Tema 3: Algoritmos para SAT: Tableros y algoritmo DPLL

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Algoritmos para SAT

Introducci´on Tableros sem´anticos

Fórmulas α y β Tableros completos Búsqueda de modelos Formas normales Consecuencia lógica Algoritmo de Davis–Putnam

Estructura del algoritmo Ejemplos

Tema 3:

Algoritmos para SAT:

Tableros y algoritmo DPLL

Dpto. Ciencias de la Computaci´on Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

Lógicas Informática (Tecnolog´ıas Informáticas)

Curso 2016–17

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Algoritmos para SAT

Contenido

Introducci´on

Tableros semánticos Fórmulas α y β Tableros completos Búsqueda de modelos Formas normales Consecuencia lógica

Algoritmo de Davis–Putnam Estructura del algoritmo Ejemplos

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Algoritmos para SAT

Introducci´ on

I Presentaremos dos algoritmos para estudiar la satisfactibilidad de un conjunto de f´ormulas proposicionales:

I El m´etodo de tableros sem´anticos, y

I El algoritmo DPLL

(Davis–Putnam–Logemann-Loveland)

I Ambos están basados en una búsqueda sistemática de modelos.

I En ambos casos la búsqueda suele representarse gráficamente mediante un árbol.

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Algoritmos para SAT

Tableros vs DPLL

Tienen caracter´ısticas propias que distinguen claramente ambos m´etodos:

I Algoritmo DPLL:

I No trabaja con fórmulas arbitrarias sino sobre conjuntos de cláusulas. Es preciso “preprocesar” el conjunto de fórmulas, pasándolo a forma clausal.

I Está entre los algoritmos más eficientes para la lógica proposicional, pero no se extiende fácilmente a otras lógicas.

I Tableros sem´anticos:

I Trabaja directamente sobre el conjunto de f´ormulas proposicionales.

I No es tan eficiente como DPLL, pero es muy flexible y puede adaptarse a otras lógicas (como la lógica de primer orden, lógicas descriptivas, modales, etc.).

I Resulta útil en el estudio teórico de diversas lógicas, para probar propiedades formales como la completitud.

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Algoritmos para SAT

Tableros Sem´ anticos

I Gracias a la FND sabemos que la satisfactibilidad de una f´ormula puede reducirse a la de ciertos conjuntos de literales.

I El método de los tableros semánticos organiza de manera sistemática la búsqueda de modelos, reduciendo la satisfactibilidad de las fórmulas consideradas a la de ciertos conjuntos de literales.

El m´etodo de tableros sem´anticos:

1. Clasifica las f´ormulas en dos clases:

I Las f´ormulas α, que se comportan como conjunciones

I Las fórmulas β, que se comportan como disyunciones 2. Asocia a cada fórmula, F , otras dos fórmulas más

sencillas (sus componentes) de modo que la

satisfactibilidad de F se reduce a la de sus componentes.

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Algoritmos para SAT

F´ ormulas de tipo α

Las f´ormulas de tipo α son las siguientes:

α α₁ α₂

¬¬F F

F1∧ F₂ F1 F2

¬(F₁∨ F₂) ¬F₁ ¬F₂

¬(F₁ → F₂) F₁ ¬F₂ F1↔ F₂ F1→ F₂ F2→ F₁

I Las f´ormulas α1 y α2 son las componentes de α.

I Si F es de tipo α, entonces F ≡ α1∧ α₂.

I Para satisfacer una f´ormula de tipo α es necesario y suficiente satisfacer simult´aneamente sus dos componentes α₁ y α₂.

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Algoritmos para SAT

F´ ormulas de tipo β

Las f´ormulas de tipo β son las siguientes:

β β₁ β₂

F₁∨ F₂ F₁ F₂

¬(F₁∧ F₂) ¬F₁ ¬F₂

(F1 → F₂) ¬F₁ F2

¬(F₁ ↔ F₂) ¬(F₁ → F₂) ¬(F₂ → F₁)

I Las f´ormulas β₁ y β₂ son las componentes de β.

I Si F es de tipo β, entonces F ≡ β₁∨ β₂

I Para satisfacer una f´ormula de tipo β s´olo es necesario y suficiente satisfacer una de sus componentes β₁ y β₂.

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Algoritmos para SAT

Reglas α y β

Reducen la consistencia de un conjunto de fórmulas U a la de otro conjunto U⁰ formado por fórmulas más sencillas.

I Regla α: Si F ∈ U es de tipo α, entonces

U satisfactible ⇐⇒ (U−{F })∪{α₁, α₂} satisfactible

I Regla β: Si F ∈ U es de tipo β, entonces

U satisfactible ⇐⇒











(U − {F }) ∪ {β₁} satisfactible o

(U − {F }) ∪ {β₂} satisfactible

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Algoritmos para SAT

Ejemplo

La f´ormula q ∧ p ∧ (p → (q → ¬p)) es insatisfactible:

q ∧ p ∧ (p → (q → ¬p))

q, p ∧ (p → (q → ¬p)) q, p, (p → (q → ¬p))

H HH HH q, p, ¬p

×

q, p, q → ¬p

H HH q, p, ¬q

×

q, p, ¬p

×

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Algoritmos para SAT

Construcci´ on de un tablero completo

Un tablero para {A1, . . . , An} es un ´arbol T , con nodos etiquetados por conjuntos de f´ormulas, tal que:

I La ra´ız r de T est´a etiquetado por U(r ) = {A1, . . . An}.

I Para cada hoja l de T , con etiqueta U(l ), no marcada, hacer:

1. Si U(l ) es un conjunto de literales, entonces:

1.1 Si existe un par de literales complementarios en U(l ), marcar con × (y se denomina hoja cerrada).

1.2 Si no existe tal par, marcar con (hoja abierta).

2. Si U(l ) no es un conjunto de literales, elegir A de U(l ) no literal.

2.1 Si A es una α–f´ormula, entonces a˜nadir un hijo l⁰ de l con U(l⁰) = (U(l ) \ {A}) ∪ {α1, α2} (α2puede no existir).

2.2 Si A es una β–f´ormula, entonces a˜nadir dos hijos l⁰, l⁰⁰ con etiquetas

U(l⁰) = (U(l )\{A})∪{β1} y U(l⁰⁰) = (U(l )\{A})∪{β2}

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Algoritmos para SAT

Propiedades de los tableros completos

I La construcci´on siempre termina. El tablero final se denomina tablero completo.

I Un tablero T es cerrado si todas sus hojas son cerradas. En otro caso es abierto.

Teorema. (Correcci´on y Completitud)

Sea S un conjunto de f´ormulas y T un tablero completo para S .

1. Correcci´on: Si T es cerrado, entonces S es insatisfactible.

2. Completitud: Si S es insatisfactible, entonces T es cerrado.

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Algoritmos para SAT

Extrayendo modelos de un tablero completo

I Un conjunto de f´ormulas {A1, . . . , An} admite un tablero completo abierto si y s´olo si es un conjunto satisfactible.

I Adem´as cada rama abierta del tablero completo define un modelo.

I Si U es la etiqueta de una hoja abierta, podemos obtener un modelo v del conjunto {A1, . . . , An}, como sigue

I v (p) = 1 si p ∈ U ´o ¬p /∈ U, y

I v (p) = 0 si ¬p ∈ U.

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Algoritmos para SAT

Extrayendo modelos de un tablero completo (II)

p ∧ ¬q ∧ (p → ((q ∨ r ) → (p ∧ r )))

p, ¬q ∧ (p → ((q ∨ r ) → (p ∧ r ))) p, ¬q, p → ((q ∨ r ) → (p ∧ r ))

HH HH HH H

p, ¬q, ¬p

×

p, ¬q, (q ∨ r ) → (p ∧ r )

H HH HH p, ¬q, ¬(q ∨ r )

p, ¬q, ¬r

p, ¬q, p ∧ r p, ¬q, r

Induce v (p) = v (r ) = 1, v (q) = 0

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Algoritmos para SAT

Tableros completos y FND

I Un tablero completo para una f´ormula F puede utilizarse para obtener una FND de F .

I Si T es un tablero completo para F , procedemos como sigue:

1. Si U₁,. . . , U_k son los conjuntos de literales que etiquetan las hojas abiertas de T , formamos para cada U_j una conjunci´on, C_j, con todos los literales de U_j. 2. Una FND de F se obtiene formando la disyunci´on

C₁∨ · · · ∨ C_k.

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Algoritmos para SAT

Tableros y FND: Ejemplo

Si F es la f´ormula q ∧ s ∧ (q → (r → ¬p)) q ∧ s ∧ (q → (r → ¬p))

q, s ∧ (q → (r → ¬p)) q, s, (q → (r → ¬p))

HH HH H q, s, ¬q

×

q, s, r → ¬p

HH H q, s, ¬r

q, s, ¬p

Una FND de F es (q ∧ s ∧ ¬r ) ∨ (q ∧ s ∧ ¬p).

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Algoritmos para SAT

Tableros y FNC

I Para obtener una FNC de una f´ormula F nos basamos en la siguiente observaci´on:

I Si G es una FND de ¬F , aplicando a ¬G las leyes de De Morgan y eliminaci´on de negaciones dobles transformamos ¬G en una FNC de F .

I Por tanto, para obtener una FNC de F seguimos el siguiente procedimiento:

1. Calculamos un tablero completo para ¬F . 2. Si U₁, . . . , U_k son los conjuntos de literales que

etiquetan las hojas abiertas del tablero completo para

¬F , formamos para cada Uj una disyunci´on Dj con los literales complementarios de los literales de Uj. 3. Una FNC de F es la conjunci´on

D1∧ · · · ∧ Dk.

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Algoritmos para SAT

Tableros y FNC: Ejemplos

Sea F la f´ormula s ∧ ((¬r → p) → q).

1. Una FND de ¬F es G ≡ ¬s ∨ (r ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬q) 2. Ahora ¬G proporciona una FNC de F :

F ≡ ¬G ≡ ¬(¬s ∨ (r ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬q))

≡ ¬¬s ∧ ¬(r ∧ ¬q) ∧ ¬(p ∧ ¬q))

≡ s ∧ (¬r ∨ ¬¬q) ∧ (¬p ∨ ¬¬q))

≡ s ∧ (¬r ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)

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Algoritmos para SAT

Tableros y FNC: Ejemplo (II)

Si F es la f´ormula s ∧ ((¬r → p) → q). Calculamos un tablero completo para ¬F :

¬(s ∧ ((¬r → p) → q))

H HH HH HH

¬s disyunci´on: s

¬((¬r → p) → q)

¬r → p, ¬q

H HH HH r , ¬q

disyunci´on: ¬r ∨ q

p, ¬q

disyunci´on: ¬p ∨ q Una FNC de F es s ∧ (¬r ∨ q) ∧ (¬p ∨ q).

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Algoritmos para SAT

Consecuencia l´ ogica

Utilizamos la siguiente reducci´on:

{A₁, . . . A_n} |= A ⇐⇒ {A₁, . . . , A_n, ¬A} admite un tablero cerrado.

Por ejemplo, {p → q, q ∨ r → s} |= p → s.

p → q, q ∨ r → s, ¬(p → s) p → q, q ∨ r → s, p, ¬s

HH HH HH

¬p, q ∨ r → s, p, ¬s

×

q, q ∨ r → s, p, ¬s

HH HH H q, ¬(q ∨ r ), p, ¬s

q, ¬q, ¬r , p, ¬s

×

q, s, p, ¬s

×

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Algoritmos para SAT

El algoritmo DPLL

I Es un algoritmo para determinar la satisfactibilidad de un conjunto de cl´ausulas.

I El algoritmo DPLL es un refinamiento (presentado en 1962 por Davis, Logemann y Loveland) de un algoritmo propuesto por Davis y Putnam (en 1960).

I DPLL es la base de muchos “SAT solvers”: programas para determinar la satisfactibilidad de un conjunto de f´ormulas proposicionales (habitualmente, cl´ausulas).

I Puede utilizarse como algoritmo de decisión, pero si la respuesta es positiva también permite obtener una valoración que es modelo del conjunto de cláusulas de entrada.

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Algoritmos para SAT

Estructura del algoritmo

I Podemos distinguir dos partes en el algoritmo:

1. Propagación de unidades. Esta parte está dedicada a la simplificación del conjunto sobre el que se trabaja.

2. División. Esta parte organiza la búsqueda de una valoración que muestre que el conjunto es satisfactible.

I El algoritmo puede describirse de manera recursiva:

I Dado un conjunto de cl´asulas S , en una primera fase simplificamos S mediante la propagaci´on de unidades.

I Si tras este proceso el conjunto S queda vac´ıo, el conjunto es satisfactible.

I Si durante el proceso de simplificaci´on aparece la cl´ausula vac´ıa, el conjunto es insatisfactible.

I Una vez simplificado S , se obtienen mediante división dos conjuntos S⁰ y S⁰⁰a los que volvemos a aplicar el procedimiento de simplificación y división.

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Algoritmos para SAT

Propagaci´ on de unidades

Esta fase utiliza dos reglas para simplificar el conjunto de cl´ausulas, S , sobre el que se trabaja.

I Se elige una cl´ausula unitaria L ∈ S y se aplican consecutivamente las dos reglas siguientes:

1. Subsunción unitaria. Se eliminan de S todas las cláusulas subsumidas por L, es decir, que contengan el literal L (inluida la propia cláusula L).

2. Resoluci´on unidad. Se elimina el literal complementario L^c de todas las cl´ausulas de S .

I El proceso vuelve a repetirse hasta que no queden cl´ausulas unitarias en S .

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Algoritmos para SAT

Divisi´ on

I Tras el proceso de simplificaci´on si el algoritmo no ha parado, entonces S no contiene cl´ausulas unitarias.

I Se elige un literal L que aparezca en una cl´ausula de S y se construyen los conjuntos: S ∪ {L} y S ∪ {L^c}. A continuaci´on:

1. Se aplica recursivamente el procedimiento a S ∪ {L}; es decir, aplicamos de nuevo propagación de unidades (eligiendo necesariamente la cláusula unitaria L) y después división, etc.

2. Si S ∪ {L} resulta ser insatisfactible, aplicamos el procedimiento a S ∪ {L^c}.

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Algoritmos para SAT

Ejemplo

S = {{a, b}, {¬a, b}, {a, ¬b}, {a, ¬d }, {¬a, ¬b, ¬c}, {b, ¬c, }, {c, ¬f }, {f }}

I Propagaci´on de unidades:

f :

{{a, b}, {¬a, b}, {a, ¬b}, {a, ¬d }, {¬a, ¬b, ¬c}, {b, ¬c}, {c}}

c:

{{a, b}, {¬a, b}, {a, ¬b}, {a, ¬d }, {¬a, ¬b}, {b}}

b:

{{a}, {a, ¬d }, {¬a}}

¬a:

{, {d}}

I Insatisfactible.

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Algoritmos para SAT

Ejemplo (II)

{{p, q, r }, {¬p, q, r }, {¬q, r }, {¬q, ¬r }, {q, ¬r }}

H HH HH HH HH

p

{{q, r }, {¬q, r }, {q, ¬r }, {¬q, ¬r }}

H HH H

q

{{r }, {¬r }}

r

{}

¬q

{{r }, {¬r }}

r

{}

¬p

{{q, r }, {¬q, r }, {q, ¬r }, {¬q, ¬r }}

H HH H

q

{{r }, {¬r }}

r

{}

¬q

{{r }, {¬r }}

r

{}

I Por tanto,

S = {{p, q, r }, {¬p, q, r }, {¬q, r }, {¬q, ¬r }, {q, ¬r }}

es insatisfactible.

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Algoritmos para SAT

Ejemplo (III)

S = {{p, q, r }, {¬p, q, r }, {p, ¬q}, {p, r }, {¬p, ¬q, r }, {¬p, q, ¬r }, {¬p, ¬q, ¬r }}

S

HH HH HH H

p

{{q, r }, {¬q, r }, {q, ¬r }, {¬q, ¬r }}

HH HH

q

{{r }, {¬r }}

r

{}

¬q

{{r }, {¬r }}

r

{}

¬p

{{q, r }, {¬q}, {r }}

r

¬q

∅

¡Satisfactible!

I Un modelo de S est´a dado por v (p) = 0, v (r ) = 1, v (q) = 0.