Máquinas de corriente alterna

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(1)Máquinas de corriente alterna. Luis Enrique Arango Jiménez.- Jorge Juan Gutiérrez Granada. Universidad Tecnológica de Pereira.

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(3) Máquinas de corriente alterna Luis Enrique Arango Jiménez. Universidad Tecnológica de Pereira. Jorge Juan Gutiérrez Granada. Universidad Tecnológica de Pereira. 2011.

(4) Este libro está hecho con ayuda de KOMA -Script y LATEX..

(5) Introducción. E. l trabajo que presentamos en este libro, recoge la aplicación sistemática durante varios años a la enseñanza de las Máquinas Eléctricas, como profesores de la Universidad Tecnológica de Pereira. En él confluye tanto el interés de cumplir un fin didáctico, como la probada experiencia en la comprobación de los desarrollos logrados. El libro pretende, partiendo de lo más simple a lo complejo, presentar una teorı́a unificada para las máquinas de corriente alterna desde el punto de vista de la conversión de energı́a electromecánica. El primer capı́tulo se preocupa de la obtención de las ecuaciones generales para el funcionamiento de una máquina eléctrica bifásica. Igualmente, utiliza una transformación de coordenadas con el fin de simplificar la presentación y solución de las ecuaciones. Adicionalmente, utiliza la transformación de tres ejes a dos ejes para extender los desarrollos a la máquina trifásica. El segundo capı́tulo particulariza la solución de las ecuaciones para el caso de la maquinaria sincrónica, haciéndose énfasis en el régimen transitorio de las soluciones. El tercer y último capı́tulo se dedica a la solución de las ecuaciones generales para el caso de la maquinaria de inducción en diversas variantes de funcionamiento. Aunque varios autores han trabajado sobre la teorı́a generalizada de las máquinas rotativas, sin embargo no hemos encontrado un texto apropiado para la enseñanza de la misma a nivel de estudiantes de Ingenierı́a. A llenar este vacı́o se orientó nuestro esfuerzo. El libro presenta numerosos desarrollos originales y algunos, a pesar de ser conocidos, se han adaptado de manera que armonicen con el estilo y enfoque general del trabajo. Consideración especial merece el análisis del corto-circuito en el generador sincrónico, tema casi que inabordable en el campo de la enseñanza de las máquinas eléctricas , y que en el libro que hoy entregamos se haya muy bien logrado. El trabajo realizado no agota el tema de por si. El campo de las técnicas numéricas de la solución a las ecuaciones, en situaciones que exceden el marco de las soluciones analı́ticas, se propuso. Se abre entonces una gran expectativa, para la continuación de este trabajo en el campo de la aplicación de técnicas computacionales, que partiendo de las ecuaciones generales no lineales, aborden cualquier situación posible de la maquinas eléctrica rotativa. Los autores agradecen las facilidades brindadas por la Universidad para que el propósito original se realizara y dedican este modesto aporte a sus respectivas esposas Pamela y Gloria. Luis Enrique Arango Jiménez Juan Jorge Gutiérrez Granada Universidad Tecnológica de Pereira.. I.

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(7) Índice general. 1. Ecuaciones 1.1. Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Aproximación para el caso de entrehierro no uniforme en máquinas de corriente alterna . . . . 1.2.1. Extensión para el caso de n par de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Campos magnéticos en las máquinas de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Campos concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Campos distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Máquina bifásica de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Cálculo de los parámetros circuitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuaciones eléctricas de equilibrio para la máquina bifásica de corriente alterna . . . . . . . . . 1.5.1. Simetrı́a en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Ajuste de las ecuaciones para polos salientes en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ecuación mecánica de equilibrio para la máquina bifásica de corriente alterna . . . . . . . . . . 1.6.1. Determinación del torque electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Extensión de la expresión del torque para polos salientes en el rotor . . . . . . . . . . . 1.6.3. Ley de Newton para el eje mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Solución de las ecuaciones generales de la máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Transformación Θ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Invariancia de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Aplicación de la transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Transformación de tres ejes a dos ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. La transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2. Incidencia de la transformación en la matriz de impedancias de la máquina real trifásica 1.9.3. Aplicación de la transformación a un sistema simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.4. Aplicación de la transformación a la máquina trifásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Componentes simétricas en la máquina de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2. Componentes simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3. Potencia en términos de las componentes simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4. Componente de secuencia cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.5. Efecto de la componente de secuencia cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 1 1 4 4 5 7 12 12 14 23 25 25 27 27 30 30 31 32 32 33 34 38 39 42 43 44 46 46 46 49 51 52 55 79. 2. La máquina sincrónica 2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ajuste de las ecuaciones para devanados amortiguadores . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 85 86 87. III.

(8) Índice general. IV. 2.2. Máquina sincrónica trifásica balanceada en regimen permanente y velocidad constante 2.3. Análisis fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Diagrama fasorial del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Diagrama fasorial del generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Reactancia sincrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Consideraciones sobre el signo del ángulo del par δ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Ajustes en el voltaje de excitación para cambiar el factor de potencia . . . . . . 2.4. Ecuación del eje mecánico para la máquina sincrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Devanados de amortiguación y/o arranque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Influencia del devanado amortiguador y/o de arranque en la ecuación del par . 2.5. Oscilaciones y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Par de sincronización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Criterio de áreas iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Operación transitoria y desbalanceada de la maquinaria sincrónica . . . . . . . . . . . 2.6.1. Ecuaciones y generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Alternador en corto circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Eliminación de variables en un sistema matricial de ecuaciones . . . . . . . . . 2.6.4. Determinación de las corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5. Maquinaria sincrónica trifásica desbalanceada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. La máquina de inducción 3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Rotor devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelo circuital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. La máquina de inducción con alimentación sinusoidal desbalanceada en el estator . . . . . . 3.3.1. Componentes simétricas bifásicas adelante-atrás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Referencias de las ecuaciones al devanado 1 del estator . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Caso del rotor en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Simetrı́a en el estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Caso de voltajes balanceados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Frenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Motorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Generación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Análisis de la motorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Determinación del torque medio para la máquina bifásica alimentada sinusoidalmente y con rotor en corto circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. La máquina de inducción monofásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Arranque de los motores monofásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Transitorios en la máquinas de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . el . . . . . . . . . . . .. 87 94 96 96 98 98 102 104 105 106 108 108 108 109 109 111 111 112 115 122 144 151 179 187 187 187 187 187 190 190 194 195 197 199 200 205 205 205 205 207 209 213 215 225 260 263.

(9) Capı́tulo. 1 Ecuaciones. 1.1. Configuración. L. as máquinas de corriente alterna (c.a.) constan de dos estructuras concéntricas de material ferromagnético, usualmente laminado para disminuir las pérdidas magnéticas.. La estructura exterior se denomina estator y la interior rotor. En cada una se las estructuras van alojados devanados eléctricos que dan lugar a campos magnéticos; los devanados pueden estar distribuidos en la estructura o concentrados en algún lugar particular de ella, identificado como polos fı́sicos. De hecho, las estructuras pueden ser cilı́ndricas o de polos salientes; si son cilı́ndricas se tiene un entrehierro uniforme y si alguna de ellas tiene polos salientes, un entrehierro no uniforme. Ver Figuras 1.1 y 1.2.. 1.2. Aproximación para el caso de entrehierro no uniforme en máquinas de corriente alterna La Figura 1.3 muestra un corte de una máquina eléctrica de polos salientes en el estator. Se denomina g(θ) la magnitud del entrehierro en el ángulo θ, medido desde el eje directo (eje d), y en el sentido anti-horario. gd es la distancia mı́nima entre estructuras y gq la distancia máxima entre ellas. Además se utilizarán coordenadas cilı́ndricas: b ar ×b aθ = b az , donde el eje z sale del papel. Si se desarrolla el entrehierro en forma lineal, tal como muestra la Figura 1.4, se tiene la siguiente expresión para g como una función del ángulo θ: ( 5π gd , para − π4 < θ < π4 y 3π 4 <θ < 4 , g(θ) = (1.1) 5π 7π gq , para π4 < θ < 3π 4 y 4 <θ < 4 .. 1.

(10) 2. Capı́tulo 1. Ecuaciones. bc. bc bc. bc bc bc. bc bc. bc bc bc cb bc. bc bc. bc. bc. bc bc. bc. Figura 1.1: Máquina de c.a de estructura cilı́ndrica.. N b b. b. S. b. b. S b. b b. b b. N. Figura 1.2: Máquina de c.a de polos salientes.. Se nota que la función determina una onda periódica de periodo T = π. Se descompone la onda periódica en serie de Fourier ω = 2π/T , ω = 2π/π , ω = 2. g(θ) =a0 /2 + a1 cos (2θ) + a2 cos 2(2θ) + a3 cos 3(2θ) + . . . b1 sen (2θ) + b2 sen 2(2θ) + b3 sen 3(2θ) + . . .. (1.2).

(11) 1.2. Aproximación para el caso de entrehierro no uniforme en máquinas de corriente alterna. 3. eje q. gq. âθ âr θ eje d gd. Figura 1.3: Vista en corte de una máquina eléctrica de polos salientes en el estator. g(θ). gd π 4. 3π 4. π. 5π 4. 7π 4. gq. 2π. θ. Figura 1.4: Desarrollo del entrehierro.. 2 an = T. Z. T. g(θ)cos n(2θ)dθ. 0. 2 bn = T. Z. T. g(θ)sen n(2θ)dθ. 0. Como la onda es de simetrı́a par: g(θ) = g(−θ) y bn = 0. Evaluando: gd + gq 4 gq − gd g(θ) = − 2 π 2. . 1 1 cos2θ − cos 3(2θ) + cos 5(2θ) + . . . . 3 5. (1.3). Se retiene solo la primera armónica; luego: g(θ) = g0 − g1 cos (2θ).. (1.4).

(12) 4. Capı́tulo 1. Ecuaciones Donde g0 =. gd + gq 2. y g1 =. 2 (gq − gd ). π. 1.2.1. Extensión para el caso de n par de polos El entrehierro que se viene estudiando corresponde a una máquina de un par de polos salientes. Sin embargo, la máquina puede ser de n pares de polos salientes; cuando éste es el caso, la onda g(θ) se repite n veces a lo largo del entrehierro, o lo que es lo mismo el periodo se reduce a π/n y la frecuencia angular se extiende a 2n. Por lo demás el desarrollo para encontrar una expresión aproximada para un entrehierro no uniforme en una máquina de n pares de polos, es exactamente igual al de un par de polos, obteniéndose: g(θ) = g0 − g1 cos (2nθ).. (1.5). La Figura 1.5 es una representación para la ”máquina de entrehierro aproximado”de 2 y 4 polos respectivamente. g(θ). a. 2 polos. b. 4 polos. Figura 1.5: Representación para la máquina de entrehierro aproximado.. Se nota que el entrehierro escogido corresponde a una máquina muy particular donde el arco polar es igual a 90◦ /n; es decir, el polo saliente cubre desde −45◦ /n hasta 45◦ /n, lo cual no es muy normal. Sin embargo cualquier configuración de la máquina puede descomponerse por Fourier y hacerse los ajustes respectivos para g0 y g1 ; manteniendo, en consecuencia, válida la expresión deducida para cualquier tipo de entrehierro. Si la máquina tiene polos salientes en el rotor, la expresión para g(θ) no cambia.. 1.3. Campos magnéticos en las máquinas de corriente alterna Se dará el nombre de campos magnéticos concentrados a los producidos por un devanado concentrado y de campos distribuidos a los producidos por un devanado distribuido..

(13) 1.3. Campos magnéticos en las máquinas de corriente alterna. 5. 1.3.1. Campos concentrados La Figura 1.6 muestra el campo magnético producido por un devanado concentrado alojado en una máquina de dos polos.. α × × ×. × × ×. Figura 1.6: Campo magnético producido por un devanado concentrado.. La dirección del campo sigue la regla de la mano derecha y los puntos significan corriente que sale del papel. La superficie de integración atraviesa diametralmente el entrehierro. Se aplica la ley circuital de Ampère: I. ~ = N I, ~ · dl H. (1.6). a la superficie de integración, con las aproximaciones siguientes: 1. Se considera la permeabilidad del hierro muchas veces mayor a la del aire. De esta forma la intensidad de campo H en la superficie del material magnético es despreciable respecto a la del entrehierro. 2. La dirección del campo se considera normal a la superficie del rotor en el entrehierro. Además se toma como uniforme en la misma superficie de integración. 3. Se desprecian los efectos de saturación. I. aire. ~ = N I, ~ · dl H. H(α)g(α) − H(α + π)g(α + π) = N I, g(α) = g(α + π) = gd . Nótese que debido a la simetrı́a de la máquina H(α) = −H(α + π)..

(14) 6. Capı́tulo 1. Ecuaciones Ası́: 2H(α)gd = N I,. es decir: H(α) =. NI . 2gd. (1.7). La expresión hallada es válida sólo para −π/4 < α < π/4 y 3π/4 < α < 5π/4. Si α viola este rango la corriente encerrada será nula y por consiguiente H(α) = 0. Resumiendo:.  NI H(α) = 2gd  0. para − π4 < α < para. π 4. <α<. π 4. 3π 4. y. y. 3π 4. 5π 4. <α< <α<. 5π 4 ,. (1.8). 7π 4 .. En la figura 1.7 se grafica el valor de H(α) con respecto a α: H(α). π 2. π. 3π 2. 2π. α. Figura 1.7: Campo magnético producido por un devanado concentrado.. La onda es periódica de periodo 2π. Si se descompone por Fourier y se conserva la primera armónica se obtiene: √ 2 NI cos α. H(α) = π gd Y para n pares de polos. Donde: n es el número de pares de polos. N el número total de vueltas. I la corriente.. √ 2 NI H(α) = cos nα. π ngd. (1.9). (1.10).

(15) 1.3. Campos magnéticos en las máquinas de corriente alterna. 7. gd la distancia minima del entrehierro. Siguen siendo válidas las mismas consideraciones dadas en 1.2.1, respecto a la configuración del polo; si hay variaciones en el paso polar o en la estructura del polo, siempre se podrá descomponer por Fourier y aproximar a la primera armónica. Ahora: B(θ) = µ0 H(θ), donde µ0 = 4π × 10− 7 henrios/metro es la permeabilidad del aire. √ 2 µ0 N I B(θ) = cos nθ. π ngd p Si κ = (2)N/π, µ0 κI B(θ) = cos nθ. ngd. (1.11). Ver figura 1.8. B(θ) n=1. π 2. π. θ. Figura 1.8: Distribución del campo en el entrehierro para un devanado concentrado.. Como se aprecia un campo magnético concentrado produce una distribución sinusoidal de campo en el entrehierro. En la práctica es deseable tener este tipo de distribución del campo para la obtención de voltajes alternos sinusoidales, para lo cual se ajustan empı́ricamente las zapatas polares.. 1.3.2. Campos distribuidos Se considera, por simplicidad, una máquina de entrehierro uniforme. Se aloja en el estator un devanado uniformemente distribuido como muestra la Figura 1.9. Si el número de ranuras aumenta considerablemente (como es usual), se puede pensar en una pelı́cula de corriente sobre la superficie interior del estator. La mitad de esta pelı́cula de corriente.

(16) 8. Capı́tulo 1. Ecuaciones. × ×. × ×. ×. ×. ×. ×. ×. ×. ×. ×. Figura 1.9: Máquina con devanado uniformemente distribuido.. tendrá una dirección saliendo del papel y la otra mitad una dirección contraria. Ver la Figura 1.10 donde se ha dibujado una superficie de integración que atraviesa diametralmente el entrehierro.. . .. .. + + +. . . . . .. θ. .. a .. .. ++ + + +. + + +. Figura 1.10: Máquina con devanado uniformemente distribuido.. La pelı́cula tendrá una densidad angular de corriente J=. NI A , π rad. (1.12). o una densidad lineal de corriente. NI A . πa m Aquı́ N es el número de vueltas o la mitad del número total de conductores. J=. (1.13). Se desarrolla el entrehierro. La pelı́cula de corriente se asigna positiva si el sentido de las corrientes sale del papel y viceversa (Figura 1.11) Nótese que la distribución de corriente corresponde a una máquina de dos polos..

(17) 1.3. Campos magnéticos en las máquinas de corriente alterna. b. rotor. c b. 9. b. H(θ). H(θ + π) d. + + + + +b + + + + + + + + +. a. g. b. −−−−−−−−−−−−−−. estator. θ. θ+π Figura 1.11: Entrehierro uniforme desarrollado. Se trata de aplicar la ley circuital de Ampère para determinar la distribución de campo en el entrehierro. I Z Z ~ = J~ · dA ~ = jds = f.m.m. ~ · dl H f.m.m. es la fuerza magnetomotriz, s el arco y A la superficie.. Se aplica la integral de lı́nea a la superficie de integración en la Figura 1.11 I Z ~ ~ H · dl = jds = f.m.m.(θ), abcd. I. b a. ~ + ~ · dl H. I. c b. ~ + ~ · dl H. I. d c. ~ + ~ · dl H. I. a. d. ~ = f.m.m.(θ). ~ · dl H. No se tienen en cuenta las trayectorias en el hierro por ser allı́ el valor de H despreciable, comparado con el aire. Z b Z d Z ~ ~ ~ ~ H · dl + H · dl = jds = f.m.m.(θ). a. c. El campo magnético es radial en el entrehierro, luego: Z. b. H(θ)dl + a. Z. d. H(θ + π)dl =. c. Z. jds = f.m.m.(θ).. Z. jds = f.m.m(θ),. Como se supone H constante en el entrehierro H(θ). Z. a. b. dl + H(θ + π). Z. d. dl = c. H(θ)g(θ) − H(θ + π)g(θ + π) =. Z. jds = f.m.m.(θ)..

(18) 10. Capı́tulo 1. Ecuaciones Debido a la simetrı́a: ~ ~ + π). H(θ) = −H(θ Como es lógico, las lı́neas de campo que entran al rotor deben salir de el. Es fácil demostrar que g(θ) = g(θ + π) aún para el entrehierro no uniforme. Z 2g(θ)H(θ) = jds = f.m.m.(θ).. El término f.m.m(θ) se refiere a la corriente neta encerrada en la superficie de integración para el ángulo θ. Si θ = π/2 la corriente encerrada es nula; por lo tanto: f.m.m.(π/2) = 0. Resolviendo la integral. Z. se tiene: f.m.m.(θ) =. (. jds,. (π − 2θ)aj (2θ − 2π)aj. para 0 < θ < π, para π < θ < 2π.. (1.14). La Figura 1.12 muestra una gráfica para la fuerza magnetomotriz f.m.m.(θ).. f.m.m.(θ). πaj. π. 2π. θ. −πaj. Figura 1.12: f.m.m.(θ) de un devanado distribuido.. Descomponiendo la onda triangular de la figura 1.12 por Fourier y reteniendo solo el primer armónico resulta: 8πaj 8aj f.m.m.(θ) = cos θ = cos θ. (1.15) 2 π π.

(19) 1.3. Campos magnéticos en las máquinas de corriente alterna 2H(θ)g(θ) = f.m.m.(θ). ∴. B(θ) = µ0 H(θ). ∴. B(θ) =. 11. f.m.m.(θ) . 2g(θ) µ0 B(θ) = f.m.m.(θ). 2g(θ) H(θ) =. 4µ0 aj cos θ. πg(θ). (1.16). La expresión anterior se muestra en la Figura 1.13. B(θ). π 2. π. 3π 2. θ. Figura 1.13: Campo magnético de un devanado distribuido.. Se ha llegado a una expresión para el campo magnético similar a la obtenida con campos concentrados. Se puede concluir que en general en las máquinas de corriente alterna los campos magnéticos en el entrehierro son de naturaleza sinusoidal. Se nota que el desarrollo permite que el entrehierro sea no uniforme. Es fácil demostrar que si la máquina tiene n pares de polos se cumple: B(θ) =. 4µ0 aj 4µ0 N I cos nθ = 2 cos nθ. πng(nθ) π ng(nθ). (1.17). En resumen los campos concentrados o distribuidos siempre se podrán expresar de la siguiente manera: µ0 κI B(θ) = cos nθ. (1.18) ng(nθ) Siendo:. √.  2N  κ= para devanado concentrado, π  g(nθ) = gd 4N κ= 2 para devanado distribuido. π. (1.19). (1.20).

(20) 12. Capı́tulo 1. Ecuaciones. La constante κ da cuenta del tipo de devanado del que se trata, permitiendo incluso más posibilidades de las contempladas, por ejemplo: más de un conductor por ranura.. 1.4. Máquina bifásica de corriente alterna 1.4.1. Representación Una máquina bifásica es aquella que tiene dos devanados ortogonales tanto en el rotor como en el estator. La ortogonalidad es obviamente en grados eléctricos. Con lo estudiado hasta ahora se puede representar dicha máquina bifásica en la forma mostrada en la Figura 1.14. 2 θ0 y. x 1. Figura 1.14: Máquina bifásica. Como se aprecia se han representado los devanados que producen los campos por bobinas concentradas; esto es posible, pues como se ha demostrado, desde el punto de vista del campo magnético producen el mismo efecto en el entrehierro. Se han considerado polos salientes en el estator. Se verán más adelante las modificaciones necesarias cuando la máquina sea de polos salientes en el rotor. Los campos magnéticos de cada devanado o de cada fase serán los siguientes de acuerdo con los nombres asignados a los devanados: B1 (θ) = B2 (θ) = Bx (θ) = By (θ) =. µ0 κ1 ı1 cos θ, g(θ) µ0 κ2 ı2 sen θ, g(θ) µ0 κx ıx cos (θ − θ0 ), g(θ) µ0 κy ıy sen (θ − θ0 ). g(θ). (1.21) (1.22) (1.23) (1.24). Cualquiera de los campos pueden ser fácilmente obtenido si se piensa en una rotación de la bobina estudiada, por ejemplo:.

(21) 1.4. Máquina bifásica de corriente alterna. 13. Se supone una máquina con un devanado distribuido en el rotor con un eje girado α grados respecto a la horizontal, Figura 1.15. α. . ... .. ..... ++ +. + + + + ++. Figura 1.15: Devanado distribuido en el rotor.. En la Figura 1.16 se ha desarrollado el entrehierro.. estator. entrehierro no uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . + + + +. π. π 2. 3π 2. 2π. + + + + + + + +. rotor α α+π. Figura 1.16: Desarrollo del entrehierro. Calculando debidamente se obtiene: B(θ) =. µ0 κI cos (θ − α). g(θ). (1.25). Para el caso particular de α = 90◦ se caerı́a en la bobina 2 de la representación como se ve fácilmente..

(22) 14. Capı́tulo 1. Ecuaciones. Se hace énfasis en que la pelı́cula de corriente puede estar indistintamente en el rotor o en el estator, porque se tomó: a ≫| g(θ) | . La representación muestra devanados separados 90◦ mecánicos para el caso de dos polos, pero si la máquina tuviera n pares de polos, la distancia entre fases de una misma estructura seria obviamente 90/n grados mecánicos. Para n pares de polos ya se vio que el campo se divide por n y el ángulo se multiplica por n.. 1.4.2. Cálculo de los parámetros circuitales Resistencias Las resistencias R1 , R2 , Rx y Ry de los devanados dependen de la longitud y sección de los mismos. Igualmente la conductividad del material es determinante. R=. ρL . A. (1.26). L es la longitud. A es la sección. ρ la conductividad del conductor. Los efectos por temperatura y frecuencia (efecto piel), no se consideraron; pues en cada estudio particular de realizan los ajustes necesarios, sobre todo en la forma como se miden experimentalmente estos parámetros. Inductancias El cálculo de las inductancias propias y mutuas de los cuatro devanados requiere un poco más de elaboración y sobre todo algún conocimiento de la función de estado de energı́a. La función de estado energı́a para un sistema de bobinas acopladas magnéticamente La potencia instantánea total de entrada para el sistema de n bobinas acopladas magnéticamente que se muestra en la Figura 1.17, es: Pen (t) = v1 i1 + v2 i2 + · · · + vn in =. n X. vi ii .. (1.27). i=1. Se supone que las bobinas son inductancias puras o que la resistencia eléctrica de cada una de ellas ha sido desacoplada, es decir, concentrada y colocada en serie con la bobina; los vi serán entonces voltajes de la parte estrictamente inductiva (Figura 1.18) vi′ es el voltaje en terminales y vi el voltaje en la inductancia. De la ley de Faraday, se obtiene: v1 =. dλ2 dλ1 dλn , v2 , · · · , vn = , dt dt dt.

(23) 1.4. Máquina bifásica de corriente alterna. 15. v2 , i2. vn , in v1 , i1. v3 , i3 Figura 1.17: Sistema de n bobinas acopladas magnéticamente i1 v1. v1′ Figura 1.18: Representación de una bobina.. de donde: Pen (t) = i1 λ̇1 + i2 λ̇2 + · · · + in λ̇n .. (1.28). Despreciando la radiación de energı́a, por ser muy pequeña, la energı́a que entra al sistema durante un diferencial de tiempo debe irse necesariamente a los campos magnéticos, luego: dωm (t) = Pen (t)dt. Ası́: dωm (t) = i1 dλ1 + i2 dλ2 + · · · + in dλn .. (1.29). Si la energı́a almacenada en t = 0, es cero: Z t Z t Z t dλ1 (t) dλ2 (t) dλn (t) ωm (t) = i1 (t) i2 (t) in (t) dt + dt + · · · + dt. dt dt dt 0 0 0 Se cambian los lı́mites de integración y las variables: ωm (λ1 , λ2 , · · · , λn ) =. Z. λ1 0. i′1 (λ′1 , λ′2 , · · · +. , λ′n )dλ′1. Z. λn 0. +. Z. λ2 0. i′2 (λ′1 , λ′2 , · · · , λ′n )dλ′2 + · · ·. i′n (λ′1 , λ′2 , · · · , λ′n )dλ′n ..

(24) 16. Capı́tulo 1. Ecuaciones Se ha utilizado el superı́ndice ”primo”para expresar la variable, y la ausencia de superı́ndice los valores finales de la variable en el tiempo t. La función ωm (λ1 , λ2 , · · · , λn ) se denomina la función de estado energı́a y, como se comprobará, su valor no depende de la trayectoria seguida por el sistema de t = 0 a t = t, sino de los valores finales. n Z λi X i′i (λ′1 , λ′2 , · · · , λ′n )dλ′i . (1.30) ωm (λ1 , λ2 , · · · , λn ) = i=1. 0. ′ (i , i , · · · , i ) como: Se define la función Coenergı́a ωm 1 2 n ′ ωm (i1 , i2 , · · ·. , in ) =. n Z X i=1. ii 0. λ′i (i′1 , i′2 , · · · , i′n )di′i .. (1.31). Al integrar una de las dos expresiones anteriores por partes se ve fácilmente que: ωm +. ′ ωm. =. n X. λi ii .. (1.32). i=1. Las funciones de estado Energı́a y Coenergı́a son independientes de la manera como el sistema haya alcanzado el estado final. Las variables λ e i se denominan variables de estado y determinan completamente el estado del sistema. Cuando el flujo concatenado es lineal con las corrientes se dice que el sistema es lineal y en este caso la Energı́a es igual a la Coenergı́a. La figura 1.19 ilustra este caso de linealidad. El área sobre la trayectoria de estado es igual a la Energı́a y el área debajo de la trayectoria de estado igual a la Coenergı́a. Ambas son iguales. Extensión de las funciones de estado para movimiento relativo entre bobinas Hasta aquı́ se tienen las bobinas sin ningún movimiento relativo entre ellas, pero ahora se supone que el sistema inicia su viaje de estado desde una posición y termina en otra. Se asocia a cada bobina un movimiento rotativo a través del ángulo θi (figura 1.20) Se supone como estado inicial el reposo absoluto. Luego para los ángulos y los enlaces de flujo: θi = 0 y λi (0) = 0. se lleva el sistema a la posición final para θ1 , θ1 , . . . , θn y λ1 , λ2 , . . . , λn . Como la función de estado Energı́a es independiente de la trayectoria seguida de t = 0 a t = t, se pueden llevar las variables θi a las posiciones finales manteniendo en cero las variables de estado λi . Como es fácil notar el paso de las posiciones angulares a sus valores finales no.

(25) 1.4. Máquina bifásica de corriente alterna. 17. λ′. i, λ. i′ dλ′. λ′ di′. i′. Figura 1.19: Caracterı́stica magnética lineal.. θ2. θn. θ1. vn , in. v1 , i1. v2 , i2. Figura 1.20: Movimiento relativo asociado a cada bobina.. representa cambio de energı́a en los campos magnéticos. Por consiguiente se pueden considerar las variables θi como constantes en su valor final para el cálculo de la función de estado Energı́a. Las variables θi actúan como variables mudas ωm (λ1 , λ2 , . . . , λn , θ1 , θ1 , . . . , θn ) =. n Z X i=1. λi. i′i (λ′1 , λ′2 , . . . , λ′n , θ1 , θ1 , . . . , θn )dλ′i , (1.33). 0. es lo mismo para la función de Coenergı́a. ′ ωm (i′1 , i′2 , . . . , i′n , θ1 , θ1 , . . . , θn ) =. n Z X i=1. 0. ii. λ′i (i′1 , i′2 , . . . , i′n , θ1 , θ1 , . . . , θn )di′i .. (1.34). Es obvio que para cada conjunto de ángulos habrá una Energı́a y una Coenergı́a. Cálculo de la función de estado Coenergı́a para la máquina bifásica La función Coenergı́a para un sistema de cuatro bobinas 1, 2, x, y y su movimiento relativo descrito solo por el ángulo.

(26) 18. Capı́tulo 1. Ecuaciones θ0 , está dado de acuerdo con la sección anterior por: ′ ωm (i1 , i2 , ix , iy , θ0 ). =. Z. 0. +. i1. λ′1 (i′1 , i′2 , i′x , i′y , θ0 )di′1 Z. 0. +. ix. λ′x (i′1 , i′2 , i′x , i′y , θ0 )di′x. Z. i2 0. +. λ′2 (i′1 , i′2 , i′x , i′y , θ0 )di′2 Z. iy 0. λ′y (i′1 , i′2 , i′x , i′y , θ0 )di′y . (1.35). Para calcular la anterior función Coenergı́a se necesita conocer la función que relaciona flujos concatenados con corrientes. De la teorı́a de campo electromagnético, se cumple:  ′   λ1 L1 (θ0 ) L12 (θ0 ) L1x (θ0 ) L1y (θ0 )  λ′2   L21 (θ0 ) L2 (θ0 ) L2x (θ0 ) L2y (θ0 )     λ′x  =  Lx1 (θ0 ) Lx2 (θ0 ) Lx (θ0 ) Lxy (θ0 ) λ′y Ly1 (θ0 ) Ly2 (θ0 ) Lyx (θ0 ) Ly (θ0 ).  i′1   i′2      i′x  . i′y . Expresa la relación de los flujos concatenados en cada bobina en función de las inductancias propias y mutuas. Se están despreciando los fenómenos de saturación en las estructuras ferromagnéticas del estator y rotor, por lo tanto los flujos concatenados permanecen lineales con las corrientes. Dicha relación es completamente lineal. La linealidad permite calcular la energı́a magnética fácilmente pues resulta igual a la coenergı́a. Para evaluar y calcular la Coenergı́a se requiere escoger una trayectoria de estado cualquiera: el único requisito es llegar al estado final, por comodidad se escoge la más elemental. Se lleva el sistema en cuatro etapas: Primera: se lleva i′1 de cero a i1 y se mantiene i′2 , i′x , i′y en cero. Segunda: se lleva i′2 de cero a i2 y se mantiene i′x , i′y en cero. Tercera: se lleva i′x a ix y se mantiene i′y en cero. Cuarta: se lleva i′y de cero a iy . La evaluación de la coenergı́a siguiendo dichas etapas es ası́: ′ ωm 1. =. ′ ωm 2. =. ′ ωm 3. =. ′ ωm 4. =. 1 L1 (θ0 )i21 , 2 1 L2 (θ0 )i22 + L21 (θ)i1 i2 , 2 1 Lx (θ0 )i2x + Lx1 (θ)ix i1 + Lx2 (θ0 )ix i2 , 2 1 Ly (θ0 )i2y + Ly1 (θ)iy i1 + Ly2 (θ0 )iy i2 + Lyx (θ0 )iy ix . 2.

(27) 1.4. Máquina bifásica de corriente alterna. 19. El aumento total de energı́a será: ′ ′ ′ ′ ′ ωm = ωm + ωm + ωm + ωm . 1 2 3 4. 1 1 1 ′ ωm = L1 (θ0 )i21 + L2 (θ0 )i22 + L21 (θ)i1 i2 + Lx (θ0 )i2x + Lx1 (θ)ix i1 + Lx2 (θ0 )ix i2 2 2 2 1 + Ly (θ0 )i2y + Ly1 (θ)iy i1 + Ly2 (θ0 )iy i2 + Lyx (θ0 )iy ix . 2 (1.36) Coenergı́a que es igual a la Energı́a magnética total almacenada en el sistema de cuatro bobinas de la máquina bifásica. Cálculo de la energı́a almacenada en los campos magnéticos de la máquina bifásica Se determinará la energı́a total almacenada en los campos magnéticos como la integración sobre el volumen ocupado por dichos campos. Se recuerda que: ωm. Z. 1 = 2. ~ · HdV. ~ B. volumen. Se trata de la máquina de dos polos de la figura 1.21. 2 θ0 y. x 1. Figura 1.21: Máquina bifásica de dos polos.. Se supone que toda la energı́a se halla en el entrehierro por cuanto H en el hierro es despreciable respecto al del aire. Además la relación B − H en el entrehierro es lineal e isotrópica. Entonces: Z dωm B2 1 = , ωm = B 2 dV, dV 2µ0 2µ0 volumen. define la densidad de energı́a en el entrehierro. Puesto que el campo magnético de cada bobina es radial el campo magnético total esta dado.

(28) 20. Capı́tulo 1. Ecuaciones por: B = B1 + B2 + Bx + By , B(θ) =. µ0 hκ1 i1 cos θ + κ2 i2 sen θ + κx ix cos (θ − θ0 ) + κy iy sen (θ − θ0 )i. g(θ). (1.37). Como se ve en la figura 1.22 un diferencial de energı́a en el entrehierro es: dV = a L g(θ) dθ.. (1.38). Se supone a ≫ g(θ).. g(θ). a dθ L. Figura 1.22: Diferencial de energı́a en el entrehierro.. ωm =. Z. 2π 0. B 2 (θ) a L g(θ) dθ. 2µ0. (1.39). Reemplazando: Z µ0 aL 2π 1 hκ1 i1 cos θ + κ2 i2 sen θ + κx ix cos (θ − θ0 ) + κy iy sen (θ − θ0 )i2 dθ. ωm = 2 g(θ) 0 (1.40) Si se tiene en cuenta que: . y que. . 1 1 1  1  = =  , g g(θ) g0 − g1 cos 2θ go 1 − 1 cos 2θ g0 g1 cos 2θ < 1. g0.

(29) 1.4. Máquina bifásica de corriente alterna. 21. Se obtiene la siguiente serie de potencias (serie geométrica convergente): " # 2 1 1 g1 g1 = 1+ cos 2θ + cos 2θ + · · · g(θ) g0 g0 g0 Considerando solo los dos primeros términos: 1 1 g1 = 1 + cos 2θ g(θ) g0 g0. (1.41). Con esto la energı́a magnética total almacenada en los campos es: Z µ0 aL 2π g1 1 + cos 2θ hκ1 i1 cos θ + κ2 i2 sen θ + κx ix cos (θ − θ0 ) ωm = 2g0 0 g0. ωm. µ0 aL = 2g0. Z. 2π 0. . + κy iy sen (θ − θ0 )i2 dθ.. g1 1 + cos 2θ hκ21 i21 cos2 θ + 2κ1 κ2 i1 i2 sen θcos θ + κ21 i21 sen2 θ g0 + 2κ1 κx i1 ix cos θcos (θ − θ0 ) + 2κ1 κy cos θsen (θ − θ0 ) + 2κ2 κx i2 ix cos (θ − θ0 )sen θ + 2κ2 κy i2 iy sen θsen (θ − θ0 ). + 2κx κy ix iy cos (θ − θ0 )sen (θ − θ0 ) + κ2x i2x cos2 (θ − θ0 ) + κ2y i2y sen2 (θ − θ0 )idθ.. Evaluando las distintas integrales, se obtiene: µ0 aL 2 2 g1 g1 g1 2 2 ωm = κ1 i1 π 1 + + κ2 i2 π 1 − + 2κ1 κx π 1 + i1 ix cos θ0 2g0 2g0 2g0 2g0 g1 g1 + 2κ2 κx i2 ix π 1 − sen θ0 + 2κ2 κy i2 iy π 1 − cos θ0 2g0 2g0 g1 g1 − 2κ1 κy i1 iy π 1 + sen θ0 − 2κx κy ix iy π sen 2θ0 2g0 2g0 g1 g1 2 2 2 2 + κx ix π 1 + cos 2θ0 + κy iy π 1 − cos 2θ0 . 2g0 2g0 (1.42) Expresión que da la energı́a magnética total almacenada en los campos magnéticos. Comparación de energı́as Si se compara la función de coenergı́a obtenida con base en la función de estado con la última función obtenida a partir de la densidad volumétrica de campo sobre todo el volumen se pueden identificar los valores de las respectivas inductancias de la máquina. Recordar que la función de estado coenergı́a es igual a la función de estado energı́a. ′ ωm = ωm ..

(30) 22. Capı́tulo 1. Ecuaciones Comparando término a término las ecuaciones 1.36 y 1.42 se obtiene: L12 (θ0 ) = L21 (θ0 ) = 0, µ0 aLκ21 π g1 L1 (θ0 ) = 1+ = L1 , g0 2g0 µ0 aLκ22 π g1 1− = L2 , L2 (θ0 ) = g0 2g0 µ0 aLκ1 κx π g1 L1x (θ0 ) = 1+ cos θ0 = L1xmax cos θ0 , g0 2g0 µ0 aLκ1 κy π g1 L1y (θ0 ) = − 1+ sen θ0 = −L1ymax sen θ0 , g0 2g0 µ0 aLκ2 κx π g1 1− sen θ0 = L2xmax sen θ0 , L2x (θ0 ) = g0 2g0 µ0 aLκ2 κy π g1 L2y (θ0 ) = 1− cos θ0 = L2ymax cos θ0 , g0 2g0 µ0 aLκx κy g1 π sen 2θ0 = −Lxymax sen 2θ0 , 2g02 µ0 aLκ2x π g1 cos 2θ0 = Lx0 + Lxθ cos 2θ0 , 1+ g0 2g0 µ0 aLκ2y π g1 cos 2θ0 = Ly0 − Lyθ cos 2θ0 . 1− g0 2g0. Lxy (θ0 ) = − Lx (θ0 ) = Ly (θ0 ) =. (1.43) (1.44) (1.45) (1.46) (1.47) (1.48) (1.49). (1.50) (1.51) (1.52). Extensión para n pares de polos Si se quiere extender el desarrollo para máquinas de n pares de polos, basta calcular la energı́a teniendo en cuenta que los campos magnéticos están descritos ahora por las siguientes expresiones: B1 (θ) = B2 (θ) = Bx (θ) = By (θ) =. µ0 κ1 ı1 cos θ, g(θ) µ0 κ1 ı2 sen θ, g(θ) µ0 κx ıx cos (θ − θ0 ), g(θ) µ0 κy ıy sen (θ − θ0 ). g(θ). Recalculando las integrales es fácil demostrar que en cada coeficiente aparece el término 1/n2 como multiplicador..

(31) 1.5. Ecuaciones eléctricas de equilibrio para la máquina bifásica de corriente alterna. 23. Ası́: ωm =. µ0 aL 2g0 n2. Z. 2π 0. . 1+. g1 cos 2θ (κ1 i1 cos nθ + κ2 i2 sen nθ + κx ix cos n(θ − θ0 ) 2g0 + κy iy sen n(θ − θ0 ))2 dθ.. (1.53). Se nota que para el tipo de integrales involucradas Z 2π Z 2πn Z 2π dθ dθ = f (θ)dθ = n f (θ) f (θ) . n n 0 0 0 Esto se ve con θ en radianes eléctricos. Z g1 µ0 aL 2πn ωm = 1 + cos 2θ (κ1 i1 cos θ + κ2 i2 sen θ + κx ix cos (θ − θ0 ) 2g0 n2 0 g0 dθ + κy iy sen (θ − θ0 ))2 . n. (1.54). Los resultados para las inductancias serán iguales a las obtenidas con la sola variación del factor 1/n2 que aparece de multiplicador y con el ángulo θ0 en radianes eléctricos. Por ejemplo: µ0 aLκ1 κx π L1x (θ0 ) = g0 n2. . g1 1+ 2g0. . cos θ0 .. Expresada en grados mecánicos es: L1x (θ0 ) =. µ0 aLκ1 κx π g0 n2. . 1+. g1 2g0. . cos nθ0 = L1xmax cos nθ0 .. La siguiente matriz resume las inductancias para la máquina bifásica con n pares de polos:  0 L1xmax cos nθ0 −L1ymax sen nθ0 L1  0 L2 L2xmax sen nθ0 L2ymax cos nθ0 [L1,2,x,y ] =   L1xmax cos nθ0 L2xmax sen nθ0 Lxo + Lxθ cos 2nθ0 −Lxymax sen 2nθ0 −L1ymax sen nθ0 L2ymax cos ηθ0 −Lxymax sen 2nθ0 Ly0 − Lyθ cos 2nθ0 (1.55) Obviamente los coeficientes de las inductancias incorporan el factor 1/n2 y θ0 está en radianes mecánicos.. 1.5. Ecuaciones eléctricas de equilibrio para la máquina bifásica de corriente alterna Se trata de la máquina de la Figura 1.23. .  . .

(32) 24. Capı́tulo 1. Ecuaciones. 2 θ0 y. x 1. Figura 1.23: Máquina bifásica de c.a. Mediante las leyes de Kirchhoff y Faraday, y con el conocimiento previamente adquirido en cuanto a los parámetros de la máquina, se pueden deducir las ecuaciones de equilibrio eléctricas. Obviamente la parte resistiva de los devanados es desacoplada y concentrada por fuera de las bobinas (Figura 1.24). Por ejemplo, para la bobina 1: v1 = R1 i1 +. dλ1 . dt. i1 +. v1. −. Figura 1.24: Circuito eléctrico de la bobina 1 de la máquina bifásica de c.a.. En términos generales: v = Ri + ρλ.. (1.56). Donde:. dλ . dt Tomando en cuenta los cuatro devanados se tiene:    v1 R1 0 0 0  v2   0 R2 0 0     v3  =  0 0 Rx 0 v4 0 0 0 Ry ρ=. .   i1 λ1   i2   λ2      ix  + ρ  λx iy λy. .  . .

(33) 1.5. Ecuaciones eléctricas de equilibrio para la máquina bifásica de corriente alterna Pero. .   λ1  λ2     [λ1,2,x,y ] =   λx  = [L1,2,x,y (θ0 )]  λy. De donde: .   v1 R1 0 0 0  v2   0 R2 0 0     v3  =  0 0 Rx 0 0 0 0 Ry v4. 25.  i1 i2  . ix  iy.   i1    i2       ix  + ρ[L1,2,x,y (θ0 )]  iy .  i1 i2  . ix  iy. (1.57). 1.5.1. Simetrı́a en el rotor Para todos los casos prácticos se puede suponer simetrı́a en el rotor; esto es: Nx = Ny , Rx = Ry , Lx0 = Lxymax , Lx0 = Ly0 , L1xmax = L1ymax , L2xmax = L2ymax . Puesto que κx = κy , agrupando y tomando en consideración la restricción de simetrı́a en el rotor, la ecuación general de los ejes eléctricos será:    0 L1xmax ρcos nθ0 v1 R1 + L1 ρ  v2   0 R1 + L2 ρ L2xmax ρsen nθ0     vx  =  L1xmax ρcos nθ0 L2xmax ρsen nθ0 Rx + Lx0 ρ + Lxymax ρcos 2nθ0 vy −L1xmax ρsen nθ0 L2xmax ρcos nθ0 −Lxymax ρcos 2nθ0 (1.58)   i1 −L1xmax ρsen nθ0   i2  L2xmax ρcos nθ0     ix  , −Lxymax ρsen 2nθ0 Rx + Lx0 ρ − Lxymax ρcos 2nθ0 iy .   v1  v2     = [Z1,2,x,y (θ0 )]   vx   vy.  i1 i2  . ix  iy. (1.59). 1.5.2. Ajuste de las ecuaciones para polos salientes en el rotor Se ha desarrollado todo el procedimiento de análisis para una máquina con polos salientes en el estator, sin embargo se demostrará que las ecuaciones se pueden ajustar fácilmente cuando los polos están localizados en el rotor..

(34) 26. Capı́tulo 1. Ecuaciones Se ilustrará para la máquina de la figura 1.25. Figura 1.25: Máquina de polos salientes en el rotor.. La figura 1.26 muestra la máquina que se ha estudiado y su equivalente cambiando en el marco de referencia de la velocidad; es decir amarrando el rotor y liberando el estator. Obviamente las ecuaciones siguen siendo validas.. (a). (b). Figura 1.26: Máquina bifásica de c.a y su equivalente cambiando el marco de referencia de la velocidad.. En la figura 1.27 se ha intercambiado la localización de las estructuras, es decir la exterior se ha vuelto interior y viceversa. Esto es perfectamente posible porque el hierro se desprecia en los cálculos y el entrehierro se conserva en su valor. Es claro que se conserva el sentido de giro. La figura 1.28 muestra una máquina con polos salientes en el rotor que tiene exactamente las mismas ecuaciones que se han desarrollado. Obviamente para el caso de polos salientes en el rotor las variables x, y responden a variables del estator y las variables 1, 2 a variables del rotor 1 . Si se tienen en cuenta estas variaciones no debe existir ninguna dificultad para manejar situaciones con máquinas de polos salientes en el rotor. 1. Nótese que el sentido de giro de la máquina es contrario al definido como positivo.

(35) 1.6. Ecuación mecánica de equilibrio para la máquina bifásica de corriente alterna. (a). 27. (b). Figura 1.27: Intercambio de la localización de las estructuras.. y. 2. x 1. θ0. Figura 1.28: Máquina de polos salientes en el rotor.. 1.6. Ecuación mecánica de equilibrio para la máquina bifásica de corriente alterna La ecuación general de los cuatro ejes eléctricos desarrollada es insuficiente para conocer el funcionamiento de la máquina pues se tienen cinco variables independientes a saber: i1 , i2 , ix , iy , θ0 . Se remueve este obstáculo con el apoyo de la ecuación del eje mecánico, la cual resulta de la aplicación de la segunda ley de Newton al eje mecánico.. 1.6.1. Determinación del torque electromagnético La acción simultánea de los distintos campos magnéticos y devanados provoca un torque en el eje de la máquina. Para determinar este torque se considera la máquina como un dispositivo electromecánico de cinco puertas: cuatro eléctricas y una mecánica. Se ilustra en la figura 1.29 T es el torque externo aplicado..

(36) 28. Capı́tulo 1. Ecuaciones i1 λ̇1 i2. MÁQUINA. λ̇2. BIFÁSICA. θ̇0 T. iy. ix λ̇x. λ̇y. Figura 1.29: Máquina bifásica como dispositivo electromecánico. Se supone que a partir de un instante determinado se inyecta potencia por las cinco puertas, es decir potencia eléctrica por las cuatro puertas eléctricas y potencia mecánica en la puerta mecánica. Pen = i1 λ̇1 + i2 λ̇2 + ix λ̇x + iy λ̇y + Tθ̇0 .. (1.60). Las resistencias se han desacoplado están en el circuito externo. Se supone que la máquina no tiene perdidas. Toda la energı́a entregada tiene que seguir dos caminos:. Los campos magnéticos y la energı́a cinética del rotor.. Se supone ahora que de alguna forma se logra que la energı́a cinética no se modifique. Siendo ası́, toda la energı́a debe irse a los campos magnéticos. El diferencial de energı́a total está dado por: dωm = Pen dt = i1 dλ1 + i2 dλ2 + ix dλx + iy dλy + Tdθ0 , se sabe que: ωm (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 ) =. X. i=1,2,x,y. Z. λi 0. i′i (λ′1 , λ′2 , λ′x , λ′y , θ0 )dλ′i .. Para el diferencial de energı́a: ωm (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 ) =. ∂ωm ∂ωm ∂ωm ∂ωm ∂ωm λ1 + λ2 + λx + λy + θ0 . ∂λ1 ∂λ2 ∂λx ∂λy ∂θ0.

(37) 1.6. Ecuación mecánica de equilibrio para la máquina bifásica de corriente alterna. 29. Ahora: ωm (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 ) =. Z. λ1. i′1 (λ′1 , λ′2 , λ′x , λ′y , θ0 )dλ′1. 0. Z. +. λx. i′x (λ′1 , λ′2 , λ′x , λ′y , θ0 )dλ′x +. 0. Z. λ2. i′2 (λ′1 , λ′2 , λ′x , λ′y , θ0 )dλ′2. 0. Z. λy 0. i′y (λ′1 , λ′2 , λ′x , λ′y , θ0 )dλ′y .. Luego: ∂ωm = i1 , ∂λ1. ∂ωm = i2 , ∂λ2. ∂ωm = ix , ∂λx. ∂ωm = iy . ∂λy. Porque en cada variación las demás variables toman valores fijos. Ası́: dωm (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 ) = i1 dλ1 + i2 dλ2 + ix dλx + iy dλy +. ∂ωm (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 )dθ0 . (1.61) ∂θ0. Como se ha supuesto: dω = dωm . Entonces T=. ∂ωm (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 ). ∂θ0. (1.62). Si se sabe que: ′ (λ′1 , λ′2 , λ′x , λ′y , θ0 ) = λ1 i′1 + λ2 i′2 + λx i′x + λy i′y , ωm (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 ) + ωm. es fácil demostrar: T=−. ′ ∂ωm (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 ). ∂θ0. (1.63). La suposición hecha, vale decir que la energı́a de entrada no modifique la energı́a cinética, implica que la velocidad no cambie. La única forma de lograrlo es que el torque aplicado a la puerta mecánica compense exactamente el torque electromagnético producido por la máquina; bajo esta circunstancia no habrá aceleración y por tanto la velocidad no se incrementará. De tal suerte que el torque T es igual en magnitud al torque electromagnético Tg y de signo contrario. De hecho no se realizó trabajo ni entró energı́a por la puerta mecánica; a este procedimiento se le conoce como principio de trabajo virtual. T = −Tg ,. Tg =. ′ ∂ωm. ∂θ0. (λ1 , λ2 , λx , λy , θ0 ).. Se deriva parcialmente la ecuación de la Coenergı́a (ecuación 1.36) con respecto al ángulo θ0 , se.

(38) 30. Capı́tulo 1. Ecuaciones. tiene: 1 ∂L1 (θ0 ) ∂L21 (θ0 ) 1 2 ∂L2 (θ0 ) ∂Lx1 (θ0 ) ∂Lx2 (θ0 ) Tg = i21 + i1 i2 + i2 + ix i1 + ix i2 2 ∂θ0 ∂θ0 2 ∂θ0 ∂θ0 ∂θ0 1 2 ∂Lx (θ0 ) ∂Ly1 (θ0 ) ∂Ly2 (θ0 ) ∂Lyx (θ0 ) 1 2 ∂Ly (θ0 ) + ix + iy i1 + iy i2 + iy ix + iy . 2 ∂θ0 ∂θ0 ∂θ0 ∂θ0 2 ∂θ0 Teniendo en consideración la matriz de inductancias, resulta: Tg =n(−L1xmax i1 ix sen nθ0 + L2xmax i2 ix cos nθ0 − Lxymax i2x sen 2nθ0 − L1xmax i1 iy cos nθ0 − L2xmax i2 iy sen nθ0 − 2Lxymax ix iy cos 2nθ0 + Lxymax i2y sen 2nθ).. (1.64). 1.6.2. Extensión de la expresión del torque para polos salientes en el rotor La expresión lograda para el torque sigue vigente para la máquina mostrada en la figura 1.30.. y. 2. x 1. θ0. Figura 1.30: Máquina bifásica.. Si se quisiera la ecuación para el sentido del giro positivo (antihorario) basta cambiar ρθ0 por −ρθ0 y el torque cambiará de signo.. 1.6.3. Ley de Newton para el eje mecánico En la figura1.31 se muestra una máquina y su carga mecánica, JM es la inercia del rotor y JC la inercia del sistema motriz o la carga mecánica. De la segunda ley de Newton: donde:. X. T = Jtotal θ̈0 ,. Jtotal = JM + JC .. (1.65).

(39) 1.7. Solución de las ecuaciones generales de la máquina. 31. a me Carg roto. ca cáni. Text. r. Tg. Figura 1.31: Eje mecánico.. Si; Tf es el torque de fricción: Tg (i1 , i2 , ix , iy , θ0 ) − Tf ± Text = (JM + JC )θ̈0 , donde: Text es el torque motriz o torque de la carga. La anterior expresión es la ecuación del eje mecánico de la máquina, la cual combinada con las ecuaciones eléctricas; permiten suficiente información para conocer el funcionamiento de una máquina bifásica.. 1.7. Solución de las ecuaciones generales de la máquina Una rápida inspección de las cinco ecuaciones obtenidas muestra que es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, con no linealidades tipo producto de variables, incluyendo funciones sinusoidales de variables. Por ejemplo: d d dix (i1 cos nθ0 ) + L2xmax (i2 sen nθ0 ) + Rx ix + Lx0 dt dt dt d d + Lxymax (ix cos 2nθ0 ) − Lxymax (iy sen 2nθ0 ) dt dt. Vx =L1xmax. Obviamente este tipo de ecuaciones no permite soluciones analı́ticas y se debe recurrir a métodos numéricos de solución. No obstante existen ciertas transformaciones de variables que permiten simplificar las ecuaciones e incluso para casos especiales lograr soluciones analı́ticas reduciendo en algunas veces las ecuaciones.

(40) 32. Capı́tulo 1. Ecuaciones. a circuitos eléctricos comunes. Sin embargo, siempre en condiciones dinámicas, se tendrá que recurrir a métodos computacionales, aunque obviamente manejando ecuaciones más simplificadas que las presentes. Entre las transformaciones más importantes está la transformación θ0 , también conocida como transformación d − q que elimina de las ecuaciones la dependencia de θ0 . También esta la transformación de tres ejes a dos ejes que permite manejar máquinas trifásicas con las ecuaciones de las bifásicas en combinación con las transformación de las componentes simétricas.. 1.8. Transformación Θ0 1.8.1. Definición Las transformadas de Laplace y la transformación logarı́tmica permiten simplificar la manipulación de ecuaciones y obtener resultados en forma rápida y sistemática. Los resultados son objetos abstractos y muchas veces sin utilidad. Se recurre entonces a la antitransformada para conocer la solución real. El cálculo integracional también utiliza transformaciones de variables (sustitución de variables) para facilitar el proceso de integración y obtener soluciones analı́ticas. El procedimiento consiste entonces en transformar las variables para resolver situaciones en términos de las nuevas variables y después regresar en la transformación (antitransformar), para conocer resultados. La transformación Θ0 a realizar convierte las variables de las bobinas x, y en variables correspondientes a unas nuevas bobinas imaginarias a, A; que aunque están fijas en el espacio (no rotan), proporcionan en el entrehierro el mismo campo magnético que las originales. Al estar estas bobinas a, A reemplazando a las bobinas x, y; corresponde solamente traducir las ecuaciones al lenguaje de las nuevas variables. Al quedar las bobinas en los mismos ejes del estator no existirán dependencias angulares y las ecuaciones se simplificarán bastante (figura 1.32). De la ecuación de los ejes electricos, la transformación es igual a: cos nθ0 −sen nθ0 T Θ0 = . sen nθ0 cos nθ0. (1.66). Se aplica tanto a voltajes como a corrientes ia cos nθ0 −sen nθ0 ix = . iA sen nθ0 cos nθ0 iy . va vA. . =. . cos nθ0 −sen nθ0 sen nθ0 cos nθ0. . vx vy. . .. (1.67). (1.68).

(41) 1.8. Transformación Θ0. 33 . T Θ0. −1. =. . cos nθ0 sen nθ0 −sen nθ0 cos nθ0. . .. 2 θ0 A. x. y a. 1. Figura 1.32: Transformación Θ0 aplicada a la máquina bifásica.. 1.8.2. Invariancia de la potencia Esta transformación debe ser invariante en potencia, es decir las potencias deber ser iguales en los dos sistemas de variables ia va + iA vA = ix vx + iy vy . (1.69) En forma matricial . ia iA ia iA. t t . va vA va vA. . =. . =. . . T Θ0. ix iy. t. . . . ix iy. T Θ0. t. t . . T Θ0. T Θ0. . . . . vx vy. vx vy . . ,. .. La igualdad de las potencias implica que: . T Θo. t . T Θo. . =. . I. . ,. donde la matriz [I] es la matriz identidad. Posmultiplicando por la inversa de la transformación: . T Θ0. t. =. . T Θ0. −1. .. (1.70). Es fácilmente comprobable que la matriz de transformación cumple con la condición anterior. La transformación que cumple con esta condición es conocida como transformación ortogonal..

(42) 34. Capı́tulo 1. Ecuaciones. 1.8.3. Aplicación de la transformación. Puesto que las corrientes de estator no necesitan ser modificadas la transformación total será      1 0 0 0 i1 i1    i2   0 1 0 0  i2   = ,   ia    ix  0 0 T Θ0 iA iy 0 0   1 v1  v2   0  =  va   0 vA 0.   0 0 0 v1  1 0 0  v   2 .   vx  0 T Θ0 vy 0. . Con:. . 1 0   0 0 Luego:. −1  0 0 0 1 0 1 0 0     =  0 0 T Θ0 0 0    1 i1 i2   0  = ix   0 iy 0    1 v1  v2   0  = vx   0 vy 0.  0 0 0  1 0 0  . −1  0 T Θ0 0.   0 0 i1   0 0   i2  ,  −1   ia  0 T Θ0 iA 0   0 0 0 v1   1 0 0   v2  .  −1   va  0 T Θ0 vA 0 0 1. Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación general eléctrica vista;     i1 v1 v2  i2    = Z1,2,x,y (θ0 )   , vx  ix  vy iy . 1 0   0 0.    0 0 0 1 v1   0 1 0 0   v2      = Z1,2,x,y (θ0 )  v  0 a 0 −1 T Θ0 v A 0 0.   0 0 0 i1   1 0 0   i2   . 0 −1  ia T Θ0 iA 0. (1.71). (1.72).

(43) 1.8. Transformación Θ0. 35. Premultiplicando por la matriz de transformación      1 0 0 0 1 v1     v2   0 1 0 0  0  = (θ )   Z  va   0 0  1,2,x,y 0  0 T Θ0 vA 0 0 0 De donde:. . 1  0 Z1,2,a,A =  0 0.   0 0 0 i1   1 0 0   i2  .  −1   ia  0 T Θ0 iA 0.   0 0 0 1 0 1 0 0     Z1,2,x,y (θ0 )   0 0 T Θ0 0 0.  0 0 0  1 0 0   0 −1  T Θ0 0. (1.73). De desarrollar el anterior producto de matrices, teniendo el debido cuidado con el operador ρ, el cual lleva implı́cita la acción sobre las corrientes, ası́: ρcos nθ0 = cos nθ0 ρ − sen nθ0 (nρθ0 ), pues en el fondo está actuando sobre el producto de variables cos nθ0 i; se llega al siguiente resultado:   R1 + L1 ρ 0 L1xmax ρ 0   0 R2 + L2 ρ 0 L2xmax ρ . Z1,2,a,A =   L1xmax ρ L2xmax nρθ0 Rx + (Lx0 + Lxymax )ρ (Lx0 − Lxymax )nρθ0  −L1xmax nρθ0 L2xmax ρ −(Lx0 + Lxymax )nρθ0 Rx + (Lx0 − Lxymax )ρ (1.74). La matriz anterior, como se puede apreciar es una matriz independiente de θ0 . Se ha levantado la dependencia mediante la transformación.. Se puede aplicar la técnica de submatrices para llegar al resultado anterior, ası́:     1 0 0 0 1 0 0 0     0 1 0 0  0 1 0 0  Z1,2,a,A =  (θ )   Z   1,2,x,y 0  0 0 −1  0 0 T Θ0 T Θ0 0 0 0 0  1   0 Z1,2,a,A =   0 0.   1 0 0 0 " #  0 1 0 0  [Z ] [Z ] 11 12      [Z ] [Z 0 21 22 ]  0 T Θ0 0 0.  0 0 0 1 0 0   . 0 −1  T Θ0 0.

(44) 36. Capı́tulo 1. Ecuaciones Donde: Z11 = Z12 = Z21 = Z22 = Luego. . R1 + L1 ρ 0 0 R2 + L2 ρ. . ,. L1xmax ρcos nθ0 −L1xmax ρsen nθ0 L2xmax ρsen nθ0 L2xmax ρcosnθ0 L1xmax ρcos nθ0 L2xmax ρsen nθ0 −L1xmax ρsen nθ0 L2xmax ρcosnθ0. . , ,. Rx + Lx0 ρ + Lxymax ρcos 2nθ0 −Lxymax ρsen 2nθ0 −Lxymax ρsen 2nθ0 Rx + Lx0 ρ − Lxymax ρcos 2nθ0. .   1 0 0 0 " # −1  0 0   0 1  [Z11 ] [Z12 ] [T Θ0 ] Z1,2,a,A =    [Z21 ] [Z22 ] [T Θ0 ]−1  0 0 T Θ0 0 0 [Z12 ] [T Θ0 ]−1 [Z11 ] Z1,2,a,A = . [T Θ0 ] [Z12 ] [T Θ0 ] [Z22 ] [T Θ0 ]−1. .. (1.75). Basta resolver los productos internos de matrices para llegar a la matriz [Z1,2,a,A ]. Corresponde ahora determinar la expresión para el torque electrogmético Tg , en término de las variables transformadas. Para ello se cuenta con la invariancia de potencia en la transformación, ası́:     v1 i1  v2   i2    = Z1,2,a,A   .  ia   va  vA iA La potencia eléctrica total de entrada es:. Pen.  t    t   v1 i1 i1 i1  i2   v2   i2   i2         =  ia   va  =  ia  Z1,2,a,A  ia  . iA vA iA iA. Desarrollando el producto matricial: Pen =R1 i21 + L1 i1 ρi1 + L1xmax i1 ρia + R2 i22 + L2 i2 ρi2 + L2xmax i2 ρiA + L1xmax ia ρi1 + nρθ0 L2xmax i2 ia + Rx i2a + (Lx0 + Lxymax )ia ρia + nρθ0 (Lx0 − Lxymax )ia iA − nρθ0 L1xmax i1 iA + L2xmax iA ρi2 − nρθ0 (Lx0 + Lxymax )ia iA + Rx i2A + (Lxo − Lxymax )iA ρiA .. (1.76).

(45) 1.8. Transformación Θ0. 37. Observando la naturaleza de los términos se pueden identificar las diferentes potencias, ası́: i2 R: Representa la rapidez con que la Energı́a se convierte en calor en las resistencias. Liρi: Representa la rapidez con que la energı́a se almacena en los campos magnéticos propios de las bobinas. L1xmax i1 ρia : El término de esta forma representa la rapidez con que la energı́a se almacena en los campos magnéticos mutuos. nρθ0 (Lx0 − Lxymax )ia iA : El término de esta forma representa la rapidez con que la energı́a se convierte en trabajo mecánico, es decir, es componente de la potencia mecánica desarrollada por la máquina. La potencia mecánica total desarrollada será entonces: Pmec = L2xmax i2 ia nρθ0 + (Lx0 − Lxymax )ia iA nρθ0 − L1xmax i1 iA nρθ0 − (Lx0 + Lxymax )ia iA nρθ0 , Pmec = nρθ0 (L2xmax i2 ia − L1xmax i1 iA − 2Lxymax ia iA ).. (1.77). Pero para la potencia desarrollada se tiene Pmec = Tg ρθ0 . Por lo tanto: Tg = n(L2xmax i2 ia − L1xmax i1 iA − 2Lxymax ia iA ).. (1.78). Se puede apreciar la simplificación lograda en la expresión para el torque; ya que no depende de ángulo como era de esperarse. Enseguida se resume las ecuaciones generales para la máquina bifásica:    v1 R1 + L1 ρ 0 L1xmax ρ 0  v2   + L ρ 0 L 0 R 2 2 2xmax ρ  =  va   L1xmax ρ L2xmax nρθ0 Rx + (Lx0 + Lxymax )ρ (Lx0 − Lxymax )nρθ0 vA −L1xmax nρθ0 L2xmax ρ −(Lx0 + Lxymax )nρθ0 Rx + (Lx0 − Lxymax )ρ.   i1   i2   .   ia  iA. Tg − Tf ± Text = (JM + Jc )ρ2 θ0 ,. Tg = n(L2xmax i2 ia − L1xmax i1 iA − 2Lxymax ia iA ). . . va vA ix iy. . . = =. . . cos nθ0 −sen nθ0 sen nθ0 cos nθ0 cos nθ0 sen nθ0 −sen nθ0 cos nθ0. . . vx vy ia iA. . . . .. Las ecuaciones anteriores dan la información que permite manejar cualquier situación en una máquina bifásica..

(46) 38. Capı́tulo 1. Ecuaciones. Naturalmente las ecuaciones siguen siendo no lineales; no linealidades en la matriz por el producto de corrientes por la velocidad y no linealidades en la ecuación mecánica por el producto de corrientes. Sin embargo su solución numérica es menos engorrosa. Además, si la velocidad es constante, la ecuación mecánica es superflua y las ecuaciones se vuelven lineales y en consecuencia es posible lograr soluciones analı́ticas.. 1.9. Transformación de tres ejes a dos ejes La mayorı́a de las máquinas de corriente alterna son trifásicas, es decir, tienen tres devanados separados cada uno 120 grados eléctricos. Por lo tanto es necesario introducir una nueva transformación que permita el abordaje de estas máquinas. La esencia de esta transformación es lograr que los campos magnéticos en el entrehierro sean equivalentes en las dos máquinas. La Figura 1.33 muestra una máquina trifásica condevanados únicamente en el estator, tratando de ser equivalente en principio desde el punto de vista de campo magnético a una bifásica. Las estructuras se suponen cilı́ndricas.. 2 β. g. α. 1. γ. (a). (b). Figura 1.33: (a) Máquina bifásica con bobinas en el estator, (b) resultado de aplicar la transformación de tres ejes a dos ejes.. Si hay simetrı́a en ambas máquinas: Kα = Kβ = Kγ. (1.79). K1 = K2. (1.80).

(47) 1.9. Transformación de tres ejes a dos ejes. 39. El campo magnético total en la máquina trifásica es: B3θ =. Kα [iα cos θ + iβ cos (θ − 120◦ ) + iγ cos (θ + 120◦ )] µ0 . g(θ). (1.81). Y en la máquina bifásica: B2θ =. K1 [i1 cos θ + i2 sen θ] µ0 . g(θ). (1.82). Se nota que se trata de una máquina de dos polos. Igualando ambos campos B3θ = B2θ. ". . iβ Kα iγ i1 cos θ + i2 sen θ = − cos θ iα − K1 2 2. . + sen θ. √ !# 3 3 iβ − iγ . 2 2. √. La anterior expresión determina el siguiente arreglo matricial:   iα K −1/2 −1/2 i1 α 1 √ iβ  , √ = i2 3/2 − 3/2 K1 0 iγ. (1.83). Kα 1 −1/2 −1/2 √ √ T = 3/2 − 3/2 K1 0. (1.84). donde la matriz de transformación es:. Para n pares de polos la transformación se conserva. Además si la máquina es de polos salientes la transformación sigue siendo válida.. 1.9.1. La transformada inversa Se tiene. . i1,2 = T iα,β,γ .. ¿Cuánto vale la matriz de transformación inversa? . −1 iα,β,γ = T i1,2 .. Surge un inconveniente por cuanto la matriz de transformación no es cuadrada y por consiguiente tiene un número infinito de inversas. La que corresponda a la situación real es impredecible. Es el mismo caso de resolver dos ecuaciones con tres incógnitas, donde no hay una única solución. En consecuencia se debe imponer alguna restricción: se supone que la inversa es proporcional a la transpuesta t −1 T =α T ..

(48) 40. Capı́tulo 1. Ecuaciones O sea:. de donde.     1 0 iα √  i1 , iβ  = α Kα −1/2 3/2 √ i2 K1 iγ −1/2 − 3/2 iα = α. Kα i1 , K1. iβ. Kα = α K1. iγ. = α. Kα K1. √ ! 1 3 i2 , − i1 + 2 2 √ ! 1 3 i2 . − i1 + 2 2. (1.85) (1.86) (1.87). Sumando las tres ecuaciones se descubre que: iα + iβ + iγ = 0,. (1.88). y como la transformación opera de la misma forma en los voltajes: vα + vβ + vγ = 0,. (1.89). Esto significa qué la matriz es invertible en la medida en que se cumplan estos requisitos. Aunque parece una restricción muy severa, en la práctica no lo es cuanto que en la mayorı́a de las aplicaciones de las máquinas la alimentación es sinusoidal y aunque no todas las alimentaciones son balanceadas la transformación de las componentes simétricas va a permitir sortear en la mayorı́a de los casos esta dificultad. Los factores α y Kα /K1 se determinan de la condición de potencia en los dos sistemas. Para invariancia de potencia Pα,β,γ. Pα,β,γ = P1,2 , t = iα,β,γ vα,β,γ , n o t −1 −1 = T i1,2 T v1,2 , t n −1 ot −1 = i1,2 T v1,2 . T. La igualdad de potencia impone que:. Como:. n ot −1 −1 T T = I . t −1 T =α T ,.

(49) 1.9. Transformación de tres ejes a dos ejes. 41. Premultiplicando por la matriz de transformación −1 t T T =α T T , t I =α T T ,. se obtiene. α = 1.. (1.90). Resultado que ya se habı́a deducido en la transformación Θ0 , pues para invariancia de potencia era necesario que la inversa fuera igual a la transpuesta; o lo que es lo mismo, que α sea igual a uno. −1 t = T . T. De acuerdo con lo anterior. (1.91). t T T = I .. Entonces.   1 0 √ Kα 2 3/2 0 Kα 1 √ Kα  −1/2 −1/2 1 0  √ −1/2 = , √3/2 = K1 0 3/2 0 1 3/2 − 3/2 K1 K1 0 −1/2 − 3/2. lo que determina. √ Kα 2 =√ . K1 3. (1.92). Hablando √ √ en lenguaje de las bobinas fı́sica, esto implica que las bobinas del sistema bifásico deben tener 3/ 2 más vueltas que las del trifásico. La matriz de transformación queda √ 2 1 √ −1/2 −1/2 √ T =√ . 3/2 − 3/2 3 0. (1.93). La invariancia de potencia implica que la potencia de una bobina del sistema bifásico es 3/2 de la de una fase del trifásico. Algunas veces es cómoda hacer que el sistema bifásico represente solo 2/3 del trifásico en circunstancias de simetrı́a completa de la máquina. De esta forma las variables por fase de la bifásica coinciden con las variables por fase de la máquina real. Análogamente se puede demostrar que para esta transformación α= O sea:. 3 2. y. Kα 2 = . K1 3. 2 1 −1/2 −1/2 √ √ T = , 3/2 − 3/2 3 0.