Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad asociativa de la multiplicaci´on de n´umeros complejos. Indicaci´on:

en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Denotemos por E al encaje natural de R en C:

E : R → C, E(x) := (x, 0).

Demuestre que la funci´on E es inyectiva, aditiva y multiplicativa. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = −4 +i, z₂ = −5 − 6i, z₃= 4 − 4i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos

z1 = 4 − 2i, z2 = −5 − 5i, z3 = −2 + 3i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = 3 −i, z2 = 2 − 6i, z3 = −4 + 3i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = 2 −i, z₂ = −3 +i, z₃= 4 −i .

Tarea individual 2, variante α, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁ z₂

z₃

z₄

z₅ z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante α, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = 5 −i z1 = |z1| = q

z₂ = 2 + 7i z₂ = |z2| = q

z₃ = 5 − 5i z₃ = |z3| = q

z₄ = 7 + 2i z₄ = |z4| = q

z₅ = −4 − 3i z₅ = |z5| = q

z₆ = −2 + 6i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante α, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = −27 − 23i, w = −4 +i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = 26 − 36i, w = −8 − 2i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 5 + 8 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = −9 + 5 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −35 − 12i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −32 + 126i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

2z²+ 20z + 122 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(2 + 3i)z²+ (−24 − 23i)z + (87 + 33 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(3 + 3i)z²+ (15 − 45i)z + (−144 + 24 i) = 0.

Tarea individual 2, variante α, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad distributiva en C. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Demuestre las siguientes propiedades de la conjugaci´on compleja:

z + w = z + w, zw = z w, z = z.

Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = −2 + 2i, z₂ = −7 + 2i, z₃= 4 −i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z1 = −4 + 2i, z2 = 1 + 4i, z3 = −3 +i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = 2 + 5i, z2 = −4 + 2i, z3 = −1 + 4i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = 3 +i, z₂ = 6 −i, z₃ = −1 − 2i .

Tarea individual 2, variante β, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁

z₂

z₃

z4

z₅ z6

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante β, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = 5 + 4i z1 = |z1| = q

z₂ = −1 − 5i z₂ = |z2| = q

z₃ = −5 + 3i z₃ = |z3| = q

z₄ = −3 + 3i z₄ = |z4| = q

z₅ = 6 − 3i z₅ = |z5| = q

z₆ = −6 − 7i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante β, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = 16 − 38i, w = 8 − 2i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = −53 − 34i, w = 6 + 5i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 8 + 6 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = 7 − 8 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 45 − 28i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −64 − 120i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

3z²+ 6z + 78 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(−3 −i)z²+ (−21 − 27i)z + (−6 − 112 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(−1 +i)z²+ (−15 + 5i)z + (−42 − 6 i) = 0.

Tarea individual 2, variante β, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad asociativa de la multiplicaci´on de n´umeros complejos. Indicaci´on:

en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Denotemos por E al encaje natural de R en C:

E : R → C, E(x) := (x, 0).

Demuestre que la funci´on E es inyectiva, aditiva y multiplicativa. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = 3 +i, z₂ = 6 − 3i, z₃ = −2 − 3i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos

z1 = 2 + 2i, z2 = −7 + 3i, z3 = −3 + 7i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1= 2 +i, z2 = 2 − 4i, z3 = 3 +i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁= 2 − 4i, z₂ = 1 + 7i, z₃ = 1 +i .

Tarea individual 2, variante 1 AVLA, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁

z₂ z₃

z₄

z₅ z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 1 AVLA, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = −3 − 3i z1 = |z1| = q

z₂ = 6 − 3i z₂ = |z2| = q

z₃ = 2 + 7i z₃ = |z3| = q

z₄ = −5 − 6i z₄ = |z4| = q

z₅ = 5 + 5i z₅ = |z5| = q

z₆ = −2 + 7i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante 1 AVLA, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = −1 + 27i, w = −8 − 3i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = 64 − 8i, w = −6 + 4i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 9 + 7 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = −9 + 6 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 48 − 14i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 120 + 22i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

3z²+ 42z + 150 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(−3 − 3i)z²+ (15 + 15i)z + (−144 − 108 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(1 − 2i)z²+ (−4 + 23i)z + (18 − 76 i) = 0.

Tarea individual 2, variante 1 AVLA, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad distributiva en C. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Demuestre las siguientes propiedades de la conjugaci´on compleja:

z + w = z + w, zw = z w, z = z.

Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = −3 − 2i, z₂ = 1 − 4i, z₃ = −3 +i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos

z1 = −3 + 4i, z2 = 6 + 4i, z3 = −6 − 3i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = −5 −i, z2 = 1 − 2i, z3 = −1 +i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = −2 +i, z₂ = −4 − 2i, z₃= −1 −i .

Tarea individual 2, variante 2 BLJM, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁

z₂ z3

z₄ z₅

z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 2 BLJM, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = −2 −i z1 = |z1| = q

z₂ = 2 + 6i z₂ = |z2| = q

z₃ = 3 − 4i z₃ = |z3| = q

z₄ = −5 − 7i z₄ = |z4| = q

z₅ = −2 + 6i z₅ = |z5| = q

z₆ = 2 − 6i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante 2 BLJM, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = −8 − 76i, w = −3 + 8i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = −34 + 2i, w = 3 − 7i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 5 + 6 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = 7 + 5 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −9 + 40i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −120 + 22i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

−2z²+ 24z − 80 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(1 − 2i)z²+ (−9 + 3i)z + (40 + 80 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(−1 −i)z²+ (−4 + 6i)z + (68 + 24 i) = 0.

Tarea individual 2, variante 2 BLJM, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad asociativa de la multiplicaci´on de n´umeros complejos. Indicaci´on:

en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Denotemos por E al encaje natural de R en C:

E : R → C, E(x) := (x, 0).

Demuestre que la funci´on E es inyectiva, aditiva y multiplicativa. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = −1 +i, z₂ = −2 − 2i, z₃= 7 + 2i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z1 = 3 − 7i, z2 = 4 −i, z3 = −2 − 5i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = 2 +i, z2 = −2 − 4i, z3 = −5 − 4i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = 4 − 4i, z₂ = 1 +i, z₃ = −4 − 5i .

Tarea individual 2, variante 3 BMJR, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i z1

z₂ z3

z4

z5

z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 3 BMJR, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = 1 − 2i z1 = |z1| = q

z₂ = −1 − 2i z₂ = |z2| = q

z₃ = 5 − 4i z₃ = |z3| = q

z₄ = −1 − 4i z₄ = |z4| = q

z₅ = 5 +i z₅ = |z5| = q

z₆ = −4 + 7i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante 3 BMJR, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = 11 − 23i, w = −1 − 5i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = −36 + 32i, w = 8 + 4i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 6 + 7 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = −9 + 5 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 27 − 36i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −117 − 44i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

2z²+ 24z + 80 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(−3 + 2i)z²+ (−5 −i)z + (−82 + 137 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(−3 + 2i)z²+ (8 −i)z + (−135 − 105 i) = 0.

Tarea individual 2, variante 3 BMJR, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad distributiva en C. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Demuestre las siguientes propiedades de la conjugaci´on compleja:

z + w = z + w, zw = z w, z = z.

Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = −5 + 4i, z₂ = −7 − 2i, z₃= 4 + 6i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z1= 4 +i, z2 = 2 − 3i, z3 = 6 −i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = −2 + 5i, z2 = −2 + 2i, z3= −1 − 4i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = −4 +i, z₂= 2 + 4i, z₃= 4 − 2i .

Tarea individual 2, variante 4 BSCO, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁

z₂

z₃

z₄ z₅

z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 4 BSCO, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = 3 −i z1 = |z1| = q

z₂ = 2 + 6i z₂ = |z2| = q

z₃ = −7 + 5i z₃ = |z3| = q

z₄ = −1 − 2i z₄ = |z4| = q

z₅ = −3 + 6i z₅ = |z5| = q

z₆ = 4 + 3i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante 4 BSCO, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = 10 + 54i, w = 6 − 4i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = −36 + 8i, w = 8 − 4i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 8 − 7 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = −8 − 9 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −40 + 42i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 15 + 112i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

4z²+ 32z + 68 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(−2 +i)z²+ (−6 − 7i)z + (15 − 95 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(−1 + 3i)z²+ (−20 − 10i)z + (64 − 52 i) = 0.

Tarea individual 2, variante 4 BSCO, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad asociativa de la multiplicaci´on de n´umeros complejos. Indicaci´on:

en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Denotemos por E al encaje natural de R en C:

E : R → C, E(x) := (x, 0).

Demuestre que la funci´on E es inyectiva, aditiva y multiplicativa. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = −1 + 4i, z₂ = −4 + 2i, z₃= −6 + 3i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos

z1 = −6 + 3i, z2 = −4 + 3i, z3= −2 − 6i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = 1 +i, z2 = −6 + 4i, z3= 4 + 6i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = 1 + 2i, z₂ = −1 + 5i, z₃ = −4 −i .

Tarea individual 2, variante 5 BVAS, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z1

z2

z3

z₄ z₅

z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 5 BVAS, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = −4 − 6i z1 = |z1| = q

z₂ = 7 − 7i z₂ = |z2| = q

z₃ = −6 + 7i z₃ = |z3| = q

z₄ = 2 + 3i z₄ = |z4| = q

z₅ = 2 − 3i z₅ = |z5| = q

z₆ = −3 + 7i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante 5 BVAS, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = 3 − 7i, w = 1 +i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = −25 + 5i, w = 8 +i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 7 + 8 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = 6 + 8 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 45 + 28i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 56 + 90i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

−3z²+ 24z − 96 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(2 + 2i)z²+ (24 − 20i)z + (−66 − 78 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(3 − 2i)z²+ (32 − 4i)z + (116 − 8 i) = 0.

Tarea individual 2, variante 5 BVAS, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad distributiva en C. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Demuestre las siguientes propiedades de la conjugaci´on compleja:

z + w = z + w, zw = z w, z = z.

Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = 5 + 3i, z₂ = −4 +i, z₃= 2 + 5i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos

z1 = −3 + 6i, z2 = 2 + 4i, z3 = −1 − 5i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = 2 − 2i, z2 = 6 − 3i, z3 = −5 −i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos

z₁ = −2 − 4i, z₂ = −3 − 4i, z₃= 1 + 2i .

Tarea individual 2, variante 6 CRJ, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁

z₂

z₃

z₄ z₅

z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 6 CRJ, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = 4 − 7i z1 = |z1| = q

z₂ = −5 − 4i z₂ = |z2| = q

z₃ = −7 −i z₃ = |z3| = q

z₄ = 5 − 3i z₄ = |z4| = q

z₅ = −7 + 6i z₅ = |z5| = q

z₆ = 1 + 6i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante 6 CRJ, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = −36 − 60i, w = 6 − 6i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = −1 + 12i, w = 5 − 2i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 9 − 8 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = −8 + 9 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −35 − 12i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 75 + 100i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

3z²− 30z + 87 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(−1 − 2i)z²+ (−7 − 19i)z + (−30 − 65 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(−2 + 3i)z²+ (−46 + 17i)z + (−174 − 38 i) = 0.

Tarea individual 2, variante 6 CRJ, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad asociativa de la multiplicaci´on de n´umeros complejos. Indicaci´on:

en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Denotemos por E al encaje natural de R en C:

E : R → C, E(x) := (x, 0).

Demuestre que la funci´on E es inyectiva, aditiva y multiplicativa. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = −6 + 2i, z₂ = 2 −i, z₃ = −1 − 2i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z1 = −2 −i, z2 = −2 + 5i, z3= −3 +i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = −3 + 4i, z2 = −3 +i, z3= 3 − 4i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = 2 + 4i, z₂ = 2 +i, z₃ = −6 − 2i .

Tarea individual 2, variante 7 CBYS, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁

z₂ z₃

z₄

z₅

z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 7 CBYS, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = 3 + 5i z1 = |z1| = q

z₂ = −6 −i z₂ = |z2| = q

z₃ = −3 + 5i z₃ = |z3| = q

z₄ = 5 + 3i z₄ = |z4| = q

z₅ = −1 + 5i z₅ = |z5| = q

z₆ = 7 − 6i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante 7 CBYS, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = 3 − 29i, w = 5 − 3i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = −31 − 53i, w = −1 − 8i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = −9 − 8 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = 6 − 7 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= 20 + 48i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −84 + 80i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

−2z²+ 20z − 122 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(−2 − 2i)z²+ (24 − 12i)z + (32 + 152 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(2 − 3i)z²+ (−31 + 14i)z + (149 + 43 i) = 0.

Tarea individual 2, variante 7 CBYS, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad distributiva en C. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Demuestre las siguientes propiedades de la conjugaci´on compleja:

z + w = z + w, zw = z w, z = z.

Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = 2 + 6i, z₂ = 2 + 3i, z₃ = −6 −i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z1 = 6 + 2i, z2 = −2 −i, z3= 3 − 2i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = −4 − 6i, z2= 1 + 6i, z3= 2 +i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = −4 + 5i, z₂= 2 − 2i, z₃= 1 + 5i .

Tarea individual 2, variante 8 DLCHJ, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁ z₂

z₃

z₄

z₅

z₆

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 8 DLCHJ, p´agina 2 de 4

Ejercicio 8. 1 %.

Marque los complejos dados y sus conjugados en el plano complejo. Adem´as escriba sus conju- gados y sus valores absolutos.

Re Im

0 1

i

z1 = 4 + 3i z1 = |z1| = q

z₂ = −2 + 4i z₂ = |z2| = q

z₃ = −7 − 4i z₃ = |z3| = q

z₄ = 6 − 5i z₄ = |z4| = q

z₅ = −7 − 6i z₅ = |z5| = q

z₆ = 4 − 2i z₆ = |z6| = q

Tarea individual 2, variante 8 DLCHJ, p´agina 3 de 4

Calcule el cociente de los n´umeros complejos dados: c = z/w. Para comprobaci´on multi- plique c por w.

z = −10 − 10i, w = 6 − 2i . Ejercicio 10. 0.5 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z = 11 + 13i, w = −2 −i.

Ejercicio 11. 1 %.

Potencia c´ubica de un n´umero complejo. Calcule z³, donde z = 9 + 7 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z³ = z²· z¹.

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)³. Ejercicio 12. 1 %.

Potencia cuarta de un n´umero complejo. Calcule z⁴, donde z = 8 + 7 i, de dos maneras diferentes:

I. Calcule z²= z· z y luego z⁴ = z²· z².

II. Aplique el teorema del binomio para expandir (a + b)⁴. Ejercicio 13. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −16 − 30i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 14. 1 %.

Ra´ıces cuadradas de un n´umero complejo. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que z²= −15 − 112i. Para cada uno de los n´umeros encontrados haga una comprobaci´on.

Ejercicio 15. 1 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

−2z²+ 28z − 106 = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 16. 2 %.

Ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes complejos. Encuentre a todos los n´umeros complejos z tales que

(−3 + 2i)z²+ (9 + 20i)z + (98 − 100 i) = 0.

Haga comprobaciones con las f´ormulas de Vieta.

Ejercicio 17. 2 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para la ecuaci´on

(−2 + 3i)z²+ (−2 + 3i)z + (−91 + 39 i) = 0.

Tarea individual 2, variante 8 DLCHJ, p´agina 4 de 4

Engrap eaqu

´ı

No doble

Algebra I, licenciatura. Tarea individual 2. Variante ´

N´umeros complejos. Definici´on de las operaciones. Operaciones en la forma binomial.

Nombre del estudiante:

Las tareas individuales se resuelven en casa, en hojas blancas de tama˜no carta, se entregan engrapadas juntas con las hojas de problemas, y se califican de manera muy cruel.

Ejercicio 1. 2 %.

Demuestre la propiedad asociativa de la multiplicaci´on de n´umeros complejos. Indicaci´on:

en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 2. 2 %.

Denotemos por E al encaje natural de R en C:

E : R → C, E(x) := (x, 0).

Demuestre que la funci´on E es inyectiva, aditiva y multiplicativa. Indicaci´on: en este problema escriba los n´umeros complejos como pares ordenados de n´umeros reales.

Ejercicio 3. 1 %.

Calcule z1z2, z1z3, z1z2+ z1z3, z2+ z3, z1(z2+ z3). N´otese que z1z2+ z1z3 y z1(z2+ z3) deben coincidir por la propiedad distributiva en C.

z₁ = −4 − 5i, z₂ = 1 − 4i, z₃ = −2 + 3i .

Ejercicio 4. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos

z1 = −2 + 2i, z2 = −2 − 7i, z3= 1 + 5i .

Ejercicio 5. 1 %.

Calcule z₁z₂, (z₁z₂)z₃, z₂z₃, z₁(z₂z₃). N´otese que (z₁z₂)z₃ y z₁(z₂z₃) deben coincidir por la propiedad asociativa de la multiplicaci´on en C.

z1 = −5 + 3i, z2 = −2 − 2i, z3= −1 − 3i .

Ejercicio 6. 1 %.

Haga la tarea del ejercicio anterior para los n´umeros complejos z₁ = 3 +i, z₂ = −7 −i, z₃ = 2 + 2i .

Tarea individual 2, variante 9 GOA, p´agina 1 de 4

Los n´umeros complejos z₁, . . . , z₆ est´an marcados en el plano complejo. Escriba cada uno de estos n´umeros en la forma bin´omica (algebraica), halle su conjugado y su valor absoluto.

Re Im

0 1

i

z₁

z₂ z₃

z₄ z₅

z6

z1= z1 = |z1| =q

z₂= z₂ = |z2| =q

z₃= z₃ = |z3| =q

z₄= z₄ = |z4| =q

z₅= z₅ = |z5| =q

z₆= z₆ = |z6| =q

Tarea individual 2, variante 9 GOA, p´agina 2 de 4