m p l i r que x + x f = 1, y l a c o m b i n a c i ó n cae e n u n p. r. p u n t o de l a línea r e c t a más allá d e l p o r t a f o l i o : e s t a región se m u e s t r a e n l a figura 2.1 c o m o u n a l i n e a p u n t e a d a . E s t a c o m b i n a c i ó n es p o s i b l e si se p u e d e p e d i r u n p r é s t a m o c o n u n a t a s a de interés i g u a l a l r e n d i m i e n t o de l a acción de riesgo cero. A l v a l o r de l a p e n d i e n t e de e s t a línea r e c t a se le l l a m a Relación. de Sharpe y e s t a. dado por: (2.33). d o n d e rrf. es e l r e n d i m i e n t o de l a a c c i ó n de riesgo cero. E s fácil v e r que e l p o r t a f o l i o. que m a x i m i z a l a R e l a c i ó n de S h a r p e debe e n c o n t r a r s e e n l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a 2.1. A este p o r t a f o l i o se le l l a m a e l p o r t a f o l i o de t a n g e n c i a . Se p u e d e v e r t a m b i é n e n l a figura. 2.1 que c u a l q u i e r p o r t a f o l i o que se e n c u e n t r e e n l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a y que. t e n g a u n riesgo m e n o r que e l d e l p o r t a f o l i o de t a n g e n c i a , p u e d e ser m e j o r a d o c o n u n a c o m b i n a c i ó n d e l p o r t a f o l i o de t a n g e n c i a y l a acción de riesgo cero. S i se c u e n t a c o n l a p o s i b i l i d a d de o b t e n e r préstamos c o n u n a t a s a de interés i g u a l a rrf, 11. entonces t a m b i é n.

(18) c u a l q u i e r p o r t a f o l i o sobre l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a , c o n u n riesgo m a y o r a l de l a a c c i ó n de riesgo cero se p u e d e m e j o r a r . D e e s t a f o r m a , l a n u e v a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a consiste s i e m p r e e n u n a c o m b i n a c i ó n d e l p o r t a f o l i o de t a n g e n c i a c o n l a acción de riesgo cero, y sólo se requiere e n c o n t r a r este p o r t a f o l i o de t a n g e n c i a p a r a e n c o n t r a r t o d a l a f r o n t e r a eficiente. L a relación de S h a r p e se m u e s t r a p a r a i l u s t r a r o t r o t i p o de f o r m a s de o p t i m i z a r p o r t a f o l i o s . E n este t r a b a j o se b u s c a r a l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a t a l c o m o se m u e s t r a e l l a función 2.30, s i n c o n s i d e r a r l a e x i s t e n c i a de u n a c t i v o l i b r e de riesgo. Así m i s m o , a p e s a r de que c u a n d o se p e r m i t e a l i n v e r s i o n i s t a r e a l i z a r ventas e n c o r t o , se p u e d e resol¬ v e r e l p r o b l e m a de f o r m a analítica, e x i s t e n b u e n o s m o t i v o s p a r a r e s o l v e r e l p r o b l e m a s i n p e r m i t i r ventas e n c o r t o E s t e t r a b a j o se concentrará e n o p t i m i z a r p o r t a f o l i o s de inversión e n que t o d o s los pesos s o n m a y o r e s que cero.. 2.1.4.. Portafolios de Cardinalidad Restringida. L a restricción de c a r d i n a l i d a d consiste e n l i m i t a r e l n ú m e r o de acciones que en¬ t r a n e n el p o r t a f o l i o . Y a que n o es p o s i b l e e x p r e s a r e s t a restricción c o m o u n a función l i n e a l d e l v e c t o r de pesos, n o es p o s i b l e u t i l i z a r e l m é t o d o de p r o g r a m a c i ó n c u a d r á t i c a p a r a e n c o n t r a r p o r t a f o l i o s ó p t i m o s c o n n ú m e r o s definidos de acciones.. S i n embargo. e x i s t e n b u e n a s razones p o r las cuales e n c o n t r a r p o r t a f o l i o s de c a r d i n a l i d a d r e s t r i n g i d a , e s p e c i a l m e n t e si se b u s c a n p o r t a f o l i o s e n espacios g r a n d e s de acciones. S i se quiere i n v e r t i r e n u n p o r t a f o l i o , se d e b e i d e n t i f i c a r u n c o n j u n t o ó p t i m o de pesos p a r a las acciones c o n las cuales se c u e n t a y luego se d e b e n c o m p r a r las acciones de a c u e r d o a este c o n j u n t o de pesos, a l p r e c i o a c t u a l . Después de u n c i e r t o t i e m p o , e l p r e c i o de estas acciones p r o b a b l e m e n t e h a y a c a m b i a d o , y c o n e l , e l c a p i t a l . E s t e c a m b i o g e n e r a l m e n t e s i g n i f i c a que e l p o r c e n t a j e d e l c a p i t a l i n v e r t i d o e n c a d a acción y a n o es a q u e l que se i d e n t i f i c o c o m o u n c o n j u n t o ó p t i m o de pesos. E s e n este caso c u a n d o h a y que rebalancear. u n p o r t a f o l i o . E s t o s i g n i f i c a que se d e b e n r e a l i z a r t r a n s a c c i o n e s entre. los a c t i v o s e n los que se h a i n v e r t i d o , p a r a v o l v e r a t e n e r e l c o n j u n t o ó p t i m o de pesos. S i se c o m p r a u n p o r t a f o l i o , y l a intención es c o n s e r v a r l o d u r a n t e u n p e r i o d o l a r g o , este requerirá ser r e b a l a n c e a d o p e r i ó d i c a m e n t e . E l c o s t o de este r e b a l a n c e o a u m e n t a c o n f o r m e a u m e n t a e l n ú m e r o de acciones e n e l p o r t a f o l i o , pues c a d a u n a de las transac¬ ciones que s o n necesarias t i e n e u n costo. E s t a es u n a de las razones p o r las cuales es p r e f e r i b l e t e n e r p o c a s acciones antes que m u c h a s . A d e m a s d e l r e b a l a n c e o , e l esfuerzo de a d m i n i s t r a r y m o n i t o r e a r u n p o r t a f o l i o y los costos de transacción e n que se i n c u r r e c u a n d o se quiere a c t u a l i z a r e l p o r t a f o l i o de a c u e r d o a n u e v a i n f o r m a c i ó n , son algu¬ nos de los a r g u m e n t o s que m o t i v a n l a o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s c o n restricción de cardinalidad. V o l v i e n d o a l a e c u a c i ó n 2.23, que m u e s t r a el riesgo p a r a u n p o r t a f o l i o de N acciones c o n i g u a l p e s o , se p u e d e o b s e r v a r de n u e v o que se c o m p o n e de u n t é r m i n o que se p u e d e. 12.

(19) e l i m i n a r d i v e r s i f i c a n d o , y u n t e r m i n o que s i e m p r e se encontrará e n el p o r t a f o l i o , s i n i m p o r t a r c u a n t a s acciones se i n c l u y a n . S i e n e l p o r t a f o l i o se i n c l u y e r a sólo u n a acción, el riesgo e s p e r a d o sería ( σ ) . S i n e m b a r g o , p o r más acciones que se i n c l u y a n , e l riesgo 2. i. s i e m p r e será m a y o r que ( σ i j ) . P a r a que e l riesgo e s p e r a d o este a (σi ) 2. por e n c i m a el. m í n i m o riesgo, e l tamanño d e l p o r t a f o l i o está d a d o p o r :. (2.34). Se p u e d e d e f i n i r l a v a r i a b l e 7 c o m o el p o r c e n t a j e d e l riesgo d e l p o r t a f o l i o de u n a s o l a acción que se p u e d e e l i m i n a r d i v e r s i f i c a n d o , de f o r m a que: (2.35). E l t o n [4] r e p o r t a valores de 7 que se e n c u e n t r a n entre 0.893 y 0.56. L o que q u i e r e d e c i r que si se quiere que el riesgo d e l p o r t a f o l i o e x c e d a a l m í n i m o riesgo p o r el 10 % d e l riesgo de u n a s o l a acción, entonces se n e c e s i t a n entre 11 y 18 acciones, d e p e n d i e n d o d e l v a l o r de 7 d e l m e r c a d o . Se p u e d e o b s e r v a r entonces que e l n ú m e r o de acciones que se n e c e s i t a p a r a e l i m i n a r l a m a y o r p a r t e d e l riesgo es p e q u e ñ o . P a r a las siguientes secciones de este t r a b a j o se buscarán p o r t a f o l i o s de c a r d i n a l i d a d r e s t r i n g i d a a 15 acciones, c u a n d o se a p l i q u e e s t a restricción.. H a s t a a h o r a se h a d e f i n i d o m é t o d o s p a r a e s t i m a r los r e s u l t a d o s de u n a inversión, t a n t o p a r a u n a acción c o m o p a r a u n p o r t a f o l i o de acciones. Se u s a r o n estos e s t i m a ¬ dores p a r a c o n s t r u i r u n m o d e l o que p e r m i t i e r a o b t e n e r p o r t a f o l i o s que d i s m i n u y e r a n e f e c t i v a m e n t e e l riesgo de las i n v e r s i o n e s . E n l o que r e s t a d e l c a p í t u l o se describirán los a l g o r i t m o s que se u t i l i z a n e n este t r a b a j o , t a n t o c o m o p r o p u e s t a c o m o c o m p a r a c i ó n . T a m b i é n se m u e s t r a n a l g u n o s t r a b a j o s que se h a n r e a l i z a d o p a r a resolver e l p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s , t a n t o c o n restricción de c a r d i n a l i d a d c o m o s i n restric¬ ciones, u t i l i z a n d o las heurísticas de b ú s q u e d a d e s c r i t a s . E s t e t r a b a j o se enfocará e n resolver e l p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s c o n restricción de c a r d i n a l i d a d e n espacios g r a n d e s de acciones. L o s p o r t a f o l i o s se buscarán s o n de 15 acciones, pues se p u d o e n e s t a sección que n o son. que. necesarios. más a c t i v o s p a r a e l i m i n a r g r a n p a r t e d e l riesgo. L a función que d e b e n o p t i m i z a r los p o r t a f o l i o s b u s c a d o s es l a m o s t r a d a e n 2.30, e n d o n d e se establece u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l riesgo y e l r e n d i m i e n t o , c o n u n p a r á m e t r o A de aversión a l riesgo.. 13.

(20) 2.2.. Algoritmos Genéticos E s t a sección da una introducción a los algoritmos. genéticos.. Se presenta primero. una definición general del A G como método de búsqueda ciega y optimización. Se define el algoritmo genético simple, se describen algunas de las decisiones que hay que tomar en el diseño de u n algoritmo genético como son el criterio de parado, y el tamaño de población. Se describen algunas de las variaciones al algoritmo genético simple que se usaron en este trabajo, incluyendo los algoritmos meméticos, que son el método de solución propuesto para el problema de optimización de portafolios en mercados grandes. P o r último se describen u n par de trabajos realizados en el pasado que utilizan algoritmos evolutivos para resolver instancias similares del problema. Los A G s son una técnica de búsqueda que está inspirada en el mecanismo de evolución natural. Se basa esencialmente en utilizar l a supervivencia del más fuerte para explorar el espacio en búsqueda de soluciones óptimas, y en utilizar cruce y mutación para generar soluciones nuevas a partir de pedazos de soluciones que han funcionado bien anteriormente [6]. Se espera que para u n problema en particular, se cuente con una función a op¬ timizar. A esta función se le llamará función. objetivo.. A l conjunto X de soluciones. posibles de l a función objetivo se le llamará espacio de búsqueda. U n a posible solución del problema se expresa como x donde x E X. Formalmente, l a función. objetivo. f(x). se define como f : X soluciones. xi. y. xj,. Y, donde Y debe ser u n conjunto ordenado. Si se tienen dos se dice que x i es mejor solución que x j si y sólo si f ( x i ) > f ( x j ) .. P a r a utilizar u n A G , no es necesario conocer la estructura de l a función objetivo, es por esto que se dice que el A G es u n algoritmo de Optimización. Ciega. E n general,. tampoco es necesario que el rango de l a función objetivo sea una calificación absoluta, siempre que sea u n conjunto ordenado. E l A G es u n método de búsqueda poblacional, lo que significa que en cada paso contiene una colección de soluciones independientes entre sí. A esta colección se le llamará población,. y a cada elemento de esta población se le llama u n individuo.. Un. individuo es una posible solución x E X. L a evaluación de la función objetivo para cada individuo se llama. aptitud.. E n u n A G cada individuo es una cadena de caracteres. Es recomendable, pero no necesario, que los individuos sean cadenas en u n alfabeto de cardinalidad baja. U n a representación. es l a transformación del espacio de estas cadenas, a l espacio de búsqueda.. L a elección de una representación es lo más importante para armar u n A G que funcione eficientemente. C o n una representación apropiada, los A G s son sumamente robustos, pues no asumen que l a función a optimizar es continua y derivable, o que tiene sólo u n máximo local. L a idea básica detrás de u n A G es que l a función objetivo puede ser una caja negra, de l a cual no se conoce l a estructura o el mecanismo según el cual entrega. 14.

(21) u n a calificación. S i se quiere o p t i m i z a r u n a función o b j e t i v o así, es necesario e v a l u a r v a r i o s i n t e n t o s , y g u a r d a r el que m e j o r r e s u l t a d o o b t e n g a . E l A G f u n c i o n a c o m o u n a f o r m a de elegir que i n t e n t o s se evaluán, de a c u e r d o a los i n t e n t o s que se h a e n c o n t r a d o que p r o d u c e n b u e n o s r e s u l t a d o s . C a d a i n d i v i d u o g e n e r a d o p o r el A G es u n o de estos intentos.. 2.2.1.. E l Algoritmo Genético Simple. E l a l g o r i t m o genético s i m p l e ( A G S ) c u e n t a c o n tres o p e r a d o r e s básicos: Reproducción Cruce •. Mutación. E l p s e u d o c ó d i g o d e l A G S se m u e s t r a e n l a figura 1. E l a l g o r i t m o c o m i e n z a. por. g e n e r a r u n a p o b l a c i ó n de cadenas a l e a t o r i a s . C a d a u n a de estas cadenas es u n i n d i v i d u o , que r e p r e s e n t a u n i n t e n t o de e n c o n t r a r u n a solución que o p t i m i c e l a función o b j e t i v o . A n t e s de c o m e n z a r e l c i c l o p r i n c i p a l d e l a l g o r i t m o , se evalúan los i n d i v i d u o s . E s t o s dos pasos c o n s t i t u y e n l a inicialización d e l A G . A p a r t i r de aquí c o m i e n z a e l c i c l o p r i n c i p a l , y c a d a v u e l t a d e l ciclo se le l l a m a u n a generación.. U n a generación d e l A G. e n a s i g n a r copias a los i n d i v i d u o s más a p t o s de l a p o b l a c i ó n m e d i a n t e e l de reproducción.. consiste operador. D e e s t a m a n e r a se e l i m i n a n a q u e l l a s soluciones c u y a evaluación es. b a j a y se favorecen a q u e l l a s que m a y o r evaluación t e n g a n . L o s o p e r a d o r e s de cruce mutación. y. t i e n e n c o m o p r o p o s i t o g e n e r a r nuevos i n d i v i d u o s a p a r t i r de las piezas que. c o m p o n e n los i n d i v i d u o s e n l a p o b l a c i ó n a c t u a l . Y a que se a s i g n a r o n más copias a los i n d i v i d u o s más a p t o s , los nuevos i n d i v i d u o s se generarán a p a r t i r de estas p i e z a s . E l A G entonces t r a t a de o p t i m i z a r l a función o b j e t i v o , j u n t a n d o a q u e l l a s piezas de solución que p r o d u c e n i n d i v i d u o s m e j o r e v a l u a d o s . A l final de l a generación, c a d a i n d i v i d u o se v u e l v e a e v a l u a r , y se regresa a l i n i c i o d e l c i c l o p r i n c i p a l . A continuación se d e s c r i b e n los o p e r a d o r e s básicos d e l A G . 15.

(22) E l A G S es g e n e r a c i o n a l . E n u n A G g e n e r a c i o n a l , c a d a generación se d e s t r u y e t o d a l a p o b l a c i ó n y se s u s t i t u y e c o n los descendientes.. E n u n A G no generacional, la. p o b l a c i ó n n o se d e s t r u y e t o t a l m e n t e , y sólo u n a p a r t e de los i n d i v i d u o s se s u s t i t u y e o se c o n c a t e n a a l a p o b l a c i ó n a c t u a l . E l o p e r a d o r de r e p r o d u c c i ó n a s i g n a copias a los i n d i v i d u o s de a c u e r d o a s u a p t i t u d y s u s t i t u y e a l a p o b l a c i ó n o a u n c o n j u n t o de ésta p o r u n a n u e v a p o b l a c i ó n . U n A G s i m p l e u t i l i z a selección p r o p o r c i o n a l , que s i g n i f i c a que el v a l o r e s p e r a d o d e l n ú m e r o de copias que se a s i g n a n a u n i n d i v i d u o , es p r o p o r c i o n a l a s u a p t i t u d . P a r a i m p l e m e n t a r selección p r o p o r c i o n a l , se n e c e s i t a que l a función o b j e t i v o a r r o j e u n a calificación a b s o l u t a p a r a c a d a i n d i v i d u o . D i c h o f o r m a l m e n t e , si n. t. e l n ú m e r o de copias que u n. i n d i v i d u o t i e n e e n l a p o b l a c i ó n e n l a generación t, f (x) s u a p t i t u d , y ( f ) el p r o m e d i o de l a a p t i t u d de t o d o s los i n d i v i d u o s que a c t u a l m e n t e se e n c u e n t r a n e n l a p o b l a c i ó n , u n m é t o d o de r e p r o d u c c i ó n p u e d e l l a m a r s e selección p r o p o r c i o n a l si e l n ú m e r o e s p e r a d o de copias e n l a p o b l a c i ó n después de l a r e p r o d u c c i ó n es:. (2.36). F r e c u e n t e m e n t e , y e s p e c i a l m e n t e c u a n d o se quiere u t i l i z a r selección p r o p o r c i o n a l , l a o p e r a c i ó n de r e p r o d u c c i ó n se i m p l e m e n t a c o m o u n a r u l e t a . Se a s i g n a a c a d a i n d i v i d u o u n e s p a c i o p r o p o r c i o n a l a s u a p t i t u d e n l a r u e d a de l a r u l e t a , que se g i r a t a n t a s veces c o m o i n d i v i d u o s se q u i e r a n generar. P o r c a d a g i r o de l a r u e d a de r u l e t a , e l i n d i v i d u o g a n a d o r t i e n e u n a c o p i a e n l a n u e v a p o b l a c i ó n . L a r u l e t a es u n m é t o d o de r e p r o d u c c i ó n i l u s t r a t i v o , p e r o i n e f i c a z , y se r e c o m i e n d a u t i l i z a r o t r o s m é t o d o s e n l a p r a c t i c a . E l o p e r a d o r de cruce de u n p u n t o elige a l a z a r dos c a d e n a s , y u n p u n t o i n t e r m e d i o e n ellas. L o s caracteres que s i g u e n a l p u n t o elegido se i n t e r c a m b i a n , y q u e d a n. dos. nuevas cadenas. E s t a o p e r a c i ó n se efectúa sobre t o d o s los pares de l a p o b l a c i ó n , elegidos a l e a t o r i a m e n t e . P o r ú l t i m o se a p l i c a e l o p e r a d o r de m u t a c i ó n , que consiste e n c a m b i a r l i g e r a m e n t e u n o de los n ú m e r o s e n a l g u n a s cadenas.. 2.2.2.. Ejemplo del Funcionamiento de un Algoritmo Genético Simple. U n e j e m p l o i l u s t r a t i v o d e l f u n c i o n a m i e n t o de u n A G S está d a d o p o r G o l d b e r g [6]. Se p r e t e n d e o p t i m i z a r l a función o b j e t i v o f (x) = x. 2. e n e l r a n g o [0, 31]. P a r a c o d i f i c a r. el espacio, los i n d i v i d u o s u t i l i z a d o s serán cadenas b i n a r i a s de c i n c o b i t s , l o que s i g n i f i c a que 0. [00000]. 31. [11111]. 16.

(23) Se s e l e c c i o n a u n a p o b l a c i ó n a l e a t o r i a de c u a t r o i n d i v i d u o s 0 1 1 0 1. 13. 1 1 0 0 0. 24. 0 1 0 0 0. 8. 1 0 0 1 1. 19. A l e v a l u a r l a , se o b t i e n e n las siguientes a p t i t u d e s f(0. 1. 1. 0. 1) =. 13 =. 169. f(1. 1. 0. 0. 0) =. 24 =. 576. f(0. 1. 0. 0. 0) =. 8 =. 64. f(1. 0. 0. 1. 1) =. 19 =. 361. 2. 2. 2. 2. L a e l p r o m e d i o de l a evaluación p a r a este caso es 2 9 3 , y c o m o c a d a i n d i v i d u o t i e n e sólo u n a c o p i a , e l n ú m e r o e s p e r a d o de c o p i a s p a r a c a d a i n d i v i d u o , d a d o p o r l a e c u a c i ó n 2.36, es 0 1 1 0 1. 0.58. 1 1 0 0 0. 1.97. 0 1 0 0 0. 0.22. 1 0 0 1 1. 1.23. A l a p l i c a r e l o p e r a d o r de r e p r o d u c c i ó n , se o b t i e n e l a s i g u i e n t e p o b l a c i ó n : 0. 1. 1. 0|. 1. 13. 1. 1. 0. 0|. 0. 24. 1. 1. 0|. 0. 0. 24. 1. 0. 0|. 1. 1. 19. E n e s t a n u e v a p o b l a c i ó n se p u e d e o b s e r v a r e l efecto que se e s p e r a d e l o p e r a d o r de r e p r o d u c c i ó n . A q u e l l o s i n d i v i d u o s c o n u n a a l t a a p t i t u d (en este caso e l 11000. 24). recibió dos c o p i a s e n l a n u e v a p o b l a c i ó n , m i e n t r a s que e l i n d i v i d u o c o n m e n o s apti¬ t u d (01000. 8) n o recibió n i n g u n a .. Se a p l i c a e l o p e r a d o r de c r u c e e n los p u n t o s i n d i c a d o s , y se o b t i e n e l a n u e v a p o b l a c i ó n , que a l ser e v a l u a d a , se o b t i e n e f(0. 1. 1. 0. 0) =. 12 =. 144. f(1. 1. 0. 0. 1) =. 25 =. 625. f(1. 1. 0. 1. 1) =. 2. 27 =. 729. f(1. 0. 0. 0. 0) =. 16 =. 256. 2. 2. 2. E n este caso, e l p r o m e d i o de las e v a l u a c i o n e s a u m e n t a de 293 a 439. E n este p u n t o , se v u e l v e a a p l i c a r e l o p e r a d o r de r e p r o d u c c i ó n y se continúa c o n e l r e s t o d e l a l g o r i t m o .. 17.

(24) P a r a este e j e m p l o es suficiente m o s t r a r u n a generación. L o que es i m p o r t a n t e n o t a r de este e j e m p l o , es c o m o s o n a q u e l l a s soluciones que d e s c i e n d e n de las m e j o r e s soluciones las que p r o d u c e n mejores r e s u l t a d o s . Se p u e d e v e r c o m o e n l a p o b l a c i ó n i n i c i a l e l i n d i v i d u o c o n m e j o r evaluación es 11000. 24. A este. i n d i v i d u o se le o t o r g a r o n dos c o p i a s e n l a s i g u i e n t e p o b l a c i ó n . F u e r o n estas dos c o p i a s las que a l c r u z a r s e c o n los siguientes mejores i n d i v i d u o s e n c o n t r a r o n las soluciones mejor evaluadas . 1. 2.2.3.. Parámetros de un Algoritmo Genético. E x i s t e n v a r i o s parámetros que es n e c e s a r i o elegir p a r a a f i n a r a p r o p i a d a m e n t e u n a l g o r i t m o genético. L o s más e v i d e n t e s s o n l a p r o b a b i l i d a d de c r u c e ( P ) y p r o b a b i l i d a d c. de m u t a c i ó n ( P ) . N o r m a l m e n t e se u s a u n a p r o b a b i l i d a d de c r u c e a l t a ( P m. p r o b a b i l i d a d de m u t a c i ó n b a j a ( P. m. c. 1) y u n a. 0.1).. E l c r i t e r i o según el c u a l u n A G se d e b e d e t e n e r y r e p o r t a r u n a solución es u n o de los p u n t o s m e n o s t r i v i a l e s e n e l d i s e n o de u n a l g o r i t m o eficiente. U n a l g o r i t m o que se deje c o r r i e n d o seguirá p r o d u c i e n d o nuevas soluciones h a s t a que l a evaluación. del. i n d i v i d u o más fuerte sea s u f i c i e n t e m e n t e fuerte p a r a que las c o p i a s que g e n e r a l l e n e n l a p o b l a c i ó n . C u a n d o esto sucede, y a n o h a y e n el A G d i v e r s i d a d suficiente p a r a p r o d u c i r soluciones nuevas. E l o p e r a d o r de m u t a c i ó n p u e d e a veces g e n e r a r nuevos i n d i v i d u o s s u f i c i e n t e m e n t e fuertes p a r a c o m p e t i r c o n el i n d i v i d u o más fuerte. S i n e m b a r g o l a p r o b a b i l i d a d de que esto o c u r r a es b a j a , y l a mayoría de las veces sólo se g e n e r a n i n d i v i d u o s que s o n rápidamente e l i m i n a d o s p o r las c o p i a s d e l i n d i v i d u o que a c t u a l m e n t e d o m i n a la población.. S i l a solución e n c o n t r a d a c u a n d o e l A G y a n o p u e d e e n c o n t r a r nuevas. soluciones es s u f i c i e n t e m e n t e b u e n a , el c r i t e r i o de p a r a d o debería d e t e n e r el a l g o r i t m o , de t a l f o r m a que n o se p i e r d a t i e m p o e v a l u a n d o u n a y o t r a vez soluciones i g u a l e s . S i n e m b a r g o , si e s t a solución n o es s u f i c i e n t e m e n t e b u e n a , entonces se dice que e l a l g o r i t m o llego a convergencia. prematura.. L a o p c i ó n más s i m p l e es p a r a r e l A G después. de u n n ú m e r o d e t e r m i n a d o de. generaciones. L a v e n t a j a de p a r a r e l a l g o r i t m o asá es que se t i e n e u n a i d e a m u y a c e r t a d a de c u á n t o t i e m p o t o m a r á u n a c o r r i d a . S i n e m b a r g o , se d e b e elegir c u i d a d o s a m e n t e l a c a n t i d a d de generaciones e n las que se detendrá, pues p a r a c a d a p r o b l e m a , l a función de c r e c i m i e n t o de l a evaluación d e l m e j o r i n d i v i d u o e n c o n t r a d o p o r e l A G suele ser diferente. C u a n d o se detiene e l a l g o r i t m o de a c u e r d o a u n n ú m e r o de generaciones, se corre e l riesgo t a n t o de que se s i g a e x p l o r a n d o e l e s p a c i o y se s i g a n o b t e n i e n d o b u e n a s s o l u c i o n e s , c o m o de que e l a l g o r i t m o h a y a c o n v e r g i d o m u c h o t i e m p o atrás y t o d o e l t i e m p o restante h a sido desperdiciado. O t r a o p c i ó n p a r a detener u n A G es o b t e n e r a l g u n a m e d i d a de c o n v e r g e n c i a , y e s t a b l e c e r u n v a l o r límite. L a f o r m a más s e n c i l l a de m e d i r l a c o n v e r g e n c i a de u n a 1. Este ejemplo fue tomado del primer capítulo del libro de Goldberg [6] de manera textual 18.

(25) p o b l a c i ó n es l a desviación estándar de l a evaluación de los i n d i v i d u o s . A este t i p o de c o n v e r g e n c i a se le l l a m a c o n v e r g e n c i a e n a p t i t u d . E l t a m a ñ o de p o b l a c i ó n. u s a d o e n u n a l g o r i t m o genético. debería ser suficiente. p a r a que e x i s t a u n a a l t a p r o b a b i l i d a d de e n c o n t r a r l a mayoría de los p e d a z o s de l a solución ó p t i m a e n l a p o b l a c i ó n i n i c i a l . C u a n d o se r e s u e l v e n p r o b l e m a s que r e q u i e r e n c r o m o s o m a s m u y g r a n d e s , se r e q u i e r e n p o b l a c i o n e s m u y g r a n d e s . E s t o suele c a u s a r que el a l g o r i t m o t o m e m u c h o t i e m p o . E l riesgo c o n u t i l i z a r p o b l a c i o n e s m á s pequeñas. es. que e l a l g o r i t m o f o r m e l a m e j o r solución que se p u e d e e n c o n t r a r c o n las p i e z a s que se e n c u e n t r a n e n l a p o b l a c i ó n i n i c i a l , p e r o e s t a solución se e n c u e n t r e d e b a j o d e l ó p t i m o y el a l g o r i t m o c o n v e r j a p r e m a t u r a m e n t e .. 2.2.4. Selección. Variaciones al Algoritmo Genético Simple por Torneo. O t r o m é t o d o de i m p l e m e n t a r r e p r o d u c c i ó n. es selección. por. torneo. P a r a i m p l e m e n t a r selección p o r t o r n e o n o es n e c e s a r i a u n a calificación, solo que el r a n g o de l a función o b j e t i v o sea u n c o n j u n t o o r d e n a d o . P a r a i m p l e m e n t a r selección p o r t o r n e o , se define u n t a m a ñ o m , se o r d e n a n los i n d i v i d u o s a l e a t o r i a m e n t e , y se hace c o m p e t i r a c a d a i n d i v i d u o c o n sus m vecinos más cercanos. P o r c a d a c o m p e t e n c i a g a n a d a , se a s i g n a u n a c o p i a a l i n d i v i d u o e n l a n u e v a p o b l a c i ó n . Inyecciones de D i v e r s i d a d. U s u a l m e n t e , e n e s p e c i a l c u a n d o l a p r o b a b i l i d a d de m u -. tación es b a j a , es difícil que u n a l g o r i t m o que converge p r e m a t u r a m e n t e e n c u e n t r e nuevas soluciones. I n c l u s o si el a l g o r i t m o n o se d e t i e n e p o r v a r i a s generaciones. más,. seguirá e n c o n t r a n d o las m i s m a s c o m b i n a c i o n e s que e n c o n t r a b a antes. P a r a e v i t a r l a c o n v e r g e n c i a p r e m a t u r a , se u t i l i z a n inyecciones de d i v e r s i d a d , que c o n s i s t e n e n e l i m i ¬ n a r a los peores i n d i v i d u o s e n l a p o b l a c i ó n y r e m p l a z a r l o s p o r i n d i v i d u o s generados a l e a t o r i a m e n t e . D e e s t a f o r m a se i n t r o d u c e n nuevas p i e z a s a l a p o b l a c i ó n , que e l A G p u e d e u t i l i z a r p a r a e n c o n t r a r mejores soluciones. P a r a d e c i d i r e n qué m o m e n t o se q u i e r e a p l i c a r inyecciones de d i v e r s i d a d , se p u e d e elegir u n n ú m e r o d e f i n i d o de generaciones, o se p u e d e u t i l i z a r a l g u n o s de los c r i t e r i o s de c o n v e r g e n c i a . A l g o r i t m o Genético. de G e n e s V i r t u a l e s ( v g G A ). E n [15] se p r o p o n e u n a for¬. m a a l t e r n a t i v a de i m p l e m e n t a r u n A G t r a d i c i o n a l b i n a r i o . L o s o p e r a d o r e s de c r u c e y m u t a c i ó n se p u e d e n t r a d u c i r de u n a l f a b e t o a o t r o a p a r t i r de o p e r a c i o n e s de m ó d u l o . D e e s t a f o r m a se p u e d e n a p l i c a r estos o p e r a d o r e s sobre los i n d i v i d u o s e n s u r e p r e s e n tación n a t u r a l , y o b t e n e r el m i s m o r e s u l t a d o que si se a p l i c a r a n sobre los i n d i v i d u o s e n u n a l f a b e t o de c a r d i n a l i d a d b a j a . E s t a implementación t r a d i c i o n a l a a l f a b e t o s de c u a l q u i e r c a r d i n a l i d a d .. 19. p e r m i t e g e n e r a l i z a r el A G.

(26) M a p e o Lineal. E l A G S e s t a d e f i n i d o e n u n a l f a b e t o de b a j a c a r d i n a l i d a d . D e a c u e r d o. a l t e o r e m a de e s q u e m a s [6] e l a l f a b e t o que más c a n t i d a d de e s q u e m a s c o n t i e n e p o r b i t de información es e l a l f a b e t o b i n a r i o , lo que lo h a c e e l más c o n v e n i e n t e p a r a c o d i f i c a r los p a r á m e t r o s de l a función o b j e t i v o de u n A G . E l p r o b l e m a es que si se u t i l i z a u n a l f a b e t o b i n a r i o , el r a n g o de estos p a r á m e t r o s s i e m p r e estaró e n Z E [0, 2l — 1], e n d o n d e l es el n ú m e r o de b i t s u t i l i z a d o s . S i se desean c o d i f i c a r p a r á m e t r o s que se e n c u e n t r e n e n u n e s p a c i o d i f e r e n t e , se p u e d e u s a r mapeo lineal p a r a e s t a b l e c e r u n a función que t r a n s f o r m e d e l e s p a c i o de los enteros e n el r a n g o [0, 2l — 1] a l e s p a c i o de los reales e n e l rango. [xmín, x m á x ] .. S i se t i e n e u n s e g m e n t o de c r o m o s o m a b t a l que b E Z A b E [0, 2l — 1], y se q u i e r e e v a l u a r u n p a r á m e t r o x t a l que x E R A x E [xmín, xmáx] se u t i l i z a l a función. (2.37). L a resolución que se o b t e n g a sobre el p a r á m e t r o x dependerá d e l n ú m e r o de b i t s l que se e l i j a u s a r .. 2.2.5.. Uso de Algoritmos Genéticos para Resolver el Problema de Optimización de Portafolios. V a r i a s t r a b a j o s h a n u t i l i z a d o r e p r e s e n t a c i o n e s diferentes p a r a r e s o l v e r e l p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s u s a n d o a l g o r i t m o s genéticos, o a l g o r i t m o s híbridos. E n t r e los p r i m e r o s t r a b a j o s se e n c u e n t r a e l de C h a n g [ 2 ] , que c o m p a r a e l c o m p o r ¬ t a m i e n t o de t r e s heurísticas diferentes p a r a r e s o l v e r e l p r o b l e m a de o p t i m i z a c i ó n de p o r t a f o l i o s c o n c a r d i n a l i d a d r e s t r i n g i d a . L a representación u t i l i z a d a e n este t r a b a j o es l a m i s m a que l a u s a d a p o r C h a n g . Se explicará a d e t a l l e e n e l c a p í t u l o 3, p e r o con¬ siste básicamente e n u n v e c t o r de índices que h a c e r e f e r e n c i a a acciones e n u n a l i s t a o r d e n a d a , y u n v e c t o r de pesos que i n d i c a qué p e s o se le debe de d a r a esa acción e n el p o r t a f o l i o . Se u t i l i z o u n a codificación r e a l , de f o r m a que b a j o e l o p e r a d o r de c r u c e , t o d a s las acciones que se e n c u e n t r a n e n e l n u e v o i n d i v i d u o , se e n c o n t r a b a n e n a l g u n o de los p a d r e s . Asó m i s m o , los pesos de las acciones e s t a b a n a d y a c e n t e s a los índices, de f o r m a que t o d a s las acciones que p a s a r a n a l n u e v o i n d i v i d u o , t e n d r á n e l m i s m o p e s o que e n tenían e n e l p a d r e d e l que se h e r e d a r o n . P a r a que los i n d i v i d u o s se m a n t u v i e r a n c u m p l i e n d o c o n las r e s t r i c c i o n e s , se utilizó u n o p e r a d o r de reparación que r e i n t e r p r e t a a los i n d i v i d u o s , p e r o n o m o d i f i c a los c r o m o s o m a s . L a s heurísticas que se c o m p a r a r o n f u e r o n u n A G , b ú s q u e d a t a b ú y r e c o c i d o si¬ m u l a d o . Se utilizó u n a l g o r i t m o genético de e s t a d o e s t a b l e , c o n u n a p o b l a c i ó n de 100 i n d i v i d u o s y c r u c e u n i f o r m e . T o d o s los nuevos i n d i v i d u o s e r a n m o d i f i c a d o s p o r el opera¬ d o r de m u t a c i ó n , que consistía e n m u l t i p l i c a r p o r 1 . 1 o p o r 0. 9 u n e l e m e n t o d e l v e c t o r. 20.

(27) de pesos elegido a l e a t o r i a m e n t e . E s t e o p e r a d o r de m u t a c i ó n se utilizó también e n el a l g o r i t m o de b ú s q u e d a tabú y e n r e c o c i d o s i m u l a d o c o m o función de v e c i n d a d . E n e l a l g o r i t m o de r e c o c i d o s i m u l a d o se r e d u j o l a t e m p e r a t u r a c a d a 2 N e v a l u a c i o n e s , de N es el n ú m e r o t o t a l de acciones u t i l i z a d a s , y c o n u n v a l o r de. don. α= 0.95 P a r a los tres. a l g o r i t m o s se l l e v a r o n a c a b o 1 0 0 0 N e v a l u a c i o n e s de l a función o b j e t i v o . L a s p r u e b a s se l l e v a r o n a c a b o e n c i n c o c o n j u n t o s de d a t o s p r o v e n i e n t e s de c i n c o índices. C a d a c o n j u n t o de d a t o s consiste e n sólo a q u e l l a s acciones. que c u e n t a n. con. i n f o r m a c i ó n de precios semanales entre m a r z o de 1992 y s e p t i e m b r e de 1997. L o s c o n j u n t o s r e s u l t a n t e s f u e r o n 31 acciones d e l índice Hang acciones d e l FTSE,. 98 acciones d e l S&P100. Seng, 85 acciones d e l DAX,. y 225 acciones d e l Nikkei.. 89. P a r a p r o b a r los. a l g o r i t m o s sobre e l p r o b l e m a de c a r d i n a l i d a d r e s t r i n g i d a , se b u s c a r o n p o r t a f o l i o s. que. c o n s i s t i e r a n de e x a c t a m e n t e 10 acciones. C h a n g utilizó los tres a l g o r i t m o s p a r a e n c o n t r a r l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a s i n restricción de c a r d i n a l i d a d . E s t a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a se c o m p a r á c o n l a e n c o n t r a d a c o n e l m é t o d o de p r o g r a m a c i ó n cuadrática. Se encontró que l a heurística que más se a c e r c a b a a l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a e r a el A G . L u e g o se p r o b ó el c o m p o r t a m i e n t o. de los tres. a l g o r i t m o s a l e n c o n t r a r l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a c o n l a restricción de c a r d i n a l i d a d . E n este caso n o se c o m p a r ó c o n t r a e l r e s u l t a d o e n c o n t r a d o p o r p r o g r a m a c i ó n cuadrática, s i n o que se creó u n a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a de p u n t o s n o d o m i n a d o s entre los p u n t o s en¬ c o n t r a d o s . Se p u d o ver que a u n q u e e l A G es l a heurística que más p u n t o s c ont r i buyó a e s t a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a , los tres a l g o r i t m o s a p o r t a n u n n ú m e r o de p u n t o s m u y si¬ m i l a r . N o se m u e s t r a n r e s u l t a d o s que d i g a n a cuál región de l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a c o n t r i b u y e más c a d a u n o de los a l g o r i t m o s . C a r l o s Martínez[10] p r o b ó diversos m é t o d o s de o p t i m i z a c i ó n m u l t i o b j e t i v o p a r a e n c o n t r a r l a f r o n t e r a de e f i c i e n c i a c o n diversas r e s t r i c c i o n e s . Se u t i l i z a n c i n c o. conjuntos. de acciones p r o v e n i e n t e s de l a B o l s a M e x i c a n a de V a l o r e s , c o n 10, 15, 20, 25 y 50 accio¬ nes. Se utilizó p r i m e r o u n A G g e n e r a c i o n a l c o n función o b j e t i v o 2.30, c o n tres valores d e l p a r á m e t r o de aversión a l riesgo y u n a representación que consiste s i m p l e m e n t e e n u n v e c t o r de pesos. E s t a representación se d e s c r i b e más d e t a l l a d a m e n t e e n e l capítulo 3 y se le l l a m a enfoque directo.. E s t e a l g o r i t m o se c o m p a r á c o n p r o g r a m a c i ó n cuadrática,. p e r o e l A G n o r e s u l t a c o m p e t i t i v o si las r e s t r i c c i o n e s s o n l i n e a l e s . Se p r o b ó también u n a heurística p a r a resolver l a restricción de c a r d i n a l i d a d , que consiste e n e n c o n t r a r u n p o r t a f o l i o ó p t i m o c o n p r o g r a m a c i ó n cuadrática, u t i l i z a r solo a q u e l l a s k acciones m a y o r r e n d i m i e n t o , y r e n o r m a l i z a r el p o r t a f o l i o . E l r e s u l t a d o i n d i c a que el A G. de que. evalúa l a restricción de c a r d i n a l i d a d e n c u e n t r a p o r t a f o l i o s c o n m e j o r evaluación que l a heurística d e s c r i t a . L u e g o se p r o b a r o n diferentes m é t o d o s de optimización m u l t i o b j e t i v o p a r a resolver e l p r o b l e m a c o n c a r d i n a l i d a d r e s t r i n g i d a , y se e n c o n t r a r o n b u e n o s r e s u l t a d o s sobre u n p r o b l e m a de 50 acciones, c o n 250 x 1 0. 3. e v a l u a c i o n e s de l a función. objetivo. A r a n h a [1], a p r o v e c h o que se p u e d e ver u n p o r t a f o l i o c o m o u n a c o m b i n a c i ó n de 21.