MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN

MATEMATIKA

SPANYOL NYELVEN

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

ÉRETTSÉGI VIZSGA ● 2012. május 8.

Información importante Cuestiones formales para la corrección del examen:

1. El profesor tiene que corregir el examen con un bolígrafo de diferente color al utilizado por el alumno. El profesor indicará los errores, los pasos que faltan, etc., tal y como esté acostumbrado.

2. En los recuadros grises de puntuación, el primero indica la máxima puntuación que se puede dar y el recuadro de al lado recoge los puntos que ha dado el profesor.

3. Si no hay errores en la resolución, es suficiente escribir los puntos máximos en el recuadro correspondiente.

4. Si hay errores o faltan pasos, indique, por favor, los puntos correspondientes a cada parte.

5. El profesor que corrige no podrá evaluar todo lo que esté escrito a lápiz aparte del dibujo.

Cuestiones de contenido:

1. En algunos ejercicios, les hemos ofrecido la puntuación correspondiente a varias resoluciones. Si usted encuentra otra resolución, busque, por favor, las partes equivalentes de las resoluciones que propone la guía y reparta los puntos según dichas partes.

2. Se pueden dividir los puntos que la guía recomienda para indicar distintos pasos de una parte. Pero, en cualquier caso, los puntos que se den siempre serán enteros.

3. Si el desarrollo de la resolución y los resultados finales son correctos, se puede dar la puntuación máxima incluso si las explicaciones no son tan amplias como las que aparecen en la guía.

4. Si en una parte de la resolución, el estudiante comete un error de cálculo o de precisión, no recibirá los puntos correspondientes a esta parte. Si al arrastrar este error, el resto de los pasos realizados son correctos y no cambia el sentido del problema, entonces se puntuarán el resto de los pasos.

5. En caso de un error de aplicación teórica, dentro de un razonamiento en la resolución (los razonamientos distintos aparecen separados con una línea doble en la guía), no se pueden dar puntos ni siquiera por los pasos matemáticamente correctos hechos tras cometer el error. Pero si en el siguiente razonamiento, se sigue trabajando bien, a pesar del resultado incorrecto causado por dicho error, se darán los puntos máximos para las siguientes partes de la resolución del problema, si no ha cambiado el sentido del mismo.

6. Si en la guía, algún comentario o una unidad de medida está entre paréntesis, la solución será correcta aunque no se escriba.

7. Si se escriben varios procedimientos para resolver un ejercicio, sólo se puntuará uno de ellos, el que el alumno examinado haya indicado como válido.

8. No se pueden dar puntos extra que excedan los puntos máximos que se pueden dar para el ejercicio o una parte de él.

9. No se restan puntos si aparecen errores en algún paso o en partes de la resolución que el alumno no utiliza después para resolver el ejercicio.

10. De los tres ejercicios propuestos en la parte II/B del examen sólo se pueden puntuar dos. Probablemente el estudiante habrá indicado el número del ejercicio eliminado, el que no se puntuará, en el cuadrado correspondiente. Si el alumno hubiera resuelto este ejercicio no habría que corregirlo. Si no queda claro cuál es el ejercicio

1.

20 3=

−

x 1 punto

=23

x 1 punto También recibirá la

puntuación completa sin justificar la respuesta . Total: 2 puntos

2.

a + b 2 puntos

Si en la respuesta no se indican a y b como vectores, entonces recibirá 1 punto.

Total: 2 puntos

3.

−3

=

x 2 puntos

Total: 2 puntos

4.

La letra asignada a la gráfica de la función g: B. 2 puntos El punto de corte con el eje x:

( )

5.

Hay 15 posibilidades. 2 puntos

También aceptaremos

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 4 6 .

Total: 2 puntos

6.

Por el diagrama correcto.

1 punto

=

∩ B

A {x; y} 1 punto

Total: 2 puntos

7.

2 0

2 t q

t = ⋅ 1 punto Estos dos puntos también se

pueden dar si no indica la fórmula y escribe 50000⋅1,1^2. Si calcula bien el valor después de 1 año, pero continúa de manera incorrecta, recibirá 1 punto.

2 2 =50000⋅1,1

t 1 punto

El valor de los fondos: 60 500 Ft. 1 punto Total: 3 puntos z u x y v w

A B

8.

Los posibles valores de y: 1; 4; 7. 2 puntos

Si da uno o dos valores correctos, 1 punto.

Si en la solución aparecen valores erróneos de ”y”, no se darán puntos.

Total: 2 puntos

9.

El lugar máximo: 6. 1 punto

El valor máximo: 3. 1 punto

Total: 2 puntos

10.

En el grafo, habrá exactamente un vértice de grado

tres, 1 punto

exactamente tres vértices de grado dos, 1 punto y sólo un vértice de grado uno. 1 punto

Total: 3 puntos

En caso de un dibujo correcto, se asignarán los tres puntos.

11. (

) (

)

2 puntos

También recibirá estos 2 puntos si aplica correctamente las fórmulas

correspondientes del libro de fórmulas.

El centro es el punto O(2; –1), 1 punto

y el radio mide 5 . 1 punto

Total: 4 puntos

12.

A: falsa. 1 punto

B: falsa. 1 punto

C: verdadera. 1 punto

Total: 3 puntos

II. A 13. a)

10112=11, 2 puntos

La afirmación de Pali es falsa. 1 punto Total: 3 puntos

13. b)

36

10= a₁+ 1 punto

1=−26

a 1 punto

Total: 2 puntos

13. c) primer método

100 4 ) 1 (

26+ − ⋅ ≥

− n

2 puntos Si la relación está incompleta, recibirá 1 punto.

5 ,

≥32

n ; es decir, se trata del término 33^o de la

progresión. 1 punto

El término buscado es a₃₃=102. 1 punto Total: 4 puntos

13. c) segundo método

La progresión está formada por los números que al

dividirlos por 4 dan de resto dos. 1 punto Entre estos, el menor número de 3 cifras es 102. 1 punto

10 + k .4 = 102 ; k = 23 1 punto

Es decir, se trata del término 10 + 23 = 33^o de la

progresión. 1 punto

Total: 4 puntos

13. d)

El primer término que se adecúa a las condiciones es

10=10

a y el último es a₃₂=98, 2 puntos por lo tanto, el conjunto está formado por 22+1=23

elementos. 1 punto

Total: 3 puntos

14. a)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛=

= casosposibles favorables casos

n

p k 1 punto

Si esta explicación se puede deducir del desarrollo de la resolución, también se dará 1 punto.

≈

=12320

p 1978 1 punto

16 ,

≈0 1 punto ≈16,06%

Total: 3 puntos

14. b)

El número de mayores de 60 años que fueron

atendidos fue de 1978−138−633=1207 personas. 1 punto En el diagrama de sectores, el ángulo central

correspondiente a las 138 personas menores de 18 años es

25o

1978 360

138 ⋅ °≈ .

1 punto

Si los valores de los ángulos centrales son correctos, pero no indica en ningún caso la

manera correcta de calcularlos, sólo se dará 1 punto.

Si sólo muestra uno de los cálculos, pero los tres valores son correctos, recibe 2 puntos.

En el diagrama de sectores, el ángulo central correspondiente a las 633 personas entre 18 y 60

años es ⎟ °

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅360°≈ 115 1978

633 . 1 punto

En el diagrama de sectores, el ángulo central correspondiente a las 1207 personas mayores de 60

años es ⎟ °

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅360°≈ 220 1978

1207 1 punto

Por la correcta representación del diagrama de sectores (dibujando ángulos aproximados, indicando los títulos correspondientes a cada sector).

1 punto Total: 5 puntos

60 év feletti menores de18

entre 18 y 60 años

mayores de 60años

14. c)

Entre los habitantes de Nekeresd hay 12320⋅ 240, = 1 punto

(

)

8 , 2956 ≈

= personas mayores de 60 años. 1 punto También se puede aceptar 2956.

El número de mayores de 60 años que fueron

atendidos en el hospital fue 1207, así la probabilidad buscada:

(

)

1207 ≈2957 . 1 punto

La probabilidad aumentó en 0,41−0,16=0,25. 1 punto Total: 4 puntos

15.

Aplicando el teorema del coseno en el triángulo ABP:

1 punto

Si esta explicación se puede deducir del desarrollo de la resolución, también se dará este punto.

°

⋅

⋅

⋅

− +

=620² 720² 2 620 720 cos53

BP2 , 1 punto

BP ≈ 605 2 puntos*

El ángulo AQB mide 19º. 1 punto

Utilizando el teorema del seno (dos veces) en el

triángulo ABQ: 1 punto

Si esta explicación se puede deducir del desarrollo de la resolución, también se dará este punto.

= °

° sin108 19

sin

620 AQ

, 1 punto

AQ ≈ 1811 1 punto*

PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 1 punto*

= °

° sin53 19

sin

620 BQ

, 1 punto

BQ ≈ 1521 1 punto*

Las distancias aproximadas a metros:

PQ = 1091 m, BQ = 1521 m y BP = 605 m. 1 punto*

Este punto se asigna a la unidad de medida (m) de las respuestas.

Total: 12 puntos

En el caso de que en el transcurso de los cálculos se apliquen las aproximaciones normales, y sus resultados difieran de los que aparecen en el ejercicio en 3 metros como máximo, también podrá recibir los puntos marcados con *.

II. B 16. a)

(Los 7 jugadores del equipo A jugaron con los 6 de su misma nacionalidad, pero así contaríamos cada partida dos veces).

En el equipo A se jugaron 21 2

6

7⋅ = partidas.

1 punto

(El equipo B tiene n miembros,)

y el número de partidas jugadas fue 55 2

) 1 ( − =

⋅ n

n . 2 puntos

De la ecuación n² − n−110=0 1 punto la solución positiva es 11 (las raíces son − 10 y 11). 2 puntos El equipo B tiene 11 miembros. 1 punto Total: 7 puntos

16. b)

Cada uno de los 6 jugadores del equipo A juega 8

partidas. 1 punto

En total, 6·8 = 48 partidas se celebraron durante la

segunda semana. 2 puntos

Total: 3 puntos

(Se puede aplicar la fórmula clásica de la probabilidad).

les casosposib

ables casosfavor

p= 1 punto

Si esta explicación se puede deducir del desarrollo de la resolución, también se dará este punto.

Se puede elegir a los ganadores de ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 4

18 maneras distintas.

1 punto De los 7 jugadores del equipo A se puede elegir a 1

de 7 maneras distintas, 1 punto

También se darán estos puntos si sólo escribe de manera correcta el número de los casos favorables.

de los 11 participantes del equipo B se pueden elegir a 3 de ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 3

11 maneras distintas. 1 punto

(Las dos elecciones son independientes una de otra).

El número de los casos favorables: ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛ 3

7 11 . 1 punto

La probabilidad buscada es =

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

= 4 18

3 7 11 p

≈

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛= ⋅ 3060

165 7

1 punto

≈ 0,377 ≈ 38%. 1 punto

Por el valor correcto de la probabilidad

expresado de cualquier forma, 1 punto.

Total: 7 puntos

17. a)

0 1

2x− > y 2x−3>0, es decir, x>1,5 1 punto También recibirá este punto si elimina la solución falsa a partir de la comprobación.

Por las propiedades del logaritmo:

(

)(

)

lg x− x− = 1 punto

(La función logarítmica es biyectiva), por lo

tanto

(

)(

)

5 8

4x² − x− = . 1 punto

Sus soluciones:

2 5

1 =

x y

2 1

2=−

x . 1 punto

Sólo 2 5

1=

x pertenece al dominio, y ésta es la solución válida.

1 punto Total: 6 puntos

17. b)

Las soluciones obtenidas en la ecuación del cosx son las mismas que las raíces de la ecuación de segundo grado del apartado a).

(

( )

2

cosx ₁=5 y

( )

2 cosx ₂=−1)

2 puntos

2

cosx= 5 no da solución. 1 punto

El único ángulo que verifica que

2

cosx=−1 y que

puede ser ángulo de un triángulo es

3 120 ₌2π

= ^o

x y ésta es la solución correcta.

1 punto

Este punto se dará si el ángulo x está expresado de cualquier forma correcta.

No recibirá el punto si el examinado da más ángulos en la solución.

Total: 4 puntos

17. c)

Introducimos la nueva variable, y =z, 1 punto así sólo 0≤z puede ser solución. 1 punto La única solución no negativa de la ecuación de

segundo grado 4z² − z8 −5=0 es 2

=5

z . 1 punto

Así 4

= 25

y , será la solución de la ecuación original y la solución es válida.

1 punto Total: 4 puntos

17. c)

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

y y

y 40 25 64

16 ²− + = 1 punto

Las raíces de la ecuación de segundo grado 0

25 104

16y² − y+ = son

4 25

1=

y ,

4 1

2 =

y 2 puntos

Sustituyendo en la ecuación original o por el estudio de la imagen (rango) de las dos partes de dicha ecuación, se puede concluir que sólo la primera raíz es la solución válida.

1 punto Total: 4 puntos

Fijamos el número del medio. 1 punto

Si esta explicación se puede deducir del desarrollo de la resolución, también recibirá este punto.

El resto de los números se pueden ordenar de 6!

maneras distintas, 1 punto

es decir, los siete números se pueden ordenar de 720

maneras distintas. 1 punto

Total: 3 puntos

18. a)

Por la comprensión del ejercicio. 1 punto La superficie de la parte inferior del depósito

(área de una semiesfera de radio r = 3 metros):

(

)

18 3

2 2 2

4 ² _{2 2}

1= ^r π = _r π = ⋅ ⋅π = π ≈

A

1 punto

La superficie de la parte central del depósito (área lateral de un cilindro circular de radio r = 3 metros y de altura m = 8 metros):

(

)

48 8 3 2

2=2^rπ^m= ⋅ ⋅π⋅ = π ≈

A

1 punto La superficie de la parte superior del depósito

(área lateral de un cono de revolución de radio r = 3 metros, y de altura m = 3 metros):

La generatriz del cono: AB=a= 2r

1 punto

(

)

2 9 2 3

3=raπ =3⋅ ⋅π = π ≈

A 1 punto

La superficie interior:

(

)

2 9 48

18 + + = + ≈

= π π π π

A m²

pero para que el ejercicio tenga sentido y el material sea suficiente, habrá que aproximar por exceso, es

decir, 248 m² será la respuesta correcta. 1 punto

Si únicamente ha tenido en cuenta la

aproximación

matemática y responde, con 247 m² , también recibirá este punto.

Total: 6 puntos D

B A

E F

C 8 m

G 3 m

3 m 3 m 3 m

La altura del depósito:

(

)

El 85% de la altura:

(

)

lo que quiere decir que la semiesfera y el cilindro están llenos y en el cono, el agua sólo llega hasta los 0,9 metros de su altura.

1 punto El volumen de la parte inferior del depósito

(volumen de una semiesfera de radio r = 3 metros):

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛=

⋅

= 3

2 3 4 2

1 ^{3 3}

1 ^r π ^r π

V 1 punto

(

)

3 3

2⋅ ³⋅ = ≈

= π π . 1 punto

El volumen de la parte central del depósito

(volumen de un cilindro circular de radio r = 3 metros y de altura m = 8 metros):

=

=r m V2 ²π

1 punto

(

)

8

3²⋅ ⋅ = ≈

= π π . 1 punto

El volumen de la parte superior del depósito (volumen de un tronco de cono). Para calcular el radio de la base superior del cono truncado podemos utilizar el teorema de los segmentos secantes paralelos: (figura 1)

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ =

AF AI r

FB IH

3 1 , 2 3

' ,

1 punto*

1 , 2 '=

r . 1 punto*

(

)

= ' '

3

2 2

3 mr r rr

V π

1 punto

(

) (

)

9 , 3 0

2

2+ + ⋅ = ≈

⋅

⋅

=π π _.

1 punto D

B A

E F

C 8 m

G 3 m

3 m 3 m

0,9 m _r’

0,9 m 2,1 m A

E F B

I H 3 m figura 1

A

E F B

I H 3 m

r’

0,9 m 0,9 m

J

figura 2

Volumen de agua que hay en el depósito:

301 913

, 95 913 , 5 72

18 + + = ≈

= π π π π

V m³. 1 punto

Total: 11 puntos El otro método de resolución se refiere a los dos puntos marcados con *.

El volumen de la parte superior del depósito (volumen de un tronco de cono). Podemos calcular el radio del círculo superior del cono truncado observando que los triángulos AFB∆ y HJB∆ son triángulos rectángulos isósceles, (figura 2)

1 punto*

así ^r'=

(

)