LECCIONES DEL
CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL
POSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN
UNAM AUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA
Basado en el Libro
‘‘Mathematical Modeling in Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’
Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
John Wiley 2012
CAPÍTULO 1
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE
LOS MODELOS BÁSICOS
SECCIÓN 1 DEL
CAPÍTULO 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
FÍSICA MICROSCÓPICA Y
FÍSICA MACROSCÓPICA
CINEMÁTICA DE LOS
SISTEMAS CONTINUOS
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS MONOFÁSICOS:
Los sistemas continuos de una fase, satisfacen la
siguiente hipótesis: "En cada punto del espacio físico hay una y sólo una partícula material"
Un cuerpo m æ
æ aterial es un conjunto de partículas que en
cada instante ocupa un dominio en el sentido matemático
del espacio físico. Además, en cada dominio del espacío físico hay un cuerpo material
Los cuerpos ma æ
teriales llenan completamente el espacio que ocupan
El conjunto de partículas materiales que forman un
cuerpo se denota por y el dominio del espacio físico que æ
B
NOTACIÓN : Sistemas de Referencia
Los puntos del espacio físico se denotarán por medio de su vector de posición. Para ellos se reserva la notación
Una forma de identificar a l
x æ
æ as partículas materiales es por
medio de la posición que ocupan en algún tiempo, llamado
tiempo de referencia. A menos que se diga otra cosa, el tiempo de referencia será t = 0. Así, las partículas se denotarán por medio del vector , el cual corresponde al vector de posición del punto del espacio físico que ellla ocupaba en el tiempo t = 0
El conjunto de partículas materiales que forman un cuerpo s
æ
e denota por y el dominio del espacio físico que
él ocupa en el tiempo , por B . Así, con las convenciones que ya hemos adoptados, se tiene:
B 0
t t
B
B
LA FUNCIÓN DE POSICIÓN
Cuando un cuerpo está en movimiento cada una de sus partículas describe su propia trayectoria. Es decir, su posición es función del tiempo. Dada la partícula , escribiremos , para el vector de la
p t
posición que ella ocupa en el espacio físico, en el tiempo . Con la notación que hemos adoptado es claro que el punto del espacio físico está ocupado por la partícula , en el tiempo , si y sólo
t x
t
1
si,
, (ver Fig.1.1)
En sentido opuesto, la partícula se encuentra en el punto del espacio físico, en el tiempo , si y sólo si,
,
x p t ----
x t
p x t ----
1
(ver Fig.1.2) Aquí, p es la función inversa de . Además : p
PROPIEDADES DE LOS CUERPOS:
PROPIEDADES EXTENSIVAS
Una noción básica es el concepto de
para las cuales usaremos la notación : , . Note que esta notación implica que el valor de depende del cuerpo y del tiempo
'propiedad extensiva'
E t
E B
B
. La condición para que una función , constituya una
es que se pueda expresar como una integral con respecto al volumen sobre el espacio físico ocupado por el cuerpo. La expres
t
E t propiedad
extensiva
B
ión matemática de esta condición es :
, ,
Aquí, el integrando , es alguna función (integrable).
E t B t x t d x x t
B
PROPIEDADES DE LAS PARTÍCULAS MATERIALES:
PROPIEDADES INTENSIVAS
DEFINICIÓN
Toda función , de las partículas materiales y del tiempo constituye una
. t
propiedad intensiva
Considere una , y un punto del espacio físico.
Si en el punto hay una partícula material , entonces se satisface = ,
Esta ecuación es equvale
propiedad intensiva t x
x
x p t
1
1
nte a = ,
y el valor de la propiedad intensiva en el punto de espacio físico es
, , . Definimos la de propiedad intensiva
conisdereda po
p x t
x
p x t t representación Eulereana
1
r :
, , , En conclusión : La
permite calcular el valor de esa propiedad en cada punto del espacio físico.
Por
x t p x t t
'representación Eulereana de una propiedad intensiva'
otra parte, a la función , se le llamará
y obervamos que ella permite calcular el valor de esa propiedad en cada partícula del medio continuo.
t 'representación Lagrangeana de la propiedad intensiva'
REPRESENTACIONES
LAGRANGEANA Y EULEREANA
Consideraremos dos formas de especificar las
, en una se especifica el valor de la propiedad en cada partícula , para cada tiempo , y en la otra el valor de la propiedad en la p
propiedades intensivas
t
artícula que ocupa la posición , en el tiempo . En el primer caso, se usará la notación , y
, en el segundo.
Esto da lugar a dos representaciones de las : a la función
x
t t
x t
propiedades intensivas
, se le llama
y a la función , .
Consideraremos sólo para las que su
es integrable.
t representación
Lagrangeana x t representación Eulereana propiedades intensivas
representación Eulereana
A toda función , definida en el espacio y en el tiempo le corresponde una y sólo una
, , definida por
x t
propiedad intensiva t
DOS FORMAS DE DEFINIR A LAS PROPIEDADES INTENSIVAS
, , ,
COROLARIO
Las propiedades extensivas pueden definirse
univocamente tanto por medio de su representación Lagrangeana como por su representación Eulereana.
t p t t
VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS
DEFINICIÓN
, ,
La velocidad es una propiedad intensiva (vectorial).
Esta definición proporciona su representación Lagrangeana. Su representa
V t p t t
1ción Eulereana es :
, , , OBSERVE LA NOTACIÓN
x t V p
x t t
v
LA DERIVADA CON RESPECTO AL TIEMPO
DE PROPIEDADES INTENSIVAS.
LA ‘‘ DERIVADA MATERIAL’’
La ‘‘ ’’ (es decir, la derivada con respecto al tiempo) del valor de una en una partícula , cuando se usa
la es :
rapidez de cambio
propiedad intensiva representación Lagrangeana
t
,Cuando se usa la , dicha
está dada por la ' ', que se define por : +
Con mayor precisión, cuando la t
representación Eulereana rapidez de cambio derivada material
D
Dt t
deriva
v
, se evalúa en , se obtiene la de la propiedad intesiva en la partícula material que se encuentra en la posición , en el tiempo . Note que
da material D x t
Dt rapidez de cambio
x t
D x
,t
x t, + v
x t,EJERCICIO 1
1 2 3
Demostrar la identidad :
, , + , ,
Aquí :
, Además
, , , , , ,
t x t x t x t
t t
x p t
x t x t x t x t
x x x
v
ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS MATERIALES:
REPRESENTACIONES LAGRANGEANA Y EULEREANA
2 2
La aceleración de las partículas se define por : , ,
Su representación Eulereana es
, , ,
A t p t
t
a x t D x t x t
Dt t
v v
v v
EJERCICIO 2
2
Demostrar la identidad :
, , + , ,
Cuando
, Además
, , + 1 , , ,
2
A t x t x t x t
t
x p t
a x t x t x t x t x t
t
v
v v
v v v v
CORRESPONDENCIA ENTRE PROPIEDADES
INTENSIVAS Y EXTENSIVAS
, ,
E t
B t x t d xA TODA PROPIEDAD EXTENSIVA LE CORRESPONDE UNA
INTENSIVA, CUYA ES
EL INTEGRANDO DE SU EXPRESIÓN INTEGRAL. ADEMÁS, ESTA CORRESPONDENCIA ES BIUNÍVO
REPRESENTACIÓN EULEREANA
B
CA.
La ecuación :
, ,
establece una correspondencia entre propiedades extensivas e intensivas. Además, esa correspondencia es biunívoca y la ecuación
lim li
, 0
B t
f f
E t x t d x
E
x t E t
V V
B
,m
0
nos dice que la asociada es la propiedad extensiva por unidad de volumen del espacio físico
B t
f f
x t d x
V V
propiedad intensiva
SECCIÓN 2 DEL
CAPÍTULO 1
ECUACIONES DE BALANCE
BALANCES ECONÓMICOS
¿Por qué cambia la existencia de automóviles en nuestro país?
E P I
BALANCE DE UNA PROPIEDAD EXTENSIVA
¿Por qué cambia el valor de una propiedad extensiva de un cuerpo?
valor de la propiedad extensiva
producción en el interior del cuerpo por u dE P I
dt E
P
nidad de tiempo
importación por la frontera por unidad de tiempo I
EXPRESIÓN DEL BALANCE
EN TÉRMINOS DE LA PROPIEDAD EXTENSIVA
, , ,
, ,
B t
B t
B t
B t B t
E x t dx P g x t dx I q x t dx
dE t g x t dx q x t dx
dt
OTRA EXPRESIÓN PARA EL FLUJO POR LA FRONTERA
El flujo por la frontera , , siempre se puede expresar en la forma
, , ,
(éste es un resultado matemático). Por Teorma de Gauss :
B t
,
B t B tq x t
q x t = x t n x t
q x t dx ndx dx
OTRA EXPRESIÓN PARA LA ECUACÓN DE BALANCE
B t
dE t g dx
dt
UN RESULTADO FUNDAMENTAL:
EXPRESIÓN DEL BALANCE EN
TÉRMINOS DE LA PROPIEDAD INTENSIVA
EL RESULTADO FUNDAMENTAL La ecuación
, ,
se satisface para todo cuerpo (y todo tiempo ) si y sólo si, la ecuación diferencial
se satisface en cada punto del es
B t B t
dE t g x t dx q x t dx
dt
B t t
t g
v
pacio físico
(y todo tiempo t )
DEMOSTRACIÓN DEL
RESULTADO FUNDAMENTAL
OTRO RESULTADO MATEMÁTICO
Cuando
,
Entonces,
B t
B t
E t x t d x
dE t d x
dt t
v
Luego :
Esta ecuación se satisface para todo cuerpo, si y sólo si,
B t B t
d x g dx
t
t g
v
v
RECAPITULANDO:
ECUACIONES DE BALANCE EXPRESADAS EN TÉRMINOS DE PROPIEDADES INTENSIVAS
La "
" es :
ecuación de balance en términos de la propiedad intensiva
t g
v
EJEMPLO: FORMULACIÓN DE RESTRICCIONES EN EL
MOVIMIENTO
PRIMER EJEMPLO
MOVIMIENTOS QUE CONSERVAN
EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
PRIMER CASO
UN FLUIDO LIBRE
El volumen de un cuerpo de fluido libre está dado por
1
Por lo mismo es una propiedad extensiva y la propiedad intensiva asociada es :
, 1
f B t
V t dx
x t
LA ECUACIÓN DE BALANCE PARA EL VOLUMEN
, ,
Donde .
La conservación del volumen da : 0
Luego
, 0 , 0
B t B t
f
f
dE t g x t dx q x t dx
dt
E V
dV t dt
g x t y q x t
ECUACIÓN DE BALANCE EXPRESADA EN TÉRMINOS DE LA PROPIEDAD INTENSIVA ES
Para el volumen 1, 0 : 1 1 0
Es la condición de incompresibilidad para un fluido libre
t g
g
t
v
v v
El volumen de un cuerpo de fluido libre está dado por
1
Por lo mismo es una propiedad extensiva y la propiedad intensiva asociada es :
, 1
Además, en este caso : g ,
f B t
V t dx
x t
x
0 y , 0. Y
la ecuación de balance se reduce a 0
t x t
v
SEGUNDO CASO
UN FLUIDO EN UN MEDIO POROSO
PARA FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
(SATURADOS)
En este caso, el volumen del fluido es ,
La propiedad intensiva asociada es : , ,
En este caso : g , 0 y , 0. Y la ecuación de balance se reduce a
f B t
V t x t dx
x t x t
x t x t
0
v
SECCIÓN 3 DEL
CAPÍTULO 1
MODELO GENERAL DE LOS
SISTEMAS CONTINUOS
EL MODELO GENERAL DE LOS
SISTEMAS MULTIFÁSICOS DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
ALCANCES
El modelo general de los sistemas de la Física Macroscópica que se presenta a continuación, abarca tanto sistemas de una fase -con una o varias componentes- como sistemas de varias
‘fases’ en cada una de las cuales puede haber
también más de una ‘componente’
¿QUÉ SON LAS FASES?
¿QUÉ SON LAS COMPONENTES?
¿QUÉ SON LAS FASES?
Cada fase se mueve con su
propia velocidad
¿QUÉ SON LAS COMPONENTES?
Las componentes son las
sustancias disueltas. Cada
componente se mueve con la
velocidad de la fase en que está
disuelta
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS MULTIFÁSICOS
Los modelos continuos multifásicos, satisfacen la
siguiente hipótesis: "En cada punto del espacio físico, hay tantas partículas materiales como fases tiene
æ
el sistema"
Un cuerpo material es un conjunto de partículas que en cada instante ocupa un dominio en el sentido matemático del espacio físico. En cada dominio del espacío físico hay
tantos cuerpos mat æ
eriales como fases tiene el sistema (un cuerpo de cada fase)
Se usará la notación para el cuerpo de la fase el
cual, en el tiempo , ocupa el dominio B del espacio físico;
1,..., número de f
t t
M
æ B
ases
1
:
;
,..., N : ; Cada sistema multifásico está definido por
Una familia de fases M número de fases
Una familia de propiedades extensivas E E
Cada una de las propiedades extensivas está asociada a un
; a y sólo una fase y
Cada fase se mueve con su propia velocidad
FORMA DE DEFINIR LOS MODELOS DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
61
EL MODELO BÁSICO DE LA FÍSICA MACROSCÓPICA
El ‘modelo matemático básico’ del sistema está
constituido por el sistema de ecuaciones
diferenciales parciales que se obtiene al aplicar
la ecuación general de balance, expresada en
términos de la propiedad intensiva asociada, a
cada uno de los miembros de la familia de
propiedades extensivas
ECUACIONES DE BALANCE PARA UNA PROPIEDAD INTENSIVA (RECORDATORIO)
g
t
v
RECORDATORIO
SIGNIFICADO DE g Y DE
B t
,
B tdE t g x t dx ndx
dt
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
ESTÁ CONSTITUIDO POR LAS
CONDICIONES DE BALANCE DE CADA UNA DE LAS PROPIEDADES INTENSIVAS
(N en total)
65
EL MODELO GENERAL DE LOS
SISTEMAS FÍSICOS MACROSCÓPICOS
, 1,...,
es número de propiedades propiedades (o
Las "ecuaciones diferenciales"
g N
t
N extensivas
inte
