Estudio de la influencia de la frecuencia y severidad en entornos dinámicos

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Estudio de la influencia de la frecuencia y

severidad en entornos din´

amicos

Enrique Alba, Gabriel Luque y Daniel Arias

Resumen— La frecuencia y la severidad son dos de

los parámetros que influyen más en la optimización de problemas dinámicos (DOPs) ya que determinan cuándo y cómo es de drástico el cambio, respectiva-mente. Aunque ambos parámetros han sido estudia-dos parcialmente en el pasado, en este trabajo ana-lizamos sistemáticamente sus influencias y las posi-bles interrelaciones existentes entre ellos. En con-creto hemos realizado un amplio número de prue-bas de un algoritmo genético en estado estacionario (ssGA) aplicado a tres problemas dinámicos clásicos considerando un conjunto representativo de distintas frecuencias y severidades de cambio. Los resultados experimentales revelan que la severidad (medida co-mo la distancia entre dos óptimos consecutivos del problema) es el elemento que más afecta en la pre-cisión del algoritmo, aunque su efecto puede reducirse mediante la inserción de diversidad adicional en el al-goritmo cuando se detecta un cambio.

Palabras clave— frecuencia, severidad, problema din´amico, algoritmo gen´etico

I. Introducci´on

Muchos problemas de optimización del mundo re-al son de naturre-aleza dinámica: nuevos trabajos que han de ser planificados, información de tráfico para la configuración de antenas celulares, peticiones de clientes en un sistema centralizado de ascensores, etc. Si bien este tipo de problemas puede ser resuel-to como una sucesión de problemas estáticos inde-pendientes entre s´ı, muchas veces este enfoque no es viable debido al esfuerzo computacional que conlle-var´ıa reiniciar la búsqueda desde el principio. Los al-goritmos evolutivos (Evolutionary Algorithms, EAs) han sido estudiados como técnica [1], [2] para abor-dar los problemas dinámicos de optimización (Dy-namic Optimization Problems, DOPs). Los mayores esfuerzos por parte de la comunidad cient´ıfica usan-do estos algoritmos en DOPs se centran en mantener la máxima diversidad posible en la población.

Existen básicamente dos tipos de técnicas para mantener la diversidad. Por un lado, mediante el uso de memoria, ya sea de manera impl´ıcita usando cro-mosomas diploides [3] o con estructuras auxiliares donde se guarden individuos que pueden ser usados posteriormente si son necesarios [4]. Por otro lado, el segundo tipo de técnicas trata de introducir di-versidad mediante estrategias que actúen tras cada cambio, como el esquema de inmigrantes aleatorios [5] o la hipermutación [6].

Dpto. de Lenguajes y Ciencias de la Computación. E.T.S.I. Informática, 29071, Málaga, España. E-mail: {eat, gabriel, darias}@lcc.uma.es

Los dos parámetros más importantes de los DOPs son la frecuencia y la severidad del cambio, que in-dican cada cuánto se produce cada cambio y cómo de drástico es. Estos factores han sido tratados por separado en anteriores estudios [7], [8] pero nunca de forma conjunta. La contribución de este trabajo es mostrar cómo la frecuencia y la severidad están relacionadas entre s´ı, y establecer en qué condiciones cada factor es más determinante en el rendimiento de un DOP. El grado de severidad del cambio es considerado en el art´ıculo como el desplazamiento del óptimo de una instancia del problema a otra. As´ı pues, si estamos considerando usar un proble-ma basado en representación binaria, la distancia de Hamming entre las cadenas representa el gra-do severidad; mientras que en un problema repre-sentado mediante variables reales, la distancia eu-cl´ıdea entre dos óptimos es el criterio elegido para medir cómo de drástico es el cambio. En la búsqueda de nuestro objetivo, usamos un algoritmo genético (Genetic Algorithm, GA) canónico para resolver tres DOPs con distintas propiedades. Las pruebas es-tarán parametrizadas con distintos grados de fre-cuencia y severidad. Completaremos este análisis es-tudiando una estrategia de reemplazo aleatorio ante cada evento de cambio.

El art´ıculo está estructurado de la siguiente for-ma: la Sección II define formalmente los DOPs ana-lizados. El GA junto a la estrategia de reemplazo utilizada están explicados en la Sección III. Todo lo relativo a la configuración de los experimentos se muestra en la Sección IV. El análisis y discusión de los resultados se expone en la Sección V. Finalmente, la Sección VI resume las principales conclusiones y plantea posibles l´ıneas de trabajos futuros.

II. Problemas

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(Sección II-B) y los picos móviles (Sección II-C). El problema combinatorio de la mochila ha sido se-leccionado por ser un problema clásico en entornos dinámicos. La parábola móvil representa un proble-ma más sencillo de resolver al ser unimodal, mientras que el problema de los picos es multimodal como la mochila, pero con la ventaja de que es posible ajus-tar todos los parámetros del mismo (número de pi-cos, localización...) y por tanto su dificultad de forma sencilla.

A. La Mochila Din´amica

Muchos autores han usado la formulaci´on

dinámica del problema de la mochila para probar sus algoritmos (por ejemplo en [7] o [9] entre otros). El objetivo del problema es llenar lo máximo posi-ble una mochila, de forma que se maximice el valor acumulado de los objetos introducidos en ella. El modelo de cambio aqu´ı usado es el más extendido, y consiste en modificar el peso l´ımite de la mochi-la. Matemáticamente, la función a maximizar es la siguiente: f(x, t) = n X i=1 xivisujeto a n X i=1 xiwi< W(t), (1)

donde n es el número de objetos, xiuna variable bi-naria que indica si el objeto i-ésimo es seleccionado o no para ser introducido en la mochila, y siendo vi y wi el valor y el peso del i-ésimo objeto respecti-vamente. La restricción del problema impide que la suma de pesos de los objetos seleccionados supere la capacidad máxima (W ) de la mochila. Para tratar las soluciones no factibles, se ha decidido penalizar aquéllas (mediante un factor λ) que no cumplan la restricción de capacidad. La función de fitness usada para estos casos es la siguiente:

f(x, t) = n X i=1 xivi− λ n X i=1 xiwi− W (t) !2 . (2)

B. La Par´abola M´ovil

En este problema, la función usada es una ecuación parabólica de n dimensiones [1]:

f(x, t) = n X i=1 (xi+ δi(t))2, (3) δi(0) = 0, δi(t) = δi(t − 1) + s,

siendo s el parámetro que mide el grado de severi-dad (traslación lineal [1]) en el cambio de instancia del problema. Inicialmente la parábola se encuentra centrada en la posición (01, .., 0n) tal como muestra la Fig. 1 para el caso de una parábola bidimensional. C. Los Picos Móviles

Este problema fue propuesto por Jin y Branke en [10]. Su idea fue diseñar un DOP que permitiese la fácil creación de instancias con distintos grados de

Fig. 1. Ejemplo de par´abola bidimensional centrada en (0,0)

complejidad. La propuesta consiste en un espacio multidimensional que consta de varios picos, dónde la posición, altura y anchura de cada uno va variando con el tiempo. Matemáticamente, el problema cons-ta de m picos en un espacio n-dimensional de reales. La función de fitness está definida como el máximo sobre todas las funciones de pico:

F(~x, t) = m´ax (B(~x), m´ax

i=1..mP(~x, hi(t), wi(t), ~pi(t))), (4)

donde B(~x) es una función base independiente del tiempo y Pi, i ∈ {1, . . . , m} es el conjunto de fun-ciones que definen cada uno de los picos, los cuales dependen de la altura (h), anchura (w) y localización (~pi) que var´ıan en función del tiempo.

En el modelo de cambio inicial propuesto, cada cierto número de evaluaciones se var´ıa la altura, chura y localización de cada pico. La altura y an-chura var´ıan en función de una variable gaussiana, mientras que las coordenadas de los picos cambian en base a un vector de desplazamiento. Esta forma de variar simultáneamente cada uno de los parámetros no proporciona un sistema fácil para medir el gra-do de severidad entre gra-dos instancias. Debigra-do a esto, nuestro modelo de cambio propuesto es una versión simplificada en la cual sólo es movido el pico dónde se encuentra el óptimo, permaneciendo todos los demás parámetros inalterados (ver Fig. 2). As´ı pues, el gra-do de severidad viene definigra-do por la distancia eu-cl´ıdea entre los óptimos.

Fig. 2. El cambio sólo modifica la posición del pico óptimo

III. Algoritmo

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este modelo de evolución, un único nuevo individuo (creado a partir de los operadores genéticos) se inser-ta en la población siguiendo una estrategia de reem-plazo (Algoritmo 1).

Algoritmo 1Algoritmo Gen´etico de Estado Esta-cionario (ssGA)

pop ← generarPoblaci´onInicial()

parai=1 hasta MAXEVALS hacer

padres ← seleccionar(pop) hijo ← recombinar(padres) mutar(hijo) evaluar(hijo) reemplazar(hijo,pop) fin para

Cada cierto n´umero de evaluaciones se fuerza el cambio de instancia del problema y por consiguiente, el fitness de los individuos es recalculado acorde a la nueva instancia. Se han considerado dos estrategias ante la aparici´on de cada cambio:

No hacer nada: lo más sencillo ante la apari-ción de un cambio es dejar a la población inaltera-da. De esta forma podemos medir cómo reacciona el algoritmo ante los distintos cambios sin considerar ningún tipo de estrategia que introduzca diversidad adicional.

Inmigrantes aleatorios[5]: un porcentaje de in-dividuos de la población es reemplazado por nuevos individuos generados siguiendo una distribución uni-forme. Con esta técnica se consigue introducir diver-sidad en la población y es especialmente útil cuando el ssGA ha convergido hacia una solución de la ins-tancia anterior. En la Fig. 3 observamos un ejemplo en el cual suponemos que en el instante de tiempo ti+1se produce un cambio de instancia y parte de la población es sustituida por nuevos individuos.

) (ti Población ₍ ₎ 1 + i t Población

Fig. 3. Esquema de inmigrantes aleatorios: un porcentaje de la poblaci´on es sustituido por individuos generados de manera uniforme en cada cambio

IV. Configuraci´on de las pruebas

En esta sección se va a describir todo lo relati-vo a la parametrización de los tests. Una primera subsección (IV-A) describirá las métricas que hemos usado para medir el rendimiento de las ejecu-ciones dinámicas, mientras que la Subsección IV-B mostrará la parametrización usada para los algorit-mos y problemas.

A. M´etricas

Un aspecto muy importante a la hora de evalu-ar el rendimiento de algoritmos dinámicos es decidir qué tipo de métrica usar. Muchos autores evalúan sus algoritmos dinámicos en base a gráficas donde se muestran la evolución de las medias del fitness mejor y medio por generaciones [11]. La inspección visual de estas gráficas representa un método subjetivo a la hora de evaluar, no proporcionando ningún valor cuantitativo al usuario. Descartado este sistema de evaluación, la decisión tomada ha sido utilizar tres métricas propuestas por Weicker [12] que miden dis-tintos comportamientos de los algoritmos dinámicos: Exactitud: mide la diferencia relativa del mejor individuo de la población en un instante determina-do respecto al óptimo del problema en ese momento:

Exactitud(t) = f(mejor, t)

´

optimo(t) . (5)

Estabilidad: representa el grado de cambio de la exactitud entre dos instancias de tiempo consecuti-vos (Ecuación 6). Al igual que la exactitud, su rango de valores está contenido en el intervalo [0,1], sólo que aqu´ı el 0 representa su mejor valor.

Estabilidad(t) = máx {0, Exactitud(t) − Exactitud(t − 1)}. (6) Reactividad: mide la rapidez de adaptación del algoritmo ante un cambio. As´ı pues, para un instante de tiempo t, la reactividad calcula el tiempo (medido en este trabajo cada 100 evaluaciones) que necesitó el algoritmo para alcanzar una exactitud similar (grado de similitud controlado por parámetro ǫ, 1 en nuestro caso) a la de dicho tiempo (Ecuación 7). Al igual que la estabilidad, esta métrica por s´ı sola no da información del grado de exactitud alcanzado por el algoritmo. Reactividad(t) = m´ın {t′− t} ∪ {maxgen − t} (7) t < t′≤ maxgen, t′∈ N,Exactitud(t ′₎ Exactitud(t) ≥ (1 − ǫ) . t t_¢ React(t)

Fig. 4. Ejemplo de la reactividad en el tiempo t

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cada 200 evaluaciones habiendo señalado cuál es la reactividad en la evaluación 400.

Estas métricas tienen el inconveniente de que se requiere conocer el óptimo del problema y cuándo se produce el cambio. En nuestro caso, el conocer el óptimo no es problema ya que estamos usando problemas académicos los cuales nosotros mismos ajustamos. Además, conocer cuándo se produce el cambio tampoco, porque precisamente la frecuencia del mismo es uno de los parámetros que estudia este trabajo.

B. Parametrizaci´on de las pruebas

Una vez descritas las métricas que hemos usado, en esta sección vamos a detallar la parametrización utilizada. En primer lugar, la Tabla I hace referen-cia a la configuración del ssGA común a todos los problemas. Se ha realizado un número de evaluacio-nes de la función objetivo que depende del periodo de cambio a analizar; en concreto, al realizarse 10 cambios de instancia en cada ejecución, el número de evaluaciones es 10 veces el periodo de cambio. El tamaño de población es de 100 individuos, gene-rándose las distintas soluciones siguiendo una dis-tribución uniforme. Para la selección de individuos se ha seguido el esquema de torneo binario mien-tras que cada solución generada reemplaza a la peor solución de la población si es mejor que ésta. Para el cálculo de las métricas descritas en la Sección IV-A, se ha decidido medir sus valores cada 100 evaluacio-nes, de esta forma podemos medir el rendimiento en un número considerable de instantes de tiempo que nos permita obtener una buena representación de la evolución del fitness durante toda la ejecución. Se han usado varios porcentajes de inmigrantes aleato-rios, incluyendo los casos extremos del 0 % (dejando la población inalterada ante los cambios) y del 100 % (se reinicia la búsqueda con una nueva población).

TABLA I

Par´ametros comunes del ssGA

Ejecuciones independientes 100

N´umero de evaluaciones 10·periodo de cambio

Tama˜no de la poblaci´on 100

Inicializaci´on de soluciones Uniforme

Operador de selecc´ıon Torneo binario

Operador de reemplazo Reemplazo del peor

Frecuencia de medida 100 evaluaciones

% Inmigrantes aleatorios 0, 10, 30, 50, 70, 100

Para cada uno de los problemas se han realizado pruebas con el ssGA en un entorno estático para de-terminar en qué número medio de evaluaciones se alcanza el óptimo. Este valor medio es el que hemos considerado como periodo base (1/frecuencia) de cambio, y a partir de él seleccionamos otros periodos (ya sean fracciones o múltiplos de la base). A con-tinuación pasaremos a describir la parametrización espec´ıfica de cada problema (Tabla II).

TABLA II

Parametrizaci´on de los problemas

Mochila Par´abola Picos Dimensi´on 17 3 5 Rango variables {0,1} [-50,50] [0,100] Cruce SPX SBX

(pc = 0, 7) (pc = 0, 7) (ηc=20) Mutaci´on Bit Flip Polinomial

(pm = 1/17) (pm = 0, 3) (ηm=20) Periodo base (b) 700 1000 1500 Periodos de cambio 0.5b 1b 1.5b 0.2b 0.5b 1b 0.3b 0.6b 1b

2b 4b 1.5b 2b 1.3b 1.6b 2b Criterio severidad Dist. Hamming Distancia eucl´ıdea Otros λ = 20 - 10 Picos

Mochila: hemos usado las instancias considera-das en [7], las cuales tienen un tamaño de 17 obje-tos. En cuanto a los operadores genéticos, al estar las soluciones representadas mediante cadenas binarias se ha utilizado como operador de cruce el SPX (Sin-gle Point Crossover) y como operador de mutación el Bit Flip. Como ya se ha comentado con anterioridad en la Sección II, el modelo de cambio se basa en mo-dificar el peso l´ımite de la misma. Partimos de una instancia base con capacidad igual a 104 unidades que en cada una de las distintas pruebas oscila en cada cambio con una segunda instancia de capaci-dad diferente. Hemos hecho pruebas con la segunda instancia tomando valores de capacidad en el con-junto {91, 67, 54, 42, 30, 20, 10, 5}. Cuanto mayor es la diferencia entre las dos capacidades a conside-rar, mayor es también la distancia de Hamming en-tre los óptimos, que es el criterio seguido para medir la severidad. Por ejemplo, la menor severidad es la reflejada entre el par de instancias con capacidades 104-91, con una distancia de Hamming de 2 unidades entre los óptimos (12 % de severidad), mientras que el mayor grado de severidad viene dado por el par 104-5 (distancia de Hamming=12, 70 % de severi-dad).

Parábola: hemos trabajado con una función parabólica de tres variables. Los operadores de mu-tación y cruce son el polinomial y el SBX (Simu-lated Binary Crossover) respectivamente al haberse usado una representación real para resolver el pro-blema. El rango de las variables está contenido entre [-50,50]. La severidad viene dada en función del des-plazamiento de la posición del centro de la parábola en cada cambio. En concreto, hemos hecho pruebas desplazando 6, 12, 25, 50 y 75 unidades cada una de las variables por cambio.

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F(~x, t) = m´ax {B(~x), m´ax

i=1..10Pi(~x, hi, wi, pi(t))}, (8)

B(~x) = 0. Pi= hi− wi∗ |~x− pi(t)|2− 0, 01 ∗ sin(20 ∗ |~x− pi(t)|2).

V. Resultados

La sección con los resultados y discusión de los mismos la hemos dividido en dos partes. Por un lado, en la Subsección V-A analizaremos cómo la frecuen-cia y severidad del cambio afectan a la métrica de la exactitud (que es quizás la más importante desde un punto de vista práctico). Por otro lado, la Subsec-ción V-B se centrará en el análisis de las otras dos métricas: estabilidad y reactividad.

A. An´alisis del impacto de la frecuencia y severidad en la exactitud

En esta subsección vamos a analizar el efecto que provocan los parámetros estudiados (cada cuánto es el cambio, frecuencia, y cómo de drástico es ese cam-bio, severidad) sobre la exactitud obtenida. Antes de entrar a analizar su impacto cuantitativo en el rendimiento, queremos mostrar algunos aspectos co-munes a los tres problemas analizados (usando el problema de la parábola como ejemplo). Concreta-mente, la Fig. 5 muestra para el problema de la parábola, la evolución de la exactitud media en fun-ción del grado de severidad y el periodo de cambio (inverso de la frecuencia, el cual está expresado en función a múltiplos del periodo base). Por cada pe-riodo y severidad analizada se han realizado 100 eje-cuciones independientes, mostrándose en la curva la media de exactitud obtenida.

6%12% _25% 50% 75% 0.25b 0.5b b 1.5b 2b 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Periodo (1/F) Severidad Exactitud

Fig. 5. Curva que representa la exactitud en funci´on de la severidad y periodo de cambio obtenida a partir de los resultados experimentales en el problema de la par´abola

En primer lugar, es fácil observar como a mayo-res periodos de cambio (frecuencias bajas) se obtiene mayor exactitud. Esta consecuencia es lógica ya que el ssGA dispone de más evaluaciones para adaptarse al cambio, aumentando la probabilidad de encontrar soluciones más precisas.

La otra propiedad fácilmente deducible a partir de la Fig. 5 es el descenso en el rendimiento cuando se incrementa la severidad del cambio. Esto es debido a que conforme el ssGA evoluciona y se va acercan-do a la convergencia, la población se va situando en lugares cercanos (o exactos) a posiciones de óptimos (ya sean locales o globales). Cuanto mayor es el gra-do de severidad, más lejano se encuentra el óptimo de la nueva instancia del problema respecto al de la anterior, por lo que el algoritmo necesita mayor número de evaluaciones para reaccionar ante el cam-bio.

Esta idea es la que tratamos de ilustrar en la Fig. 6, la cual muestra dos trazas distintas de ejecución para el problema de la parábola. En ambos casos se asume el cambio de instancia tras cada 1000 eva-luaciones. La primera traza (punteada con c´ırculos) representa una situación dónde la parábola es movi-da 6 unimovi-dades en camovi-da una de sus variables, mientras que en la segunda (punteada con cruces) se ha efec-tuado un desplazamiento de 15 unidades por cam-bio. Podemos observar que en general, la ejecución de menor grado de severidad alcanza mayores grados de exactitud de forma más rápida al ser el cambio menos drástico. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Evaluación Exactitud Sev = 0.06 Sev = 0.15

Fig. 6. Ejemplo de dos trazas de la exactitud en el problema de la par´abola: cuanto mayor es la severidad del cambio m´as evaluaciones necesita el algoritmo para adaptarse al cambio, por lo que la exactitud media empeora

Para un análisis cuantitativo de la influencia de la frecuencia y la severidad, los resultados expe-rimentales han sido modelados aplicando regresión lineal. Hemos probado otro tipo de aproximaciones (por ejemplo, curvas), pero el error cuadrático medio respecto a los valores reales han resultado mayores (aplicando regresión lineal, este error es menor al 2 % en todos los casos). En concreto, las expresiones obtenidas son de la forma:

Exactitud= wi+ ws· S + wf· F, (9)

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TABLA III

Coeficientes de planos obtenidos para la exactitud en funci´on del % de reemplazo

Mochila Picos Parabola

% Reemplazo wi ws wf wi ws wf wi ws wf 0 1,15 -0,54 -0,15 0,96 -1,00 -0,06 0,71 -0,59 -0,47 10 1,12 -0,39 -0,15 0,97 -0,94 -0,08 0,75 -0,23 -0,66 30 1,09 -0,29 -0,14 0,95 -0,89 -0,07 0,77 -0,14 -0,71 50 1,07 -0,24 -0,13 0,97 -0,88 -0,10 0,78 -0,10 -0,72 70 1,06 -0,21 -0,12 0,97 -0,86 -0,09 0,78 -0,07 -0,72 100 1,05 -0,16 -0,12 0,94 -0,33 -0,31 0,79 -0,02 -0,75

respectivamente, en la exactitud del algoritmo (va-lores menores a 0 implican un efecto negativo). El parámetro wirepresenta una aproximación a la pre-cisión que se obtendr´ıa en el problema estático (ya que su valor ser´ıa el obtenido en las ecuaciones si suponemos S y F iguales a cero), aunque es un valor extrapolado al no haberse realizado experimentos en condiciones estáticas.

Nuestro análisis se basará en comparar, para ca-da problema, los valores de ws y wf, justificando el porqué en unos casos influye uno más que otro. Los planos para cada problema tratado son:

ExactitudM ochila= 1, 15 − 0, 54 · S − 0, 15 · F (10)

ExactitudP icos= 0, 96 − 1, 00 · S − 0, 06 · F (11)

ExactitudP ar´abola= 0, 71 − 0, 59 · S − 0, 47 · F (12)

De estas ecuaciones se pueden extraer varias con-clusiones. Primero podemos observar que ambos parámetros influyen negativamente en la precisión que obtiene el algoritmo. Esto es un resultado es-perado como se ha explicado anteriormente ya que aumentar la frecuencia o la severidad refleja un au-mento de la dificultad del problema dinámico y es razonable que el algoritmo disminuya su capacidad de encontrar el óptimo. También es destacable ob-servar cómo en los tres problemas analizados, ws es siempre mayor a wf evidenciando el mayor impacto de la severidad en relación al impacto de la frecuen-cia en el rendimiento.

El grado de influencia de la severidad y la frecuen-cia es dependiente del problema. As´ı por ejemplo, en el problema de la parábola podemos observar que la frecuencia influye con un coeficiente wf mayor al de los otros problemas. La explicación a esto es de-bido a que este problema es unimodal, por lo que el único impedimento en alcanzar el óptimo desde cualquier otro punto es el tiempo empleado, de ah´ı que la frecuencia influya más en este caso. Para pro-blemas multimodales como los otros dos analizados, la frecuencia tiene una influencia muy baja, e incluso anecdótica en el caso de los picos (0,06 de coeficien-te), siendo la severidad del cambio el mayor escollo en la precisión. El motivo radica en que el algoritmo puede quedarse atrapado en un m´ınimo local, y no poder escapar de ah´ı ni cuando cambia la instancia ya que es posible que ese m´ınimo local no se vea afec-tado por el cambio. La Fig. 7 muestra un ejemplo de

este caso, representando la evolución de la exactitud en una ejecución para el problema de los picos dónde se produce un cambio cada 1000 evaluaciones con un grado de severidad del 40 %.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Exactitud Evaluación

Fig. 7. Ejemplo de traza de la exactitud en el problema de los picos con periodo de cambio de 1000 evaluaciones. La frecuencia de cambio influye muy poco en este problema debido al estancamiento en ´optimos locales, como se evi-dencia a partir del primer cambio

En dicha figura puede observarse que a partir de la evaluaci´on 1500 aproximadamente (tras el primer cambio), la exactitud permanece inalterada (siendo menor que 1), evidenciando el estancamiento en un ´

optimo local. Lo que ocurre realmente ha ocurrido en esa traza es que la población entera ha convergido al primer óptimo global y tras producirse el primer cambio, vuelve a converger a otro óptimo, sólo que esta vez es local. Es importante tener en cuenta que en nuestro modelo de cambio sólo se modifica la posi-ción del pico óptimo, permaneciendo el resto del es-pacio de búsqueda inalterado. Por este motivo, al-canzar un óptimo local dificulta tanto el problema dinámico en el caso de que la población converja a la misma solución.

En resumen podemos concluir que la severidad influye m´as que la frecuencia ya que en los planos obtenidos, ws es siempre mayor que wf, siendo el problema de los picos el m´as evidente tal y como hemos explicado.

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100 %. La Tabla III muestra los coeficientes de las expresiones anal´ıticas de los planos obtenidos tras aplicar la correspondiente regresión sobre los resul-tados. Observando dichas expresiones podemos com-probar que el coeficiente wi baja de forma poco sig-nificativa al aumentar el porcentaje de reemplazo (en el caso de la parábola el coeficiente aumenta) por lo que el reemplazo apenas repercute negativa-mente en la precisión. Además podemos comprobar que el ratio entre el coeficiente de severidad y el de frecuencia (ws/wf) va bajando conforme se aumen-ta el porcenaumen-taje de reemplazo (ver Fig. 8). El moti-vo de esto es la diversidad adicional introducida en la población, lo cual permite una mejor adaptación ante cambios severos. Conforme mayor es la dificul-tad del problema (picos) el ratio se mantiene mayor evidenciando la importancia de un efecto drástico en el cambio. Un problema unimodal como la parábola termina presentando un ratio claramente menor que 0, por lo que la frecuencia afecta más al rendimiento. Podemos concluir diciendo que la aportación de los inmigrantes aleatorios constituye un resultado muy interesante, ya que siendo una estrategia relativa-mente simple como reiniciar parte de la población, permite reducir de forma importante la dificultad añadida por los cambios muy severos.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 % de inmigrantes Ratio ws/wf Parábola Picos Mochila

Fig. 8. Ratio entre coeficientes de severidad y frecuencia (ws/wf) seg´un el porcentaje de reemplazo: el ratio dis-minuye a medida que se aumenta el porcentaje de indivi-duos aleatorios

B. An´alisis del impacto de la frecuencia y la severi-dad en la estabiliseveri-dad y reactiviseveri-dad

En esta subsección vamos a analizar brevemente cómo la frecuencia y severidad impactan en las valo-res proporcionados por las otras métricas. Las ecua-ciones comprendidas desde la 8 a la 13 muestran las expresiones obtenidas para la estabilidad y la reac-tividad en los problemas analizados.

EstabilidadM ochila= −0, 030 + 0, 140 · S + 0, 050 · F (13)

EstabilidadP icos= 0, 006 − 0, 009 · S + 0, 020 · F (14)

EstabilidadP ar´abola= 0, 080 − 0, 070 · S − 0, 001 · F (15)

ReactividadM ochila= −0, 080 + 1, 020 · S + 0, 790 · F (16)

ReactividadP icos= 1, 630 − 0, 005 · S − 0, 550 · F (17)

ReactividadP ar´abola= 1, 830 + 0, 830 · S − 0, 690 · F (18)

En el caso de la exactitud (ecuaciones 9, 10 y 11), las expresiones obtenidas muestran que la severidad y la frecuencia de cambio afectan su rendimiento cuando aumentan. Sin embargo, obser-vando las ecuaciones de la estabilidad y la reactivi-dad, vemos que el efecto de la severidad y frecuencia var´ıa en función del problema. El motivo de esto está relacionado con las particularidades del espacio de búsqueda de cada problema, hecho que queremos ilustrar en la Fig. 9. En dicha figura, hemos repre-sentado trazas de la exactitud con parametrizaciones de frecuencia y severidad opuestas en los problemas estudiados. La imagen de la izquierda representa un escenario donde la severidad del cambio es drástica y la frecuencia muy elevada. En este contexto obser-vamos cómo la variación de la exactitud es muy dife-rente dependiendo del problema. En la mochila, las altas penalizaciones aplicadas al bajar drásticamente la capacidad repercuten en variaciones de la exacti-tud elevadas, afectando esto a la estabilidad y reacti-vidad. En cambio, para la parábola, al cambiar muy rápido el problema, nunca se acerca al óptimo y las soluciones alcanzadas son siempre de baja exacti-tud por lo que este hecho beneficia a las otras dos métricas. Para los picos ocurre igual que lo explicado en la Fig. 7: al variar de manera drástica la locali-zación del pico óptimo es más fácil que el algoritmo quede atrapado en un óptimo local, lo que también beneficia a la estabilidad y la reactividad.

La imagen de la derecha de la Fig. 9 represen-ta un escenario opuesto con una severidad de cam-bio pequeña y una frecuencia baja. En este caso los comportamientos de los problemas también difieren en la forma de variar la exactitud: la mochila pre-senta menos fluctuaciones al permanecer más tiem-po la misma instancia, mientras que en los otros dos hay más fluctuación que antes (sobre todo en la parábola) debido a la continua adaptación al nuevo ´

optimo.

VI. Conclusiones

El objetivo de este art´ıculo ha consistido en reali-zar un estudio de la influencia de los dos parámetros más influyentes en un DOP: la frecuencia y la severi-dad del cambio. Para ello hemos sometido a un GA a pruebas usando tres DOPs distintos: la mochila, la parábola y los picos móviles. La parametrización de las pruebas ha cubierto un conjunto representativo de frecuencias de cambio (basándonos en fracciones y múltiplos del número medio de evaluaciones en qué el ssGA es capaz de encontrar el óptimo) y también de severidades (desde cambios muy pequeños a bas-tante drásticos).

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Fig. 9. Ejemplo de evolución de la exactitud en los problemas estudiados para dos configuraciones opuestas de frecuencia y severidad. Se observa que cada problema reacciona de manera diferente en la variación de la exactitud (que es lo que determina el valor de la estabilidad y reactividad) por lo que observamos la no directa influencia de la frecuencia y severidad en las métricas de estabilidad y reactividad

de relación directa con las métricas de estabilidad y reactividad (dependen del tipo de problema y su espacio de búsqueda), con la exactitud (que es la métrica más importante) no ha sido as´ı. Las fun-ciones extra´ıdas muestran que la severidad del cam-bio influye más negativamente en la exactitud que la frecuencia. Para problemas sencillos de espacio de búsqueda unimodal como la parábola, las bajas fre-cuencias de cambio ayudan a mejorar bastante el rendimiento del algoritmo. Sin embargo, en proble-mas multimodales (y por tanto más cercanos a los del mundo real), el aumento de la frecuencia no ayuda mucho ante cambios severos debido a la probabilidad de que la población converja a la misma solución y ésta represente a un m´ınimo local (como observamos en el problema de los picos).

También hemos estudiado cómo afecta una es-trategia de reemplazo de inmigrantes aleatorios en el rendimiento. Los resultados han mostrado que al aumentar el porcentaje de individuos reemplazados (con el consiguiente aumento de diversidad en la población), la severidad del cambio pasa a ser ca-da vez menos influyente en la exactitud.

Como complemento a este trabajo, tenemos la in-tención de estudiar en el futuro la influencia de la frecuencia y la severidad en otro tipo de algoritmos y estrategias de cambio. As´ı podremos comprobar has-ta qué punto otras estrategias de búsqueda más com-plejas, cumplen con los resultados aqu´ı obtenidos.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la Conserjer´ıa de Innovaci´on, Ciencia y Empresa de la Junta de Andaluc´ıa bajo el proyecto P07-TIC-03044 (DIRICOM: http://diricom.lcc.uma.es).

Referencias

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