UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS Escuela de Física Programa: Ciclo de Ciencias Básicas de Ingeniería
Nombre de la asignatura: FÍSICA III CÓDIGO:
22956SEMESTRE: IV Requisitos: Física II, Cálculo II
Es obligatoria para todas la Ingenierías
Intensidad horaria semanal
TAD: 6 TI: 6 C: 4
1. Procesos Oscilatorios (20h) (
Conferencias-10h+ Seminarios-Previos-10h)
1.1
Proceso Periódico y Movimiento Armónico Simple (MAS). (2h)
1.2
Modelos mecánicos y eléctricos (4h)
1.3
Superposición de MAS, pulsaciones. Energía en el MAS. (2h)
1.4
Procesos Oscilatorios Amortiguados. (2h)
1.5
Procesos Oscilatorios Forzados. Resonancia. (2h) 2. Ondas Elásticas (20h) (
Conferencias-10h+ Seminarios-Previos-10h)
2.1
Tipos de ondas en campos escalares y vectoriales.
Onda Armónica Viajera. Función y ecuación de onda. (2h)
2.2
Ondas elásticas en cuerdas y barras metálicas. (2h)
2.3
Ondas en gases, líquidos y sólidos. (1h)
2.4
Principio de superposición, interferencia, ondas estacionarias. (3h)
2.5
Energía transportada por las ondas y potencia. Intensidad de las ondas. (2h) 3. Ondas Electromagnéticas (20h) (
Conferencias-10h+ Seminarios-Previos-10h))
3.1
Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas (OEM),
el espectro electromagnético. (2h)
3.2
Energía y momento lineal de OEM, vector de Poynting. (1h)
3.3
La luz, su naturaleza y velocidad. (1h)
3.4
Principio de Huygens: reflexión, refracción. Dispersión. Espectrometría. (1h)
3.5
Propiedades ondulatorias de la luz: interferencia, difracción, y polarización (3h) 4. Ondas de materia y elementos de Física Quántica.
(20h) (
Conferencias-10h+ Seminarios-Previos-10h)
4.1
El problema de radiación del cuerpo negro. Constante y fórmula de Planck (2h)
4.2
Efecto fotoeléctrico. Formula de Einstein. Fotones. Dualidad de OEM (1h)
4.3
Difracción de electrones. Dualidad en la materia, ondas de Broglie. (1h)
4.4
Modelo de átomo de hidrogeno. Espectros atómicos y moleculares (2h)
4.5
Efecto túnel. Dispositivos cuánticos. El láser. (2h)
BIBLIOGRAFIA BASICA Y COMPLEMENTARIA:
SERWAY y BEICHNER, Física para ciencias e ingeniería. Vol. 2. Mc Graw-Hill, 2001.
EISBERG R, Física: Fundamentos y aplicaciones. Vol. 2. Mc Graw-Hill, 1983
ALONSO M y FINN J, Física. Prentice- Hall: Pearson Education: Addison Wesley, c2000.
SEARS-ZEMANSKY-YOUNG-FREEDMAN, Física Universitaria. Vol. 2. Pearson Education, 1999.
RESNICK-HALLIDAY-KRANE, Física. Vo. 2. CEC SA, 1993-1996.
TIPLER P, Física, Vol. 2. Ed. Reverté, 1995-1996.
WICHMAN E.H., Física Cuántica, Berkeley Physics Course, Vol. 4.
CRAWFORD F.S. Jr., Ondas, Berkeley Physics Course, Vol. 3.
FRENCH A.P., Vibraciones y Ondas, MIT Physics Course
1. PROCESOS OSCILATORIOS
1.1 Proceso Periódico y Movimiento Armónico Simple (MAS).
Comenzamos con el estudio de un tipo especial del movimiento llamado periódico, el movimiento repetitivo de un objeto en el que este sigue volviendo a una posición dada después de un intervalo de tiempo fijo. Un movimiento repetitivo de tal objeto se llama oscilación. Vamos a centrar nuestra atención en un caso especial de movimiento periódico llamado movimiento armónico simple (MAS). Todos los movimientos periódicos se pueden modelar como combinaciones de movimientos armónicos simples. El movimiento armónico simple también es la base de nuestra comprensión de las ondas mecánicas. Las ondas sonoras, las ondas sísmicas, las ondas en cuerdas estiradas, y las ondas de agua son producidas por alguna fuente de oscilación. Como una onda de sonido viaja por el aire, los elementos del aire oscilan hacia adelante y hacia atrás; como una ola de agua viaja a través de un estanque, elementos del agua oscilan arriba y hacia abajo y hacia atrás y hacia adelante. El movimiento de los elementos del medio tiene un gran parecido con el movimiento periódico de un péndulo oscilante o un objeto unido a un resorte.
Para explicar muchos otros fenómenos en la naturaleza, debemos entender los conceptos de oscilaciones y ondas. Por ejemplo, a pesar de los rascacielos y puentes parecen ser rígida, ellos en realidad sufren algunas oscilaciones, los cuales los arquitectos e ingenieros que diseñan y construyen deben tener en cuenta. Para entender cómo funcionan la radio y la televisión tenemos que entender el origen y la naturaleza de las ondas electromagnéticas y la forma en que se propagan a través del espacio. Por último, gran parte de lo que los científicos han logrado entender acerca de la estructura atómica, propiedades de metales semiconductores y semiconductores llevado a nosotros de esta manera a una revolución tecnológica del siglo XX se debe a la teoría de mecánica cuántica basada en las propiedades ondulatorias del electrón y en la hipótesis de dualidad de la materia que permite una transformación de una partícula a una onda y vice versa. Por lo tanto, primero debemos estudiar oscilaciones y ondas, si queremos comprender los conceptos y las teorías de la física atómica
1.1.1 Movimiento periódico.
Movimiento periódico es el movimiento de un objeto que devuelve regularmente a una posición dada después de un intervalo de tiempo fijo. Con un poco de imaginación, podemos identificar varios tipos de movimiento periódico en la vida cotidiana. Su coche vuelve al camino de entrada cada tarde. Se vuelve a la mesa de la cena cada noche para comer. Un candelabro golpeado balancea hacia atrás y adelante, volviendo a la misma posición a un ritmo regular. La tierra vuelve a la misma posición en su órbita alrededor del Sol cada año, lo que resulta en la variación entre las estaciones. Además de estos ejemplos cotidianos, otros numerosos sistemas exhiben movimiento periódico. Las moléculas en un sólido oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio; ondas electromagnéticas, como las ondas de luz, radar y las ondas de radio, se caracterizan por la oscilación vectores de campo eléctrico y magnético; y en los circuito s de corriente alterna eléctricos, voltaje, corriente y carga eléctrica varía periódicamente con el tiempo. Un tipo especial de movimiento periódico se produce en los sistemas mecánicos cuando la fuerza que actúa sobre un objeto es proporcional a la posición del objeto con respecto a alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza se dirige siempre hacia la posición de equilibrio, el movimiento se denomina movimiento armónico simple, que es el foco principal de este capítulo.
Descripción matemática.
Cualquier Sistema Dinámico se describe a través de parámetros P P P1, 2, 3, que se varían con el tiempo t, es decir dependen del tiempo P1P t1
,P2P t2
,P3P t3
, . Si sistema dinámico es mecánico, los parámetros son: coordenada, velocidad, energías cinética y potencial, momentos lineal y angular, etc. Si sistema dinámico es termodinámico, los parámetros son: temperatura, presión, volumen, etc. Si sistema dinámico es electromagnético, los parámetros son: campos eléctrico y magnético, potenciales correspondientes, los flujos de campos y de energía, etc. Los procesos epidemiológicos (propagación de las enfermedades), económicos, y otros se pueden considerarse también como sistemas dinámicos.Un proceso en que está involucrado un sistema dinámico se llama periódico si los valores de los parámetros correspondientes que describen este proceso vuelven a repetir con el mismo intervalo del tiempo T, llamado el periodo, es decir
1 1 , 2 2 , 3 3 ,
P t P t T P t P t T P t P t T (1.1.1 1.1. 2 Movimiento armónico simple (MAS)
Un movimiento periódico se llama movimiento armónico simple (MAS) si la evolución de los parámetros que describen este movimiento está dada con la fórmula:
cos
P t A t . (1.2.1) Aquí el primer factor, A se llama la amplitud,
-se llama la frecuencia angular, el argumento t se llama la fase, y se llama la fase inicial.Si la fase inicial 0 entoncesP t
Acos
t . Si la fase inicial 2 entoncesP t
Asin
t . Esto muestra que el MAS se puede representar usando ambas funciones trigonométricas, solamente cambiando la fase inicial:
sin
; 2P t A t . (1.2.2) Es fácil comprobar que funciones (1.2.1) y (1.2.2) son periódicas. Realmente,
cos
cosP tT A t T A
t T
Acos
t
P t
si T 2De esta última condición se proviene la relación entre la frecuencia y el periodo y la frecuencia angular
2 1
2 f; f
T T
(1.2.3)
Entonces hay tres maneras escribir la fórmula (1.2.1), en términos frecuencia, frecuencia angular y el periodo
cos 2
cos
cos 2P t A f t A t A t
T
(1.2.4) Parámetros de MAS:
t = Fase
= Fase inicial
A
= Amplitud o valor máximo del parámetro P P = El parámetro que se varía en un proceso oscilatorio
= Frecuencia angular (se expresa en rad/s)
= f T
2 2T
= Periodo (se expresa en s)f = Frecuencia (se expresa en ciclos/s)
Frecuencia f se mide en
f Hzs1mientras que frecuencia angular
se mide en
rad s 1Se puede derivar la ecuación diferencial que satisfacen parámetros de un sistema en el proceso de MAS. Calculando la segunda derivada respecto del tiempo de la expresión (1.2.1) es fácil de encontrar que para MAS se cumple la relación:
2
2 2
(0) 0 sin
; (0) cos
d P t P P t A t
P t P A P t A t
dt
(1.2.5)
Entonces hay dos maneras definir si un proceso es MAS: uno puede decir que la evolución de sus parámetros está dada a través de funciones armónicas (1.2.4) o los parámetros correspondientes satisfacen la ecuación diferencial armónica (1.2.5).
Existe otra tercera posibilidad para definir si un movimiento periódico es un MAS, llamada la representación vectorial. Esta última representación se utiliza mucho para analizar los circuitos eléctricos con las corrientes alternas, teoría electromagnética y óptica. El desplazamiento de una partícula que se mueve con MAS dada por la ecuación (1.2.1) puede considerarse como la proyección de unvector r
t de longitud r( )t A, que rota en el plano XOY alrededor de del origen en sentido contrario de las agujas del reloj con velocidad angular y formando con el eje X en el momento inicial (t=0) el ángulo y en el instante t un ángulo t , como se ilustra enla Fig. 1.2.1. Fig. 1.2.1 La fig. (1.2.2) muestra algunos de los sistemas físicos que describen un M.A.S.
Sistema Masa Resorte Péndulo simple Péndulo de torsión Péndulo físico Circuito eléctrico L C Fig. 1. 2. 2 : Diferentes clases de Osciladores Armónicos Simples
Para cada de estos sistemas oscilatorios e parámetro P que se varía con el tiempo tiene diferentes significados: para el sistema de masa- resorte es el alongamiento del resorte x t
que se mide en metros, en las siguientes tres sistemas pendulares el parámetro P es el ángulo
t que se mide en rad, y en el tercer sistema, el circuito el parámetro P corresponde a la carga eléctrica q t
que se mide en C (Coulomb).1.2 Modelos mecánicos y eléctricos
1.2.1 Sistema masa-resorte
Como un modelo para un movimiento armónico simple, consideremos un bloque de masa m unida al extremo de un resorte, con el bloque libre para moverse sobre una superficie sin fricción, horizontal (Fig. 1.3.1). Cuando el resorte ni se estire ni se comprime, el bloque está en reposo en la posición llamada la posición de equilibrio del sistema, que identificamos como x = 0 (Fig. 1.3. 1b). Sabemos por experiencia que un sistema de este tipo oscila hacia adelante y hacia atrás si se le saca de su posición de equilibrio. Podemos entender el movimiento oscilante del bloque en la figura 1.3.1 cualitativamente por primera recordando que cuando el bloque se desplaza a una posición x, el resorte ejerce sobre el bloque una fuerza que es proporcional a la posición y dado por la ley de Hooke
x k
F (1.3.1) A partir de la segunda ley de Newton 2
2
dt x m d a m
F
tenemos la siguiente ecuación diferencial2
0
2
k x dt
x
m d
(1.3.2) O en otra forma equivalente2 2
2 0;
d x k
x m
dt
(1.3.3) En general, su solución puede escribirse en una de las siguientes formas:
x = Acos
t
(1.3.4) Siendox = Elongación
A
= Máxima elongación o amplitud= Frecuencia angular natural
t = Fase del movimiento
= Fase inicial
El periodo está dado por:
2 2 m
T k
(1.3.5) Es decir, el período y la frecuencia dependen sólo de la masa de la partícula y la constante de fuerza del resorte, y no en los parámetros de movimiento, tales como A o .. Como era de esperar, la frecuencia es mayor para un resorte más rígido (mayor valor de k) y disminuye con el aumento de la masa de la partícula. Podemos obtener la velocidad y aceleración de una partícula de someterse armónico simple movimiento de las ecuación (1.3.4). Derivando en función del tiempo la expresión (1.3.4) se obtiene la velocidad y la aceleración:
sin cos
2
V dx A t A t
dt
(1.3.6)
cos cos
a dV A t A t
dt
(1.3.7) Fig.1.3.1 Sistema masa-resorte
Figura 1.4.1: Péndulo Simple D las fórmulas (1.3.6) y (1.3.7) se ve que la velocidad tiene una fase adelantada en 2 y
la aceleración en en la comparación con la fase de la posición. En la forma vectorial las oscilaciones armónicas de la posición de un resorte x t
de la velocidad V t
y de la aceleración a t
se presentan en la figura (1.3.2). El vector de la velocidad en su potación esta adelante del vector de la posición en el ángulo 90°, mientras que el vector de la aceleración forma otra 90° con el vector de la velocidad. De las ecuaciones (1.3.6) y (1.3.7) se observa que, debido a que las funciones seno y coseno oscilan entre -1y 1, los valores extremos de la velocidad de la aceleración son A y A2, respectivamente:2
max k; max k
V A A a A A
m m
(1.3.8) Figura 1.3.3a muestra la posición en función del tiempo para un valor fijo de la constante de
fase inicial. Las dependencias correspondientes de la velocidad-y la aceleración-tiempo se ilustran en las figuras 1.3.3b y 1.3.3c, respectivamente. Ellos muestran que la fase de la velocidad difiere de la fase de la posición 2
rad, o 90 °. Es decir, cuando x es un máximo o un mínimo, la velocidad V es cero. Asimismo, cuando x es cero, la velocidad es un máximo. Además, tenga en cuenta que el fase de la aceleración difiere de la fase de la posición por radianes o 180 °. Por ejemplo, cuando x es un máximo, aceleración a tiene una magnitud máxima en la dirección opuesta a la dirección x.
Fig. 1.3.3
1.2.2 Movimientos pendulares
a) Péndulo Simple (Péndulo Matemático)
Péndulo simple es una cuerda de longitud y de masa despreciable, que tiene una masa m atada a un extremo y que puede oscilar libremente respecto del otro extremo, como lo ilustra la fig. (1.4.1). A partir de la ecuación dinámica de rotación (Segunda Ley de Newton), se obtiene la ecuación diferencial del MAS correspondiente
La componente
z
del torque actuante sobre la masa m de la fuerza de gravedad es:Tz m g l sen (1.4.1) siendo lla distancia del masa hasta el eje de oscilación. Según la ecuación dinámica de rotación
2 2 Z
T I I d dt
(1.4.2) dondeIml2es el momento de inercia del sistema, alrededor del eje de oscilación.
Igualando las ecuaciones (1.4.1) y (1.4.2)
2 2 2
2
2 2 2
d d d g
I m g l sen ml m g l sen sen
dt dt dt l
Teniendo en cuenta que para las oscilaciones pequeñas (ángulos pequeños sin ) y usando notación y usando notación:
2 g g
l l
(1.4.3) se obtiene la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple
2 2
2 0;
d g
dt l (1.4.4) Por tanto, la frecuencia el período son dados por las relaciones:
1 1
; ; 2
2 2
g g l
f T
l l f g
(1.4.5)
Fig.1.3.2 Representación vectorial de las oscilaciones de la posición, velocidad y aceleración del sistema masa-resorte
b) Péndulo físico
En el caso de u péndulo físico presentado en la Figura 1.4.2 la fuerza de garevedad está aplicado en el punto del centro de masa y siendo lCla distancia entre punto de colocación O y C, la componente
z
del torque actuante sobre el cuerpo es:z C
T m g l sen (1.4.4) Según la ecuación dinámica de rotación
2 Z 2
T I I d dt
(1.4.5) dondeIes el momento de inercia del sistema, alrededor del eje de oscilación O
Igualando las ecuaciones (1.4.4) y (1.4.5)
2 2
2 2
C C
m g l
d d
I m g l sen sen
dt dt I
Teniendo en cuenta que para las oscilaciones pequeñas (ángulos pequeños sin ) y usando notación y usando notación:
2 m g lC m g lC
I I
(1.4.6) se obtiene la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple
2 2
2 0; m g lC
d
dt I (1.4.7) Por tanto, la frecuencia el período son dados por las relaciones:
1 1
; ; 2
2 2
C C
C
m g l m g l I
f T
I I f m g l
(1.4.8) 1.2.3 Circuito eléctrico LC.
El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un muelle perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.
En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un circuito LC
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad. La ecuación del circuito es Vab+Vba=0
Como i=-dq/dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Esta es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia o natural
Carga y Campo Eléctricas en Condensador:
La solución de la ecuación diferencial es
cos 0 q = Q· t + ,
donde la amplitud Q y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0en el momento inicial y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i en el instante inicial t=0. 0
La Corriente y Flujo Magnético en Bobina:
Derivando la expresión de la carga q obtenemos la intensidad i
0 0
i = dq / dt = Q· ·cos t + Energía:
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.
Se puede fácilmente comprobar que la suma de ambas energías es constante e independiente del
tiempo. 1 2 3 4 Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.
1. En un instante inicial el condensador está completamente cargado con una carga Q. Toda la energía está acumulada en el condensador en forma de campo eléctrico.
2. El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una fem autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad máxima i0Q
3. La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero.
4. Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la intensidad aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo (en valor absoluto).
5. La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial de partida.
1.
Procesos Oscilatorios (20h)1.3
Superposición de MAS, pulsaciones. Variación de energía en el MAS. (2h)
1.4
Procesos Oscilatorios Amortiguados. (2h)
1.5
Procesos Oscilatorios Forzados. Resonancia. (2h) 1.3 Superposición de MAS, pulsaciones. Variación de energía en el MAS.
1.3.1 Superposición de MAS.
La superposición simultánea de dos o más vibraciones armónicas se presenta en muchos fenómenos físicos. Como ejemplo considere el sistema presentada en Fig. 1.5.1 de dos masas y dos resortes. Siendo elongaciones de los resortes correspondientes x1 y x1 sus valores presentan dos movimientos armónicos simples descritos por las ecuaciones:
1 1cos 1 1 ; 2 2 cos 2 2
x A t x A t (1.5.1)
El desplazamiento resultante de la segunda masa respecto del piso viene
dado por: Fig. 1.5.1
1 2 1cos 1 1 2 cos 2 2
xx x A t A t (1.5.2) La pregunta fundamental es ¿el movimiento resultante presenta un MAS o no?
La respuesta a esta pregunta se puede dar haciendo unas transformaciones algebraicas un poco largos en el caso general y las mismas respuestas se obtienen fácilmente para el caso especial cuando A1 A2 A; 12 . En este último caso
1
2
cos cos
x A t t (1.5.3) Si las frecuencias también son iguales entre sí (12 ), entonces:
2 cos
x A t (1.5.4) En el resumen vemos que una superposición de dos MAS de la misma frecuencia también es un MAS.
Consideremos ahora otro caso particular cuando las frecuencias se difieren uno de otro a un valor pequeño:
1 ; 2 ;
(1.5.5) Para simplificar la expresión (1.5.3) usamos la fórmula trigonométrica cos cos 2 cos
2 cos
2:
2 1 1 2
2 cos cos 2 cos cos
2 2
x A t t A t t
(1.5.6)
Expresión se hace muy parecido a un MAS (pero no es un MAS!) si lo representamos así:
cos
;
2 cos
x t A t t A t A t (1.5.7) Desde las fórmulas (1.5.7) se ve que el resultante es un proceso periódico el cual producto de dos factores, el primer factor describe la oscilación de la amplitud A t con una baja frecuencia
y un grande periodo T 2 y el segundo factor describe las oscilaciones con una alta frecuencia y un pequeño periodo T 2 . Este tipo de procesos periódicos se llaman pulsaciones.Un ejemplo de una pulsación muestra el gráfico en la Fig. 1.5.2
Fig. 1.5.2 Gráfico de una pulsación
En el resumen: la superposición de dos MAS de frecuencias diferentes genera unas pulsaciones , unas oscilaciones periódicas en las cuales la amplitud es variable, creciendo y disminuyéndose periódicamente.
1.3.2 Variación de la energía en el movimiento armónico simple
En cualquier movimiento oscilatorio mecánico se realiza una transformación periódica de la energía cinética K en la energía potencial U y viceversa, cumpliéndose siempre la ley de conservación de la energía total E K U, según la cual esta energía en cualquier
momento del tiempo es la misma, es decirE K U const. Consideremos como ejemplo el MAS del sistema masa –resorte para el cual el desplazamiento x desde la posición de equilibrio en cualquier momento del tiempo t está dado por:
cos
xA t (1.6.1) La fase inicial hemos escogido igual a cero. Entonces, su velocidad es
dx sin
V A t
dt
(1.62) Se ve que valores máximos de coordenada y de velocidad se obtienen cuando los módulos de las funciones trigonométricas son iguales a uno, es decir:
max ; max
x A V A (1.63) La energía cinética en cualquier momento del tiempo es:
2 2 2
2 2
1 sin sin
2 2 2
mV m A
K m A t t (1.6.4) La energía potencial está dada por
2 2 2
1 1
2 2 cos
U k x k A t (1.65) Fórmulas (4) y (5) se puede reducir a una forma similar tenia en cuenta la relación entre la frecuencia de MAS para el sistema masa- resorte:
2 k 2
k m
m Por eso
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
sin sin ; cos cos
2 2 2 2
m A kA k A m A
K t t U t t (1.66) Estas fórmulas permiten demostrar que la energía total no depende del tiempo y por eso es una constante:
2 2 2
2 2
m A kA
EK U const
(1.6.7) Teniendo en cuenta este resultado las fórmulas para las energías cinetica y potencial se puede escribir como:
2 2 2
2 2
sin ; cos ;
2 2
m A kA
K E t UE t E (1.6.8)
Fig. 1.6.1 (a) La energía cinéticay la energíapotencialen función del tiempopara un MAS(b) La energía cinéticay la energíapotencialfrente a la posiciónparaun MAS. Anótese que en ambos casosK+U=const.
1.4
Procesos Oscilatorios Amortiguados
1.4.1 Modelos mecánicos. Massa conectada a resorte
Losmovimientososcilatoriosque hemos consideradohasta ahora son válidos solamente para los sistemas ideales que oscilan indefinidamente bajo la acción de una sola fuerza lineal restauradora F k x. En muchos sistemas reales además accionan las fuerzas no conservativas, tales como la fricción que
amortiguan elmovimiento. En consecuencia,la energía mecánicadel sistemadisminuyecon el
tiempo,y el movimientose llama amortiguado. Figura 1.7.1 representa un
ejemplo de dichos sistemas: un bloque conectado a un resorte y
sumergido en un líquido viscoso. La fuerza amortiguadora comúnmente es proporcional a la velocidad del bloque en movimientoy actúaen la dirección opuesta a la de la velocidad..Estafuerza amortiguadorase observaa menudo cuandoun objetose mueve a través de aire, por ejemplo. Debido a que lafuerza amortiguadora puede ser expresado como Fa b V (donde b es una constantellamado elcoeficiente de amortiguación y V es la velocidad). La fuerza elástica de la parte del resorte llamada la fuerza de recuperación delsistema se puede escribir como Fr k x. Por eso la segunda ley deNewton para este sistema podemos escribircomo
2
2 0
r a
d x dx
m a F F k x b V m b k x
dt dt
(1.7.1) Usando las notaciones
2 ; 2
2
k b b
m m m
(1.7.2) La última ecuación se reduce a la siguiente forma:
2 2
2 2 0
d x dx
dt x
dt (1.7.3) En adelante consideremos solamente el caso de amortiguamiento débilFa Fr, es decir cuando el segundo término en la ecuación es mucho menor que es mucho menor que el último, es decir . Ecuación diferencial (1.7.3) se transforma en una ecuación armónica cuando 0. Pero en el caso cuando 0 su solución es un poco más complicada. Busquemos la solución de (1.7.3) en la formax A e p t. Sustituyendo esta función en (1.7.3) después unas simples transformaciones algebraicas se obtiene la siguiente ecuación característica respecto parámetro p, que estamos buscando
2 2
2 0
p p (1.7.4) La ecuación cuadrática (1.7.4) tiene el discriminante negativo: D42420 y por eso sus dos soluciones son números complejos
2 2
1 ; 2 ;
p i p i (1.7.5) Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial (1.7.3) es:
1 2
1 2 1 2
p t p t t i t i t
xA e A e e A e A e (1.7.6) Se sabe desde la teoría de las variables complejos (fórmulas de Euler) que la exponente de la variable imaginaria es una combinación lineal de dos funciones trigonométricas, seno y coseno. Por esta razón la fórmula (1,7.6) es equivalente a la siguiente, que es parecida a un MAS pero no es MAS:
2 2 2
cos ;
; ;
2
x t A t t A t Ae t
b k
m m
(1.7.7)
Diferencia principal de la relación (1.7.7) de un MAS consiste
en que su amplitud se varía con el tiempo, disminuyéndose exponencialmente, es decir sufre un decaimiento. En la Fig. 1.7.7 se presenta un ejemplo de la evolución de una coordenada con el tiempo en una oscilación amortiguada. Análisis de la fórmula (1.7.7) muestra que OSCILACIONES AMORTIGUADAS en comparación con MAS tienen UNA AMPLITUD QUE DECRECE
EXPONENCIALMENTE y UNA FRECUENCIA DISMINUIDA.
A continuación, analicemos ¿Qué cambio sufre la energía en oscilaciones amortiguadas?
Fig. 1.7.1 Un ejemplo de un oscilador amortiguadoes un bloque conectado con un resorte y sumergido en un líquido viscoso
Según las fórmulas (1.6.8) la energía total en cualquier momento del tiempo es proporcional al cuadrado de amplitud. En el caso de las oscilaciones amortiguadas
2 2 22 2
kA t kA e t
E t
(1.7.8) La energía total en momento del tiempo inicial es:
02 20 2 2
kA kA
E (1.7.9) Por eso la formula (1.7.9) puede ser escrita como:
0 2 t
0 2 tE t E e E t E e (1.7.10 Es decir, la energía total en oscilaciones amortiguadas se disminuye exponencialmente
1.4.2 Modelo eléctrico. Circuito LCR.
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad. La ecuación del circuito es Vab+Vbc+Vca=0
Como i = -dq / dtya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
La solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas es
donde la amplitud Q y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q y la intensidad 0 de la corriente eléctrica en el circuito i en el instante inicial t=0. 0
En las oscilaciones amortiguadas, la amplitud disminuye exponencialmente on el tiempo. La carga máxima del condensador va disminuyendo. La energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
- Cuando 0, entonces la frecuencia de la oscilación 0, se denomina oscilación crítica
- Cuando 0, entonces la frecuencia de la oscilación es un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas - Críticas
- Sobreamortiguadas
1.5 Procesos Oscilatorios forzados. Resonancia
1.5.1 Modelos mecánicos. Massa conectada a resorte
Cuando sobre un sistema oscilatorio está actuando una fuerza externa de forma periódica F t
F0cost (donde es la frecuencia de la fuerza externa), durante su movimiento, éste se denomina como la oscilación forzada. Cualquier sistema oscilatorio en su movimiento libre oscila con una frecuencia (llamada la frecuencia propia) que en general es diferente de . Al iniciar el proceso oscilatorio las oscilaciones propias con el tiempo se apagan, debido a la presencia de la amortiguación, y el sistema empieza aoscilar al a misma frecuencia de la fuerza externa. A continuación, analicemos ¿Cómo amplitud y la energía de las oscilaciones forzadas dependen de la diferencia entre frecuencias de la fuerza externa, y la frecuencia propia ? Para responder a esta pregunta consideramos un sistema masa-resorte con amortiguamiento viscoso, y con una fuerza externa armónica Fe
t F0cost, como se indica en la figura (1.8.1).Hay tres fuerzas aplicadas al bloque de masa m : fuerza recuperadora
Fr kx, amortiguadora a dx
F bV b
dt y la externa
0cosFe t F t. Según II ley de Newton:
2
0
2 cos
r a e
d x dx
ma F F F m kx b F t
dt dt
(1.8.1) Dividendo ambas partes de la igualdad por m se obtiene:
2
2 2
0 0
2 2 ; ;
2
d x dx F b k
x sen t
dt m m m
dt
(1.8.2) Busquemos la solución de la ecuación (1.8.2) en la forma:
cos
cos
x t A t A t (1.8.3) La función (1.8.3) describe vibraciones forzadas estacionarias. Son vibraciones armónicas con una frecuencia igual a la de la fuerza externa. La amplitud A y el retraso de la fase son dos incógnitas que dependen de la frecuencia de la fuerza externa A A
y
. Al sustituir (1.8.3) y haciendo unas transformaciones algebraicas simples pero un poco tediosas se encuentran estas dependencias
02 2
2
2
02 2/ 2
; arctan
2
A F m
(1.8.4) Se ve a que la amplitud AA
de las vibraciones forzadas además es proporcional a la fuerza externa. La fase vibraciones forzadas se retardan por fase de la fuerza externa, con la particularidad de que la magnitud del retardo
también depende de la frecuencia externa.La dependencia entre la amplitud de las vibraciones forzadas de la frecuencia de la fuerza externa, conduce a que con cierta frecuencia, determinada para el sistema dado, la amplitud de las vibraciones alcanza su valor máximo. El sistema vibratorio con dicha frecuencia se hace sensible en extremo a la acción que ejerce la fuerza externa. Este fenómeno se denomina resonancia y la frecuencia que le corresponde, frecuencia resonante
Para determinar la frecuencia resonante res hay que hallar el máximo dé la funciónAA
o bien el mínimo de la expresión subradical en el denominador la expresión de (1.8.4), que es lo mismo. Derivando dicha expresión por e igualándola a cero, obtenemos la condición que determina a res
02 2
24 8 0
(1.8.5) La ecuación (60.16) tiene tres soluciones: 0; 222 . La solución nula corresponde al máximo del denominador. De las dos restantes soluciones, la negativa debe ser excluida por no tener sentido físico (la frecuencia no puede ser negativa). Así, pues, para la frecuencia resonante solo valor:
2 2
0 2
res
(1.8.6)
Poniendo este valor de la frecuencia en la expresión para AA
, hallaremos la expresión para la amplitud correspondiente al haber resonancia
2
20
/ 2
res res
A A F m
(1.8.7)
De (1.8.7) se desprende que al no haber amortiguación del medio ( 0) la amplitud se crecería al infinito si hubiera resonancia. De acuerdo con (1.8.7) la frecuencia resonancia en esas mismas condiciones 0), coincide con la frecuencia propia
res
de las vibraciones del sistema. La dependencia entro la amplitud de las oscilaciones forzadas y la frecuencia de la fuerza externa está representada gráficamente en la fig. 1.8.2. Curvas aisladas en la gráfica corresponden a diversos valores del
parámetro . En correspondencia con (1.8.6) y (1.8.7) menor , más arriba y a la derecha yace el máximo de la curva dada. El conjunto de gráficas do la función (60.14), representado en la fig. 1.8.2, que corresponde a diversos valores del parámetro recibe el nombre de curvas de resonancia.
En la fig. 1.8.3 vemos que las vibraciones forzadas se retardan por fase de la fuerza externa, y la magnitud del retardo se ubica en la franja entre 0 y . La dependencia del retardo de la fase en función de la frecuencia de la fuerza externa para diferentes valores de se muestra gráficamente en la fig. 3. A la frecuencia le corresponde / 2.
El fenómeno de la resonancia debe ser tomado en consideración al proyectar máquinas y diferentes construcciones. La frecuencia propia de las vibraciones de dichos dispositivos no debe ser de ninguna manera próxima a la frecuencia de posibles perturbaciones exteriores.
Por ejemplo, la frecuencia propia de las vibraciones del casco de un buque o de las alas de un avión, debe diferenciarse considerablemente de la frecuencia de las vibraciones que pueden ser excitadas por la rotación de la hélice del buque o del avión. En caso contrario, surgen vibraciones que pueden provocar una catástrofe. Son conocidos casos, cuando se hundían los puentes al desfilar por ellos al paso una columna de soldados. Esto sucedía porque la frecuencia propia de las vibraciones del puente era cercana a la frecuencia con la que andaba la columna. Al misino tiempo, el fenómeno do resonancia es con frecuencia muy útil, on particular, en acústica, radiotécnica, 1.5.2 Modelo eléctrico. Circuito LCR conectado a una fuerza electromotriz alterna.
Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fuerza electromotriz alterna de frecuencia.
La ecuación del circuito es Vab+Vbc+Vcd+Vda=0
Como i=-dq/dt, si la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Ecuación similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas de una masa conectada a un resorte elástico.
