EC 2322 Reflexión de Ondas TEM pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.3. ANÁLISIS. DE LA REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS. UNIFORMES. 2.3.1 Planteamiento del problema Se tienen dos medios lineales, isotrópicos, homogéneos y sin fuentes, con constantes de propagación e impedancia intrínseca que son γˆ1 ,ηˆ1 para el medio 1 y γˆ2 ,ηˆ2 para el medio 2, separados por una interfaz plana. En el medio 1, llamado medio incidente, existe una onda plana uniforme llamada onda incidente, cuyo vector de propagación es oblicuo respecto al plano de la interfaz que separa a los medios. Se desea determinar los campos electromagnéticos resultantes en las dos regiones, en régimen sinusoidal permanente. Basta con determinar los campos eléctricos, ya que los campos magnéticos se pueden determinar en función de los primeros. La mayoría de los libros de texto de electromagnetismo aborda este problema para el caso particular en que los medios son dieléctricos ideales. Sin embargo, aquí se resuelve el problema para medios cualesquiera, partiendo de las condiciones de frontera para las ecuaciones de Maxwell. 2.3.2 Geometría y definiciones del problema La figura 2.3 de la siguiente página muestra los datos del problema: las dos regiones, la interfaz que las separa, y la onda incidente, de la cual se representa el campo eléctrico y el vector unitario en la dirección de propagación. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 54.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. x Región 1. Región 2 Interfaz 1n. Ei//. 0 θi. z. 1i. Ei⊥. Fig. 2.3: Geometría inicial del problema de reflexión de ondas planas uniformes. Se ha elegido el sistema de coordenadas de manera que la interfaz de separación corresponde al plano z = 0, y tanto el vector unitario 1i de la dirección de propagación como el vector 1n normal a la interfaz quedan ambos contenidos en el plano XZ, al cual se le denomina plano de incidencia, siendo el ángulo de incidencia θ i el que forman los dos vectores unitarios mencionados. Dado que el campo eléctrico de la onda incidente puede tener cualquier orientación sobre el plano normal a su vector de propagación 1i, se descompone en dos componentes: una paralela al plano de incidencia, identificada como Eˆ i // , y una perpendicular al plano de incidencia, identificada como Êi⊥ , de manera que Eˆ i = Eˆ i // + Eˆ i ⊥ .. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 55.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.3.3 Polarización de una onda plana La polarización de una onda plana es la orientación del campo eléctrico total respecto al plano de incidencia. De acuerdo a la forma en que se combinan Ê // y Ê ⊥ se tienen diferentes tipos de polarización, que son los siguientes: a) Polarización paralela: En este caso Eˆ // ≠ 0 y Eˆ ⊥ = 0 . b) Polarización perpendicular: En este caso Eˆ // = 0 y Eˆ ⊥ ≠ 0 . A las polarizaciones paralela y perpendicular se les denomina polarizaciones canónicas. Los restantes casos de polarización que se describen a continuación son combinaciones de éstas. c) Polarización. lineal:. En. este. caso. ˆ // ≠ 0 , E. ˆ⊥ ≠0 E. y. arg(Eˆ // ) = arg(Eˆ ⊥ ) .. En los casos de polarización paralela, perpendicular y lineal, el vector de campo eléctrico forma un ángulo constante con el plano de. Comentario [u1]: El ángulo es con los ejes del frente de onda. incidencia. d) Polarización circular: En este caso Eˆ // ≠ 0 , Eˆ ⊥ ≠ 0 , Eˆ // = Eˆ ⊥ y arg(Eˆ // ) − arg(Eˆ ⊥ ) = ±π / 2 . El vector de campo eléctrico gira en el. plano normal al vector de propagación de la onda, describiendo la punta del vector una circunferencia. e) Polarización elíptica: Es cualquier caso en el que Eˆ // ≠ 0 , Eˆ ⊥ ≠ 0 y Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 56. Comentario [u2]: Dicho plano es el frente de onda.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. las relaciones entre amplitudes y desfasajes de las componentes Ê // y Ê ⊥ del campo no satisfacen los requerimientos para polarización lineal. ni para polarización circular. El vector de campo eléctrico gira en el plano normal al vector de propagación de la onda, describiendo la punta del vector una elipse. También se denomina polarización de una onda a la orientación del campo eléctrico respecto a la superficie terrestre cuando dicha onda no se encuentra vinculada al contexto de reflexión de ondas. En este caso, también existen cinco casos de polarización: • Polarización horizontal, cuando el campo eléctrico carece de componente vertical respecto a la superficie terrestre • Polarización vertical, cuando el campo eléctrico carece de componente horizontal respecto a la superficie terrestre • Polarización lineal, circular o elíptica, iguales a las descritas para el problema de reflexión, pero con la componente perpendicular reemplazada por la componente horizontal, y la paralela reemplazada por la componente vertical. 2.3.4 Hipótesis para el problema de reflexión de ondas planas uniformes Es importante partir de una hipótesis sobre la solución al problema de reflexión, antes de resolver el problema. La hipótesis puede provenir del. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 57.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. conocimiento previo sobre la solución para el caso de dos medios dieléctricos ideales: en régimen sinusoidal permanente debe existir una onda incidente y una onda reflejada en el medio 1, y una onda transmitida en el medio 2. Las amplitudes, fases y orientaciones de las ondas reflejada y transmitida deben estar relacionadas con las de la onda incidente de manera que se cumplan las condiciones físicas adicionales del problema, es decir, las condiciones de frontera en la interfaz (las ecuaciones de Maxwell se cumplen automáticamente porque cada onda satisface la ecuación de onda). 2.3.5 Determinación de los campos. Ley de Snell. Coeficientes de Fresnel. En la figura 2.4 se muestra la geometría del problema incluyendo a las ondas reflejada y transmitida. x 1t. Región 1. Et// θt. 1r. Er⊥ Et⊥ Er// Ei // θi. θr. θr 1n θ i. 0. θt. z 1z. 1i. Región 2 Ei⊥. Fig. 2.4: Geometría del problema de reflexión incluyendo a las ondas reflejada y transmitida.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 58.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Se define como ángulo de reflexión θ r al que forman el vector unitario 1r de propagación de la onda reflejada y el vector unitario normal 1n a la interfaz, y como ángulo de transmisión al que forman el vector unitario 1t de propagación de la onda transmitida y el vector unitario 1z normal a la interfaz. Nótese que los campos eléctricos de las ondas reflejada y transmitida también se han descompuesto en sus componentes paralela y perpendicular, y que los vectores unitarios 1r y 1t están también contenidos en el plano de incidencia. Es importante mencionar que aunque cada onda se representa por un rayo que indica su trayectoria, como es una onda plana uniforme existen infinitos rayos paralelos que pueden representar la trayectoria de cada onda. Por lo tanto, la onda incidente “ilumina” toda la superficie interfaz, la cual se supone infinita en extensión, y cada una de las ondas llena al semiespacio donde está definida. El proceso de determinar los campos eléctricos comienza por escribir el campo eléctrico de la onda incidente: ˆ i = Eˆ i // + E ˆ i ⊥ = (1ei // eî // + 1y eî ⊥ ) e −γˆ1 1i⋅r E. (2.37). donde: 1i = 1z cos θ i + 1x sen θ i. (2.38a). 1ei // = 1x cos θ i − 1z sen θ i = −1i × 1y. (2.38b). 1i ⋅ r = z cos θ i + x sen θ i. (2.38c). Ahora se escriben los campos eléctricos reflejados y transmitidos: Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 59.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. ˆr = E ˆ r// + E ˆ r⊥ = (1er// eˆr// + 1y eˆr⊥ ) e −γˆ1 1r⋅r E. (2.39). ˆ t = Eˆ t // + E ˆ t ⊥ = (1et // eˆt // + 1y eˆt ⊥ ) e −γˆ2 1t⋅r E. (2.40). donde, de la figura 2.4, se tiene: 1r = −1z cos θ r + 1x sen θ r. (2.41a). 1er// = −1x cos θ r − 1z sen θ r = −1r × 1y. (2.41b). 1r ⋅ r = − z cos θ r + x sen θ r. (2.41c). 1t = 1z cos θ t + 1x sen θ t. (2.42a). 1et // = 1x cos θ t − 1z sen θ t = −1t × 1y. (2.42b). 1t ⋅ r = z cos θ t + x sen θ t. (2.42c). Nótese que la estructura de los campos eléctricos reflejado y transmitido es similar a la del campo eléctrico incidente. Sin embargo, las amplitudes de las componentes paralela y perpendicular de estos campos son desconocidas, así como los ángulos de reflexión y de transmisión. Dichas amplitudes se expresan a continuación en términos de las correspondientes al campo eléctrico incidente y de ciertos coeficientes complejos denominados coeficientes de Reflexión (R) y de Transmisión (T), o coeficientes de Fresnel, como se señala a continuación: eˆr// = Rˆ // eî// eˆr⊥ = Rˆ ⊥ eî⊥. eˆt // = Tˆ// eˆt // eˆt ⊥ = Tˆ⊥ eˆt ⊥. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (2.43). (2.44) (2.45) (2.46). 60.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Con esta formulación, basta con determinar los ángulos de reflexión y de transmisión y calcular los coeficientes de Fresnel para poder determinar los campos eléctricos de las ondas reflejada y transmitida, lo cual se hace aplicando las condiciones de frontera en la interfaz. Sin embargo, hay que escribir previamente los campos magnéticos en términos de los eléctricos: ˆ ( 1y eî // − 1ei // eî ⊥ ) −γˆ1 1i⋅r ˆ i = 1i × Ei = H e ηˆ1 ηˆ1 ˆ ( 1y Rˆ // eî // − 1er// Rˆ ⊥ eî ⊥ ) e −γˆ1 1r⋅r ˆ r = 1r × Er = H ηˆ1 ηˆ1. ˆ ( 1y Tˆ// eî // − 1et // Tˆ⊥ eî ⊥ ) e −γˆ2 1t⋅r ˆ t = 1 t × Et = H ηˆ 2 ηˆ 2. (2.47) (2.48) (2.49). Las condiciones de frontera a aplicar son las de continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico y del campo magnético en la interfaz, suponiendo que no hay corrientes superficiales y tomando en cuenta que en el medio 1 se suman el campo incidente más el reflejado: î + E ˆr −E ˆ t) 1y ⋅ (E î + E ˆr −E ˆ t) 1x ⋅ (E. z =0. î+H ˆr −H ˆ t) 1y ⋅ (H î+H ˆr −H ˆ t) 1x ⋅ (H. =0. (2.50a). =0. (2.50b). z =0. z =0 z =0. =0. (2.50c). =0. (2.50d). Al aplicar la ecuación 2.50a se tiene:. ( eî⊥ e −γˆ 1i⋅r + Rˆ ⊥ eî⊥ e −γˆ 1r⋅r − Tˆ⊥ eî⊥ e −γˆ 1t⋅r ) z =0 = 0 1. 1. 2. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 61.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Dividiendo por eî ⊥ e −γˆ1 1i⋅r se tiene:. (1 + Rˆ ⊥ e −γˆ (1r⋅r−1i⋅r ) − Tˆ⊥ e −γˆ 1t⋅r+γˆ 1i⋅r ) z =0 = 0 1. 2. 1. Evaluando las exponenciales en z = 0, se llega a:. (1 + Rˆ ⊥ e −γˆ x(senθ −senθ ) − Tˆ⊥ e −γˆ 1. r. i. 2 x sen θ t +γˆ1x sen θ i. )= 0. La única manera de que esta ecuación no lineal se cumpla para todo valor de x es que los argumentos de las exponenciales sean nulos. Con esto se obtiene:. θ r = θi   γˆ1 Ley de Snell generalizada sen θ t = sen θ i   γˆ2. (2.51). Se denomina al par de ecuaciones (2.51) Ley de Snell generalizada porque al utilizarse las constantes de propagación de los dos medios, en vez de sus constantes dieléctricas solamente, se toma en cuenta cualquier combinación posible de medios, siempre que éstos sean lineales, isotrópicos, homogéneos y sin fuentes. También se toma en cuenta la dependencia de la constante de propagación de cada medio con la frecuencia de operación. Obsérvese que es factible en la Ley de Snell generalizada que senθt sea complejo. El estudio e interpretación de este caso se dejará para más adelante. Al sustituir la Ley de Snell generalizada en las ecuaciones 2.50, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales para los coeficientes de Fresnel: Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 62.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 1 + Rˆ ⊥ − Tˆ⊥ = 0 (1 − Rˆ // )cosθ i − Tˆ// cosθ t = 0. (1 + Rˆ // )/ηˆ1 − Tˆ⊥ /ηˆ2 = 0 (1 − Rˆ ⊥ )cosθ i /ηˆ1 − Tˆ⊥ cosθ t /ηˆ2 = 0. (2.52a) (2.52b) (2.52c) (2.52b). Como solución de este sistema de ecuaciones, se obtiene que los coeficientes de Fresnel vienen dados por:. ηˆ cosθ i − ηˆ2 cosθ t Rˆ // = 1 ηˆ1 cosθ i + ηˆ2 cosθ t. (2.53a). ηˆ cosθ i − ηˆ1 cosθ t Rˆ ⊥ = 2 ηˆ2 cosθ i + ηˆ1 cosθ t. (2.53b). Tˆ// =. 2ηˆ2 cosθ i ηˆ1 cosθ i + ηˆ 2 cosθ t. (2.53c). Tˆ⊥ =. 2ηˆ2 cosθ i ηˆ 2 cosθ i + ηˆ1 cosθ t. (2.53d). Para comprender mejor la utilización y el alcance de la Ley de Snell y los coeficientes de Fresnel, en la siguiente sección se aplican para el caso de medios sin pérdidas, dejando para un estudio posterior el caso general.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 63.

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