3.1. Modelo matemático

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8 3 El P´endulo F´ısico Simple

suave a trozos, se hace el análisis matemático del modelo mediante el método de Filippov.

Por ´ultimo, se presentan los experimentos num´ericos y se discuten los resultados.

3.1. Modelo matem´ atico

La Figura3-1 representa un péndulo f´ısico real y los principales parámetros que lo caracterizan. Particularmente, el movimiento del péndulo está restringido al plano x − y. Por otra parte, el eje de rotación del péndulo se encuentra en el punto de apoyo o juntura O, mientras que el eje denotado por z se ubica en el centro de masa del péndulo; además, tanto el eje de rotación del péndulo como el eje z son perpendiculares al plano x − y. Adicionalmente, m corresponde a la masa, I es el momento de inercia con respecto al eje z y r mide la distancia entre la juntura O y z. Por ultimo, se presentan las variables u y ψ; la primera representa la fuerza externa aplicada al péndulo en la juntura O, y la segunda determina la posición del péndulo con respecto al semieje negativo y.

O

u

x y

ψ

z

m, I

r

Figura 3-1.: Modelo del p´endulo f´ısico simple.

Ahora, el modelo matemático que aproxima la dinámica del sistema se deduce a partir del método de Lagrange [19]. En este sentido, se establece la interacción de la energ´ıa mecánica en el péndulo, es decir, el balance entre su energ´ıa cinética T y su energ´ıa potencial U . As´ı, se define la ecuación de Lagrange (3-1), donde se presenta la relación entre T y U , en función de ψ y sus derivadas con respecto al tiempo t. Además, se considera al péndulo f´ısico como un sistema no conservativo, lo que implica que fuerzas externas tales como el torque u o la fricción en O, ejerzan trabajo en él. En particular, en la Ecuación (3-1) estas variaciones de

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3.1 Modelo matem´atico 9

energ´ıa se representan con el t´ermino Q.

d dt

∂T

∂ ˙ψ

− ∂T

∂ψ +∂U

∂ψ = Q. (3-1)

A continuaci´on se deducen las expresiones algebraicas de T y U . Para el caso de Q, se dan a conocer las expresiones que lo componen.

3.1.1. Energ´ıa cin´ etica

Nuevamente, de acuerdo a [19], la energ´ıa cin´etica de un cuerpo en rotaci´on se puede definir como

T = 1

2I ˙ψ². (3-2)

No obstante, para este sistema la Ecuación (3-2) debe ser complementada porque el centro de masa es perpendicular al eje z y no al eje de rotación del péndulo (ver Figura 3-2). Por lo tanto, se crea la necesidad de encontrar la expresión del momento de inercia con respecto al eje de rotación del sistema.

r

Eje de rotación

eje z

O

Figura 3-2.: Condiciones de rotaci´on del p´endulo f´ısico.

As´ı, para calcular T se hace uso del Teorema 1 conocido como teorema de Steiner o de ejes paralelos.

Teorema 1 El momento de inercia con respecto a cualquier eje de rotación paralelo al eje de rotación que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia que pasa por el centro de masa, más el producto entre la masa y el cuadrado de la distancia que separa a los dos ejes.

(3)

De esta manera, sustituyendo I + mr² en la Ecuaci´on (3-2), la energ´ıa cin´etica se fija como T = 1

2 I + mr²ψ˙². (3-3)

3.1.2. Energ´ıa potencial

Ahora, al igual que para el caso anterior la expresión de la energ´ıa potencial presentada en la Ecuación (3-4) se toma de [19], donde m representa la masa del sistema, g es el campo gravitatorio de la tierra, y h mide la altura del centro de masa con respecto al punto más bajo que puede ocupar (ver Figura3-3).

U = mgh. (3-4)

r

h

z

y

x ψ

z

Figura 3-3.: Altura del centro de masa con respecto a su punto m´as bajo.

En este sentido, a partir de la Figura3-3se puede deducir que h corresponde a r (1 − cos (ψ)).

De este modo, sustituyendo esta expresi´on en la Ecuaci´on (3-4), la energ´ıa potencial del sistema se fija como

U = mgr (1 − cos (ψ)) . (3-5)

3.1.3. El p´ endulo f´ısico como un sistema no conservativo

Como se mencionó anteriormente, se considera al péndulo f´ısico como un sistema no conservativo. Una de varias razones, es porque parte de su energ´ıa mecánica se disipa en forma de calor por efecto de la fricción. Otra, debido a que el péndulo puede ser excitado por fuerzas

(4)

externas no potenciales, tales como, las generadas por un motor. En este sentido, se considera necesario incluir en el modelo matemático, las expresiones que aproximen las variaciones de energ´ıa mecánica debido a la fricción y a las fuerzas externas.

Para el caso del péndulo f´ısico mostrado en la Figura3-1, se considera únicamente la fricción que se genera en la juntura O. Sin embargo, construir un modelo que describa los efectos de la fricción no es una tarea sencilla [12, 13]. Adicionalmente, en la literatura existe una cantidad limitada de trabajos orientados a investigar los péndulos con fricción.

Teniendo en cuenta lo anterior, el modelo matemático de la fricción se tomó de [14]. Particu- larmente, se hizo esta elección porque dentro de esta investigación el modelo y los parámetros que lo caracterizan fueron capaces de describir satisfactoriamente la dinámica del sistema, al comparar las simulaciones con los datos tomados experimentalmente. Además, la elección también fue motivada debido a que la forma en que el sistema es excitado con una fuerza externa resulta conveniente a la hora de aplicar la estrategia de control ZAD. As´ı, el modelo de la fricción se define en (3-6). (Para más detalles acerca del modelo y sus parámetros ver [11,14]).

3c ˙ψ + (T₁+ T₂ + µN ) sgn ˙ψ h

(1 − µ⁰) e^−c⁰|^ψ^˙| + µ⁰i

, (3-6)

donde sgn es la función matemática signo, e es la constante de Euler, T₁ y T₂ son componentes del torque ejercido por la fricción seca, µ⁰ y c⁰ permiten aproximar el efecto de la fricción a bajas velocidades, c es un coeficiente de amortiguamiento, y µ es el coeficiente de proporcionalidad de la componente N que se fija como

N = m r

g²+ 2gr

cos (ψ) ˙ψ²+ sin (ψ) ¨ψ

+ r² ˙ψ⁴+ ¨ψ²

. (3-7)

Además, para el modelo presentado en (3-6), cabe señalar que el término que contiene a la función signo corresponde a la fricción seca del sistema; mientras que el término restante modela a la fricción viscosa.

Por otra parte, con relación al otro elemento que causa variaciones de energ´ıa dentro del sistema, es decir, la fuerza externa u se debe considerar como el torque que se aplica en el eje de rotación del péndulo. De esta manera, el término Q de la formulación de Lagrange (3-1) se define como en la Ecuación (3-8). Con lo que respecta a los signos de los diferentes términos que componen a Q, la convención elegida se hizo teniendo en cuenta su efecto en la energ´ıa mecánica del sistema; as´ı, los elementos que aportan energ´ıa tal como el torque u, se toman como positivos; y los elementos que la disipan, como por ejemplo la fricción seca y viscosa, se toman como negativos.

Q = u − 3c ˙ψ − (T₁+ T₂+ µN ) sgn ˙ψ h

(1 − µ⁰) e^−c⁰|^ψ^˙| + µ⁰i

. (3-8)

(5)

Finalmente, al sustituir las Ecuaciones (3-3), (3-5) y (3-8) en la ecuación de Lagrange (3-1), y al hacer las operaciones correspondientes, el modelo matemático que se usa para estudiar la dinámica del péndulo f´ısico corresponde a

I + mr²ψ + mgrsen (ψ) = u − 3c ˙¨ ψ − (T₁+ T₂+ µN ) sgn ˙ψ h

(1 − µ⁰) e^−c⁰|^ψ^˙| + µ⁰i

. (3-9) donde N sigue estando definido por la Ecuaci´on (3-7).

Ahora, los valores numéricos de cada uno de los parámetros que constituyen el modelo matemático son tomados de [14]. Además, es necesario resaltar que la implementación f´ısica del péndulo hecha en la citada investigación, permitió obtener cada uno de estos valores a partir de la estimación con datos tomados experimentalmente y la medición directa de las caracter´ısticas f´ısicas del sistema. Particularmente, estos valores están consignados en la Tabla 3-1. Finalmente, al sustituir los valores de la Tabla (3-1) en las Ecuaciones (3-7) y (3-9), se obtiene una expresión que además de describir la dinámica del sistema en términos de la posición ψ ∈ R y sus derivadas con respecto al tiempo t ∈ R, permite asignar valores arbitrarios a la fuerza externa u. Esta expresión corresponde a la Ecuación (3-10).

Tabla 3-1.: Par´ametros del modelo matem´atico (3-9) con sus respectivos valores.

Par´ametro Valor c[N · m · s] 5.32 · 10⁻⁴ I[Kg · m²] 37.94 · 10⁻³

r[m] 54.95 · 10⁻³

m[Kg] 4.21

T₁[N · m] 97.53 · 10⁻³ T2[N · m] 13.77 · 10⁻³

µ[m] 0

µ⁰[−] 1

c⁰[s/rad] 1 g[m/s²] 9.812

ψ = 19.7393u − 44.8065 · sin (ψ) − 0.0315 ˙¨ ψ − 2.1969 · sgn ˙ψ

. (3-10)

En particular, se considera que la observación tanto de la posición como de la velocidad del péndulo es necesaria para hacer un análisis adecuado de la dinámica del sistema. En este sentido, haciendo los cambios de variable φ₁ = ψ y φ₂ = ˙ψ, la Ecuación (3-10) se puede expresar como el sistema de ecuaciones (3-11), el cual, rige la dinámica del péndulo sobre el

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espacio de estados definido como {(φ₁, φ₂) ∈ R²}. En particular, φ₁ representa a la posici´on del p´endulo y se mide en radianes (rad), mientras que φ₂ corresponde a su velocidad y se da en radianes por segundo (rad/seg).

φ˙₁ = φ₂

φ˙₂ = 19.7393u − 44.8065 · sin (φ₁) − 0.0315φ₂− 2.1969 · sgn (φ₂) . (3-11)

(7)

4. An´ alisis del Modelo

4.1. Sistemas Suaves a Trozos

Cuando el fenómeno de la fricción es tenido en cuenta dentro de un modelo matemático, sus efectos dentro de la dinámica del sistema deben ser analizados. En el caso del péndulo f´ısico, a partir de la segunda ecuación del sistema (3-11), se puede inferir que la fricción está co- rrelacionada con la velocidad. As´ı, con respecto a la fricción viscosa, su incidencia depende directamente del valor de φ₂. Por otra parte, el efecto de la fricción seca está ligado a la fun- ción matemática signo, cuyo argumento, nuevamente es φ₂. Adicionalmente, la función signo afecta la estructura dinámica que gobierna al péndulo f´ısico, siendo necesario diferenciar las dinámicas cuando φ₂ es mayor, menor o igual que cero. En este sentido, el comportamiento del sistema se puede construir, considerando al péndulo f´ısico como un sistema suave a trozos.

Los sistemas suaves a trozos o PSS, por sus siglas en ingl´es, son descritos por un conjunto finito de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). En general

˙x = f⁽ⁱ⁾(x) , x ∈ S_i ⊂ Rⁿ, (4-1)

donde x representa los estados del sistema, S_i, para i = 1, 2, ..., m, son regiones abiertas y no solapadas entre s´ı, las cuales están separadas por subvariedades de dimensión (n − 1) conocidas como fronteras. Las funciones f⁽ⁱ⁾ y las fronteras se toman como suaves y la unión entre todas las fronteras Σ junto con todas las S_i abarca todo el espacio de estados [31].

Además, se pueden diferenciar dos tipos de PSS. Por un lado, si f⁽ⁱ⁾(x) = f^(j)(x) en cualquier punto de la frontera Σ_ij que separa a las regiones S_i y S_j, los PSS se clasifican como continuos. En estos sistemas, el vector ˙x está definido de manera única en cualquier punto del espacio de estados, y las órbitas en la región S_i que se aproximan transversalmente a la frontera Σ_ij, la cruzan para entrar en la región adyacente S_j. Por otra parte, cuando dos vectores distintos ˙x, definidos como f⁽ⁱ⁾(x) y f^(j)(x) se asocian al mismo punto x ∈ Σ_ij , los PSS son llamados discontinuos o sistemas de Filippov. Particularmente, cuando las componentes transversales de f⁽ⁱ⁾(x) y f^(j)(x) tienen el mismo signo, la órbita cruza la frontera, pero en el punto en que lo hace se presenta una discontinuidad en su vector tangente. Por el contrario, si las componentes transversales de f⁽ⁱ⁾(x) y f^(j)(x) tienen signos opuestos, el estado del sistema permanece en la frontera, y dependiendo de su dinámica se desliza o no sobre ella. En la mayor´ıa de los casos, la dinámica sobre la frontera se puede definir a partir

(8)

4.2 An´alisis de Filippov Aplicado al P´endulo F´ısico 15

del método de análisis convexo de Filippov [23, 24], el cual aproxima los movimientos del sistema sobre la frontera Σ_ij como las soluciones sobre Σ_ij de las EDOs continuas ˙x = g (x), donde g (x) es la combinación convexa entre f⁽ⁱ⁾(x) y f^(j)(x) tangente a Σ_ij en x.

4.2. An´ alisis de Filippov Aplicado al P´ endulo F´ısico

Ahora, a partir del modelo matemático (3-11), se infiere que el péndulo f´ısico es un PSS discontinuo. De esta manera, teniendo en cuenta que sgn (φ₂) = φ₂/|φ₂|, para φ₂ > 0, la dinámica del sistema se rige por la Ecuación (4-2). Por el contrario, cuando φ₂ < 0, la dinámica del péndulo está sujeta a la Ecuación (4-3). Finalmente, la frontera φ2 = 0 representa una zona indefinida, porque no se tiene un conjunto de ecuaciones de estado que describa las órbitas del sistema.

f⁽¹⁾(u, φ₁, φ₂) =

φ˙₁ = φ₂

φ˙2 = 19.7393u − 44.8065 · sin (φ1) − 0.0315φ2− 2.1969 . (4-2)

f⁽²⁾(u, φ₁, φ₂) =

φ˙₁ = φ₂

φ˙₂ = 19.7393u − 44.8065 · sin (φ₁) − 0.0315φ₂+ 2.1969 . (4-3) Para aproximar la dinámica del sistema en la frontera se usa el método convexo de Filippov [23, 10, 24, 30]. En efecto, considerando el sistema planar de Filippov como en la Ecuación (4-4), es decir

˙z = f⁽¹⁾(u, φ1, φ2) , (φ1, φ2) ∈ S1,

f⁽²⁾(u, φ₁, φ₂) , (φ₁, φ₂) ∈ S₂, (4-4)

donde la frontera de discontinuidad Σ se describe como Σ = {(φ₁, φ₂) ∈ R² : H (φ₁, φ₂) = 0}, siendo H una funci´on escalar suave con gradiente no nulo ∇H sobre Σ. Adicionalmente, las superficies S₁y S₂se definen como S₁ = {(φ₁, φ₂) ∈ R² : φ₂ > 0} y S₂ = {(φ₁, φ₂) ∈ R² : φ₂ < 0}.

As´ı mismo, fijando convenientemente la función escalar H como H (φ₁, φ₂) = φ₂, con gradiente ∇H = (0, 1), el método de Filippov también permite definir la expresión σ (u, φ₁, φ₂) como

σ (u, φ₁, φ₂) = ∇H, f⁽¹⁾(u, φ₁, φ₂) ∇H, f⁽²⁾(u, φ₁, φ₂) , (4-5) donde h·, ·i denota al producto punto.

En particular, con lo que respecta a la expresión σ (u, φ₁, φ₂), su importancia radica en que permite determinar el comportamiento de las órbitas en la frontera de conmutación.

(9)

16 4 An´alisis del Modelo

As´ı, el conjunto de puntos para los cuales las órbitas cruzan la frontera corresponde a Σ_c = {(φ₁, φ₂) ∈ Σ : σ (u, φ₁, φ₂) > 0}, donde Σ_c ⊂ Σ. Por otra parte, el conjunto de puntos donde las órbitas, debido a la dinámica que gobierna al sistema, son obligadas a per- manecer sobre la frontera, equivale al complemento de Σc en Σ, y se fija como Σs = {(φ₁, φ₂) ∈ Σ : σ (u, φ₁, φ₂) ≤ 0}. Finalmente, sustituyendo el gradiente ∇H y las Ecuaciones (4-2) y (4-3) en la Ecuación (4-5), para el caso del péndulo f´ısico, la expresión σ (u, φ₁, φ₂) se define como

σ (u, φ1, φ2) = u²− (4.5413 · sin (φ1)) u + 5.1558 · sin²(φ1) − 0.0123. (4-6) Ahora, el análisis se complementa mediante la construcción de la dinámica del péndulo cuando las órbitas permanecen en la frontera de conmutación. En efecto, para cada punto (φ₁, φ₂) ∈ Σ_s, los vectores f⁽¹⁾(u, φ₁, φ₂) y f⁽²⁾(u, φ₁, φ₂) se asocian con el método de Filippov a través de la combinación g (u, φ₁, φ₂). Particularmente, g (u, φ₁, φ₂) se define como

g (u, φ₁, φ₂) = λf⁽²⁾(u, φ₁, φ₂) + (1 − λ) f⁽¹⁾(u, φ₁, φ₂) , (4-7) donde

λ = ∇H, f⁽¹⁾(u, φ1, φ2)

h∇H, f⁽¹⁾(u, φ₁, φ₂) − f⁽²⁾(u, φ₁, φ₂)i. (4-8) En este caso, y luego de simplificar, la combinaci´on g (u, φ₁, φ₂) se expresa de acuerdo a la Ecuaci´on (4-9) cuando ∇H y las Ecuaciones (4-2) y (4-3) se sustituyen en (4-7) y (4-8).

g (u, φ₁, φ₂) =

φ˙₁ = φ₂

φ˙₂ = 0 . (4-9)

De esta manera, se tienen todos los elementos para definir el comportamiento del sistema cuando alcanza la frontera de conmutación. Por lo tanto, para cualquier punto (φ₁, φ₂) sobre Σ en tiempo t, si σ (u, φ₁, φ₂) > 0, la órbita cruzará la frontera, lo que implica que (φ1, φ2) ∈ Σc. Por el contrario, si σ (u, φ1, φ2) ≤ 0, entonces, (φ1, φ2) ∈ Σs y el comportamiento del sistema estará sujeto a la Ecuación (4-9).

Para completar, se considera necesario definir dos tipos de puntos que podr´ıan presentarse en una frontera de conmutación. El primero aparece cuando la dinámica en Σ_s es nula, lo cual significa que el campo vectorial g (u, φ₁, φ₂) = 0; particularmente, esta condición define a los llamados puntos de pseudo-equilibrio P . A fin de que P se clasifique como no degenerado, no debe ser equilibrio de f⁽¹⁾ ni de f⁽²⁾. El segundo caso, surge cuando g (u, φ₁, φ₂) es tangente a f⁽¹⁾ o a f⁽²⁾, es decir, ∇H, f⁽ⁱ⁾(φ₁, φ₂) = 0. En este sentido, se definen los puntos que delimitan la zona Σ_s, los cuales son llamados puntos de tangencia T o puntos de tipo fold.

Al igual que en el caso anterior, estos puntos no deben ser equilibrios de f^(1,2). Por ´ultimo, para un punto T tangente a f⁽¹⁾, se dice que es un punto de tangencia visible, si una ´orbita

(10)

4.3 Dinámica del Péndulo F´ısico en la Frontera de Conmutación 17

regida por f⁽¹⁾, que inicia su trayectoria en T, pertenece a S₁ para un t lo suficientemente peque˜no. Por el contrario, el punto se toma como invisible si la ´orbita resultante pertenece a S₂ [31].

Por último, el análisis se complementa con el estudio de los continuos de pseudo-equilibrios (CPE de ahora en adelante). Adicionalmente, se fijan diferentes valores en los parámetros que caracterizan al péndulo f´ısico, lo que permite inducir una colisión entre ellos.

4.3. Din´ amica del P´ endulo F´ısico en la Frontera de Conmutaci´ on

Antes de que las colisiones de CPEs sean presentadas, dos casos especiales deben ser exami- nados. El primero permite establecer el conjunto de valores de u para los cuales Σ siempre es cruzada por las órbitas en el espacio de estados. En el segundo, los elementos obtenidos a partir del análisis de Filippov se usan para analizar los CPEs. Además, la revisión de este caso se complementa mediante el análisis de la respuesta natural del sistema. Particular- mente, la posición de los CPEs en Σ se calculan anal´ıticamente, y los puntos especiales de deslizamiento se clasifican de acuerdo a [28] y [31].

4.3.1. Zonas de cruce

Ahora, sea (φ1, φ2) un estado sobre la frontera Σ en tiempo t. Si σ (u, φ1, φ2) > 0 ∀ (φ1, φ2), entonces las órbitas siempre cruzan la frontera de conmutación [31,16]. As´ı, cuando la Ecua- ción (4-6) se reescribe como en la Ecuación (4-10), se infiere que la condición σ (u, φ₁, φ₂) > 0 se satisface cuando los multiplicadores a la derecha de la igualdad tienen el mismo signo. En este sentido, el signo de σ (u, φ₁, φ₂) depende de u y de una función seno:

σ (u, φ₁, φ₂) = (u − (2.2706 · sin (φ₁) + 0.1110)) (u − (2.2706 · sin (φ₁) − 0.1110)) . (4-10) Con lo que respecta a la función seno, el conjunto discreto {−1, 1} contiene los valores más bajo y más alto que la función puede tomar. Por un lado, si el primer valor del conjunto se sustituye en la Ecuación (4-10), es decir, fijando sin (φ₁) = −1, la condición σ (u, φ₁, φ₂) > 0 se cumple cuando

u − (2.2706 · (−1) − 0.1110) < 0. (4-11)

As´ı, de acuerdo a la Ecuación (4-11), las órbitas cruzan la frontera Σ si u < −2.3816. Para este caso, las órbitas se presentan en la Figura 4.1(a). Por otra parte, fijando sin (φ₁) = 1, la condición σ (u, φ₁, φ₂) > 0 se satisface si

u − (2.2706 · (1) + 0.1110) > 0. (4-12)

(11)

De esta manera, a partir de la Ecuaci´on (4-12), para u > 2.3816, nuevamente todas las

´

orbitas que lleguen a Σ, cruzar´an por ella. Particularmente, las trayectorias de las ´orbitas se describen en la Figura 4.1(b).

Σ

S¹

S²

(a)

S¹

S²

Σ

(b)

Figura 4-1.: Esquema de las ´orbitas para (a) si u < −2.3816 y (b) si u > 2.3816.

4.3.2. Continuos de pseudo-equilibrios

De acuerdo a la sección 4.3.1, si al parámetro u se le asigna un valor tomado del intervalo [−2.3816, 2.3816], entonces la expresión σ (u, φ₁, φ₂) puede tomar valores menores o iguales a cero. Por lo tanto, el método convexo de Filippov se usa para construir la dinámica del sistema sobre la frontera de conmutación. En efecto, se debe tener presente que para σ (u, φ₁, φ₂) ≤ 0, el comportamiento del sistema se aproxima mediante la Ecuación (4-9), es decir, el campo vectorial g (u, φ₁, φ₂).

Ahora, dado que φ2 = 0 para todo (φ1, φ2) ∈ Σs, de acuerdo a g (u, φ1, φ2), la dinámica del sistema siempre es nula. Sin embargo, a partir de las Ecuaciones (4-2) y (4-3) se con- cluye que la condición f^(1,2)(φ₁, φ₂) 6= 0 siempre se cumple, y adicional a ello los vectores f^(1,2)(φ₁, φ₂) son transversales a Σ_s y anti colineales entre s´ı. Por lo tanto, se puede inferir que Σ_s está constituida por un CPE [28].

Además, atendiendo a lo sustentado en la sección4.2, donde se dan a conocer las condiciones que definen a los puntos de tangencia, para el caso del péndulo f´ısico se procede a determinar las expresiones anal´ıticas de estos puntos. Particularmente, para todo u ∈ [−2.3816, 2.3816], esas expresiones se infieren analizando los casos en que σ (u, φ₁, φ₂) = 0. En este sentido, reescribiendo la Ecuación (4-6) como

σ (u, φ₁, φ₂) = (φ₁− arcsin (0.4404u + 0.4887)) (φ₁− arcsin (0.4404u − 0.4887)) , (4-13)

(12)

los puntos de tangencia que delimitan a los CPE se pueden fijar como

T¹_u = (2nπ + arcsin (0.4404u + 0.04887) , 0) , (4-14)

T²_u = (2nπ + arcsin (0.4404u − 0.04887) , 0) , (4-15)

donde el n´umero de revoluciones del p´endulo a partir de 0 radianes se relaciona directamente con la variable n ∈ Z.

Además, debido a que el péndulo completa una rotación cada 2π radianes, a partir de la identidad trigonométrica

sin (π (2n + 1) − φ1) = sin (2nπ + φ1) , (4-16)

se puede inferir la existencia de otro conjunto de CPEs. Por lo tanto, los puntos de tangencia que delimitan a las nuevas sucesiones se definen en las Ecuaciones (4-17) y (4-18). Finalmente, la Figura (4-2) representa un CPE con sus puntos de tangencia.

T³_u = (π (2n + 1) − arcsin (0.4404u + 0.04887) , 0) , (4-17)

T⁴_u = (π (2n + 1) − arcsin (0.4404u − 0.04887) , 0) . (4-18)

Por último, se analiza la respuesta natural del sistema, es decir, cuando el torque externo que se aplica al péndulo es nulo. Por un lado, si no se considera la fricción seca dentro del modelo matemático (3-11), la dinámica se caracteriza por tener dos conjuntos de puntos singulares de suspensión. El primero contiene a todos los puntos asintóticamente estables que se localizan en (2nπ, 0). Adicionalmente, el segundo está constituido por todos lo puntos de silla inestables que se ubican en (π (2n + 1) , 0).

Por otra parte, cuando la fricción seca se incluye dentro del modelo, la incidencia que tiene dentro de la dinámica del sistema se puede caracterizar mediante el método de análisis convexo de Filippov. En efecto, cuando la fuerza externa se fija como u = 0, a partir de las Ecua- ciones (4-14) a (4-18) se puede inferir que dos continuos de pseudo-equilibrios, son inducidos.

En este sentido, el primer CPE est´a delimitado por los puntos de tangencia T¹₀ = (0.0488, 0) y T²₀ = (−0.0488, 0), mientras que el segundo por T³₀ = (3.0927, 0) y T⁴₀ = (3.1904, 0).

Ahora, con lo que respecta a la estabilidad de los puntos de tangencia, teniendo en cuenta los criterios presentados en la secci´on 4.2, se puede establecer que T¹₀ y T²₀ son puntos de

(13)

Puntos de tangencia

Puntos de pseudo-equilibrio Tun

Σ

S¹

S²

.

Figura 4-2.: Ilustraci´on de la zona Σs cuando esta formada por un continuo de pseudo- equilibrios.

tangencia invisibles. Similarmente, los mismos criterios permiten llegar a la conclusi´on de que T³₀ y T⁴₀, son puntos de tangencia visibles.

Particularmente, en la Figura 4-3 se bosqueja la dinámica alrededor de los CPEs cuando u = 0. Además, se presenta la posición de los puntos de tangencia relativa a la trayectoria circular descrita por el péndulo.

Σ

S1

π(rad)

S1

S2 T0

1 T² T³ T⁴ Zona delimitada por y Zona delimitada por y

S²

0 0 0 T₀¹ T₀² T³₀ T⁴₀

Figura 4-3.: Ubicación de los CPEs dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento del péndulo, y dinámica de las órbitas alrededor de ellos cuando u = 0. Para este caso, los puntos de tangencia son: T¹₀ = (0.04888, 0), T²₀ = (−0.04888, 0), T³₀ = (3.0927, 0) y T⁴₀ = (3.1904, 0).

(14)

4.3.3. Colisiones entre continuos de pseudo-equilibrios

Con el objetivo de inducir una colisión entre dos CPEs, se le asignan diferentes valores al parámetro u. En efecto, a partir de las Ecuaciones (4-14) y (4-15), para cualquier punto de tangencia fijado arbitrariamente, se puede calcular el valor de u que lo induce. Por lo tanto, se considera pertinente escoger diferentes puntos cr´ıticos dentro del espacio de estados como tangencias para presentar la colisión entre dos continuos de pseudo-equilibrios. Particular- mente, la colisión se expone fijando n = 0.

Para empezar, se reduce la distancia que separa los CPEs. As´ı, cuando se asigna el punto (π/4, 0) a la Ecuaci´on (4-14), para n = 0, el valor del par´ametro u se calcula como sigue:

u = sin (φ₁ − 2nπ) − 0.04887

0.4404 ,

u = 1.4946. (4-19)

Sustituyendo u = 1.4946 en las Ecuaciones (4-14) y (4-15), se infiere que existe un CPE delimitado por T¹_1.4946 = (π/4, 0) y T²_1.4946 = (0.6552, 0). Adem´as, reemplazando el mismo valor de u en las Ecuaciones (4-17) y (4-18), se ubica al CPE restante entre los puntos T³_1.4946 = (3π/4, 0) y T⁴_1.4946 = (2.4863, 0). Por ´ultimo, este caso se expone en la Figura 4-4.

Se debe considerar que, en comparaci´on con la respuesta natural del sistema, cuando se fija u = 1.4946, la distancia que separa a los puntos de tangencia dentro de los CPEs en Σ_s, es mayor.

Zona delimitada por y Zona delimitada por y

T1.49

1 T1.49² T1.49³ T1.49⁴ T1.4946

1 T1.4946² T1.4946³ T1.4946⁴

π(rad)

Σ Σ

S¹

S²

S2

S¹

Figura 4-4.: Ubicación de los CPEs dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento del péndulo, y dinámica de las órbitas alrededor de ellos cuando u = 1.4946, Para este caso, los puntos de tangencia son: T¹_1.4946 = (0.7853, 0), T²_1.4946 = (0.6552, 0), T³_1.4946 = (2.3561, 0) y T⁴_1.4946 = (2.4863, 0).

(15)

Ahora, el análisis de la colisión inicia cuando el valor del parámetro u se fija de tal manera que los puntos T¹_u y T³_u definidos en las Ecuaciones (4-14) y (4-17) sean iguales. Por lo tanto, de acuerdo a la identidad trigonométrica (4-16), el punto donde (4-14) y (4-17) coinciden, corresponde a las coordenadas (π/2, 0). En efecto, evaluando el punto (π/2, 0) en la Ecuación (4-14), el valor de u se puede calcular como:

u = sin (π/2 − 2 (0) π) − 0.04887

0.4404 ,

u = 2.1596. (4-20)

Además, cuando se sustituye la Ecuación (4-20) en (4-17) se puede verificar que los nuevos puntos de tangencia T¹_2.1596 y T³_2.1596 se localizan en (π/2, 0). Asimismo, debido a la colisión entre las tangencias, se define un único CPE delimitado por las tangencias restantes T²_2.1596 = (1.1249, 0) y T⁴_2.1596 = (2.0166, 0). Particularmente, en la Figura 4-5 se muestra el CPE inducido, y dentro de él la colisión.

Colisión entre dos tangencias dentro de la zona delimitada por T_2.1596² T2.1596

y 4

T2.1596

2 T2.1596

4

π(rad)

Σ

S4

S²

Figura 4-5.: Ubicación del CPE dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento del péndulo y dinámica de las órbitas alrededor de él cuando u = 2.1596. Para este caso, los puntos de tangencia T¹_2.1596 y T³_2.1596 colisionan en (1.5707, 0), mientras que T²_2.1596 y T⁴_2.1596 se ubican en (1.1249, 0) y (2.0166, 0), respectivamente.

Siguiendo el incremento del parámetro u, se debe tener presente que si u > 2.1596 entonces el argumento de la función arcsin en la Ecuación (4-14) no pertenece al dominio [−1, 1]. Por lo tanto, para este caso el parámetro u se calcula asignando las coordenadas (1.3089, 0) a la Ecuación (4-15). De esta manera se obtiene

u = sin (1.3089 − 2 (0) π) + 0.04887

0.4404 ,

(16)

u = 2.3042. (4-21)

En este sentido, sustituyendo u = 2.3042 en la Ecuaci´on (4-18), los puntos de tangencia que delimitan al nuevo continuo de pseudo-equilibrios corresponden a T²_2.3042 = (1.3089, 0) y T⁴_2.3042 = (1.8325, 0). Particularmente, la distancia que separa a T²_2.3042 y T⁴_2.3042, es menor en comparaci´on con la distancia que existe entre T²_2.1596 y T⁴_2.1596. Adicionalmente, este caso se expone en la Figura 4-6.

T2.3042

2 T2.3042

4

π(rad)

Zona delimitada por

Σ

S1

S2

2.3042 y 2.3042

Figura 4-6.: Ubicación del CPE dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento del péndulo, y dinámica de las órbitas alrededor de él cuando u = 2.3042. Para este caso, los puntos de tangencia son: T²_2.3042 = (1.3089, 0) and T⁴_2.3042 = (1.8325, 0).

Finalmente, se induce la colisión entre los puntos de tangencia definidos en las Ecuacio- nes (4-15) y (4-18). Nuevamente, teniendo en cuenta la identidad trigonométrica (4-16), el parámetro u puede ser fijado de tal manera que las tangencias ya mencionadas, se locali- cen en el mismo punto dentro del espacio de estados. Por lo tanto, fijando las coordenadas (π/2, 0) a la Ecuación (4-15), la fuerza externa u se calcula como sigue:

u = sin (π/2 − 2 (0) π) + 0.04887

0.4404 ,

u = 2.3816. (4-22)

Sustituyendo la Ecuación (4-22) en (4-18), se prueba que los nuevos puntos de tangencia T²_2.3816 y T⁴_2.3816, coinciden en el punto (π/2, 0). En efecto, de acuerdo a la sección 4.3.1, se debe resaltar que 2.3816 corresponde al último valor que puede tomar u antes de que Σ_c abarque toda la frontera de conmutación. Finalmente, la Figura 4-7 presenta la colisión entre T²_2.3816 y T⁴_2.3816 y la dinámica a su alrededor.

(17)

Colisión entre dos tangencias

π(rad)

Σ

S2

S1

Figura 4-7.: Colisión entre dos puntos de tangencia dentro de la trayectoria descrita por el movimiento del péndulo y dinámica de las órbitas alrededor de ella cuando u = 2.3816. Particularmente, los puntos de tangencia T²_2.3816y T⁴_2.3816colisionan en el punto (1.5707, 0).

(18)

5. Simulaciones

Los resultados logrados a manera de simulación, se obtienen a partir de la implementación de un simulador basado en la programación orientada a eventos. Para este caso, se define un

´

unico evento el cual ocurre cuando alguna de las órbitas toca la frontera Σ. De este modo, dada una condición inicial y un tiempo de simulación, se da paso a la integración numérica, que según sea el caso, se hace a partir de uno de los tres sistemas de ecuaciones de estado f⁽¹⁾, f⁽²⁾ o g. As´ı, cuando φ2 > 0, esto indica que las órbitas evolucionan sobre la superficie S₁ y por lo tanto la integración numérica se hace con el campo f⁽¹⁾. Por el contrario, cuando φ₂ < 0, la evolución de las órbitas ocurre sobre la superficie S₂ y de esta manera la integra- ción numérica se debe realizar con el sistema f⁽²⁾. En el caso de la frontera de conmutación, es decir, cuando φ₂ = 0, la elección del campo vectorial se hace mediante los elementos obtenidos a partir del análisis de Filippov. En este sentido, cuando la órbita toca en algún punto a la frontera Σ y σ (u, φ1, φ2) > 0, en caso de que la componente vertical de f⁽²⁾ sea positiva en dicho punto, la integración numérica se ejecuta con f⁽¹⁾. En contraposición, si la componente vertical de f⁽¹⁾ es negativa en el punto donde la órbita toca a Σ, entonces la integración numérica se realiza con f⁽²⁾. Adicionalmente, cuando ocurre que σ (u, φ₁, φ₂) ≤ 0 sobre la frontera, la integración pasa a depender de g.

Ahora, el análisis teórico de la dinámica del péndulo f´ısico se verifica experimentalmente. En lo que respecta, se presentan las simulaciones obtenidas para cada uno de los casos presentados en la sección anterior, acompañadas de un diagrama de bifurcación donde se muestra la evolución de los CPEs para diferentes valores del parámetro u.

5.1. Resultados de las Simulaciones

Con lo que respecta a las zonas de cruce (ver sección 4.3.1), la Figura 5-1 muestra los resultados obtenidos. Por un lado, fijando u = −2.39, las trayectorias de las órbitas se presentan en la Figura5.1(a); particularmente, la elección de las condiciones iniciales se hizo teniendo en cuenta que, para valores negativos de u, el torque del peso es máximo cuando φ₁ = −π/2. Por otra parte, fijando u = 2.39, el comportamiento de las órbitas se presenta en la Figura 5.1(b); en este caso, se hace la elección de las condiciones iniciales considerando que para valores positivos de u el torque del peso es máximo cuando φ₁ = π/2.

(19)

26 5 Simulaciones

(a) u = −2.39 (b) u = 2.39

Figura 5-1.: Casos de cruce.

Ahora, con respecto a las simulaciones que se presentan a continuación, la selección de las condiciones iniciales se hizo en función de permitir la visualización de la dinámica alrededor del los CPEs cuando se trazan las trayectorias de las órbitas sobre el espacio de estados. En el caso de la respuesta natural, es decir, cuando u = 0, las simulaciones se presentan en las Figuras 5.2(a) y 5.2(b). Asimismo, para la asignación u = 1.4946, las órbitas cercanas a los puntos de tangencias inducidos se presentan en las Figuras 5.3(a)y 5.3(b).

(a) (b)

Figura 5-2.: Din´amica del sistema cuando u = 0.

Además, la Figura5-4presenta la primera colisión entre dos puntos de tangencia. De acuerdo a la sección4.3.3, la colisión ocurre cuando u = 2.1596. La presentación de las simulaciones continúa con la asignación de u = 2.3042. Para este caso la Figura5-5muestra los resultados obtenidos. Finalmente, fijando u = 2.3816 en la Figura 5-6 se presenta la última colisión entre dos tangencias y la dinámica a su alrededor.

Por ´ultimo, en el diagrama de bifurcaci´on que se muestra en la Figura5-7, se puede visualizar el comportamiento de los puntos de tangencia cuando u var´ıa entre −2.3816 y 2.3816.

(20)

5.1 Resultados de las Simulaciones 27

(a) (b)

Figura 5-3.: Din´amica del sistema cuando u = 1.4946.

Figura 5-4.: Colisi´on entre puntos de tangencia cuando u = 2.1596.

Figura 5-5.: Din´amica del sistema cuando u = 2.3042.