jlmat.es 1
ECUACIONES (Soluciones)
Ejercicio 1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
4 2 3 5
2
) 4 5 3
4 8
8 4
2
x x x x
a x
x
x
x x
x x
− − + = − −
= +
−
=− →
− = −
= −
−
4 5 6 8 2 5 7
4 8
8 4
) 5 4 7 5 8
2
6 2
x x x
b
x x
x x x x
x x
− − + =
− + − + = − − − +
− = −
=−
−
−
→
−
=
−
( )
) 3 5 2 2 7
3 5 2 2 7
3 2 2 7 5
6 12 12
6 2
x x x x
x x x x
c x x x
x
x
x x
− + = + − + − + = +
−
=
=
− =
→ +
=
−
( ) ( )
3 6 8 4 4
3 4 8 4
) 3 2 4 2 4
6 6
6
6 1
6
x x x
x x
d x x x
x x x
x
− − = − +
− + = +
− − = −
=
= →
+
=
−
( ) ( ) ( )
) 2 2 3 2 4 8 4
4 2 6 12 8 4 2 6 8 4 4 12 5 20
2
50 4
x x x
e x x x
x x
x x
x x
− + − = −
− + − = − +
− + + = +
=
=
−
−
→ =
+
( ) ( ) ( )
8 4 3 6 7 21
4 6 7 21 8 3
4 16 1
) 4 2 3 1 2 3
4
7
6 4
x x x x
x x x x
x
x x
x f
x
x x
− − − = − +
− −
− − + = − −
− + = − +
− =
= → = −
−
3 6 24
6 6 6 )
6
3 6 24
6 6
3 6 24
3 6 24
2 24 2 2 4
12 6
4 2
x x x
x x x
x x x
x x
x g
x
x x
x x
x
+ = − + = − + = − + − = −
− = −
=− →
−
=
=
+ −
( )
3 1 4 12 12 6 12 12 12 12 12 3 3 4 12 12 6
12 12
3 3 4
1 1
12 12 6 3 4 12 6 3 12
5 15 15 4
3 1
5
) 3 2
x x x
x x x
x x
h x
x x x
x x x
x
x x
+ + − = +
+ + − = +
+ + − =
+ + − = +
+ + − = − +
− =
= →
− = −
jlmat.es 2
( ) ( )
3 2 16 6 3 2
12 12 12 12
3 6 16 18 6 2 12
2 4 3
) 4 3 2 6
12 3 22 18 8 3 8 18 22
5 40 40
5 8
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x i
− +
− = +
− − + +
=
− − = + +
− = +
− = +
− =
= →
− = −
( )
2 4
1 6 2
6
1 4 1
)
6 6 6
1 2 8 6 2
6 6
1 2 8 6 2 2 6 2 1 8 3 9
3 3 3
9
6 3
x x x
x x x
x x
j x
x x x
x x
x x
x x
+ −
+ = +
+ + − = + + + − = + + − = − +
− +
=
= →
−
+ − =
= − +
Ejercicio 2
La base de un rectángulo es 7 cm mayor que la altura. Si el rectángulo tiene 74 cm de perímetro, calcula su área.
Solución:
( )
. 7
74 74 .
2 2 7 74 2 2 14 74
2 2 74 14 4 60
60 15
4 15
Llamamos x a la medida de la altura del rectángulo La base medirá x
Como el perímetro del rectángulo es cm entre los cuatro lados suman cm
x x x x
x x
x
x x cm
La altura del rectángulo mide cm +
→
+ + = → + + =
+ = −
=
= → =
2
, 15 7 22
22 15 3 0 33
3
rectángulo 0
y la base mide cm
El área del rectángulo es A base altura A
A cm
+ =
= → = =
=
jlmat.es 3
Ejercicio 3
Ana tiene 12 euros menos que Javier, pero tiene el doble de dinero que Carlos. Si entre los tres juntan 102 euros, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
Solución:
,
, .
1:
12
Tenemos que decidir a qué número llamamos x porque tenemos varias opciones y cada opción dará lugar a una ecuación diferente pero la solución del problema será la misma
Opción
Javier tiene Llamamos x al número de euros que tiene Ana →
( )
12
2
102 :
2 2 24 204 2 2 24 204
12 102 12 102
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 24 204 5 204 24
5 180 180 36
5 euros más x
Ana tiene el doble que Carlos Carlos tiene la mitad que Ana x
Entre los tres suman euros
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x
x x e
→ +
→ →
+ + +
+ + + = → + + + = → + + + = → =
+ + + =
= −
= → = =
36 12 36
2
2 :
2
12 2 1
48 36
2 10
18
uros tiene
tiene
tiene
Opción
Ana tiene el doble que Carlos x Llamamos x al número de euros que tiene Carlos
Jav
Javier euros
Ana eur
ier tiene euros más
os Carlos euro
que Ana x Entre los tres suman
s + =
→ =
→
→ → +
( )
2 :
2 2 12 102 2 2 12 102
2 2 102 12
5 90 90 18
5 2 18
2 1 36 18 8 12
4
3
1 8
:
2 euros
x x x x x x
x x x
x x euros
tiene
Ana euros
Carlos euros
Javier euros
tiene
tiene
Opción
Ana tiene euros m Llamamos x al número de euros que tiene Javier
+ + + = → + + + =
+ + = −
= → = =
=
→ + =
→
( )
12
12 2
102 :
12 12 2 2 24 12 204 2 2 24 12 204
12 102 12 102
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 24 12 204 5 204 24 12 enos x
Ana tiene el doble que Carlos Carlos tiene la mitad que Ana x
Entre los tres suman euros
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x
→ −
→ → −
− − − + − + −
+ − + = → + − + = → + − + = → =
+ − + − =
= + +
5 240 240 48
5 48 12
48 12 2
, 36
48 18
x x euros
tiene tiene
tiene
Ahora puedes observar que todas las ecuaciones llevan a la misma solución del pr A
o na
bl eu
em ros
Javier euros
Car
a pero es posible que alguna sea más senc
los euros
ill
= → = =
− =
→ − =
, , .
a que las otras con lo que pensar bien a qué número llamamos x puede facilitar la resolución
jlmat.es 4
Ejercicio 4
María nació cuando su padre, Javier, tenía 28 años. Ahora, Javier triplica la edad de María. Plantea y resuelve una ecuación para encontrar la edad actual de los dos.
Solución:
.
1:
28 28
, :
28 3 28 3 28 2 2 28 28 14
2
14 2
4 8
1
Tenemos que decidir a qué número llamamos x
Opción
Llamamos x a la edad de María Javier tiene años más x Ahora Javier tiene triple edad que María
x x x x x x x
tien
María e años Javiertiene
→ → +
+ = → = − → = → = → = =
→ + =
( )
2 :
28 28
, :
3 28 3 84 3 84 2 84 84 4
42
42 1
2 2
42 28 4 Opción
Llamamos x a la edad de Javier María tiene años menos x Ahora Javier tiene triple edad q
años
Javie
ue María
x x x x x x x x
tien
r e años Maríatiene años
→ → −
= − → = − → − = − → − −
→
= − → = =
−
− = →
Ejercicio 5
En una granja hay 35 gallinas más que vacas. Si hemos contado 244 patas, ¿cuántas gallinas hay en la granja?
Solución:
( )
35 ; 35
, :
2 4 244
2 4 35 244 2 4 140 244 2 4
Si llamamos x al número de gallinas hay vacas menos el número de vacas será x
Ahora como las gallinas tienen dos patas y las vacas cuatro patas
patas por cada gallina patas por cada vaca
x x x x x x
→ −
+ =
+ − = → + − = → + = 3
6
244 140 6 384 84 64
6
64 35 29 . 4
x x x
En la granja hay gallinasy vacas
+ → = → = → =
− =
jlmat.es 5
Ejercicio 6
Ángel, Beatriz y Carlos poseen un montón de canicas. Beatriz tiene el doble que Carlos y Ángel tiene 10 más que Beatriz. Si entre los tres juntan 80 canicas, ¿cuántas tiene cada uno?
Solución:
2
10 2 10
, 80 :
2 2 10 80 2 2 80 10 5 70 70 14
1
5
4
Beatriz tiene el doble que Carlos x Si llamamos x al número de canicas de Carlos
Ángel tiene más que Beatriz x
Ahora como entre los tres suman canicas
x x x x x x x x x
tiene
Carlos cani
→
→
→ +
+ + + = → + + = − → = → = → =
2 14 28 1
28 38 0
Beatriztie canicas cas
Ángel canica
ne
tiene s
=
→ + =
Ejercicio 7
Resuelve las siguientes ecuaciones:
( ) ( ) ( )
8 4 10 15 12 1 6 2 4 4 6 2
20 20 20
8 4 10 15 12 6 4 2 4 6 1
2 2 3 12
) 1 2 3 1 4 1 6 2 )
2 20 20
12 9 8 4 10 1
5
5 12
9 4
4
10 12 8 15 12
3 4
5
2
5 1
0
5 5
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
a x x x b
x
− − −
− − = − − + + =
− + − −
− − − = − − − + =
− = − − + − = −
−
− − −
− +
= → − + − = − − +
−
= −
=
= − − − + =
− → = −
=
( ) ( )
6 9 4 36 24 3 2 3 6 10 5 7
12 12 12 12 12 6 9 4 36 24 3
3 5 10 7
2 3 1
) 2 3 2 5 2 7 ) 3 2
4 3 4
2 6 12 12
7 21 6 9 4 36 24 3
21 6 4 24 3 9 36
7
14 42 42
14 3
3
x x
c x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x d
x x
x x
x
+ − − = − + − + − = −
− + − −
− + = + − + =
= + − −
− + − = −
= → + − = − + +
− =
= →
−
− = − + +
=
= −
= −
−
jlmat.es 6
( )
( ) ( ) ( )
( )
9 2 2 1 12 3 3 3 4 12 12 48
12 12 12 12 12 12
9 18 2 2 12 36
3 3 4 12 12 48
12 12
9 18 2 2 12 36 3 3 4 12 12 48
9 2 12 36 18 2 3 4
3 2 1 1 3
)
12 48 3 1
3 ) 4
4 6 4
2
20 20 13 9
3
3
x x x x x x
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
x x x x
e x f x
x x
− + − − − +
+ = − =
− + + = − − − − = +
− + + = − − − + = +
+ − = − + − − − = + −
− + − −
+ = − − =
=
− → −
+
= − = 39
1 3
3 x
→ =x → = −
−
Ejercicio 8
En una fiesta, el número de mujeres es el doble del número de hombres. Los niños son la mitad del número de hombres y mujeres juntos. Halla cuántos hombres, mujeres y niños hay en la fiesta si el total es de 54 personas.
Solución:
2 , 2
2
54 :
3 2 4 3 108 108
2 54 2 4 3 108 9 108 12
2 2 2 2 2 9
mujeres hay el doble x
Si llamamos x al número de hombres de la fiesta x x
niños la mitad que hombres y mujeres juntos
Hay personas en la fiesta
x x x
ho
x x x x x x x x x
ha mbres
→
→ → +
+ + = → + + = → + + = → = → = → =
2 12 12 24
2 24
12 18
mujeres n
hay
y iñoshay
=
→ + =
Ejercicio 9
Un examen tipo test consta de 25 preguntas. Cada acierto suma 4 puntos y cada error resta 1 punto. Un alumno que contesta a todas las preguntas obtiene una puntuación de 60 puntos. Plantea y resuelve una ecuación para averiguar cuántas respuestas ha acertado.
Solución:
( )
25
4 1 . 60 :
4 1 25 60 4 25 60 4 60 25 5 85 85 17
1
5
7
Si llamamos x al número de aciertos el número de errores será x
Cada acierto suma puntos y cada error resta punto Ha obtenid
Ha acertado respue
o puntos
x x x x x x x x x
ha tenid stas
→ −
− − = → − + = → + = + → = → = → =
→ o25 17− =8errores.
jlmat.es 7
Ejercicio 10
Javier dice: “Hace 12 años mi edad era la mitad de la que tendré el próximo año. ¿Cuál es mi edad actual?”
Solución:
12 , 12
, 1
12 , :
1 2 24 1
12 2 24 1 2 1 24 25
2 2 2
hace años Javier tenía x Llamamos x a la edad de Javier
el próximo año Javier tendrá x
Hace años la edad de Javier era la mitad de la que tendrá el próximo año
x x x
x x x x x x
ti Javier e
→ −
→ → +
+ − +
− = → = → − = + → − = + → =
25 ne años
Ejercicio 11
En una ferretería hemos comprado tacos, a 5 céntimos cada uno, y tornillos, a 8 céntimos cada unidad. Si nos llevamos 3 tornillos menos que tacos y hemos pagado 6 € por todo, ¿cuántos tornillos y tacos hemos comprado?
Solución:
( )
3
5 8 . 6 € 600 :
5 8 3 600 5 8 24 600 13 624 624 48
13
Si llamamos x al número de tacos que compramos el número de tornillos que compramos es x
Cada taco cuesta céntimos y cada tornillo céntimos Pagamos por todo céntimos
x x x x x x x
Hemos
→ −
=
+ − = → + − = → = → = → =
48tacos 45tor .
comprado y nillos
Ejercicio 12
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
( ) ( )
22 2
5 1 6
1 4 5 5 4 1 6 5 25 24 5 1 2 2 3
5 2 2
)
3
5 6
1 2 2
6 5
2 2
0
1 4 2 2
x
x a x
a b b a c
b x
a x
c
+ = = →
= − − − − − − −
= − → = = = = =
=
− + =
=
− = = → =
jlmat.es 8
( )
2 2 2
3 5 2
1 2 2 1
3 3 4 1 4
4 3 9 16 3 25
3 2 2
) 3 4 0
1 2 2
4
1
5
2 4
3 8
2 4 a
b b a c
b x
b x
x
x x
c a
− + = = →
= − − − − − − + −
= → = = = = =
= − − − −
= =
=
−
=
→
−
= − +
( ) ( )
2( )
2
2
3 7 10
1 4 3 3 4 1 10 3 9 40 3 49 2 2 5
3 2 2
) 3 10 0
1 2 2
10 3
5
7 4 2 2 2 2
a b
c x
b a c
b x
c x
x
x
a
+ = = →
= − − − − − − − +
= − → = = = = =
= − − −
= = − →
=
− =
= −
−
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
2
10 0 10 5
1 4 10 10 4 1 25 10 100 100 10 0 2 2 5
10 2 2 1 2 2
25 10 0 10
2 2 5 :
10 25 5 5 0 5 0
) 10 25 0
5
5 a
b b a c
b x
c a
También podemos reconocer un producto notable
x x x x x soluc
x
x
x ió
x
ob d
n x
d l
+ = = →
= − − − − − − −
= − → = = = = =
= −
= = →
− +
=
=
= − → − = → = →
−
=
− + =
e
Ejercicio 13
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
( ) ( )
22 2
5 1 6 1
6 12 12 2
5 5 4 6 1
4 5 25 24 5 1
5 2 2 6 12 12
1 5 1 4 1
12 1
) 6 5 1
2 3
1 2
1 0
3 a
b b a c
b x
a
x
x
x x
c a
+ = = →
= − − − − − − −
= − → = = = = =
= −
= = →
=
=
=
− +
jlmat.es 9
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
2
6 0 6 1
9 4 6 6 4 9 1 6 36 36 6 0 18 18 3
6 2 2
) 9 6 1 0
9 18 18
1 6 0 6 1
18 18 3 :
9 6 1 3 1 3
1 3
1
1 0 3 1
3
1 0 3
a b b a c
b x
c a
También podemos reconocer un producto notable
x x x x x solu
b x
ción do e
x
x x
x bl
+ = = →
= − − − − − − −
= − → = = = = =
= −
= = →
− + =
=
=
− → − = → − = → =
− + =
( ) ( )
2( )
2 2
11 13 24
4 4 11 11 4 4 3 11 121 48 11 169 8 8 3
11 2 2 4 8 8
3 11 13 2 1
8 8 4
) 4 11
3
1 3
4 0
a b b a c
b x
a
x
x
c x x
c
+ = = →
= − − − − − − − +
= − → = = = = =
= − − −
= = − →
=
=
= −
− −
( )
2
2 2
5 7 2 1
6 4 5 5 4 6 1 5 25 24 5 49 12 12 6
5 2 2 6 12 12
1 5 7
1 6
12 1 12 1 1 ) 6 5 1
2 0
a
b b a
x
b x c
a
d x x
c x
− + = = →
= − − − − − − + −
= → = = = = =
= − − − −
= = − →
=
+ =
= −
−
Ejercicio 14
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
( ) ( )
2 2 2
2 2
2
2 3 5 2 0 2 5 2 0
5 3 8
2 4 5 5 4 2 2 5 25 16 5 9 4 4 2
5 2 2 2 4 4
2 5 3
2
1 2 1
) 3 5 2
2 4 4 2
x x x x x
a
b b a
x
b x c
x x x
c a
x a
→ − − + = → − + =
+ = = →
= − − − − − − −
= − → = = = = =
= −
= = →
=
−
=
− =
( )
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
3 3 2 0 3 0
2 3 2 3
1 4 0 0 4 1 3 0 12 2 2 3
0
) 3 3
2 2 1 2
3 2 3 2 3
2 2 3
3
3
:
:
3 2
3 3
3 0 3
x
x x x x x
a b b a c
b x
c a
Mejor habría sido hacerlo así
x x x soluci
b x x
one
x x
x
x x s
→ − − − + = → − =
= = →
= − − − − −
= → = = = =
= −
− =− = − →
− = → = → =
=
= −
=
=
−
−
− − =
jlmat.es 10
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
5 2 2 3 5 5 4 6 5 5 4 6 0 5 6 0
5 1 6
1 2 2 3
5 5 4
3
2
4 1 6 5 25 24 5 1
5 2 2 1 2 2
6 5 1 4
2 2
2
2 2
) 3
5 x x x x x x x x x x x
a x
x
b b a
x x x
b c c
x a
c
→ − = − → − = − → − − + = → − + =
+ = = →
=
− − − −
− − −
= − → = = = = =
= −
− −
=
= = →
=
=
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 7 6 6 8
7 6 6 8 7 6 6 8 0 6 8 0
6 6 6 6
6 2 8
1 2 2 4
4 6 6 4 1 8 6 36 32 6 4
6 2 2 1 2 2
8 6
7 4
)
2 4 2 2 3
4
2 2 6
x x x
x x x x x x x x
a b b a c
b x
c a
x x
x
d x
x
→ + = − → + = − → + − + = → + + =
+ = = →
=
− − − − −
= → = = = = =
= −
+ = −
= = →
=
=
Ejercicio 15
Un kilo de manzanas cuesta el doble que uno de naranjas. Por tres kilos de naranjas y uno de manzanas he pagado 6 €. ¿A cuánto están las naranjas y a cuanto las manzanas?
Solución:
( )
. , 2 .
3 1 6 3 1 2 6 3 2 6 6
1, 20 € / 2,
5 6 1, 2
5 Llamamos x al precio en euros de un kilo de naranjas Entonces un kilo de manzanas cuesta x euros
kilos de naranjas kilo de manzanas cuestan euros x x x x x x
Las naranjas cuestan kg y las manza an s
+ → + = → + = → = → = =
40 € / kg
Ejercicio 16
Un padre tiene 45 años y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo?
Solución:
.
45 45
11 11
dentro de x años tendrá dentro de x años tendrá
Llamamos x al número de años que deben transcurrir para que se cumpla la condición que propone el problema
El padre tiene años x años
El hijo tiene años x años
Dentro
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +
( )
, : 45 3 11
de x años la edad del padre debe der el triple que la edad del hijo + = x +x
jlmat.es 11
( )
( )
45 3 11 45 33 3 45 33 3 12 2 12 6
2
51 17 51 17 .
6
x x x x x x x x
Tienen que pasar años yentonces el padre tendrá años y l hijoe años es el triple de
+ = + → + = + → − = − → = → = =
Ejercicio 17
Resuelve las siguientes ecuaciones:
( ) ( ) ( )
8 4 3 6 7 21
4 6 7 21 3 8
4 16 1
) 4 2 3 1 2 3
4
7
6 4
x x x x
x x x x
x
x x
x a
x
x x
− − − = − +
− −
− − + = − −
− + = + −
− =
= → = −
−
3 6 16 18 6 2
12 12 12 12
3 6 16 18 6 2 6 16 18 6 2 3 40 5
40 2 4
8 ) 3
4 3 2 6
5
x x x
x x
x x
x x x
x x b x
x x
− − = + +
− − = + +
− − − = + −
− =
− = →
− = + +
= −
−
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
2
2 2
2
3 3 5 16 2 3 3 5 16 2 0 4 21 0
4 21 0
4 10 6
1 4 4 4 4 1 21 4 16 84 4 100 2 2 3
4 2 2 1 2 2
21 4 10 14
2 2 7 ) 3 1
3
7 5 2 8
x x x x x x x x x x
x x
a
b b a c
b x
a
c x x x x
x
c x
+ − = + − → + − − − + = → + − =
+ − =
− + = = →
= − − − − − − + −
= → = = = = =
= − − − −
+ − =
= = − →
+ −
=
= −
jlmat.es 12
Ejercicio 18
Doce amigos fueron a un concierto de rock. El precio de la entrada era de 8,50 €, pero consiguieron algunas con el 20% de descuento. Si en total pagaron 93,50 €, ¿cuántas entradas rebajadas consiguieron?
Solución:
. 12 12
8, 50
20 % 80 % 8, 50 0,8 8, 50 6,80
Llamamos x al número de entradas rebajadas Como son amigos las entradas sin rebajar serán x
Por cada entrada sin rebajar pagan euros
Por cada entrada rebajada un pagan el de euros
entradas rebajadas
→ −
= =
( )
93, 50 6,80 8, 50 12 93, 50
6,8 102 8, 5 93.5 6,8 8, 5 93, 5 102 1, 7 8, 5 8, 5
1
7 .
5
, 7 5 entradas sin rebajar han costado euros
x x
x x x x x x
Han conseguido entradas rebajadas y entradas sin rebajar +
+ − =
+ − = → − = − → − = − → =− =
−
Ejercicio 19
Un ciclista sale a entrenar a una velocidad constante de 32 km/h. Media hora más tarde y desde el mismo sitio, sale en su busca un coche a 80 km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo y a qué distancia del punto de partida lo encontrará?
Solución:
.
. .
Llamamos x al tiempo en horas que tarda el coche en alcanzar al ciclista
El espacio recorrido por los dos es el mismo El ciclista está pedaleando media hora más que el coche rodando espacio que reco
Sabemos que espacio=velocidad tiempo →
80 32 1
2
1 32 16 1
80 32 80 32 80 32 16 48 16
2 2 48 3
1 20 .
3
rre el coche e x espacio que recorre el ciclista e x
x x x x x x
El coche ha tardado de hora minutos en alcanzar al ciclista
El espacio que han rec
x
do
x
orri
=
= +
= + → = + → − = → = → = =
=
1 2 26 80 26
3 3 667
1 1 5
5
.
0 .
3 2 6
es km y de km
El ciclista
km y met
ha estado p
ro
edaleando de hora t
s
minu os
=
+ = =
jlmat.es 13
Ejercicio 20
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
( )
5 2 3 7 6
5 3 7 6 2
4 8 8
4
5 2 3 7 6
2 )
x x
a
x x
x
x x x x
x
x x
x x
x
− +
− − = + −
− − + = +
− = → =
−
−
→ +
= −
=
2 4
4 2 6 3 3 12 2 16 12 12 12 12 3 12 2 16
1 4
) 2
4 2 3 3
3 2 16 12 4
x x
x x
x
x x
x x
b x
x
+ − =
+ − =
+ − =
+
=
−
− = → =
−
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 6 2 5 5 2 40 10 8
20 20 20 20
4 6 2 5 5 2 40 10 8 24 8 25 10 40 10 80
8 25 10 40 80 2
6 2 5 2 8
) 2
5
4 10
27 5 54 2
7
4 2
4 2
x x x
x x x
x x x
x
x x x
x
x c
x
x x
− − +
+ = −
− + − = − +
− + − = − −
− + + = − − +
= − → = − →
− +
+ = −
= −
−
Ejercicio 21
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
) 2 2 1 0 a x − − =x
( ) ( )
2( )
2
1 3 4
2 4 4 1
1 1 4 2 1
4 1 1 8 1 9
1 2 2 2 4 4
1 1
1
1
3 2 1
4 4 2 2
a
b b a c
b x
c a
x
x + = = →
= − − − − − − − +
= − → = = = = =
= − − −
= =− → = −
=
jlmat.es 14
( ) ( )
) 2 1 3 1
b x x − = x−
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 1 3 1 2 2 3 3 2 2 3 3 0 2 5 3 0
5 1 6 3
2 4 5 5 4 2 3 5 25 24 5 1 4 4 2
5 2 2
3 2
1
2 4 4
3 5 1 4
4 4 1
x x x x x x x x x x x
a
b b a c
b x
a
x
c x
− = − → − = − → − − + = → − + =
+ = = →
= − − − − =
− − −
= − → = = = = =
= −
= = → =
) 3 5 2
c x
− =x
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
5 3 5 2
3 2 3 5 2 3 2 5 0
2 8 10 5
3 4 2 2 4 3 5 2 4 60 2 64 6 6 3
2 2 2 3 6 6
5 2 8 6
5 3
1 6 6 1
x x
x x x x x
x x x x
a
b b a c
x
x
b x
c a
− = → − = → − = → − − =
+ = = →
= − − − − − − − +
= − → = = = = =
= − − −
= = − →
=
= −
Ejercicio 22
Antonio dice: si al triple de la edad que tenía hace nueve años le restas la mitad de la que tendré dentro de tres años, obtendrás mi edad actual. ¿Cuántos años tengo?
Solución:
( )
( ) ( )
3 9
3 2
3 3 6 54 3 2
3 9 3 27 6 54 3 2
2 2 2 2 2
6 54 3 2
6 2 5
1
4 3 9
x edad actual de Antonio
x triple de la edad que tenía hace nueve años x la mitad de la edad que tendrá dentro de tres años
x x x x x
x x x x x x x
x x x
x Antonio tiene
x a
x
→
− →
+ →
+ + − +
− − = → − − = → − = → − − + =
− − − =
− − = +
3 57 57 19
x x 3
ños = → = =
jlmat.es 15
Ejercicio 23
Dada la ecuación ax2+8x− =3 0, halla el valor del parámetro “a” sabiendo que una de sus soluciones es 3
x = − . Calcula la otra solución.
Solución:
( )
( ) ( )
2
2
2
3 8 3 0 , 3 .
3 8 3 3 0 9 24 3 0 9 27 0 9 27 27
9
, : 3
3
8 3 0 ;
Si x es una solución de la ecuación ax x significa que si sustituímos x por se verifica la igualdad
a a a a a
Entonces la ecuación es x x la resolvemos para encontrar
a
= − + − = −
− + − − = → − − = → − = → = → = →
=
=
+ −
( )
2 2
.
8 10 2 1
3 6 6 3
8 8 4 3 3
4 8 64 36 8 100
8 2 2 3 6 6
3 8 10 18
1 3
6 6 3 la otra solución
a b b a c
b x
c a
La otra solución se x
− + = =
=
− − −
− − − + −
= → = = = = =
= − − − −
= =
=
−
Ejercicio 24
Resuelve las siguientes ecuaciones:
( ) ( ) ( )
8 8 40 10 10 5 5
40 40 40 40
8 8 40 10 10 5 5 8 10 5 10 5 40 8
7 63 63
7
3 2 6 2 4 10 3 12 4 4 10
1 1 1
) 1
5 4 8
) 3 2 6 2
4 4 10 1 2 2
2 5
9
5
3
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
a
b x
x x
x
x
+ − −
→ + = +
+ + = − + −
− − = − − − −
− = − → =− →
−
→ − − − = −
− − + = − + − = −
+ + = − + −
− + − = −
+
+
=
=
jlmat.es 16
Ejercicio 25
Hemos mezclado dos tipos de líquido; el primero de 1,20 €/litro, y, el segundo, de 0,90 €/litro, obteniendo 60 litros de mezcla a 1,04 €/litro. ¿Cuántos litros hemos puesto de cada clase?
Solución:
( )
60 60
: 1, 20 0, 90 60
coste del primer líquido
No sabemos cuántos litros hemos puesto del primer líquido llamamos x a ese número de litros Como entre los dos líquidos hemos juntado litros del segundo líquido hemos puesto x litros
Ahora x
→
→ −
+
( )
1, 04 601, 2 54 0, 9 62, 4 1, 2 0, 9 62, 4 54 0, 3 8, 4 8, 4 28
28 3
0 .
3 2
,
coste de la mezcla coste del segundo líquido
x
x x x x x x
Hemos puesto litros del primer líquido y litros del segundo
− =
+ − = → − = − → = → = =
Ejercicio 26
En una fiesta hay doble número de mujeres que de hombres. El número de niños es la quinta parte que el de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta, si el total es de 126 personas.
Solución:
2
2 3
5 5
3 3 15 3 630 630
2 126 3 126 15 3 630 18 630 35
5 5 5 5
35 , 70 21
5 18
En la fiesta hay hombres mujeres y niños x número de hombres en la fiesta
x número de mujeres
x x x
número de niños
x x x x
x x x x x x x x
→
→
+ → →
+ + = → + = → + = → + = → = → = → =
Ejercicio 27
Beatriz dice: si al triple de los años que tengo le restas la mitad de los que tenía hace un año, el resultado es 43. ¿Cuántos años tiene Beatriz?
Solución:
( )
1
17 .
3
2
1 6 1 86
: 3 43 6 1 86 6 1 86
2 2 2 2
5 86 1 85 17
5 el triple de su edad es x
Llamamos x a la edad de Beatriz x
la mitad de la edad que tenía hace un año es
x x x
Ahora la ecuación queda x x x x
Beatriz t
x iene a
x
s
x ño
x
→ −
− −
− = → − = → − − = → − + =
= − → = → =
jlmat.es 17
Ejercicio 28
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
( ) ( ) ( )
5 5 3 2 4 45 2 4 4 3
) 5 1 3 2
3 5 4 1
2 6
6 2
x x x x
x
a x x
x x x
x x
x x
x → + − + = − +
+ − − = − +
+ − − =
−
= −
= − →
−
= −
−
( ) ( )
6 2 10 6 32 4 12
8 8 8 8
6 2 10 6 32 4 12 6 2 10 6
6 2 5 3 3
32 4 12 2 10 4 32 12 6 6 8 8
8 8
) 4
8 4
1 2
x x x
b x x x
x x x
x x x
x x x
x
x x
− − +
→ − = −
− − − = − +
− − + =
− − +
− −
− − + = − − −
− =
= →
−
− =
= −
−
Ejercicio 29
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
( ) ( )
2 22 2
2 6 1 4 2 7 3 0
7 5 1 2
4 7 7 4 2 3 7 49 24 7 25 4 2
7 2 2 7 5
) 2 3 1
1 2
2 4 3
3 3
4 4
4
x
a x x x x x x x x
a
b b ac
b x
c a x
→ + = − − → + + =
= − +
− − − − − − − = − →
= → = = = = =
− −
=
= −
− →
= − +
= = −
+
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
3 1 2 2 1
3 1 2 2 1
1 1 1
3 3 2 2 2
3 2 0
1 5 4 2
3 4 1 1 4 3 2 1 1 24 1 25 6 6 3
1 2 2 3 6 6 1 5 6
2 1
) 3 2 2
1
6
2 3 6 1
b x x x
x
x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x
a b b ac
b x
c a
− − −
→ + = → −
+ = − + = − −
− − −
− + = − + + − =
= − +
− − − − − − + − = = → =
= → = = = = =
− − −
= − = = − →
= −
−
jlmat.es 18
Ejercicio 30
Un collar se rompió mientras jugaban dos enamorados, y una hilera de perlas se escapó. La sexta parte al suelo cayó, la quinta parte en la cama quedó, y un tercio la joven recogió. La décima parte el enamorado encontró y con seis perlas el cordón se quedó. Vosotros, los que buscáis la sabiduría, decidme cuántas perlas tenía el collar de los enamorados. (Del libro “El señor del Cero”)
Solución:
5 6 10 3 180 30
6 5 6 10 3 180 30
6 5 3 10 30 30 30 30 30 30
24 180 30 24 30 180
6 180 180 30
30 6
x número de perlas que tenía el collar
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x
El collar tenía perlas x
→
+ + + + = → + + + + = → + + + + =
+ =
− = −
− = − → =− → =
−
Ejercicio 31
Dada la ecuación 2x2+bx− =7 0, halla el valor del parámetro “b” sabiendo que una de sus soluciones es 1
x = − . Calcula la otra solución.
Solución:
( )
( ) ( )
2
2
2
1 2 7 0 1 ,
.
2 1 1 7 0 2 1 7 0 2 7
: 2 5 7 0 ;
5
Como x es una solución de la ecuación x bx si sustituímos x por en la ecuación se cumple la igualdad
b b b
Ahora la ecuación queda x x la resolvemos para encontrar la otra solució b
= − + − = → −
− + − − = → − − = → − = →
=
− =
− −
( ) ( )
2( )
2
.
5 9 14 7
2 4 5 5 4 2 7 5 25 56 5 81 4 4 2
5 2 2 2 4 4 5 9 4
7 1
4 4
1 7
2
n a
la otra solución e
b b ac
b x
c a
Una solución era x y s x
= +
− − − − − − − + = =
= − → = = = = =
− −
= = = −
= − =
−
Ejercicio 32
Resuelve las siguientes ecuaciones:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6 1 3 4 2
4 4 4
6 2 3 4 2
6 12 3 4 8
6 4 8 3 1
3 1 3
)
2
2 4
1
2 x x x
x x x
x x x
x x x
a
x
x x
x → − − − = −
− − − = −
− − + = −
− − = − −
−
+
− − =
=
−
jlmat.es 19
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
2 2
1 2 1
3
1 1 1
3 1 2 1
3 2 2 2 3 2 0
23 4 3 3 4 2 2 3 9 16 3 25 3 54 2
3 5 1 2
3 2
2 2
)
2 4 4
2 4 2
1 2 1 1
x x x
x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
a
b b ac
b x
a b x
x x
x
c x
+ +
→ − =
+ + +
− + = +
− − = + → − − =
= +
− − − − − − − + = →
= − → = = = = =
−
= − →
+ − =
=
= − = −
Ejercicio 33
Un examen tipo test consta de 20 preguntas. Cada acierto suma 5 puntos y cada error resta 2 puntos. Si un alumno que contesta a todas las preguntas obtiene una puntuación de 51 puntos, ¿cuántos aciertos ha tenido? Plantea y resuelve una ecuación para dar respuesta al problema.
Solución:
( )
( ) ( )
( )
20 , 20
5 2 51
5 2 20 51 5 91
1
40 2 51 7 51 40 13
7
3 .
Llamamos x al número de respuestas acertadas las preguntas falladas serán las que faltan hasta x
número de aciertos número de errores puntos
x x x x
Ha acertado pregun
x x
tas
→ −
− =
− − = → − + = → = + → = =
Ejercicio 34
Calcula las dimensiones de un triángulo de 36 m2 de área, sabiendo que su altura supera en 5 m a la mitad de su base.
Solución:
2 2
2
2
5 5
2
2
5 10 144
2 36 5 72 5 72 10 144 0
2 2 2 2 2 2
1 4
10 2
144
x medida de la base en metros
x la altura es metros mayor que la mitad de la base base altura
Área de un triángulo x x
x x x x
x x x x
a b b ac
b x
c a
→
+ →
=
+ = → + = → + = → + = → + − =
=
− −
= → =
= −
( )
2 10 26
10 10 4 1 144 10 100 576 10 676 2 8 10 26
2 1 2 2
2 16
− + =
− − − − + −
= = == =
− − = −
8 9
La base mide metros y la altura metros
